Як визначити найбільше і найменше значення функції. Найбільше і найменше значення функції
У цій статті я розповім про те, як застосовувати вміння знаходити до дослідження функції: до знаходження її найбільшого або найменшого значення. А потім ми вирішимо кілька завдань з Завдання В15 з Відкритого банку завдань для.
Як завжди, спочатку згадаємо теорію.
На початку будь-якого дослідження функції знаходимо її
Щоб знайти найбільше або найменше значення функції, потрібно досліджувати, на яких проміжках функція зростає, і на яких убуває.
Для цього треба знайти похідну функції і досліджувати її проміжки знакопостоянства, тобто проміжки, на яких похідна зберігає знак.
Проміжки, на яких похідна функції позитивна, є проміжками зростання функції.
Проміжки, на яких похідна функції негативна, є проміжками спадання функції.
1. Вирішимо завдання В15 (№ 245184)
Для його вирішення будемо дотримуватися такого алгоритму:
а) Знайдемо область визначення функції
б) Знайдемо похідну функції.
в) Дорівняємо її до нуля.
г) Знайдемо проміжки знакопостоянства функції.
д) Знайдемо точку, в якій функція приймає найбільше значення.
е) Знайдемо значення функції в цій точці.
Детальний рішення цього завдання я розповідаю в відеоуроки:
Ймовірно, Ваш браузер не підтримується. Щоб використовувати тренажер "Час ЄДІ", спробуйте завантажити
Firefox
2. Вирішимо завдання В15 (№282862)
Знайдіть найбільше значення функції 
на відрізку
Очевидно, що найбільше значення на відрізку функція приймає в точці максимуму, при х \u003d 2. Знайдемо значення функції в цій точці:
Відповідь: 5
3. Вирішимо завдання В15 (№245180):
Знайдіть найбільше значення функції 
1. title \u003d "(! LANG: ln5\u003e 0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. Т.к за область визначення вихідної функції title \u003d "(! LANG: 4-2x-x ^ 2\u003e 0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. Чисельник дорівнює нулю при. Перевіримо, чи належить ОПЗ функції. Для цього перевіримо, чи виконується умова title \u003d "(! LANG: 4-2x-x ^ 2\u003e 0"> при .!}
Title \u003d "4-2 (-1) - ((- 1)) ^ 2\u003e 0"\u003e,
значить, точка належить ОПЗ функції
Досліджуємо знак похідної справа і зліва від точки:
Ми бачимо, що найбільше значення функція приймає в точці. Тепер знайдемо значення функції при:
Зауваження 1. Зауважимо, що в цьому завданні ми не знаходили область визначення функції: ми тільки зафіксували обмеження і перевірили, чи належить точка, в якій похідна дорівнює нулю області визначення функції. У цьому завданню цього виявилося достатньо. Однак, так буває не завжди. Це залежить від завдання.
Зауваження 2. При дослідженні поведінки складної функції можна користуватися таким правилом:
- якщо зовнішня функція складної функції зростаюча, то функція приймає найбільше значення в тій же точці, в якій внутрішня функція приймає найбільше значення. Це випливає з визначення зростаючої функції: функція зростає на проміжку I, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
- якщо зовнішня функція складної функції спадна, то функція приймає найбільше значення в тій же точці, в якій внутрішня функція приймає найменше значення . Це випливає з визначення порядку спадання функції: функція спадає на проміжку I, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції
У нашому прикладі зовнішня функція - зростає на всій області визначення. Під знаком логарифма стоїть вираз - квадратний тричлен, який при негативному старшому коефіцієнті приймає найбільше значення в точці 
. Далі підставляємо це значення х в рівняння функції і знаходимо її найбільше значення.
нехай функція у \u003df (Х) неперервна на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція на цьому відрізку досягає найбільшого і найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або у внутрішній точці відрізка [ a, b], Або на кордоні відрізка.
Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [ a, b] Необхідно:
1) знайти критичні точки функції в інтервалі ( a, b);
2) обчислити значення функції в знайдених критичних точках;
3) обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто при x= а і х \u003d b;
4) з усіх обчислених значень функції вибрати найбільше і найменше.
Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції
на відрізку.
Знаходимо критичні точки:
Ці точки лежать всередині відрізка; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
в точці x\u003d 3 і в точці x= 0.
Дослідження функції на опуклість і точку перегину.
функція y = f (x) називається випуклойвверх на проміжку (a, b) , Якщо її графік лежить під дотичній, проведеної в будь-якій точці цього проміжку, і називається опуклою вниз (увігнутою), Якщо її графік лежить над дотичній.
Точка, при переході через яку опуклість змінюється увігнутістю або навпаки, називається точкою перегину.
Алгоритм дослідження на опуклість і точку перегину:
1. Найдемі критичні точки другого роду, тобто точки в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує.
2. Нанести критичні точки на числову пряму, розбиваючи її на проміжки. Знайти знак другої похідної на кожному проміжку; якщо, то функція опукла вгору, якщо, то функція опукла вниз.
3. Якщо при переході через критичну точку другого роду поміняє знак і в цій точці друга похідна дорівнює нулю, то ця точка - абсциса точки перегину. Знайти її ординату.
Асимптоти графіка функції. Дослідження функції на асимптоти.
Визначення.Асимптотой графіка функції називається пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від будь-якої точки графіка до цієї прямої прямує до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.
Існують три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і похилі.
Визначення. пряма називається вертикальної асимптотойграфіка функції у \u003d f (х), Якщо хоча б один з односторонніх меж функції в цій точці дорівнює нескінченності, тобто
де - точка розриву функції, то естьне належить області визначення.
Приклад.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x\u003d 2 - точка розриву.
Визначення.пряма у \u003dA називається горизонтальної асимптотой графіка функції у \u003d f (х) за умови, якщо
Приклад.
|
x | |||
|
y |
Визначення.пряма у \u003dkх +b (k≠ 0) називається похилій асимптотой графіка функції у \u003d f (х) при, де
Загальна схема дослідження функцій і побудови графіків.
Алгоритм дослідження функціїу \u003d f (х) :
1. Знайти область визначення функції D (y).
2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x \u003d 0 і при y = 0).
3. Дослідити на парність і непарність функції ( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).
4. Знайти асимптоти графіка функції.
5. Знайти інтервали монотонності функції.
6. Знайти екстремуми функції.
7. Знайти інтервали опуклості (угнутості) і точки перегину графіка функції.
8. На підставі проведених досліджень побудувати графік функції.
Приклад.Дослідити функцію і побудувати її графік.
1) D (y) =
x \u003d 4 - точка розриву.
2) При x = 0,
(0; - 5) - точка перетину з oy.
при y = 0,
3)
y(‒
x)=
функція загального вигляду (ні парна, ні непарна).
4) Досліджуємо на асимптоти.
а) вертикальні
б) горизонтальні
в) знайдемо похилі асимптоти де
-уравненіе похилій асимптоти
5) В даному рівнянні не потрібно знайти інтервали монотонності функції.
6)
Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) і (10; + ∞). Отримані результати зручно представити у вигляді такої таблиці.
І для її вирішення потрібно мінімальне знання теми. Закінчується черговий навчальний рік, всім хочеться на канікули, і щоб наблизити цей момент я відразу ж переходжу до справи:
Почнемо з області. Область, про яку йде мова в умови, являє собою обмежене замкнутий безліч точок площині. Наприклад, безліч точок, обмежене трикутником, включаючи ВЕСЬ трикутник (Якщо з межі «Виколоти» хоча б одну точку, то область перестане бути замкнутої). На практиці також зустрічаються області прямокутної, круглої і трохи складніших форм. Слід зазначити, що в теорії математичного аналізу даються строгі визначення обмеженості, замкнутості, кордони і т.д., Але, думаю, все усвідомити ці поняття на інтуїтивному рівні, а більшого зараз і не треба.
Плоска область стандартно позначається буквою, і, як правило, задається аналітично - декількома рівняннями (Не обов'язково лінійними); рідше нерівностями. Типовий словесний оборот: «замкнута область, обмежена лініями».
Невід'ємною частиною даного завдання є побудова області на кресленні. Як це зробити? Потрібно накреслити всі перераховані лінії (в даному випадку 3 прямі) І проаналізувати, що ж вийшло. Шукану область зазвичай злегка штрихують, а її кордон виділяють жирною лінією: 
Цю ж область можна задати і лінійними нерівностями:, Які чомусь частіше записують перечислительного списком, а не системою.
Так як межа належить області, то все нерівності, зрозуміло, несуворі.
А тепер суть завдання. Уявіть, що з початку координат прямо на вас виходить вісь. Розглянемо функцію, яка неперервна в кожній точці області. Графік цієї функції є деякою поверхню, І маленьке щастя полягає в тому, що для вирішення сьогоднішньої завдання нам зовсім не обов'язково знати, як ця поверхня виглядає. Вона може розташовуватися вище, нижче, перетинати площину - все це не важливо. А важливо наступне: згідно теорем Вейерштрасса, безперервна в обмеженій замкненійобласті функція досягає в ній найбільшого (Самого «високого») і найменшого (Самого «низького») значень, які і потрібно знайти. Такі значення досягаються або в стаціонарних точках, що належать областіD , абов точках, які лежать на кордоні цієї області. З чого випливає простий і прозорий алгоритм рішення:
приклад 1
В обмеженій замкненій області
Рішення: Перш за все, потрібно зобразити область на кресленні. На жаль, мені технічно важко зробити інтерактивну модель завдання, і тому я відразу наведу фінальну ілюстрацію, на якій зображено все «підозрілі» точки, знайдені в ході дослідження. Зазвичай вони проставляються одна за одною по мірі їх виявлення: 
Виходячи з преамбули, рішення зручно розбити на два пункти:
I) Знайдемо стаціонарні точки. Це стандартне дію, які ми неодноразово виконували на уроці про екстремуми декількох змінних:
Знайдена стаціонарна точка належить області: (Відзначаємо її на кресленні), А значить, нам слід обчислити значення функції в даній точці:
- як і в статті Найбільше і найменше значення функції на відрізку, Важливі результати я буду виділяти жирним шрифтом. У зошиті їх зручно обводити олівцем.
Зверніть увагу на наше друге щастя - немає ніякого сенсу перевіряти достатня умова екстремуму. Чому? Навіть якщо в точці функція досягає, наприклад, локального мінімуму, То це ЩЕ НЕ ОЗНАЧАЄ, що отримане значення буде мінімальним у всій області (Див. Початок уроку про безумовних екстремуму) .
Що робити, якщо стаціонарна точка НЕ \u200b\u200bналежить області? Майже нічого! Потрібно відзначити, що і перейти до наступного пункту.
II) Досліджуємо кордон області.
Оскільки межа складається з сторін трикутника, то дослідження зручно розбити на 3 підпункту. Але краще це зробити не аби як. З моєї точки зору, спочатку вигідніше розглянути відрізки, паралельні координатним осях, і в першу чергу - лежать на самих осях. Щоб вловити всю послідовність і логіку дій постарайтеся вивчити кінцівку «на одному диханні»:
1) Розберемося з нижньою стороною трикутника. Для цього підставимо безпосередньо в функцію:
Як варіант, можна оформити і так: 
Геометрично це означає, що координатна площину (Яка теж задається рівнянням) «Висікає» з поверхні «Просторову» параболу, вершина якої негайно потрапляє під підозру. з'ясуємо, де вона знаходиться:
- отримане значення «попало» в область, і цілком може статися, що в точці (Відзначаємо на кресленні) функція досягає найбільшого або найменшого значення у всій області. Так чи інакше, проводимо обчислення:
Інші «кандидати» - це, звичайно ж, кінці відрізка. Обчислимо значення функції в точках 
(Відзначаємо на кресленні):
Тут, до речі, можна виконати усну міні-перевірку по «урізаною» версією: 
2) Для дослідження правого боку трикутника підставляємо у функцію і «наводимо там порядок»:
Тут відразу ж виконаємо чорнову перевірку, «прозванивая» вже оброблений кінець відрізка:
, Відмінно.
Геометрична ситуація споріднена попереднього пункту:
- отримане значення теж «увійшло в сферу наших інтересів», а значить, потрібно обчислити, чому дорівнює функція в з'явилася точці:
Досліджуємо другий кінець відрізка:
використовуючи функцію 
, Виконаємо контрольну перевірку: 
3) Напевно, всі здогадуються, як досліджувати залишилася сторону. Підставляємо у функцію і проводимо спрощення:
кінці відрізка 
вже досліджені, але на чернетці все одно перевіряємо, чи правильно ми знайшли функцію 
:
- співпав з результатом 1-го підпункту;
- співпав з результатом 2-го підпункту.
Залишилося з'ясувати, чи є щось цікаве всередині відрізка:
- є! Підставляючи в рівняння прямої, отримаємо ординату цієї «цікавинки»:
Відзначаємо на кресленні точку і знаходимо відповідне значення функції:
Проконтролюємо обчислення по «бюджетної» версії 
:
, Порядок.
І заключний крок: УВАЖНО переглядаємо всі «жирні» числа, початківцям рекомендую навіть скласти єдиний список: 
з якого вибираємо найбільше і найменше значення. відповідь запишемо в стилістиці завдання знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку:
Про всяк випадок ще раз закоментуйте геометричний сенс результату:
- тут найвища точка поверхні в області;
- тут найнижча точка поверхні в області.
У розібраної задачі у нас виявилося 7 «підозрілих» точок, але від завдання до завдання їх кількість варіюється. Для трикутної області мінімальний «дослідницький набір» складається з трьох точок. Таке буває, коли функція, наприклад, задає площину - абсолютно зрозуміло, що стаціонарні точки відсутні, і функція може досягати найбільшого / найменшого значень тільки в вершинах трикутника. Але подібних прикладів раз, два та й усе - зазвичай доводиться мати справу з якоюсь поверхнею 2-го порядку.
Якщо ви трохи повирішувати такі завдання, то від трикутників голова може піти обертом, і тому я приготував для вас незвичайні приклади щоб вона стала квадратної :))
приклад 2
Знайти найбільше і найменше значення функції 
в замкнутій області, обмеженої лініями
приклад 3
Знайти найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкненій області.
Особливу увагу зверніть на раціональний порядок і техніку дослідження кордону області, а також на ланцюжок проміжних перевірок, яка майже повністю дозволить уникнути обчислювальних помилок. Взагалі кажучи, вирішувати можна як завгодно, але в деяких завданнях, наприклад, в тому ж Прімері 2, є всі шанси значно ускладнити собі життя. Зразок чистового оформлення завдань в кінці уроку.
Систематизуємо алгоритм рішення, а то з моєї старанністю павука він якось загубився в довгій нитці коментарів 1-го прикладу:
- На першому етапі будуємо область, її бажано заштрихувати, а кордон виділити жирною лінією. В ході вирішення з'являтимуться точки, які потрібно проставляти на кресленні.
- Знайдемо стаціонарні точки і обчислимо значення функції тільки в тих з них, Які належать області. Отримані значення виділяємо в тексті (наприклад, обводимо олівцем). Якщо стаціонарна точка НЕ \u200b\u200bналежить області, то відзначаємо цей факт значком або словесно. Якщо ж стаціонарних точок немає зовсім, то робимо письмовий висновок про те, що вони відсутні. У будь-якому випадку даний пункт пропускати не можна!
- Досліджуємо кордон області. Спочатку вигідно розібратися з прямими, які паралельні координатним осях (Якщо такі є взагалі). Значення функції, обчислені в «підозрілих» точках, також виділяємо. Про техніку рішення дуже багато сказано вище і ще дещо буде сказано нижче - читайте, перечитуйте, вникати!
- З виділених чисел вибираємо найбільше і найменше значення і даємо відповідь. Іноді буває, що такі значення функція досягає відразу в декількох точках - в цьому випадку всі ці точки слід відобразити у відповіді. Нехай, наприклад, 
і виявилося, що це найменше значення. Тоді записуємо, що
Прикінцеві приклади присвячені іншим корисним ідеям, які стануть в нагоді на практиці:
приклад 4
Знайти найбільше і найменше значення функції в замкненій області 
.
Я зберіг авторську формулювання, в якій область задана у вигляді подвійного нерівності. Цю умову можна записати еквівалентною системою або ж в більш традиційному для даного завдання вигляді: 
Нагадую, що з нелінійними нерівностями ми стикалися на, і якщо вам не зрозумілий геометричний сенс записи, то, будь ласка, не зволікайте і проясніть ситуацію прямо зараз ;-)
Рішення, Як завжди, починається з побудови області, яка представляє собою своєрідну «підошву»: 
Мда, іноді доводиться гризти не тільки граніт науки ....
I) Знайдемо стаціонарні точки: 
Система-мрія ідіота :) 
Стаціонарна точка належить області, а саме, лежить на її кордоні.
А так, воно, нічого ... весело урок пішов - ось що означає попити правильного чаю \u003d)
II) Досліджуємо кордон області. Не мудруючи лукаво, почнемо з осі абсцис:
1) Якщо, то
Знайдемо, де вершина параболи:
- цінуєте такі моменти - «потрапили» прямо в точку, з якої вже все ясно. Але про перевірку все одно не забуваємо: 
Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: 
2) З нижньою частиною «підошви» розберемося «за один присід» - без жодних комплексів підставляємо у функцію, причому, цікавити нас буде лише відрізок:
контроль:
Ось це вже вносить деяке пожвавлення в монотонну їзду по накатаній колії. Знайдемо критичні точки:
вирішуємо квадратне рівняння, Пам'ятайте ще про таке? ... Втім, пам'ятайте, звичайно, інакше б не читали ці рядки \u003d) Якщо в двох попередніх прикладах були зручні обчислення в десяткових дробах (що, до речі, рідкість), то тут нас чекають звичні звичайні дроби. Знаходимо «іксові» коріння і по рівнянню визначаємо відповідні «ігрековие» координати точок- «кандидатів»: 
Обчислимо значення функції в знайдених точках: 
Перевірку по функції проведіть самостійно.
Тепер уважно вивчаємо завойовані трофеї і записуємо відповідь:
Ось це «кандидати», так «кандидати»!
Для самостійного рішення:
приклад 5
Знайти найменше та найбільше значення функції 
в замкнутій області 
Запис з фігурними дужками читається так: «безліч точок, таких, що».
Іноді в подібних прикладах використовують метод множників Лагранжа, Але реальна необхідність його застосовувати навряд чи виникне. Так, наприклад, якщо дана функція з тієї ж областю «де», то після підстановки в неї - з похідною від ніяких труднощів; причому оформляється все «одним рядком» (зі знаками) без потреби розглядати верхню і нижню півкола окремо. Але, звичайно, бувають і більш складні випадки, де без функції Лагранжа (Де, наприклад, той же рівняння кола) обійтися важко - як важко обійтися і без хорошого відпочинку!
Всім добре здати сесію і до швидких зустрічей в наступному сезоні!
Рішення і відповіді:
Приклад 2: Рішення: Зобразимо область на кресленні:
Подивимося, як досліджувати функцію за допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися все, що нас цікавить, а саме:
- область визначення функції
- область значень
- нулі функції
- проміжки зростання та спадання
- точки максимуму і мінімуму
- найбільше і найменше значення функції на відрізку.
Уточнимо термінологію:
абсциса - це координата точки по горизонталі.
ордината - координата по вертикалі.
вісь абсцис - горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
вісь ординат - вертикальна вісь, або вісь.
аргумент - незалежна змінна, від якої залежать значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо, підставляємо в формулу функції і отримуємо.
Область визначення функції - безліч тих (і тільки тих) значень аргументу, при яких функція існує.
Позначається: або.
На нашому малюнку область визначення функції - це відрізок. Саме на цьому відрізку намальований графік функції. Тільки тут дана функція існує.
Область значень функції - це безліч значень, які приймає змінна. На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до найвищого значення.
нулі функції - точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто. На нашому малюнку це точки і.
Значення функції позитивні там де . На нашому малюнку це проміжки і.
Значення функції негативні там де . У нас це проміжок (або інтервал) від до.
Найважливіші поняття - зростання і спадання функції на деякій множині. Як безлічі можна взяти відрізок, інтервал, об'єднання проміжків або всю числову пряму.
функція зростає
Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо і вгору.
функція убуває на безлічі, якщо для будь-яких і, що належать безлічі, з нерівності слід нерівність.
Для спадної функції більшому значенню відповідає менше значення. Графік йде вправо і вниз.
На нашому малюнку функція зростає на проміжку і убуває на проміжках і.
Визначимо, що таке точки максимуму і мінімуму функції.
точка максимуму - це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній більше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, Ніж в сусідніх. Це локальний «горбок» на графіку.
На нашому малюнку - точка максимуму.
точка мінімуму - внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції в ній менше, ніж в сусідніх. На графіку це локальна «ямка».
На нашому малюнку - точка мінімуму.
Точка - гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить під визначення точки максимуму. Адже у неї немає сусідів зліва. Точно так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.
Точки максимуму і мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.
А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функції на відрізку? В даному випадку відповідь:. Тому що мінімум функції - це її значення в точці мінімуму.
Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.
Можна сказати, що екстремуми функції рівні і.
Іноді в завданнях потрібно знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку. Вони не обов'язково збігаються з екстремумами.
У нашому випадку найменше значення функції на відрізку одно і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку одно. Воно досягається в лівому кінці відрізка.
У будь-якому випадку найбільше та найменше значення неперервної функції на відрізку досягаються або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка.
Постановка завдання 2:
Дана функція, певна і безперервна на деякому проміжку. Потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції на цьому проміжку.
Теоретичні основи.
Теорема (Друга теорема Вейєрштрасса):
Якщо функція визначена і неперервна в замкнутому проміжку, то вона досягає в цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень.
Функція може досягати своїх найбільших і найменших значень або на внутрішніх точках проміжку, або на його кордонах. Проілюструємо всі можливі варіанти. 
пояснення:
1) Функція досягає свого максимального значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
2) Функція досягає свого максимального значення в точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
3) Функція досягає свого максимального значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення в точці (це точка мінімуму).
4) Функція постійна на проміжку, тобто вона досягає свого мінімального і максимального значення в будь-якій точці проміжку, причому мінімальне і максимальне значення рівні між собою.
5) Функція досягає свого максимального значення в точці, а свого найменшого значення точці (незважаючи на те, що функція має на цьому проміжку як максимум, так і мінімум).
6) Функція досягає свого максимального значення в точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення в точці (це точка мінімуму).
зауваження:
«Максимум» та «максимальне значення» - різні речі. Це випливає з визначення максимуму і інтуїтивного розуміння словосполучення «максимальне значення».
Алгоритм розв'язання задачі 2.
4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) і записати відповідь.
Приклад 4:
Визначити найбільшу і найменшу значення функції 
на відрізку.
Рішення:
1) Знайти похідну функції. 
2) Знайти стаціонарні точки (і точки, підозрілі на екстремум), вирішивши рівняння. Звернути увагу на точки, в яких не існує двосторонньої кінцевої похідною. 
3) Обчислити значення функції в стаціонарних точках і на кордонах інтервалу.
4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) і записати відповідь.
Функція на цьому відрізку досягає свого максимального значення в точці з координатами.
Функція на цьому відрізку досягає свого найменшого значення в точці з координатами.
В правильність обчислень можна переконатися, поглянувши на графік досліджуваної функції. 
зауваження: Найбільшого значення функція досягає в точці максимуму, а найменшого - на кордоні відрізка.
Окремий випадок.
Припустимо, потрібно знайти максимально і мінімальне значення деякої функції на відрізку. Після виконання першого пункту алгоритму, тобто обчислення похідної, стає ясно, що, наприклад, вона приймає тільки негативні значення на всьому розглянутому відрізку. Пам'ятаємо, що якщо похідна негативна, то функція спадає. Отримали, що на всьому відрізку функція спадає. Ця ситуація відображена на графіку № 1 на початку статті.
На відрізку функція спадає, тобто точок екстремумів у неї немає. З картинки видно, що найменше значення функція прийме на правій межі відрізка, а найбільше значення - на лівій. якщо ж похідна на відрізку всюди позитивна, то функція зростає. Найменше значення - на лівій межі відрізка, найбільше - на правій.
