حل معادلات أعلى درجات من الطرق المختلفة. التنمية المنهجية على الجبر (الصف 10) حول الموضوع: معادلات أعلى الدرجات
بشكل عام، لا يمكن حل المعادلة وجود درجة فوق 4 في المتطرفين. لكن في بعض الأحيان لا يزال بإمكاننا العثور على جذور متعددة الحدود على اليسار في معادلة أعلى درجة، إذا نقدمها في شكل منتج من مادة متعددة الحدود إلى درجة لا تزيد عن 4. يستند حل هذه المعادلات إلى تحلل متعدد الحدود إلى المضاعفات، لذلك ننصحك بتكرار هذا الموضوع قبل تعلم هذه المقالة.
غالبا ما يتعامل مع المعادلات الدرجات العليا مع معاملات كاملة. في هذه الحالات، يمكننا أن نحاول العثور على جذور عقلانية، ثم تتحلل كثير الحدود إلى المضاعفات لتحويلها إلى معادلة بدرجة أقل والتي ستقرر ببساطة. كجزء من هذه المواد، سننظر فقط في مثل هذه الأمثلة.
Yandex.rtb R-A-339285-1
معادلات أعلى درجة مع المعاملات بأكملها
جميع المعادلات وجود نموذج N X N + A N - 1 × N - 1 +. وبعد وبعد + A 1 X + A 0 \u003d 0، يمكننا أن نؤدي إلى معادلة نفس المدى باستخدام الضرب لكل من الجزءين بواسطة N N - 1 واستبدال متغير النموذج Y \u003d A N X:
a N X N + A N - 1 × N - 1 +. وبعد وبعد + A 1 X + A 0 \u003d 0 ANN · XN + AN - 1 ann - 1 · XN - 1 + ... + A 1 · (AN) N - 1 · X + A 0 · (AN) N - 1 \u003d 0 y \u003d anx ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 + ... + b 1 y + b 0 \u003d 0
ستكون هذه المعاملات التي تحولت في النهاية عدد صحيح. وبالتالي، سنحتاج إلى حل المعادلة المعينة ل N- N- مع المعاملات العصرية التي تحتوي على نموذج X N + A N X N - 1 + ... + A 1 X + A 0 \u003d 0.
احسب جذور المعادلة بأكملها. إذا كانت المعادلة لديها جذور بأكملها، فأنت بحاجة إلى البحث عنها بين مقسمات مصطلح مجاني A 0. نكتبها وسنحل محل المساواة الأولية بدورها، والتحقق من النتيجة. بمجرد تلقينا الهوية ووجدت واحدة من جذور المعادلة، يمكننا كتابة ذلك في النموذج X - X 1 · P N - 1 (x) \u003d 0. هنا X 1 هو جذر المعادلة، و P N - 1 (X) هو خاص من تقسيم X N + A N X N - 1 + ... + A 1 X + A 0 إلى x - x 1.
نتحل محل المقسورات المتبقية المتبقية في P N - 1 (X) \u003d 0، بدءا من X 1، لأن الجذور يمكن تكرارها. بعد تلقي الهوية، يعتبر الجذر x 2، ويمكن كتابة المعادلة في النموذج (x - x 1) (x - x 2) · pn - 2 (x) \u003d 0. pn - 2 (س) ستكون خاصة من القسم P N - 1 (X) إلى X - X 2.
نواصل الذهاب من خلال فواصل. نجد كل الجذور بأكملها وتعرف على عددهم ك M. بعد ذلك، يمكن تمثيل المعادلة الأولية ك X - X 1 X - X 2 · ... · x - x m · p n - m (x) \u003d 0. هنا، ص N - M (X) هي درجة متعددة متعدد الحدود. للحساب، من المريح استخدام مخطط هورنر.
إذا كانت معادلةنا الأولية لديها معاملات كاملة، فلا يمكننا أن نؤدي إلى جذور كسور.
لقد حصلنا في النهاية على المعادلة P N - M (X) \u003d 0، التي يمكن العثور عليها جذورها من قبل أي بطريقة مريحةوبعد يمكن أن تكون غير عقلانية أو معقدة.
دعنا نعرض على مثال محددكيف يتم استخدام مثل هذا مخطط الحل.
مثال 1.
شرط: ابحث عن محلول المعادلة x 4 + x 3 + 2 × 2 - x - 3 \u003d 0.
قرار
لنبدأ بنتائج الجذور بأكملها.
لدينا عضو مجاني يساوي ناقص ثلاثة. لديه قسمين يساوي 1، - 1، 3 و 3. استبدالها بالمعادلة الأصلية ودعونا نرى أي منها سيتم منح الهويات.
بالنسبة ل X، يساوي واحد، نحصل على 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 \u003d 0، وهذا يعني أن الوحدة ستكون أصل هذه المعادلة.
الآن سنقوم بإجراء أقسام متعدد الحدود X 4 + X 3 + 2 × 2 - X - 3 ON (X - 1) في العمود:
لذلك، x 4 + x 3 + 2 × 2 - x - 3 \u003d x - 1 × 3 + 2 × 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 \u003d 0
كان لدينا هوية، وهذا يعني أننا وجدنا جذر آخر للمعادلة يساوي 1.
نقسم متعدد الحدود X 3 + 2 × 2 + 4 X + 3 ON (X + 1) في العمود:
نحن نحصل على ذلك
x 4 + x 3 + 2 × 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 × 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
نتحل محل المقسم التالي إلى المساواة X 2 + X + 3 \u003d 0، بدءا من - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
سيكون المساواة التي تم الحصول عليها في النهاية غير صحيحة، وهذا يعني أن المعادلة لم تعد لديها جذور كلها.
ستكون الجذور المتبقية جذور التعبير × 2 + x + 3.
د \u003d 1 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 11< 0
يتبع ذلك من هذا أن هذا المحلل الثلاثة المربعة لا توجد جذور صالحة، ولكن هناك اقتران شامل: x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
سنحدد ذلك بدلا من التقسيم في العمود، يمكنك استخدام نظام Gunner. يتم ذلك مثل هذا: بعد أن حددنا أول جذر المعادلة، قم بملء الجدول.
في جدول المعامل، يمكننا أن نرى على الفور معاملات الفرد من تقسيم متعدد الحدود، وهذا يعني أن x 4 + × 3 + 2 × 2 - x - 3 \u003d x - 1 × 3 + 2 × 2 + 4 x + 3.
بعد العثور على الجذر التالي، يساوي - 1، نحصل على ما يلي:
إجابه: x \u003d - 1، x \u003d 1، x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
مثال 2.
شرط: تقرر المعادلة X 4 - X 3 - 5 × 2 + 12 \u003d 0.
قرار
عضو مجاني لديه مقسات 1، - 1، 2، - 2، 3، 3، 4، - 4، 6، - 6، 12، - 12.
تحقق منها بالترتيب:
1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 \u003d 0
لذلك x \u003d 2 سيكون جذر المعادلة. انقسمت x 4 - x 3 - 5 × 2 + 12 على X - 2، باستخدام مخطط مدفعي:
نتيجة لذلك، نحصل على X - 2 (× 3 + × 2 - 3 × - 6) \u003d 0.
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 \u003d 0
لذلك، 2 سيكون الجذر مرة أخرى. نحن تقسم x 3 + × 2 - 3 × - 6 \u003d 0 إلى x - 2:
نتيجة لذلك، نحصل على (X - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.
التحقق من الطبقات المتبقية لا معنى له، نظرا لأن المساواة X 2 + 3 X + 3 \u003d 0 أسرع وأكثر ملاءمة لحلها بمساعدة التمييز.
معادلة مربع spest:
x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 d \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0
نحصل على زوج متوافق شامل من الجذور: X \u003d - 3 2 ± i 3 2.
إجابه: x \u003d - 3 2 ± i 3 2.
مثال 3.
شرط: ابحث عن المعادلة x 4 + 1 2 × 3 - 5 2 × - 3 \u003d 0 جذور صالحة.
قرار
x 4 + 1 2 × 3 - 5 2 × - 3 \u003d 0 2 × 4 + × 3 - 5 × - 6 \u003d 0
نقوم بإجراء تسجيل من 2 3 من كلا الطرفين من المعادلة:
2 × 4 + × 3 - 5 × - 6 \u003d 0 2 4 · x 4 + 2 3 × 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0
نستبدل المتغيرات y \u003d 2 x:
2 4 · x 4 + 2 3 × 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0 Y 4 + Y 3 - 20 Y - 48 \u003d 0
نتيجة لذلك، كان لدينا معادلة قياسية 4th، والتي يمكن حلها من قبل مخطط قياسيوبعد نحن نتحقق من فواصل، ونحن نقسم والحصول على نتيجة لذلك لديها 2 جذور صالحة Y \u003d - 2، Y \u003d 3 واثنين من المعقدين. القرار بالكامل هنا لن يؤدي. بحكم الاستبدال مع جذور صالحة لهذه المعادلة، x \u003d y 2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 و x \u003d y 2 \u003d 3 2 سيكون x \u003d 3 2.
إجابه: x 1 \u003d - 1، x 2 \u003d 3 2
إذا لاحظت خطأ في النص، فيرجى تحديدها واضغط على CTRL + ENTER
طرق حل المعادلات: n n n استبدال المعادلة h (f (x)) \u003d h (g (x)) بواسطة المعادلة f (x) \u003d g (x) decomposition على المضاعفات. مقدمة من متغير جديد. وظيفيا - طريقة الجرافيكوبعد اختيار الجذور. استخدام صيغة فييتا.
استبدال المعادلة H (f (x)) \u003d h (g (x)) بواسطة المعادلة f (x) \u003d g (x). لا يمكن تطبيق الطريقة إلا عندما تكون y \u003d h (x) وظيفة رتابة تأخذ في كل مرة تأخذ فيها وقت واحد. إذا كانت الوظيفة غير راهتانية، فمن الممكن فقدان الجذر.
حل المعادلة (3 × + 2) ² \u003d (5 × - 9) ² ² y \u003d x ² ²، وبالتالي، من المعادلة (3 × + 2) ² \u003d (5 × - 9)، ² ² يمكن أن تذهب إلى المعادلة 3 X + 2 \u003d 5 × - 9، من حيث نجد X \u003d 5، 5. الرد: 5، 5.
العوامل. المعادلة f (x) g (x) h (x) \u003d 0 يمكن استبدالها بمجموعة من المعادلات F (x) \u003d 0؛ g (x) \u003d 0؛ ح (س) \u003d 0. تقرر معادلة هذا المجموع، تحتاج إلى أخذ أولئك من جذورهم، والتي تنتمي إلى مجال تحديد المعادلة الأصلية، والمنتجع المتبقية كغربات الغرباء.
حل المعادلات X³ - 7 X + 6 \u003d 0 تمثل المصطلح 7 x في النموذج X + 6 X، نحصل على التتابع: X³ - X - 6 X + 6 \u003d 0 × (X² - 1) - 6 (x - 1) \u003d 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) \u003d 0 (x - 1) (x² + x - 6) \u003d 0 الآن يتم تقليل المشكلة إلى محلول مجمل المعادلات X - 1 \u003d 0؛ X² + X - 6 \u003d 0. الإجابة: 1، 2، - 3.
مقدمة من متغير جديد. إذا كانت المعادلة Y (X) \u003d 0 تمكنت من التحويل إلى النموذج P (G (X)) \u003d 0، فأنت بحاجة إلى إدخال متغير جديد U \u003d G (X)، حل المعادلة P (U) \u003d 0 ثم حل مزيج من المعادلات G (X) \u003d U 1؛ g (x) \u003d u 2؛ ...؛ G (x) \u003d UN، حيث U 1، U 2، ...، UN - جذور المعادلة P (U) \u003d 0.
سمة حل المعادلة في هذه المعادلة هي المساواة في معاملات الجزء الأيسر تساوي نهاياتها. هذه المعادلات تسمى العودة. منذ 0 ليس جذر هذه المعادلة، قسم X² نحصل عليه
نقدم متغيرا جديدا، ثم نحصل على معادلة مربعة حتى لا يمكن النظر في الجذر Y 1 \u003d - 1. سوف نتلقى الجواب: 2، 0، 5.
قرر المعادلة 6 (12 - 4) ² + 5 (X² - 4) (² --² - 7 X +12) + (X² - 7 x + 12) ² \u003d 0 هذه المعادلة يمكن حلها باعتبارها متجانسة. نقسم كلا جزأين المعادلة على (ײ - 7 × +12) ² (من الواضح أن قيم x هي مثل x² - 7 x + 12 \u003d 0 ليست حلولا). الآن نشير من هنا الجواب:
وظيفيا - طريقة الجرافيك. إذا تزداد أحد الوظائف y \u003d f (x)، y \u003d g (x)، والآخر - النقص، المعادلة f (x) \u003d g (x) ليست إما جذور أو لديه جذر واحد.
من الواضح للغاية حل المعادلة أن x \u003d 2 هو جذر المعادلة. نثبت أن هذا هو الجذر الوحيد. نقوم بتحويل المعادلة إلى نوع الإشعار الذي يزداد فيه الوظيفة، وتنخفض الوظيفة. لذلك المعادلة لها جذر واحد فقط. الجواب: 2.
اختيار جذور n n n نظرية 1: إذا كان عدد صحيح M هو جذر متعدد الحدود مع معاملات عدد صحيح، فإن العضو الحر في متعدد الحدود ينقسم إلى م. Theorem 2: عدد متعدد الحدود مع معاملات عدد صحيح ليس له جذور كسور. Theorem 3: - المعادلة مع عدد صحيح السماح للمعاملات. إذا كان الرقم والكسر حيث تعتبر P و Q تكاملا تكاملا، فهذا هو جذر المعادلة، ثم P هو مقسم لأحد الأعضاء المجاني، و Q هو مقسم معامل مع مصطلح كبير 0.
نظرية جز. البقايا في تقسيم أي كثير الحدود على biccoon (x - a) يساوي قيمة متعدد الأحيان متعدد الحدود في x \u003d a. عواقب نظرية الطين ن ن ن ن نار الفرق في نفس درجات رقمين يتم تقسيمها دون بقايا إلى اختلاف نفس الأرقام؛ ينقسم الفرق في نفس درجات رقمين دون توازن على حد سواء على اختلاف هذه الأرقام ومبلغهم؛ لا ينقسم الفرق بين نفس درجة الفردية من رقمين إلى كمية هذه الأرقام؛ يتم تقسيم مجموع درجات نفس اثنين من الأرقام إلى اختلاف هذه الأرقام؛ يتم تقسيم مجموع نفس الدرجات الفردية من رقمين دون توازن من هذه الأرقام؛ لا ينقسم مجموع نفس درجات رقمين على حد سواء على اختلاف هذه الأرقام والمبلغ؛ يتم تقسيم متعدد الحدود من قبل مركزة على Biccoon (X - A) إذا وفقط إذا كان الرقم أ هو جذر متعدد الحدود؛ عدد جذور مختلفة من كثير الحدود، مختلفة عن الصفر، لا أكثر من شهادتها.
حل المعادلة X³ - 5 ش² - X + 21 \u003d 0 متعدد الحدود X³ - 5 ش² - X + 21 لديه معاملات كاملة. بواسطة Theorem 1، جذورها بأكملها، إذا كانت هناك، هي من بين مقاطع الأعضاء المجاني: ± 1، ± 3، ± 7، ± 21. Check مقتنع بأن الرقم 3 هو الجذر. نتيجة للنظر، ينقسم النيوتريم إلى (X - 3). وهكذا، X - 5 ײ - x + 21 \u003d (x - 3) (x²-2 × - 7). إجابه:
حل المعادلة 2 X³ - 5 ش² - X + 1 \u003d 0 حسب Theorem 1 مع جذور كاملة من المعادلة يمكن أن تكون أرقام ± 1. الشيك يشير إلى أن هذه الأرقام ليست جذورا. نظرا لعدم تقديم المعادلة، فقد يكون له جذور عقلانية كسور. اعثر عليهم. للقيام بذلك، سوف تضاعف كلا جزأين المعادلة بحلول 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 \u003d 0 عن طريق الاستبدال 2 x \u003d t، نحصل على T³ - 5 T² - 2 T + 4 \u003d 0. على طول Tereme 2 يجب أن تكون جميع الجذور العقلانية من المعادلة المعينة عدد صحيح. يمكن العثور عليها بين موالسي الأعضاء المجاني: ± 1، ± 2، ± 4. في هذه القضية يناسب T \u003d - 1. وبالتالي، نتيجة لنظر مانتو، متعدد الحدود 2 X³ - 5 ش² - X + 1 مقسمة إلى (X + 0، 5): 2 X³ - 5 ײ - X + 1 \u003d ( X + 0، 5) (2 ײ - 6 X + 2) تحديد المعادلة المربعة 2 ײ - 6 x + 2 \u003d 0، نجد الجذور المتبقية: الإجابة:
حل المعادلة 6 X³ + X² - \u200b\u200b11 × - 6 \u003d 0 حسب نظرية 3، يجب تفتيش جذور عقلانية من هذه المعادلة بين الأرقام. استبدالها بالتناوب في المعادلة، نجد أنهم يرضون المعادلة. يتم استنفادهم جميع جذور المعادلة. إجابه:
ابحث عن مجموع مربعات جذور المعادلة X³ + 3 ײ - 7 × +1 \u003d 0 في نظرية Vieta لاحظ ذلك
حدد الطريقة التي يمكن حلها كل من هذه المعادلات. تقرر المعادلات رقم 1، 4، 15، 17.
الإجابات والتعليمات: 1. مقدمة متغير جديد. 2. وظيفيا - طريقة الرسومات. 3. استبدال المعادلة H (f (x)) \u003d h (g (x)) بواسطة المعادلة f (x) \u003d g (x). 4. تحلل المضاعفات. 5. اختيار الجذور. 6 وظيفيا - طريقة الجرافيك. 7. تطبيق الصيغ في فيتا. 8. اختيار الجذور. 9. استبدال المعادلة H (F (x)) \u003d h (g (x)) بواسطة المعادلة f (x) \u003d g (x). 10. مقدمة متغير جديد. 11. تحلل المضاعفات. 12. مقدمة متغير جديد. 13. اختيار الجذور. 14. تطبيق صيغة فييتا. 15. وظيفيا - طريقة الرسومات. 16. تحلل المضاعفات. 17. مقدمة متغير جديد. 18. تحلل المضاعفات.
1. ملاحظة. سجل المعادلة في النموذج 4 (x² + 17 x + 60) (x + 16 x + 60) \u003d 3 ײ، قم بتقسيم كلا الجزأين منه على X². أدخل متغير الإجابة: × 1 \u003d - 8؛ × 2 \u003d - 7، 5. 4. ملاحظة. أضف إلى الجزء الأيسر من المعادلة 6 Y و 6 Y واكتبها في النموذج (Y³ - 2 Y²) + (- 3 Y² + 6 Y) + (- 8 Y + 16) \u003d (Y - 2) ( Y² - 3 ص - ثمانية). إجابه:
14. ملاحظة. من قبل نظرية، في فيتا كقسم الأعداد الصحيحة، يمكن أن تكون جذور المعادلة أرقام فقط - 1، - 2، - 1. الإجابة: 15. الإجابة: - 1. 17. ملاحظة. قسم كل جزء من المعادلة في X² وتسجيله في النموذج أدخل متغير الإجابة: 1؛ خمسة عشر؛ 2؛ 3.
فهرس. n n n kolmogorov a.n. "الجبر وبدء التحليل، 10 - 11" (م: التنوير، 2003). باشماكوف م. "الجبر وبداية التحليل، 10 - 11" (م: التنوير، 1993). Mordkovich A. G. "الجبر وبدء التحليل، 10 - 11" (م.: Mnemozina، 2003). alimov sch. A.، Kolyagin Yu. M. وغيرها. "الجبر وبدء التحليل، 10 - 11" (م: التنوير، 2000). Galitsky M. L.، Goldman A. M.، ZVavich L. I. "جمع المهام على الجبر، 8 - 9" (م: التنوير، 1997). KARP A. P. "مجموعة من المهام على الجبر وأصل التحليل، 10 - 11" (م: التنوير، 1999). sharygin I. F. "دورة اختيارية في الرياضيات، حل المشاكل، 10" (م: التنوير. 1989). SKOBC Z. A. "فصول إضافية بمعدل الرياضيات، 10" (م: التنوير، 1974). Litinsky G. I. "دروس الرياضيات" (م.: أسلم، 1994). مارافين جي ك. "المعادلات، عدم المساواة وأنظمتها" (الرياضيات، مرفق الصحيفة "سبتمبر الأولى"، رقم 2، 3، 2003). كولياجين يو. م. "العديد من المعادلات الدرجات العليا" (الرياضيات، مرفق الصحيفة "سبتمبر الأولى"، رقم 3، 2005).
Tryphanova Marina Anatolyevna.
مدرس الرياضيات، MOU "Gymnasium رقم 48 (متعدد التخصصات)"، Talnakh
Triune Target Lesson.:
التعليمية:
منظم وتلخيص المعرفة عن طريق حل معادلات الدرجات العليا.
النامية:
تعزيز التنمية التفكير المنطقيوالمهارات اللازمة للعمل بشكل مستقل ومهارات التحويل الذاتي والضبط الذاتي والمهارات اللازمة للتحدث والاستماع.
مقوي:
تطوير عادات التوظيف الدائم، رفع الاستجابة، العمل الشاق، الدقة.
نوع الدرس:
الدرس للاستخدام المتكامل للمعرفة والمهارات والمهارات.
شكل الدرس:
حمل، Fizminutka، مجموعة متنوعة من أشكال العمل.
ادوات:
دعم الملخصات، والبطاقات مع المهام، مصفوفة مراقبة الدرس.
خلال الفصول الدراسية
أولا - لحظة التنظيمية
- رسالة الغرض من الطلاب الدرس.
- الشيك الواجب المنزلي (المرفقات 1). العمل مع مرجع الملخص (الملحق 2).
على اللوحة هي معادلات أو إجابات مكتوبة لكل منهم. يتحقق الطلاب الإجابات وإعطاء تحليل موجز حلول كل معادلة أو الاستجابة لسؤال المعلم (المسح الأمامي). السيطرة على الذات - يضع الطلاب تقييمات وتأجير دفتر ملاحظات للتحقق من المعلم لتصحيح التقديرات أو موافقتها. يتم تسجيل كلية التقييمات على السبورة:
"5+" - 6 معادلات؛
"5" - 5 معادلات؛
"4" - 4 معادلات؛
"3" - 3 معادلات.
أسئلة المعلم في المنزل:
1 معادلة
- ما هو استبدال المتغيرات مصنوعة في المعادلة؟
- ما المعادلة التي تم الحصول عليها بعد استبدال المتغيرات؟
2 معادلة
- ما نوع متعدد الحدود شاركته كلا الطرفين من المعادلة؟
- ما هو استبدال المتغيرات التي تم الحصول عليها؟
3 معادلة
- ما هي متعدد الحدود التي تحتاج إلى ضرب لتبسيط حل هذه المعادلة؟
4 معادلة
- اسم f (x) وظيفة.
- كيف تم العثور على الجذور المتبقية؟
5 معادلة
- كم عدد الثغرات التي تم الحصول عليها لحل المعادلة؟
6 معادلة
- ما هي الطرق التي يمكن حلها هذه المعادلة؟
- ما هو الحل للحل أكثر عقلانية؟
II. العمل على المجموعات هو الجزء الرئيسي من الدرس.
يتم تقسيم الفصل إلى 4 مجموعات. يتم إعطاء كل مجموعة بطاقة مع أسئلة النظرية والعملية (الملحق 3): "لتفكيك الطريقة المقترحة لحل المعادلة وشرحها على هذا المثال."
- العمل في مجموعة من 15 دقيقة.
- يتم تسجيل أمثلة على السبورة (يتم تقسيم اللوحة إلى 4 أجزاء).
- تقرير المجموعة يمر 2 إلى 3 دقائق.
- يعدل المعلم تقارير المجموعات ويساعد في صعوبة.
يستمر العمل في مجموعات على البطاقات رقم 5 - 8. بالنسبة لكل معادلة يتم إعطاء 5 دقائق للمناقشة في المجموعة. ثم المجلس هو تقرير عن هذه المعادلة - تحليل موجز للحل. يمكن حل المعادلة بعدم النهاية - يتم الانتهاء من المنزل، ولكن يتم التفاوض على تسلسل حلها في الفصل.
III. عمل مستقل.الملحق 4.
- كل طالب يتلقى مهمة فردية.
- العمل في الوقت المحدد يستغرق 20 دقيقة.
- قبل 5 دقائق من نهاية الدرس، يقدم المعلم إجابات مفتوحة لكل معادلة.
- يتغير الطلاب في دائرة من أجهزة الكمبيوتر المحمولة وتحقق من الإجابات من الرفيق. تقديرات.
- يتم تسليم أجهزة الكمبيوتر المحمولة إلى المعلم لفحص وضبط التقديرات.
IV. نتيجة الدرس.
الواجب المنزلي.
قرار المعادلات غير المكتملة. الاستعداد لمقطع التحكم.
تقدير.
عند حل المعادلات الجبرية، غالبا ما يجب أن تتحلل كثير الحدود إلى المضاعفات. ديسهيزي متعدد الحدود المضاعفات - وهذا يعني تقديمه في شكل عمل من اثنين أو العديد من متعدد الحدود. بعض طرق تحلل متعدد الحدود نستخدمها في كثير من الأحيان: إصدار عامل مشترك، واستخدام الصيغات من الضرب المختصر، تخصيص مربع كامل، تجميع. النظر في بعض الطرق.
في بعض الأحيان، عند تحليل متعدد الحدود المضاعفات، فإن العبارات التالية مفيدة:
1) إذا كان متعدد الحدود، مع معاملات عدد صحيح، له جذر عقلاني (حيث يكون جزء بسيط غير واضح، ثم طراز مجاني للعضو وتاجر معامل كبار:
2) إذا كان ذلك بطريقة ما لاختيار جذر متعدد الحدود من الدرجة، فسيتم تمثيل متعدد الحدود في النموذج الذي يكون فيه كثير الحدود
يمكن العثور على متعدد الحدود إما عن طريق تقسيم متعدد الحدود إلى الخدع من قبل "العمود" أو التجمع المقابل لمكونات متعدد الحدود والإفراج عن المضاعف أو من طريقة المعاملات غير المحددة.
مثال. تتحلل متعدد الحدود
قرار. نظرا لأن المعامل في X4 هو 1، فإن الجذور العقلانية لهذه الحدود متعددة الحدود، موجودة، هي مقسورات رقم 6، أي أعداد صحيحة ± 1، ± 2، ± 3، ± 6. تشير إلى هذا متعدد الحدود من خلال P4 (X). منذ p p4 (1) \u003d 4 و p4 (-4) \u003d 23، فإن الأرقام 1 و -1 ليست جذور متعدد الحدود (x). منذ P4 (2) \u003d 0، x \u003d 2 هو جذر p4 متعدد الحدود p4 (x)، وهذا يعني أن هذا متعدد الحدود ينقسم إلى حارس x - 2. لذلك x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x-2 X4 -2X3 X3 -3X2 + X-3
3x3 + 7x2 -5X +6
3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x
وبالتالي، P4 (x) \u003d (x - 2) (x3 - зх2 + x - 3). منذ XZ - зх2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1)، ثم x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) ( X - 3) (X2 + 1).
طريقة إدارة المعلمة
في بعض الأحيان، أثناء التحلل متعدد الحدود المضاعفات، تساعد طريقة إدخال المعلمة. يفسر جوهر هذه الطريقة في المثال التالي.
مثال. x3 - (3 + 1) x2 + 3.
قرار. ضع في اعتبارك متعدد الحدود مع المعلمة A: X3 - (A + 1) X2 + A2، والتي عند تشغيل \u003d √3 في كثير الحدود معينة. نحن نكتب متعدد الحدود كمربع Triplee بالنسبة إلى A: AG - AH2 + (X3 - X2).
نظرا لأن جذور هذه المربع مرهقة نسبيا، فهناك A1 \u003d x و A2 \u003d X2 - X، ثم المساواة A2 - AH2 + (XS - X2) \u003d (A - X2 + X) صالحة. وبالتالي، فإن متعدد الحدود X3 - (3 + 1) × 2 + 3 تتحلل على عامل 3 - x و √3 - x2 + x، I.E.
x3 - (3 + 1) x2 + 3 \u003d (x - 3) (x2-x-√3).
طريقة مقدمة جديدة غير معروفة
في بعض الحالات، من خلال استبدال التعبير f (x)، والتي يتم تضمينها في RP متعدد الحدود (X)، من خلال Y يمكن الحصول عليها من قبل متعدد الحدود بالنسبة ل Y، والتي من السهل جدا أن تتحلل بالفعل على المضاعفات. ثم، بعد استبداله في F (x)، نحصل على تحلل متعدد الحدود من متعدد الحدود RP (X).
مثال. إرسال متعدد الحدود X (X + 1) (x + 2) (x + 3) -15) (x + 3) -15.
قرار. نقوم بتحويل هذا متعدد الحدود كما يلي: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 \u003d [x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 \u003d X2 + 3X) (x2 + 3x + 2) - 15.
تشير X2 + 3X من خلال ذ. ثم لدينا (Y + 2) - 15 \u003d U2 + 2Y - 15 \u003d Y2 + 2AU + 1 - 16 \u003d (Y + 1) 2 - 16 \u003d (Y + 1 + 4) (Y + 1 - 4) \u003d ( في + 5) (ص - 3).
لذلك، x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).
مثال. تتحلل على المضاعف متعدد الحدود (X-4) 4+ (X + 2) 4
قرار. تشير إلى X- 4 + X + 2 \u003d X - 1 من خلال ذ.
(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (y - 3) 4 + (y + 3) 4 \u003d y4 - 12u3 + 54u3 - 108u + 81 + u4 + 12u3 + 54u2 + 108u + 81
2U4 + 108U2 + 162 \u003d 2 (U4 + 54U2 + 81) \u003d 2 [(UG + 27) 2 - 648] \u003d 2 (U2 + 27 - √b48) (U2 + 27 + √b48) \u003d
2 ((x - 1) 2 + 27-√b48) ((x - 1) 2 + 27 + √b48) \u003d 2 (x2-2x + 28- 18√ 2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2).
الجمع بين الأساليب المختلفة
في كثير من الأحيان، أثناء تحلل متعدد الحدود المضاعفات، من الضروري تطبيق العديد من الأساليب التي تمت مناقشتها أعلاه.
مثال. إرسال متعدد الحدود X4 - 3x2 + 4X-3.
قرار. باستخدام مجموعة تجميع، أعد كتابة كثير الحدود في النموذج X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).
التقديم على القوس الأول، وسيلة العزلة من مربع كامل، لدينا X4 - 3x3 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).
باستخدام صيغة مربع كامل، يمكنك الآن كتابة ذلك X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.
أخيرا، قم بتطبيق صيغة الفرق من المربعات، نحصل على x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 -x + 1).
§ 2. المعادلات المتماثلة
1. المعادلات المتماثلة للدرجة الثالثة
تسمى معادلات النموذج AH3 + BX2 + BX + A \u003d 0، و ≠ 0 (1) المعادلات المتماثلة للدرجة الثالثة. منذ AH3 + BX2 + BX + A \u003d A (X3 + 1) + BX (X + 1) \u003d (X + 1) (AH2 + 1) (AH2 + (B - A) X + A)، ثم المعادلة (1) تعادل مجمل المعادلات X + 1 \u003d 0 و AH2 + (B - A) X + A \u003d 0، وهذا ليس من الصعب اتخاذ قرار.
مثال 1. حل المعادلة
3X3 + 4X2 + 4X + 3 \u003d 0. (2)
قرار. المعادلة (2) هي معادلة متماثلة للدرجة الثالثة.
منذ 3 × 3 + 4xg + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - zh + 3 + 4x) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) ، المعادلة (2) تعادل مجمل المعادلات X + 1 \u003d 0 و 3 × 3 + x + 3 \u003d 0.
حل أول هذه المعادلات هو X \u003d -1، المعادلة الثانية للحلول لا تملك.
الإجابة: X \u003d -1.
2. المعادلات المتماثلة للدرجة الرابعة
عرض المعادلة
(3) يسمى المعادلة ذات الدرجة الرابعة المتماثلة.
منذ x \u003d 0 ليست أصل المعادلة (3)، ثم تقسيم كلا الطرفين من المعادلة (3) إلى X2، نحصل على معادلة، أي ما يعادل الأصلي (3):
نقوم بإعادة كتابة المعادلة (4) في النموذج:
في هذه المعادلة، سوف نحل محل، ثم نحصل على معادلة مربعة
إذا كانت المعادلة (5) تحتوي على 2 U1 و U2، فإن المعادلة الأولية تعادل مجمل المعادلات
إذا كانت المعادلة (5) جذر U0 واحد، فإن المعادلة الأولية تعادل المعادلة
أخيرا، إذا لم يكن لدى المعادلة (5) جذور، فإن المعادلة الأولية أيضا ليس لها جذور.
مثال 2. حل المعادلة
قرار. هذه المعادلة هي المعادلة المتماثلة للدرجة الرابعة. منذ x \u003d 0 ليس جذرها، ثم تقسيم المعادلة (6) إلى X2، نحصل على المعادلة المكافئة لها:
تجميع المصطلحات، أعد كتابة المعادلة (7) في النموذج أو في النموذج
وضع، نحصل على المعادلة وجود اثنين من جذور U1 \u003d 2 و U2 \u003d 3. وبالتالي، فإن المعادلة الأولية تعادل مجمل المعادلات
حل المعادلة الأولى من هذا المجمل هو X1 \u003d 1، وهناك قرار بالثاني و.
وبالتالي، فإن المعادلة الأولية لديها ثلاثة جذور: x1، x2 و x3.
الجواب: X1 \u003d 1،.
§3. المعادلات الجبرية
1. خفض درجة المعادلة
يمكن تخفيض بعض المعادلات الجبرية من خلال استبدال بعض متعدد الحدود في معادلات الجبرية، حيث تكون درجة أقل من درجة المعادلة المصدر وحلها أسهل.
مثال 1. حل المعادلة
قرار. تشير إلى ذلك، ثم يمكن للمعادلة (1) إعادة كتابة في شكل المعادلة الأخيرة له جذر وبالتالي، فإن المعادلة (1) تعادل مجمل المعادلات و. حل المعادلة الأولى من هذه المجمل هو وحلول المعادلة الثانية هي
معادلة الحلول (1)
مثال 2. حل المعادلة
قرار. ضرب كل من أجزاء المعادلة لمدة 12 وتدل
نحصل على المعادلة لإعادة كتابة هذه المعادلة في النموذج
(3) وتم تشديدها عن طريق إعادة كتابة المعادلة (3) حيث أن المعادلة الأخيرة لها جذر وبالتالي نحصل على هذه المعادلة (3) تعادل مزيج من معادلات وحل هذه المجموعة من المعادلات، وهذا هو، المعادلة (2) أي ما يعادل مجمل المعادلات (2) أربعة)
حلول المجموع (4) هي وحلول المعادلة (2).
2. عرض المعادلات
المعادلة
(5) حيث يمكن تخفيض أرقامdenny إلى معادلة من الرسوم البدنية باستخدام بديل غير معروف، أي بديل
مثال 3. حل المعادلة
قرار. تشير إلى ذلك، ر. ه. سنحل محل المتغيرات أو بعد ذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة (6) في النموذج أو تطبيق الصيغة، كما
منذ جذور معادلة مربع هناك أيضا حلول المعادلة (7) هناك حلول مقابل مزيج من المعادلات و. هذه المجاملة للمعادلات لها حلولين وبالتالي حلول المعادلة (6)
3. عرض المعادلات
المعادلة
(8) حيث تكون الأرقام α، β، γ، δ، و α مثل هذا α
مثال 4. حل المعادلة
قرار. سوف نحل محل مجهول ذلك
(y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) \u003d 10، أي في النموذج
(Y2- 4) (Y2-1) \u003d 10 (10)
معادلة BIQUITTE (10) له دوران. وبالتالي، فإن المعادلة (9) لديها أيضا جذورين:
4. عرض المعادلات
المعادلة (11)
حيث، لا يملك الجذر x \u003d 0، لذلك، يفصل المعادلة (11) إلى X2، نحصل على المعادلة المعادلة
التي، بعد استبدال المجهول، أعد كتابة شكل معادلة مربعة، حلها لا يمثل صعوبات.
مثال 5. حل المعادلة
قرار. منذ H \u003d 0 ليس جذر المعادلة (12)، ثم، يفصله إلى X2، نحصل على مكافئ ما يعادله
إجراء بديل غير معروف، نحصل على معادلة (Y + 1) (Y + 2) \u003d 2، والذي يحتوي على اثنين من جذور: Y1 \u003d 0 و Y1 \u003d -3. وبالتالي، فإن المعادلة الأولية (12) تعادل مجمل المعادلات
يحتوي هذا المزيج على جذورين: X1 \u003d -1 و X2 \u003d -2.
الإجابة: X1 \u003d -1، X2 \u003d -2.
تعليق. معادلة النوع
في أي، يمكنك دائما أن تؤدي دائما إلى الذهن (11)، وعلاوة على ذلك، عد "α\u003e 0 و λ\u003e 0 إلى النموذج.
5. عرض المعادلات
المعادلة
، (13) حيث تكون الأرقام، α، β، γ، δ، و α مثل αβ \u003d γδ ≠ 0 يمكن إعادة كتابة 0، وتحريك القوس الأول مع الثانية، والثالث مع الرابع، في شكل ذلك، أي المعادلة (13) الآن مكتوب في النموذج (11)، ويمكن إجراء قراره بنفس الطريقة مثل حل المعادلة (11).
مثال 6. حل المعادلة
قرار. المعادلة (14) لها النموذج (13)، لذلك نعيد كتابة ذلك
نظرا لأن x \u003d 0 ليس حلا لهذه المعادلة، فينفصله عن كلا الطرفين في X2، نحصل على ما يعادل المعادلة الأصلية. جعل استبدال المتغيرات، نحصل على معادلة مربعة، وحلها و. وبالتالي، فإن المعادلة الأولية (14) تعادل مجمل المعادلات و.
حل المعادلة الأولى من هذا المجمل هو
المعادلة الثانية لهذه المجموعة من الحلول لا تملك. لذلك، فإن المعادلة الأولية لها جذور X1 و X2.
6. عرض المعادلات
المعادلة
(15) عندما تكون الأرقام A، B، C، Q، A. نحصل على المعادلة المعادلة، والتي، بعد استبدال المجهول، أعد كتابة شكل معادلة مربعة، الحل الذي لا يمثل صعوبات.
مثال 7. محلول المعادلة
قرار. منذ x \u003d 0 ليس جذر المعادلة (16)، ثم، فصل كل من الجزءين منه على X2، نحصل على المعادلة
(17) معادلة مكافئة (16). إجراء بديل غير معروف، معادلة (17) لإعادة كتابة النموذج
المعادلة المربعة (18) لديها 2 جذور: U1 \u003d 1 و y2 \u003d -1. لذلك، المعادلة (17) تعادل مجمل المعادلات و (19)
مزيج من المعادلات (19) لديه 4 جذور:،.
سيكونون جذور المعادلة (16).
§four. المعادلات العقلانية
معادلات النموذج \u003d 0، حيث n (x) و q (x) هي متعدد الحدود، تسمى العقلانية.
العثور على جذور المعادلة H (x) \u003d 0، ثم تحتاج إلى التحقق من أي منها ليست جذور المعادلة Q (X) \u003d 0. هذه الجذور وفقط أنها ستحل المعادلة.
النظر في بعض الأساليب لحل معادلة النموذج \u003d 0.
1. عرض المعادلات
المعادلة
(1) في بعض الحالات، يمكن حل الأرقام على النحو التالي. تجميع أعضاء المعادلة (1) لشخصين ويلخص كل زوج، من الضروري الحصول على متعدد الحدود من الدرجة الأولى أو الصفرية في الرقم الرقمي، تختلف في العوامل العددية فقط، وفي القوامين - ثلاثة أمتار مع نفس العضدين المحتوي على X، ثم بعد الاستبدال المتغيرات الحصول على ستكون المعادلة إما أيضا النموذج (1)، ولكن مع عدد أصغر من المصطلحات، أو سيكون ما يعادل مجمل معادلتين، والتي ستكون واحدة منها هي الدرجة الأولى، والثانية ستكون معادلة النموذج (1)، ولكن مع عدد أقل من المصطلحات.
مثال. حل المعادلة
قرار. غاضب في الجزء الأيسر من المعادلة (2) أول عضو مع الأخير، والثاني مع المعادلة قبل الأخير، إعادة كتابة المعادلة (2) في شكل
تلخيص في كل شروط قوس، إعادة كتابة المعادلة (3) كما
نظرا لعدم وجود معادلة الحل (4)، ثم تقسيم هذه المعادلة، نحصل على المعادلة
(5) معادلة مكافئة (4). سنحل محل المجهول، بعد ذلك، سيتم إعادة كتابة المعادلة (5) في شكل
وبالتالي، يتم تخفيض حل المعادلة (2) مع خمس شروط في الجزء الأيسر إلى حل المعادلة (6) من نفس النوع، ولكن مع ثلاثة مصطلحات في الجانب الأيسر. تلخيص جميع الأعضاء في الجزء الأيسر من المعادلة (6)، أعد كتابة ذلك في شكل
حلول المعادلة هي أيضا. لا شيء من هذه الأرقام يرسم قاسما إلى الصفر وظيفة عقلانية في الجزء الأيسر من المعادلة (7). وبالتالي، فإن المعادلة (7) لديها هاتين الجذورين، وبالتالي فإن المعادلة الأولية (2) تعادل مجمل المعادلات
حلول المعادلة الأولى لهذا المجمل
حلول المعادلة الثانية من هذا المجمل هناك
لذلك المعادلة الأولية لها جذور
2. عرض المعادلات
المعادلة
(8) في بعض الحالات، يمكن حل الأرقام مثل هذا: من الضروري تخصيص الجزء الكامن في كل من كسور المعادلة، أي استبدال المعادلة (8)
لتقليلها إلى النموذج (1) ثم حلها بالطريقة الموضحة في الفقرة السابقة.
مثال. حل المعادلة
قرار. نحن نكتب المعادلة (9) كما أو كما
تلخيص المكونات بين قوسين، إعادة كتابة المعادلة (10)
جعل استبدال المعادلة المجهولة، إعادة كتابة (11) كما
لخص الأعضاء في الجزء الأيسر من المعادلة (12)، أعد كتابة ذلك
من السهل أن نرى أن المعادلة (13) لها جذوران: و. وبالتالي، فإن المعادلة الأولية (9) لديها أربعة جذور:
3) معادلات الأنواع.
يمكن حل معادلة النموذج (14) في ظل ظروف معينة بالأرقام مثل هذا: التحلل (إذا كان الأمر كذلك، فمن الممكن) كل من الكسور في الجزء الأيسر من المعادلة (14) في سماع أبسط الكسور
للحد من المعادلة (14) إلى النموذج (1)، ثم إجراء إعادة ترتيب مريحة لأعضاء المعادلة التي تم الحصول عليها، لحلها بالطريقة المنصوص عليها في الفقرة 1).
مثال. حل المعادلة
قرار. منذ ذلك الحين، بعد ذلك، تضاعف غلايا كل جزء في المعادلة (15) بمقدار 2 ويلاحظ أن المعادلة (15) يمكن كتابةها
المعادلة (16) لديها النموذج (7). إعادة تهيئة المكونات في هذه المعادلة، أعد كتابة ذلك في النموذج أو في النموذج
المعادلة (17) تعادل مجمل المعادلات و
لحل المعادلة الثانية للمجموعة (18)، سوف نحل محل المجهول ثم أعد كتابة النموذج أو في النموذج
تلخيص جميع الأعضاء في الجزء الأيسر من المعادلة (19)، أعد كتابة ذلك في شكل
نظرا لأن المعادلة لا تملك جذور، فإن المعادلة (20) لا تملك أيضا.
المعادلة الأولى للمجموع (18) لديها الجذر الوحيد لأن هذا الجذر مدرج في OTZ من المعادلة الثانية للمجموعة (18)، ثم الجذر الوحيد للجميع (18)، وبالتالي المعادلة الأولية وبعد
4. عرض المعادلات
المعادلة
(21) بموجب بعض الظروف في الأرقام، بعد عرض كل مصطلح في الجانب الأيسر، قد يتم تخفيضها إلى النموذج (1).
مثال. حل المعادلة
قرار. إعادة كتابة المعادلة (22) كما أو كما
وبالتالي، يتم تقليل المعادلة (23) إلى النموذج (1). الآن، تجميع العضو الأول مع الأخير، والثاني مع الثلث، أعد كتابة المعادلة (23) في شكل
هذه المعادلة تعادل مجمل المعادلات و. (24)
يمكن إعادة كتابة المعادلة الأخيرة من المجمل (24)
حلول هذه المعادلة هي، وبذلك يتم تضمينها في OTZ من المعادلة الثانية للمجموعة (30)، فإن المجموع (24) لديه ثلاثة جذور :. كلهم حلول المعادلة الأصلية.
5. معادلات الأنواع.
معادلة النموذج (25)
في بعض الحالات، يمكن تخفيض عدد المجهول إلى معادلة النوع
مثال. حل المعادلة
قرار. نظرا لأنها ليست حلا من المعادلة (26)، ثم تقسيم البسط والمقاوم لكل جزء على الجانب الأيسر، وإعادة كتابة ذلك
إجراء استبدال المتغيرات عن طريق تحويل المعادلة (27)
حل المعادلة (28) هو أيضا. لذلك، المعادلة (27) تعادل مجمل المعادلات و. (29)
"طرق لحل معادلات الدرجات العليا"
( قراءات كيسيليفيان)
الرياضيات المعلم Afanasyev L.A.
mkou verkhnekarachanskaya المدرسة
منطقة جريبانوفسكي، منطقة فورونيج
2015 العام
التعليم الرياضي الذي تم الحصول عليه في المدرسة الثانويةهو أهم عنصر تعليم عام والثقافة العامة لرجل حديث.
كتبت عالم الرياضيات الألمانية الشهيرة Kuralt: "لمدة سنتين أكثر من آلاف السنين، كانت حيازة البعض، ليست سطحية للغاية، المعرفة في مجال الرياضيات ضرورية جزء من في المخزون الفكري لكل شخص متعلم ". وبين هذه المعرفة، ليس المكان الأخير ينتمي إلى القدرة على حل المعادلات.
بالفعل في العصور القديمة، أدرك الناس مدى أهمية تعلم المعادلات الجبرية. منذ حوالي 4000 عام، امتلك العلماء اللابليون محلول المعادلة المربعة وحل أنظمة المعادلات، منها واحدة - الدرجة الثانية. بمساعدة المعادلات، تم حل مجموعة متنوعة من مهام الخطوط الأرضية والهندسة الهيكل والشؤون العسكرية، وقد تم تخفيض العديد من القضايا المتمثلة ومجموعة متنوعة من القضايا الممارسة والعلوم الطبيعية، لأن اللغة الدقيقة للرياضيات تجعل من السهل التعبير عن الحقائق و قد تبدو العلاقات التي تعينها اللغة المعتادة، مربكة ومعقدة. المعادلة هي واحدة من أهم مفاهيم الرياضيات. تطوير طرق لحل المعادلات، بدءا من أصل الرياضيات كعلوم، لوقت طويل كان الموضوع الرئيسي لدراسة الجبر. واليوم في دروس الرياضيات، بدءا من المرحلة الأولى من التعلم، حل المعادلات أنواع مختلفة إيلاء اهتمام كبير.
صيغة عالمية للعثور على الجذور معادلة جبرية ن - أنها غير موجودة. كثير، بالطبع، جاء إلى الذهن المغري التفكير في العثور على أي حد. ن. الصيغ التي من شأنها أن تعبر عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها، وهذا هو، من شأنه أن يحل المعادلة في المتطرفين. ومع ذلك، تبين أن "العصور الوسطى القاتمة" أكثر قاتمة وتبقى المهمة قيد المناقشة - لأكملها سبعة قرون من الصيغ المطلوبة لم يجد أحد! فقط في القرن السادس عشر، تمكن علماء الرياضيات الإيطالي من تقدم المزيد - البحث عن الصيغ ن. =3 و ن. =4 وبعد في الوقت نفسه، شارك Scypion Dal Ferro، طالبه فيوري وترتياليا، في القرار العام لمعادلات الصف الثالث. في عام 1545، نشر كتاب الرياضيات الإيطالية D Cardano "الفن الكبير، أو قواعد الجبر"، حيث، إلى جانب القضايا الأخرى، تعتبر الجبرية الأساليب العامة قرارات المعادلات المكعبة، وكذلك طريقة حل معادلات الدرجة الرابعة، مفتوحة من قبل طالبه L. Ferrari. أعطى البيان الكامل للقضايا المتعلقة بحل معادلات الدرجات الرابعة الثالثة، ف. فييت. وفي العشرينات من القرن التاسع عشر، أثبتت الرياضيات النرويجية N. Abel أن جذور المعادلات الخامسة والعامة للدرجات لا يمكن التعبير عنها من خلال المتطرفين.
عادة ما تكون عملية العثور على حلول المعادلة في استبدال المعادلة المكافئة. استبدال المعادلة يعادل استخدام أربع أكوام:
1. إذا كانت زيادة القيم المتساوية لكل رقم ونفس الرقم، فستكون النتائج متساوية.
2. إذا قمت بعمل نفس الرقم من القيم المتساوية، فستكون النتائج متساوية.
3. إذا تم ضرب القيم المتساوية بنفس العدد، فستكون النتائج متساوية.
4. إذا تم تقسيم القيم المتساوية إلى رقم واحد ونفس الرقم، فستكون النتائج متساوية.
منذ الجزء الأيسر من المعادلة P (x) \u003d 0 هو متعدد الحدود درجة nth.من المفيد أن نتذكر العبارات التالية:
الموافقة على جذور متعدد الحدود والمسؤولين:
1. متعدد الحدود N الدرجة لديها عدد من الجذور لا تتجاوز الرقم n، وجذور التعددية م يلتقي بالضبط م مرات.
2. الكثير من الدرجة الفردية لها جذر واحد صالح واحد على الأقل.
3. إذا كان α هو الجذر p (x)، ثم p n (x) \u003d (x - α) · Q n - 1 (x)، حيث Q N - 1 (x) هو متعدد الحدود من الدرجة (n - 1).
4. كل جذر كامل متعدد الحدود مع معاملات عدد صحيح هو مقسم عضو مجاني.
5. لا يمكن أن يكون متعدد متعدد الحدود مع المعاملات العددية جذور عقلانية كسور.
6. بالنسبة إلى كثير الحدود من الدرجة الثالثة
P 3 (x) \u003d AH 3 + BX 2 + CX + D هو ممكن واحد من اثنين: إما أن يتحلل في عمل ثلاثة حارس
p 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ)، أو تحلل في نتاج اثنين (x) \u003d a (x - α) \u003d a (x - α) (x) \u003d a (x - α)).
7. أي كثير الحدود من الدرجة الرابعة انخفضت في عمل اثنين مربع مربع.
8. ينقسم متعدد الحدود f (x) إلى متعدد الحدود g (x) دون بقايا، إذا كان هناك عدد متعدد الحدود Q (X)، والتي f (x) \u003d g (x) · q (x). لتقسيم متعدد الحدود، يتم تطبيق قاعدة "تقسيم الزاوية".
9. للحصول على انقسام متعدد الحدود P (X) على Biccoon (X - C)، فمن الضروري وكهينا بحيث مع الجذر P (X) (نتيجة لنظرية Mouture).
10. Vieta Theorem: إذا كان x 1، × 2، ...، X N - الجذور الفعلية من متعدد الحدود
p (x) \u003d 0 x n + و 1 × n - 1 + ... + a n، ثم المساواة التالية تحدث:
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0،
x 1 · × 2 + × 1 · x 3 + ... + x n - 1 · x n \u003d a 2 / a 0،
x 1 · × 2 · x 3 + ... + x n - 2 · x n - 1 · x n \u003d -a 3 / a 0،
x 1 · × 2 · x 3 · x n \u003d (-1) n a n / a 0.
حل الأمثلة
مثال 1. وبعد ابحث عن ميزان القسم P (X) \u003d x 3 + 2/3 × 2 - 1/9 ON (X - 1/3).
قرار. نتيجة للنظر، مذكرة التفاهم: "بقايا تقسيم متعدد الحدود على Biccoon (X - C) تساوي قيمة متعدد الحدود من جيم" نجد p (1/3) \u003d 0. لذلك، فإن البقايا هي 0 والرقم 1/3 هو جذر متعدد الحدود.
الجواب: ص \u003d 0.
مثال 2. وبعد انقسام "الركن" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 إلى (x + 2). العثور على الرصيد وغير المكتملة الخاصة.
قرار:
2X 3 + 3X 2 - 2x + 3 | X + 2.
2X 3 + 4X 2 2X 2 - س
× 2 - 2x
× 2 - 2x
الجواب: R \u003d 3؛ خاص: 2x 2nd.
الأساليب الأساسية لحل معادلات الدرجات العليا
1. مقدمة متغير جديد
طريقة إدخال متغير جديد هي أن حل المعادلة f (x) \u003d 0، متغير جديد (استبدال) t \u003d xn أو t \u003d g (x) يتم التعبير عنها ويتم التعبير عن (x) عن طريق T، تلقي المعادلة الجديدة ص (ر). حل المعادلة R (T)، تم العثور على الجذور: (T 1، T 2، ...، T N). بعد ذلك، مزيج من المعادلات N q (x) \u003d t 1، q (x) \u003d t 2، ...، q (x) \u003d t n، والتي تم العثور عليها جذور المعادلة المصدر.
مثال؛ (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 \u003d 0.
الحل: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 \u003d 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (× 2 + x + 1) + 3 - 1 \u003d 0.
استبدال (x 2 + x + 1) \u003d t.
t 2 - 3T + 2 \u003d 0.
t 1 \u003d 2، T 2 \u003d 1. استبدال عكسي:
x 2 + x + 1 \u003d 2 أو x 2 + x + 1 \u003d 1؛
x 2 + x - 1 \u003d 0 أو × 2 + x \u003d 0؛
من المعادلة الأولى: x 1، 2 \u003d (-1 ± √5) / 2، من الثانية: 0 و -1.
طريقة إدخال متغير جديد يجد استخدام عند حل عائدات المعادلات، أي معادلات النموذج A 0 X N + A 1 X N - 1 + 1 .. + N - 1 X + و N \u003d 0، والذي يقوم فيها معاملات أعضاء المعادلة المساواة بالتساوي متساوون.
2. التحلل على المضاعفات من خلال طريقة تجمع وصيغ الضرب المختصر
الأساس هذه الطريقة إنها تجمع المصطلحات بطريقة تحتوي كل مجموعة على مضاعف عام. لهذا، يجب تطبيق بعض التقنيات الاصطناعية في بعض الأحيان.
مثال: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 \u003d 0.
قرار. تخيل - 3x 2 \u003d -2x 2 - × 2 والمجموعات:
(× 4 - 2x 2) - (× 2 - 4x + 3) \u003d 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (× 2 - 4x + 3 + 1 - 1) \u003d 0.
(× 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 \u003d 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (× 2 - 1 + x - 2) \u003d 0.
(x 2 - x + 1) (× 2 + x - 3) \u003d 0.
x 2 - x + 1 \u003d 0 أو x 2 + x - 3 \u003d 0.
في المعادلة الأولى لا توجد جذور، من الثانية: x 1، 2 \u003d (-1 √ √13) / 2.
3. تحلل العوامل من خلال طريقة المعاملات غير المحددة
جوهر الطريقة هو أن تعصب متعدد الحدود الأولي مضاعفات مع معاملات غير معروفة. باستخدام الممتلكات التي تكون فيها كثيرية متساوية إذا كانت معاملاتهم متساوية مع نفس الدرجات، يتم العثور على معاملات تحلل غير معروفة.
مثال: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d 0.
قرار. يمكن تحليل متعدد الحدود من الدرجة الثالثة في منتج المضاعفات الخطية والمربعة.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c)،
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + bx 2 + cx - AX 2 - ABX - AC،
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) × 2 + (c - ab) x - ac.
حل النظام:
تسلم
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (× 2 + 3x + 2).
جذور المعادلة (x + 1) (x 2 + 3x + 2) \u003d 0 بسهولة.
الجواب: -1؛ -2.
4. طريقة اختيار الجذر على طول معامل كبار وخالي
تعتمد الطريقة على استخدام نظرية:
1) أي جذر كامل متعدد الحدود مع المعاملات الصحيحة هو مقسم عضو مجاني.
2) من أجل الكسر غير الواضح P / Q (P هو عدد صحيح، Q - Natural) كان جذر المعادلة مع معاملات عدد صحيح، فمن الضروري أن الرقم p هو مقسم كامل لعضو مجاني A 0، و The Q مقسمة طبيعية من المعامل الأقدم.
مثال: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 \u003d 0.
قرار:
2: p \u003d ± 1، ± 2
6: س \u003d 1، 2، 3، 6.
لذلك، P / Q \u003d ± 1، ± 2، ± 1/2، ± 1/3، ± 2/3، ± 1/6.
بعد العثور على جذر واحد، على سبيل المثال - 2، ستجد الجذور الأخرى استخدام فصل الزاوية، وسيلة المعاملات غير المحددة أو مخطط مدفعي.
الجواب: -2؛ 1/2؛ 1/3.
5. طريقة الجرافيك.
هذه الطريقة هي بناء الرسوم البيانية واستخدام خصائص الميزات.
مثال: X 5 + X - 2 \u003d 0
تخيل المعادلة في النموذج X 5 \u003d - X + 2. وظيفة Y \u003d X 5 تزداد، ويتم تنخفض وظيفة Y \u003d - X + 2. لذلك، المعادلة X 5 + X - 2 \u003d 0 لديها الجذر الوحيد -1.
6.Malculation من المعادلة إلى الوظيفة.
في بعض الأحيان يتم تسهيل حل المعادلة الجبرية بشكل كبير، إذا مضطأ كل من الجزءين منه لبعض الوظائف - متعدد الحدود من غير معروف. يجب أن نتذكر أن ظهور الجذور غير الضرورية - جذور متعدد الحدود، والتي تضاعفت من المعادلة. لذلك، من الضروري إما مضروبا من متعدد الحدود وليس له جذور، والحصول على معادلة معادلة، أو مضروبة في كثير الحدود وجود جذر، ثم يجب إثبات كل من هذه الجذور بشكل كبير بشكل كبير في المعادلة الأصلية وإثبات ما إذا كان هذا الرقم هو جذرها.
مثال. حل المعادلة:
عاشر 8 - x 6 + x 4 - x 2 + 1 \u003d 0. (1)
قرار: مضلحة كل من أجزاء المعادلة على متعدد الحدود X 2 + 1، وليس لها جذور، نحصل على المعادلة:
(x 2 +1) (x 8 - x 6 + x 4 - x 2 + 1) \u003d 0 (2)
معادلة مكافئة (1). يمكن كتابة المعادلة (2) على النحو التالي:
X 10 + 1 \u003d 0 (3)
من الواضح أن المعادلة (3) ليس لها جذور صالحة، لذلك لا تملك المعادلة (1).
إجابه: لا حلول.
بالإضافة إلى هذه الحلول لحلول أعلى الدرجات، هناك الآخر. على سبيل المثال، تخصيص مربع كامل، مخطط جبل، وجهة نظر جزء صغير في شكل اثنين من الكسور. من الأساليب العامة لحل معادلات أعلى الدرجات، والتي تستخدم في معظم الأحيان، استخدم: طريقة تحلل الجزء الأيسر من معادلة المصنع؛
طريقة استبدال متغير (طريقة إدخال متغير جديد)؛ طريقة الجرافيك. مع هذه الأساليب، نقدم الطلاب طلاب الصف 9 عند دراسة الموضوع "المعادلة بأكملها وجذورها". في كتاب الجبر 9 (المؤلفين makarychev، yu.n.، mindyuk n.g، والدكتور) حديثا تعتبر الإصدارات النظر في الأساليب الأساسية لحل معادلات أعلى الدرجات. بالإضافة إلى ذلك، في القسم "بالنسبة لأولئك الذين يرغبون في معرفة المزيد"، في رأيي، تتوفر المواد للنظرات على جذر متعدد الحدود والجذور بأكملها من المعادلة بأكملها في حل معادلات أعلى الدرجات. يشير التلاميذ المدربون تدريبا جيدا مع الفائدة هذه المادة، ثم تم حل معادلات أخذ العينات زملاء الدراسة.
تقريبا كل ما يحيط بنا يرتبط بطريقة أو بأخرى مع الرياضيات. والإنجازات في الفيزياء، فني، تكنولوجيات المعلومات تأكيد هذا فقط. وهذا مهم للغاية - يتم تقليل حل العديد من المهام العملية لحل أنواع مختلفة من المعادلات التي تحتاج إلى تعلم أن تقرر.
