الرئيسية > النباتات > كيفية تحديد أعظم وأصغر قيمة الوظيفة. أعظم وأصغر قيمة الوظيفة


كيفية تحديد أعظم وأصغر قيمة الوظيفة. أعظم وأصغر قيمة الوظيفة




في هذه المقالة، سأخبرك بكيفية تطبيق القدرة على العثور على وظائف: للعثور على أكبر قيمة أو أصغر قيمة. ثم سنحل العديد من المهام من مهمة Q15 من بنك المهام المفتوح.

كالعادة، تذكر أولا النظرية.

في بداية أي بحث، تجدها

للعثور على أكبر أو أصغر قيمة لهذه الوظيفة، تحتاج إلى استكشاف، في فترات الزيادات في الوظيفة، وفي ما ينقص.

للقيام بذلك، من الضروري إيجاد وظيفة مشتقة واستكشاف فتراتها من المحاذاة، أي الثغرات التي يوفرها المشتق علامة.

الفجوات التي تكون فيها الوظيفة المشتقة إيجابية، هي فجوات من وظيفة متزايدة.

الفجوات التي تكون فيها وظيفة المشتقة سلبية، هي فجوات من وظيفة انخفاض.

واحد . سأحل المهمة B15 (№ 245184)

لحلها، وسوف نتبع الخوارزمية:

أ) ابحث عن منطقة تعريف المجال

ب) العثور على وظيفة مشتقة.

ج) مساواة ذلك إلى الصفر.

د) نجد فترات وظائف الوظيفة.

ه) سنجد نقطة تؤديها الوظيفة إلى أقصى قيمة.

ه) نجد قيمة الوظيفة في هذه المرحلة.

أقول حل مفصل لهذه المهمة في لغة الفيديو:

ربما متصفحك غير مدعوم. لاستخدام محاكاة تمرين التمرين، حاول تنزيل
ثعلب النار.

2. سأحل المهمة B15 (№282862)

العثور على أعظم قيمة الوظيفة على قطع

من الواضح أن أعظم قيمة على القطاع تأخذ الوظيفة في أقصى نقطة في x \u003d 2. ابحث عن وظيفة الوظيفة في هذه المرحلة:

الجواب: 5.

3. سأحل المهمة B15 (№245180):

العثور على أعظم قيمة الوظيفة

1. العنوان \u003d "(! Lang: LN5\u003e 0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. لأنه على مساحة تعريف عنوان الوظيفة الأصلية \u003d "(! Lang: 4-2x-x ^ 2\u003e 0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. البسط هو الصفر في. تحقق مما إذا كانت وظائف OTZ تنتمي. للقيام بذلك، تحقق مما إذا كان الشرط هو العنوان \u003d "(! Lang: 4-2x-x ^ 2\u003e 0"> при .!}

العنوان \u003d "4-2 (-1) - ((- 1)) ^ 2\u003e 0"\u003e

وهذا يعني أن النقطة تنتمي ...

استكشاف علامة المشتقة على اليمين وإلى يسار النقطة:

نرى أن أعظم قيمة تأخذ الوظيفة عند هذه النقطة. الآن العثور على قيمة الوظيفة في:

ملاحظة 1. لاحظ أنه في هذه المشكلة لم نجد منطقة تعريف الحقل: قيمنا فقط القيود وفحص ما إذا كانت النقطة التي يساوي فيها المشتقات المساواة في مجالات تعريف وظيفة صفر. هذه المهمة كانت كافية. ومع ذلك، يحدث ذلك ليس دائما. ذلك يعتمد على المهمة.

ملاحظة 2. في دراسة سلوك وظيفة معقدة، يمكنك استخدام مثل هذه القاعدة:

  • إذا كانت الوظيفة الخارجية للوظيفة المعقدة متزايدة، فإن الوظيفة تأخذ أعلى قيمة في نفس النقطة التي تأخذ فيها الوظيفة الداخلية أعظم قيمة. يتبع ذلك من تعريف الوظيفة المتزايدة: الزيادات الوظيفة في الفاصل الزمني الأول، إذا كانت القيمة الزائدة للحجة من هذه الفجوة تتوافق مع قيمة وظيفة أكبر.
  • إذا كانت الوظيفة الخارجية للوظيفة المعقدة تنخفض، فإن الوظيفة تأخذ أعلى قيمة في نفس النقطة التي تأخذ فيها الوظيفة الداخلية أصغر قيمة وبعد يتبع ذلك من تحديد وظيفة تناقص: تنخفض الوظيفة عند الفاصل الزمني الأول، إذا كانت القيمة الزائدة للحجة من هذه الفجوة تتوافق مع القيمة الأصغر من الوظيفة

في مثالنا، الزيادات الخارجية - تزيد في جميع أنحاء منطقة التعريف. تحت علامة لوغاريتم هناك تعبير - هناك مربعة ثريها، والتي، مع معامل كبير سلبي، يأخذ أعظم قيمة عند هذه النقطة وبعد بعد ذلك، نحل محل هذه القيمة X في معادلة الوظيفة ونجد أنه أعظم قيمة.

دع الوظيفة نعم \u003df. (س) مستمر على القطاع [ أ، ب.]. كما هو معروف، تصل هذه الوظيفة في هذه القطاع إلى أعظم وأصغر القيم. ميزة القيم هذه يمكن أن تأخذ إما في النقطة الداخلية للجزء [ أ، ب.] إما على حدود القطاع.

للعثور على أعظم وأصغر قيم الوظيفة على القطاع [ أ، ب.] ضروري:

1) ابحث عن نقاط نقاط مهمة في الفاصل الزمني ( أ، ب.);

2) احسب قيم الوظيفة في النقاط الحرجة التي تم العثور عليها؛

3) احسب قيم الوظيفة في نهايات القطاع، أي متى عاشر= لكن و x \u003d ب.;

4) من جميع القيم المحسوبة لوظيفة لاختيار أكبر وأصغر.

مثال. العثور على أعظم وأصغر قيم الوظيفة

على القطاع.

نجد النقاط الحرجة:

هذه النقاط تكمن داخل القطاع؛ ذ.(1) = ‒ 3; ذ.(2) = ‒ 4; ذ.(0) = ‒ 8; ذ.(3) = 1;

عند نقطة عاشر\u003d 3 وفي هذه النقطة عاشر= 0.

التحقيق في وظيفة الانتفاخ ونقطة الانعطاف.

دور ذ. = f. (عاشر) اتصل بناء في الفاصل الزمني (أ., ب.) إذا تكمن جدولها في ظل الظل، فقد أمضيت في أي وقت من هذه الفجوة، ويسمى محدب أسفل (مقعر)إذا كان جدولها يكمن على الظل.

النقطة عند التبديل الذي يتم من خلاله استبدال الانتفاخ عن طريق الشمس أو العكس نقطة انعطاف.

خوارزمية للبحث عن انتفاخ ونقطة الانهيار:

1. ابحث عن النقاط الحاسمة من النوع الثاني، أي نقاط مشتقة ثاني صفر أو غير موجودة.

2. تطبيق النقاط الحاسمة على التوالي العددية، مما يؤدي إلى كسرها في الفجوات. ابحث عن علامة على المشتق الثاني في كل فترة فاصلة؛ إذا كانت الوظيفة محدبة، إذا كانت الوظيفة محدبة أسفل.

3. إذا كان عند التبديل من خلال النقطة الحرجة من النوع الثاني سيغير علامة وفي هذه المرحلة، فإن المشتق الثاني هو الصفر، ثم هذه النقطة هي ABSCissa من نقطة الانعكاسات. العثور على تنسيقها.

asymptotes الرسومات الرسم البياني. وظيفة البحث على المقاييس.

تعريف.وتسمى وظيفة الرسومات asymptota مستقيم، امتلاك الممتلكات التي تسعى المسافة من أي نقطة جدول لهذه التوالي إلى الصفر مع إزالة غير محدود لنقطة الجدول الزمني من الأصل.

هناك ثلاثة أنواع من الأقاليم: عمودي، أفقي ويميل.

تعريف. دعا مباشرة عمودي asimptota.الرسومات وظيفة y \u003d f (x)إذا كانت واحدة على الأقل من الحدود الانفرادية للوظيفة في هذه المرحلة ما إنفينيتي، فذلك

أين هي نقطة كسر الوظيفة، وهذا هو، ينتمي إلى منطقة التعريف.

مثال.

د ( ذ.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

عاشر\u003d 2 - نقطة الفجوة.

تعريف.مستقيم نعم \u003dأ. اتصل asymptota الأفقي الرسومات وظيفة y \u003d f (x) متى، إذا

مثال.

عاشر

ذ.

تعريف.مستقيم نعم \u003dك.x +.ب. (ك.≠ 0) يسمى يميل asymptoto. الرسومات وظيفة y \u003d f (x) في المكان

مخطط عام للبحث عن وظائف وبناء الرسوم البيانية.

خوارزمية البحث في الدالةy \u003d f (x) :

1. العثور على مجال تعريف المجال د. (ذ.).

2. البحث (إن أمكن) نقطة تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات (متى عاشر \u003d 0 و ذ. = 0).

3. استكشاف التكافؤ وغرابة الوظيفة ( ذ. (‒ عاشر) = ذ. (عاشر) ‒ التكافؤ ذ.(‒ عاشر) = ‒ ذ. (عاشر) ‒ دقة).

4. ابحث عن asymptotes من الرسومات الوظيفية.

5. ابحث عن فترات رتابة الوظيفة.

6. العثور على وظائف شديدة.

7. العثور على فترات من التحدي (Confavity) ونقاط انعطاف الرسومات لوظيفة.

8. بناء على الدراسات التي أجريت لبناء جدول وظيفة.

مثال.استكشاف الوظيفة وبناء جدولها.

1) د. (ذ.) =

عاشر \u003d 4 - نقطة الفجوة.

2) ل عاشر = 0,

(0؛ - 5) - نقطة تقاطع مع oy..

ل ذ. = 0,

3) ذ.(‒ عاشر)= وظيفة النموذج العام (لا حتى أو غريب).

4) استكشاف القصب.

أ) عمودي

ب) أفقي

ج) نجد النظارات المائلة حيث

- التقوية من الزمن المائل

5) هذه المعادلة لا تتطلب فترات مونيا وظيفة.

6)

تقسيم هذه النقاط الحرجة في مجال تحديد الوظيفة بأكملها في الفاصل الزمني (˗∞؛ ˗∞2)، (˗2؛ 4)، (4؛ 10) و (10؛ + ∞). يتم تقديم النتائج التي تم الحصول عليها بسهولة في شكل الجدول التالي.

وحلها سيتطلب الحد الأدنى من المعرفة بالموضوع. ينتهي العام الدراسي الآخر، كل شخص يريد كسر إجازة، وإحضار هذه اللحظة لإحضار هذه اللحظة، فأنا بدوره على الفور إلى القضية:

دعنا نبدأ بالمنطقة. يتم إنفاق المنطقة التي يتم إنفاقها في الحالة محدود مغلق العديد من نقاط الطائرة. على سبيل المثال، مجموعة من النقاط المحدودة من مثلث، بما في ذلك مثلث كله (إذا ل الحدود "لشراء" نقطة واحدة على الأقل، ستتوقف المنطقة أن تكون مغلقة)وبعد في الممارسة العملية، هناك أيضا مناطق أشكال مستطيلة وجولة وأكثر تعقيدا قليلا. تجدر الإشارة إلى أن هناك تعريفات صارمة في نظرية التحليل الرياضي. القيود، إغلاق، الحدود، إلخ.لكنني أعتقد أن الجميع يدركون هذه المفاهيم على مستوى بديهية، وأكثر من ذلك ولا الآن.

يتم الإشارة إلى المنطقة المسطحة بشكل أساسي من قبل الرسالة، وكعدة قاعدة، يتم تعيين تحليليا - عدة معادلات (ليس خطيا بالضرورة)؛ أقل في كثير من الأحيان عدم المساواة. دوران لفظي نموذجي: "منطقة مغلقة محدودة بخطوط".

جزء لا يتجزأ من المهمة قيد النظر هو بناء المنطقة في الرسم. كيف افعلها؟ تحتاج إلى رسم جميع الخطوط المدرجة (في هذه الحالة 3 مستقيم) وتحليل ما حدث. المساحة المطلوبة عادة ما تكون تدفع قليلا، ويتم تمييز حدودها بخط جريء:


يمكن تعيين نفس المنطقة و المتباينات الخطية: أنه لسبب ما في كثير من الأحيان الكتابة من خلال قائمة الانتقال، وليس نظام.
منذ الحدود ينتمي إلى المنطقة، إذن جميع أوجه عدم المساواة، بالطبع، neztreat..

والآن جوهر المهمة. تخيل أنه من بداية الإحداثيات، يذهب المحور مباشرة. النظر في وظيفة ذلك مستمر في كل نقطة المنطقة. الجدول الزمني لهذه الوظيفة هو بعض سطح - المظهر الخارجيوالقليل من السعادة هي أن تحل مهمة اليوم، لا نحتاج إلى معرفة كل شيء كيف يبدو هذا السطح. يمكن وضعها أعلاه، أدناه، عبور الطائرة - كل هذا ليس مهما. وما يلي: وفقا ل نظرات Weierstrass., مستمر في محدودة مغلقالمناطق الوظيفة تصل إلى أعظم ("عالي") وأصغر ("منخفض" نفسه) القيم المطلوبة للعثور عليها. يتم تحقيق هذه القيم أو في نقاط ثابتة, المناطق المملوكةد. , أوعند النقاط التي تقع على حدود هذه المنطقة. ما يلي خوارزمية حلية بسيطة وشفافة:

مثال 1.

في منطقة مغلقة محدودة

قرار: أولا وقبل كل شيء، تحتاج إلى تصوير المنطقة في الرسم. لسوء الحظ، من الصعب من الناحية الفنية أن تجعل نموذج تفاعلي للمهمة، وبالتالي سأقدم على الفور التوضيح النهائي، الذي يوضح كل النقاط "المشبوهة الموجودة أثناء الدراسة. عادة ما تكون ملصقة من جانب الآخر كما تم الكشف عنها:

بناء على الديباجة، فإن الحل مناسب لتحطيم نقطتين:

ط) العثور على نقاط ثابتة. هذا هو الإجراء القياسي الذي أجرينا مرارا وتكرارا في الدرس. حول النقيض من عدة متغيرات:

وجدت نقطة ثابتة تنتمي المناطق: (نحتفل به في الرسم)لذلك، يجب أن نحسب قيمة الوظيفة في هذه المرحلة:

- كما في المقال أعظم وأصغر قيم الوظيفة على القطاعنتائج مهمة سأبرز الخط الغامق. في الكمبيوتر المحمول أنها مريحة لدائرة قلم رصاص.

انتبه إلى سعادتنا الثانية - لا توجد نقطة في التدقيق حالة كافية من extrtumوبعد لماذا ا؟ حتى لو وصلت الوظيفة إلى وظيفة، على سبيل المثال، الحد الأدنى المحليثم لا يعني أن القيمة التي تم الحصول عليها ستكون الحد الأدنى في المنطقة كلها (انظر بداية الدرس حول extrumums غير المشروط) .

ماذا لو كانت النقطة الثابتة لا تنتمي إلى المنطقة؟ لا شيء تقريبا! تجدر الإشارة إلى أنه وانتقل إلى العنصر التالي.

(2) استكشاف حدود المنطقة.

نظرا لأن الحدود تتكون من جوانب المثلث، فإن الدراسة مريحة لتقسيمها إلى 3 فقرات فرعية. ولكن من الأفضل أن تفعل ذلك وليس أبابا. من وجهة نظري، أولا هو أكثر فائدة النظر في القطاعات الموازية للمحاور الإحداثية، وأول مرة - الكذب على المحاور نفسها. للقبض على التسلسل بالكامل والمنطق من الإجراءات تحاول معرفة النهاية "في نفس التنفس":

1) سنتعامل مع الجانب السفلي من المثلث. للقيام بذلك، سنحل محل مباشرة إلى الوظيفة:

بدلا من ذلك، يمكنك ترتيب وهكذا:

هندسي، وهذا يعني أن الطائرة الإحداثية (والتي وضعت أيضا المعادلة) "احتفل" من سطح - المظهر الخارجي "المكاني" بارابولا، الذي يقع قمة الرأس على الفور تحت الشك. اكتشف حيث تقع:

- القيمة الناتجة "ضرب" إلى المنطقة، وقد يكون ذلك في هذه النقطة (احتفل في الرسم) تصل الوظيفة إلى أعظم أو أصغر قيمة في المنطقة بأكملها. على أي حال، تنفيذ حساب:

آخر "المرشحون" هم، بالطبع، نهايات القطاع. حساب قيم الوظيفة عند النقاط (احتفل في الرسم):

هنا، بالمناسبة، يمكنك إجراء فحص مصغرة شفهية على الإصدار "المقصول":

2) لدراسة الجانب الأيمن من المثلث، نحن استبدل الوظيفة و "النظام هناك":

هنا أداء فورا فحص مسودة، "الملقب" في نهاية القطعة المعالجة بالفعل:
، نحن سوف.

يرتبط الوضع الهندسي بالبند السابق:

- القيمة الناتجة أيضا "دخلت في مجال اهتماماتنا"، مما يعني أنه من الضروري حساب ما يساوي الوظيفة في النقطة التي تظهر:

نستكشف الطرف الثاني من القطاع:

باستخدام وظيفة ، أداء التحقق من الشيكات:

3) ربما الجميع يخمين كيفية استكشاف الباقي. نحن استبدل الوظيفة وجعل التبسيط:

نهايات قطع تم التحقيق بالفعل، ولكن على المسودة لا تزال تحقق، سواء وجدنا الوظيفة بشكل صحيح :
- تزامن مع نتيجة الفقرة الفرعية الأولى؛
- تزامن مع نتيجة الفقرة الفرعية الثانية.

يبقى معرفة ما إذا كان هناك شيء مثير للاهتمام داخل القطاع:

- هناك! استبدال الخط إلى المعادلة، نحصل على تنسيق هذا "الفائدة":

نحن نسمى النقطة في الرسم والعثور على القيمة المقابلة للوظيفة:

تحقق من الحسابات على إصدار "الميزانية" :
، ترتيب.

والخطوة الأخيرة: عرض بعناية كل الأرقام "الدهون"، والتي تبدأ في التوصية حتى لتجميع قائمة واحدة:

التي نختار أعظم وأصغر المعاني. إجابه نحن نكتب بأسلوب مهمة البقاء أعظم وأصغر قيم الوظيفة على القطاع:

فقط في حالة، مرة أخرى التعليق على المعنى الهندسي للنتيجة:
- هنا هي أعلى نقطة سطح في المنطقة؛
- هنا هي أدنى نقطة من السطح في المنطقة.

في مهمة تفكيك، كشفنا بالفعل عن 7 نقاط "مشبوهة"، ولكن من مهمة المهمة، يختلف عددهم. بالنسبة للمنطقة الثلاثي، يتكون الحد الأدنى من "مجموعة البحث" من ثلاث نقاط. يحدث هذا عند الوظيفة، على سبيل المثال، يسأل طائرة - من الواضح تماما أن النقاط الثابتة غائبة، ويمكن أن تحقق الوظيفة أعظم / أصغر قيم فقط في رؤوس المثلث. ولكن هذه الأمثلة مرة واحدة، اثنان وتحول - عادة ما يجب أن تتعامل مع بعض سطح النظام الثاني.

إذا قمت بإجراء مثل هذه المهام قليلا، فماذا من المثلثات يمكن أن يرحل الرأس، وبالتالي أعددت لك أمثلة غير عادية بحيث يصبح مربعا :))

مثال 2.

العثور على أعظم وأصغر قيم الوظيفة في منطقة مغلقة خطوط محدودة

مثال 3.

ابحث عن أعظم وأصغر قيم الوظيفة في منطقة مغلقة محدودة.

إيلاء اهتمام خاص للترتيب العقلاني وتقنية دراسة حدود المنطقة، وكذلك في سلسلة الشيكات المتوسطة، والتي سيسمح تماما بتجنب أخطاء الحوسبة. بشكل عام، يمكنك حلها كما تريد، ولكن في بعض المهام، على سبيل المثال، في نفس المثال 2، هناك كل فرص لتعقد حياتك بشكل كبير. عينة مثالية من المهام الانتهاء في نهاية الدرس.

نحن منظم خوارزمية الحل، ثم مع العناية العنكبوتية، فقد ضائع بطريقة أو بأخرى في تعليقات مؤشر الترابط الطويل من المثال الأول:

- في الخطوة الأولى، نبني منطقة، فمن المستحسن أن يهزها، والحدود هي تسليط الضوء على الخط الغامق. خلال الحل، يبدو أن النقاط مثبتة في الرسم.

- ابحث عن نقاط ثابتة وحساب قيم الوظيفة فقط في تلك الخاصة بهمالتي تنتمي إلى المنطقة. يتم فصل القيم التي تم الحصول عليها في النص (على سبيل المثال، تزويد قلم رصاص). إذا كانت النقطة الثابتة لا تنتمي إلى المنطقة، فنحن نحتفل بهذه الحقيقة شارة أو لفظيا. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة على الإطلاق، فستصدر استنتاج مكتوب بأنهم مفقودون. في أي حال، لا يمكن تخطي هذا العنصر!

- استكشاف حدود المنطقة. أولا، من المفيد التعامل مع مباشرة، وهي موازية لمحلات الإحداثيات (إذا كان هناك أي)وبعد أيضا قيم الوظيفة المحسوبة في النقاط "المشبوهة" تخصيص أيضا. حول تقنية الحلول قد أخبرنا عن ذلك كثيرا، وسيتم قول شيء آخر أدناه - اقرأ، إعادة قراءة، دخوله!

- من الأرقام المحددة، اختر أكبر وأصغر القيم وإعطاء الإجابة. في بعض الأحيان يحدث ذلك أن ميزة هذه القيم تصل مرة واحدة في عدة نقاط - في هذه الحالة، يجب أن تنعكس كل هذه النقاط في الاستجابة. اسمحوا، على سبيل المثال، وإطفاء أن هذا هو أصغر معنى. ثم اكتب ذلك

يتم تخصيص الأمثلة النهائية للأفكار المفيدة الأخرى التي ستكون مفيدة في الممارسة:

مثال 4.

ابحث عن أعظم وأصغر قيم الوظيفة في منطقة مغلقة .

احتفظت برياغة حقوق الطبع والنشر التي يتم فيها طرح المنطقة في شكل عدم المساواة المزدوجة. يمكن تسجيل هذا الشرط بواسطة نظام مكافئ أو في شكل أكثر تقليدية لهذه المهمة:

أذكرك بذلك غير الخطية عدم المساواة التي واجهناها، وإذا كنت لا تفهم المعنى الهندسي للسجل، فالرجاء عدم تأجيل وتوضيح الموقف الآن ؛-)

قراركما هو الحال دائما، يبدأ بناء المنطقة، وهو نوع من "الوحيد":

هم، في بعض الأحيان يكون لديك أن يعجب فقط علم الجرانيت فقط ....

ط) العثور على نقاط ثابتة:

نظام أحلام الأبله :)

تنتمي النقطة الثابتة إلى المنطقة، وهي تقع على حدودها.

وهكذا، لا شيء ... ذهب الدرس للذهاب - هذا ما يعنيه شرب الشاي المناسب \u003d)

(2) استكشاف حدود المنطقة. بدون Caustav، نبدأ بمحور ABSCISSA:

1) إذا، إذن

سنجد أين الجزء العلوي من Parabola:
- نقدر مثل هذه اللحظات - "حصلت" مباشرة على النقطة التي يكون كل شيء واضح بالفعل. لكنك لا تزال لا تنسى التحقق من ذلك:

نحسب قيم الوظيفة في نهايات القطاع:

2) مع قاع "باطن" سوف يفهم "لجلسة واحدة" - دون أي مجمعات نحن بديلا بالعمل، ونحن سوف نهم فقط في القطاع:

يتحكم:

هذا يساهم بالفعل في بعض الإحياء في رحلة رتابة في الروت المدلفن. العثور على النقاط الحرجة:

يقرر معادلة من الدرجة الثانية، تذكر مثل هذه؟ ... ومع ذلك، تذكر، بالطبع، وإلا فلن يقرأ هذه الخطوط \u003d) إذا كانت في الأمثلة السابقة، كانت هناك حسابات مريحة في الكسور العشرية (والتي، بالمناسبة، النادرة)، هنا سننتظر المعتاد الكسور العادية. نجد جذور "ICX" والمعادلة، نحدد الإحداثيات "الجاهزة" المقابلة للنقاط "المرشحين":


احسب وظائف الوظيفة في النقاط التي تم العثور عليها:

حدد وظيفة نفسك.

الآن دراسة بعناية الجوائز والكتابة إجابه:

هذه هي "المرشحون"، لذلك "المرشحون"!

للحلول الذاتية:

مثال 5.

العثور على أصغر وأكبر قيم الوظيفة في منطقة مغلقة

يتم قراءة التسجيل مع الأقواس المعتمدة مثل هذا: "العديد من النقاط، مثل".

في بعض الأحيان في مثل هذه الأمثلة طريقة مضاعف Lagrangeلكن الحاجة الحقيقية لتطبيقها من غير المرجح أن تنشأ. على سبيل المثال، إذا تم تقديم وظيفة بنفس المنطقة "DE"، فبعد الاستبدال فيها - مع مشتق لأي صعوبات؛ ويتم وضعها مع "سطر واحد" (مع علامات) دون الحاجة إلى النظر في القوس العلوي والسفلي بشكل منفصل. ولكن، بالطبع، هناك حالات أكثر صعوبة حيث بدون وظيفة Lagrange (أين، على سبيل المثال، نفس معادلة المحيط) من الصعب القيام به بدونها - مدى صعوبة القيام به دون راحة جيدة!

الجميع على ما يرام لتمرير الجلسة إلى الاجتماعات قريبا الموسم المقبل!

الحلول والأجوبة:

مثال 2: قرار: عرض المنطقة في الرسم:

دعونا نرى كيفية استكشاف الوظيفة باستخدام الرسم البياني. اتضح أنه بحثت في الجدول الزمني، يمكنك معرفة كل ما يهمنا، أي:

  • منطقة تعريف وظيفة
  • وظيفة القيم الوظيفة
  • وظيفة صفر
  • الفجوات من زيادة وتنازل
  • الحد الأقصى والحد الأدنى للنقاط
  • أعظم وأصغر قيمة من الوظيفة على القطاع.

توضيح المصطلحات:

الإحداثي السيني - هذا هو تنسيق النقطة الأفقية.
تنسيق - تنسيق عمودي.
محور abscissa. - المحور الأفقي، غالبا ما يسمى المحور.
يمين المحور - محور عمودي، أو محور.

جدال - متغير مستقل الذي تعتمد فيه قيم الوظيفة. غالبا ما يشار إلى ذلك.
بمعنى آخر، نختارنا أنفسنا، استبدل الوظيفة في الصيغة والحصول عليها.

اختصاص الوظائف هي مجموعة من تلك (وفقط تلك) لقيم الوسيطة، والتي توجد فيها الوظيفة.
المعينة: أو.

في شكلنا، منطقة تعريف المجال هي شريحة. إنه في هذا القطاع أنه يتم رسم وظيفة. هنا فقط هنا هذه الوظيفة موجودة.

وظيفة القيم الوظيفة - هذه مجموعة من القيم التي تأخذ المتغير. في الشكل الخاص بنا، فهي جزء - من الأدنى إلى أعلى قيمة.

وظيفة صفر - نقاط حيث قيمة الوظيفة صفر، وهذا هو. على الرسم لدينا هو النقاط و.

قيم الوظيفة إيجابية أين . في الرسم لدينا، هذه الفجوات و.
قيم الوظيفة سلبية أين . لدينا هذه الفجوة (أو الفاصل) من إلى.

أهم المفاهيم - تصاعدي وانخفاض وظيفة في بعض المجموعة. يمكنك التقاط شريحة أو فاصل زمني أو تكامل الفجوات أو المباشرة العددية بأكملها.

دور يزيد

وبعبارة أخرى، كلما زاد عددهم، كلما كان الجدول هو اليمين والأحدث.

دور تخفيض على المجموعة، إذا لأي ومملوكة من قبل المجموعة، فإن عدم المساواة يتبع عدم المساواة.

للحصول على وظيفة تناقص، تتوافق قيمة أكبر مع قيمة أصغر. الجدول الزمني يذهب إلى اليمين والأسفل.

في شكلنا، تزداد الوظيفة على الفاصل الزمني وينخفض \u200b\u200bعلى فترات و.

نحن نحدد ما أقصى نقطة ودنيا الوظيفة.

أقصى نقطة - هذه هي النقطة الداخلية لمنطقة التعريف، بحيث تكون قيمة الوظيفة أكبر من كل النقاط بالقرب منها.
وبعبارة أخرى، فإن الحد الأقصى للنقطة هي هذه النقطة، وقيمة الوظيفة التي أكثرمن في المجاور. هذا هو "هولميك" محلي على الرسم البياني.

في الرسم لدينا - نقطة الحد الأقصى.

نقطة الحد الأدنى - النقطة الداخلية لمنطقة التعريف، بحيث تكون قيمة الوظيفة فيها أقل من كل النقاط المقريبة منه.
وهذا هو، نقطة الحد الأدنى هي أن قيمة الوظيفة فيها أقل مما كانت عليه في المجاور. في الجدول الزمني هو "فوسا" محلي.

في الرسم لدينا - الحد الأدنى من النقطة.

النقطة هي حدود. إنها ليست نقطة داخلية من منطقة التعريف وبالتالي لا تناسب تعريف نقطة قصوى. بعد كل شيء، ليس لديها جيران على اليسار. وبالمثل، في جدولنا لا يمكن أن يكون هناك أي نقطة من الحد الأدنى.

تسمى النقاط القصوى والحد الأدنى نقاط وظيفة المتطرفةوبعد في حالتنا، هو كذلك.

وماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى العثور عليها، على سبيل المثال، الدالة الدنيا على القطاع؟ في هذه الحالة، الجواب :. لأن الدالة الدنيا - هذه هي قيمتها في الحد الأدنى من النقطة.

وبالمثل، فإن الحد الأقصى لوظائفنا متساوية. يتم تحقيقه عند هذه النقطة.

يمكن القول أن أقصى درجات الوظيفة متساوية و.

في بعض الأحيان في المهام تحتاج إلى العثور عليها أعظم وأصغر قيم الوظيفة على شريحة معينة. أنها لا تتزامن بالضرورة مع التطرف.

في حالتنا هذه أصغر معنى الوظيفة على القطاع يساوي ويتزامن مع الحد الأدنى من الوظيفة. لكن أعظم قيمة له في هذا القطاع متساو. يتم تحقيقه في الطرف الأيسر من القطاع.

على أي حال، يتم تحقيق أكبر وأصغر قيم الوظيفة المستمرة على القطاع إما في نقاط التطويل، أو في نهايات القطاع.


بيان المشكلة 2:

دانا وظيفة، المعرفة والمستمرة في بعض الفاصل الزمني. مطلوب للعثور على أكبر قيمة (أصغر) الوظيفة في هذا الفاصل.

اساس نظرى.
نظرية (نظرية Weierstrass الثانية):

إذا كانت الدالة مصممة ومستمرة في فجوة مغلقة، فإنها تصل إلى أكبر وأصغر قيمها.

يمكن أن تصل الوظيفة إلى أكبر وقيمها وأصغرها أو في النقاط الداخلية للفجوة، أو على حدودها. سوف نوضح كل الخيارات الممكنة.

تفسير:
1) تصل الوظيفة إلى أعظم قيمتها على الحدود اليسرى للفجوة عند هذه النقطة، وأصغر قيمة لها على الحدود اليمنى للفجوة عند هذه النقطة.
2) تصل الوظيفة إلى أعلى قيمة لها عند النقطة (هذه نقطة قصوى)، وأصغر قيمة لها على الحدود الأيمن للفجوة عند هذه النقطة.
3) تصل الوظيفة إلى أعلى قيمة لها على الحدود اليسرى للفجوة عند هذه النقطة، وأصغر قيمة لها عند النقطة (هذه نقطة دنيا).
4) وظيفة ثابتة في الفاصل، أي يصل إلى الحد الأدنى والقيمة القصوى في أي نقطة من الفجوة، والحد الأدنى والقيم القصوى تساوي بعضها البعض.
5) تصل الوظيفة إلى أعلى قيمة لها عند النقطة، وأصغر قيمة نقطة (على الرغم من حقيقة أن الوظيفة لها في هذه الفجوة كحد أقصى وعلى الأقل).
6) توصل الوظيفة إلى أعلى قيمة لها عند النقطة (هذه نقطة قصوى)، وأصغر قيمة لها عند النقطة (هذه نقطة دنيا).
تعليق:

"الحد الأقصى" و "الحد الأقصى للمعنى" - أشياء مختلفة. يتبع ذلك من تحديد الفهم الأقصى والحدائي عبارة "الحد الأقصى للمعنى".

خوارزمية لحل المشاكل 2.



4) اختر من بين معظم قيم أكبر (أصغر) واكتب الإجابة.

مثال 4:

تحديد أعظم وأصغر وظيفة على القطاع.
قرار:
1) العثور على وظيفة مشتقة.

2) ابحث عن نقاط ثابتة (ونقاط، مشبوهة إلى ExtrTum)، وحل المعادلة. الانتباه إلى النقاط التي لا يوجد مشتق محدود على الوجهين.

3) احسب قيم الوظيفة في نقاط ثابتة وعلى حدود الفاصل الزمني.



4) اختر من بين معظم قيم أكبر (أصغر) واكتب الإجابة.

تصل الوظيفة الموجودة في هذا الجزء إلى أعلى قيمة لها عند النقطة مع الإحداثيات.

يصل الوظيفة الموجودة في هذا الجزء إلى أصغر قيمة لها عند النقطة مع الإحداثيات.

في صحة الحسابات، يمكنك التأكد من إلقاء نظرة على جدول الوظيفة قيد الدراسة.


تعليق: تعد أكبر قيمة تصل إلى الحد الأقصى عند النقطة، وأصغرها على الحدود القصيرة.

حالة خاصة.

افترض أنك بحاجة إلى العثور على القيمة الأكثر ودنيا لبعض الوظائف على القطاع. بعد النقطة الأولى من الخوارزمية، أي يصبح حساب المشتق واضحا، على سبيل المثال، لا يستغرق الأمر فقط القيم السلبية على الجزء بأكمله قيد النظر. تذكر أنه إذا كان المشتق سلبي، فإن الوظيفة تنخفض. تلقى أن الوظيفة تنخفض في الجزء بأكملها. يتم عرض هذا الموقف في الرسم البياني رقم 1 في بداية المقالة.

على القطاع، تنخفض الوظيفة، أي ليس لديها أقصى درجات. من الصورة، يمكنك أن ترى أن أصغر قيمة للوظيفة ستتولى الحدود الأيمن للجزء، وأعظم قيمة على اليسار. إذا كان المشتق على القطاع إيجابيا في كل مكان، فإن الوظيفة تزيد. أصغر معنى هو على الحدود اليسرى للجزء، أعظم - على اليمين.