Main. > Cây > Làm thế nào để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng


Làm thế nào để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng




Trong bài viết này, tôi sẽ cho bạn biết cách áp dụng khả năng tìm chức năng: để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Và sau đó chúng tôi sẽ giải quyết một số nhiệm vụ từ nhiệm vụ Q15 từ ngân hàng mở của các nhiệm vụ.

Như thường lệ, đầu tiên hãy nhớ lý thuyết.

Khi bắt đầu bất kỳ nghiên cứu, bạn tìm thấy nó

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của chức năng, bạn cần khám phá, tại giai đoạn nào chức năng tăng lên và trong những gì giảm.

Để thực hiện việc này, cần tìm một chức năng phái sinh và khám phá các khoảng thời gian của sự căn chỉnh, nghĩa là các khoảng trống mà phái sinh lưu một dấu hiệu.

Các khoảng trống mà chức năng phái sinh tích cực, là những khoảng trống của chức năng tăng dần.

Các khoảng trống mà chức năng phái sinh là âm, là khoảng trống của chức năng giảm.

một . Tôi sẽ giải quyết nhiệm vụ B15 (№ 245184)

Để giải quyết nó, chúng ta sẽ làm theo thuật toán:

a) Tìm khu vực định nghĩa trường

b) tìm một hàm phái sinh.

c) đánh đồng về số không.

d) Chúng tôi tìm thấy các khoảng thời gian của các hàm của hàm.

e) Chúng tôi sẽ tìm thấy một điểm trong đó chức năng có giá trị lớn nhất.

e) Chúng tôi tìm thấy giá trị của hàm tại thời điểm này.

Tôi nói một giải pháp chi tiết cho tác vụ này trong ngôn ngữ video:

Có lẽ trình duyệt của bạn không được hỗ trợ. Để sử dụng trình giả lập Sách nhỏ hơn, hãy thử tải xuống
Firefox.

2. Tôi sẽ giải quyết nhiệm vụ B15 (№282862)

Tìm giá trị lớn nhất của chức năng TRÊN CẮT.

Rõ ràng, giá trị lớn nhất trên phân khúc chức năng mất ở điểm tối đa ở x \u003d 2. Tìm chức năng của hàm tại thời điểm này:

Trả lời: 5.

3. Tôi sẽ giải quyết nhiệm vụ B15 (№245180):

Tìm giá trị lớn nhất của chức năng

1. Tiêu đề \u003d "(! Lang: LN5\u003e 0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Bởi vì trên khu vực định nghĩa của chức năng gốc tiêu đề \u003d "(! Lang: 4-2x-x ^ 2\u003e 0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Tệ tử bằng không tại. Kiểm tra nếu chức năng OTZ thuộc về. Để làm điều này, hãy kiểm tra xem điều kiện có phải là tiêu đề \u003d "(! Lang: 4-2x-x ^ 2\u003e 0"> при .!}

Tiêu đề \u003d "4-2 (-1) - ((1)) ^ 2\u003e 0"\u003e

nó có nghĩa là điểm thuộc về ...

Khám phá dấu hiệu của đạo hàm ở bên phải và bên trái của điểm:

Chúng ta thấy rằng giá trị lớn nhất đưa chức năng tại điểm. Bây giờ tìm thấy giá trị của hàm tại:

LƯU Ý 1. Lưu ý rằng trong vấn đề này, chúng tôi không tìm thấy khu vực định nghĩa trường: chúng tôi chỉ sửa các giới hạn và kiểm tra xem điểm có đạo hàm không bằng với các khu vực định nghĩa hàm bằng không. Nhiệm vụ này là đủ. Tuy nhiên, nó xảy ra không phải lúc nào cũng vậy. Nó phụ thuộc vào nhiệm vụ.

Lưu ý 2. Trong nghiên cứu về hành vi của một chức năng phức tạp, bạn có thể sử dụng quy tắc như vậy:

  • nếu chức năng bên ngoài của hàm phức tạp đang tăng lên, hàm lấy giá trị cao nhất tại cùng một điểm trong đó hàm bên trong có giá trị lớn nhất. Điều này tuân theo từ định nghĩa của hàm tăng: chức năng tăng theo khoảng thời gian i, nếu giá trị lớn hơn của đối số từ GAP này tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.
  • nếu chức năng bên ngoài của hàm phức tạp đang giảm, thì hàm lấy giá trị cao nhất tại cùng một điểm trong đó hàm bên trong có giá trị nhỏ nhất . Điều này tuân theo từ việc xác định hàm giảm: chức năng giảm theo khoảng thời gian i, nếu giá trị lớn hơn của đối số từ GAP này tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm

Trong ví dụ của chúng tôi, chức năng bên ngoài - tăng trong toàn bộ khu vực định nghĩa. Dưới dấu hiệu của logarit, có một biểu thức - một hình vuông threestyle, với hệ số cấp cao âm, có giá trị lớn nhất tại điểm . Tiếp theo, chúng tôi thay thế giá trị này x vào phương trình chức năng Và chúng tôi thấy nó là giá trị lớn nhất.

Hãy để chức năng y \u003d.như nhau (x) liên tục trên phân khúc [ a, B.]. Như đã biết, chức năng này trên phân khúc này đạt đến các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Các tính năng giá trị này có thể có trong điểm bên trong của phân đoạn [ a, B.], hoặc trên biên giới của phân khúc.

Để tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên phân đoạn [ a, B.] Cần thiết:

1) Tìm các điểm quan trọng trong khoảng ( a, B.);

2) Tính giá trị của hàm trong các điểm quan trọng được tìm thấy;

3) Tính giá trị của hàm ở đầu phân đoạn, đó là khi x.= nhưng và x \u003d. B.;

4) Từ tất cả các giá trị được tính toán của hàm để chọn lớn nhất và nhỏ nhất.

Thí dụ. Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng

trên phân khúc.

Chúng tôi tìm thấy những điểm quan trọng:

Những điểm này nằm bên trong phân khúc; y.(1) = ‒ 3; y.(2) = ‒ 4; y.(0) = ‒ 8; y.(3) = 1;

Ở điểm x.\u003d 3 và tại điểm x.= 0.

Điều tra chức năng để phồng và điểm uốn.

Chức năng y. = như nhau (x.) gọi là xây dựng Tại khoảng thời gian (a., b.) Nếu lịch trình của nó nằm dưới tiếp tuyến, đã dành bất cứ lúc nào về khoảng cách này, và được gọi là lồi xuống (lõm)Nếu lịch trình của nó nằm trên một tiếp tuyến.

Điểm khi chuyển đổi qua đó phình ra được thay thế bằng bê tông hoặc ngược lại, được gọi là Điểm uốn.

Một thuật toán để nghiên cứu về điểm phình và điểm uốn:

1. Tìm các điểm quan trọng của loại thứ hai, nghĩa là, điểm trong đó phái sinh thứ hai bằng 0 hoặc không tồn tại.

2. Áp dụng các điểm quan trọng vào số liên tiếp, phá vỡ nó vào các khoảng trống. Tìm một dấu hiệu của đạo hàm thứ hai ở mỗi khoảng; Nếu, chức năng được lồi lên, nếu, hàm được lồi xuống.

3. Nếu khi chuyển qua điểm quan trọng của loại thứ hai sẽ thay đổi dấu hiệu và tại thời điểm này, đạo hàm thứ hai bằng 0, thì điểm này là abscissa của điểm uốn. Tìm anh ta.

Đồ họa biểu đồ tiệm cận. Chức năng nghiên cứu về tiệm trị tiệm.

Định nghĩa.Chức năng đồ họa Asymptota được gọi là thẳng, Có tài sản mà khoảng cách từ bất kỳ điểm nào theo lịch trình thẳng này đang phấn đấu cho 0 với sự loại bỏ không giới hạn điểm của lịch trình từ nguồn gốc.

Có ba loại tiệm cận: dọc, ngang và nghiêng.

Định nghĩa. Trực tiếp gọi. dọc so với asimptota.Đồ họa chức năng. y \u003d f (x)Nếu ít nhất một trong những giới hạn đơn phương của hàm tại thời điểm này là vô cực, đó là

Đâu là điểm phá vỡ chức năng, nghĩa là, thuộc về khu vực định nghĩa.

Thí dụ.

D ( y.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x.\u003d 2 - điểm khoảng cách.

Định nghĩa.Thẳng y \u003d.A. gọi là asymptota ngang Đồ họa chức năng. y \u003d f (x) Khi nào, nếu

Thí dụ.

x.

y.

Định nghĩa.Thẳng y \u003d.k.x +.b. (k.≠ 0) được gọi là bị nghiêng Asympto. Đồ họa chức năng. y \u003d f (x) ở đâu

Đề án chung để nghiên cứu chức năng và đồ thị xây dựng.

Thuật toán nghiên cứu chức năngy \u003d f (x) :

1. Tìm khu vực định nghĩa trường D. (y.).

2. Tìm (nếu có thể) điểm giao nhau của biểu đồ với các trục tọa độ (khi x. \u003d 0 và. y. = 0).

3. Khám phá sự chẵn lẻ và kỳ lạ của chức năng ( y. (‒ x.) = y. (x.) ‒ ngang bằng; y.(‒ x.) = ‒ y. (x.) ‒ sự chính xác).

4. Tìm tiệm cận của đồ họa chức năng.

5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm.

6. Tìm chức năng cực đoan.

7. Tìm khoảng thời gian lồi (lõm) và các điểm uốn của đồ họa của hàm.

8. Dựa trên các nghiên cứu được thực hiện để xây dựng một lịch trình chức năng.

Thí dụ.Khám phá chức năng và xây dựng lịch trình của nó.

1) D. (y.) =

x. \u003d 4 - Điểm Gap.

2) cho x. = 0,

(0; - 5) - Điểm giao nhau với oy..

Cho y. = 0,

3) y.(‒ x.)= Chức năng của hình thức chung (thậm chí hoặc lẻ).

4) Khám phá tiệm cận.

a) dọc.

b) ngang.

c) Chúng tôi tìm thấy các tiệm cận nghiêng nơi

-Quữ của tiệm cận nghiêng

5) Phương trình này không yêu cầu khoảng cách đơn điệu chức năng.

6)

Những điểm quan trọng này phân chia toàn bộ trường xác định chức năng ở khoảng thời gian (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) và (10; + ∞). Các kết quả thu được được gửi thuận tiện dưới dạng bảng sau.

Và để giải quyết nó sẽ đòi hỏi kiến \u200b\u200bthức tối thiểu về chủ đề. Một năm học khác kết thúc, mọi người đều muốn nghỉ hè, và mang đến khoảnh khắc này để mang lại thời điểm này, tôi ngay lập tức chuyển sang vụ án:

Hãy bắt đầu với khu vực. Khu vực được dành trong điều kiện là giới hạn Đóng cửa Nhiều điểm của máy bay. Ví dụ, một tập hợp các điểm giới hạn bởi một hình tam giác, bao gồm cả tam giác (nếu bởi vì biên giới "Để mua" ít nhất một điểm, khu vực sẽ chấm dứt đóng cửa). Trong thực tế, cũng có các khu vực của hình dạng hình chữ nhật, tròn và phức tạp hơn một chút. Cần lưu ý rằng có các định nghĩa nghiêm ngặt trong lý thuyết phân tích toán học. hạn chế, chặt chẽ, biên giới, v.v.Nhưng tôi nghĩ tất cả mọi người đều biết về những khái niệm này ở một mức độ trực quan, và nhiều hơn nữa thì không.

Vùng phẳng được ký hiệu tiêu chuẩn bởi chữ cái, và, như một quy luật, được đặt phân tích một cách phân tích - một số phương trình (không nhất thiết phải tuyến tính)Được; ít bất bình đẳng ít thường xuyên hơn. Doanh thu bằng lời nói điển hình: "Đóng khu vực giới hạn bởi các dòng."

Một phần không thể thiếu trong nhiệm vụ đang xem xét là xây dựng khu vực trong bản vẽ. Làm thế nào để làm nó? Bạn cần vẽ tất cả các dòng được liệt kê (trong trường hợp này 3 thẳng) Và phân tích những gì đã xảy ra. Khu vực mong muốn thường hơi vuốt ve, và viền của nó được phân biệt bởi một dòng táo bạo:


Cùng một khu vực có thể được đặt và bất đẳng thức tuyến tính: Điều đó vì một số lý do thường xuyên viết xuống bởi danh sách chuyển tiếp, và không hệ thống..
Kể từ biên giới thuộc về khu vực, thì tất nhiên tất cả các bất đẳng thức, tất nhiên, neztreat..

Và bây giờ là bản chất của nhiệm vụ. Hãy tưởng tượng rằng từ đầu tọa độ, trục đi trực tiếp. Xem xét một chức năng mà tiếp diễn trong mỗi Điểm của khu vực. Lịch trình của chức năng này là một số bề mặtVà hạnh phúc nhỏ là để giải quyết nhiệm vụ hôm nay, chúng ta không cần biết bề ngoài này trông như thế nào. Nó có thể được đặt ở trên, bên dưới, băng qua mặt phẳng - tất cả điều này không quan trọng. Và sau đây là: theo Định lý Weierstrass., tiếp diễn trong hạn chế đóng cửa.khu vực chức năng đạt đến lớn nhất ("Cao") và nhỏ nhất ("Thấp" bản thân) Các giá trị cần thiết để tìm. Các giá trị như vậy đạt được hoặc là trong Điểm cố định, khu vực sở hữuD. , hoặc làtại các điểm nằm trên biên giới của khu vực này. Những gì sau một thuật toán giải pháp đơn giản và trong suốt:

Ví dụ 1.

Trong một khu vực kín hạn chế

Phán quyết: Trước hết, bạn cần miêu tả khu vực trong bản vẽ. Thật không may, kỹ thuật là khó khăn về mặt kỹ thuật để tôi tạo ra một mô hình tương tác của nhiệm vụ, và do đó tôi sẽ ngay lập tức đưa ra minh họa cuối cùng, điều này cho thấy tất cả các điểm "đáng ngờ" được tìm thấy trong quá trình nghiên cứu. Thông thường chúng được gắn một bởi người khác vì chúng được phát hiện:

Dựa trên lời mở đầu, giải pháp thuận tiện để đập vỡ hai điểm:

I) tìm điểm cố định. Đây là hành động tiêu chuẩn mà chúng tôi đã nhiều lần thực hiện tại bài học. về cực đoan của một số biến:

Tìm thấy điểm cố định thuộc về Khu vực: (Chúng tôi kỷ niệm nó trong bản vẽ)Vì vậy, chúng ta nên tính giá trị của hàm tại thời điểm này:

- như trong bài viết Các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên phân khúcKết quả quan trọng tôi sẽ làm nổi bật phông chữ đậm. Trong sổ ghi chép, chúng thuận tiện để khoanh tròn một cây bút chì.

Chú ý đến hạnh phúc thứ hai của chúng ta - không có điểm nào trong việc kiểm tra một điều kiện đủ của extrim. Tại sao? Ngay cả khi hàm đạt đến một hàm, ví dụ: tối thiểu địa phươngsau đó nó không có nghĩa là giá trị thu được sẽ là tối thiểu Trong toàn bộ khu vực (Xem phần đầu của bài học về cực kỳ vô điều kiện) .

Điều gì xảy ra nếu điểm cố định không thuộc về khu vực? Hầu như không có gì! Cần lưu ý rằng và đi đến mục tiếp theo.

(Ii) Khám phá biên giới của khu vực.

Kể từ khi biên giới bao gồm các cạnh của tam giác, thì nghiên cứu là thuận tiện để chia thành 3 đoạn. Nhưng tốt hơn là làm điều đó không phải Ababa như thế nào. Từ quan điểm của tôi, trước tiên, nó có lợi hơn để xem xét các phân khúc song song với các trục tọa độ và trước hết - nằm trên các rìu. Để nắm bắt toàn bộ trình tự và logic của các hành động hãy cố gắng tìm hiểu kết thúc "trong một hơi thở":

1) Chúng tôi sẽ đối phó với phía dưới của tam giác. Để làm điều này, chúng tôi sẽ thay thế trực tiếp vào chức năng:

Ngoài ra, bạn có thể sắp xếp và vì vậy:

Về mặt địa hình, điều này có nghĩa là mặt phẳng tọa độ (cũng được đặt bởi phương trình) "Carves" từ bề mặt "Spatial" parabola, có đỉnh ngay lập tức rơi vào nghi ngờ. Tìm ra nơi cô ấy nằm:

- giá trị kết quả là "hit" đến khu vực, và cũng có thể là tại điểm (Kỷ niệm trong bản vẽ) Chức năng đạt đến giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong toàn bộ khu vực. Dù sao, thực hiện tính toán:

Những ứng cử viên khác khác, tất nhiên, kết thúc của phân khúc. Tính giá trị của hàm tại các điểm (Kỷ niệm trong bản vẽ):

Nhân tiện, bạn có thể thực hiện kiểm tra mini bằng miệng trên phiên bản "cắt tỉa":

2) Đối với nghiên cứu về phía bên phải của tam giác, chúng tôi thay thế chức năng và "đặt hàng ở đó":

Ở đây ngay lập tức thực hiện kiểm tra dự thảo, "Biệt danh" Sự kết thúc của phân khúc đã được xử lý:
, tốt.

Tình hình hình học có liên quan đến mục trước:

- Giá trị kết quả cũng "đi vào phạm vi sở thích của chúng tôi", điều đó có nghĩa là cần phải tính toán những gì bằng với chức năng trong điểm xuất hiện:

Chúng tôi khám phá kết thúc thứ hai của phân khúc:

Sử dụng một hàm. , Thực hiện kiểm tra kiểm tra:

3) Có lẽ tất cả mọi người là đoán làm thế nào để khám phá phần còn lại. Chúng tôi thay thế chức năng và đơn giản hóa:

Kết thúc của cắt đã được điều tra, nhưng trên dự thảo vẫn kiểm tra, cho dù chúng ta đã tìm thấy chức năng một cách chính xác :
- trùng hợp với kết quả của đoạn 1;
- trùng hợp với kết quả của đoạn thứ 2.

Nó vẫn còn để tìm hiểu nếu có một cái gì đó thú vị bên trong phân khúc:

- có! Thay thế dòng vào phương trình, chúng ta nhận được hoa cương của "sự quan tâm" này:

Chúng tôi đánh dấu điểm trong bản vẽ và tìm giá trị tương ứng của hàm:

Kiểm tra tính toán trên phiên bản "Ngân sách" :
, đặt hàng.

Và bước cuối cùng: Xem kỹ tất cả các số "FAT", bắt đầu giới thiệu ngay cả để biên dịch một danh sách duy nhất:

Từ đó chúng tôi chọn ý nghĩa lớn nhất và nhỏ nhất. Câu trả lời Chúng tôi viết theo phong cách của nhiệm vụ ở lại các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên phân khúc:

Chỉ trong trường hợp, một lần nữa bình luận về ý nghĩa hình học của kết quả:
- Đây là điểm bề mặt cao nhất trong khu vực;
- Đây là điểm thấp nhất của bề mặt trong khu vực.

Trong nhiệm vụ tháo rời, chúng tôi đã tiết lộ 7 điểm đáng ngờ, nhưng từ nhiệm vụ của nhiệm vụ, số của chúng thay đổi. Đối với khu vực hình tam giác, "bộ nghiên cứu" tối thiểu bao gồm ba điểm. Điều này xảy ra khi hàm, ví dụ, hỏi máy bay - Nó hoàn toàn rõ ràng rằng các điểm đứng yên không có, và chức năng chỉ có thể đạt được các giá trị lớn nhất / nhỏ nhất chỉ trong các đỉnh của tam giác. Nhưng những ví dụ như vậy một lần, hai và quay lại - thường phải đối phó với một số bề mặt của thứ tự 2.

Nếu bạn thực hiện các nhiệm vụ như vậy một chút, sau đó từ các hình tam giác, đầu có thể đi xung quanh, và do đó tôi đã chuẩn bị cho bạn những ví dụ bất thường để nó trở thành hình vuông :))

Ví dụ 2.

Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng trong một khu vực khép kín

Ví dụ 3.

Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng trong một khu vực đóng giới hạn.

Đặc biệt chú ý đến trật tự và kỹ thuật hợp lý của việc nghiên cứu ranh giới của khu vực, cũng như trên chuỗi kiểm tra trung gian, điều này sẽ gần như hoàn toàn cho phép tránh các lỗi tính toán. Nói chung, bạn có thể giải quyết như bạn muốn, nhưng trong một số nhiệm vụ, ví dụ, trong cùng một ví dụ 2, có tất cả các cơ hội để làm phức tạp đáng kể cuộc sống của bạn. Một mẫu mẫu mực của các nhiệm vụ hoàn thiện vào cuối bài học.

Chúng tôi hệ thống hóa thuật toán của giải pháp, và sau đó với sự siêng năng của con nhện, anh ta bằng cách nào đó đã bị mất trong những bình luận dài của ví dụ đầu tiên:

- Trong bước đầu tiên chúng tôi xây dựng một khu vực, nó là mong muốn để lắc nó, và ranh giới là để làm nổi bật dòng táo bạo. Trong các giải pháp, các điểm sẽ được cài đặt trong bản vẽ.

- tìm điểm cố định và tính giá trị của hàm chỉ trong những người trong số họthuộc về khu vực. Các giá trị thu được được phân tách trong văn bản (ví dụ: cung cấp bút chì). Nếu điểm cố định không thuộc về khu vực, thì chúng ta ăn mừng thực tế này một huy hiệu hoặc bằng lời nói. Nếu không có điểm cố định nào cả, thì chúng tôi thực hiện một kết luận bằng văn bản rằng họ đang thiếu. Trong mọi trường hợp, mặt hàng này không thể bị bỏ qua!

- Khám phá biên giới của khu vực. Đầu tiên, thật thuận lợi để đối phó với thẳng, song song với các trục tọa độ (nếu có cái nào). Các giá trị của hàm được tính trong các điểm "đáng ngờ" cũng phân bổ. Về kỹ thuật giải pháp rất được thông báo ở trên và một cái gì đó khác sẽ được nói dưới đây - đọc, đọc lại, delve nó!

- Từ các số đã chọn, chọn các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất và đưa ra câu trả lời. Đôi khi nó xảy ra rằng tính năng giá trị như vậy đạt đến cùng một lúc tại một số điểm - trong trường hợp này, tất cả các điểm này phải được phản ánh trong phản hồi. Hãy để, ví dụ, Và hóa ra đây là ý nghĩa nhỏ nhất. Sau đó viết ra rằng

Các ví dụ cuối cùng được dành cho các ý tưởng hữu ích khác sẽ hữu ích trong thực tế:

Ví dụ 4.

Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong một khu vực đóng .

Tôi giữ lại công thức bản quyền trong đó khu vực được hỏi dưới hình thức bất bình đẳng kép. Tình trạng này có thể được ghi lại bởi một hệ thống tương đương hoặc theo một hình thức truyền thống hơn cho nhiệm vụ này:

Tôi nhắc bạn rằng với phi tuyến. Những bất đẳng luân chúng ta gặp phải, và nếu bạn không hiểu ý nghĩa hình học của hồ sơ, thì xin vui lòng không hoãn lại và làm rõ tình huống ngay bây giờ ;-)

Phán quyếtNhư mọi khi, bắt đầu với việc xây dựng khu vực, đó là một loại "duy nhất":

Hmm, đôi khi bạn phải nhấm nháp khoa học đá granit ....

I) tìm điểm cố định:

Hệ thống mơ ước của kẻ ngốc :)

Điểm cố định thuộc về khu vực, cụ thể là, nằm ở biên giới của nó.

Và vì vậy, nó, không có gì ... bài học đã đi - đó là những gì nó có nghĩa là uống trà phải \u003d)

(Ii) Khám phá biên giới của khu vực. Không có Caustav, chúng ta bắt đầu với trục abscissa:

1) Nếu, thì

Chúng tôi sẽ tìm thấy nơi trên đỉnh Parabola:
- Đánh giá cao những khoảnh khắc như vậy - "Got" trực tiếp đến điểm mà mọi thứ đã rõ ràng. Nhưng bạn vẫn không quên kiểm tra:

Chúng tôi tính toán các giá trị của hàm ở đầu phân khúc:

2) Với đáy của "đế" sẽ hiểu "cho một người ngồi" - không có bất kỳ phức tạp nào chúng ta thay thế để hoạt động và chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến phân khúc:

Điều khiển:

Điều này đã đóng góp một số sự hồi sinh thành một chuyến đi đơn điệu tại rut cuộn. Tìm điểm quan trọng:

Quyết định phương trình bậc hai, nhớ về như vậy? Tuy nhiên, hãy nhớ rằng, tất nhiên, nếu không họ sẽ không đọc những dòng này \u003d) nếu trong hai ví dụ trước đây có tính toán thuận tiện trong các phân số thập phân (, theo cách, sự hiếm có), ở đây chúng ta sẽ chờ đợi thông thường Phân số thông thường. Chúng tôi tìm thấy rễ "ICX" và theo phương trình, chúng tôi xác định các tọa độ "không có nghĩa" tương ứng của các điểm "ứng cử viên":


Tính toán các chức năng của hàm tại các điểm tìm thấy:

Chỉ định chức năng của chính bạn.

Bây giờ cẩn thận nghiên cứu các danh hiệu chinh phục và viết ra câu trả lời:

Đây là những "ứng cử viên", vì vậy "ứng cử viên"!

Đối với các giải pháp tự:

Ví dụ 5.

Tìm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của chức năng Trong một khu vực kín

Ghi âm với dấu ngoặc hình được đọc như thế này: "Nhiều điểm, chẳng hạn như".

Đôi khi trong những ví dụ như vậy sử dụng phương pháp nhân LagrangeNhưng nhu cầu thực sự để áp dụng nó là không có khả năng phát sinh. Ví dụ: nếu một hàm được đưa ra với cùng một khu vực "de", sau đó sau khi thay thế trong đó - với một dẫn xuất của bất kỳ khó khăn nào; Và nó được vẽ lên với một "một dòng" (có dấu) mà không cần phải xem xét riêng biệt về hình bán nguyệt trên và dưới. Nhưng, tất nhiên, có nhiều trường hợp khó khăn hơn khi không có chức năng Lagrange (Ví dụ, ở đâu, cùng một phương trình chu vi) Thật khó để làm mà không có nó - Làm thế nào khó khăn để làm mà không nghỉ ngơi tốt!

Mọi người đều tốt để vượt qua phiên họp sớm vào mùa tới!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Phán quyết: Hiển thị khu vực trong bản vẽ:

Hãy xem cách khám phá chức năng bằng biểu đồ. Hóa ra rằng nhìn vào lịch trình, bạn có thể tìm hiểu mọi thứ mà chúng ta quan tâm, cụ thể là:

  • Định nghĩa chức năng khu vực
  • vùng giá trị chức năng
  • không có chức năng
  • khoảng cách tăng và giảm dần
  • Điểm tối đa và tối thiểu
  • giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng trên phân khúc.

Làm rõ thuật ngữ:

Abscissa. - Đây là tọa độ điểm ngang.
Thẩm phán - Phối hợp dọc.
Trục abscissa. - Trục ngang, thường được gọi là trục.
Trục xuất hiện - Trục dọc hoặc trục.

Tranh luận - Một biến độc lập mà các giá trị của hàm phụ thuộc. Thường xuyên nhất được chỉ định.
Nói cách khác, chính chúng ta chọn, thay thế chức năng trong công thức và nhận được.

Miền Các chức năng là một tập hợp các loại (và chỉ những thứ đó) của các giá trị của đối số, trong đó chức năng tồn tại.
Chỉ định: hoặc.

Trong hình của chúng tôi, khu vực định nghĩa trường là một phân khúc. Nó nằm trên phân khúc này mà một chức năng được vẽ. Chỉ có ở đây chức năng này tồn tại.

Vùng giá trị chức năng - Đây là một tập hợp các giá trị lấy biến. Trong hình của chúng tôi, đó là một phân khúc - từ mức thấp nhất đến giá trị cao nhất.

Không có chức năng - Điểm nơi giá trị của hàm bằng 0, nghĩa là. Trên bản vẽ của chúng tôi là điểm và.

Các giá trị của chức năng là tích cực Ở đâu . Trong bản vẽ của chúng tôi, đây là những khoảng trống và.
Các giá trị của hàm là âm Ở đâu . Chúng tôi có khoảng cách này (hoặc khoảng) từ đến.

Các khái niệm quan trọng nhất - tăng dần và giảm chức năng Tại một số bộ. Bạn có thể lấy một phân khúc, khoảng thời gian, tích hợp các khoảng trống hoặc toàn bộ số trực tiếp.

Chức năng tăng

Nói cách khác, càng nhiều, đó là, lịch trình đi đến bên phải và lên.

Chức năng giảm bớt Trên tập hợp, nếu cho bất kỳ và sở hữu của bộ, sự bất bình đẳng sau bất đẳng thức.

Đối với hàm giảm, một giá trị lớn hơn tương ứng với giá trị nhỏ hơn. Lịch trình đi đến phải và xuống.

Trong hình của chúng tôi, chức năng tăng theo khoảng thời gian và giảm trong khoảng thời gian và.

Chúng tôi xác định những gì Điểm tối đa và chức năng tối thiểu.

Điểm tối đa. - Đây là điểm bên trong của khu vực định nghĩa, sao cho giá trị của hàm trong nó lớn hơn trong tất cả các điểm gần với nó.
Nói cách khác, điểm tối đa là một điểm như vậy, giá trị của hàm trong đó hơnhơn trong lân cận. Đây là một "Holmik" địa phương trên biểu đồ.

Trong bản vẽ của chúng tôi - điểm tối đa.

Điểm tối thiểu - Điểm bên trong của khu vực định nghĩa, sao cho giá trị của hàm trong đó ít hơn trong tất cả các điểm gần với nó.
Đó là, một điểm tối thiểu là giá trị của hàm trong đó là ít hơn trong lân cận. Theo lịch trình, đó là một "fossa" địa phương.

Trong bản vẽ của chúng tôi - một điểm tối thiểu.

Điểm là một ranh giới. Nó không phải là một điểm nội bộ của khu vực định nghĩa và do đó không phù hợp với định nghĩa của điểm tối đa. Rốt cuộc, cô không có hàng xóm bên trái. Tương tự, theo lịch trình của chúng tôi, không thể có điểm tối thiểu.

Điểm tối đa và tối thiểu được gọi là Điểm của chức năng cực đoan. Trong trường hợp của chúng tôi, nó là.

Và phải làm gì nếu bạn cần tìm, ví dụ, chức năng tối thiểu Trên phân khúc? Trong trường hợp này, câu trả lời:. Bởi vì chức năng tối thiểu - Đây là giá trị của nó ở điểm tối thiểu.

Tương tự, tối đa chức năng của chúng tôi là bằng nhau. Nó đạt được tại điểm.

Có thể nói rằng các thái cực của chức năng bằng nhau và.

Đôi khi trong nhiệm vụ bạn cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm Trên một phân khúc nhất định. Họ không nhất thiết trùng với các thái cực.

Trong trường hợp của chúng ta Ý nghĩa nhỏ nhất của chức năng Trên phân đoạn bằng và trùng với chức năng tối thiểu. Nhưng giá trị lớn nhất của nó trên phân khúc này là bằng nhau. Nó đạt được ở đầu bên trái của phân khúc.

Trong mọi trường hợp, các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục trên phân khúc đạt được ở các điểm cực trị hoặc ở cuối phân khúc.


Câu lệnh vấn đề 2:

Chức năng dana, xác định và liên tục ở một số khoảng. Nó là cần thiết để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm tại khoảng thời gian này.

Cơ sở lý thuyết.
Định lý (Định lý Weierstrass thứ hai):

Nếu chức năng được xác định và liên tục trong một khoảng cách kín, thì nó đạt đến giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó.

Chức năng có thể đạt được các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hoặc ở các điểm bên trong của khoảng cách, hoặc trên đường viền của nó. Chúng tôi sẽ minh họa tất cả các lựa chọn có thể.

Giải trình:
1) Chức năng đạt đến giá trị lớn nhất của nó ở đường viền bên trái của khoảng cách tại điểm, và giá trị nhỏ nhất của nó ở đường viền bên phải của khoảng cách tại điểm.
2) Chức năng đạt giá trị cao nhất tại điểm (đây là điểm tối đa) và giá trị nhỏ nhất của nó ở bên phải của khoảng cách tại điểm.
3) Chức năng đạt giá trị cao nhất ở đường viền bên trái của khoảng cách tại điểm và giá trị nhỏ nhất của nó tại điểm (đây là điểm tối thiểu).
4) Chức năng không đổi ở khoảng thời gian, I.E. Nó đạt đến giá trị tối thiểu và tối đa của nó tại bất kỳ điểm nào của khoảng cách và các giá trị tối thiểu và tối đa bằng nhau.
5) Hàm đạt giá trị cao nhất tại điểm và giá trị điểm nhỏ nhất của nó (mặc dù thực tế là hàm có trong khoảng cách này tối đa và ít nhất).
6) Chức năng đạt giá trị cao nhất tại điểm (đây là điểm tối đa) và giá trị nhỏ nhất của nó tại điểm (đây là điểm tối thiểu).
Bình luận:

"Tối đa" và "nghĩa tối đa" - những thứ khác nhau. Điều này theo sau từ việc xác định sự hiểu biết tối đa và trực quan về cụm từ "nghĩa tối đa".

Thuật toán để giải quyết vấn đề 2.



4) Chọn từ hầu hết các giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) và viết ra câu trả lời.

Ví dụ 4:

Xác định chức năng lớn nhất và nhỏ nhất Trên phân khúc.
Phán quyết:
1) Tìm một chức năng dẫn xuất.

2) Tìm điểm cố định (và điểm, đáng ngờ để cực đoan), giải phương trình. Hãy chú ý đến các điểm trong đó không có đạo hàm hữu hạn hai mặt.

3) Tính giá trị của hàm trong các điểm cố định và trên các ranh giới khoảng thời gian.



4) Chọn từ hầu hết các giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) và viết ra câu trả lời.

Chức năng trên phân khúc này đạt đến giá trị cao nhất tại điểm với tọa độ.

Chức năng trên phân khúc này đạt đến giá trị nhỏ nhất tại điểm với tọa độ.

Trong tính đúng đắn của các tính toán, bạn có thể đảm bảo xem xét lịch trình của chức năng đang học.


Bình luận: Giá trị lớn nhất đạt đến mức tối đa tại điểm, và nhỏ nhất là trên đường viền cắt.

Trường hợp riêng tư.

Giả sử bạn cần tìm giá trị tối đa và tối thiểu của một số chức năng trên phân khúc. Sau điểm đầu tiên của thuật toán, tức là. Việc tính toán của dẫn xuất trở nên rõ ràng rằng, ví dụ, chỉ có các giá trị âm trên toàn bộ phân khúc đang được xem xét. Hãy nhớ rằng nếu phái sinh là âm, thì hàm giảm. Nhận được rằng chức năng giảm trên toàn bộ phân khúc. Tình huống này được hiển thị trong biểu đồ số 1 khi bắt đầu bài viết.

Trên phân khúc, chức năng giảm, tức là. Cô ấy không có thái cực. Từ hình ảnh bạn có thể thấy rằng giá trị nhỏ nhất của chức năng sẽ ở bên phải của biên độ của phân khúc và giá trị lớn nhất ở bên trái. Nếu đạo hàm trên phân khúc dương ở mọi nơi, sau đó chức năng tăng lên. Ý nghĩa nhỏ nhất là ở biên giới bên trái của phân khúc, vĩ đại nhất - bên phải.