Tam giác có ba cạnh bằng nhau. Dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của các tam giác. Dấu hiệu thứ hai và thứ ba của sự bằng nhau của các tam giác. V. Khái quát hóa kết quả thu được
Một hình hình học được tạo thành bởi ba đoạn nối ba điểm không thuộc cùng một đường thẳng.
Các cạnh của tam giác tạo thành ba góc ở các đỉnh của tam giác. Để diễn dải, Tam giác là một đa giác có ba góc .
Ý nghĩa thực tiễn dấu hiệu đẳng thức của các tam giác tóm lại như sau: theo cách diễn đạt hình tam giác đều bằng nhau, trong trường hợp có thể chồng chúng lên nhau sao cho chúng trùng nhau; tuy nhiên, việc thực hiện chồng chéo tam giác đôi khi có thể khó khăn và đôi khi là không thể.
Việc kiểm tra sự bằng nhau của các tam giác giúp có thể thay thế sự chồng chéo của các tam giác bằng cách tìm và so sánh các thành phần cơ bản riêng lẻ (cạnh và góc) và từ đó biện minh cho sự bằng nhau của các tam giác.
3. Cả ba phía:
Họ cũng nêu bật dấu hiệu thứ tư, vốn không được đề cập rộng rãi trong khóa học toán ở trường như ba khóa học trước. Nó được xây dựng như sau:
Nếu hai cạnh của tam giác thứ nhất lần lượt bằng hai cạnh của tam giác thứ hai và góc đối diện với cạnh lớn hơn của tam giác thứ nhất bằng góc đối diện với cạnh tương ứng trong tam giác thứ hai thì những điều này hình tam giác đều bằng nhau.
Hình học như một môn học riêng biệt bắt đầu dành cho học sinh lớp 7. Cho đến thời điểm này, họ quan tâm đến các vấn đề hình học ở dạng khá nhẹ và chủ yếu là những gì có thể được xem xét bằng các ví dụ trực quan: diện tích của một căn phòng, một lô đất, chiều dài và chiều cao của các bức tường trong phòng, các vật thể phẳng, v.v. Khi bắt đầu nghiên cứu hình học, những khó khăn đầu tiên xuất hiện, chẳng hạn như khái niệm đường thẳng, vì bạn không thể chạm vào đường thẳng này bằng tay. Đối với hình tam giác, đây là loại đa giác đơn giản nhất, chỉ chứa ba góc và ba cạnh.
Liên hệ với
Bạn cùng lớp
Chủ đề về hình tam giác là một trong những chủ đề chính quan trọng và các chủ đề lớn của chương trình hình học ở trường lớp 7–9. Khi đã thành thạo nó, bạn có thể giải quyết được những vấn đề rất phức tạp. Trong trường hợp này, ban đầu bạn có thể xem xét một hình hình học hoàn toàn khác, sau đó chia nó thành các phần hình tam giác phù hợp để thuận tiện.
Để làm việc trên bằng chứng về sự bình đẳng ∆ ABC Và ∆A1B1C1 Bạn cần hiểu kỹ dấu hiệu của sự bằng nhau của các số và có khả năng sử dụng chúng. Trước khi nghiên cứu các dấu hiệu, bạn cần tìm hiểu xác định sự bình đẳng các cạnh và các góc của đa giác đơn giản nhất.
Để chứng minh rằng các góc của hình tam giác bằng nhau, các phương án sau sẽ giúp:
- ∠ α = ∠ β dựa trên cách xây dựng các hình.
- Đưa ra trong các điều kiện nhiệm vụ.
- Với hai đường thẳng song song và sự có mặt của một cát tuyến, cả đường giao nhau trong và đường thẳng tương ứng đều có thể được hình thành ∠ α = ∠ β.
- Bằng cách cộng (trừ) với (từ) ∠ α = ∠ β các góc bằng nhau.
- Dọc ∠ α và ∠ β luôn giống nhau
- Tổng quát ∠ α, đồng thời thuộc về ∆MNK Và ∆MNH .
- Đường phân giác chia ∠ α thành hai phần bằng nhau.
- liền kề với ∠ 90°- góc bằng góc ban đầu.
- Các góc kề nhau bằng nhau thì bằng nhau.
- Chiều cao tạo thành hai cạnh nhau ∠ 90° .
- Trong hình cân ∆MNKở đáy ∠ α = ∠ β.
- Bình đẳng ∆MNK Và ∆SDH tương ứng ∠ α = ∠ β.
- Sự bình đẳng đã được chứng minh trước đây ∆MNK Và ∆SDH .
Điều này thật thú vị: Cách tìm chu vi của một hình tam giác.
3 dấu hiệu cho thấy hình tam giác bằng nhau
Bằng chứng về sự bình đẳng ∆ ABC Và ∆A1B1C1 rất thuận tiện để sản xuất, dựa trên cơ bản dấu hiệu danh tính của những đa giác đơn giản nhất này. Có ba dấu hiệu như vậy. Chúng rất quan trọng trong việc giải nhiều bài toán hình học. Mỗi cái đều đáng xem xét.
Các đặc điểm nêu trên là các định lý và được chứng minh bằng phương pháp chồng hình này lên hình khác, nối đỉnh của các góc tương ứng với điểm đầu của tia. Chứng minh sự đẳng thức của tam giác ở lớp 7 được mô tả ở dạng rất dễ hiểu nhưng học sinh lại khó học trong thực tế vì chúng chứa một số lượng lớn các phần tử được viết hoa bằng chữ Latinh. Điều này không hoàn toàn quen thuộc với nhiều học sinh khi bắt đầu học môn này. Thanh thiếu niên bối rối về tên các cạnh, tia và góc.
Một lát sau, một chủ đề quan trọng khác “Sự giống nhau của các hình tam giác” xuất hiện. Định nghĩa về “sự tương tự” trong hình học có nghĩa là sự giống nhau về hình dạng với kích cỡ khác nhau. Ví dụ: bạn có thể lấy hai hình vuông, hình thứ nhất có cạnh 4 cm và hình thứ hai là 10 cm, các loại hình tứ giác này sẽ giống nhau và đồng thời có sự khác biệt, vì hình thứ hai sẽ lớn hơn, với mỗi bên tăng lên một số lần như nhau.
Khi xem xét chủ đề về sự tương đồng, 3 dấu hiệu cũng được đưa ra:
- Đầu tiên là về hai góc tương ứng bằng nhau của hai hình tam giác đang xét.
- Thứ hai là về góc và các cạnh tạo thành nó ∆MNK, bằng các phần tử tương ứng ∆SDH .
- Số thứ ba biểu thị tỷ lệ tương ứng của tất cả các cạnh tương ứng của hai hình mong muốn.
Làm thế nào bạn có thể chứng minh rằng các hình tam giác bằng nhau? Chỉ cần sử dụng một trong các dấu hiệu trên và mô tả chính xác toàn bộ quá trình chứng minh nhiệm vụ là đủ. Chủ đề tương đồng ∆MNK Và ∆SDH dễ dàng được học sinh nhận thức hơn vì khi học nó, học sinh đã tự do sử dụng cách gọi tên các phần tử trong các công trình hình học, không bị nhầm lẫn với số lượng lớn tên và biết cách đọc hình vẽ.
Khi hoàn thành chủ đề mở rộng về hình học tam giác, học sinh đã biết cách chứng minh đẳng thức ∆MNK = ∆SDHở hai cạnh đặt hai tam giác có bằng nhau hay không. Cho rằng đa giác có chính xác ba góc là một trong những hình hình học quan trọng nhất, bạn nên xem xét tài liệu một cách nghiêm túc, đặc biệt chú ý đến những sự thật nhỏ nhất của lý thuyết.
Từ xa xưa cho đến ngày nay, việc tìm kiếm dấu bằng của các hình được coi là một nhiệm vụ cơ bản, là cơ sở nền tảng của hình học; hàng trăm định lý được chứng minh bằng cách sử dụng các phép kiểm tra đẳng thức. Khả năng chứng minh sự bằng nhau và tương đồng của các số liệu là một nhiệm vụ quan trọng trong mọi lĩnh vực xây dựng.
Liên hệ với
Đưa kỹ năng vào thực tế
Giả sử chúng ta có một hình vẽ trên một tờ giấy. Đồng thời, chúng ta có một thước đo và một thước đo góc để chúng ta có thể đo độ dài của các đoạn và góc giữa chúng. Cách chuyển một hình có cùng kích thước sang tờ giấy thứ hai hoặc nhân đôi tỷ lệ của nó.
Chúng ta biết rằng hình tam giác là hình được tạo thành từ ba đoạn gọi là các cạnh tạo thành các góc. Do đó, có sáu tham số - ba cạnh và ba góc - xác định hình này.
Tuy nhiên, sau khi đo kích thước của cả ba cạnh và góc, việc chuyển hình này sang một bề mặt khác sẽ là một nhiệm vụ khó khăn. Ngoài ra, sẽ rất hợp lý khi đặt câu hỏi: biết các thông số của hai cạnh và một góc hay chỉ ba cạnh là đủ?
Sau khi đo chiều dài hai cạnh và giữa chúng, chúng ta sẽ đặt góc này lên một tờ giấy mới để có thể tái tạo hoàn toàn hình tam giác. Hãy cùng tìm hiểu cách thực hiện điều này, tìm hiểu cách chứng minh các dấu hiệu mà chúng có thể được coi là giống nhau và quyết định số tham số tối thiểu nào đủ để biết để tự tin rằng các hình tam giác giống nhau.
Quan trọng! Các hình được gọi là giống nhau nếu các đoạn tạo thành các cạnh và các góc của chúng bằng nhau. Những hình tương tự là những hình có cạnh và góc tỷ lệ thuận. Như vậy, đẳng thức là sự tương đồng với hệ số tỉ lệ là 1.
Dấu hiệu bằng nhau của các tam giác là gì?Hãy đưa ra định nghĩa:
- Dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau: hai hình tam giác có thể được coi là giống hệt nhau nếu hai cạnh của chúng bằng nhau cũng như góc giữa chúng bằng nhau.
- Dấu hiệu thứ hai của sự bằng nhau của các tam giác: hai tam giác sẽ giống nhau nếu hai góc bằng nhau cũng như cạnh tương ứng giữa chúng.
- dấu hiệu thứ ba của sự bằng nhau của các tam giác : Các hình tam giác có thể được coi là giống nhau khi tất cả các cạnh của chúng có độ dài bằng nhau.
Cách chứng minh tam giác bằng nhau. Hãy chứng minh sự bằng nhau của các tam giác.
Bằng chứng về 1 dấu hiệu
Trong một thời gian dài, trong số các nhà toán học đầu tiên, dấu hiệu này được coi là một tiên đề, tuy nhiên, hóa ra, nó có thể được chứng minh về mặt hình học dựa trên các tiên đề cơ bản hơn.
Xét hai tam giác - KMN và K 1 M 1 N 1 . Cạnh KM có cùng độ dài với K 1 M 1 và KN = K 1 N 1. Và góc MKN bằng các góc KMN và M 1 K 1 N 1.
Nếu coi KM và K 1 M 1, KN và K 1 N 1 là hai tia phát ra từ cùng một điểm thì ta có thể nói rằng góc giữa các cặp tia này bằng nhau (điều này được xác định bởi điều kiện định lý). Chúng ta hãy thực hiện một phép truyền song song các tia K 1 M 1 và K 1 N 1 từ điểm K 1 đến điểm K. Kết quả của sự chuyển dịch này là các tia K 1 M 1 và K 1 N 1 sẽ hoàn toàn trùng nhau. Chúng ta hãy vẽ trên tia K 1 M 1 một đoạn có độ dài KM, bắt nguồn từ điểm K. Vì theo điều kiện, đoạn thu được sẽ bằng đoạn K 1 M 1 nên khi đó các điểm M và M 1 trùng nhau. Tương tự với các đoạn KN và K 1 N 1. Do đó, bằng cách chuyển K 1 M 1 N 1 sao cho các điểm K 1 và K trùng nhau và hai cạnh trùng nhau, chúng ta thu được sự trùng khớp hoàn toàn của các hình.
Quan trọng! Trên Internet có những cách chứng minh sự bằng nhau của các tam giác có hai cạnh và một góc bằng cách sử dụng các đẳng thức đại số và lượng giác với các giá trị bằng số của các cạnh và các góc. Tuy nhiên, về mặt lịch sử và toán học, định lý này đã được hình thành từ rất lâu trước đại số và sớm hơn lượng giác. Để chứng minh đặc điểm này của định lý, việc sử dụng bất cứ điều gì khác ngoài các tiên đề cơ bản là không chính xác.
Bằng chứng 2 dấu hiệu
Chúng ta hãy chứng minh dấu bằng thứ hai của hai góc và một cạnh, dựa trên dấu thứ nhất.
Bằng chứng 2 dấu hiệu
Hãy xem xét KMN và PRS. K bằng P, N bằng S. Cạnh KN có độ dài bằng PS. Cần chứng minh KMN và PRS giống nhau.
Chúng ta hãy phản chiếu điểm M so với tia KN. Hãy gọi điểm kết quả là L. Trong trường hợp này, độ dài cạnh KM = KL. NKL bằng PRS. KNL bằng RSP.
Vì tổng các góc bằng 180 độ nên KLN bằng PRS, có nghĩa là PRS và KLN giống nhau (tương tự) ở cả hai cạnh và góc, theo dấu đầu tiên.
Tuy nhiên, vì KNL bằng KMN nên KMN và PRS là hai số liệu giống hệt nhau.
Bằng chứng 3 dấu hiệu
Cách xác định các tam giác bằng nhau. Điều này diễn ra trực tiếp từ chứng minh tính năng thứ hai.
Chiều dài KN = PS. Vì K = P, N = S, KL=KM và KN = KS, MN=ML nên:
Điều này có nghĩa là cả hai hình đều giống nhau. Nhưng vì các cạnh của chúng bằng nhau nên chúng cũng bằng nhau.
Nhiều hệ lụy kéo theo từ dấu hiệu bình đẳng, tương đồng. Một trong số đó là để xác định hai tam giác có bằng nhau hay không thì cần phải biết tính chất của chúng có giống nhau hay không:
- cả ba phía;
- cả hai bên và góc giữa chúng;
- cả hai góc và cạnh xen giữa chúng.
Sử dụng phép thử đẳng thức tam giác để giải bài toán
Hậu quả của dấu hiệu đầu tiên
Trong quá trình chứng minh, người ta có thể đi đến một số hệ quả thú vị và hữu ích.
- . Việc giao điểm của các đường chéo của hình bình hành chia chúng thành hai phần bằng nhau là hệ quả của dấu bằng và hoàn toàn có thể chứng minh được. mà chúng ta đã thực hiện) là các cạnh của hình chính (các cạnh của hình bình hành).
- Nếu có hai tam giác vuông có các góc nhọn bằng nhau thì chúng bằng nhau. Nếu chân của người thứ nhất bằng chân của người thứ hai thì chúng bằng nhau. Điều này khá dễ hiểu - tất cả các tam giác vuông đều có một góc vuông. Vì vậy, dấu đẳng thức đối với họ đơn giản hơn.
- Hai hình tam giác có góc vuông trong đó hai cạnh có cùng chiều dài có thể coi là bằng nhau. Điều này là do góc giữa hai chân luôn là 90 độ. Do đó, theo tiêu chí thứ nhất (theo hai cạnh và góc xen giữa) mọi tam giác có góc vuông và các cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
- Nếu có hai tam giác vuông mà một cạnh và cạnh huyền bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau.
Hãy chứng minh định lý đơn giản này.
Có hai hình tam giác vuông. Có các cạnh a, b, c, trong đó c là cạnh huyền; a, b - chân. Hình thứ hai có các cạnh n, m, l, trong đó l là cạnh huyền; m, n - chân.
Theo định lý Pythagore, một trong hai chân bằng:
;
.
Như vậy, nếu n = a, l = c (bằng nhau về cạnh huyền và cạnh huyền) thì chân thứ hai sẽ bằng nhau. Các số liệu theo đó sẽ bằng nhau theo đặc điểm thứ ba (ba cạnh).
Chúng ta hãy lưu ý một hệ quả quan trọng hơn. Nếu có hai hình tam giác bằng nhau và chúng giống nhau với hệ số tương tự k, nghĩa là tỷ số theo cặp của tất cả các cạnh của chúng bằng k thì tỷ số diện tích của chúng bằng k2.
Dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của các tam giác. Video bài giảng hình học lớp 7
Hình học 7 Dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của các tam giác
Phần kết luận
Chủ đề chúng ta đã thảo luận sẽ giúp bất kỳ học sinh nào hiểu rõ hơn các khái niệm hình học cơ bản và nâng cao kỹ năng của họ trong thế giới toán học thú vị.
Từ khóa học hình học ở trường, dấu hiệu cho thấy các hình tam giác bằng nhau ở hai cạnh và góc giữa chúng đã được biết rõ, cụ thể là:
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì các tam giác đó bằng nhau (Hình 1).
Điều tự nhiên là đặt ra câu hỏi liệu các tam giác có bằng nhau hay không nếu các góc bằng nhau tương ứng trong tam giác không nằm giữa các cạnh bằng nhau. Có đúng không nếu hai cạnh và một góc của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và một góc của tam giác kia thì những tam giác đó bằng nhau.
Hóa ra điều này không đúng. Hãy đưa ra một ví dụ. Hãy xem xét một vòng tròn và dây cung của nó AB (Hình 2). Lấy tâm tại điểm A, ta vẽ một đường tròn khác cắt đường tròn thứ nhất tại một số điểm C và C 1. Khi đó tam giác ABC có ABC 1 AB là cạnh chung AC = AC 1,C = Vì 1 nên tam giác ABC và ABC 1 không bằng nhau.
Khi xây dựng dấu bằng của các hình tam giác, bạn không chỉ có thể bao gồm các cạnh và góc mà còn cả các phần tử khác của hình tam giác. Chúng ta hãy xem xét một số công thức của tiêu chí về sự bằng nhau của các tam giác bởi ba yếu tố, bao gồm các cạnh, góc, đường cao, đường phân giác và đường trung tuyến của tam giác. Hãy để chúng tôi tìm ra tính hợp lệ của các dấu hiệu tương ứng.
Nếu góc, cạnh đối diện với góc này và chiều cao giảm xuống cạnh kia của tam giác này lần lượt bằng góc, cạnh và chiều cao của tam giác kia thì các tam giác đó bằng nhau.
Hãy để trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 VỚI = VỚI 1 , AB = MỘT 1 B 1, chiều cao AH. bằng chiều cao MỘT 1 H 1 (Hình 3). Hãy chứng minh rằng tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 đều bằng nhau.
Tam giác vuông ABH Và MỘT 1 B 1 H 1 có chân và cạnh huyền bằng nhau. Có nghĩa, B = B 1 . Xem xét rằng VỚI = VỚI 1, ta có đẳng thức MỘT = MỘT 1 . Như vậy, trong tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1
AB= MỘT 1 B 1 , MỘT = MỘT 1 , B = B 1 .
Do đó, các tam giác này có cạnh bằng nhau và hai góc kề nhau.
Giả sử góc, cạnh kề với góc này và chiều cao hạ xuống cạnh kia kề với góc đã cho của tam giác này lần lượt bằng góc, cạnh và chiều cao của tam giác kia (Hình 4).
Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ cho thấy rằng sự bằng nhau của các phần tử được chỉ định của các tam giác là không đủ cho sự bằng nhau của chính các tam giác.
Xét các tam giác vuông ABH Và MỘT 1 B 1 H 1 (H = H 1 = 90 ồ), trong đó
AB = MỘT 1 B 1 , B = B 1 , AH. = MỘT 1 H 1
(Hình 5). Về sự tiếp nối của các bên B.H. Và B 1 H 1 dành riêng những đoạn không bằng nhau HC Và H 1 C 1 . Sau đó trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1
AB = MỘT 1 B 1 , B = B 1 ,
độ cao AH. Và MỘT 1 H 1 bằng nhau nhưng bản thân các tam giác không bằng nhau.
Nếu hai cạnh và đường trung tuyến xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và đường trung bình của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Hãy để trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1
AC.= MỘT 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,
Trung bình SM bằng trung vị C 1 M 1 (Hình 6). Hãy chứng minh rằng tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 đều bằng nhau.
Hãy tiếp tục tính trung bình và đặt các phân đoạn sang một bên MD = C.M. Và M 1 D 1 = C 1 M 1 (Hình 6).
Tứ giác ACBD Và MỘT 1 VỚI 1 B 1 D 1 - hình bình hành. Hình tam giác ACD Và MỘT 1 C 1 D
ACD = MỘT 1 C 1 D 1 .
Tương tự, các tam giác BCD Và B 1 C 1 D 1 có ba cạnh bằng nhau. Kể từ đây,
BCD = B 1 C 1 D 1 .
Có nghĩa, VỚI = VỚI 1 và hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 bằng nhau ở cả hai phía và góc giữa chúng.
Giả sử góc, cạnh kề với góc này và đường trung tuyến vẽ về cạnh này của một tam giác lần lượt bằng góc, cạnh và đường trung tuyến của tam giác kia (Hình 7).
Xét đường tròn có tâm tại điểm M(Hình 8). Hãy vẽ hai đường kính AB Và MỘT 1 B 1 . Qua dấu chấm MỘT, MỘT 1 , M vẽ một vòng tròn khác và chọn một điểm trên đó C, như thể hiện trên hình ảnh. Trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C
AB = MỘT 1 B 1 , MỘT = MỘT 1 ,
trung vị C M ABC Và MỘT 1 B 1 C không công bằng.
Nếu một cạnh và hai đường trung tuyến vẽ bằng hai cạnh còn lại của tam giác này lần lượt bằng một cạnh và hai đường trung tuyến của tam giác kia thì các tam giác đó bằng nhau.
Hãy để trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 AB = MỘT 1 B 1, trung vị LÀ. bằng trung vị MỘT 1 M 1, trung vị B.K. bằng trung vị B 1 K 1 (Hình 9). Hãy chứng minh rằng tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 đều bằng nhau.
Điểm ồ Và ồ 1, Giao điểm của các đường trung tuyến của các tam giác này chia các đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh. Vậy hình tam giác ABO Và MỘT 1 B 1 ồ 1 có ba cạnh bằng nhau. Kể từ đây,
BẢO = B 1 MỘT 1 ồ 1 ,
điều đó có nghĩa là hình tam giác A.B.M. Và MỘT 1 B 1 M 1 bằng nhau ở cả hai phía và góc giữa chúng. Đó là lý do tại sao
ABC = MỘT 1 B 1 C 1 .
Tương tự, người ta chứng minh rằng
BAC = B 1 MỘT 1 C 1 .
Vậy các hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 có cạnh bằng nhau và hai góc kề nhau.
Giả sử góc và hai đường trung tuyến vẽ trên các cạnh của tam giác này lần lượt bằng góc và hai đường trung tuyến của tam giác kia (Hình 10).
Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy sự bình đẳng của các phần tử được chỉ định là không đủ cho sự bình đẳng của chính các hình tam giác.
Để làm điều này, hãy xem xét hai đường tròn bằng nhau có tâm tại các điểm ồ 1 và ồ 2 người chạm nhau tại một điểm M(Hình 11).
Hãy vẽ một hợp âm ở một trong số chúng AB và trực tiếp LÀ., cắt đường tròn thứ hai tại một điểm nào đó C. Hãy vẽ một đoạn BC. Chúng ta có được một hình tam giác ABC. Hãy vẽ một trung vị trong đó CK và biểu thị ồ một điểm chia nó theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh C. Hãy vẽ một đường tròn có tâm tại điểm ồ, bán kính OC, cắt đường tròn thứ hai tại điểm C 1 . Hãy trực tiếp thực hiện C 1 M và biểu thị MỘT 1 giao điểm của nó với đường tròn đầu tiên. Hãy biểu thị K 1 điểm giao nhau của hợp âm MỘT 1 B và thẳng C 1 ồ. Trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 BC 1 MỘT = MỘT 1, trung vị CK Và C 1 K 1 bằng, trung vị B.M.- tổng quan. Tuy nhiên, các tam giác ABC Và MỘT 1 BC 1 không bằng nhau.
Nếu hai cạnh và đường phân giác của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và đường phân giác của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Hãy để trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1
AC.= MỘT 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,
đường phân giác đĩa CD bằng đường phân giác VỚI 1 D 1 . Hãy chứng minh rằng tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 đều bằng nhau.
Hãy tiếp tục các bên AC. Và MỘT 1 C 1 và vẽ các đoạn tiếp theo của chúng C.E. = BC Và C 1 E 1
= B 1 C 1 (Hình 12). Sau đó 
Hình tam giác TCN Và B 1 C 1 E 1 có ba cạnh bằng nhau. Có nghĩa, E = E 1 và LÀ = B 1 E 1 . Hình tam giác ABE Và MỘT 1 B 1 E 1 bằng nhau ở cả hai phía và góc giữa chúng. Có nghĩa, AB = MỘT 1 B 1 . Vậy các hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 có ba cạnh bằng nhau.
Giả sử góc, cạnh kề với góc này và đường phân giác vẽ cạnh kia kề với góc đã cho của tam giác này lần lượt bằng góc, cạnh và phân giác của tam giác kia (Hình 13).
Ví dụ về hình tam giác ABC Và ABC 1, được hiển thị trên Hình 14, cho thấy rằng đẳng thức của các phần tử được chỉ ra là không đủ để tạo ra đẳng thức của chính các tam giác.
Thật vậy, trong tam giác ABC Và ABC 1 B- tổng quan, AB- cạnh chung, đường phân giác QUẢNG CÁO Và QUẢNG CÁO 1 đều bằng nhau. Tuy nhiên, các tam giác ABC Và ABC 1 không bằng nhau.
Gọi cạnh, đường trung tuyến và chiều cao của hai cạnh còn lại của một tam giác lần lượt bằng cạnh, đường trung bình và chiều cao của tam giác kia (Hình 15).
Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy sự bình đẳng của các phần tử được chỉ định là không đủ cho sự bình đẳng của chính các hình tam giác.
Để làm điều này, hãy xem xét một đường tròn và một góc có đỉnh ở giữa MỘT vòng tròn này (Hình 16). Hãy đặt một đoạn về phía nó AB, đường kính lớn hơn và xuyên qua phần giữa của nó K vẽ đường thẳng song song với cạnh kia của góc và cắt đường tròn tại một số điểm M Và M 1 . Hãy vẽ những đường thẳng B.M., B.M. 1 và các giao điểm của chúng với cạnh của góc ta ký hiệu tương ứng C Và C 1 . Sau đó trong hình tam giác ABC Và ABC 1 bên AB- tổng cộng, chiều cao B.H.- tổng cộng, trung vị LÀ. Và LÀ. 1 bằng nhau nhưng các hình tam giác ABC Và ABC 1 không bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau nếu cạnh, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này lần lượt bằng cạnh, đường trung tuyến và đường cao của tam giác kia.
Hãy để trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 AC. = MỘT 1 C 1, trung vị C.M. Và C 1 M 1 bằng nhau, chiều cao CH Và C 1 H 1 bằng nhau (Hình 17). Hãy chứng minh rằng tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 đều bằng nhau.Thật vậy, tam giác vuông ACH Và MỘT 1 C 1 H 1 bằng nhau ở cạnh huyền và chân. Do đó F MỘT= F MỘT 1 và AH. = MỘT 1 H 1 . Tam giác vuông CMH Và C 1 M 1 H 1 bằng nhau ở cạnh huyền và chân. Kể từ đây, M.H. = M 1 H 1, từ đâu LÀ. = MỘT 1 M 1 nghĩa là AB = MỘT 1 B 1 . Vậy các hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 bằng nhau ở cả hai phía và góc giữa chúng.
Hai tam giác bằng nhau nếu ba đường trung tuyến của tam giác này lần lượt bằng ba đường trung tuyến của tam giác kia.
Hãy để trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 tương ứng bằng trung vị A.K. Và MỘT 1 K 1 , B.L. Và B 1 L 1 , C.M. Và C 1 M 1 (Hình 18). Hãy chứng minh rằng tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 đều bằng nhau.
Cho phép ồ Và ồ 1 - giao điểm của các đường trung tuyến của các tam giác này. Lưu ý rằng các trung vị ôi Và ồ 1 M 1 hình tam giác ABO Và MỘT 1 B 1 ồ 1 bằng nhau vì chúng tạo thành một phần ba số đường trung tuyến tương ứng của các tam giác này.
Theo tiêu chuẩn đẳng thức của các tam giác mà ta đã chứng minh ở phần 3, tam giác ABO Và MỘT 1 B 1 ồ 1 bằng nhau, nghĩa là AB = MỘT 1 B 1 .
Tương tự, người ta chứng minh rằng BC = B 1 C 1 và AC. = MỘT 1 C 1 . Vậy các hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 có ba cạnh bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau nếu ba chiều cao của tam giác này lần lượt bằng ba chiều cao của tam giác kia.
Hãy để trong hình tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 tương ứng bằng chiều cao AH. Và MỘT 1 H 1 , B.G. Và B 1 G 1 , CF Và C 1 F 1 (Hình 19). Hãy chứng minh rằng tam giác ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 đều bằng nhau.
Hãy lần lượt ký hiệu các cạnh của hình tam giác Một, b, c Và Một 1 , b 1 , c 1 và độ cao tương ứng ha, b b, h c Và h 1Một , h 1b , h 1c. Có sự bình đẳng à một = bh b = ch c Và Một 1 h 1Một = b 1 h 1b = c 1 h 1c. Chia số hạng đẳng thức thứ nhất cho số hạng thứ hai, chúng ta thu được các đẳng thức mà từ đó nó theo sau các tam giác đó ABC Và MỘT 1 B 1 C 1 cái giống nhau. Vì chiều cao tương ứng của các hình tam giác này bằng nhau nên chúng không chỉ giống nhau mà còn bằng nhau.
Hướng dẫn
Nếu các tam giác ABC và DEF có cạnh AB bằng cạnh DE và các góc kề với cạnh AB bằng các góc kề với cạnh DE thì các tam giác này được coi là bằng nhau.
Nếu các tam giác ABC có các cạnh AB, BC và CD bằng các cạnh tương ứng của tam giác DEF thì các tam giác này bằng nhau.
ghi chú
Nếu bạn cần chứng minh sự bằng nhau của hai tam giác vuông, điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các dấu bằng của tam giác vuông sau:
Một trong hai chân và cạnh huyền;
- ở hai phía đã biết;
- dọc theo một trong các chân và góc nhọn liền kề với nó;
- dọc theo cạnh huyền và một trong các góc nhọn.
Tam giác là nhọn (nếu tất cả các góc của nó nhỏ hơn 90 độ), tù (nếu một trong các góc của nó lớn hơn 90 độ), đều và cân (nếu hai cạnh của nó bằng nhau).
Lời khuyên hữu ích
Ngoài các tam giác bằng nhau, các tam giác giống nhau còn đồng dạng. Các tam giác đồng dạng là các tam giác có các góc bằng nhau và các cạnh của tam giác này tỉ lệ với các cạnh của tam giác kia. Điều đáng chú ý là nếu hai hình tam giác giống nhau thì điều này không đảm bảo chúng bằng nhau. Khi chia các cạnh giống nhau của các tam giác cho nhau, người ta tính được cái gọi là hệ số tương tự. Hệ số này cũng có thể đạt được bằng cách chia diện tích của các hình tam giác giống nhau.
Nguồn:
- chứng minh sự bằng nhau về diện tích của tam giác
Hai tam giác bằng nhau nếu tất cả các phần tử của tam giác này bằng các phần tử của tam giác kia. Nhưng không nhất thiết phải biết tất cả kích thước của các hình tam giác để đưa ra kết luận về sự bằng nhau của chúng. Chỉ cần có một số bộ tham số nhất định cho các số liệu đã cho là đủ.
Hướng dẫn
Nếu biết rằng hai cạnh của tam giác này bằng cạnh kia và các góc giữa các cạnh này bằng nhau thì các tam giác đang nói đến bằng nhau. Để chứng minh điều đó, hãy căn chỉnh các đỉnh có góc bằng nhau của hai hình. Tiếp tục xếp lớp. Từ điểm chung của hai hình tam giác, hướng một cạnh của góc của tam giác chồng lên nhau dọc theo cạnh tương ứng của hình dưới. Theo điều kiện thì hai cạnh này bằng nhau. Điều này có nghĩa là các đầu của các đoạn sẽ trùng nhau. Do đó, một cặp đỉnh khác trong các tam giác đã cho trùng nhau. Hướng của các cạnh thứ hai của góc mà nó bắt đầu sẽ trùng nhau do các góc này bằng nhau. Và vì các cạnh này bằng nhau nên đỉnh cuối cùng sẽ chồng lên nhau. Một đường thẳng có thể được vẽ giữa hai điểm. Do đó, cạnh thứ ba của hai tam giác sẽ trùng nhau. Bạn đã nhận được hai hình hoàn toàn giống nhau và dấu hiệu đầu tiên đã được chứng minh về sự bằng nhau của các tam giác.
Nếu một cạnh và hai góc kề nhau của tam giác này bằng các góc tương ứng trong tam giác kia thì hai tam giác này bằng nhau. Để chứng minh tính đúng đắn của nhận định này, hãy xếp chồng hai hình, căn chỉnh các đỉnh của các góc bằng nhau với các cạnh bằng nhau. Do các góc bằng nhau nên hướng của cạnh thứ hai và thứ ba sẽ trùng nhau và vị trí giao nhau của chúng sẽ được xác định rõ ràng, nghĩa là đỉnh thứ ba của tam giác thứ nhất nhất thiết phải trùng với một điểm tương tự của thứ hai. Tiêu chuẩn thứ hai về sự bằng nhau của các tam giác đã được chứng minh.
