trang chủ > Ý tưởng > Kỳ thi Thống nhất có lượng giác không? Luyện thi Thống nhất môn toán "Ồ, lượng giác này!" Lượng giác trong kỳ thi môn toán


Kỳ thi Thống nhất có lượng giác không? Luyện thi Thống nhất môn toán "Ồ, lượng giác này!" Lượng giác trong kỳ thi môn toán




Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất môn toán với 60-65 điểm. Hoàn thành tất cả các nhiệm vụ 1-13 của Kỳ thi Tiểu bang Thống nhất môn toán. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!

Khóa luyện thi Kỳ thi Thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.

Tất cả các lý thuyết cần thiết. Lời giải nhanh, cạm bẫy và bí quyết của kỳ thi Thống Nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.

Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề kéo dài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.

Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất Nhà nước. Vấn đề từ ngữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các loại nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Lập thể. Những giải pháp khó khăn, những mánh gian lận hữu ích, phát triển trí tưởng tượng về không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích rõ ràng về các khái niệm phức tạp. Đại số học. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Căn cứ để giải các bài toán phức tạp Phần 2 Đề thi Thống nhất.

Sổ tay giáo dục và phương pháp
để chuẩn bị cho kỳ thi thống nhất môn toán

lượng giác ứng dụng trong toán học

Mục đích của hướng dẫn này là để hỗ trợ học sinh chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất môn toán trong phần “Lượng giác”.

Sách giáo khoa phân tích và đưa ra lời giải cho các bài toán điển hình về lượng giác do Viện Giáo dục Mở Matxcova đưa ra trong các bài kiểm tra, chẩn đoán, huấn luyện, trình diễn và kiểm tra môn toán cho học sinh lớp 10 và 11.

Sau khi phân tích từng bài toán điển hình, đưa ra các bài toán tương tự để có lời giải độc lập.

Bạn có thể tìm thấy thông tin lý thuyết cần thiết được sử dụng để giải bài toán trong phần “Lượng giác” trong “Sổ tay Toán học dành cho Học sinh” của chúng tôi.

Với chính các phương pháp giải phương trình lượng giác có thể tìm thấy trong sổ tay giáo dục “Giải phương trình lượng giác” của chúng tôi.

Dành cho học sinh lớp 10, 11 muốn chuẩn bị tốt và thi đậu Kỳ thi thống nhất quốc gia về toán hoặc tiếng Ngađể đạt điểm cao, trung tâm đào tạo Resolventa tổ chức các khóa luyện thi Thống nhất.

Chúng tôi cũng tổ chức cho học sinh

Với phiên bản demo của Kỳ thi Thống nhất, được công bố trên cổng thông tin chính thức của Kỳ thi Thống nhất, có thể tìm thấy tại






















































Quay lại phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

"Nói cho tôi biết, tôi sẽ quên
Chỉ cho tôi xem và tôi sẽ nhớ
Hãy cho tôi tham gia và tôi sẽ học được."
(Tục ngữ Trung Quốc)

Toán học từ lâu đã trở thành ngôn ngữ của khoa học và công nghệ, ngày càng thâm nhập sâu vào cuộc sống và ngôn ngữ đời thường, đồng thời ngày càng được đưa vào các lĩnh vực tưởng chừng như xa xưa với nó. Việc toán học chuyên sâu trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người đặc biệt được tăng cường cùng với sự phát triển nhanh chóng của máy tính. Việc tin học hóa xã hội và sự ra đời của các công nghệ thông tin hiện đại đòi hỏi khả năng hiểu biết toán học của con người ở mọi nơi làm việc. Điều này đòi hỏi cả kiến ​​thức toán học cụ thể và một phong cách tư duy nhất định. Đặc biệt, học lượng giác là một khía cạnh quan trọng. Việc nghiên cứu các hàm lượng giác được sử dụng rộng rãi trong thực tế, trong nghiên cứu nhiều quá trình vật lý, trong công nghiệp và thậm chí cả trong y học. Học sinh sử dụng toán học trong hoạt động nghề nghiệp sau này phải được chuẩn bị kiến ​​thức toán học ở mức độ cao.

Lượng giác là một phần không thể thiếu trong môn toán ở trường. Kiến thức tốt và kỹ năng vững vàng về lượng giác là bằng chứng của trình độ văn hóa toán học vừa đủ, là điều kiện không thể thiếu để học thành công toán, vật lý và một số ngành kỹ thuật ở trường đại học. Tuy nhiên, một tỷ lệ đáng kể học sinh tốt nghiệp trung học cho thấy sự chuẩn bị rất kém từ năm này qua năm khác cho phần toán quan trọng này, bằng chứng là kết quả của những năm trước, vì phân tích kỳ thi thống nhất cấp bang cho thấy học sinh mắc nhiều lỗi khi hoàn thành nhiệm vụ trong các môn toán. phần cụ thể này hoặc không sử dụng chúng cho những nhiệm vụ như vậy.

Nhưng ngay cả người Hy Lạp, vào buổi bình minh của nhân loại, cũng coi lượng giác là môn khoa học quan trọng nhất, vì hình học là nữ hoàng của toán học, và lượng giác là nữ hoàng của hình học. Vì vậy, chúng tôi, không cần bàn cãi về người Hy Lạp cổ đại, sẽ coi lượng giác là một trong những phần quan trọng nhất của khóa học ở trường và của tất cả các môn khoa học toán học nói chung.

Vật lý và hình học không thể làm được nếu không có lượng giác. Kỳ thi Thống nhất không thể thực hiện được nếu không có lượng giác. Chỉ riêng trong Phần B, các câu hỏi về lượng giác xuất hiện trong gần một phần ba số loại bài tập. Điều này bao gồm việc giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất trong nhiệm vụ B5 và làm việc với các biểu thức lượng giác trong nhiệm vụ B7 và nghiên cứu các hàm lượng giác trong nhiệm vụ B14, cũng như nhiệm vụ B12, chứa các công thức mô tả hiện tượng vật lý và chứa các hàm lượng giác. Không thể không lưu ý đến các nhiệm vụ hình học, trong đó sử dụng các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn của tam giác vuông và các đặc tính lượng giác cơ bản. Và đây chỉ là phần B! Nhưng cũng có những phương trình lượng giác được yêu thích với việc chọn nghiệm C1 và các bài tập hình học “không được yêu thích lắm” C2 và C4.

Làm thế nào sinh viên có thể được đào tạo về các chủ đề này? Một số lượng lớn các phương pháp có thể được đưa ra, nhưng điều quan trọng nhất là trẻ không có cảm giác sợ hãi và lo lắng không cần thiết do có rất nhiều nhiệm vụ và công thức khác nhau. Và để làm được điều này, cần phải tạo ra tâm trạng tích cực khi giải quyết những nhiệm vụ này. Bài thuyết trình này có thể được sử dụng để tiến hành các lớp học với sinh viên và để phát biểu tại các hội thảo dành cho các nhà toán học chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Nó cung cấp một số loại nhiệm vụ và thảo luận về các giải pháp của họ.

Đào tạo tốt không chỉ có thể là một giải pháp đơn giản cho những nhiệm vụ này mà còn có thể là sự biên soạn của chính học sinh. Tùy thuộc vào sự chuẩn bị, đây có thể là các bài kiểm tra để tìm ra các hạn chế trong việc giải các phương trình lượng giác C1 và thậm chí cả chính các phương trình.

Một phương pháp tích cực khác là tiến hành các lớp học dưới hình thức trò chơi trí tuệ. Tôi nghĩ một trong những lựa chọn thuận tiện nhất là định dạng “Trò chơi tùy chỉnh”. Hình thức trò chơi này, đặc biệt là hiện nay với việc sử dụng các bài thuyết trình trên máy tính, có thể được sử dụng trong các bài kiểm tra, sau khi học các chủ đề và để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Tác phẩm được đề xuất có nội dung “Trò chơi của riêng bạn. Giải các phương trình lượng giác và bất đẳng thức."

Kết quả của công việc đề xuất phải là giải thành công các nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất về chủ đề “Lượng giác”.

\(\blacktriangleright\) Xét một hệ tọa độ hình chữ nhật và trong đó là một hình tròn có bán kính đơn vị và tâm ở gốc tọa độ.

Góc trong \(1^\circ\)- đây là góc ở tâm nằm trên một cung có độ dài bằng \(\dfrac1(360)\) độ dài của toàn bộ đường tròn.

\(\blacktriangleright\) Chúng ta sẽ xét các góc trên đường tròn có đỉnh nằm ở tâm đường tròn và một cạnh luôn trùng với hướng dương của trục \(Ox\) (được tô màu đỏ trong hình) .
Các góc được đánh dấu theo cách này \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):

Lưu ý rằng góc \(0^\circ\) là góc có cả hai cạnh trùng với hướng dương của trục \(Ox\) .

Điểm mà cạnh thứ hai của một góc \(\alpha\) cắt đường tròn sẽ được gọi là \(P_(\alpha)\) .
Vị trí của điểm \(P_(0)\) sẽ được gọi là vị trí ban đầu.

Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng chúng ta quay một vòng tròn từ vị trí ban đầu \(P_0\) đến vị trí \(P_(\alpha)\) một góc \(\alpha\) .

\(\blacktriangleright\) Chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ trong một vòng tròn là chuyển động quay dương. Một vòng quay theo chiều kim đồng hồ là một vòng quay âm.

Ví dụ, trong hình các góc được đánh dấu \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):

\(\blacktriangleright\) Xét điểm \(P_(30^\circ)\) trên một đường tròn. Để xoay một vòng tròn từ vị trí ban đầu đến điểm \(P_(30^\circ)\), bạn cần xoay qua góc \(30^\circ\) (màu cam). Nếu chúng ta thực hiện một cuộc cách mạng hoàn toàn (nghĩa là bằng \(360^\circ\) ) và một lượt khác bằng \(30^\circ\) , thì chúng ta sẽ lại đạt đến điểm này, mặc dù chúng ta đã thực hiện một lượt một góc \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(màu xanh da trời). Chúng ta cũng có thể đi đến điểm này bằng cách chuyển sang \(-330^\circ\) (màu xanh lá cây), để \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) vân vân.


Do đó, mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với vô số góc và các góc này khác nhau bởi một số nguyên số vòng quay đầy đủ ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
Ví dụ: góc \(30^\circ\) lớn hơn góc \(-330^\circ\) và \(2\cdot 360^\circ\) nhỏ hơn góc \(750^\circ\) .

Tất cả các góc tọa lạc tại điểm \(P_(30^\circ)\) có thể được viết dưới dạng: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \n\in\mathbb(Z)\).

\(\blacktriangleright\) Góc tính bằng \(1\) radian- đây là góc ở tâm nằm trên một cung có chiều dài bằng bán kính đường tròn:

Bởi vì chiều dài của toàn bộ hình tròn có bán kính \(R\) bằng \(2\pi R\) , và tính theo độ - \(360^\circ\), thì chúng ta có \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf(rad)\), Ở đâu \ Đây là công thức cơ bản mà bạn có thể sử dụng để chuyển đổi độ sang radian và ngược lại.

Ví dụ 1. Tìm số đo radian của góc \(60^\circ\) .

Bởi vì \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Rightarrow 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)

Ví dụ 2. Tìm số đo độ của góc \(\dfrac34 \pi\) .

Bởi vì \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).

Thông thường họ viết, ví dụ, không \(\dfrac(\pi)4 \text( rad)\), mà chỉ đơn giản là \(\dfrac(\pi)4\) (tức là đơn vị đo “rad” bị bỏ qua). Xin lưu ý rằng việc chỉ định độ khi viết góc đừng hạ thấp. Do đó, khi viết “góc bằng \(1\)” chúng ta muốn nói rằng “góc bằng \(1\) radian” chứ không phải “góc bằng \(1\) độ”.

Bởi vì \(\pi \thickapprox 3.14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3.14 \textbf(rad) \Rightarrow 1 \textbf(rad) \thickapprox 57^\circ\).
Sự thay thế gần đúng như vậy không thể thực hiện được trong các bài toán, nhưng việc biết \(1\) radian theo độ xấp xỉ bằng bao nhiêu thường giúp giải quyết một số bài toán. Ví dụ: theo cách này, việc tìm góc \(5\) radian trên một vòng tròn sẽ dễ dàng hơn: nó gần bằng \(285^\circ\) .

\(\blacktriangleright\) Từ quá trình đo mặt phẳng (hình học trên mặt phẳng), chúng ta biết rằng đối với các góc \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
nếu cho một tam giác vuông có các cạnh \(a, b, c\) và góc \(\alpha\), thì:

Bởi vì mọi góc đều được xác định trên vòng tròn đơn vị \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\), thì bạn cần xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho bất kỳ góc nào.
Xét đường tròn đơn vị và trên đó góc \(\alpha\) và điểm tương ứng \(P_(\alpha)\) :

Chúng ta hãy hạ đường vuông góc \(P_(\alpha)K\) từ điểm \(P_(\alpha)\) xuống trục \(Ox\) . Chúng ta có một tam giác vuông \(\tam giác OP_(\alpha)K\) từ đó chúng ta có: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\] Lưu ý rằng đoạn \(OK\) không gì khác hơn là hoành độ \(x_(\alpha)\) của điểm \(P_(\alpha)\) và đoạn \(P_(\alpha)K\) là tọa độ \(y_(\alpha)\) . Cũng lưu ý rằng vì chúng ta lấy đường tròn đơn vị thì \(P_(\alpha)O=1\) là bán kính của nó.
Như vậy, \[\sin\alpha=y_(\alpha), \qquad \cos \alpha=x_(\alpha)\]

Do đó, nếu điểm \(P_(\alpha)\) có tọa độ \((x_(\alpha)\,;y_(\alpha))\), thì qua góc tương ứng tọa độ của nó có thể được viết lại thành \(( \ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Sự định nghĩa: 1. Sin của góc \(\alpha\) là tọa độ của điểm \(P_(\alpha)\) ứng với góc này trên đường tròn đơn vị.

2. Cosin của góc \(\alpha\) là hoành độ của điểm \(P_(\alpha)\) ứng với góc này trên đường tròn đơn vị.

Vì vậy, trục \(Oy\) được gọi là trục sin, trục \(Ox\) được gọi là trục cosin.

\(\blacktriangleright\) Hình tròn có thể được chia thành các phần \(4\), như trong hình.


Bởi vì trong phần tư \(I\) cả trục hoành và tọa độ của tất cả các điểm đều dương, sau đó cosin và sin của mọi góc từ phần tư này cũng dương.
Bởi vì trong phần tư \(II\), tọa độ của tất cả các điểm là dương và trục hoành là âm, khi đó cosin của tất cả các góc từ phần tư này là âm và các sin là dương.
Tương tự, bạn có thể xác định dấu của sin và cos cho các phần tư còn lại.

Ví dụ 3. Ví dụ: vì các điểm \(P_(\frac(\pi)(6))\) và \(P_(-\frac(11\pi)6)\) trùng nhau, nên tọa độ của chúng bằng nhau, tức là. \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \left(-\dfrac(11\pi)6\right),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \left(-\dfrac( 11\pi)6\phải)\).

Ví dụ 4. Hãy xem xét các điểm \(P_(\alpha)\) và \(P_(\pi-\alpha)\) . Để thuận tiện hãy để \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .


Hãy vẽ các đường vuông góc với trục \(Ox\) : \(OK\) và \(OK_1\) . Các tam giác \(OKP_(\alpha)\) và \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) bằng nhau ở cạnh huyền và góc ( \(\góc P_(\alpha)OK=\góc P_(\pi-\alpha)OK_1=\alpha\)). Kể từ đây, \(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\). Bởi vì tọa độ điểm \(P_(\alpha)=(OK;KP_(\alpha))=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\), và các điểm \(P_(\pi-\alpha)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\alpha))=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\), kể từ đây, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

Bằng cách này, các công thức khác được gọi là công thức khử: \[(\large(\begin(array)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end(array)))\]

Bằng cách sử dụng các công thức này, bạn có thể tìm sin hoặc cosin của bất kỳ góc nào, giảm giá trị này xuống sin hoặc cosin của góc tính từ phần tư \(I\).

Bảng các sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của các góc từ phần tư thứ nhất:
\[(\large(\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \hline \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \hline \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(array)))\]

Lưu ý rằng các giá trị này đã được hiển thị trong phần “Hình học trên mặt phẳng (phép đo mặt phẳng). Phần II” trong chuyên đề “Thông tin ban đầu về sin, cos, tang và cotang”.

Ví dụ 5. Tìm \(\sin(\dfrac(3\pi)4)\) .

Hãy biến đổi góc: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)

Như vậy, \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\left(\pi-\dfrac(\pi)4\right)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).

\(\blacktriangleright\) Để dễ nhớ và dễ sử dụng các công thức rút gọn hơn, bạn có thể tuân theo quy tắc sau.

Trường hợp 1.\(n\cdot \pi\pm \alpha\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]

Dấu hiệu của một góc có thể được tìm thấy bằng cách xác định nó nằm ở góc phần tư nào. Sử dụng quy tắc này, chúng ta giả sử rằng góc \(\alpha\) nằm trong góc phần tư \(I\).

Trường hợp 2. Nếu góc có thể được biểu diễn dưới dạng , trong đó \(n\in\mathbb(N)\) , thì \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] trong đó vị trí của \(\bigodot\) là dấu hiệu của sin của góc \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] trong đó thay cho \(\bigodot\) là dấu của cosin của góc \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Dấu hiệu được xác định theo cách tương tự như trong trường hợp \(1\) .

Lưu ý rằng trong trường hợp đầu tiên, hàm không thay đổi và trong trường hợp thứ hai, nó thay đổi (họ nói rằng hàm thay đổi thành đồng hàm).

Ví dụ 6. Tìm \(\sin \dfrac(13\pi)(3)\) .

Hãy biến đổi góc: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), kể từ đây, \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \left(4\pi+\dfrac(\pi)3\right)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)

Ví dụ 7. Tìm \(\cos \dfrac(17\pi)(6)\) .

Hãy biến đổi góc: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-\pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), kể từ đây, \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \left(3\pi-\dfrac(\pi)6\right)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)

\(\blacktriangleright\) Phạm vi giá trị sin và cosin.
Bởi vì tọa độ \(x_(\alpha)\) và \(y_(\alpha)\) của bất kỳ điểm \(P_(\alpha)\) nào trên vòng tròn đơn vị nằm trong phạm vi từ \(-1\) đến \ (1\) và \(\cos\alpha\) và \(\sin\alpha\) lần lượt là hoành độ và tọa độ của điểm này, thì \[(\large(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))\]

Từ một tam giác vuông theo định lý Pytago ta có: \(x^2_(\alpha)+y^2_(\alpha)=1^2\)
Bởi vì \(x_(\alpha)=\cos\alpha,\ y_(\alpha)=\sin\alpha \Rightarrow\) \[(\large(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(đồng nhất thức lượng giác cơ bản (GTT))\]

\(\blacktriangleright\) Tiếp tuyến và côtang.

Bởi vì \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)

\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), Cái đó:

1) \((\large(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)

2) tiếp tuyến và cotang là dương trong các phần tư \(I\) và \(III\) và âm trong các phần tư \(II\) và \(IV\).

3) phạm vi giá trị của tiếp tuyến và cotang - tất cả các số thực, tức là. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \ \mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)

4) công thức rút gọn cũng được xác định cho tiếp tuyến và cotang.

Trường hợp 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] trong đó thay cho \(\bigodot\) là dấu của tiếp tuyến của góc \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] trong đó thay cho \(\bigodot\) là dấu của góc cotang \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ).

Trường hợp 2. Nếu góc có thể được biểu diễn dưới dạng \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\alpha\), ở đâu \(n\in\mathbb(N)\) , sau đó \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] trong đó \(\bigodot\) có dấu hiệu tiếp tuyến của góc \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] trong đó thay cho \(\bigodot\) là dấu của góc cotang \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ).

5) trục tiếp tuyến đi qua điểm \((1;0)\) song song với trục sin và chiều dương của trục tiếp tuyến trùng với chiều dương của trục sin;
trục cotang đi qua điểm \((0;1)\) song song với trục cosin và hướng dương của trục cotang trùng với hướng dương của trục cosin.


Chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng ví dụ về trục tiếp tuyến.

\(\tam giác OP_(\alpha)K \sim \tam giác AOB \Rightarrow \dfrac(P_(\alpha)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Rightarrow \dfrac(\sin\alpha)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Rightarrow BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).

Như vậy, nếu điểm \(P_(\alpha)\) được nối bằng một đường thẳng đến tâm đường tròn thì đường thẳng này sẽ cắt đường tiếp tuyến tại một điểm có giá trị là \(\mathrm(tg)\ ,\alpha\) .

6) các công thức sau đây suy ra từ đồng nhất thức lượng giác chính: \ Công thức đầu tiên có được bằng cách chia bên phải và bên trái của OTT cho \(\cos^2\alpha\), công thức thứ hai bằng cách chia cho \(\sin^2\alpha\) .

Xin lưu ý rằng tiếp tuyến không được xác định ở các góc trong đó cosin bằng 0 (đây là \(\alpha=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
cotang không được xác định ở các góc trong đó sin bằng 0 (đây là \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb(Z)\)).

\(\blacktriangleright\) Độ chẵn của cosin và độ lẻ của sin, tiếp tuyến, cotang.

Hãy nhớ lại rằng một hàm \(f(x)\) được gọi ngay cả khi \(f(-x)=f(x)\) .

Một hàm được gọi là lẻ nếu \(f(-x)=-f(x)\) .

Từ hình tròn có thể thấy rằng cosin của góc \(\alpha\) bằng cosin của góc \(-\alpha\) đối với mọi giá trị của \(\alpha\) :

Do đó, cosine là hàm chẵn, có nghĩa là công thức \[(\Large(\cos(-x)=\cos x))\] là đúng

Từ hình tròn, có thể thấy rõ sin của góc \(\alpha\) đối diện với sin của góc \(-\alpha\) đối với bất kỳ giá trị nào của \(\alpha\) :

Do đó, sin là hàm số lẻ, nghĩa là công thức đúng \[(\Large(\sin(-x)=-\sin x))\]

Tiếp tuyến và cotang cũng là các hàm số lẻ: \[(\Large(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Large(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]

Bởi vì \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin (-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))

Như thực tế cho thấy, một trong những phần toán khó nhất mà học sinh gặp phải trong Kỳ thi Thống nhất là lượng giác. Khoa học về tỷ lệ khung hình trong hình tam giác bắt đầu được học từ lớp 8. Các phương trình loại này chứa một biến dưới dấu của hàm lượng giác. Mặc dù thực tế là cách đơn giản nhất trong số đó: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - quen thuộc với hầu hết mọi người học sinh, việc thực hiện chúng thường khó khăn.

Trong kỳ thi Thống nhất môn toán ở cấp độ hồ sơ, một bài toán lượng giác giải đúng được đánh giá rất cao. Một học sinh có thể nhận được tối đa 4 điểm chính khi hoàn thành chính xác một nhiệm vụ trong phần này. Để làm được điều này, việc tìm kiếm các tờ cheat về lượng giác cho Kỳ thi Thống nhất gần như vô nghĩa. Giải pháp hợp lý nhất là chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi.

Làm thế nào để làm nó?

Để đảm bảo rằng lượng giác trong Kỳ thi Thống nhất môn toán không khiến bạn sợ hãi, hãy sử dụng cổng thông tin của chúng tôi khi chuẩn bị. Thật tiện lợi, đơn giản và hiệu quả. Trong phần này của cổng thông tin giáo dục của chúng tôi, dành cho sinh viên ở cả Moscow và các thành phố khác, tài liệu lý thuyết và công thức lượng giác cho Kỳ thi Thống nhất được trình bày một cách dễ tiếp cận. Ngoài ra, đối với tất cả các định nghĩa toán học, chúng tôi đã chọn các ví dụ có mô tả chi tiết về quá trình giải chúng.

Sau khi học lý thuyết ở phần “Lượng giác” để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất, chúng tôi khuyên bạn nên vào “Danh mục” để tiếp thu tốt hơn những kiến ​​thức đã học. Tại đây bạn có thể chọn các vấn đề về chủ đề quan tâm và xem giải pháp của chúng. Như vậy, việc lặp lại lý thuyết lượng giác trong Kỳ thi Thống nhất sẽ mang lại hiệu quả cao nhất.

Những gì bạn cần biết?

Trước hết, bạn cần tìm hiểu các giá trị của \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) các góc nhọn từ \(0°\) đến \(90° \) . Ngoài ra, khi chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất ở Mátxcơva, cần nhớ các phương pháp cơ bản để giải các bài toán lượng giác. Cần lưu ý rằng khi hoàn thành nhiệm vụ, bạn phải rút gọn phương trình về dạng đơn giản nhất. Bạn có thể làm điều này như sau:

  • phân tích phương trình;
  • thay thế một biến (rút gọn về phương trình đại số);
  • dẫn đến một phương trình đồng nhất;
  • di chuyển đến nửa góc;
  • chuyển đổi sản phẩm thành tổng;
  • bằng cách nhập một góc phụ;
  • sử dụng phương pháp thay thế phổ quát.

Trong trường hợp này, thông thường học sinh phải sử dụng một số phương pháp được liệt kê trong quá trình giải.

MỘT) Giải phương trình 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

MỘT) Mở ngoặc và di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái, chúng ta thu được phương trình 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Xét rằng \cos x \neq 0, số hạng 2 \sin x có thể được thay thế bằng 2 tan x \cos x, ta thu được phương trình 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, mà bằng cách nhóm có thể được rút gọn thành dạng (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tan x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b) Sử dụng vòng tròn số, chọn các nghiệm thuộc khoảng \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Trả lời

MỘT) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Tình trạng

MỘT) Giải phương trình (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Hãy chỉ ra nghiệm của phương trình này thuộc khoảng \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

MỘT) ODZ: \begin(case) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(case)

Phương trình ban đầu trên ODZ tương đương với một tập hợp các phương trình

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(mảng)\right.

Hãy giải phương trình đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi sẽ thực hiện thay thế \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Khi đó \sin^24x=1-t^2. Chúng tôi nhận được:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Hãy giải phương trình thứ hai.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Sử dụng vòng tròn đơn vị, chúng ta tìm được nghiệm thỏa mãn ODZ.

Dấu “+” đánh dấu quý 1 và quý 3, trong đó tg x>0.

Chúng ta nhận được: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) Hãy tìm nghiệm thuộc khoảng \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Trả lời

MỘT) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \số Pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tình trạng

MỘT) Giải phương trình: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Liệt kê tất cả các nghiệm thuộc khoảng \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

MỘT) Bởi vì \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Cái đó \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Điều này có nghĩa là phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos^2x=\cos ^22x, do đó, phương trình này tương đương với phương trình \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Nhưng \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) Và

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, do đó phương trình trở thành

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Khi đó, 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, hoặc 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Giải phương trình thứ nhất dưới dạng phương trình bậc hai cho \cos x, ta có:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Do đó, \cos x=1 hoặc \cos x=-\frac12. Nếu \cos x=1, thì x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Nếu \cos x=-\frac12, Cái đó x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Tương tự, giải phương trình thứ hai, chúng ta nhận được \cos x=-1 hoặc \cos x=\frac12. Nếu \cos x=-1 thì nghiệm x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Nếu như \cos x=\frac12, Cái đó x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Hãy kết hợp các giải pháp thu được:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Hãy chọn các nghiệm nằm trong một khoảng nhất định bằng cách sử dụng vòng tròn số.

Chúng tôi nhận được: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Trả lời

MỘT) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tình trạng

MỘT) Giải phương trình 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Hãy chỉ ra nghiệm của phương trình này thuộc khoảng \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

MỘT) 1. Theo công thức rút gọn, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Miền định nghĩa của phương trình sẽ là các giá trị của x sao cho \cos x \neq 0 và tan x \neq -1. Hãy biến đổi phương trình bằng công thức cosin góc kép 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Chúng ta nhận được phương trình: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

thông báo rằng \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), nên phương trình trở thành: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Từ đây \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Biến đổi \sin x+\cos x bằng cách sử dụng công thức rút gọn và công thức tính tổng cosin: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Từ đây \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Có nghĩa, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

hoặc x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Đó là lý do tại sao x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

hoặc x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Các giá trị tìm được của x thuộc miền định nghĩa.

b) Trước hết chúng ta hãy tìm nghiệm nghiệm của phương trình tại k=0 và t=0. Đây sẽ là những con số tương ứng a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Và b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Chứng minh bất đẳng thức phụ:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Thật sự, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Cũng lưu ý rằng \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Có nghĩa \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Từ bất đẳng thức (1) Theo tính chất cung cosin ta có:

cung 1

0

Từ đây \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Tương tự như vậy, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

Với k=-1 và t=-1, chúng ta thu được nghiệm của phương trình a-2\pi và b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). trong đó -2\pi

2\pi Điều này có nghĩa là các nghiệm này thuộc về khoảng đã cho \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Đối với các giá trị khác của k và t, nghiệm của phương trình không thuộc khoảng đã cho.

Thật vậy, nếu k\geqslant 1 và t\geqslant 1 thì nghiệm lớn hơn 2\pi. Nếu k\leqslant -2 và t\leqslant -2 thì nghiệm nhỏ hơn -\frac(7\pi )2.

Trả lời

MỘT) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tình trạng

MỘT) Giải phương trình \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình này thuộc khoảng ;

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

MỘT) Hãy biến đổi phương trình:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Chúng ta tìm các nghiệm thuộc đoạn bằng cách sử dụng vòng tròn đơn vị.

Khoảng được chỉ định chứa một số duy nhất \frac\pi 2.

Trả lời

MỘT) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tình trạng

không được bao gồm trong DZ.

Có nghĩa, \sin x \neq 1.

Chia cả hai vế của phương trình cho một thừa số (\sin x-1), khác với số không. Chúng ta thu được phương trình \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), hoặc phương trình 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Áp dụng công thức rút gọn ở vế trái và công thức rút gọn ở vế phải, ta thu được phương trình 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Phương trình này là bằng cách thay thế \cos x=t,Ở đâu -1 \leqslant t \leqslant 1 giảm nó thành hình vuông: 2t^2+t-1=0, nguồn gốc của ai t_1=-1 Và t_2=\frac12. Trở lại biến x, ta có \cos x = \frac12 hoặc \cos x=-1,Ở đâu x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Hãy giải bất đẳng thức

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , tôi, N, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Không có số nguyên trong phạm vi \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Bất đẳng thức này được thỏa mãn bởi k=-1, khi đó x=-\pi.

Trả lời

MỘT) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, tôi, N, k \in \mathbb Z;

b) -\số Pi .