Trang Chủ > Sự nóng lên > Cách tính căn của một số thập phân. Cách tính căn bậc hai của một số mà không cần dùng máy tính


Cách tính căn của một số thập phân. Cách tính căn bậc hai của một số mà không cần dùng máy tính




Chương một.

Trích căn bậc hai số nguyên lớn nhất từ ​​một số nguyên cho trước.

170. Nhận xét sơ bộ.

Một) Vì chúng ta sẽ chỉ nói về việc trích xuất căn bậc hai, để rút gọn bài phát biểu trong chương này, thay vì căn bậc hai, chúng ta sẽ nói đơn giản là "root".

NS) Nếu ta nâng dãy số tự nhiên lên bình phương: 1,2,3,4,5. ... ... , thì chúng ta nhận được bảng các ô vuông sau: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Rõ ràng, có rất nhiều số nguyên không có trong bảng này; từ những con số như vậy, tất nhiên, không thể trích xuất toàn bộ một gốc. Do đó, nếu bạn muốn trích xuất gốc của một số nguyên, chẳng hạn. yêu cầu tìm √4082, thì chúng tôi đồng ý hiểu yêu cầu này như sau: trích xuất toàn bộ gốc của 4082, nếu có thể; nếu không thể, thì chúng ta phải tìm số nguyên lớn nhất, bình phương của nó là 4082 (số này là 63, vì 63 2 = 39b9 và 64 2 = 4090).

v) Nếu số này nhỏ hơn 100, thì căn của nó được tìm thấy trong bảng cửu chương; vì vậy √60 sẽ là 7, vì bảy của 7 là 49, nhỏ hơn 60, và tám là 8, là 64, lớn hơn 60.

171. Rút gốc của một số nhỏ hơn 10.000 nhưng lớn hơn 100. Giả sử cần thiết để tìm √4082. Vì số này nhỏ hơn 10.000 nên căn của nó nhỏ hơn √l0.000 = 100. Mặt khác, số này lớn hơn 100; do đó, gốc của nó lớn hơn (hoặc bằng 10). (Ví dụ: nếu bắt buộc phải tìm √ 120 , thì mặc dù số 120> 100, tuy nhiên √ 120 là 10 bởi vì 11 2 = 121.) Nhưng bất kỳ số nào lớn hơn 10, nhưng nhỏ hơn 100, có 2 chữ số; do đó, gốc bắt buộc là tổng:

hàng chục + đơn vị,

và do đó bình phương của nó phải bằng tổng:

Tổng này phải là bình phương lớn nhất của 4082.

Chúng ta hãy lấy số lớn nhất trong số đó là 36 và giả sử rằng bình phương của hàng chục của căn sẽ bằng bình phương lớn nhất này. Khi đó, số hàng chục ở gốc phải là 6. Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra xem điều này phải luôn luôn như vậy, nghĩa là, số hàng chục của căn luôn bằng số nguyên lớn nhất của hàng trăm của số căn.

Thật vậy, trong ví dụ của chúng ta, số hàng chục của căn không thể nhiều hơn 6, vì (7 phần tử.) 2 = 49 phần trăm, vượt quá 4082. Nhưng nó không thể nhỏ hơn 6, vì 5 phần tử. (với đơn vị) nhỏ hơn 6 món tráng miệng, và trong khi đó (6 món tráng miệng.) 2 = 36 hàng trăm, nhỏ hơn 4082. Và vì chúng ta đang tìm gốc lớn nhất, chúng ta không nên lấy 5 món tráng miệng cho gốc. , khi 6 chục hóa ra không phải là nhiều.

Vì vậy, chúng ta đã tìm được số hàng chục của căn, cụ thể là 6. Chúng ta viết số này vào bên phải của dấu =, nhớ rằng nó có nghĩa là hàng chục của căn. Nâng nó lên một hình vuông, chúng tôi nhận được 36 trăm. Trừ 36 trăm này với 40 trăm của số căn và lấy đi hai chữ số khác của số này. Phần còn lại của 482 nên chứa 2 (6 món tráng miệng.) (Đơn vị) + (đơn vị) 2. Công việc (6 tháng mười hai) (đơn vị) nên là hàng chục; do đó, tích nhân đôi của hàng chục với hàng đơn vị phải được tìm ở hàng chục của phần dư, tức là bằng 48 (chúng ta sẽ lấy số của chúng bằng cách chia một chữ số từ bên phải cho phần dư 48 "2.) Hàng chục nhân đôi của căn là 12. Vì vậy, nếu chúng ta nhân 12 với các đơn vị của căn (vẫn chưa biết), thì chúng ta sẽ nhận được số có trong 48. Do đó, chúng ta chia 48 cho 12.

Để thực hiện việc này, ở bên trái của phần còn lại, hãy vẽ một đường thẳng đứng và sau nó (xuất phát từ đường này một chỗ ở bên trái cho mục tiêu bây giờ sẽ được tìm thấy), viết chữ số đầu tiên được nhân đôi của gốc, nghĩa là, 12, và chia cho 48. Trong thương số, chúng tôi nhận được 4.

Tuy nhiên, người ta không thể đảm bảo trước rằng số 4 có thể được lấy cho các đơn vị của căn, vì bây giờ chúng ta đã chia toàn bộ số hàng chục của phần dư cho 12, trong khi một số trong số chúng có thể không thuộc tích đôi của hàng chục. bởi đơn vị, nhưng được bao gồm trong bình phương của đơn vị. Do đó, số 4 có thể lớn. Chúng ta phải kiểm tra nó. Rõ ràng là phù hợp nếu tổng 2 (6 tháng mười hai) 4 + 4 2 không nhiều hơn phần dư 482.

Kết quả là, chúng tôi ngay lập tức nhận được tổng của cả hai. Tích thu được là 496, nhiều hơn số dư là 482; vì vậy số 4 là tuyệt vời. Sau đó, chúng ta hãy kiểm tra số 3 nhỏ hơn tiếp theo theo cách tương tự.

Các ví dụ.

Trong ví dụ 4, chia 47 chục dư cho 4, ta được thương là 11. Nhưng vì số hàng đơn vị của căn không thể là số có hai chữ số 11 hoặc 10 nên ta phải nghiệm trực tiếp số 9.

Trong ví dụ 5, sau khi trừ đi hình vuông 8 từ mặt đầu tiên, phần còn lại trở thành 0 và mặt tiếp theo cũng bao gồm các số không. Điều này cho thấy rằng gốc bắt buộc chỉ bao gồm 8 chục, và do đó số 0 phải được đặt vào vị trí của các đơn vị.

172. Trích xuất một gốc từ một số lớn hơn 10000... Giả sử bạn muốn tìm √35782. Vì số căn vượt quá 10.000 nên căn của nó lớn hơn √10000 = 100 và do đó, nó bao gồm 3 chữ số trở lên. Cho dù nó bao gồm bao nhiêu chữ số, chúng ta luôn có thể coi nó là tổng của chỉ hàng chục và hàng đơn vị. Ví dụ, nếu gốc là 482, thì chúng ta có thể đếm nó cho số lượng 48 món tráng miệng. + 2 đơn vị Khi đó bình phương của căn sẽ bao gồm 3 số hạng:

(tháng mười hai) 2 + 2 (tháng mười hai) (đơn vị) + (đơn vị) 2.

Bây giờ chúng ta có thể lập luận theo cách giống hệt như khi tìm √4082 (trong đoạn trước). Sự khác biệt duy nhất là để tìm hàng chục gốc từ 4082, chúng tôi phải trích xuất gốc từ 40, và điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng bảng cửu chương; Bây giờ, để có hàng chục √35782, chúng ta phải trích xuất căn của 357, không thể thực hiện theo bảng cửu chương. Nhưng chúng ta có thể tìm √357 bằng thủ thuật tương tự đã được mô tả trong đoạn trước, vì số 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Sau đó, chúng tôi làm như chúng tôi đã làm khi tìm √4082, cụ thể là: ở bên trái phần dư của 3382, chúng tôi vẽ một đường thẳng đứng và sau nó, chúng tôi viết (cách dòng một chỗ) số nhân đôi của hàng chục căn tìm được, rằng là, 36 (hai lần 18). Phần dư, ta tách một chữ số ở bên phải và chia số hàng chục của phần dư, nghĩa là 338, cho 36. Trong phần thương, ta được 9. Thử hình này, ta gán nó cho 36 trên quyền và nhân nó với nó. Sản phẩm hóa ra là 3321, ít hơn số còn lại. Vì vậy số 9 là tốt, chúng ta viết nó ở gốc.

Nói chung, để trích xuất căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào, trước tiên bạn phải trích xuất căn từ số hàng trăm của nó; nếu số này lớn hơn 100, thì bạn sẽ phải tìm gốc của hàng trăm hàng trăm này, nghĩa là từ hàng chục nghìn của số đã cho; nếu con số này lớn hơn 100, cần phải trích gốc từ số hàng trăm hàng chục nghìn, tức là từ hàng triệu của một số đã cho, v.v.

Các ví dụ.

Trong ví dụ cuối cùng, tìm chữ số đầu tiên và trừ bình phương của nó, ta được số dư là 0. Ta bỏ đi 2 chữ số tiếp theo là 51. Tách hàng chục, ta được 5 số thập phân, trong khi chữ số nhân đôi của căn là 6. Vì vậy, từ phép chia 5 cho 6 ta được 0 Ta đặt căn số 0 ở vị trí thứ hai và ta khử 2 chữ số tiếp theo được dư; chúng tôi nhận được 5110. Sau đó chúng tôi tiếp tục như bình thường.

Trong ví dụ này, gốc mong muốn chỉ bao gồm 9 trăm, và do đó các số không phải được đặt ở vị trí của hàng chục và ở vị trí của các số một.

Luật lệ. Để trích xuất căn bậc hai của một số nguyên đã cho, hãy tách nó, từ tay phải sang trái, trên cạnh, mỗi cạnh có 2 chữ số, trừ chữ số cuối cùng, trong đó có thể có một chữ số.
Để tìm chữ số đầu tiên của căn, hãy trích căn bậc hai của mặt đầu tiên.
Để tìm chữ số thứ hai, bình phương của chữ số thứ nhất của căn bị trừ đi mặt thứ nhất, mặt thứ hai bị trừ đi còn lại, và số hàng chục của số được kết quả là chia cho chữ số đầu tiên nhân đôi của căn. ; số nguyên kết quả được kiểm tra.
Phép thử này được thực hiện như sau: phía sau thanh thẳng đứng (bên trái phần dư), ghi số căn đã tìm được gấp đôi trước đó và ở bên phải, gán số cần thử, số kết quả, sau phần tái bút này, số này được nhân với số kiểm tra. Nếu sau khi nhân mà thu được số lớn hơn số dư thì số cần thử không phù hợp và phải thử tiếp số thấp hơn tiếp theo.
Các chữ số gốc tiếp theo được tìm thấy theo cách tương tự.
Nếu sau khi bỏ mặt, số hàng chục của số kết quả nhỏ hơn số bị chia, tức là nhỏ hơn hai lần phần tìm được của căn, thì chúng đặt số 0 ở gốc, bỏ mặt tiếp theo và tiếp tục hành động hơn nữa.

173. Số chữ số trong căn bậc nhất. Từ kết quả kiểm tra quá trình tìm căn, ta thấy rằng có bao nhiêu chữ số ở căn bậc nhất có mặt gồm 2 chữ số mỗi căn (có thể có một chữ số ở vế trái).

Chương hai.

Trích xuất gốc hình vuông gần đúng từ số nguyên và phân số .

Để rút ra căn bậc hai của đa thức, hãy xem phụ lục của phần thứ hai của § 399 et seq.

174. Dấu hiệu của căn bậc hai chính xác. Căn bậc hai chính xác của một số nhất định là một số có bình phương chính xác bằng số đã cho. Hãy để chúng tôi chỉ ra một số dấu hiệu mà người ta có thể đánh giá xem liệu gốc chính xác có được trích xuất từ ​​một số nhất định hay không:

Một) Nếu một căn nguyên chính xác không được trích xuất từ ​​một số nguyên nhất định (nó có được bằng cách trích xuất phần dư), thì không thể tìm thấy một căn chính xác của phân số từ một số như vậy, vì bất kỳ phân số nào không bằng một số nguyên, sẽ được nhân với chính nó. , cũng cho một phân số trong tích, không phải số nguyên.

NS) Vì căn của một phân số bằng căn của tử số chia cho căn của mẫu số, nên không thể tìm được căn chính xác của một phân số bất khả quy nếu nó không chiết được từ tử số hoặc từ mẫu số. Ví dụ: không thể rút gốc chính xác từ các phân số 4/5, 8/9 và 11/15, vì trong phân số đầu tiên, nó không thể được trích từ mẫu số, trong phân số thứ hai - từ tử số và ở phân số thứ ba - không từ tử số hoặc từ mẫu số.

Từ những con số như vậy, không thể rút ra một gốc chính xác mà chỉ có thể rút ra những gốc gần đúng.

175. Khoảng gốc chính xác đến 1... Căn bậc hai gần đúng với độ chính xác bằng 1 của một số nhất định (số nguyên hoặc phân số - không quan trọng) là số nguyên thỏa mãn hai yêu cầu sau:

1) bình phương của số này không nhiều hơn số này; 2) nhưng bình phương của số này tăng thêm 1 thì lớn hơn số đã cho. Nói cách khác, căn bậc hai lớn nhất của một số nhất định được gọi là căn bậc hai gần đúng chính xác đến 1, tức là căn bậc hai mà chúng ta đã học ở chương trước. Căn này được gọi là gần đúng đến 1, vì để có được một căn chính xác, cần phải thêm một số phân số nhỏ hơn 1 vào căn gần đúng này, vì vậy nếu thay vì một căn chính xác chưa biết, chúng ta lấy một căn gần đúng này, thì chúng ta sẽ mắc lỗi nhỏ hơn 1.

Luật lệ. Để có căn bậc hai gần đúng với độ chính xác là 1, bạn cần trích xuất căn nguyên lớn nhất của phần nguyên của một số nhất định.

Số được tìm thấy theo quy tắc này là một căn gần đúng có phần thiếu hụt, vì nó thiếu một số phân số (nhỏ hơn 1) so với căn chính xác. Nếu chúng ta tăng căn này lên 1, thì chúng ta nhận được một số khác, trong đó có một số dư thừa so với căn chính xác, và số dư này nhỏ hơn 1. Căn này tăng lên 1 cũng có thể được gọi là căn gần đúng với độ chính xác là 1, nhưng với một dư thừa. (Các tiêu đề: "thiếu hụt" hoặc "thừa" trong một số sách toán học được thay thế bằng các tiêu đề tương đương khác: "thiếu" hoặc "thừa".)

176. Khoảng gốc chính xác đến 1/10... Giả sử yêu cầu tìm √2.35104 chính xác đến 1/10. Điều này có nghĩa là bạn cần tìm một phân số thập phân bao gồm các đơn vị nguyên và phần mười và sẽ đáp ứng hai yêu cầu sau:

1) bình phương của phân số này không vượt quá 2.35104, nhưng 2) nếu chúng ta tăng nó lên 1/10, thì bình phương của phân số tăng này vượt quá 2.35104.

Để tìm một phân số như vậy, trước tiên chúng ta tìm căn gần đúng chính xác đến 1, nghĩa là chỉ lấy căn từ số nguyên 2. Ta được 1 (và phần dư là 1). Chúng ta viết số 1 ở gốc và đặt dấu phẩy sau nó. Bây giờ chúng ta sẽ tìm kiếm con số của phần mười. Để thực hiện việc này, chúng tôi xóa đến phần còn lại 1 chữ số 35, đứng bên phải dấu phẩy, và tiếp tục chiết xuất như thể chúng tôi trích xuất gốc từ số nguyên 235. Chúng tôi viết kết quả chữ số 5 ở gốc trong vị trí thập phân. Chúng ta không cần phần còn lại của các chữ số của số căn (104). Kết quả số 1,5 sẽ thực sự là một căn gần đúng với độ chính xác là 1/10 là điều hiển nhiên sau đây. Nếu chúng tôi tìm thấy căn nguyên lớn nhất của 235 chính xác đến 1, chúng tôi sẽ nhận được 15. Vì vậy:

15 2 < 235, nhưng 16 2> 235.

Chia tất cả các số này cho 100, ta được:

Điều này có nghĩa là số 1,5 là phân số thập phân, mà chúng ta gọi là căn gần đúng với độ chính xác là 1/10.

Chúng ta cũng hãy tìm bằng phương pháp này các nghiệm thức gần đúng sau đây với độ chính xác 0,1:

177. Căn bậc hai gần đúng chính xác đến 1/100 đến 1/1000, v.v.

Giả sử cần phải tìm √248 gần đúng với độ chính xác 1/100. Điều này có nghĩa là: tìm một phân số thập phân sẽ bao gồm toàn bộ, phần mười và phần trăm và đáp ứng hai yêu cầu:

1) bình phương của nó không vượt quá 248, nhưng 2) nếu chúng ta tăng phân số này lên 1/100, thì bình phương của phân số tăng lên này vượt quá 248.

Chúng ta sẽ tìm một phân số như vậy trong dãy số sau: đầu tiên chúng ta sẽ tìm số nguyên, sau đó đến chữ số thứ mười, sau đó là chữ số hàng trăm. Gốc của một số nguyên sẽ là 15 số nguyên. Để có được con số phần mười như chúng ta đã thấy, cần phải xóa thêm 2 con số bên phải dấu thập phân để có phần dư là 23. Trong ví dụ của chúng tôi, những con số này hoàn toàn không có, chúng tôi đặt các số không vào vị trí của chúng. Bằng cách quy chúng cho phần dư và tiếp tục hành động như thể chúng ta tìm căn nguyên của số 24 800, chúng ta tìm được chữ số thứ mười 7. Nó vẫn còn để tìm chữ số hàng trăm. Để làm điều này, hãy thêm 2 số không nữa vào phần còn lại của 151 và tiếp tục trích xuất như thể chúng ta đang tìm gốc của số nguyên 2.480.000, chúng ta nhận được 15,74. Con số này thực sự là một căn gần đúng của 248 với độ chính xác 1/100 có thể được nhìn thấy như sau. Nếu chúng ta tìm thấy căn bậc hai lớn nhất của một số nguyên 2,480,000, chúng ta sẽ nhận được 1574; có nghĩa:

1574 2 < 2.480.000, nhưng 1.575 2> 2.480.000.

Chia tất cả các số cho 10.000 (= 100 2), ta được:

Điều này có nghĩa là 15,74 là phân số thập phân, mà chúng tôi gọi là căn gần đúng với độ chính xác 1/100 của 248.

Áp dụng kỹ thuật này để tìm một căn gần đúng với độ chính xác từ 1/1000 đến 1/10000, v.v., chúng ta tìm thấy kết quả sau.

Luật lệ. Để trích xuất căn gần đúng từ một số nguyên đã cho hoặc từ một phân số thập phân đã cho với độ chính xác từ 1/10 đến 1/100 đến 1/100, v.v., trước tiên hãy tìm căn gần đúng với độ chính xác là 1, trích ra căn của một số nguyên (nếu không, chúng viết về gốc của 0 số nguyên).

Sau đó, họ tìm thấy con số của phần mười. Để thực hiện việc này, hãy loại bỏ phần còn lại, 2 chữ số của số căn, đứng ở bên phải dấu phẩy (nếu chúng không có ở đó, hãy gán hai số không cho phần còn lại) và tiếp tục trích xuất như được thực hiện khi trích xuất gốc từ một số nguyên. Con số kết quả được viết ở gốc thay cho phần mười.

Sau đó tìm chữ số hàng trăm. Để làm điều này, hai chữ số một lần nữa được phá bỏ đến phần còn lại, đứng bên phải của những chữ số vừa bị phá bỏ, v.v.

Vì vậy, khi trích căn từ một số nguyên với một phân số thập phân, cần phải chia cho mỗi số có 2 chữ số, bắt đầu từ dấu phẩy, cả bên trái (trong phần nguyên của số) và bên phải (trong phần phân đoạn).

Các ví dụ.

1) Tìm tới 1/100 gốc: a) √2; b) √0,3;

Trong ví dụ trước, chúng tôi đã chuyển phân số 3/7 thành số thập phân bằng cách tính 8 chữ số thập phân để tạo thành 4 mặt cần thiết để tìm 4 chữ số thập phân của căn.

178. Mô tả bảng căn bậc hai.Đính kèm ở cuối cuốn sách này là một bảng các căn bậc hai, được tính bằng bốn chữ số. Sử dụng bảng này, bạn có thể nhanh chóng tìm căn bậc hai của một số nguyên (hoặc phân số thập phân), được biểu thị bằng không quá bốn chữ số. Trước khi giải thích cách sắp xếp bảng này, chúng ta lưu ý rằng chúng ta luôn có thể tìm thấy chữ số có nghĩa đầu tiên của gốc mong muốn mà không cần sự trợ giúp của bảng chỉ bằng cách liếc qua số gốc; chúng ta cũng có thể dễ dàng xác định vị trí thập phân nào có nghĩa là chữ số đầu tiên của căn và do đó, ở vị trí nào trong căn, khi chúng ta tìm các số của nó, chúng ta phải đặt dấu phẩy. Dưới đây là một số ví dụ:

1) √5"27,3 . Chữ số đầu tiên sẽ là 2, vì vế trái của số căn là 5; và căn của 5 là 2. Ngoài ra, vì chỉ có 2 trong phần nguyên của số căn của tất cả các mặt, nên phần nguyên của căn mong muốn phải chứa 2 chữ số và do đó, chữ số 2 đầu tiên của nó phải có nghĩa là hàng chục. .

2) √9.041. Rõ ràng, trong gốc này, chữ số đầu tiên sẽ là 3 đơn vị nguyên tố.

3) √0,00 "83" 4. Chữ số có nghĩa đầu tiên là 9, vì mặt mà từ gốc sẽ phải được lấy để có chữ số có nghĩa đầu tiên là 83 và căn của 83 là 9. Vì sẽ không có toàn bộ hoặc phần mười trong số mong muốn, chữ số đầu tiên 9 phải có nghĩa là hàng trăm.

4) √0,73 ”85. Chữ số có nghĩa đầu tiên là 8 phần mười.

5) √0,00 "00" 35 "7. Chữ số có nghĩa đầu tiên sẽ là 5 phần nghìn.

Chúng ta hãy đưa ra một nhận xét nữa. Giả sử rằng cần phải trích xuất một gốc từ một số như vậy, sau khi loại bỏ số bị chiếm, được biểu diễn bằng một số như vậy: 5681. Gốc này có thể là một trong những số sau:

Nếu chúng ta lấy các gốc, được chúng tôi gạch chân bằng một nét, thì tất cả chúng sẽ được biểu thị bằng cùng một hàng số, chính xác là các số thu được khi trích gốc từ 5681 (đây sẽ là các số 7, 5, 3, 7 ). Lý do cho điều này là các mặt mà số căn phải chia khi tìm các chữ số của căn sẽ giống nhau trong tất cả các ví dụ này, do đó các số cho mỗi căn sẽ giống nhau (chỉ vị trí của dấu phẩy tất nhiên sẽ khác). Theo cách tương tự, trong tất cả các gốc, được chúng tôi gạch chân bằng hai dòng, sẽ thu được các số giống nhau, chính xác là các số biểu thị √568,1 (các số này sẽ là 2, 3, 8, 3), và vì lý do tương tự. Do đó, các chữ số gốc của các số được mô tả (bằng cách bỏ dấu phẩy) bởi cùng một hàng chữ số 5681 sẽ có hai loại (và chỉ hai loại): đây là hàng 7, 5, 3, 7, hoặc một hàng 2, 3, 8, 3. Rõ ràng có thể nói như vậy về bất kỳ dãy số nào khác. Do đó, như bây giờ chúng ta sẽ thấy, trong bảng, mỗi hàng chữ số của số căn tương ứng với 2 hàng chữ số của căn.

Bây giờ chúng ta có thể giải thích cấu trúc của bảng và cách nó được sử dụng. Để giải thích rõ ràng, chúng tôi đã mô tả phần đầu của trang đầu tiên của bảng ở đây.

Bảng này nằm trên một số trang. Trên mỗi người trong số họ ở cột đầu tiên bên trái có các số 10, 11, 12 ... (lên đến 99). Những con số này đại diện cho 2 chữ số đầu tiên của số mà từ đó căn bậc hai được tìm kiếm. Dòng ngang trên (cũng như dòng dưới) chứa các số: 0, 1, 2, 3 ... 9, đại diện cho chữ số thứ 3 của số này, sau đó xa hơn về bên phải là các số 1, 2, 3. ... ... 9, đại diện cho chữ số thứ 4 của số này. Tất cả các hàng ngang khác chứa 2 số có bốn chữ số, mỗi số thể hiện căn bậc hai của các số tương ứng.

Giả sử bạn muốn tìm căn bậc hai của một số, nguyên hoặc thập phân. Trước hết, chúng tôi tìm thấy, không cần sự trợ giúp của bảng, chữ số đầu tiên của gốc và vị trí của nó. Sau đó, chúng tôi loại bỏ dấu phẩy trong số đã cho, nếu có. Đầu tiên, giả sử rằng sau khi loại bỏ dấu phẩy, chẳng hạn chỉ còn lại 3 chữ số. 114. Chúng tôi tìm thấy trong các bảng ở cột cực bên trái có 2 chữ số đầu tiên, tức là số 11, và di chuyển từ chúng sang bên phải theo đường ngang cho đến khi chúng tôi đến cột dọc, ở trên cùng (và dưới cùng) là chữ số 3 chữ số của số, tức là 4. Ở chỗ này ta tìm được hai số có bốn chữ số: 1068 và 3376. Hai số này nên lấy số nào và đặt dấu phẩy ở đâu, số này được xác định bởi chữ số đầu tiên của căn. và vị trí của nó, mà chúng tôi đã tìm thấy trước đó. Vì vậy, nếu chúng ta cần tìm √0,11 "4, thì chữ số đầu tiên của căn là 3 phần mười, và do đó chúng ta phải lấy 0,3376 cho căn. Nếu bắt buộc phải tìm √1,14, thì chữ số đầu tiên của căn sẽ là 1, và sau đó chúng tôi sẽ lấy 1,068.

Do đó, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy:

√5,30 = 2,302; √7 "18 = 26,80; √0,91" 6 = 0,9571, v.v.

Giả sử bây giờ yêu cầu tìm căn của một số được biểu thị (bằng cách bỏ dấu phẩy) có 4 chữ số, ví dụ √7 "45,6. Để ý rằng chữ số đầu tiên của căn là 2 chục, chúng ta tìm số 745 là Nó chỉ được giải thích, các chữ số 2729 (chúng tôi chỉ nhận thấy con số này bằng ngón tay của chúng tôi, nhưng không viết nó xuống.) Sau đó, chúng tôi di chuyển từ số này sang bên phải cho đến, ở phía bên phải của bảng (phía sau dòng in đậm cuối cùng ) chúng tôi gặp cột dọc đó, được đánh dấu ở trên (và bên dưới) chữ số 4 của số này, tức là, số 6, và chúng tôi tìm thấy ở đó số 1. Đây sẽ là một sửa đổi phải được áp dụng (trong nhớ) đến số 2729 đã tìm được trước đó, ta được 2730. Ta viết số này và đặt dấu phẩy vào chỗ thích hợp: 27,30.

Bằng cách này, chúng tôi tìm thấy, ví dụ:

√44,37 = 6,661; √4.437 = 2.107; √0,04 "437 = 0,2107, v.v.

Nếu số căn được biểu diễn chỉ với một hoặc hai chữ số, thì chúng ta có thể giả sử rằng sau những chữ số này có một hoặc hai số không, và sau đó tiến hành như giải thích cho số có ba chữ số. Ví dụ √2.7 = √2.70 = 1.643; √0,13 = √0,13 "0 = 0,3606, v.v.

Cuối cùng, nếu số căn được biểu diễn bằng nhiều hơn 4 chữ số, thì chúng ta chỉ lấy 4 chữ số đầu tiên trong số chúng và loại bỏ phần còn lại, và để giảm sai số, nếu chữ số đầu tiên trong số các chữ số bị loại bỏ là 5 hoặc nhiều hơn 5, thì chúng ta sẽ tăng phần thứ tư của các chữ số được giữ lại lên l ... Vì thế:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; Vân vân.

Bình luận. Trong các bảng, căn bậc hai gần đúng được chỉ ra, đôi khi thiếu, đôi khi thừa, cụ thể là một trong những căn gần đúng gần với căn chính xác hơn.

179. Chiết các căn bậc hai từ phân số thông thường. Căn bậc hai chính xác của một phân số bất khả quy chỉ có thể được rút ra khi cả hai số hạng của phân số đều là bình phương chính xác. Trong trường hợp này, chỉ cần trích gốc từ tử số và mẫu số là đủ, ví dụ:

Có thể dễ dàng tìm thấy căn bậc hai gần đúng của một phân số thông thường với một số thập phân chính xác nếu trước tiên chúng ta chuyển phân số bình thường sang số thập phân, tính trong phân số này số chữ số thập phân sau dấu thập phân, sẽ gấp đôi số chữ số thập phân trong gốc mong muốn.

Tuy nhiên, bạn có thể làm khác. Hãy giải thích điều này với ví dụ sau:

Tìm gần đúng √ 5/24

Hãy làm cho mẫu số thành một hình vuông chính xác. Để làm điều này, chỉ cần nhân cả hai số hạng của phân số với mẫu số là 24; nhưng trong ví dụ này, bạn có thể làm theo cách khác. Hãy khai triển 24 thành thừa số nguyên tố: 24 = 2 2 2 3. Từ phép phân hủy này, rõ ràng là nếu nhân 24 với 2 và 3 nữa, thì mỗi thừa số nguyên tố trong tích sẽ được lặp lại một số lần chẵn và, do đó, mẫu số trở thành một hình vuông:

Bạn vẫn phải tính √30 với độ chính xác nhất định và chia kết quả cho 12. Cần lưu ý rằng chia cho 12 sẽ làm giảm phân số hiển thị mức độ chính xác. Vì vậy, nếu chúng ta tìm √30 với độ chính xác 1/10 và chia kết quả cho 12, thì chúng ta nhận được căn gần đúng của phân số là 5/24 với độ chính xác là 1/120 (cụ thể là 54/120 và 55/120 )

Chương ba.

Đồ thị hàm sốx = √ y .

180. Hàm số nghịch biến. Hãy để một số phương trình được đưa ra xác định tại như là một chức năng của NS , ví dụ, điều này: y = x 2 ... Chúng tôi có thể nói rằng nó không chỉ xác định tại như là một chức năng của NS , nhưng ngược lại, định nghĩa NS như là một chức năng của tại , mặc dù ngầm hiểu. Để làm cho hàm này rõ ràng, cần phải giải phương trình này cho NS , đang lấy tại cho một số đã biết; vì vậy, từ phương trình chúng ta đã lấy, chúng ta tìm thấy: y = x 2 .

Biểu thức đại số nhận được của x sau khi giải phương trình xác định y là một hàm của x được gọi là hàm ngược của hàm xác định y.

Do đó, hàm x = √ y chức năng đảo ngược y = x 2 ... Nếu, theo thông lệ, chúng tôi biểu thị biến độc lập NS và người phụ thuộc tại , thì hàm ngược thu được bây giờ có thể được biểu diễn như sau: y = √ x ... Do đó, để có được một hàm ngược với một (trực tiếp) cho trước, cần phải suy ra từ phương trình xác định hàm đã cho này NS tùy thuộc vào y và trong biểu thức kết quả thay thế y trên NS , Một NS trên y .

181. Đồ thị hàm số y = √ x ... Hàm này là không thể với giá trị âm. NS , nhưng nó có thể được tính toán (với bất kỳ độ chính xác nào) cho bất kỳ giá trị dương nào NS , và với mỗi giá trị như vậy, hàm nhận hai giá trị khác nhau có cùng giá trị tuyệt đối, nhưng ngược dấu. Nếu quen thuộc √ chúng ta sẽ chỉ biểu thị giá trị số học của căn bậc hai, khi đó hai giá trị này của hàm có thể được biểu thị như sau: y = ± √ x Để vẽ hàm này, trước tiên bạn phải biên dịch một bảng các giá trị của nó. Cách dễ nhất để soạn bảng này từ bảng các giá trị của hàm trực tiếp:

y = x 2 .

NS

y

nếu các giá trị tại lấy các giá trị NS , và ngược lại:

y = ± √ x

Đưa tất cả các giá trị này lên hình vẽ, ta được đồ thị sau.

Trong cùng một hình vẽ, chúng tôi đã mô tả (bằng nét đứt) và đồ thị của hàm trực tiếp y = x 2 ... Hãy so sánh hai đồ thị này với nhau.

182. Mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số thẳng và nghịch biến.Để biên dịch một bảng các giá trị của hàm nghịch đảo y = ± √ x chúng tôi đã lấy NS những con số nằm trong bảng của hàm trực tiếp y = x 2 phục vụ như ý nghĩa cho tại , va cho tại đã lấy những con số đó; mà trong bảng này là các giá trị cho NS ... Từ đó suy ra rằng cả hai đồ thị đều giống nhau, chỉ có đồ thị của hàm trực tiếp nằm so với trục tại - ov, đồ thị của hàm số nghịch đảo có vị trí như thế nào so với trục NS - NS. Do đó, nếu chúng ta bẻ cong bản vẽ quanh một đường thẳng OA giảm một nửa góc vuông xOy , để phần bản vẽ có bán trục OU , rơi vào phần chứa bán trục ồ , sau đó OU sẽ tương thích với ồ , tất cả các bộ phận OU trùng khớp với sự phân chia ồ và các điểm của parabol y = x 2 sẽ được căn chỉnh với các điểm tương ứng của biểu đồ y = ± √ x ... Ví dụ, điểm NS và n với phong 4 và các abscissas 2 và - 2 trùng với các điểm NS " và N " với abscissa 4 , và sắp xếp 2 và - 2 ... Nếu những điểm này trùng nhau, thì điều này có nghĩa là các đường thẳng MM " và NN " vuông góc với OA và chia đôi này thẳng. Điều tương tự có thể được nói cho tất cả các điểm có liên quan khác trên cả hai đồ thị.

Do đó, đồ thị của hàm số nghịch biến giống như đồ thị của hàm số trực tiếp, nhưng các đồ thị này có vị trí khác nhau, cụ thể là đối xứng với nhau so với đường phân giác của góc. hoy ... Chúng ta có thể nói rằng đồ thị của hàm số nghịch đảo là sự hiển thị (như trong gương) của đồ thị của hàm số trực tiếp so với đường phân giác của góc hoy .

Các công thức gốc. Tính chất của căn bậc hai.

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người rất "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")

Ở bài học trước, chúng ta đã tìm hiểu căn bậc hai là gì. Đã đến lúc tìm ra cái nào tồn tại công thức gốc là gì thuộc tính gốc và bạn có thể làm gì với tất cả những điều này.

Công thức root, thuộc tính root và quy tắc cho các hành động với root về cơ bản là những thứ giống nhau. Có rất ít công thức cho căn bậc hai một cách đáng ngạc nhiên. Tất nhiên, làm hài lòng! Thay vào đó, bạn có thể viết rất nhiều loại công thức, nhưng để làm việc thực tế và tự tin với gốc rễ, chỉ cần ba là đủ. Tất cả phần còn lại của ba dòng chảy này. Mặc dù nhiều người bị lạc trong ba công thức gốc, có ...

Hãy bắt đầu với cái đơn giản nhất. Cô ấy đây rồi:

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra xác nhận tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Đã đến lúc phải xa nhau phương pháp chiết xuất rễ... Chúng dựa trên các tính chất của các căn, đặc biệt, về đẳng thức, có giá trị đối với bất kỳ số không âm nào b.

Dưới đây chúng ta sẽ lần lượt điểm qua các phương pháp chính của việc nhổ rễ.

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất - trích xuất gốc từ các số tự nhiên bằng cách sử dụng bảng hình vuông, bảng hình khối, v.v.

Nếu bảng của hình vuông, hình khối, v.v. không ở trong tầm tay, thì hợp lý khi sử dụng phương pháp rút gốc, ngụ ý phân rã số nguyên tố thành thừa số nguyên tố.

Riêng biệt, nó là giá trị tập trung vào những gì có thể cho rễ với các chỉ số kỳ lạ.

Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét một cách để tìm các chữ số của giá trị gốc một cách tuần tự.

Bắt đầu nào.

Sử dụng bảng hình vuông, bảng hình khối, v.v.

Trong những trường hợp đơn giản nhất, bạn có thể sử dụng các bảng hình vuông, hình khối,… để chiết rễ. Những bảng này là gì?

Bảng bình phương các số nguyên từ 0 đến 99 (được hiển thị bên dưới) bao gồm hai khu vực. Vùng đầu tiên của bảng nằm trên nền xám, nó cho phép bạn tạo một số từ 0 đến 99 bằng cách chọn một hàng cụ thể và một cột cụ thể. Ví dụ, chúng ta hãy chọn hàng 8 chục và cột 3, với điều này chúng ta đã sửa số 83. Khu vực thứ hai chiếm phần còn lại của bảng. Mỗi ô của nó nằm ở giao điểm của một hàng nhất định và một cột nhất định, và chứa bình phương của số tương ứng từ 0 đến 99. Tại giao điểm của hàng 8 chục và cột 3 đơn vị chúng ta đã chọn, có một ô có số 6 889, là hình vuông của số 83.


Bảng hình khối, bảng lũy ​​thừa thứ tư của các số từ 0 đến 99, v.v. tương tự như bảng hình vuông, chỉ khác là chúng chứa các hình lập phương, lũy thừa thứ tư, v.v. trong vùng thứ hai. số tương ứng.

Bảng hình vuông, hình khối, độ 4, v.v. cho phép bạn trích xuất căn bậc hai, căn bậc hai, căn bậc bốn, v.v. tương ứng từ các số trong các bảng này. Hãy để chúng tôi giải thích nguyên tắc ứng dụng của chúng khi chiết xuất rễ.

Giả sử chúng ta cần trích xuất căn bậc n của số a, trong khi số a được chứa trong bảng lũy ​​thừa thứ n. Từ bảng này, chúng ta tìm được một số b sao cho a = b n. sau đó , do đó, số b sẽ là căn thứ n cần thiết.

Ví dụ, chúng tôi chỉ ra cách lấy gốc khối lập phương của 19,683 bằng cách sử dụng bảng khối lập phương. Chúng ta tìm thấy số 19 683 trong bảng lập phương, từ đó chúng ta thấy rằng số này là lập phương của số 27, do đó, .


Rõ ràng là bảng lũy ​​thừa thứ n rất thuận tiện cho việc trích xuất rễ. Tuy nhiên, chúng thường không có trong tầm tay và việc biên soạn chúng đòi hỏi một khoảng thời gian nhất định. Hơn nữa, nó thường là cần thiết để trích xuất gốc từ các số không có trong các bảng tương ứng. Trong những trường hợp này, bạn phải dùng đến các phương pháp nhổ chân răng khác.

Thừa số nguyên tố của một số căn

Một cách khá thuận tiện để rút gốc từ một số tự nhiên (nếu tất nhiên, gốc được chiết) là khai triển số căn thành thừa số nguyên tố. Của anh ấy bản chất là như sau: sau khi nó đủ dễ dàng để biểu diễn dưới dạng một mức độ với số mũ mong muốn, cho phép bạn nhận được giá trị của căn. Hãy để chúng tôi làm rõ điểm này.

Cho căn thứ n được trích từ một số tự nhiên a, và giá trị của nó bằng b. Trong trường hợp này, đẳng thức a = b n là đúng. Số b, dưới dạng bất kỳ số tự nhiên nào, có thể được biểu diễn dưới dạng tích của tất cả các thừa số nguyên tố p 1, p 2, ..., pm ở dạng p 1 p 2 ... pm, và số căn a ở dạng này trường hợp được biểu diễn là (p 1 p 2 ·… · pm) n. Vì phép phân rã một số thành thừa số nguyên tố là duy nhất, nên phép phân tích số nguyên tố a thành thừa số nguyên tố sẽ có dạng (p 1 · p 2 ·… · pm) n, điều này có thể tính được giá trị của căn. như.

Lưu ý rằng nếu phép phân tích thành thừa số nguyên tố của một số căn a không thể biểu diễn dưới dạng (p 1 · p 2 ·… · p m) n, thì căn bậc n của một số a như vậy không được rút ra hoàn toàn.

Hãy hình dung nó khi giải các ví dụ.

Thí dụ.

Lấy căn bậc hai của 144.

Dung dịch.

Nếu chúng ta lật lại bảng các bình phương đã cho ở đoạn trước, ta thấy rõ 144 = 12 2, do đó căn bậc hai của 144 là 12.

Nhưng dưới góc độ của điểm này, chúng tôi quan tâm đến cách rút gốc bằng cách phân hủy căn số 144 thành các thừa số nguyên tố. Hãy phân tích giải pháp này.

Hãy mở rộng 144 theo hệ số nguyên tố:

Tức là, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Dựa trên sự phân hủy thu được, có thể thực hiện các phép biến đổi sau: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Kể từ đây, .

Sử dụng các tính chất của mức độ và tính chất của rễ, dung dịch có thể được xây dựng theo một cách hơi khác:

Bài giải:

Để củng cố tài liệu, hãy xem xét các giải pháp của hai ví dụ khác.

Thí dụ.

Tính giá trị gốc.

Dung dịch.

Thừa số nguyên tố của số căn 243 là 243 = 3 5. Vì vậy, .

Bài giải:

Thí dụ.

Giá trị gốc có phải là số nguyên không?

Dung dịch.

Để trả lời câu hỏi này, hãy phân tích số nguyên tố thành các thừa số nguyên tố và xem liệu nó có thể được biểu diễn dưới dạng một lập phương của một số nguyên hay không.

Ta có 285 768 = 2 3 3 6 7 2. Kết quả phân tích không được biểu diễn dưới dạng một lập phương của một số nguyên, vì lũy thừa của một thừa số nguyên tố 7 không phải là bội số của ba. Do đó, căn bậc hai của số 285 768 không được chiết hoàn toàn.

Bài giải:

Không.

Trích xuất gốc từ số phân số

Đã đến lúc tìm hiểu cách gốc được trích xuất từ ​​một số phân số. Cho số căn phân số được viết dưới dạng p / q. Theo tính chất của căn của thương, đẳng thức sau đây là đúng. Sự bình đẳng này ngụ ý gốc phân số: căn của phân số bằng thương của phép chia căn của tử số cho căn của mẫu số.

Hãy xem một ví dụ về việc trích xuất một gốc từ một phân số.

Thí dụ.

Căn bậc hai của phân số chung 25/169 là bao nhiêu.

Dung dịch.

Từ bảng bình phương, chúng ta thấy rằng căn bậc hai của tử số của phân số ban đầu là 5 và căn bậc hai của mẫu số là 13. sau đó ... Điều này hoàn thành việc khai thác gốc từ phân số chung 25/169.

Bài giải:

Căn của một số thập phân hoặc hỗn số được rút ra sau khi thay thế các số căn bằng các phân số thông thường.

Thí dụ.

Trích xuất căn bậc hai của số thập phân 474.552.

Dung dịch.

Hãy biểu diễn phân số thập phân ban đầu dưới dạng phân số thông thường: 474.552 = 474552/1000. sau đó ... Nó vẫn là trích xuất các gốc của khối lập phương ở tử số và mẫu số của phân số kết quả. Tại vì 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 và 1000 = 10 3 thì và ... Nó vẫn chỉ để hoàn thành các tính toán .

Bài giải:

.

Trích xuất gốc của một số âm

Nói một cách riêng biệt, nó là giá trị của việc khai thác rễ từ các số âm. Khi nghiên cứu về căn, chúng tôi đã nói rằng khi số mũ của căn là một số lẻ, thì một số âm có thể nằm dưới dấu căn. Chúng ta đã cho các mục như vậy có nghĩa như sau: với một số âm −a và một số mũ lẻ của căn 2n - 1, chúng ta có ... Sự bình đẳng này mang lại cho quy tắc rút gốc lẻ từ số âm: để trích xuất gốc của một số âm, bạn cần trích xuất gốc của số dương đối diện, và đặt một dấu trừ trước kết quả.

Hãy xem xét giải pháp của một ví dụ.

Thí dụ.

Tìm giá trị gốc.

Dung dịch.

Hãy biến đổi biểu thức ban đầu để dưới dấu căn là một số dương: ... Bây giờ chúng ta thay thế hỗn số bằng một phân số thông thường: ... Chúng tôi áp dụng quy tắc trích xuất một gốc từ một phân số thông thường: ... Nó vẫn còn để tính toán gốc ở tử số và mẫu số của phân số kết quả: .

Dưới đây là một bản ghi ngắn về giải pháp: .

Bài giải:

.

Tìm giá trị gốc tăng dần

Trong trường hợp tổng quát, dưới gốc có một số không thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa thứ n của bất kỳ số nào bằng cách sử dụng các kỹ thuật đã thảo luận ở trên. Nhưng trong trường hợp này, cần phải biết giá trị của một gốc cho trước, ít nhất là đến một dấu hiệu nào đó. Trong trường hợp này, để giải nén gốc, bạn có thể sử dụng một thuật toán cho phép bạn liên tiếp lấy đủ số giá trị của các chữ số của số mong muốn.

Ở bước đầu tiên của thuật toán này, bạn cần tìm ra bit quan trọng nhất của giá trị gốc là gì. Để thực hiện điều này, các số 0, 10, 100, ... được nâng lên theo lũy thừa n cho đến thời điểm nhận được một số vượt quá số căn. Sau đó, số mà chúng ta đã nâng lên lũy thừa n trong bước trước đó sẽ chỉ ra bit quan trọng nhất tương ứng.

Ví dụ, hãy xem xét bước này của thuật toán khi trích xuất căn bậc hai của năm. Chúng tôi lấy các số 0, 10, 100, ... và bình phương chúng cho đến khi chúng tôi nhận được một số lớn hơn 5. Ta có 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, có nghĩa là bit quan trọng nhất sẽ là bit. Giá trị của bit này, cũng như các giá trị thấp hơn, sẽ được tìm thấy trong các bước tiếp theo của thuật toán khai thác gốc.

Tất cả các bước tiếp theo của thuật toán đều nhằm mục đích tinh chỉnh tuần tự giá trị của gốc do thực tế là giá trị của các chữ số tiếp theo của giá trị mong muốn của gốc được tìm thấy, bắt đầu với giá trị quan trọng nhất và di chuyển về phía nhỏ nhất những người quan trọng. Ví dụ: giá trị gốc ở bước đầu tiên là 2, ở bước thứ hai - 2,2, ở bước thứ ba - 2,23, v.v. 2.236067977…. Hãy để chúng tôi mô tả cách tìm giá trị của các chữ số xảy ra.

Việc tìm các chữ số được thực hiện bằng cách liệt kê các giá trị có thể có của chúng 0, 1, 2,…, 9. Trong trường hợp này, lũy thừa thứ n của các số tương ứng được tính song song và chúng được so sánh với số căn. Nếu tại một số giai đoạn giá trị của mức độ vượt quá số căn, thì giá trị của chữ số tương ứng với giá trị trước đó được coi là tìm thấy và quá trình chuyển đổi sang bước tiếp theo của thuật toán trích xuất gốc được thực hiện, nếu điều này không xảy ra, khi đó giá trị của chữ số này là 9.

Hãy để chúng tôi giải thích những điểm này với cùng một ví dụ về rút ra căn bậc hai của năm.

Đầu tiên, chúng ta tìm giá trị của chữ số hàng đơn vị. Chúng ta sẽ lặp lại các giá trị 0, 1, 2,…, 9, tính toán 0 2, 1 2,…, 9 2 tương ứng cho đến khi chúng ta nhận được giá trị lớn hơn số gốc 5. Tất cả các phép tính này được trình bày thuận tiện dưới dạng bảng:

Vậy giá trị của chữ số hàng đơn vị là 2 (vì 2 2<5 , а 2 3 >5). Chúng ta chuyển sang tìm giá trị của chữ số hàng phần mười. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ bình phương các số 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, so sánh các giá trị thu được với số căn 5:

Kể từ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, thì giá trị vị trí thập phân là 2. Bạn có thể tìm giá trị của chữ số hàng trăm:

Vì vậy, giá trị tiếp theo của gốc năm được tìm thấy, nó bằng 2,23. Và vì vậy bạn có thể tiếp tục tìm thấy các giá trị xa hơn: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích việc trích xuất gốc với độ chính xác hàng trăm bằng cách sử dụng thuật toán được xem xét.

Đầu tiên, chúng tôi xác định bit quan trọng nhất. Để làm điều này, chúng tôi lập phương các số 0, 10, 100, v.v. cho đến khi chúng ta nhận được một số lớn hơn 2,151,186. Ta có 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, do đó chữ số có nghĩa nhất là chữ số hàng chục.

Hãy xác định ý nghĩa của nó.

Kể từ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 thì giá trị của chữ số hàng chục là 1. Hãy chuyển sang các đơn vị.

Do đó, giá trị của vị trí đơn vị là 2. Chuyển sang phần mười.

Vì số chẵn 12,9 3 nhỏ hơn số căn 2 151,186 nên giá trị của vị trí thứ mười là 9. Nó vẫn tiếp tục thực hiện bước cuối cùng của thuật toán, nó sẽ cung cấp cho chúng ta giá trị của gốc với độ chính xác cần thiết.

Ở giai đoạn này, giá trị của gốc được tìm thấy với độ chính xác hàng trăm: .

Trong phần kết của bài viết này, tôi muốn nói rằng có nhiều cách khác để chiết xuất rễ. Nhưng đối với hầu hết các nhiệm vụ, những nhiệm vụ mà chúng tôi đã nghiên cứu ở trên là đủ.

Thư mục.

  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: sách giáo khoa lớp 8 các cơ sở giáo dục.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các bài khác.Đại số và đầu phân tích: Sách giáo khoa Ngữ văn lớp 10 - 11 các cơ sở giáo dục.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán học (một hướng dẫn cho những người nộp đơn vào các trường kỹ thuật).

    Tính toán (hoặc chiết xuất) căn bậc hai có thể được thực hiện theo một số cách, nhưng tất cả chúng đều không có nghĩa là chúng rất đơn giản. Tất nhiên, sử dụng máy tính sẽ dễ dàng hơn. Nhưng nếu điều này là không thể (hoặc bạn muốn hiểu bản chất của căn bậc hai), tôi có thể khuyên bạn làm theo cách sau, thuật toán của anh ấy như sau:

    Nếu bạn không có sức mạnh, mong muốn hoặc sự kiên nhẫn cho những phép tính dài dòng như vậy, bạn có thể nhờ đến sự trợ giúp của một lựa chọn thô, điểm cộng của nó là nó cực kỳ nhanh và chính xác với sự khéo léo. Thí dụ:

    Khi tôi còn đi học (đầu những năm 60), chúng tôi được dạy về cách lấy căn bậc hai của bất kỳ số nào. Kỹ thuật này đơn giản, bề ngoài tương tự như chia theo cột;, nhưng để trình bày nó ở đây, sẽ mất nửa giờ thời gian và 4-5 nghìn ký tự văn bản. Nhưng tại sao bạn cần nó? Bạn có điện thoại hoặc thiết bị khác, nm có máy tính. Có một máy tính trong bất kỳ máy tính nào. Cá nhân, tôi thích thực hiện loại tính toán này trong Excel.

    Thường ở trường, bạn cần tìm căn bậc hai của các số khác nhau. Nhưng nếu chúng ta quen sử dụng máy tính liên tục cho việc này, thì trong các kỳ thi sẽ không có cơ hội như vậy, vì vậy chúng ta cần học cách tìm căn mà không cần đến sự trợ giúp của máy tính. Và để làm điều đó, về nguyên tắc, là có thể.

    Thuật toán như sau:

    Đầu tiên hãy nhìn vào chữ số cuối cùng trong số của bạn:

    Ví dụ,

    Bây giờ bạn cần xác định gần đúng giá trị cho gốc từ nhóm ngoài cùng bên trái

    Trong trường hợp số có nhiều hơn hai nhóm, thì bạn cần tìm gốc như sau:

    Nhưng số tiếp theo phải chính xác là lớn nhất, bạn cần chọn nó như sau:

    Bây giờ chúng ta cần tạo một số A mới bằng cách thêm nhóm sau vào phần còn lại đã thu được ở trên.

    Trong các ví dụ của chúng tôi:

  • Cột này cao hơn và khi cần nhiều hơn mười lăm ký tự, máy tính và điện thoại có máy tính thường nghỉ ngơi. Vẫn phải kiểm tra xem mô tả của phương thức có mất 4-5 nghìn ký tự hay không.

    Berm số bất kỳ, từ dấu phẩy, chúng tôi đếm các cặp số ở bên phải và bên trái

    Ví dụ: 1234567890.098765432100

    Một cặp số giống như một số có hai chữ số. Căn hai chữ số - không rõ ràng. Chúng tôi chọn một số rõ ràng có hình vuông nhỏ hơn cặp chữ số đầu tiên. Trong trường hợp của chúng tôi, đây là 3.

    Đối với phép chia dài, hãy viết ô vuông này dưới cặp đầu tiên và trừ nó cho cặp đầu tiên. Chúng tôi phá hủy kết quả dưới phần gạch chân. 12 - 9 = 3. Cộng cặp số thứ hai với hiệu số này (sẽ là 334). Ở bên trái của số gờ, giá trị nhân đôi của phần kết quả mà chúng ta đã tìm thấy được bổ sung bằng một chữ số (chúng ta có 2 * 6 = 6), sao cho khi nhân với số không thu được, nó sẽ không vượt quá số có cặp chữ số thứ hai. Chúng tôi nhận được rằng con số tìm thấy là một năm. Chúng tôi một lần nữa tìm sự khác biệt (9), loại bỏ cặp chữ số tiếp theo, nhận được 956, một lần nữa viết ra phần nhân đôi của kết quả (70), một lần nữa chúng tôi bổ sung nó với chữ số mong muốn, và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi nó dừng lại. Hoặc đến độ chính xác cần thiết của các phép tính.

    Trước hết, để tính được căn bậc hai, bạn cần nắm rõ bảng cửu chương. Các ví dụ đơn giản nhất là 25 (5 x 5 = 25), v.v. Nếu chúng ta lấy số phức tạp hơn, thì bạn có thể sử dụng bảng này, trong đó có các đơn vị theo chiều ngang và hàng chục theo chiều dọc.

    Có một cách hay để tìm gốc của một số mà không cần sử dụng máy tính. Để làm được điều này, bạn cần có thước và compa. Điểm mấu chốt là bạn tìm thấy trên thước đo giá trị mà bạn có dưới gốc. Ví dụ, đặt một dấu gần 9. Nhiệm vụ của bạn là chia số này thành một số đoạn bằng nhau, nghĩa là, thành hai dòng 4,5 cm và thành một đoạn chẵn. Dễ dàng đoán được rằng cuối cùng bạn sẽ nhận được 3 đoạn thẳng mỗi đoạn dài 3 cm.

    Phương pháp này không dễ và sẽ không hiệu quả với những số lớn, nhưng nó được coi là không có máy tính.

    Không cần sự trợ giúp của máy tính, phương pháp rút căn bậc hai đã được dạy ở trường từ thời Liên Xô ở lớp 8 ở trường.

    Để thực hiện, bạn cần chia số có nhiều chữ số từ phải sang trái thành các cạnh có 2 chữ số :

    Chữ số đầu tiên của căn là toàn bộ căn của vế trái, trong trường hợp này là 5.

    Trừ 5 bình phương cho 31, 31-25 = 6 và gán mặt tiếp theo cho sáu, ta có 678.

    Chữ số x tiếp theo được so khớp với số năm nhân đôi để

    10x * x lớn nhất có thể, nhưng nhỏ hơn 678.

    x = 6, vì 106 * 6 = 636,

    bây giờ ta tính 678 - 636 = 42 và thêm mặt 92 tiếp theo ta có 4292.

    Một lần nữa, chúng ta đang tìm x lớn nhất, sao cho 112x * x lt; 4292.

    Trả lời: gốc là 563

    Vì vậy, bạn có thể tiếp tục miễn là được yêu cầu.

    Trong một số trường hợp, bạn có thể thử mở rộng số căn thành hai hoặc nhiều thừa số bình phương.

    Nó cũng hữu ích để ghi nhớ bảng (hoặc ít nhất một phần của nó) - các bình phương của các số tự nhiên từ 10 đến 99.

    Tôi đề xuất một biến thể của việc trích xuất căn bậc hai trong một cột, mà tôi đã phát minh ra. Nó khác với cách thường được biết đến, ngoại trừ việc lựa chọn các con số. Nhưng sau này tôi mới biết, phương pháp này đã tồn tại nhiều năm trước khi tôi sinh ra. Isaac Newton vĩ đại đã mô tả nó trong cuốn sách General Arithmetic hay một cuốn sách về tổng hợp và phân tích số học. Vì vậy, ở đây tôi đang đặt ra tầm nhìn của mình và cơ sở lý luận cho thuật toán của phương pháp Newton. Việc ghi nhớ thuật toán không có giá trị. Bạn có thể chỉ cần sử dụng sơ đồ trong hình để hỗ trợ trực quan nếu cần thiết.

    Với sự trợ giúp của bảng, bạn không thể tính toán, nhưng chỉ tìm căn bậc hai từ các số có trong bảng. Cách dễ nhất để tính các căn không chỉ là bình phương mà còn của các độ khác, bằng phương pháp gần đúng liên tiếp. Ví dụ, chúng ta tính căn bậc hai của 10739, thay thế ba chữ số cuối bằng số không và rút ra căn bậc nhất của 10000, chúng ta nhận được 100 với sự thiếu hụt, vì vậy chúng ta lấy số 102, chúng ta bình phương nó, chúng ta nhận được 10404, cũng là nhỏ hơn số đã cho, ta lấy thiếu 103 * 103 = 10609 lại thiếu, ta lấy 103,5 * 103,5 = 10712,25, lấy nhiều hơn 103,6 * 103,6 = 10732, ta lấy 103,7 * 103,7 = 10753,69, tức là đã thừa. Bạn có thể lấy gốc của 10739 để xấp xỉ bằng 103,6. Chính xác hơn là 10739 = 103,629…. ... Tương tự, chúng ta tính căn bậc hai, đầu tiên của 10.000 ta được khoảng 25 * 25 * 25 = 15625, thừa ta lấy 22 * ​​22 * ​​22 = 10.648, ta lấy nhiều hơn một chút là 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, rất gần với giá trị đã cho.

Bạn có muốn làm tốt kỳ thi môn Toán không? Sau đó, bạn cần có khả năng đếm nhanh chóng, chính xác và không cần máy tính. Xét cho cùng, nguyên nhân chính dẫn đến việc mất điểm trong kỳ thi môn Toán là do lỗi tính toán.

Theo quy chế tổ chức kỳ thi, không được sử dụng máy tính bỏ túi trong kỳ thi môn Toán. Giá có thể quá cao - loại bỏ khỏi kỳ thi.

Trong thực tế, một máy tính cho kỳ thi toán học là không cần thiết. Tất cả các nhiệm vụ được giải quyết mà không có nó. Điều chính là sự chú ý, độ chính xác và một số kỹ thuật bí mật, mà chúng tôi sẽ cho bạn biết.

Hãy bắt đầu với quy tắc chính. Nếu một phép tính có thể được đơn giản hóa, hãy đơn giản hóa nó.

Ví dụ, một "phương trình ma quỷ" như vậy:

70% sinh viên tốt nghiệp giải quyết vấn đề này một cách "trực tiếp". Số phân biệt được tính theo công thức, sau đó họ nói rằng không thể rút ra gốc nếu không có máy tính. Nhưng bạn có thể chia vế trái và vế phải của phương trình thành. Nó sẽ bật ra

Cách nào dễ hơn? :-)

Nhiều học sinh không thích phép nhân cột. Không ai thích giải những "ví dụ" nhàm chán ở lớp bốn. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp có thể nhân các số không có "cột", trong một dòng. Nó nhanh hơn nhiều.

Xin lưu ý rằng chúng tôi không bắt đầu bằng các chữ số thấp hơn, mà bằng các chữ số lớn hơn. Nó thoải mái.

Bây giờ - sự phân chia. Không dễ dàng để chia "trong một cột" cho. Nhưng hãy nhớ rằng dấu chia: và thanh phân số là một và giống nhau. Hãy viết nó dưới dạng phân số và rút gọn phân số:

Một vi dụ khac.

Làm thế nào để bình phương một số có hai chữ số một cách nhanh chóng và không có bất kỳ cột nào? Chúng tôi áp dụng các công thức nhân rút gọn:

Đôi khi cũng có thể thuận tiện khi sử dụng một công thức khác:

Các số kết thúc bằng được bình phương ngay lập tức.

Giả sử bạn cần tìm bình phương của một số (- không nhất thiết là một chữ số, bất kỳ số tự nhiên nào). Chúng tôi nhân với và xác định kết quả. Mọi điều!

Ví dụ: (và được quy).

(và được quy).

(và được quy).

Phương pháp này không chỉ hữu ích cho việc bình phương mà còn để rút ra căn bậc hai của các số có đuôi bằng.

Làm thế nào bạn có thể trích xuất căn bậc hai mà không cần máy tính? Hãy chỉ ra hai cách.

Cách đầu tiên là bao gồm biểu thức cấp tiến.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm
Số chia hết (vì tổng các chữ số của nó là số chia hết). Hãy để chúng tôi xác định nhân tố:

Chúng tôi sẽ tìm thấy nó. Số này chia hết cho. Nó cũng được chia thành. Bao thanh toán.

Một vi dụ khac.

Ngoài ra còn có một cách thứ hai. Sẽ rất tiện lợi nếu số mà bạn cần giải nén gốc không thể được phân tích theo bất kỳ cách nào.

Ví dụ, bạn cần tìm. Số dưới gốc là số lẻ, không chia hết, không chia hết, không chia hết ... Bạn có thể tiếp tục tìm kiếm những gì mà nó vẫn chia hết hoặc bạn có thể làm điều đó dễ dàng hơn - tìm gốc này bằng cách chọn.

Rõ ràng, một số có hai chữ số là bình phương, nằm giữa các số và, vì, và số nằm giữa chúng. Chúng tôi đã biết số đầu tiên trong câu trả lời, điều này.

Chữ số cuối cùng trong số là. Vì, chữ số cuối cùng trong câu trả lời là hoặc. Hãy kiểm tra:
... Đã xảy ra!

Chúng tôi sẽ tìm thấy nó.

Điều này có nghĩa là số đầu tiên trong câu trả lời là năm.

Chữ số cuối cùng trong số là chín. ,. Điều này có nghĩa là chữ số cuối cùng trong câu trả lời là hoặc.

Hãy kiểm tra:

Nếu số mà bạn cần lấy căn bậc hai kết thúc bằng hoặc, thì căn bậc hai của nó sẽ là một số vô tỉ. Bởi vì không có số nguyên hình vuông nào kết thúc bằng hoặc. Hãy nhớ rằng trong các bài toán thuộc một phần của các biến thể USE trong toán học, câu trả lời phải được viết dưới dạng số nguyên hoặc phân số thập phân cuối cùng, nghĩa là nó phải là một số hữu tỉ.

Chúng tôi gặp phương trình bậc hai trong các bài toán và các biến thể của kỳ thi, cũng như trong các phần. Trong chúng, bạn cần phải tính toán số phân biệt, và sau đó trích xuất gốc từ nó. Và bạn không cần phải tìm gốc của các số có năm chữ số. Trong nhiều trường hợp, số phân biệt có thể được phân biệt thành nhân tử.

Ví dụ, trong phương trình

Một tình huống khác trong đó biểu thức dưới gốc có thể được thừa số hóa được lấy từ bài toán.

Cạnh huyền của tam giác vuông bằng nhau, một trong các chân bằng nhau, hãy tìm chân thứ hai.

Theo định lý Pitago, nó bằng nhau. Bạn có thể đếm trong một cột trong một thời gian dài, nhưng áp dụng công thức của phép nhân viết tắt sẽ dễ dàng hơn.

Và bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn biết điều thú vị nhất - rốt cuộc vì điều gì mà sinh viên tốt nghiệp lại mất điểm quý giá trong kỳ thi. Rốt cuộc, sai sót trong tính toán phát sinh là có lý do.

1. Cách đúng để mất điểm là tính toán cẩu thả, trong đó cái gì bị sửa, gạch bỏ, một số được viết chồng lên một số khác. Hãy xem bản nháp của bạn. Có lẽ chúng trông giống nhau? :-)

Viết dễ đọc! Đừng tiết kiệm giấy. Nếu có gì sai, không nên sửa số này cho số khác, tốt hơn là nên viết lại.

2. Vì lý do nào đó, nhiều học sinh, đếm theo cột, cố gắng thực hiện 1) rất, rất nhanh, 2) các số rất nhỏ, trong góc vở và 3) bằng bút chì. Kết quả là:

Không thể tháo rời bất cứ thứ gì. Tại sao lại ngạc nhiên rằng điểm SỬ DỤNG thấp hơn mong đợi?

3. Nhiều học sinh đã quen với việc bỏ qua dấu ngoặc đơn trong biểu thức. Đôi khi đây cũng là trường hợp:

Hãy nhớ rằng dấu bằng không được đặt ở bất kỳ đâu, mà chỉ được đặt giữa các giá trị bằng nhau. Viết chính xác, ngay cả trên bản nháp.

4 . Một số lượng lớn các lỗi tính toán liên quan đến phân số. Nếu bạn đang chia một phân số cho một phân số, hãy sử dụng thực tế rằng
Đây là một "hamburger", tức là một phần nhiều tầng. Để có câu trả lời chính xác với phương pháp này là vô cùng khó.

Hãy tóm tắt lại.

Kiểm tra các nhiệm vụ của phần đầu tiên của kỳ thi hồ sơ môn toán là tự động. Không có câu trả lời "gần như đúng" ở đây. Hoặc anh ấy đúng hoặc anh ấy không. Một lỗi tính toán - và xin chào, nhiệm vụ không được tính. Vì vậy, lợi ích tốt nhất của bạn là học cách đếm nhanh chóng, chính xác và không cần máy tính.

Các nhiệm vụ của phần thứ hai của kỳ thi hồ sơ môn toán được kiểm tra bởi một chuyên gia. Hãy chăm sóc anh ấy! Hãy để anh ấy hiểu cả chữ viết tay của bạn và logic của quyết định.