Видове уравнения и формули на уравнения. математика. алгебра. Геометрия. Тригонометрия. Решаване на още по-сложни линейни уравнения
Министерство на общото и професионалното образование на Руската федерация
Общинска образователна институция
Гимназия No12
писане
на тема: Уравнения и начини за решаването им
Завършен: ученик 10 "А" клас
Крутко Евгений
Проверено: учителят по математика Исхакова Гюлсум Акрамовна
Тюмен 2001г
План................................................... ................................................. .............................. един
Въведение ................................................. ................................................ .. ...................... 2
Главна част................................................ ................................................. .............. 3
Заключение................................................................ ................................................. ................ 25
Приложение ................................................. ................................................. ............... 26
Списък с референции ................................................ .............................................................. ... 29
Планирайте.
Въведение.
Справка по история.
Уравнения. Алгебрични уравнения.
а) Основни определения.
б) Линейно уравнение и как да го решим.
в) Квадратни уравнения и методи за решаването им.
г) Двучленни уравнения, начин за решаването им.
д) Кубични уравнения и методи за тяхното решаване.
е) Биквадратно уравнение и метод за неговото решаване.
ж) Уравнения от четвърта степен и методи за решаването им.
ж) Уравнения от високи степени и методи от решението.
з) Рационално алгебрично уравнение и неговият метод
и) Ирационални уравнения и методи за тяхното решаване.
j) Уравнения, съдържащи неизвестното под знака.
абсолютна стойност и как да я решим.
Трансцендентални уравнения.
а) Експоненциални уравнения и как да ги решаваме.
б) Логаритмични уравнения и как да ги решаваме.
Въведение
Математическото образование, получено в общообразователното училище, е съществен компонент от общото образование и общата култура на съвременния човек. Почти всичко, което заобикаля съвременния човек, е свързано по един или друг начин с математиката. А най-новите постижения във физиката, инженерството и информационните технологии не оставят съмнение, че и в бъдеще положението на нещата ще остане същото. Следователно решаването на много практически задачи се свежда до решаване на различни видове уравнения, които трябва да се научат да решават.
Настоящата работа е опит за обобщаване и систематизиране на изучавания материал по горната тема. Подредил съм материала според степента на неговата сложност, започвайки от най-простото. Включва както видовете уравнения, познати ни от училищния курс по алгебра, така и допълнителен материал. В същото време се опитах да покажа видовете уравнения, които не се изучават в училищния курс, но познанията за които може да са необходими при влизане във висше учебно заведение. В работата си, когато решавах уравнения, не се ограничавах само до реално решение, а посочих и сложно, тъй като смятам, че в противен случай уравнението просто не се решава. В крайна сметка, ако в уравнението няма реални корени, това не означава, че то няма решения. За съжаление поради липса на време не успях да представя целия материал, с който разполагам, но дори и с материала, който е представен тук, може да възникнат много въпроси. Надявам се, че познанията ми са достатъчни, за да отговоря на повечето въпроси. И така, ще ви представя материала.
Математиката... разкрива реда
симетрия и сигурност,
и това са най-важните видове красота.
Аристотел.
Справка по история
В онези далечни времена, когато мъдреците за първи път започнаха да мислят за равенства, съдържащи неизвестни количества, вероятно все още нямаше монети или портфейли. Но от друга страна имаше купища, както и гърнета, кошници, които бяха идеални за ролята на тайници-магазини, съдържащи неизвестен брой предмети. „Търсим купчина, която, заедно с две трети от нея, половината и една седма, е 37 ...“, учи египетският писар Ахмес през II хилядолетие пр.н.е. В древните математически задачи на Месопотамия, Индия, Китай, Гърция неизвестни количества изразяват броя на пауните в градината, броя на биковете в стадото, съвкупността от неща, взети предвид при разделянето на собствеността. Писари, чиновници и свещеници, посветени в тайни знания, добре обучени в науката за броене, се справяха доста успешно с подобни задачи.
Дошлите до нас източници показват, че древните учени са притежавали някои общи методи за решаване на задачи с неизвестни количества. Въпреки това, нито един папирус, нито една глинена таблетка не дава описание на тези техники. Авторите само от време на време снабдяват своите числени изчисления със средни коментари като: „Вижте!“, „Направете го!“, „Намерихте, че е правилно“. В този смисъл изключение прави „Аритметика“ на гръцкия математик Диофант Александрийски (III век) – сборник от задачи за съставяне на уравнения със систематично представяне на техните решения.
Въпреки това, работата на багдадския учен от 9-ти век се превърна в първото ръководство за решаване на проблеми, което стана широко известно. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата "al-jabr" от арабското заглавие на този трактат - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Книгата за възстановяване и контраст") - с течение на времето се превърна в думата "алгебра", добре позната на всички, и самата работа на ал-Хорезми послужи като отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения.
уравнения. Алгебрични уравнения
Основни определения
В алгебрата се разглеждат два вида равенства – тъждества и уравнения.
самоличносте равенство, което важи за всички (допустими) стойности на буквите). Да напише самоличността заедно със знака
знакът също се използва.Уравнението- това е равенство, което е изпълнено само за някои стойности на буквите, включени в него. Буквите, включени в уравнението, според условието на задачата, могат да бъдат неравни: някои могат да приемат всичките си допустими стойности (те се наричат параметриили коефициентиуравнения и обикновено се означават с първите букви на латинската азбука:
, , ... – или същите букви, снабдени с индекси: , , ... или , , ...); други, чиито стойности трябва да бъдат намерени, се наричат неизвестен(обикновено се обозначават с последните букви на латинската азбука: , , , ... - или със същите букви, снабдени с индекси: , , ... или , , ...).Най-общо уравнението може да се запише по следния начин:
( , , ..., ) .В зависимост от броя на неизвестните, уравнението се нарича уравнение с една, две и т.н. неизвестни.
Стойността на неизвестните, които превръщат уравнението в идентичност, се наричат решенияуравнения.
Решаването на уравнение означава намиране на набор от неговите решения или доказване, че няма решения. В зависимост от вида на уравнението, наборът от решения на уравнение може да бъде безкраен, краен или празен.
Ако всички решения на уравнението
са решения на уравнениетоВ някои проблеми на физиката не може да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но има възможност да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от тяхното решаване, за да се намери неизвестна функция.
Тази статия е предназначена за тези, които са изправени пред проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е изградена по такъв начин, че с нулево разбиране на диференциалните уравнения можете да си вършите работата.
Всеки тип диференциални уравнения е свързан с метод на решение с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите вида на диференциалното уравнение за вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.
За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способността да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) от различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме да се обърнете към раздела.
Първо разглеждаме видовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това преминаваме към ODE от втори ред, след това се спираме на уравнения от по-висок ред и завършваме със системи от диференциални уравнения.
Припомнете си, че ако y е функция на аргумента x.
Диференциални уравнения от първи ред.
Най-простите диференциални уравнения от първи ред на вида .
Нека напишем няколко примера за такова DE 
.
Диференциални уравнения 
може да бъде разрешено по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнението , което ще бъде еквивалентно на оригиналното за f(x) ≠ 0 . Примери за такива ODE са .
Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f(x) и g(x) едновременно изчезват, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението 
дадено x са всички функции, дефинирани за тези стойности на аргумента. Примери за такива диференциални уравнения са .
Диференциални уравнения от втори ред.
Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
LODE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциални уравнения. Тяхното решение не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение 
. За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи 
или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като 
, или 
, или съответно.
Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характерно уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LDE с постоянни коефициенти е
Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Общото решение на LIDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LODE 
и конкретно решение на оригиналното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И конкретно решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f (x) , стояща от дясната страна на оригиналното уравнение, или чрез метода на вариация на произволни константи.
Като примери за LIDE от втори ред с постоянни коефициенти, ние представяме 
За да разберете теорията и да се запознаете с подробните решения на примерите, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODEs) 
и линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDEs).
Специален случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LODE с постоянни коефициенти.
Общото решение на LODE на определен интервал се представя чрез линейна комбинация от две линейно независими частни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. 
.
Основната трудност се крие именно в намирането на линейно независими частични решения на този тип диференциално уравнение. Обикновено конкретни решения се избират от следните системи от линейно независими функции: 
Конкретните решения обаче не винаги се представят в тази форма.
Пример за LODU е 
.
Общото решение на LIDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LODE и е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.
Пример за LNDE е 
.
Диференциални уравнения от по-висок порядък.
Диференциални уравнения, допускащи редукция на реда.
Ред на диференциално уравнение 
, който не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 порядък, може да бъде намален до n-k чрез замяна на .
В този случай и оригиналното диференциално уравнение се свежда до . След намиране на нейното решение p(x), остава да се върнем към заместването и да определим неизвестната функция y .
Например диференциалното уравнение 
след като замяната се превръща в разделимо уравнение и неговият ред се намалява от третото към първото.
В хода на училищната математика детето чува термина „уравнение“ за първи път. Какво е това, нека се опитаме да го разберем заедно. В тази статия ще разгледаме видовете и методите за решаване.
математика. Уравнения
Като начало предлагаме да се справим със самата концепция, какво е то? Както казват много учебници по математика, уравнението е някакъв израз, между който винаги има знак за равенство. Тези изрази съдържат букви, така наречените променливи, чиято стойност трябва да бъде намерена.
Това е системен атрибут, който променя стойността си. Добър пример за променливи са:
- температура на въздуха;
- ръст на детето;
- тегло и така нататък.
В математиката те се обозначават с букви, например x, a, b, c ... Обикновено задачата по математика е следната: намерете стойността на уравнението. Това означава, че трябва да намерите стойността на тези променливи.
Сортове
Уравнението (какво е, обсъдихме в предишния параграф) може да бъде в следния вид:
- линеен;
- квадрат;
- кубичен;
- алгебрични;
- трансцендентен.
За по-подробно запознаване с всички видове ще разгледаме всеки поотделно.
Линейно уравнение
Това е първият вид, с който учениците се запознават. Решават се доста бързо и просто. И така, какво е линейно уравнение? Това е израз от формата: ax=s. Не е много ясно, затова нека дадем няколко примера: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.
Нека разгледаме примери за уравнения. За да направим това, трябва да съберем всички известни данни от една страна и неизвестни данни от друга: x=26/2; х=40/5; х=6/1.2. Тук са използвани елементарни правила на математиката: a*c=e, от това c=e/a; a=e/s. За да завършим решението на уравнението, извършваме едно действие (в нашия случай деление) x=13; х=8; х=5. Това бяха примери за умножение, сега нека разгледаме изваждането и събирането: x + 3 = 9; 10x-5=15. Прехвърляме познатите данни в една посока: x=9-3; х=20/10. Извършваме последното действие: x=6; х=2.
Възможни са и варианти на линейни уравнения, при които се използва повече от една променлива: 2x-2y=4. За да решим, е необходимо да добавим 2y към всяка част, получаваме 2x-2y + 2y = 4-2y, както забелязахме, от лявата страна на знака за равенство -2y и +2y са намалени, докато ние имат: 2x \u003d 4 -2u. Последната стъпка е да разделим всяка част на две, получаваме отговора: x е равно на две минус y.
Проблеми с уравненията се срещат дори на папирусите на Ахмес. Ето един от проблемите: числото и четвъртата част от него дават 15. За да го решим, пишем следното уравнение: x плюс една четвърт от x е равно на петнадесет. Виждаме още един пример като резултат от решението, получаваме отговора: x=12. Но този проблем може да бъде решен по друг начин, а именно египетския или, както го наричат по друг начин, метода на предположението. Папирусът използва следното решение: вземете четири и четвъртата му част, тоест една. Общо дават пет, сега петнадесет трябва да се разделят на сумата, получаваме три, с последното действие умножаваме три по четири. Получаваме отговора: 12. Защо делим петнадесет на пет в решението? Така че откриваме колко пъти петнадесет, тоест резултатът, който трябва да получим, е по-малък от пет. През Средновековието проблемите се решават по този начин, става известен като методът на фалшивата позиция.
Квадратни уравнения
В допълнение към примерите, разгледани по-рано, има и други. Какво точно? Какво е квадратно уравнение? Те изглеждат като брадва 2 +bx+c=0. За да ги разрешите, трябва да се запознаете с някои понятия и правила.
Първо, трябва да намерите дискриминанта, като използвате формулата: b 2 -4ac. Има три възможни решения:
- дискриминантът е по-голям от нула;
- по-малко от нула;
- равно на нула.
При първия вариант можем да получим отговор от два корена, които се намират по формулата: -b + - коренът на дискриминанта, разделен на удвоения първи коефициент, тоест 2a.
Във втория случай уравнението няма корени. В третия случай коренът се намира по формулата: -b / 2a.
Помислете за пример за квадратно уравнение за по-подробно запознаване: три x на квадрат минус четиринадесет x минус пет е равно на нула. Като начало, както беше написано по-рано, търсим дискриминанта, в нашия случай това е 256. Имайте предвид, че полученото число е по-голямо от нула, следователно трябва да получим отговор, състоящ се от два корена. Заместваме получения дискриминант във формулата за намиране на корените. В резултат на това имаме: x е равно на пет и минус една трета.
Специални случаи в квадратни уравнения
Това са примери, в които някои стойности са нула (a, b или c) и вероятно повече от едно.
Например, нека вземем следното уравнение, което е квадратно: две x на квадрат са равни на нула, тук виждаме, че b и c са нула. Нека се опитаме да го решим, за това разделяме двете части на уравнението на две, имаме: x 2 = 0. В резултат получаваме x=0.
Друг случай е 16x 2 -9=0. Тук само b=0. Решаваме уравнението, прехвърляме свободния коефициент в дясната страна: 16x 2 = 9, сега разделяме всяка част на шестнадесет: x 2 = девет шестнадесети. Тъй като имаме x на квадрат, коренът от 9/16 може да бъде отрицателен или положителен. Пишем отговора, както следва: x е равно на плюс / минус три четвърти.
Възможен е и такъв отговор, тъй като уравнението изобщо няма корени. Нека разгледаме този пример: 5x 2 +80=0, тук b=0. За да решите свободния член, хвърлете го от дясната страна, след тези действия получаваме: 5x 2 = -80, сега разделяме всяка част на пет: x 2 = шестнадесет. Ако някое число е на квадрат, тогава няма да получим отрицателна стойност. Следователно нашият отговор звучи така: уравнението няма корени.
Триномиално разширение
Заданието за квадратни уравнения също може да звучи различно: разложете на множители квадратен трином. Това може да стане с помощта на следната формула: a (x-x 1) (x-x 2). За това, както в друга версия на задачата, е необходимо да се намери дискриминанта.
Помислете за следния пример: 3x 2 -14x-5, разложете на множители тричлена. Намираме дискриминанта, като използваме вече познатата ни формула, той се оказва 256. Веднага отбелязваме, че 256 е по-голямо от нула, следователно уравнението ще има два корена. Намираме ги, както в предишния параграф, имаме: x = пет и минус една трета. Нека използваме формулата за разлагане на тричлена на множители: 3(x-5)(x+1/3). Във втората скоба получихме знак за равенство, тъй като формулата съдържа знак минус, а коренът също е отрицателен, използвайки елементарни познания по математика, в сбора имаме знак плюс. За да опростим, умножаваме първия и третия член на уравнението, за да се отървем от дроба: (x-5) (x + 1).
Квадратни уравнения
В този раздел ще научим как да решаваме по-сложни уравнения. Нека започнем веднага с пример:
(x 2 - 2x) 2 - 2 (x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем да забележим повтарящите се елементи: (x 2 - 2x), за нас е удобно да го заменим с друга променлива за решението и след това решете обичайното квадратно уравнение, веднага отбелязваме, че в такава задача ще получим четири корена, това не трябва да ви плаши. Означаваме повторението на променливата a. Получаваме: a 2 -2a-3=0. Следващата ни стъпка е да намерим дискриминанта на новото уравнение. Получаваме 16, намираме два корена: минус едно и три. Спомняме си, че направихме замяната, заместваме тези стойности, в резултат на което имаме уравненията: x 2 - 2x \u003d -1; x 2 - 2x=3. Решаваме ги в първия отговор: x е равно на единица, във втория: x е равно на минус едно и три. Пишем отговора, както следва: плюс / минус едно и три. По правило отговорът се изписва във възходящ ред.
Кубични уравнения
Нека разгледаме друг възможен вариант. Нека поговорим за кубичните уравнения. Те изглеждат така: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Ще разгледаме примери за уравнения по-долу, но първо малко теория. Те могат да имат три корена, има и формула за намиране на дискриминанта за кубично уравнение.
Помислете за пример: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Как да го реша? За да направите това, просто изваждаме x от скобите: x(3x 2 +4x+2)=0. Всичко, което ни остава да направим, е да изчислим корените на уравнението в скоби. Дискриминантът на квадратното уравнение в скоби е по-малък от нула, така че изразът има корен: x=0.
алгебра. Уравнения
Да преминем към следващия. Сега ще разгледаме накратко алгебричните уравнения. Една от задачите е следната: разложете на множители 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Най-удобният начин би бил следното групиране: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Обърнете внимание, че ние представихме 8x2 от първия израз като сбор от 3x2 и 5x2. Сега изваждаме от всяка скоба общия фактор 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Виждаме, че имаме общ фактор: x на квадрат плюс едно, изваждаме го от скобите: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). По-нататъшното разширяване е невъзможно, тъй като и двете уравнения имат отрицателен дискриминант.
Трансцендентални уравнения
Предлагаме да се справим със следния тип. Това са уравнения, които съдържат трансцендентални функции, а именно логаритмични, тригонометрични или експоненциални. Примери: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 и т.н. Как се решават ще научите от курса по тригонометрия.
Функция
Последната стъпка е да разгледаме концепцията за уравнение на функция. За разлика от предишните опции, този тип не се решава, а върху него се изгражда графика. За да направите това, уравнението трябва да се анализира добре, да се намерят всички необходими точки за изграждане, да се изчислят минималните и максималните точки.
Какво е уравнение?
Тези, които правят първите си стъпки в алгебрата, разбира се, изискват най-подреденото представяне на материала. Следователно, в нашата статия за това какво е уравнение, ние не само ще дадем определение, но и ще дадем различни класификации на уравнения с примери.
Какво е уравнение: общи понятия
И така, уравнението е вид равенство с неизвестно, обозначено с латинска буква. Освен това числовата стойност на тази буква, която ви позволява да получите правилното равенство, се нарича корен на уравнението , Можете да прочетете повече за това в нашата статия, но ние ще продължим да говорим за самите уравнения. Аргументите на уравнението (или променливите) са неизвестни, а решението на уравнението е намирането на всички негови корени или отсъствието на корени.
Видове уравнения
Уравненията са разделени на две големи групи: алгебрични и трансцендентални.
- Алгебричното уравнение е уравнение, в което се използват само алгебрични операции за намиране на корена на уравнението - 4 аритметика, както и повишаване на степен и извличане на естествен корен.
- Трансцендентално се нарича уравнение, в което за намиране на корена се използват неалгебрични функции: например тригонометрични, логаритмични и други.
Сред алгебричните уравнения има още:
- цели числа - като двете части се състоят от целочислени алгебрични изрази по отношение на неизвестни;
- дробни - съдържащи целочислени алгебрични изрази в числителя и знаменателя;
- ирационални - алгебричните изрази са тук под знака на корена.
Забележете също, че дробните и ирационалните уравнения могат да се сведат до решаване на цели уравнения.
Трансценденталните уравнения се подразделят на:
- експоненциални - това са уравнения, които съдържат променлива в експонента. Те се решават чрез преминаване към единична основа или степен, изваждане на общия множител от скобата, разлагане на множители и по някои други начини;
- логаритмични - уравнения с логаритми, тоест такива уравнения, при които неизвестните са вътре в самите логаритми. Решаването на такива уравнения е много трудно (за разлика от, да речем, повечето алгебрични), тъй като това изисква солидна математична подготовка. Най-важното тук е да преминем от уравнение с логаритми към уравнение без тях, тоест да опростим уравнението (този начин за премахване на логаритми се нарича потенциране). Разбира се, възможно е да се потенцира логаритмично уравнение само ако те имат еднакви числови бази и нямат коефициенти;
- тригонометрични - това са уравнения с променливи под знаците на тригонометрични функции. Тяхното решение изисква първоначално овладяване на тригонометричните функции;
- смесените уравнения са диференцирани уравнения с части, принадлежащи към различни типове (например с параболични и елиптични части или елиптични и хиперболични и др.).
Що се отнася до класификацията по броя на неизвестните, тук всичко е просто: те правят разлика между уравнения с едно, две, три и т.н. неизвестни. Има и друга класификация, която се основава на степента, която е от лявата страна на полинома. Въз основа на това се разграничават линейни, квадратни и кубични уравнения. Линейните уравнения могат да се нарекат и уравнения от 1-ва степен, квадратни - 2-ра и кубични, съответно, 3-та. Е, сега даваме примери за уравнения на определена група.
Примери за различни видове уравнения
Примери за алгебрични уравнения:
- ах + b = 0
- ax 3 + bx 2 + cx + d= 0
- ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
(a не е равно на 0)
Примери за трансцендентални уравнения:
- cos x = x lg x = x−5 2 x = lgx+x 5 +40
Примери за целочислени уравнения:
- (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4
Пример за дробни уравнения:
- 15x + - = 5x - 17x
Пример за ирационални уравнения:
- √2kf(x)=g(x)
Примери за линейни уравнения:
- 2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2
Примери за квадратни уравнения:
- x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0
Примери за кубични уравнения:
- x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0
Примери за експоненциални уравнения:
- 5 x + 2 = 125 3 x 2 x \u003d 8 x + 3 3 2 x + 4 3 x -5 = 0
Примери за логаритмични уравнения:
- log 2 x= 3 log 3 x= -1
Примери за тригонометрични уравнения:
- 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tg 3 x = ctg 4 x
Примери за смесени уравнения:
- log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13
Остава да добавим, че за решаване на различни видове уравнения се използват различни методи. Е, за да решите почти всяко уравнение, ще ви трябват познания не само по алгебра, но и по тригонометрия и често много задълбочени познания.
Уравнението е математически израз, който е уравнение, съдържащо неизвестно. Ако равенството е вярно за всички допустими стойности на неизвестните, включени в него, тогава то се нарича идентичност; например: релация като (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) важи за всички стойности на x.
Ако уравнение, съдържащо неизвестен x, важи само за определени стойности на x, а не за всички стойности на x, както в случая на идентичност, тогава може да е полезно да се определят онези стойности на x, за които уравнението е валидно. Такива стойности на x се наричат корени или решения на уравнението. Например числото 5 е коренът на уравнението 2x + 7= 17.
В клона на математиката, наречен теория на уравненията, основният предмет на изследване са методите за решаване на уравнения. В училищния курс по алгебра много внимание се отделя на уравненията.
Историята на изучаването на уравненията датира от много векове. Най-известните математици, допринесли за развитието на теорията на уравненията, са:
Архимед (около 287-212 г. пр. н. е.) - древногръцки учен, математик и механик. При изследването на един проблем, който се свежда до кубично уравнение, Архимед открива ролята на характеристиката, която по-късно става известна като дискриминант.
Франсоа Виет е живял през 16 век. Той направи голям принос в изучаването на различни проблеми на математиката. По-специално, той въведе буквалното обозначение за коефициентите на уравнение и установи връзка между корените на квадратно уравнение.
Леонхард Ойлер (1707 - 1783) - математик, механик, физик и астроном. Авторът на Св. 800 труда по математически анализ, диференциални уравнения, геометрия, теория на числата, приблизителни изчисления, небесна механика, математика, оптика, балистика, корабостроене, теория на музиката и др. Той оказва значително влияние върху развитието на науката. Той изведе формули (формули на Ойлер), изразяващи тригонометричните функции на променливата x по отношение на експоненциална функция.
Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813), френски математик и механик. Той притежава изключителни изследвания, сред които изследвания по алгебра (симетричната функция на корените на уравнение, върху диференциалните уравнения (теорията на сингулярните решения, методът на вариация на константите).
Ж. Лагранж и А. Вандермонд – френски математици. През 1771 г. за първи път се използва методът за решаване на системи от уравнения (методът на заместването).
Гаус Карл Фридрих (1777 -1855) - немски математик. Написа книга, която очертава теорията на уравненията за разделяне на кръг (т.е. уравнения xn - 1 = 0), която в много отношения е прототип на теорията на Галоа. В допълнение към общите методи за решаване на тези уравнения, той установява връзка между тях и конструирането на правилни многоъгълници. Той, за първи път след древногръцките учени, направи значителна крачка напред в този въпрос, а именно: той намери всички онези стойности на n, за които може да се изгради правилен n-ъгъл с компас и линийка. Научих как да добавя. Той заключи, че системите от уравнения могат да се добавят, разделят и умножават помежду си.
О. И. Сомов - обогати различни части от математиката с важни и многобройни трудове, сред които теорията на някои алгебрични уравнения от по-високи степени.
Галоа Еварист (1811-1832), френски математик. Основната му заслуга е формулирането на набор от идеи, до които стига във връзка с продължаването на изследванията върху разрешимостта на алгебричните уравнения, започнати от Ж. Лагранж, Н. Абел и др., създава теорията на алгебричните уравнения на висшите градуса с едно неизвестно.
А. В. Погорелов (1919 - 1981) - В неговата работа геометричните методи са свързани с аналитичните методи на теорията на частните диференциални уравнения. Неговите трудове също оказват значително влияние върху теорията на нелинейните диференциални уравнения.
П. Руфини – италиански математик. Той посвети редица работи на доказването на нерешимостта на уравнението от 5-та степен, систематично използва затвореността на набора от замествания.
Въпреки факта, че учените изучават уравнения от дълго време, науката не знае как и кога хората са получили нуждата да използват уравнения. Известно е само, че проблемите, водещи до решаването на най-простите уравнения, се решават от хората от времето, когато са станали хора. Още 3 - 4 хиляди години пр.н.е. д. египтяните и вавилонците знаели как да решават уравнения. Правилото за решаване на тези уравнения съвпада със съвременното, но не е известно как са стигнали дотук.
В древен Египет и Вавилон е използван методът на фалшивата позиция. Уравнение от първа степен с едно неизвестно винаги може да се сведе до вида ax + b = c, в който a, b, c са цели числа. Според правилата на аритметичните операции, ax \u003d c - b,
Ако b > c, тогава c b е отрицателно число. Отрицателните числа са били непознати за египтяните и много други по-късни народи (на равна нога с положителните числа те започват да се използват в математиката едва през седемнадесети век). За да разрешим проблемите, които сега решаваме с уравнения от първа степен, беше изобретен методът на фалшивото положение. В папируса на Ахмес 15 проблема са решени по този метод. Египтяните са имали специален знак за неизвестно число, което доскоро се четеше "как" и се превеждаше с думата "хийп" ("куп" или "неизвестен брой" единици). Сега те четат малко по-малко неточно: „аха“. Методът на решението, използван от Ахмес, се нарича метод на една фалшива позиция. С помощта на този метод се решават уравнения от вида ax = b. Този метод се състои в разделяне на всяка страна на уравнението на a. Използван е както от египтяните, така и от вавилонците. Различните народи са използвали метода на две фалшиви позиции. Арабите механизираха този метод и получиха формата, в която той премина в учебниците на европейските народи, включително в Аритметиката на Магнитски. Магнитски нарича метода за решаване на „фалшивото правило“ и пише в частта от книгата си, в която излага този метод:
Zelo bo хитра е тази част, Като че можеш да сложиш всичко с нея. Не само това, което е в гражданството, Но и висшите науки в космоса, Дори са изброени в сферата на небето, Като мъдрите има нужда.
Съдържанието на стихотворенията на Магнитски може да се обобщи по следния начин: тази част от аритметиката е много трудна. С негова помощ можете да изчислите не само това, което е необходимо в ежедневната практика, но и решава „по-висшите“ въпроси, пред които са изправени „мъдрите“. Магнитски използва „фалшиво правило“ във формата, дадена му от арабите, наричайки го „аритметика на две грешки“ или „метод на тежестите“. Индийските математици често давали задачи в стихове. Lotus предизвикателство:
Над тихото езеро, на половин мярка над водата, се виждаше лотосов цвят. Той израсна сам, а вятърът на вълна го наведе настрани и вече не
Цветя над водата. Намерил е рибарското му око. Две мерки от мястото, където е израснал. Колко езера са дълбоки тук? Ще ви предложа въпрос.
Видове уравнения
Линейни уравнения
Линейните уравнения са уравнения от вида: ax + b = 0, където a и b са някои константи. Ако a не е равно на нула, тогава уравнението има един единствен корен: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a).
Например: решете линейно уравнение: 4x + 12 = 0.
Решение: T. до a = 4, и b = 12, след това x = - 12: 4; х = - 3.
Проверка: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Тъй като k 0 = 0, тогава -3 е коренът на оригиналното уравнение.
Отговор. х = -3
Ако a е нула и b е нула, тогава коренът на уравнението ax + b = 0 е произволно число.
Например:
0 = 0. Тъй като 0 е 0, тогава коренът на уравнението 0x + 0 = 0 е произволно число.
Ако a е нула и b не е нула, тогава уравнението ax + b = 0 няма корени.
Например:
0 \u003d 6. Тъй като 0 не е равно на 6, тогава 0x - 6 = 0 няма корени.
Системи от линейни уравнения.
Система от линейни уравнения е система, в която всички уравнения са линейни.
Да решиш една система означава да намериш всички нейни решения.
Преди да решите система от линейни уравнения, можете да определите броя на нейните решения.
Нека е дадена системата от уравнения: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.
Ако a1, разделено на a2, не е равно на b1, разделено на b2, тогава системата има едно единствено решение.
Ако a1, разделено на a2, е равно на b1, разделено на b2, но равно на c1, разделено на c2, тогава системата няма решения.
Ако a1, разделено на a2, е равно на b1, разделено на b2, и равно на c1, разделено на c2, тогава системата има безкрайно много решения.
Система от уравнения, която има поне едно решение, се нарича последователна.
Съвместната система се нарича определена, ако има краен брой решения, и неопределена, ако множеството от нейните решения е безкрайно.
Система, която няма едно решение, се нарича непоследователна или непоследователна.
Начини за решаване на линейни уравнения
Има няколко начина за решаване на линейни уравнения:
1) Метод на избор. Това е най-простият начин. Той се крие във факта, че всички валидни стойности на неизвестното се избират чрез изброяване.
Например:
Решете уравнението.
Нека x = 1. Тогава
4 = 6. Тъй като 4 не е равно на 6, тогава нашето предположение, че x = 1 е неправилно.
Нека х = 2.
6 = 6. Тъй като 6 е равно на 6, тогава нашето предположение, че x = 2, е правилно.
Отговор: x = 2.
2) Начин за опростяване
Този метод се състои във факта, че всички членове, съдържащи неизвестното, се прехвърлят в лявата страна, а известни отдясно с противоположен знак, ние даваме подобни и разделяме двете части на уравнението на коефициента на неизвестното.
Например:
Решете уравнението.
5x - 4 \u003d 11 + 2x;
5x - 2x \u003d 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Отговор. х = 5.
3) Графичен начин.
Състои се в това, че се изгражда графика на функциите на дадено уравнение. Тъй като в линейното уравнение y \u003d 0, графиката ще бъде успоредна на оста y. Точката на пресичане на графиката с оста x ще бъде решението на това уравнение.
Например:
Решете уравнението.
Нека y = 7. Тогава y = 2x + 3.
Нека построим графика на функциите на двете уравнения:
Начини за решаване на системи от линейни уравнения
В седми клас се изучават три начина за решаване на системи от уравнения:
1) Метод на заместване.
Този метод се състои в това, че в едно от уравненията едно неизвестно се изразява чрез друго. Полученият израз се замества с друго уравнение, което след това се превръща в уравнение с едно неизвестно, след което се решава. Получената стойност на това неизвестно се замества във всяко уравнение на оригиналната система и се намира стойността на втората неизвестна.
Например.
Решете системата от уравнения.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.
Заменете получения израз с друго уравнение:
5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;
5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Заменете получената стойност в уравнението 3x + y \u003d 4.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.
Преглед.
/3 1 + 1 = 4,
\5 1 - 2 1 - 2 = 1;
Отговор: x = 1; y = 1.
2) Метод на добавяне.
Този метод се състои във факта, че ако дадена система се състои от уравнения, които при добавяне на член по член образуват уравнение с едно неизвестно, тогава чрез решаването на това уравнение ще получим стойността на едно от неизвестните. Получената стойност на това неизвестно се замества във всяко уравнение на оригиналната система и се намира стойността на втората неизвестна.
Например:
Решете системата от уравнения.
/ 3y - 2x \u003d 5,
\5x - 3y \u003d 4.
Нека решим полученото уравнение.
3x = 9; : (3) x = 3.
Нека заместим получената стойност в уравнението 3y - 2x = 5.
3y - 2 3 = 5;
3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Така че х = 3; y = 3 2/3.
Преглед.
/3 11/3 - 2 3 = 5,
\5 3 - 3 11/ 3 = 4;
Отговор. х = 3; y = 3 2/3
3) Графичен начин.
Този метод се основава на факта, че графиките на уравненията се начертават в една координатна система. Ако графиките на уравнението се пресичат, тогава координатите на пресечната точка са решението на тази система. Ако графиките на едно уравнение са успоредни прави, тогава дадената система няма решения. Ако графиките на уравненията се слеят в една права линия, тогава системата има безкрайно много решения.
Например.
Решете системата от уравнения.
18x + 3y - 1 = 8.
2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;
Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Изграждаме графики на функции y = 2x - 5 и y = 3 - 6x в една и съща координатна система.
Графиките на функциите y = 2x - 5 и y = 3 - 6x се пресичат в точка A (1; -3).
Следователно решението на тази система от уравнения ще бъде x = 1 и y = -3.
Преглед.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Отговор. х = 1; y = -3.
Заключение
Въз основа на всичко казано по-горе можем да заключим, че уравненията са необходими в съвременния свят не само за решаване на практически проблеми, но и като научен инструмент. Следователно толкова много учени са проучили този въпрос и продължават да изучават.
