главниот > Завеси > Формула полнота. Формула Целосна веројатност. Примери за решенија за задачи


Формула полнота. Формула Целосна веројатност. Примери за решенија за задачи




Учител на Министерството за компајлер на одделот висока математика Провиканов Тр Лекција број 4. Формула целосна веројатност. Веројатноста за хипотези. Бајс формули.

Теоретски материјал
Формула Целосна веројатност
Теорема. Веројатноста за настан А, која може да се случи само ако еден од нив недоследности Формирањето комплетна група е еднаква на збирот на веројатноста на секој од овие настани до соодветна условна веројатност за настанот А:

.
Оваа формула се нарекува "целосна формула за веројатност".

Доказ. По услов, настанот може да се случи ако се појави еден од нецелосните настани. Со други зборови, појавата на настанот А значи спроведување на еден, рамнодушен кон што, од нецелосни настани. Користејќи за да се пресмета веројатноста за настан и додавање на додавање, добиваме
. (*)
Останува да се пресмета секој од условите. Од страна на теорема на множење на веројатноста зависни настани што ги имаме
.
Замена на вистинските делови на овие еднакви нивоа во соодносот (*), добиваме целосна формула за веројатност

Пример 1. Постојат два групи детали. Веројатноста дека деталите од првиот сет е стандард изнесува 0,8, а вториот-0.9. Најди ги веројатноста дека деталите се деталите (од Muddy Set) е стандард.
Одлука. Означува со настан "извлечен детал од стандард".
Делот може да се превземе или од првото бирање (настан) или од вториот (настан).
Веројатноста дека делот е отстранет од првиот сет ,.
Веројатноста дека делот е отстранет од вториот сет ,.
Условна шанса дека стандардниот дел ќе биде изваден од првиот сет, .
Условна веројатност дека стандардниот дел ќе биде изваден од вториот сет .
Саканата веројатност дека извлечениот детал е стандард, според целосната формулабилност е еднаква на

Пример 2. Првата кутија содржи 20 радиоглами, од кои 18 се стандардни; Во втората кутија-10 светилки, од кои 9 се стандардни. Од втората кутија, светилката е снимена и се пренесува на првата. Најди веројатноста дека светилка, границата која е извадена од првата кутија ќе биде стандардна.
Одлука.Означува и настанот "од првата кутија е извлечена со стандардна светилка".
Од втората кутија може да се превземе или стандардна светилка (настан) или нестандарден (настан).
Веројатноста дека стандардната светилка е извлечена од втората кутија, .
Веројатноста дека нестандардна светилка е отстранета од втората кутија,
Условна веројатност дека стандардна светилка е извадена од првата кутија, под услов стандардната светилка да биде донесена од втората кутија до првата.
Условна веројатност дека стандардна светилка е извлечена од првата кутија, под услов нестандардна светилка да биде донесена од втората кутија, еднаква на првата.
Саканата веројатност дека стандардна светилка ќе биде извлечена од првата кутија, според целосната формулабилност е еднаква на

Веројатноста за хипотези. Бајс Формула

Нека настан А може да се појави ако се појави еден од нецелосните настани кои формираат комплетна група. Бидејќи не е познато однапред, кој од овие настани ќе дојде, тие се нарекуваат хипотези. Веројатноста за појава на настан А се утврдува со формулата на целосната веројатност:

Да претпоставиме дека беше спроведен тест, како резултат на кој се појави настан. Ние ќе ја дефинираме мојата задача, како што се промени (поради фактот што настанот веќе дојде) веројатноста за хипотези. Со други зборови, ние ќе бараме условни веројатности.

Прво ќе најдеме условна веројатност. Со множење теорема имаат

.

Замена тука p (а) со формулата (*), добиваме

Формулите кои ги одредуваат условните веројатности на преостанатите хипотези, односно, условната веројатност за која било хипотеза може да се пресмета со формулата

Добиениот повик за формули бајсум Формула (Именуван англиски математика, која ги донесе; објавен во 1764 година). Формулите на Бајес овозможуваат преценување на веројатностите на хипотезите откако ќе стане познат резултат Тестови, како резултат на кој настан А.

Пример. Деталите произведени од растителната продавница паѓаат за да ги проверат за стандард на еден од два контролери. Веројатноста дека делот паѓа на првата контрола е 0,6, а втората е 0.4. Веројатноста дека соодветниот дел ќе биде препознаен како стандарден прв контролер е 0,94, а втората 0.98. Годишен детал кога е потврден беше препознаен како стандард. Најдете ја шансата дека овој детал го провери првиот контролор.
Одлука. Означува со настан кој е дека соодветната ставка е препознаена како стандард. Можете да направите две претпоставки:
1) детали го провери првиот контролор (хипотеза);
2) Детали го проверуваа вториот контролер (хипотеза). Посакуваната веројатност дека деталите го проверуваат првиот контролор, ќе ги најдеме според формулата Bayes:

Со состојба на задачата, имаме:
(веројатноста дека предметот добива на првата контрола);
(веројатноста дека деталите ќе паднат на втората контрола);
(Веројатноста дека соодветниот дел ќе биде препознаен како прв стандарден контролор);
(Веројатноста дека разумен предмет ќе биде признаен како втор стандарден стандард).
Велејќи веројатноста

Како што може да се види, пред тестот, веројатноста за хипотезата е 0,6, откако резултатот од тестот беше познат, веројатноста за оваа хипотеза (попрецизно, условната веројатност) се промени и стана еднаква на 0,59. Така, употребата на формулата за Бајс овозможи да се прецени веројатноста за разгледување на хипотезата.

Практичен материјал.
1. (4) Колекционерот добил 3 кутии детали произведени со постројки бр. 1 и 2 кутии на делови произведени од фабриката бр. 2. Веројатноста дека деталите од фабриката бр. 1 е стандард, еднаков на 0,8, а фабриката Број 2 е 0,9, колекторот го извлече деталите на граничната кутија. Најди веројатноста дека стандардниот дел е отстранет.
ОТ. 0.84.
2. (5) Првиот фиока содржи 20 дела, од кои 15 се стандардни; Во вториот 30 детали, од кои 24 се стандардни; Во третиот - 10 делови, од кои 6 се стандардни. Најдете веројатноста дека полицата на извадените детали од пренасочувањето е стандардна.
ОТ. 43/60.
3. (6) во телевизискиот ателје има 4 кинескопи. Веројатноста дека Кинескоп ќе го издржи животот на гаранцијата, односно, се 0,8; 0,85; 0.9; 0.95. Најди веројатноста дека прелистувачот Кинекоп ќе го издржи животот на гаранцијата.
ОТ. 0.875.
4. (3) Во групата спортисти 20 скијачи, 6 велосипедисти и 4 тркачи. Веројатноста за вршење на квалификационата стапка е како што следува: за скијање-0,9, за велосипедист-0.8. И за тркач-0,75. Најди веројатноста дека спортистот избран од namudach ќе ја исполни нормата.
ОТ. 0.86.
5. (В) во бела фиока 12 црвени и 6 сини топки. Во црно - 15 црвени и 10 сини топки. Фрли генерал. Ако бројот на поени паѓа, повеќе 3, а потоа по случаен избор Земете топка од бела кутија. Ако било кој друг број поени паѓа, тогаш топката ја зема топката од црна кутија. Која е веројатноста за појава на црвена топка?
Одлука:
Две хипотези се можни:
- Кога фрла коцка, износот на поени ќе падне, повеќе 3, т.е. или 3 или 6;
- Кога фрлаат коцка, уште еден број поени ќе падне, т.е. или 1 или 2 или 4 или 5.
Според класичната дефиниција на веројатноста за хипотези се еднакви:

Бидејќи хипотезите сочинуваат комплетна група настани, треба да се изврши еднаквоста.

Нека настанот и се состои во појавата на црвена топка. Условните веројатности на овој настан зависи од тоа што е реализирана хипотезата и е конституирана:

Потоа, според формулата за целосна веројатност, веројатноста за настан ќе биде еднаква на:

6. (7) Постојат радиолзи погледи во две кутии. Првиот фиока содржи 12 светилки, од кои 1 не е стандард; Во втората 10 светилки, од кои 1 не е стандард. Од првиот фиока, светилката е пренесена и пренесена во втората. Најди веројатноста дека светилка извлечена од втората кутија ќе биде нестандардна.
ОТ. 13/132.

7. (89 g) Во урната, која содржи две топки, спуштена бела топка, по што беше отстранета една топка. Наоѓање на веројатноста дека отстранетата топка ќе биде бела ако сите можни претпоставки за оригиналниот состав на топки (во боја) се еднакви.
Одлука. Означи од настанот - бела топка е отстранета. Следниве претпоставки (хипотези) се можни на почетниот состав на топки: - Не бели топки - една бела топка, - две бели топки.
Бидејќи сите постојат три хипотези, а по состојба, тие се подеднакво еднакви, а хипотезите на веројатноста се еднакви на еден (како што тие формираат комплетна група настани), веројатноста за секоја од хипотезите е 1/3, односно. .
Условна веројатност дека белата топка ќе биде извлечена, под услов таа првично бели топки во урната, .
Условна веројатност дека белата топка ќе биде извлечена, под услов првично во урната беше една бела топка, .
Условна веројатност дека белата топка ќе биде извлечена, под услов оригиналните топки првично беа во урната.
Посакуваната веројатност дека ќе се отстрани белата топка, ја наоѓаме формулата за целосна веројатност:

8. (10) Во полето кое содржи 3 исти детали, Стандарден дел е фрлен, а потоа еден детал е изваден. Најдете ја шансата дека стандардниот дел е извлечен ако сите можни претпоставки се еквивалентни за бројот на стандардни делови првично се наоѓа во фиоката.
ОТ. 0,625..

9. (6.5.21) за подобрување на квалитетот на радиото, се користат два радија. Веројатноста за добивање на сигналот од страна на секој ресивер е 0,8, и овие настани (приемникот за примање) се независни. Определете ја веројатноста за добивање на сигнал ако веројатноста за непроблематична работа за време на радио комуникациската сесија за секој ресивер е 0,9.
Одлука.
Нека настан A \u003d (сигналот ќе биде прифатен). Размислете за четири хипотези:

\u003d (првиот приемник работи, вториот - не);

\u003d (втори дела, прво - не);

\u003d (Двата ресиверска работа);

\u003d (двата ресивер не функционираат).

Настан А може да се појави само со една од овие хипотези. Најди ги веројатноста за овие хипотези, со оглед на следниве настани:

\u003d (првиот приемник работи)

\u003d (Вториот приемник работи).

Контрола:

.

Условните веројатности се соодветно еднакви:

;

;

Сега според целосната формула за веројатност, ја наоѓаме саканата веројатност

10. (11) Кога отстапува од нормалното функционирање на машината, уредот за сигнализација S-1 се активира со 0,8 веројатност, а сигнализацијата S-11 се активира со веројатност од 1. Веројатноста дека машината е опремена со s -1 или C-11 сигнализација уред, соодветно, еднакви на 0, 6 и 0.4. Сигнал е примен за машината за сечење. Она што е поверојатно: машината е опремена со S-1 или C-11 сигнал за сигнализација?
ОТ. Веројатноста дека машината е опремена со S-1 сигнален уред е 6/11, и C-11-5/11

11. (12) да учествува во квалификациите за учениците спортски натпревари Одлучени од првата група на курсот 4, од вториот - 6, од третата група - 5 студенти. Веројатноста дека ученикот на првата, втората и третата група спаѓа во репрезентацијата на Институтот, односно 0,9; 0,7 и 0,8. Ruadach Избраниот студент како резултат на натпреварот падна во репрезентацијата. Кои од групите најверојатно му припаѓале на овој студент?
ОТ. Веројатноста дека ученикот е избрана прво, втора, трети групи, соодветно: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K) Трговската компанија добила телевизори од три добавувачи во однос на 1: 4: 5. Пракса покажа дека телевизорите кои доаѓаат од 1, 2 и 3 добавувачи нема да бараат поправка за време на гарантен рок Според тоа, во 98, 88 и 92% од случаите.
1) Најди веројатноста дека телевизорот примени во трговската фирма не бара поправка за време на гарантниот период.
2) ТВ-продадениот продавач побара поправка за време на гарантниот период. Од кој снабдувач најверојатно го ужива овој телевизор?
Одлука.
Означи настани: - ТВ влезе во трговското друштво од I-TH Supplier (I \u003d 1,2,3);
А - ТВ нема да бара поправка за време на гарантниот период.
По состојба

Според целосната формулабилност

ТВ настанот ќе бара поправка за време на гарантниот период; .
По состојба

Според формулата Bayes

;

Така, по настанот се случи, веројатноста за хипотезата се зголеми до максимум, и хипотези - се намали од максимум на; Ако порано (пред настанот а) најверојатно имало хипотеза, сега, во светлината нови информации (Настан А), најверојатната хипотеза го купува овој телевизор од вториот добавувач.

13. (1.35k) Познато е дека во просек 95% од произведените производи го задоволуваат стандардот. Поедноставната контролна шема препознава соодветни производи со веројатност од 0,98, ако е стандардна, а со веројатност од 0,06, ако е нестандардна. Определете ја веројатноста дека:
1) Производот зеде поедноставена контрола;
2) производот е стандарден ако: а) има положена контрола; б) Поедноставена контрола помина два пати.
Одлука.
1). Означува настани:
- производот земен производ, соодветно, стандарден или нестандарден;
- Производот помина поедноставена контрола.

По состојба

Веројатноста дека производот е направен од поедноставена контрола, според формулата за целосна веројатност:

2, а). Веројатноста дека производот кој помина поедноставена контрола е стандард, од Формулата Bayes:

2, б). Нека настанот - производот двојно ја зголеми поедноставената контрола. Потоа, со веројатност мултипликација теорема:

Според формулата Bayes

беше многу мала, а потоа хипотезата дека производот, двојно повеќе од поедноставената контрола, нестандардни, треба да се отфрли како практично невозможен настан.

14. (1.36k) Две стрелки независно пукаат од целта, со што секој шут. Веројатноста за притискање на целта за првата стрела е 0,8; За вториот - 0.4. По снимањето во целта, беше пронајден еден дефект. Која е веројатноста дека припаѓа:
а) првата стрелка;
Б) 2-та стрела?
Одлука.
Означува настани:

Двете стрелки не ја погодија целта;

Двете стрелки ја погодија целта;

Првите стрели влегоа во целта, 2 не;

Првите стрели не ја погодија целта, вториот хит;

Во целта еден рок (еден хит).

Формула Целосна веројатност.

Последица на двете основни теореми-теорема Додавањето на веројатноста и теоремите на разбирливоста на веројатностите е т.н. целосна формула за веројатност.

Нека бара да се утврди веројатноста за одреден настан А кој може да се случи со еден од настаните
формирање комплетна група на некомпатибилни настани. Ние ќе ги наречеме овие настани од страна на хипотези.

Ние докажуваме дека во овој случај

Веројатноста за настанот А се пресметува како збир на веројатноста за секоја хипотеза за условната веројатност на настанот во спроведувањето на оваа хипотеза.

Оваа формула се нарекува целосна формулабилност.

Доказ

Бидејќи хипотешиш1, H2 ..., HN, групата за формирање, настанот А може да се појави во комбинација со било кој од овие хипплоти

A \u003d AH1 + AH2 + ... + AHN.


Бидејќи хипотезата H1, H2, ..., HN е неразбирливо, потоа комбинации на H1A, H2A, ..., HNA исто така е неразбирлива; Примена на теорема на додавање на него, добиваме:

Примена на настанот HIA на теорема на множење, ние го добиваме

Q.e.d.

Постојат три идентични во форма на URN: во првата урната две бели и една црна топка; во втората или три бела и една црна топка; Во третата или две белци и две црни топчиња.

Некој избира по случаен избор еден од урните и ја извади топката од него. Поттикне веројатноста дека оваа топка е бела.

Размислете за три хипотези:

H1-избор на првиот ур,

H2-избор на вториот ур,

H3-избор на третиот ур

И настанот a-изглед на бела сад.

Бидејќи хипотезата под условот на проблемот е еднаква, тогаш


Условните веројатности на настанот А со овие хипотези се соодветно еднакви

Задача 3.5.

Фабриката произведува производи, од кои секоја е веројатноста дека p има дефект.

Во работилницата има три контролори; Тоа се смета само од еден контролор, со иста веројатност прво, втора или трета. Координацијата на откривањето на дефектот (ако е) за I-TH контролорот е PI (i \u003d 1,2,3). Ако производот не е одбиен во работилницата, паѓа во секторот на фабриката, каде што дефектот, доколку има, е откриен со веројатноста за P0.

Определете ја веројатноста дека производот ќе биде отфрлен.

А-производ ќе биде отфрлен

Производот ќе биде отфрлен во работилницата

Производот ќе биде отфрлен во фабричкиот сектор.

Од настаните во и од некомпатибилни и

P (a) \u003d p (c) + p (c)

Ние наоѓаме P (C). За производот да биде отфрлен во работилницата, неопходно е, пред сè, имаше дефект, и второ, за да биде откриен.

Веројатноста дека дефектот ќе биде откриен во работилницата е еднаква


Навистина,

Ние формулираме хипотеза

H1 дефект е откриен од 1-виот контролор

H2-дефект е откриен од 2-риот контролер

H3-дефект беше откриен од 3-тиот контролор

Од тука

Слично на тоа

Теорема хипотези (Формула Bayes)

Последица на теорема на множење и целосната формула за веројатност е т.н. теорема на хипотези или формула за пчели.

Ја ставаме следната задача.

Постои комплетна група на не-истакнати хипотези H1, H2, ... HN. Супериодот на овие хипотези за искуство е познато и еднакво на соодветно P (H1), P (H2), ..., P (HN) . Совршено искуство, како резултат на кое појавувањето на одреден настан А. се прашува како да ги промени веројатностите на хипотези поради појавата на овој настан?

Тука, во суштина, зборуваме за наоѓање на условна веројатност p (hi / a) за секоја хипотеза.

Од теорема на множење имаме:

P (ahi) \u003d p (a) * p (hi / a) \u003d p (hi) * h (a / hi),

Или фрлајте го левиот дел

P (а) * p (hi / a) \u003d p (hi) * p (a / hi), i \u003d 1,2, ..., не од

Или изразувајќи p (а) со формулата на целосната веројатност, имаме

Оваа формула се нарекува Bayes формула или хипотези теорема

Уредот може да се собере од висококвалитетни делови и од деталите за нормален квалитет; воопшто, околу 40% од уредите се собираат од висококвалитетни делови. Ако уредот е составен од висококвалитетни делови, неговата сигурност (веројатноста за слободна работа во текот на времето од 0,05; Ако од деталите за вообичаениот квалитет, неговата сигурност е 0,7. Уредот е тестиран за време на време и правилно работеше. Покани веројатноста дека е составен од висококвалитетни детали.

Две хипотези се можни:

H1-уред е составен од висококвалитетни детали,

H2-уред е составен од деталите за нормален квалитет.

Веројатноста на овие хипотези да се доживее

P (h1) \u003d 0.4; P (h2) \u003d 0.6.

Како резултат на искуството, е надгледуван настан A-уред

Работел време t. Условните веројатности на овој настан во

Хипотесијците H1 и H2 се еднакви:

P (a / h1) \u003d 0,95; P (a / h2) \u003d 0.7.

Од страна на Weiss формула, ние ја наоѓаме веројатноста за хипотеза H1 после


Комбинатористички задачи.

Во многумина статистички студии Постојат комбинаторни задачи, чија оригиналност е препорачливо да се покаже на примерите:

Колку начини може да се стави на полицата 10 различни книги?

8 тимови учествуваат на турнирот. Колку различни ставови во однос на првите три места (според резултатите од натпреварот) може да се направи?

Колку различни зборови со три букви може да се сочинуваат од 32 букви од азбуката, не обрнувајќи внимание на тоа дали има смисла на зборовите составени од буквите или не?

Колку начини можам да изберам R ставки од поставените K (различни) елементи?

Како голем број на различни резултати од фрлање два гејмерски коски.

Примерите покажаа дека задачите на комбинаторите се воопшто бројот на различни примероци на одредени објекти воопшто, и во зависност од видот на дополнителни барања, неопходно е да се разликуваат кои примероци се сметаат за исти и кои се различни.

Во теоријата на веројатност и математичка статистика, се користат претежно три концепти на комбинатори:

Сместување

Преуредена

Комбинација

Местата од n елементи на м се нивните соединенија кои се разликуваат едни од други елементи или нивниот редослед. На пример: Сместување од 3 елементи A, B, C од 2: AB, AC, BC, BA, CA, CB.B.BC, BA, CB.B. Се наоѓа од N различни елементи од М а

На пример: Сместување од 3 елементи A, B, C од 2: AB, AC, BC, BA, CA, CB.B.BC, BA, CB.B.B.

Вкупно М мултипликатори


Промутациите на N елементите се нарекуваат такви соединенија кои се разликуваат едни од други само со редот на елементите вклучени во нив. На пример: пермутација од три елементи А, Б и C: ABC, BCA, CAB, CBA, BAC, ACB. Бројот на сите пермутации од n од различни PN елементи

Pn \u003d 1 * 2 * 3 * ... * n \u003d n! \u003d А

На колку начини може да се стави на полицата 10 книги.

P10 \u003d 10! \u003d 3628800.

Комбинира од n елементи на м се нивните врски, кои се разликуваат едни од други само од самите елементи. На пример: комбинации од три елементи A, B и C се два: AB, AC, BC. Бројот на сите комбинации од n од различни елементи од М е означен со CN

Ние можеме да запишеме

Повторете експерименти

Зашто практична примена Теориите за веројатност често мора да се сретнат со задачите во кои истото искуство или слични експерименти се повторуваат постојано. Како резултат на секое искуство, може да се појави некој настан или може да се појави серија експерименти.

Таквите задачи се многу едноставно решени во случајот кога експериментите се независни.

Неколку експерименти се нарекуваат независни ако веројатноста за еден или друг исход од секој експеримент не зависи од кои исходи имале други експерименти. Неколку последователни отстранување на картичката од палубата е независни експерименти, под услов отстранетата картичка да се врати на палубата и картичките се мешаат; Инаку, зависни експерименти.

Независни експерименти може да се направат во исти или различни услови.

Општа теорема за повторување на експерименти.

Приватниот теорема за повторување на експериментите се однесува на случајот кога веројатноста за настан А во сите експерименти е ист. Во пракса, често е неопходно да се сретне со повеќе комплексот случајКога експериментите се произведуваат во нееднакви услови, а веројатноста за појава на настанот од искуство се менува. Методот за пресметување на веројатноста за одреден број на настани на настани во такви услови ја дава општата теорема за повторување на експериментите.

Нека бројот на експерименти u \u003d 2, потоа комплетна група на настани:

P1P2 + P1Q2 + Q1P2 + Q1Q2

Нека бројот на експерименти u \u003d 3, потоа комплетна група настани:

P1P2P3 + P1P2Q3 + P1Q2P3 + Q1Q2P3 + P1Q2Q3 + Q1Q2Q + Q1Q2P + Q1Q2Q3

Слично на тоа, за бројот на експерименти n целосна група на настани:

P1P2 * ... * PN + P1P2 * ... * QN + ... + Q1P2 * ... * PN + Q1P2 * ... * PN + ... + Q1 * Q2 * ... QN, и во секоја од работите настан и влегува во тајно, и настан и НМ од еднаш голем број такви комбинации се уште


Или пократко

каде Z-произволен параметар.

Функцијата JN (Z), распаѓањето на кое во степените на параметар Z дава како коефициент на веројатност PM, N, се нарекува веројатност на веројатностите PM, N или едноставно производство на функција.

Користење на концептот за производство на функции, можете да формулирате општа теорема на повторување на експериментите во следна форма:

Веројатноста дека настанот A во N независни експерименти ќе се појави точно M пати, е еднаков на коефициентот во ЗМ во изразувањето на функцијата за производство

jn (z) \u003d (qi + piz) каде што е веројатноста на настанот и во I-OHM искуство

Горенаведеното формулирање на општата теорема за повторување на експериментите, за разлика од приватната теорема, не дава експлицитен израз за веројатноста за премиерот, Н.

Таквиот израз може да биде напишан во принцип, но тоа е премногу комплицирано, и ние нема да го дадеме.

Сепак, без прибегнување кон таков јасен израз, сеуште можете да снимате општа теорема за повторување на експериментите во форма на една формула

случајна вредност.

Еден од најважните основни концепти на теоријата на веројатност е концептот на случаен износ.

Случајна променлива е вредноста што, како резултат на искуството, може да ја преземе оваа или таа вредност, и е непозната однапред кое име.

Примери за случајни променливи:

Бројот на повици пристигнал на телефонската станица дневно;

Бројот на момчиња родени во болницата за мајчинство за месецот;

Бројот на девојки родени во болницата за мајчинство за месецот;

Во сите три примери, случајните променливи можат да преземат одделни изолирани вредности кои може да се пренесат однапред.

Во пример 1;

Овие случајни променливи кои добиваат само поединец, одделени еден од друг се нарекуваат дискретни вредности.

Постојат случајни променливи од друг тип.

На пример, температурата на воздухот, влажноста на воздухот, напонот во електричната струја.

Функција за дистрибуција.

Серија за дистрибуција, дистрибуција на полигон не

се универзални карактеристики на случаен променлива: тие постојат само за дискретни случајни променливи. Не е неопходно да се осигура дека таквата карактеристика не може да биде изградена за континуирана случајна променлива. Навистина, континуирана случајна вредност има безброј можни вредности, ??? окупирајќи некои интервали (т.н. "бесконечен сет"). Направете табела во која сите можни вредности на таква случајна променлива ќе бидат наведени, тоа е невозможно. Затоа, за континуирана случајна променлива, во смисла нема дел од дистрибуцијата, во која постои за прекини вредности. Сепак, различни области на можни вредности на случајна варијанса не се подеднакво веројатни, а за континуирана големина постои дистрибуција на веројатности, иако не во смисла, како за наизменична (или дискретна).

За квантитативните карактеристики на оваа веројатност дистрибуција, тоа е погодно да се користи веројатноста на настанот x \u003d x, но веројатноста на настан x


Функцијата на дистрибуцијата f (x) понекогаш се нарекува функција за интегрална дистрибуција или интегралниот закон за дистрибуција.

Функцијата за дистрибуција-универзална карактеристика на случајна променлива. Таа постои за сите случајни променливи: и дискретни и континуирани. Дистрибуција функција

Целосно го карактеризира случаен износ од веројатна точка на гледање, т.е. Таа е една од формите на дистрибуција.

Ние формулираме некои заеднички својства на дистрибутивната функција:

Функцијата на дистрибуцијата f (x) е незабележлива функција на нејзиниот аргумент i. Во x2\u003e x1 f (x2)\u003e f (x1).

На минусната бесконечност, функцијата за дистрибуција е нула

3. Плус бесконечност, функцијата за дистрибуција е еднаква на 1.

Типична функција за дистрибуција на континуирана случајна променлива има форма

Веројатноста за покажување на случајна променлива на одредена област.

При решавањето на практичните проблеми поврзани со случаен вредности често се покажа дека е неопходно за да се пресмета веројатноста дека случајна вредност ќе преземе вредност склучен во некои граници, на пример од А до б.

Ние се согласуваме за дефиницијата на левиот крај А да го вклучиме во делот (A, B) и правото - не вклучува. Еквивалентно на влезот на случаен променлив X во областа (A, B) е еквивалентно до нееднаквост:

изразувајте ја веројатноста за настанот преку функцијата на дистрибуцијата на X. Да се \u200b\u200bразгледаат три настани:

настан А, кој се состои во фактот дека

настан Б, кој се состои во фактот дека

настан со, кој се состои од она што

Имајќи предвид дека A \u003d B + C, од страна на зависност теорема ние имаме

R (C.

F (b) \u003d f (a) + r (a £ c

P (a £ c

Оние. Веројатноста за покажување на случајна променлива на дадената граница е еднаква на зголемување на функцијата за дистрибуција на оваа страница.

Густина на дистрибуција.

Дозволете да постои континуирана случајна вредност на X со функцијата на дистрибуцијата F (x), за која ќе ни биде понудена континуирана и диференцијална.

Ние ја пресметуваме веројатноста за оваа големина до делот од X до X + DC:

R (c £ c

оние. Исклучување на функцијата на оваа страница. Размислете за односот на оваа веројатност за должината на страницата, односно. Просечната веројатност по единица должина е во оваа област, и ќе донесе DC на 0. Во јадењето, добиваме деривати од функцијата за дистрибуција.

Ние ја воведуваме ознаката:

Функција F (x) - Дериватот на дистрибутивната функција - се карактеризира како што беше, густината со која вредностите на случаен променлива се дистрибуираат во овој момент. Оваа функција се нарекува густина на дистрибуција

(Инаку "густина на веројатност") на континуирана случајна вредност на X. Понекогаш функцијата f (x) се нарекува "диференцијална дистрибутивна функција" или "Диференцијален закон за дистрибуција" на H.

Кривата која ја прикажува густината на дистрибуцијата на случајна променлива се нарекува крива на дистрибуција.

Густината на дистрибуцијата, како и функцијата за дистрибуција, е една од формите на Законот за дистрибуција. Во спротивното од функцијата за дистрибуција, оваа форма е универзална: постои само за континуирани случајни променливи.

Размислете за континуирана вредност x со густина на дистрибуција f (x) и елементарниот дел DX,

во непосредна близина до точката x.


Веројатноста за наоѓање случајна променлива x на оваа елементарна област (со точност на бескрајно мал врвен редослед) е еднаква на f (x) dx. Вредноста f (x) dx се нарекува веројатност елемент. Геометриски, тоа е област на елементарен правоаголник врз основа на намалување на DX.

Изразувајте ја веројатноста за вметнување на X на сегментот од А до Б преку густината на дистрибуцијата:

Очигледно, тоа е еднакво на збирот на елементите на веројатноста на сето ова заговор, односно составот:

Геометриски веројатноста за големини во областа (A, B) е еднаква на површината за дистрибуција врз основа на оваа страница.

Ја изразува густината на дистрибуција преку дистрибутивната функција. Ние ќе го дефинираме процесот: да ја изразиме функцијата за дистрибуција преку густина.

F (x) \u003d p (x

Каде со формулата (3) имаме:


F (x) \u003d

Геометриски f (x) нема ништо друго освен дистрибутивна крива лежи лево од точката: x

Ние ги покажуваме главните својства на густината на дистрибуцијата:

1. Дистрибуцијата е не-негативна функција

Овој имот директно произлегува од фактот дека функцијата за дистрибуција f (x) е функција која не се намалува.

2. Интегриран во бесконечни граници од дистрибутивната густина е 1

Ова произлегува од фактот дека f (+ ¥) \u003d 1

Геометриски, основните својства на густината на дистрибуцијата значи:

1. Кривата на дистрибуција лежи не помала од оската на апсцисата.

2. Целосна површина, ограничена дистрибутивна крива и Abscissa оската, е еднаква на 1.

Нумерички карактеристики на случајни променливи. Нивната улога и дестинација.

Се сретнавме со голем број на целосни карактеристики на случаен променлив закони за дистрибуција. На пример, карактеристиките беа:

За дискретна случајна променлива

а) функција за дистрибуција;

б) голем број на дистрибуција (графички - крива на дистрибуција).

Секој закон за дистрибуција е некоја функција, а индикацијата за оваа функција е целосно

Опишува случаен износ од веројатност гледна точка.

Меѓутоа, во многу прашања на пракса нема потреба да се карактеризира случаен износ на густина, исцрпен начин.

Често, доволно е да се покаже само поединечни нумерички параметри, до одреден степен карактеризирање на основните карактеристики на дистрибуцијата

чај големина: на пример, некои средни вредности, за можните вредности на случајна променлива се групирани; Каков број го карактеризира степенот на дисперзија на овие вредности во однос на просекот, итн.

Користење на такви карактеристики, ние можеме сите суштински информации во врска со случаен варијанса што ја имаме, изразуваме најкомпактни користејќи нумерички параметри. Ова се овие параметри кои се изразени во компресирана нумеричка форма, најважните карактеристики на дистрибуцијата се нарекуваат нумерички карактеристики од случаен променлива.

Во теоријата на веројатност и математичка статистика, се користат голем број различни нумерички карактеристики кои имаат различни цели и разни апликации, но сите од нив се поделени во две класи:

1. Карактеристики на ситуацијата.

2. Карактеристики на расејување.

Карактеристики на позиција.

Очекувана вредност. Средна. Мода. Почнува момент.

Меѓу нумеричките карактеристики на случаен променливи мора прво да се забележат оние кои ги карактеризираат позициите на случајна варијанса на нумеричката оска, т. д. укажуваат на некои средни, приближна вредност, во близина на кои се групирани сите можни вредности на случајна варијанса.

Од карактеристиките на позицијата во теоријата на веројатност, математичкото очекување на случајна променлива игра случајна улога, што понекогаш се нарекува просечна вредност на случаен променлива.

Размислете за случајна дискретна вредност на x има можни вредности x1, x2, ... xn со веројатности P1, p2, ... pn.

Треба да го карактеризираме бројот на позицијата на вредностите на случаен променлива на Abscissa Axis. За таа цел, природно е да се користи т.н. "" средно пондерирана "од вредностите на XI и секоја вредност на XI кога ?????????? Мора да се земе предвид со "тежи" пропорционално со веројатноста за оваа вредност. Т. за. Ние ќе ја пресметаме просечната вредност на случаен променлив X, која го означуваме M [X]



Или со оглед на тоа

Ова е секундарна вредност и се нарекува математичко очекување на случајна променлива.

Математичкото очекување на случајна променлива се нарекува износ на дела со сите можни вредности. внатре. На веројатноста за овие вредности.

Имајте на ум дека во горенаведената формулација, дефиницијата за математичко очекување важи само за дискретни случајни променливи.


За континуирана големина на X, математичкото очекувања природно не изрази никаков износ, туку со интеграл:

Каде f (x) - определување на распределбата на случаен променлива X.

F (x) веројатност за елементи на DX.

Во прилог на најважната позиција - математичко очекување, - во пракса, понекогаш има и други карактеристики на позицијата, особено на модата и средната.

Мода на случаен променлива се нарекува нејзината најверојатна вредност, строго кажано, применува само X дискретни вредности

За континуирана случајна променлива, модата е вредноста во која густината на веројатноста е максимална

Средно со. внатре. X се нарекува неговата вредност од тоа, т.е. е подеднакво веројатно дека е случајна вредност помала или повеќе

Геометриски средна е абсцисата на точката во која е поделена областа, ограничена дистрибутивна крива.

Функцијата за дистрибуција на PRAFIC има поглед

Задача 5.50.

На раскрсницата постои автоматско светло во кое

1 минута зелено светло изгореници и 0,5 минути-црвено, потоа 1 минута зелено светло изгореници, 0,5 минути црвено и т, Д

некој се приближува кон пресекот со автомобил во случаен момент, не е поврзан со работата

семафор

а) Најдете веројатност дека ќе го помине пресекот без запирање

б) Пронајдете го просечното време на чекање на пресекот

Моментот на премин на автомобили преку крстосницата е дистрибуиран рамномерно во интервалот еднаков

Период на цвеќиња во семафори

Овој период е 1 + 0,5 \u003d 1,5 минути

Со цел автомобилот да помине низ пресекот без да застане, доволно за

Моментот на раскрсницата падна во временскиот интервал (0,1)

За случајна големина, подредено законот за постојана густина во интервалот (0,1,5)

Веројатноста што паѓа на интервалот (0,1) е еднаква на времето на чекање е мешана случајна вредност, со веројатност дека е еднаква на 0, а со веројатност е потребно со иста густина на веројатност секоја вредност помеѓу 0 и 0,5 минути

Просечниот временски период на пресекот

Закон за дистрибуција на Путон

Во многу задачи, практичарите треба да се справат со случаен вредности што се дистрибуираат преку еден вид закон што се нарекува закон на Путон. Да се \u200b\u200bразгледа

Дискретна вредност што може да ги преземе само не-негативните вредности

0,1,2, ..., м, ...,

покрај тоа, секвенцата на овие вредности е речиси неограничена.

Се вели дека случајната променлива x се дистрибуира според законот на Путон, ако веројатноста тоа

Тоа ќе потрае одредени вредности m се изразува со формулата

каде што а- некоја позитивна вредност се нарекува параметар Pucenon. Дистрибуцијата на случаен променлива X, дистрибуирана со законот на Путон, има форма;

XM. ... М. ...
PM.

Варијанса X еднаква

Веројатноста за случајна варијанса подредена на нормалниот закон до одредената област.

Во многу предизвици поврзани со нормално дистрибуирани случајни вредности, неопходно е да се утврди веројатноста за дојдовни случајни променливи, подредени на нормалниот закон со параметри

м, С, на парцела од А до б.

За да ја пресметаме оваа веројатност, ја користиме општата формула.

R (A.< C< b) = F(b) – F(a) (1)

каде F (б) е функцијата на дистрибуцијата на вредноста x во точката b

F (а) -функцијата на дистрибуцијата на вредноста x во точката а

Пронајдете ја функцијата на дистрибуцијата f (x) на случајна променлива, дистрибуирана според нормалниот закон со параметрите m, s. Густина

дистрибуцијата на вредноста X е:

Од тука ја наоѓаме функцијата за дистрибуција:

Ние ќе ја замениме променливата во составот:

И ние му го дадеме на ум:

Овој интеграл не е изразен преку елементарни функции, туку за него

составена табела.

Функцијата за дистрибуција на табела (т.н. интегрална табела за веројатност) е означена:

Лесно е да се види дека оваа функција не е ништо друго освен дистрибуција функција за нормално дистрибуирани случајни

вредности со параметри M \u003d 0; S \u003d 1.

Функцијата на дистрибуцијата f * (x) е исто така наречена нормална дистрибуција.

Изразувајте ја функцијата за дистрибуција на вредноста X со параметри M, S преку нормална функција за дистрибуција:

Сега наоѓаме веројатноста за дојдовна случајна варијанса на областа од А до б.

Според формулата (1):

Така, ние ќе ја изразиме веројатноста за влез во парцелата од а

Во случајна променлива распространета според нормалниот закон за дистрибуција со било какви параметри, преку стандардна функција на дистрибуцијата f * (x), што одговара на нормалниот закон со параметрите m \u003d 0 и s \u003d 1. Имајте на ум дека аргументите на функцијата f * во последната формула имаат едноставно значење:

Постои растојание од десниот крај на делот Б до центарот за расфрлање, изразени во средни квадратни отстапувања;

Постои иста растојание за левиот крај на страницата, и дека растојанието се смета за позитивно ако крајот се наоѓа на десната страна на центарот за расфрлање и негативно, ако лево.

Како и секоја функција за дистрибуција, функцијата F * (x) има својства:

3.f * (x) - Не-опаѓачка функција.

Покрај тоа, од симетријата на нормалната дистрибуција со параметрите M \u003d 0 и S \u003d \u200b\u200b1 во однос на почетокот на координатот го следи тоа

4.f * (x) \u003d 1-f * (x).

Размислете за следниов пример.

Случаен X, дистрибуиран според нормалниот закон, е грешка при мерење на одредено растојание.

Во мерењето, е дозволено систематска грешка кон преценување за 1.2 (m); Просечната квадратна девијација на мерната грешка е 0,8 (м).

Најди веројатноста дека отстапувањето на измерената вредност од вистинската нема да ја надмине апсолутната вредност од 1,6 (М).

Грешка во мерењето Постои случајна количина на X, подредена на нормалниот закон со параметри M \u003d 12, S \u003d 0,8.

Неопходно е да се најде веројатноста за оваа големина до местото од

a \u003d - 1, b до b \u003d +1.6.

Со формулата што ја имаме:

Користење на табелите на функцијата f * (0.5) \u003d 0.6915 и f * (- 3.5) \u003d 0.0002

P (-1.6.<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Задача 5.48.

Бракот на топки за мечки е направен на следниов начин:

ако топката не помине низ дупката со дијаметар D2\u003e D1, тогаш нејзината големина се смета за прифатлива. Ако некои од овие услови не се извршуваат, топката е брендирана. Познато е дека дијаметарот на топката D е нормална дистрибуирана случајна променлива со карактеристики

Определете ја шансите за Q дека топката ќе биде отфрлена.

q \u003d 1- p (d1< d < d2);

Познато е дека големината на топката е случајна променлива распределена според нормалниот закон. Бракот на топката е направен на ист начин како што е наведено во претходната задача. Познато е дека просечната големина на топката е еднаква

И бракот е 10% од целото ослободување. Просечно квадратното отстапување на дијаметарот на SD топката.

Слично на претходниот проблем, веројатноста за брак

Од

Задача 5-54.

Случаен износ на X е подредена на нормалниот закон со математички MX \u003d 0. Претворањето на оваа случајна променлива во областите од -1 до 1 изнесува 0,5.


Најдете средна квадратна девијација и напишете израз на нормален закон

Каде е паритетот на дистрибуцијата

Ние градиме дистрибуција на паритет на табелата

X. -5 -4 -3 -2 -1
-5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68
0,003 0,026 0,129 0,403 0,803 0,803 0,403 0,129 0,026 0,003
0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,3 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Треба да има распоред

Задача 5-58.

Постои случаен износ на X, подредена на нормалниот закон со математичко очекување на MX, а просечното квадратно отстапување на СИГМА од X. Потребно е приближно

Заменете го нормалниот закон за законот за постојан густина во алфа интервалот, бета; Границите на Алфа, бетак земаат така што за одржување на главните карактеристики на случаен променлива X: Математичко очекување и дисперзија.

-2 -1 -5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68 0,0033 0,0262 0,1287 0,4025 0,8025 0,8025 0,4025 0,1287 0,0262 0,033 0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,270 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Опција 2.


Случајна променлива е подредена на нормален закон со математичко очекување на MX \u003d 6. Веројатноста за влегување во оваа случајна разновидност на дел од 4 до 8 е 0,6. Најдете средна квадратна девијација и напишете израз на нормален закон. Изгради распоред за густина на дистрибуција.

Од каде густината на дистрибуцијата

Ние изградиме распоред за густина на дистрибуција.

Час -1
-4,36 -3,04 -2,20 -1,35 -0,76 -0,34 -0,08 -0,08 -0,34 -0,76 -1,35 -2,20 -3,04 -4,36

Правило три С.

Нека нормална количина на X се дистрибуира според нормалниот закон со параметрите М и С. CLEAVER дека со точност од 03%, големината на подреденото право ги зема можните вредности кои не се отстапуваат од центарот за расфрлање со ± 3s.

Ние сакаме да го најдеме тоа

Нема да надмине 0003.

Правилото 3S во статистиката е од големо значење.

Една од најчестите правила 3s е експериментот за скрининг. Со експеримент за скрининг, емисии произведуваат.

Главните задачи на математичката статистика

1. Формула Целосна веројатност.

Нека настанот може да дојде ако се појави еден од нецелосните настани Б 1, Б 2, Б 3, ..., Б Н, кои формираат комплетна група. Нека веројатноста за овие настани и условните веројатностиP (a / b 1), p (a / b 2), ..., p (a / b n)настани А. Потребно е да се најде веројатноста за настан А.

Теорема:Веројатноста за настан А, која може да се случи само ако се појави еден од нецелосните настаниБ 1, Б 2, Б 3, ..., б n Формирањето комплетна група е еднаква на збирот на веројатноста на секој од овие настани до соодветна условна веројатност за настанот А:

- Формула Целосна веројатност.


Доказ:

Со состојба, настан може да дојде ако се појави еден од нецелосните настаниБ 1, Б 2, Б 3, ..., б. Со други зборови, појавата на настанот А значи спроведување на еден (рамнодушен кон што) од нецелосни настани:Б 1 * А, Б 2* А., Б 3.* А., ..., b n* А.. Користење на теорема на додавање, добиваме:

Со теорема на множење на зависни настани, имаме:

ch.t.d.

Пример:Постојат 2 групи детали. Веројатноста дека дел од првиот сет е стандард е 0,8, а за втората бирање-0.9. Најди веројатноста дека деталите се деталите (од стандардот Muddy Dial).

Одлука:Настан A- "извлечен детален стандард". Настан - "Извлечени деталите направени од 1 фабрика". Настан - "извлечена го предметот направен од втората фабрика". R (B 1) \u003d p (b 2) \u003d 1 / 2.r (a / b 1 ) \u003d 0,8- Веројатност дека делот направен во првата фабрика е стандард. P (a /Б 2. ) \u003d 0.9- Веројатноста дека делот направен во втората фабрика е стандард.

Потоа, со формулата на целосната веројатност, имаме:

Пример:Колекционерот доби 3 кутии детали произведени од растенија бр. 1 и 2 кутии на детали произведени од постројката бр. 2. Веројатноста дека деталите од фабриката бр. 1 е стандарден издетен на 0,8. За фабрика №2, оваа веројатност е 0.9. Колекционерот Радуч ги извлече деталите од калчето на избраната кутија. Најди веројатноста дека стандардниот дел е отстранет.

Одлука:Настан A- "екстракт стандардни детали." Настан Б 1 - "Детал од кутијата бр. 1 е изваден." НастанБ 2. - "Детали од кутијата на растителниот број 2 се превземаат". R (Б 1) \u003d 3/5. P (b 2) \u003d 2/5.

P (a / Б 1) \u003d 0,8- Веројатност дека делот направен во првата фабрика е стандард. P (a /Б 2) \u003d 0,9- Веројатноста дека делот направен во втората фабрика е стандард.

Пример:Во првата кутија лежи 20 радиоли, од нив - 18 стандард. Во втората кутија лежи 10 радиоли, од нив - 9 стандард. Од втората кутија до првата обврска се пренесува на еден радиол. Најди веројатноста дека светилката е извлечена од првата кутија ќе биде стандардна.

Одлука:Настанот A- "од 1 кутија извади стандардна светилка". НастанБ 1 - "Од втората во првата кутија, стандардната светилка беше префрлена". НастанБ 2 - "Од втората до првата кутија, нестандардна светилка беше префрлена". R (Б 1) \u003d 9/10. P (b 2) \u003d 1/10.r (a / b 1) \u003d 19/21 - веројатноста за извлекување на стандардниот дел од првата кутија, под услов да е исто така затворена во неа како стандард.

P (a / b 2) \u003d 18/21 - Веројатноста за извлекување на стандардниот дел од првата кутија, под услов да се префрли во него нестандардна.

2. Формула на хипотезата на Томас Бајс.

Нека настанот може да дојде ако се појави еден од нецелосните настани Б 1, Б 2, Б 3, ..., Б Н формирање комплетна група. Бидејќи не е познато однапред, кој од овие настани ќе дојде, тие се нарекуваат хипотези. Веројатноста за појава на настан А се утврдува со формулата за целосна веројатност дискутирана порано.

Да претпоставиме дека е извршен тест, како резултат на кој настанот се случил од А. Ние ќе ја ставиме со својата задача, како што се промени (поради фактот што настанот А веќе дојде) веројатноста за хипотези. Со други зборови, ние ќе бараме условни веројатности.P (b 1 / a), p (b 2 / a), ..., p (b n / a)

Најдете условна веројатностP (b 1 / a) . Со теорема на множење имаме:

Ова подразбира:


Формулите кои ги одредуваат условните веројатности на преостанатите хипотези, односно Условна веројатност за било која хипотезаB k (i \u003d 1, 2, ..., n ) може да се пресмета со формулата:

Формула хипотеза Томас Бајс.

Томас Бајес (англиски математичар) ја објави формулата во 1764 година.

Овие формули овозможуваат преценување на веројатностите на хипотезите откако резултатот од тестот ќе биде познат, како резултат на кој настан А.

Пример:Деталите направени од фабричката продавница паѓаат за да ги проверат за стандард на еден од два контролери. Веројатноста дека предметот ќе падне на првата контрола е 0,6, во втората - 0.4. Веројатноста дека соодветниот дел ќе биде признаен како стандарден прв контролер е 0,94, за вториот контролор, оваа веројатност е 0,98. Производот што го добил стандард. Најдете веројатноста дека овој детал го провери првиот контролор.

Одлука:Настанот A- "Годишен детал се признава како стандард". Настан Б 1 - "Детали го провери првиот контролор". НастанБ 2 - "Детали го провериле вториот контролор". R (Б 1) \u003d 0,6. P (b 2) \u003d 0,4.

P (a / Б 1) \u003d 0,94- Веројатноста дека предметот што го тестира првиот контролор е препознаен како стандард.

P (a / Б 2) \u003d 0,98 - Веројатноста што делот тестира од вториот контролер е признаен како стандард.

Потоа:

Пример:Да учествуваат во студентските квалификации за спортски натпревари доделени од првата група од 3 лица, од вториот - 6 лица, од третиот - 5 лица. Веројатноста дека ученикот на првата група ќе падне во националниот тим изнесува 0,9, за учениците од втората и третата група, овие веројатности се соодветно 0,7 и 0,8. Умерот на избраниот студент на крајот на натпреварот влезе во националниот тим на кој од групите најверојатно, тој припаѓа?

Одлука:Настан А-"Умот од страна на избраниот студент, влезе во репрезентацијата на Институтот". Настан Б 1 - "Студент од првата група е избран."Настан Б 2 - "Студент од втората група е избран."Настан Б 3 - "Студент од третата група е избран." R (Б 1) \u003d 4/15. P (b 2) \u003d 6/15. P (b 3) \u003d 5/15.

P (a / Б 1) \u003d 0.9- Веројатноста дека ученикот од првата група ќе падне во репрезентацијата.

P (a / Б 2) \u003d 0,7- Веројатноста дека ученикот од втората група ќе падне во репрезентацијата.

P (a / b 3 ) \u003d 0.8- Веројатноста дека ученикот од третата група ќе падне во националниот тим.

Потоа:

Веројатноста дека ученикот дојде во репрезентацијата од првата група.


Веројатноста што студентот од втората група дојде во репрезентацијата.


Веројатноста дека ученикот од третата група дојде во репрезентацијата.


Најверојатно, студент од втората група ќе падне во репрезентацијата.

Пример:Со отстапување од нормалното функционирање на машината, уредот за сигнализација C1 ќе работи со веројатност од 0,8, а сигналниот уред C2 ќе работи со веројатност 1. Веројатноста дека машината е опремена со сигнален уред со 1 или C2, соодветно, 0,6 и 0,4 се еднакви на 0,6 и 0,4. Сигнал е примен за машината за сечење. Она што е поверојатно: машината е опремена со сигнален уред со 1 или C2?

Одлука:Настан А- "доби сигнал за машината за сечење". НастанБ 1. - "Машината е опремена со X1 аларм. НастанБ 2 - "Машината е опремена со C2 аларм. R (Б 1) \u003d 0,6. P (b 2) \u003d 0,8.

P (a / Б 1) \u003d 0.8- Веројатноста дека сигналот ќе се добие, под услов машината да биде опремена со уредот за сигнализација C1.

P (a / b 2 ) \u003d 1- Веројатноста дека сигналот ќе се добие, под услов машината да биде опремена со сигнализирање на C2.

Потоа:

Веројатноста дека кога прима сигнал за машината за сечење, работел сигналниот уред C1.

Веројатноста дека кога прима сигнал за машината за сечење, работел уредот за сигнализација на C2.


Оние. Најверојатно е кога машината се сече, сигналот ќе се добие од алармот C1.

Последица на двете основни теореми на теоријата на веројатност - теоремите на додавање и множење се формулите на целосната веројатност и формула за бајс.

На јазикот на алгебрата на настани поставени ,, ¼, наречен целосна група настани, ако:

1. Настаните се во парови се неконзистентни, т.е. , , ;.

2. Во сума го сочинуваат целиот веројатен простор .

Теорема 5 (целосна формулабилност).Ако настанот Но, може да се случи само под услов да се појави еден од настаните (хипотези), ¼, формирајќи комплетна група, тогаш веројатноста за настан Но, еднакви

Доказ.Како хипотези ,, ¼, - единствениот можен, и настан A.со состојба теорема може да се случи само со една од хипотезите, тогаш. Од некомплетност на хипотези следи некомплетност .

Нанесете теорема на додавање на веројатности во форма (6):

Од теорема на множење. Заменување на овој поглед во формулата (13), конечно имаме: Што беше потребно за да се докаже.

Пример 8. Друштвото за извоз-увоз ќе склучи договор за снабдување со земјоделска опрема во една од земјите во развој. Ако главниот конкурент на компанијата во исто време не важи за склучување на договорот, веројатноста за добивање на договор се проценува на 0,45; Инаку - на 0,25. Според експертите од експертите на компанијата, веројатноста дека конкурентот ќе ги изнесе своите предлози за склучување на договорот изнесува 0,40. Која е веројатноста за затворање на договорот?

Одлука. Но - "Компанијата ќе склучи договор", "натпреварувачот ќе ги изнесе неговите предлози", "натпреварувачот нема да ги изнесе своите предлози". Под услов за задачата . Условни веројатности за склучување на договорот за компанијата , . Според целосната формулабилност

Последица на теорема на множење и формулата за целосна веројатност е формулата Bayes.

Формула Бајс. Ви овозможува да ја рекалкулирате веројатноста за секоја од хипотезите, под услов настанот да се случи. (Се применува кога некој настан Но,Кој може да се појави само со една од хипотезите кои формираат комплетна група настани и неопходно е да се спроведе квантитативно преиспитување на приоритетни веројатности на овие хипотези познати на тестот, т.е. Неопходно е да се најде постериор (добиени по тестирање) условните веројатности на хипотезите) ,, ... ,.

Теорема 6 (Формула Bayes).Ако настанот Но, се случи, условна веројатност за хипотези пресметано со формулата која се нарекува формула Bayes:

Доказ.За да ја добиете посакуваната формула, напишете ја теоремата за размислување на веројатностите на настаните Но,и во две форми:

од q.e.d.

Вредноста на формулата Bayes е дека кога настанот се случува Но,оние. Како што е примена нови информации, можеме да ги провериме и прилагодиме хипотезите продолжени пред тестирањето. Таквиот пристап, наречен Бесовски, овозможува прилагодување на одлуките за управување во економијата, оценувајќи непознати параметри на дистрибуцијата на проучени знаци во статистичка анализа итн.



Задача 9. Групата се состои од 6 одлични студенти, 12 студенти добро и 22 студенти кои имаат време да имаат време. Одличниот студент реагира на 5 и 4 со еднаква веројатност, добрите реагира на 5, 4 и 3 со еднаква веројатност, а просечниот последователен студент реагира на 4, 3 и 2 со еднаква веројатност. Случаен избран Студент Одговорено 4. Која е веројатноста дека е повикан медицински студент?

Одлука. Размислете за три хипотези:

Настанот што се разгледува. Од условите на задачата е познато дека

, , .

Најди ги веројатностите на хипотези. Бидејќи во групата само 40 студенти, и одлични ученици 6, тогаш . Слично на тоа, , . Примена на целосната формулабилност, наоѓаме

Сега важи за хипотезата за формулата Bayes:

Пример 10. Аналитичарот на економистот конвенционално ја дели економската ситуација во земјата за "добри", "просечни" и "лоши" и ги проценува нивните веројатности за овој момент во 0,15; 0,70 и 0,15, соодветно. Некои индекс на економската држава се зголемува со веројатност од 0,60, кога ситуацијата е "добра"; Со веројатност од 0,30, кога ситуацијата е просечна, и со веројатност од 0,10, кога ситуацијата е "лоша". Нека се зголеми индексот на економската состојба. Која е веројатноста дека економијата на земјата е во пораст?

Одлука. Но,\u003d "Индексот на земјата на земјата ќе се зголеми", H 1.\u003d "Економската ситуација во земјата" добра ", H 2.\u003d "Економска ситуација во земјата" медиокритет ", H 3.\u003d "Економската ситуација во земјата" лошо ". Со состојба: , , . Условни веројатности: ,, . Потребно е да се најде веројатност. Ние го наоѓаме според Формулата Bayes:

Пример 11. Трговската компанија доби телевизии од три добавувачи во сооднос 1: 4: 5. Пракса покажа дека телевизорите кои доаѓаат од 1-виот и 3-та добавувачи нема да бараат поправка во текот на гарантниот период, соодветно, во 98%, 88% и 92% од случаите.

Пример број 1. Компанијата за производство на компјутери ги прима истите делови од три добавувачи. Првиот снабдува 50% од сите составни делови, вториот - 20%, третиот - 30% од деталите.
Познато е дека квалитетот на испорачаните делови е различен, а во производот на првиот добавувач, процентот на брак е 4%, вториот е 5%, третиот е 2%. Одреди веројатноста дека предметот избран од сите примени ќе биде дефектен.

Одлука. Означи настани: A - "Избраната ставка е означена", H I - "Избраниот дел се добива од I-TH-добавувачот", I \u003d 1, 2, 3 хипотеза H 1, H 2, H 3 формираат комплетна група на нецелосни настани. По состојба
P (h 1) \u003d 0,5; P (h 2) \u003d 0,2; P (h 3) \u003d 0.3
P (a | h 1) \u003d 0.04; P (a | h 2) \u003d 0,05; P (a | h 3) \u003d 0.02

Според целосната формула за веројатност (1.11) веројатноста за настан А е еднаква
P (a) \u003d p (h 1) · P (a | h 1) + p (h 2) · p (a | h 2) + p (h 3) · P (a | h 3) \u003d 0,5 · 0.04 + 0,2 · 0.05 + 0.3 · 0.02 \u003d 0.036
Веројатноста дека избраниот малтер ќе биде дефектен, еднаков на 0.036.

Нека во услови на претходниот настан настан веќе се случи: избраната ставка беше неисправна. Која е веројатноста дека е добиена од првиот добавувач? Одговорот на ова прашање ги дава формулата Bayes.
Почнавме да ги анализираме веројатностите, со само прелиминарни, приоритети на веројатноста за настани. Тогаш беше направено искуство (детали беше избран), и добивме дополнителни информации за настанот за кој сте заинтересирани. Имајќи ги овие нови информации, можеме да ги разјасниме вредностите на приоритетна веројатност. Новите вредности на веројатноста на истите настани ќе бидат веќе реципрочни (поштенски) веројатност на хипотезите (слика 1.5).

Шема за ревалоризација на хипотези
Нека настан А може да се реализира само со една од хипотезата за H 1, H 2, ..., H N (комплетна група на нецелосни настани). А приоритет веројатноста на хипотезите беа означени со P (H i) условните веројатности на настанот A-P (A | H i), i \u003d 1, 2, ..., n. Ако искуството е веќе направено и како резултат на тоа, еден настан А дојде, тогаш хипотезите на хипотезата ќе бидат условите за веројатност p (h i | a), i \u003d 1, 2, ..., n. Во ознаките на претходниот пример P (H 1 | а) - веројатноста дека избраниот дел што се покажал дека е дефектен е добиен од првиот добавувач.
Ние сме заинтересирани за веројатноста за настан H K | Размислете за заедничка појава на настани H K и A, односно настан AH K. Неговата веројатност може да се најде на два начина со користење на формулите за множење (1.5) и (1.6):
P (ah k) \u003d p (h k) p (a | h k);
P (ah k) \u003d p (a) p (h k | a).

Ние ги изедначуваме вистинските делови на овие формули
P (h k) · p (a | h k) \u003d p (a) · p (h k | a),

од тука постериорна веројатност за хипотеза H K е еднаква

Во именител, постои комплетна шанса за настанот А. За заменување наместо P (а) неговата вредност според целосната формула за веројатност (1.11), добиваме:
(1.12)
Формула 1.12) се нарекува формула Bayes. и се користи за ревалорирање на веројатностите на хипотези.
Во услови на претходниот пример, сметаме дека е дефектната ставка е добиена од првиот добавувач. Ние донесуваме во една табела ни е позната според состојбата Арионична веројатност хипотеза P (H i) условени веројатности P (A | H i) пресметана за време на решенија Заеднички веројатности P (AH I) \u003d P (Hi) · P (A | Здраво) и пресметано со формулата (1.12) постериорна веројатност p (h k | a), i, k \u003d 1, 2, ..., n (Табела 1.3).

Табела 1.3 - Ревалоризација на хипотези

Хипотеза H I.Веројатност
А Приори P (H i)Условен P (A | H i)Заеднички P (ах i)Постериор П (H I | A)
1 2 3 4 5

H 1 - Детали добиени од првиот добавувач

0.5 0.04 0.02

H 2 - Детали добиени од вториот добавувач

0.2 0.05 0.01

H 3 - Детали добиени од третиот добавувач

0.3 0.02 0.006
Сума1.0 - 0.036 1
Размислете за последната низа на оваа табела. Во втората колона, постои збир на веројатностите на нецелосни настани H 1, H 2, H 3 формирање на целосна група:
P (ω) \u003d p (h 1 + h 2 + h 3) \u003d p (h 1) + p (h 2) + p (h 3) \u003d 0,5 + 0.2 + 0.3 \u003d 1
Во четвртата колона, вредноста во секој ред (заеднички веројатности) беше добиена во согласност со правилото за разбиркување на веројатностите со множење на соодветните вредности во втората и третата колони, а во последната линија 0.036 - постои комплетна Веројатност за настанот А (со користење на целосна формула за веројатност).
Во колона 5, се пресметува постериорска веројатност за хипотези на формулата Bayes (1.12):

Слично на тоа, се пресметуваат слично, постериорна веројатност p (h 2 | a) и p (h 3 | а) се пресметуваат, а бројката броител е заедничка веројатност запишана во соодветните столзни жици 4, а именителот е целосна веројатност за настан А, снимен во последниот ред на колона 4.
Збирот на веројатностите на хипотезите по искуството е 1 и евидентирана во последната линија на Петтата колона.
Значи, веројатноста дека неисправниот предмет е добиен од првиот добавувач, е 0.555. Пост-чекор веројатноста е повеќе а приори (поради голема количина на испорака). Пост-чекор веројатноста дека дефектниот дел е добиен од вториот снабдувач, еднаков на 0,278, а исто така и повеќе сили (поради голем број на брак). Пост-чекор веројатноста дека дефектниот дел е добиен од третиот добавувач, еднаков на 0.167.

Пример број 3. Постојат три идентични урни; Во првата урна две бели и една црна топка; Во вториот - три бели и еден црн; Во третиот - две бели и две црни топки. За искуството на ATIGADE, еден URN е избран и топката е извадена од неа. Најди ги ликов дека оваа топка е бела.
Одлука. Размислете за три хипотези: H 1 - Првиот URN, H 2 е избрана, втората URN е избрана, H 3 - Третиот URN и настан А е избран - бела топка е извадена.
Бидејќи хипотезите под услов на проблемот се еднакви, тогаш

Условните веројатности на настанот А со овие хипотези се соодветно еднакви:
Според целосната формулабилност

Пример број 4. Постојат 19 пушки во пирамидата, 3 од нив со оптички поглед. Стрелецот, снимањето од пушка со оптички поглед, може да ја погоди целта со веројатност за 0,81 и снимање од пушка без оптички поглед - со веројатност од 0,46. Најди веројатноста дека стрелецот ќе ја погоди целта со снимање од случајна пушка.
Одлука. Овде, првиот тест е случаен избор на пушката, втората е целното снимање. Размислете за следните настани: А - стрелецот ќе ја погоди целта; H 1 - стрелецот ќе земе пушка со оптички поглед; H 2 - стрелецот ќе земе пушка без оптички поглед. Користете ја формулата за целосна веројатност. Има


Со оглед на тоа што пушките се избрани од страна на една, и со користење на класичната формула за веројатност, добиваме: P (H 1) \u003d 3/19, p (h 2) \u003d 16/19.
Условните веројатности се дадени во состојбата на проблемот: P (A | H 1) \u003d 0; 81 и P (A | H2) \u003d 0; 46. Оттука,

Пример број 5. Од урната која содржи 2 бели и 3 црни топчиња, се извлекуваат две топки и 1 бела топка се додава во гласачката кутија. Најдете веројатноста дека чашата земена е бела.
Одлука. Настанот "Отстранете ја белата топка" означува од A. Настан H 1 - Magnich отстрани две бели топчиња; H 2 - Maudoku отстрани две црни топки; H 3 - отстрани една бела топка и една црна боја. Тогаш веројатноста за напредени хипотези


Условните веројатности во овие хипотези се соодветно еднакви: P (A | H 1) \u003d 1/4 - веројатноста за отстранување на бела топка, ако во урнот е во урнот, P (A | H2) \u003d 3/4 - Веројатноста за отстранување на бела топка ако во урната во моментот три бела и една црна топка, p (a | h 3) \u003d 2/4 \u003d 1/2 - веројатноста за отстранување на бела топка, ако Во URN во моментов две бели и две црни топки. Во согласност со формулата за целосна веројатност

Пример број 6. Се произведуваат две снимки. Веројатноста за влез во првиот истрел 0.2, во втората - 0,6. Веројатноста за уништување на целта на еден хит 0,3, на две - 0,9. Најди веројатноста дека целта ќе биде уништена.
Одлука. Дозволете еден настан да биде уништен. За ова, доволно е да се добие од еден истрел од две или оштетување на целта на две снимки без промаши. Јас ја предложив хипотезата: H 1 - двете снимки ја погодија целта. Тогаш p (h 1) \u003d 0,2 · 0.6 \u003d 0; 12. H 2 или прв пат, или по втор пат беше совршено. Потоа p (h 2) \u003d 0,2 · 0.4 + 0.8 · 0.6 \u003d 0.56. Хипотезата H 3 - двете снимки недостасуваа - не се земени предвид, бидејќи веројатноста за уништување на целта со оваа нула. Тогаш условните веројатности се соодветно еднакви: веројатноста за уништување на целта под услов на двата успешни снимки е P (A | H 1) \u003d 0,9, и веројатноста за уништување на целта под услов само еден успешен шут p ( A | H 2) \u003d 0.3. Тогаш веројатноста за уништување на целта според формулата за целосна веројатност е еднаква.