Trang Chủ > Thiết kế > Các giải pháp! Phương trình mũ. Các trường hợp phức tạp hơn


Các giải pháp! Phương trình mũ. Các trường hợp phức tạp hơn




Cấp độ đầu tiên

Phương trình mũ. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Này! Hôm nay chúng tôi sẽ thảo luận với các bạn về cách giải các phương trình, có thể là cả hai phương trình sơ đẳng (và tôi hy vọng rằng sau khi đọc bài viết này, hầu như tất cả chúng sẽ dành cho bạn), và những phương trình thường được cho là "để điền". Rõ ràng, để chìm vào giấc ngủ hoàn toàn. Nhưng tôi sẽ cố gắng làm hết sức mình để bây giờ bạn không gặp khó khăn khi đối mặt với loại phương trình này. Tôi sẽ không đánh xung quanh bụi rậm nữa, nhưng tôi sẽ mở ngay lập tức bí mật nho nhỏ: hôm nay chúng ta sẽ đính hôn phương trình mũ.

Trước khi tiến hành phân tích các cách giải, mình sẽ vạch ngay ra trước mặt các bạn một vòng câu hỏi (khá nhỏ), các bạn nên nhắc lại trước khi lao vào làm bão chủ đề này. Vì vậy, để có được kết quả tốt nhất, xin vui lòng, lặp lại:

  1. Thuộc tính và
  2. Giải pháp và phương trình

Lặp đi lặp lại? Tuyệt vời! Khi đó, sẽ không khó để bạn nhận thấy rằng nghiệm nguyên của phương trình là một số. Bạn có hiểu chính xác cách tôi đã làm không? Sự thật? Sau đó, chúng ta hãy tiếp tục. Bây giờ trả lời cho tôi câu hỏi, bằng cấp ba là gì? Bạn hoàn toàn đúng: . Và tám là sức mạnh của hai là gì? Đúng vậy - thứ ba! Tại vì. Nào, bây giờ chúng ta thử giải bài toán sau: Cho tôi nhân số với chính tôi một lần và được kết quả. Câu hỏi đặt ra là tôi đã nhân với chính mình bao nhiêu lần? Tất nhiên bạn có thể kiểm tra điều này trực tiếp:

\ begin (align) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ end ( căn chỉnh)

Sau đó, bạn có thể kết luận rằng bản thân tôi đã nhân lên nhiều lần. Bạn có thể kiểm tra bằng cách nào khác? Và đây là cách thực hiện: trực tiếp theo định nghĩa của mức độ:. Nhưng, bạn phải thừa nhận rằng, nếu tôi hỏi rằng phải nhân hai lần với chính nó bao nhiêu lần để có được, thì bạn sẽ nói với tôi rằng: Tôi sẽ không tự lừa mình và nhân với chính mình đến mức xanh cả mặt. Và anh ấy sẽ hoàn toàn đúng. Bởi vì làm thế nào bạn có thể viết ra tất cả các hành động một cách ngắn gọn(và ngắn gọn là em gái của tài năng)

ở đâu - những cái này giống nhau "Lần" khi bạn nhân với chính mình.

Tôi nghĩ rằng bạn biết (và nếu bạn không biết, khẩn cấp, rất khẩn trương lặp lại các mức độ!) Điều đó thì vấn đề của tôi sẽ được viết dưới dạng:

Bạn có thể đưa ra một kết luận hoàn toàn chính đáng ở đâu rằng:

Vì vậy, không thể nhận ra, tôi đã viết ra những điều đơn giản nhất phương trình mũ:

Và thậm chí đã tìm thấy anh ấy nguồn gốc... Bạn không nghĩ rằng mọi thứ là hoàn toàn tầm thường? Vì vậy, tôi nghĩ chính xác như nhau. Đây là một ví dụ khác cho bạn:

Nhưng phải làm gì? Bạn không thể viết nó dưới dạng lũy ​​thừa của một số (hợp lý). Đừng thất vọng và lưu ý rằng cả hai con số này đều được thể hiện một cách hoàn hảo về sức mạnh của cùng một con số. Cái nào? Bên phải: . Sau đó, phương trình ban đầu được chuyển thành dạng:

Ở đâu, như bạn đã hiểu,. Đừng kéo nữa và viết Định nghĩa:

Trong trường hợp của chúng tôi với bạn:.

Các phương trình này được giải bằng cách rút gọn chúng về dạng:

với nghiệm tiếp theo của phương trình

Trên thực tế, chúng tôi đã làm điều này trong ví dụ trước: chúng tôi đã hiểu điều đó. Và chúng tôi đã cùng bạn giải phương trình đơn giản nhất.

Nó có vẻ là không có gì phức tạp, phải không? Hãy thực hành những cái đơn giản nhất trước. ví dụ:

Chúng ta lại thấy rằng vế phải và vế trái của phương trình cần được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa của một số. Đúng, điều này đã được thực hiện ở bên trái, nhưng có một số ở bên phải. Nhưng, không sao cả, bởi vì phương trình của tôi sẽ biến đổi một cách thần kỳ thành thế này:

Tôi đã phải sử dụng những gì ở đây? Quy định là gì? Quy tắc cấp độ trong đó đọc:

Chuyện gì xảy ra nếu:

Trước khi trả lời câu hỏi này, hãy điền vào bảng sau:

Không khó để chúng ta nhận thấy rằng càng ít, ít giá trị hơn nhưng dù sao, tất cả các giá trị này đều lớn hơn 0. VÀ ĐIỀU NÀY SẼ LUÔN !!! Thuộc tính giống nhau ĐỐI VỚI BẤT KỲ CƠ SỞ NÀO VỚI BẤT KỲ CHỈ SỐ NÀO !! (cho bất kỳ và). Sau đó, chúng ta có thể kết luận gì về phương trình? Và đây là những gì: nó không có rễ! Không phương trình nào có nghiệm nguyên. Bây giờ chúng ta hãy thực hành và Hãy giải các ví dụ đơn giản:

Hãy kiểm tra:

1. Bạn không yêu cầu gì ở đây, ngoại trừ kiến ​​thức về các thuộc tính của độ (nhân tiện, tôi yêu cầu bạn nhắc lại!) Theo quy luật, mọi thứ đều dẫn đến ít lý do nhất:,. Sau đó, phương trình ban đầu tương đương như sau: Tất cả những gì tôi cần là sử dụng các thuộc tính của độ: Khi nhân các số có cùng cơ số thì cộng lũy ​​thừa và khi chia thì bị trừ. Sau đó, tôi nhận được: Chà, bây giờ, với lương tâm rõ ràng, tôi sẽ chuyển từ một phương trình mũ sang một phương trình tuyến tính: \ begin (align)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& x = 0. \\
\ end (căn chỉnh)

2. Trong ví dụ thứ hai, bạn cần phải cẩn thận hơn: vấn đề là ở phía bên trái, chúng ta sẽ không thể trình bày nó dưới dạng một lũy thừa của cùng một số. Trong trường hợp này, nó đôi khi hữu ích đại diện cho các con số dưới dạng tích số của các độ với các cơ số khác nhau, nhưng các chỉ số giống nhau:

Vế trái của phương trình sẽ có dạng: Điều này đã cho chúng ta điều gì? Đây là những gì: Những con số có cơ số khác nhau, nhưng cùng chỉ số có thể được nhân lên.Trong trường hợp này, các cơ số được nhân lên và chỉ số không thay đổi:

Áp dụng cho tình huống của tôi, điều này sẽ cho:

\ begin (căn chỉnh)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400, \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400, \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\ end (căn chỉnh)

Không tệ, phải không?

3. Tôi không thích khi, một cách không cần thiết, một mặt của phương trình có hai số hạng, và mặt khác - không có (tất nhiên, đôi khi, điều này là hợp lý, nhưng bây giờ không phải như vậy). Di chuyển số hạng trừ sang phải:

Bây giờ, như trước đây, tôi sẽ viết mọi thứ về quyền hạn của bộ ba:

Thêm lũy thừa vào bên trái và nhận được phương trình tương đương

Bạn có thể dễ dàng tìm thấy gốc của nó:

4. Như trong ví dụ ba, thuật ngữ có dấu trừ là một vị trí ở phía bên phải!

Ở bên trái, tôi gần như ổn, ngoại trừ cái gì? Vâng, "mức độ sai" trong deuce làm phiền tôi. Nhưng tôi có thể dễ dàng sửa chữa nó bằng cách viết:. Eureka - ở bên trái, tất cả các cơ sở đều khác nhau, nhưng tất cả các độ đều giống nhau! Nhân lên gấp gáp!

Ở đây một lần nữa, mọi thứ đều rõ ràng: (nếu bạn không hiểu tôi đã có được đẳng thức cuối cùng một cách kỳ diệu như thế nào, hãy nghỉ ngơi một phút, nghỉ giải lao và đọc lại các đặc tính của mức độ rất cẩn thận. Ai nói rằng bạn có thể bỏ qua một mức độ với một số mũ âm? Chà, ở đây tôi cũng giống như không có ai). Bây giờ tôi sẽ nhận được:

\ begin (căn chỉnh)
& ((2) ^ (4 \ left ((x) -9 \ right))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((x) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
\ end (căn chỉnh)

Dưới đây là một số nhiệm vụ để bạn đào tạo, mà tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời (nhưng ở dạng "hỗn hợp"). Cắt chúng xuống, kiểm tra chúng, bạn và tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu của chúng tôi!

Sẵn sàng? Câu trả lời như những cái này:

  1. bất kỳ số nào

Được rồi, được rồi, tôi đã nói đùa! Đây là bản phác thảo các giải pháp (một số giải pháp rất ngắn gọn!)

Bạn có nghĩ rằng không phải ngẫu nhiên mà một phần bên trái là một phần khác "đảo ngược" không? Sẽ là một tội lỗi nếu không tận dụng điều này:

Quy tắc này rất thường được sử dụng khi quyết định phương trình mũ, hãy nhớ kỹ!

Sau đó, phương trình ban đầu sẽ như thế này:

Bằng cách giải phương trình bậc hai này, bạn nhận được các nghiệm thức sau:

2. Một giải pháp khác: chia cả hai vế của phương trình cho biểu thức bên trái (hoặc bên phải). Tôi chia cho những gì ở bên phải, sau đó tôi nhận được:

Ở đâu (tại sao?!)

3. Tôi thậm chí không muốn lặp lại chính mình, mọi thứ đã được "nhai đi nhai lại" nhiều rồi.

4. do phương trình bậc hai, rễ

5. Bạn cần sử dụng công thức được đưa ra trong bài toán đầu tiên, sau đó bạn nhận được điều đó:

Phương trình đã trở thành một nhận dạng tầm thường, đúng với bất kỳ phương trình nào. Sau đó, câu trả lời là bất kỳ số thực.

Chà, vậy là bạn đã thực hành giải phương trình mũ đơn giản nhất. Bây giờ tôi muốn cung cấp cho bạn một số ví dụ cuộc sống sẽ giúp bạn hiểu tại sao chúng cần thiết về nguyên tắc. Tôi sẽ đưa ra hai ví dụ ở đây. Một trong số chúng khá hàng ngày, nhưng cái còn lại có nhiều khả năng là về mặt khoa học hơn là quan tâm thực tế.

Ví dụ 1 (thương mại) Giả sử bạn có rúp và bạn muốn biến nó thành rúp. Ngân hàng đề nghị bạn nhận số tiền này từ bạn với lãi suất hàng năm với lãi suất vốn hóa hàng tháng (cộng dồn hàng tháng). Câu hỏi đặt ra là bạn cần mở một khoản tiền gửi trong bao nhiêu tháng để thu được số tiền cuối cùng cần thiết? Một nhiệm vụ khá đơn giản, phải không? Tuy nhiên, lời giải của nó được liên kết với việc xây dựng phương trình mũ tương ứng: Giả sử - số tiền ban đầu, - số tiền cuối cùng, - lãi suất trong kỳ, - số kỳ. Sau đó:

Trong trường hợp của chúng tôi (nếu lãi suất là hàng năm, thì nó được tính theo tháng). Tại sao nó được chia cho? Nếu bạn không biết câu trả lời cho câu hỏi này, hãy nhớ chủ đề ""! Sau đó, chúng tôi nhận được phương trình sau:

Phương trình mũ này chỉ có thể được giải với sự trợ giúp của máy tính ( ngoại hình gợi ý về điều này, và điều này đòi hỏi kiến ​​thức về logarit, mà chúng ta sẽ làm quen sau một chút), mà tôi sẽ làm: ... Do đó, để nhận được một triệu, chúng ta cần đóng góp trong một tháng (không nhanh lắm, Là nó?).

Ví dụ 2 (khoa học hơn). Bất chấp sự "cô lập" của anh ấy, tôi khuyên bạn nên chú ý đến anh ấy: anh ấy thường xuyên "trượt trong kỳ thi !! (Bài toán được lấy từ phiên bản "thực") Trong quá trình phân rã của một đồng vị phóng xạ, khối lượng của nó giảm theo quy luật, trong đó (mg) là khối lượng ban đầu của đồng vị, (min.) là thời gian trôi qua từ thời điểm ban đầu, (tối thiểu) là chu kỳ bán rã. Tại thời điểm ban đầu, khối lượng của đồng vị là mg. Thời gian bán hủy của nó là tối thiểu. Sau bao nhiêu phút khối lượng của đồng vị sẽ bằng m gam? Không sao cả: chúng tôi chỉ lấy và thay thế tất cả dữ liệu trong công thức được đề xuất cho chúng tôi:

Hãy chia cả hai phần thành, "với hy vọng" ở bên trái chúng ta nhận được thứ gì đó có thể tiêu hóa được:

Chà, chúng tôi rất may mắn! Nó đứng ở bên trái, sau đó chúng ta chuyển sang phương trình tương đương:

Min ở đâu.

Như bạn thấy, phương trình mũ có một ứng dụng rất thực tế trong thực tế. Bây giờ tôi muốn thảo luận với bạn một cách khác (đơn giản) để giải phương trình mũ, dựa trên việc lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc, sau đó nhóm các số hạng. Đừng sợ những lời của tôi, bạn đã biết đến phương pháp này ở lớp 7, khi bạn học đa thức. Ví dụ: nếu bạn cần tính toán cho biểu thức:

Hãy nhóm lại: số hạng thứ nhất và thứ ba, cũng như số hạng thứ hai và thứ tư. Rõ ràng rằng thứ nhất và thứ ba là sự khác biệt của các hình vuông:

và thứ hai và thứ tư có một nhân tố chung là ba:

Sau đó, biểu thức ban đầu tương đương với điều này:

Lấy đâu ra nhân tố chung không còn khó nữa:

Kể từ đây,

Đây gần như là cách chúng ta sẽ hành động khi giải phương trình mũ: tìm "điểm chung" giữa các số hạng và đặt nó ngoài dấu ngoặc, vậy thì - có thể xảy ra, tôi tin rằng chúng ta sẽ may mắn =)) Ví dụ:

Ở bên phải khác xa lũy thừa của bảy (tôi đã kiểm tra rồi!) Và ở bên trái - tốt hơn một chút, tất nhiên, bạn có thể "cắt nhỏ" thừa số a từ số thứ hai từ số hạng đầu tiên, và sau đó xử lý kết quả, nhưng chúng ta hãy làm điều đó một cách hợp lý hơn với bạn. Tôi không muốn đối phó với những phân số chắc chắn đến từ việc “tô sáng”, vì vậy tôi chịu đựng sẽ tốt hơn sao? Sau đó, tôi sẽ không có phân số: như họ nói, những con sói được cho ăn và những con cừu được an toàn:

Đếm biểu thức trong ngoặc đơn. Theo một cách kỳ diệu, huyền diệu, nó thành ra điều đó (thật đáng ngạc nhiên, mặc dù chúng ta có thể mong đợi điều gì khác?).

Sau đó, chúng ta sẽ hủy bỏ cả hai vế của phương trình bằng hệ số này. Chúng tôi nhận được :, từ đâu.

Đây là một ví dụ phức tạp hơn (thực sự là một chút):

Thật là rắc rối! Chúng ta không có một điểm chung nào ở đây! Nó không hoàn toàn rõ ràng phải làm gì bây giờ. Hãy làm những gì chúng ta có thể làm: trước tiên, hãy di chuyển "bộ tứ" sang một bên và "bộ tứ" sang bên kia:

Bây giờ chúng ta hãy di chuyển "chung" sang trái và phải:

Giờ thì sao? Lợi ích của một nhóm ngu ngốc như vậy là gì? Thoạt nhìn, nó không thể nhìn thấy gì cả, nhưng chúng ta hãy xem xét sâu hơn:

Bây giờ, hãy làm cho nó ở bên trái chúng ta chỉ có biểu thức và ở bên phải - mọi thứ khác. Chung ta se lam như thê nao? Và đây là cách thực hiện: Chia cả hai vế của phương trình trước (theo cách này chúng ta loại bỏ mức độ ở bên phải), và sau đó chia cả hai vế (theo cách này chúng ta loại bỏ thừa số ở bên trái). Cuối cùng chúng tôi nhận được:

Không thể tưởng tượng! Ở bên trái chúng ta có một biểu thức và bên phải chúng ta có một biểu thức đơn giản. Sau đó, chúng tôi ngay lập tức kết luận rằng

Đây là một ví dụ khác để bạn củng cố:

Tôi sẽ đưa ra giải pháp ngắn gọn của anh ấy (không cần bận tâm quá nhiều đến những lời giải thích), hãy cố gắng tự mình tìm ra tất cả "sự tinh tế" của giải pháp.

Bây giờ là sự hợp nhất cuối cùng của vật liệu đã thông qua. Hãy cố gắng tự giải quyết những vấn đề sau. Tôi sẽ chỉ đưa ra các đề xuất và mẹo ngắn gọn để giải quyết chúng:

  1. Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc:
  2. Chúng tôi đại diện cho biểu thức đầu tiên ở dạng :, chia cả hai phần và nhận được
  3. , sau đó phương trình ban đầu được chuyển thành dạng: Chà, bây giờ là một gợi ý - hãy xem bạn và tôi đã giải phương trình này ở đâu!
  4. Hãy tưởng tượng như thế nào, như thế nào, và tốt, sau đó chia cả hai phần cho, để bạn có được phương trình mũ đơn giản nhất.
  5. Lấy ra khỏi dấu ngoặc.
  6. Lấy ra khỏi dấu ngoặc.

CÁC YÊU CẦU KHAI THÁC. CẤP ĐỘ TRUNG BÌNH

Tôi đoán sau khi đọc bài báo đầu tiên đã nói phương trình mũ là gì và làm thế nào để giải quyết chúng bạn đã thành thạo mức tối thiểu cần thiết kiến thức cần thiết để giải các ví dụ đơn giản nhất.

Bây giờ tôi sẽ phân tích một phương pháp khác để giải phương trình mũ, đây là

"Phương pháp giới thiệu một biến mới" (hoặc thay thế). Anh ấy giải được hầu hết các bài toán "khó" về chủ đề phương trình mũ (và không chỉ phương trình). Phương pháp này là một trong những phương pháp thường xuyên được sử dụng trong thực tế. Đầu tiên, tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chủ đề.

Như bạn đã hiểu từ tên gọi, bản chất của phương pháp này là đưa vào một sự thay đổi biến số đến mức phương trình mũ của bạn biến đổi một cách kỳ diệu thành một phương trình mà bạn có thể dễ dàng giải được. Tất cả những gì còn lại cho bạn sau khi giải quyết “phương trình đơn giản hóa” này là thực hiện một “thay thế ngược lại”: nghĩa là quay trở lại từ phương án được thay thế thành phương trình được thay thế. Hãy minh họa những gì chúng ta vừa nói bằng một ví dụ rất đơn giản:

Ví dụ 1:

Phương trình này được giải bằng cách sử dụng "phép thay thế đơn giản", như các nhà toán học thường gọi nó. Thật vậy, sự thay thế ở đây là một trong những điều rõ ràng nhất. Người ta chỉ có thể thấy rằng

Sau đó, phương trình ban đầu chuyển thành sau:

Nếu chúng tôi bổ sung trình bày như thế nào, thì sẽ khá rõ ràng những gì cần phải được thay thế: tất nhiên,. Khi đó phương trình ban đầu sẽ biến thành gì? Và đây là những gì:

Bạn có thể dễ dàng tìm thấy nguồn gốc của nó một mình:. Chúng ta phải làm gì bây giờ? Đã đến lúc quay lại biến ban đầu. Tôi đã quên chỉ ra điều gì? Cụ thể là: khi thay thế một mức độ nhất định bằng một biến mới (nghĩa là khi thay đổi chế độ xem), tôi sẽ quan tâm đến chỉ có gốc tích cực! Bản thân bạn có thể dễ dàng trả lời tại sao. Vì vậy, bạn và tôi không quan tâm, nhưng gốc thứ hai khá phù hợp với chúng tôi:

Sau đo ở đâu.

Bài giải:

Như bạn có thể thấy, trong ví dụ trước, sự thay thế đang yêu cầu bàn tay của chúng tôi. Thật không may, điều này không phải luôn luôn như vậy. Tuy nhiên, chúng ta đừng đi thẳng vào vấn đề đáng buồn, mà hãy thực hành với một ví dụ nữa với sự thay thế khá đơn giản

Ví dụ 2.

Rõ ràng là rất có thể cần phải thay thế (đây là lũy thừa nhỏ nhất trong phương trình của chúng ta), tuy nhiên, trước khi đưa vào phương trình thay thế, phương trình của chúng ta phải được "chuẩn bị" cho nó, cụ thể là:,. Sau đó, bạn có thể thay thế, kết quả là tôi nhận được biểu thức sau:

Ôi kinh dị: một phương trình bậc ba với các công thức hoàn toàn đáng sợ cho lời giải của nó (tốt, nếu chúng ta nói nhìn chung). Nhưng chúng ta đừng tuyệt vọng ngay mà hãy nghĩ xem phải làm gì. Tôi sẽ đề xuất gian lận: chúng ta biết rằng để có được một câu trả lời "hay", chúng ta cần phải có nó dưới dạng một số sức mạnh của một bộ ba (tại sao lại như vậy, hả?). Hãy thử đoán ít nhất một nghiệm nguyên của phương trình (tôi sẽ bắt đầu đoán với lũy thừa của ba).

Giả thiết đầu tiên. Nó không phải là một gốc. Chao ôi và à ...

.
Mặt trái bằng nhau.
Phần bên phải:!
Có! Bạn đã đoán được gốc đầu tiên. Bây giờ mọi thứ sẽ trở nên dễ dàng hơn!

Bạn có biết về sơ đồ phân chia "góc" không? Tất nhiên bạn biết bạn sử dụng nó khi bạn chia một số cho số khác. Nhưng ít người biết rằng điều tương tự cũng có thể được thực hiện với đa thức. Có một định lý tuyệt vời:

Áp dụng cho tình huống của tôi, điều này cho tôi biết cái gì chia hết cho. Việc phân chia được thực hiện như thế nào? Như thế đấy:

Tôi nhìn vào đơn thức nào tôi phải nhân để có được Rõ ràng rằng trên, sau đó:

Trừ biểu thức kết quả, nhận được:

Bây giờ tôi cần nhân với những gì để có được? Rõ ràng là vào, sau đó tôi sẽ nhận được:

và một lần nữa trừ biểu thức kết quả khỏi biểu thức còn lại:

Chà, bước cuối cùng, tôi sẽ nhân với và trừ từ biểu thức còn lại:

Hurray, sự phân chia đã kết thúc! Chúng tôi đã lưu những gì ở chế độ riêng tư? Bởi bản thân: .

Sau đó, chúng tôi nhận được sự phân rã sau đây của đa thức ban đầu:

Hãy giải phương trình thứ hai:

Nó có nguồn gốc:

Sau đó, phương trình ban đầu:

có ba gốc:

Tất nhiên, chúng tôi sẽ loại bỏ gốc cuối cùng, vì nó nhỏ hơn 0... Và hai đầu tiên sau khi thay thế ngược lại sẽ cho chúng ta hai gốc:

Bài giải: ..

Với ví dụ này, tôi không muốn làm bạn sợ hãi chút nào, thay vào đó, tôi đặt cho mình mục tiêu là chứng tỏ rằng ít nhất chúng ta đã có đủ thay thế đơn giản, tuy nhiên nó dẫn đến một phương trình phức tạp, giải pháp yêu cầu một số kỹ năng đặc biệt từ chúng tôi. Chà, không ai miễn nhiễm với điều này. Nhưng sự thay thế trong trong trường hợp này khá rõ ràng.

Đây là một ví dụ với sự thay thế ít rõ ràng hơn một chút:

Hoàn toàn không rõ ràng chúng ta nên làm gì: vấn đề là trong phương trình của chúng ta có hai lý do khác nhau và nền tảng này không thể có được từ nền tảng khác bằng cách nâng cao lên bất kỳ mức độ nào (hợp lý, tự nhiên). Tuy nhiên, chúng ta thấy gì? Cả hai cơ số chỉ khác nhau về dấu hiệu và tích của chúng là hiệu số của các bình phương, bằng một:

Sự định nghĩa:

Vì vậy, các số là cơ số trong ví dụ của chúng tôi là liên hợp.

Trong trường hợp này, một bước đi thông minh sẽ là nhân cả hai vế của phương trình với số liên hợp.

Ví dụ, trên, thì vế trái của phương trình trở thành bằng nhau và vế phải. Nếu chúng ta thực hiện một phép thay thế, thì phương trình ban đầu của chúng ta sẽ trở thành như thế này:

nguồn gốc của nó, sau đó, và ghi nhớ điều đó, chúng ta có được điều đó.

Bài giải: , .

Theo quy định, phương pháp thay thế là đủ để giải hầu hết các phương trình mũ "trường học". Các nhiệm vụ sau đây được lấy từ kỳ thi C1 ( cấp độ cao nỗi khó khăn). Bạn đã có đủ năng lực để giải quyết các ví dụ này một cách độc lập. Tôi sẽ chỉ đưa ra yêu cầu thay thế.

  1. Giải phương trình:
  2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
  3. Giải phương trình:. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình này thuộc đoạn:

Và bây giờ, những lời giải thích và câu trả lời ngắn gọn:

  1. Ở đây là đủ để chúng tôi lưu ý rằng và. Sau đó, phương trình ban đầu sẽ tương đương với điều này: Phương trình này giải quyết bằng cách thay thế Các tính toán khác tự làm. Cuối cùng, nhiệm vụ của bạn sẽ được giảm xuống để giải quyết lượng giác đơn giản nhất (tùy thuộc vào sin hoặc cosine). Chúng tôi sẽ phân tích giải pháp của các ví dụ như vậy trong các phần khác.
  2. Ở đây bạn thậm chí có thể làm mà không cần thay thế: chỉ cần di chuyển số bị trừ sang bên phải và biểu diễn cả hai cơ số thông qua lũy thừa của hai:, và sau đó chuyển trực tiếp đến phương trình bậc hai.
  3. Phương trình thứ ba cũng được giải theo một cách khá chuẩn: chúng ta hãy tưởng tượng như thế nào. Sau đó, thay thế chúng ta nhận được một phương trình bậc hai: sau đó,

    Bạn đã biết logarit là gì chưa? Không? Sau đó đọc chủ đề gấp!

    Gốc đầu tiên, rõ ràng, không thuộc về phân khúc, và gốc thứ hai là không thể hiểu được! Nhưng chúng tôi sẽ tìm hiểu rất sớm! Từ đó, (đây là một thuộc tính của lôgarit!) Hãy so sánh:

    Trừ cả hai phần, chúng tôi nhận được:

    Phía bên trái có thể được biểu diễn như sau:

    nhân cả hai phần với:

    có thể được nhân với, sau đó

    Sau đó, hãy so sánh:

    kể từ đó:

    Khi đó căn thứ hai thuộc khoảng bắt buộc

    Bài giải:

Như bạn thấy đấy, việc lựa chọn nghiệm nguyên của phương trình mũ đòi hỏi bạn phải có kiến ​​thức đủ sâu về các tính chất của logarit vì vậy tôi khuyên bạn nên cẩn thận nhất có thể khi giải phương trình mũ. Như bạn có thể tưởng tượng, trong toán học, mọi thứ đều liên kết với nhau! Như giáo viên dạy toán của tôi đã từng nói: "Toán học cũng như lịch sử, bạn không thể đọc một sớm một chiều".

Theo quy luật, tất cả khó khăn trong việc giải các bài toán C1 chính là việc lựa chọn các nghiệm nguyên của phương trình. Hãy thực hành với một ví dụ nữa:

Rõ ràng là bản thân phương trình khá đơn giản để giải. Bằng cách thay thế, chúng ta sẽ rút gọn phương trình ban đầu của chúng ta thành như sau:

Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào gốc đầu tiên. So sánh và: kể từ đó. (tính chất của hàm số lôgarit, at). Vậy thì rõ ràng là gốc đầu tiên cũng không thuộc khoảng của chúng ta. Bây giờ là gốc thứ hai:. Rõ ràng là (vì hàm at ngày càng tăng). Nó vẫn còn để so sánh và.

kể từ đó, cùng một lúc. Bằng cách này, tôi có thể "lái một chốt" giữa và. Chốt này là một số. Biểu thức đầu tiên nhỏ hơn và biểu thức thứ hai lớn hơn. Khi đó biểu thức thứ hai lớn hơn biểu thức thứ nhất và căn thuộc khoảng.

Bài giải: .

Để kết thúc, hãy xem một ví dụ khác về một phương trình trong đó phép thay thế không phải là tiêu chuẩn:

Hãy bắt đầu ngay với những gì bạn có thể làm và những gì - về nguyên tắc, bạn có thể, nhưng tốt hơn là không nên làm. Bạn có thể - đại diện cho mọi thứ thông qua các quyền của ba, hai và sáu. Nó dẫn đến đâu? Vâng, nó sẽ không dẫn đến bất cứ điều gì: một sự né tránh của độ và một số trong số chúng sẽ khá khó khăn để loại bỏ. Những gì sau đó là cần thiết? Hãy để ý điều đó Và nó sẽ mang lại cho chúng ta những gì? Và thực tế là chúng ta có thể rút gọn nghiệm của ví dụ này thành nghiệm của một phương trình mũ khá đơn giản! Đầu tiên, hãy viết lại phương trình của chúng ta thành:

Bây giờ chúng ta chia cả hai vế của phương trình kết quả cho:

Eureka! Bây giờ chúng tôi có thể thay thế, chúng tôi nhận được:

Chà, bây giờ đến lượt bạn giải quyết các vấn đề cho mục đích trình diễn và tôi sẽ chỉ đưa ra những nhận xét ngắn gọn cho họ để bạn không bị lạc con đường đúng đắn! Chúc may mắn!

1. Khó nhất! Không dễ gì tìm được người thay thế ở đây! Nhưng tuy nhiên, ví dụ này có thể được giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng lựa chọn một hình vuông đầy đủ... Để giải quyết nó, bạn cần lưu ý rằng:

Sau đó, đây là một thay thế cho bạn:

(Xin lưu ý rằng ở đây, trong quá trình thay thế, chúng tôi không thể bỏ gốc âm !!! Và bạn nghĩ tại sao?)

Bây giờ, để giải ví dụ, bạn phải giải hai phương trình:

Cả hai đều được giải quyết bằng "thay thế tiêu chuẩn" (nhưng thứ hai trong một ví dụ!)

2. Lưu ý điều đó và thực hiện thay thế.

3. Phân tích số thành thừa số nguyên tố và đơn giản hóa biểu thức kết quả.

4. Chia tử số và mẫu số của phân số cho (hoặc, nếu bạn thích) và thay thế hoặc.

5. Lưu ý rằng các số và là liên hợp.

CÁC YÊU CẦU KHAI THÁC. TRÌNH ĐỘ CAO

Ngoài ra, hãy xem xét một cách khác - giải phương trình mũ bằng phương pháp lôgarit... Tôi không thể nói rằng giải phương trình mũ bằng phương pháp này rất phổ biến, nhưng trong một số trường hợp, chỉ nó mới có thể dẫn chúng ta đến quyết định đúng phương trình của chúng tôi. Nó đặc biệt thường được sử dụng để giải quyết cái gọi là " phương trình hỗn hợp": Đó là những nơi mà các chức năng của các loại khác nhau gặp nhau.

Ví dụ, một phương trình có dạng:

trong trường hợp tổng quát, nó chỉ có thể được giải quyết bằng cách lấy logarit của cả hai vế (ví dụ, theo cơ số), trong đó phương trình ban đầu biến thành như sau:

Hãy xem ví dụ sau:

Rõ ràng là theo ODZ của hàm số logarit, chúng ta chỉ quan tâm đến. Tuy nhiên, điều này không chỉ tuân theo ODZ của logarit, mà còn vì một lý do khác. Tôi nghĩ rằng sẽ không khó để bạn đoán được cái nào.

Hãy ghi cả hai vế của phương trình về cơ số:

Như bạn có thể thấy, lấy logarit của phương trình ban đầu của chúng tôi đủ nhanh đã đưa chúng tôi đến câu trả lời đúng (và đẹp!). Hãy thực hành với một ví dụ nữa:

Ở đây cũng vậy, không có gì phải lo lắng: chúng ta tính logarit cả hai vế của phương trình theo cơ số, sau đó chúng ta nhận được:

Hãy thay thế:

Tuy nhiên, chúng tôi đang thiếu một cái gì đó! Bạn có nhận thấy tôi đã sai ở đâu không? Rốt cuộc, sau đó:

mà không đáp ứng yêu cầu (nghĩ xem nó đến từ đâu!)

Bài giải:

Hãy thử tự mình viết ra nghiệm của phương trình mũ dưới đây:

Bây giờ hãy kiểm tra quyết định của bạn đối với điều này:

1. Logarit cả hai vế đối với cơ số, có tính đến:

(gốc thứ hai không phù hợp với chúng tôi do thay thế)

2. Chúng tôi lôgarit đến cơ số:

Hãy biến đổi biểu thức kết quả thành dạng sau:

CÁC YÊU CẦU KHAI THÁC. MÔ TẢ SƠ LƯỢC VÀ CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Phương trình mũ

Phương trình có dạng:

gọi là phương trình mũ đơn giản nhất.

Thuộc tính quyền lực

Các cách tiếp cận giải pháp

  • Sự ép buộc về cùng một cơ sở
  • Chuyển đổi sang cùng một số mũ
  • Thay thế biến
  • Đơn giản hóa biểu thức và ứng dụng của một trong các cách trên.

Phương trình mũ. Như bạn đã biết, USE bao gồm các phương trình đơn giản. Chúng ta đã xem xét một số trong số chúng - chúng là logarit, lượng giác, hữu tỉ. Dưới đây là các phương trình biểu thị.

Trong một bài viết gần đây, chúng tôi đã làm việc với biểu thức hàm mũ, nó sẽ hữu ích. Bản thân các phương trình rất đơn giản và nhanh chóng để giải quyết. Bạn chỉ cần biết các thuộc tính của số mũ và ... Về điều nàyHơn nữa.

Hãy liệt kê các thuộc tính của số mũ:

Bậc 0 của bất kỳ số nào cũng bằng một.

Hệ quả của thuộc tính này:

Thêm một chút lý thuyết.

Phương trình mũ là phương trình chứa một biến trong một chỉ số, tức là phương trình này có dạng:

NS(NS) một biểu thức có chứa một biến

Các phương pháp giải phương trình mũ

1. Kết quả của phép biến đổi, phương trình có thể rút gọn về dạng:

Sau đó, chúng tôi áp dụng thuộc tính:

2. Khi nhận được phương trình có dạng a f (NS) = NSđịnh nghĩa của lôgarit được sử dụng, chúng tôi nhận được:

3. Theo kết quả của các phép biến đổi, một phương trình có dạng:

Lôgarit được áp dụng:

Chúng tôi biểu thị và tìm x.

Trong nhiệm vụ lựa chọn cho kỳ thi nó sẽ là đủ để sử dụng phương pháp đầu tiên.

Nghĩa là, cần phải trình bày phần bên trái và bên phải dưới dạng độ với cùng một cơ số, sau đó chúng ta cân bằng các chỉ số và giải phương trình tuyến tính thông thường.

Hãy xem xét các phương trình:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 4 1–2x = 64.

Cần phải đảm bảo rằng ở hai bên trái và phải có các biểu thức chỉ dẫn cùng một cơ sở. 64 chúng ta có thể biểu diễn bằng 4 theo lũy thừa của 3. Chúng ta nhận được:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

- 2x = 2

x = - 1

Kiểm tra:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Trả lời 1

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3 x - 18 = 1/9.

Được biết rằng

Vậy 3 x-18 = 3 -2

Các cơ sở là bằng nhau, chúng ta có thể đánh đồng các chỉ số:

x - 18 = - 2

x = 16

Kiểm tra:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Trả lời: 16

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Chúng tôi biểu diễn phân số 1/64 dưới dạng một phần tư đến lũy thừa thứ ba:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Kiểm tra:

Trả lời: 11

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Hãy biểu diễn 1/3 dưới dạng 3 –1 và 9 là 3 bình phương, chúng ta nhận được:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 -1 ∙ (8-2x) = 3 2

3 –8 + 2x = 3 2

Bây giờ chúng ta có thể đánh đồng các chỉ số:

- 8 + 2x = 2

2x = 10

x = 5

Kiểm tra:

Trả lời: 5

26654. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Dung dịch:


Đáp số: 8,75

Thật vậy, ở bất kỳ mức độ nào chúng ta nâng cao số dương a, chúng ta không thể nhận được một số âm theo bất kỳ cách nào.

Bất kỳ phương trình mũ nào sau khi biến đổi thích hợp đều được rút gọn thành nghiệm của một hoặc nhiều nghiệm đơn giản nhất.Trong phần này chúng ta cũng sẽ cùng nhau tìm hiểu lời giải của một số phương trình, các bạn đừng bỏ lỡ nhé!Đó là tất cả. Thành công đến bạn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn có thể cho chúng tôi biết về trang web trên mạng xã hội.

Trên bài học này chúng ta sẽ xem xét lời giải của các phương trình mũ phức tạp hơn, nhớ lại các điều khoản lý thuyết chính liên quan đến hàm số mũ.

1. Định nghĩa và các tính chất của hàm số mũ, kỹ thuật giải phương trình mũ đơn giản nhất

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm số mũ. Đó là dựa trên các tính chất mà lời giải của tất cả các phương trình và bất phương trình mũ.

Hàm số mũ- là một hàm có dạng, trong đó cơ sở là bậc và Ở đây x là một biến độc lập, một đối số; y - biến phụ thuộc, hàm.

Lúa gạo. 1. Đồ thị hàm số lũy thừa

Biểu đồ cho thấy số mũ tăng và giảm, minh họa hàm số mũ khi cơ số lớn hơn một và nhỏ hơn một, nhưng lớn hơn 0, tương ứng.

Cả hai đường cong đều đi qua điểm (0; 1)

Thuộc tính hàm mũ:

Lãnh địa: ;

Dãy giá trị:;

Hàm là đơn điệu, khi nó tăng, khi nó giảm.

Một hàm đơn điệu nhận mỗi giá trị của nó cho một giá trị đối số.

Khi đối số tăng từ trừ đến cộng vô cùng, hàm tăng từ 0 không bao gồm đến cộng vô cùng. Ngược lại, khi đối số tăng từ trừ đến cộng vô cùng, hàm giảm từ vô cùng xuống 0, không bao hàm.

2. Nghiệm của phương trình mũ điển hình

Chúng ta hãy nhắc lại cách giải phương trình mũ đơn giản nhất. Giải pháp của họ dựa trên tính đơn điệu của hàm số mũ. Hầu như tất cả các phương trình mũ phức tạp đều được rút gọn thành các phương trình như vậy.

Bằng nhau của số mũ cho trên cơ sở bình đẳng do thuộc tính của hàm số mũ, cụ thể là tính đơn điệu của nó.

Phương pháp giải quyết:

Cân bằng các cơ sở của các độ;

Công bằng số mũ.

Hãy chuyển sang việc xem xét các phương trình mũ phức tạp hơn, mục tiêu của chúng ta là giảm mỗi phương trình trong số chúng đến mức đơn giản nhất.

Hãy giải phóng bản thân khỏi gốc ở phía bên trái và đưa các độ về cùng một cơ sở:

Để rút gọn một phương trình mũ phức tạp về mức đơn giản nhất, người ta thường sử dụng các phép đổi biến.

Hãy sử dụng thuộc tính của độ:

Chúng tôi giới thiệu một sự thay thế. Hãy để, sau đó. Với sự thay thế như vậy, rõ ràng là y thực hiện nghiêm túc giá trị tích cực... Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi nhân phương trình kết quả với hai và chuyển tất cả các số hạng sang vế trái:

Gốc đầu tiên không thỏa mãn phạm vi giá trị y, vì vậy chúng tôi loại bỏ nó. Chúng tôi nhận được:

Hãy đưa các độ về cùng một chỉ số:

Chúng tôi giới thiệu một sự thay thế:

Hãy để, sau đó ... Với sự thay đổi như vậy, rõ ràng là y nhận các giá trị dương. Chúng tôi nhận được:

Chúng ta biết làm thế nào để giải các phương trình bậc hai, chúng tôi sẽ viết ra đáp án:

Để chắc chắn rằng đã tìm đúng các nghiệm, bạn có thể kiểm tra theo định lý Vieta, tức là tìm tổng của các nghiệm và tích của chúng rồi kiểm tra với các hệ số tương ứng của phương trình.

Chúng tôi nhận được:

3. Kỹ thuật giải phương trình mũ thuần nhất cấp hai.

Hãy để chúng tôi kiểm tra những điều sau đây loại quan trọng phương trình mũ:

Các phương trình thuộc loại này được gọi là thuần nhất bậc hai đối với các hàm f và g. Ở phía bên trái của nó có một tam thức vuông đối với f với tham số g hoặc một tam thức vuông đối với g với tham số f.

Phương pháp giải quyết:

Phương trình này có thể được giải ở dạng bậc hai, nhưng làm theo cách khác sẽ dễ dàng hơn. Có hai trường hợp để xem xét:

Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi nhận được

Trong trường hợp thứ hai, chúng tôi có quyền chia cho mức độ cao nhất và chúng tôi nhận được:

Thay đổi các biến nên được giới thiệu, chúng tôi nhận được một phương trình bậc hai cho y:

Lưu ý rằng các hàm f và g có thể là bất kỳ, nhưng chúng ta quan tâm đến trường hợp đây là các hàm số mũ.

4. Các ví dụ về giải phương trình thuần nhất

Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái của phương trình:

Vì hàm mũ nhận các giá trị dương hoàn toàn, chúng ta có quyền chia ngay phương trình cho mà không cần xét đến trường hợp:

Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi giới thiệu một sự thay thế: (theo tính chất của hàm số mũ)

Chúng tôi có một phương trình bậc hai:

Xác định nghiệm nguyên theo định lý Vieta:

Gốc đầu tiên không thỏa mãn phạm vi giá trị y, chúng tôi loại bỏ nó, chúng tôi nhận được:

Chúng tôi sẽ sử dụng các thuộc tính của mức độ và giảm tất cả các mức độ thành các cơ sở đơn giản:

Có thể dễ dàng nhận thấy các hàm f và g:

Vì hàm mũ nhận các giá trị dương hoàn toàn, chúng ta có quyền chia ngay phương trình cho mà không cần xét đến trường hợp khi nào.

Nghiệm của phương trình mũ. Các ví dụ.


Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người rất "không ..."
Và đối với những người "rất thậm chí ...")

Gì phương trình mũ? Đây là một phương trình trong đó ẩn số (x) và các biểu thức với chúng nằm trong chỉ số một số độ. Và chỉ ở đó! Nó quan trọng.

Bạn đây rồi ví dụ về phương trình mũ:

3 x 2 x = 8 x + 3

Ghi chú! Trong các cơ sở của độ (bên dưới) - chỉ những con số... V chỉ sốđộ (ở trên) - rất nhiều biểu thức với x. Nếu đột nhiên, một dấu x xuất hiện trong phương trình ở đâu đó không phải là một chỉ số, ví dụ:

đây sẽ là một phương trình kiểu hỗn hợp. Các phương trình như vậy không có quy tắc rõ ràng để giải. Chúng tôi sẽ không xem xét chúng cho bây giờ. Ở đây chúng tôi sẽ giải quyết bằng cách giải các phương trình mũở dạng tinh khiết nhất của nó.

Trên thực tế, ngay cả những phương trình mũ thuần túy không phải lúc nào cũng được giải một cách rõ ràng. Nhưng có một số loại phương trình mũ nhất định có thể và nên giải được. Chúng tôi sẽ xem xét các loại này.

Nghiệm của phương trình mũ đơn giản nhất.

Hãy bắt đầu với một cái gì đó rất cơ bản. Ví dụ:

Ngay cả khi không có bất kỳ lý thuyết nào, rõ ràng là từ một lựa chọn đơn giản rằng x = 2. Không còn nữa, phải không !? Không có cuộn giá trị x nào khác. Bây giờ chúng ta hãy xem bản ghi của lời giải cho phương trình mũ xảo quyệt này:

Chúng ta đã làm gì? Trên thực tế, chúng tôi chỉ ném ra căn cứ giống hệt nhau(sinh ba). Họ đã ném nó ra ngoài hoàn toàn. Và, những gì hài lòng, hãy đánh dấu!

Thật vậy, nếu phương trình mũ ở bên trái và bên phải chứa như nhau các số trong bất kỳ lũy thừa nào, các số này có thể bị loại bỏ và các số mũ bằng nhau. Toán học cho phép. Nó vẫn còn để giải một phương trình đơn giản hơn nhiều. Tuyệt vời, phải không?)

Tuy nhiên, trớ trêu thay chúng ta hãy nhớ lại điều đó: bạn chỉ có thể loại bỏ các cơ sở khi các số cơ bản ở bên trái và bên phải được tách biệt hoàn toàn! Không có bất kỳ hàng xóm và hệ số. Hãy cho biết trong các phương trình:

2 x +2 x + 1 = 2 3, hoặc

deuces không thể được gỡ bỏ!

Chà, chúng tôi đã nắm được điều quan trọng nhất. Cách đi từ biểu thức mũ ác về phương trình đơn giản hơn.

"Đây là những lúc!" - bạn nói. "Ai sẽ cho một sự sơ khai như vậy trong các bài kiểm tra và kỳ thi !?"

Tôi phải đồng ý. Không ai chịu cho. Nhưng bây giờ bạn biết phải phấn đấu ở đâu khi giải quyết các ví dụ khó hiểu. Cần phải đưa nó về dạng khi cùng một cơ số ở bên trái - bên phải. Khi đó mọi thứ sẽ dễ dàng hơn. Trên thực tế, đây là kinh điển của toán học. Chúng tôi lấy ví dụ ban đầu và biến đổi nó thành ví dụ mong muốn. CHÚNG TA lí trí. Tất nhiên, theo các quy tắc của toán học.

Hãy xem các ví dụ cần thêm một số nỗ lực để đưa chúng xuống mức đơn giản nhất. Hãy gọi cho họ phương trình mũ đơn giản.

Bài giảng: "Các phương pháp giải phương trình mũ."

1 . Phương trình mũ.

Phương trình chứa ẩn số trong số mũ được gọi là phương trình mũ. Đơn giản nhất trong số chúng là phương trình ax = b, trong đó a> 0 và ≠ 1.

1) Đối với b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Với b> 0, sử dụng tính đơn điệu của hàm số và định lý về căn, phương trình có một căn duy nhất. Để tìm được b phải được biểu diễn dưới dạng b = ac, ax = bc ó x = c hoặc x = logab.

Phương trình mũ bằng cách biến đổi đại số dẫn đến phương trình chuẩn, được giải bằng các phương pháp sau:

1) phương pháp giảm xuống một cơ sở;

2) phương pháp đánh giá;

3) phương pháp đồ họa;

4) phương pháp giới thiệu các biến mới;

5) phương pháp phân tích nhân tử;

6) phương trình lũy thừa - lũy thừa;

7) chỉ định với tham số.

2 . Phương pháp cưỡng chế về một cơ sở.

Phương pháp dựa trên tính chất sau của độ: nếu hai độ bằng nhau và cơ sở của chúng bằng nhau thì chỉ số của chúng cũng bằng nhau, tức là phương trình phải được rút gọn về dạng

Các ví dụ. Giải phương trình:

1 ... 3x = 81;

Viết lại vế phải của phương trình là 81 = 34 và viết lại phương trình tương đương với 3 x = 34 ban đầu; x = 4. Đáp số: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width =" 52 "height =" 49 "> và chuyển sang phương trình số mũ 3x + 1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0,5 Đáp số: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "width =" 105 "height =" 47 ">

Lưu ý rằng các số 0,2, 0,04, √5 và 25 là lũy thừa của 5. Hãy sử dụng nó để biến đổi phương trình ban đầu như sau:

, khi đó 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, từ đó ta tìm được nghiệm x = -1. Trả lời 1.

5. 3x = 5. Theo định nghĩa của lôgarit x = log35. Trả lời: log35.

6. 62x + 4 = 33x. 2x + 8.

Hãy viết lại phương trình dưới dạng 32x + 4.22x + 4 = 32x.2x + 8, tức là..png "width =" 181 "height =" 49 src = "> Do đó x - 4 = 0, x = 4. Đáp số: 4 .

7 ... 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x = 9. Sử dụng tính chất của bậc, ta viết phương trình dưới dạng 6 ∙ 3x - 2 ∙ 3x - 3x = 9 thì 3 ∙ 3x = 9, 3x + 1 = 32, tức là x + 1 = 2, x = 1. Trả lời 1.

Ngân hàng nhiệm vụ №1.

Giải phương trình:

Bài kiểm tra số 1.

1) 0 2) 4 3) -2 4) -4

A2 32x-8 = √3.

1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4

A3

1) 3; 1 2) -3; -1 3) 0; 2 4) không có gốc

1) 7; 1 2) không có gốc 3) -7; 1 4) -1; -7

A5

1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0

A6

1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Bài kiểm tra số 2

A1

1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1

A2

1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11

A3

1) 2; -1 2) không có gốc 3) 0 4) -2; 1

A4

1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2

A5

1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Phương pháp đánh giá.

Định lý gốc: nếu hàm số f (x) tăng (giảm) trên khoảng I, số a là giá trị nào nhận của f trên khoảng này thì phương trình f (x) = a có một nghiệm nguyên trên khoảng I.

Khi giải phương trình bằng phương pháp ước lượng, định lý này và các tính chất về tính đơn điệu của hàm số được sử dụng.

Các ví dụ. Giải các phương trình: 1. 4x = 5 - x.

Dung dịch. Viết lại phương trình dưới dạng 4x + x = 5.

1. nếu x = 1 thì 41 + 1 = 5, 5 = 5 đúng, do đó 1 là nghiệm nguyên của phương trình.

Hàm f (x) = 4x - tăng trên R và g (x) = x - tăng trên R => h (x) = f (x) + g (x) tăng trên R, khi tổng các hàm tăng , do đó x = 1 là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình 4x = 5 - x. Trả lời 1.

2.

Dung dịch. Chúng tôi viết lại phương trình dưới dạng .

1. nếu x = -1, thì , 3 = 3-đúng, do đó x = -1 là nghiệm nguyên của phương trình.

2. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nó là một trong những duy nhất.

3. Hàm f (x) = - giảm trên R, và g (x) = - x - giảm trên R => h (x) = f (x) + g (x) - giảm trên R, là tổng của các chức năng giảm dần ... Do đó, theo định lý căn, x = -1 là căn duy nhất của phương trình. Trả lời 1.

Ngân hàng nhiệm vụ №2. Giải phương trình

a) 4x + 1 = 6 - x;

NS)

c) 2x - 2 = 1 - x;

4. Phương pháp giới thiệu biến mới.

Phương pháp được mô tả trong điều 2.1. Việc giới thiệu một biến mới (thay thế) thường được thực hiện sau các phép biến đổi (đơn giản hóa) các số hạng của phương trình. Hãy xem một số ví dụ.

Các ví dụ. NS Giải phương trình: 1. .

Hãy viết lại phương trình theo cách khác: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width =" 128 "height =" 48 src = "> ie..png" width = "210" height = "45">

Dung dịch. Hãy viết lại phương trình theo cách khác:

Hãy chỉ định https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width =" 245 "height =" 57 "> - không phù hợp.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width =" 268 "height =" 51 "> - phương trình vô tỉ... Lưu ý rằng

Nghiệm của phương trình là x = 2,5 ≤ 4, có nghĩa là 2,5 là nghiệm của phương trình. Trả lời: 2.5.

Dung dịch. Viết lại phương trình như sau và chia cả hai vế cho 56x + 6 ≠ 0. Ta thu được phương trình

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1, t..png "width =" 118 "height =" 56 ">

Căn bậc hai - t1 = 1 và t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Dung dịch . Chúng tôi viết lại phương trình dưới dạng

và lưu ý rằng nó là một phương trình thuần nhất của cấp độ thứ hai.

Chia phương trình cho 42x, ta được

Hãy thay thế https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width =" 16 "height =" 41 src = ">.

Trả lời: 0; 0,5.

Ngân hàng nhiệm vụ số 3. Giải phương trình

NS)

NS)

Bài kiểm tra số 3 với một sự lựa chọn câu trả lời. Mức tối thiểu.

A1

1) -0,2; 2 2) log52 3) –log52 4) 2

A2 0,52x - 3 0,5x +2 = 0.

1) 2; 1 2) -1; 0 3) không có gốc 4) 0

1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5

A4 52x-5x - 600 = 0.

1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2

1) không có gốc 2) 2; 4 3) 3 4) -1; 2

Bài kiểm tra số 4 với một sự lựa chọn câu trả lời. Mức độ chung.

A1

1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0

A2 2x - (0,5) 2x - (0,5) x + 1 = 0

1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1

1) 64 2) -14 3) 3 4) 8

1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0

A5

1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) không có rễ

5. Phương pháp thừa số hóa.

1. Giải phương trình: 5x + 1 - 5x-1 = 24.

Giải pháp..png "width =" 169 "height =" 69 ">, từ đâu

2. 6x + 6x + 1 = 2x + 2x + 1 + 2x + 2.

Dung dịch. Thừa số 6x ở bên trái và 2x ở bên phải. Ta được phương trình 6x (1 + 6) = 2x (1 + 2 + 4) ó 6x = 2x.

Vì 2x> 0 với mọi x nên cả hai vế của phương trình này có thể chia hết cho 2x mà không sợ bị mất nghiệm. Ta được 3x = 1ó x = 0.

3.

Dung dịch. Hãy giải phương trình bằng phương pháp thừa số hóa.

Chọn bình phương của nhị thức

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "width =" 500 "height =" 181 ">

x = -2 là nghiệm nguyên của phương trình.

Phương trình x + 1 = 0 "style =" border -ump: sập; border: none ">

A1 5x-1 + 5x -5x + 1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x + 1 + 3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1 -108 = 0.x = 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x = 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Bài kiểm tra số 6 Mức độ chung.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) = 7.

1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2

A2

1) 2,5 2) 3; 4 3) log43 / 2 4) 0

A3 2x-1-3x = 3x-1-2x + 2.

1) 2 2) -1 3) 3 4) -3

A4

1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4

A5

1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Biểu thức - phương trình công suất.

Phương trình mũ lân cận với cái được gọi là phương trình lũy thừa - cấp số nhân, tức là phương trình có dạng (f (x)) g (x) = (f (x)) h (x).

Nếu biết rằng f (x)> 0 và f (x) ≠ 1, thì phương trình, giống như cấp số nhân, được giải bằng cách cân bằng các số mũ g (x) = f (x).

Nếu điều kiện không loại trừ khả năng f (x) = 0 và f (x) = 1 thì ta phải xét các trường hợp này khi giải phương trình lũy thừa.

1..png "width =" 182 "height =" 116 src = ">

2.

Dung dịch. x2 + 2x-8 - có nghĩa với bất kỳ x nào, vì nó là một đa thức, vì vậy phương trình tương đương với một tập hợp

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "width =" 137 "height =" 35 ">

NS)

7. Phương trình mũ với tham số.

1. Với những giá trị nào của tham số p thì phương trình 4 (5 - 3) • 2 + 4p2–3p = 0 (1) có nghiệm duy nhất?

Dung dịch. Ta thay thế 2x = t, t> 0 thì phương trình (1) có dạng t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)

Phép phân biệt của phương trình (2) D = (5p - 3) 2 - 4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất nếu phương trình (2) có một nghiệm nguyên dương. Điều này có thể thực hiện được trong các trường hợp sau.

1. Nếu D = 0, tức là p = 1 thì phương trình (2) có dạng t2 - 2t + 1 = 0, do đó t = 1 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0.

2. Nếu p1 thì 9 (p - 1) 2> 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm nguyên khác nhau t1 = p, t2 = 4p - 3. Điều kiện của bài toán là thỏa mãn hệ thức.

Thay t1 và t2 vào các hệ thống, chúng ta có

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt =" (! LANG: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Dung dịch. Để cho được thì phương trình (3) có dạng t2 - 6t - a = 0. (4)

Chúng ta hãy tìm các giá trị của tham số a mà tại đó ít nhất một nghiệm nguyên của phương trình (4) thỏa mãn điều kiện t> 0.

Hãy giới thiệu hàm f (t) = t2 - 6t - a. Các trường hợp sau đây đều có thể thực hiện được.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Trường hợp 2. Phương trình (4) có một nghiệm dương duy nhất nếu

D = 0, nếu a = - 9 thì phương trình (4) có dạng (t - 3) 2 = 0, t = 3, x = - 1.

Trường hợp 3. Phương trình (4) có hai nghiệm nguyên, nhưng một trong hai nghiệm đó không thỏa mãn bất phương trình t> 0. Điều này khả thi nếu

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt =" (! LANG: no35_17" width="267" height="63">!}

Do đó, đối với a 0, phương trình (4) có một gốc dương duy nhất ... Khi đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất

Cho một< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

nếu một< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
nếu a = - 9 thì x = - 1;

nếu a  0, thì

Hãy so sánh các phương pháp giải phương trình (1) và (3). Lưu ý rằng khi giải phương trình (1) được rút gọn thành phương trình bậc hai, phân biệt của nó là một bình phương đầy đủ; do đó, các nghiệm nguyên của phương trình (2) ngay lập tức được tính toán bằng cách sử dụng công thức cho các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai, và sau đó các kết luận được rút ra về các nghiệm nguyên này. Phương trình (3) được rút gọn thành phương trình bậc hai (4), phân thức của nó không phải là một bình phương hoàn hảo; do đó, khi giải phương trình (3), nên sử dụng các định lý về vị trí của nghiệm thức của một tam thức bậc hai và một mô hình đồ họa. Lưu ý rằng phương trình (4) có thể được giải bằng cách sử dụng định lý Vieta.

Hãy giải các phương trình phức tạp hơn.

Bài toán 3. Giải phương trình

Dung dịch. ODZ: x1, x2.

Hãy giới thiệu một sự thay thế. Đặt 2x = t, t> 0, khi đó theo kết quả của phép biến đổi, phương trình sẽ có dạng t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) Tìm các giá trị của a để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên (*) thỏa mãn điều kiện t> 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Trả lời: nếu a> - 13, a  11, a  5, thì nếu a - 13,

a = 11, a = 5 thì vô nghiệm.

Thư mục.

1. Guzeev nền tảng của công nghệ giáo dục.

2. Công nghệ Guzeev: từ tiếp nhận đến triết học.

M. "School Director" số 4, 1996

3. Guzeev và hình thức tổ chức học tập.

4. Guzeev và việc thực hành công nghệ giáo dục tích hợp.

NS. " Giáo dục công cộng", 2001

5. Guzeev từ các hình thức của một bài học - một cuộc hội thảo.

Toán học tập 2 năm 1987 tr 9 - 11.

6. Công nghệ giáo dục Selevko.

M. "Giáo dục công cộng", 1998

7. Học sinh Episheva học toán.

M. "Giáo dục", 1990

8. Ivanov để chuẩn bị bài học - hội thảo.

Toán học số 6 năm 1990 tr. 37 - 40.

9. Mô hình dạy toán của Smirnov.

Toán học tập 1, 1997 tr. 32 - 36.

10. Tarasenko các cách tổ chức công việc thực tế.

Toán học tập 1, 1993 tr. 27 - 28.

11. Về một trong những loại công việc cá nhân.

Toán học 2 năm 1994 tr.63 - 64.

12. Khả năng sáng tạo Khazankin của học sinh.

Toán học tập 2, 1989 tr. mười.

13. Skanavi. Nhà xuất bản, 1997

14. et al. Đại số và sự khởi đầu của phân tích. Vật liệu Didactic cho

15. Bài tập Krivonogov trong toán học.

M. "ngày 1 tháng 9 năm 2002"

16. Cherkasov. Cẩm nang dành cho học sinh trung học và

vào các trường đại học. "AS T - trường báo chí", 2002

17. Kẹo cao su dành cho thí sinh vào đại học.

Minsk và RF "Đánh giá", 1996

18. Viết D. Chuẩn bị cho kỳ thi vào môn toán. M. Rolf, 1999

19. và những người khác. Học cách giải phương trình và bất phương trình.

M. "Trí thức - Trung tâm", 2003

20. và những người khác. Giáo dục - tài liệu đào tạođể chuẩn bị cho EG E.

M. "Trí thức - Trung tâm", 2003 và 2004

21 và các tùy chọn khác. Tùy chọn CMM. Trung tâm thử nghiệm Bộ Quốc phòng Liên bang Nga, 2002, 2003.

22. Phương trình Goldberg. "Quant" số 3, năm 1971

23. Volovich M. Làm thế nào để dạy toán thành công.

Toán học, 1997 số 3.

24 Okunev cho một bài học, các em! M. Khai sáng, 1988

25. Yakimanskaya - định hướng giảng dạy ở trường.

26. Liimet hoạt động trong lớp học. M. Tri thức, 1975