Hành động với độ với các căn cứ khác nhau. Các tính chất của độ: Từ ngữ, bằng chứng, ví dụ

Thư mục.

• VILEKIN N.YA., ZHOKHOV V.I., Chesnokov A.S., Schwarzburg S.I. Sách giáo khoa Toán cho 5 CL. tổ chức giáo dục nói chung.
• Makarychev Yu.n., Mindyuk n.g., Nebkov K.i., Suvorova S.b. ALGEBRA: Hướng dẫn cho 7 CL. tổ chức giáo dục nói chung.
• Makarychev Yu.n., Mindyuk n.g., Nebkov K.i., Suvorova S.b. ALGEBRA: Hướng dẫn cho 8 CL. tổ chức giáo dục nói chung.
• Makarychev Yu.n., Mindyuk n.g., Nebkov K.i., Suvorova S.b. ALGEBRA: Hướng dẫn cho 9 CL. tổ chức giáo dục nói chung.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.p. et al. Đại số và phân tích bắt đầu: một cuốn sách giáo khoa cho 10 - 11 lớp của các tổ chức giáo dục nói chung.
• Gusev v.a., mordkovich a.g. Toán học (trợ cấp cho người nộp đơn cho các trường kỹ thuật).

TÔI.Thành phần n. trong nhà máy, mỗi trong số đó đều bằng nhau nhưng gọi là n.Trong số các mức độ của số lượng nhưng Và biểu thị. nhưng N..

Ví dụ. Viết một sản phẩm dưới dạng độ.

1) Mmmm; 2) aaababab; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC; 4) PPKK + PPPK-PPKKK.

Phán quyết.

1) mmmm \u003d m 4Kể từ đó, theo định nghĩa, công việc của bốn yếu tố, mỗi yếu tố đều bằng nhau m., sẽ là Mức độ thứ tư của số m.

2) aaabb \u003d a 3 b 2; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC \u003d 5 4 C 3; 4) PPKK + PPPK-PPKKK \u003d P 2 K 2 + P 3 K-P 2 K 3.

II. Hành động thông qua đó có một sản phẩm của một số lỗi bằng nhau được gọi là bài tập. Con số được dựng lên thành một mức độ được gọi là nền tảng của mức độ. Số lượng cho thấy mức độ nào là nền tảng được gọi là một chỉ số của mức độ. Vì thế, nhưng N. - trình độ nhưng - nền tảng của bằng cấp n.- Chỉ số. Ví dụ:

2 3 — Đây là một mức độ. Con số 2 - nền móng của mức độ, chỉ báo của mức độ bằng nhau 3 . Giá trị bằng cấp 2 3 như nhau 8, như 2 3 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 8.

Ví dụ. Viết các biểu thức sau mà không có chỉ báo.

5) 4 3; 6) A 3 B 2 C 3; 7) 3 -BB 3; 8) 2A 4 + 3B 2.

Phán quyết.

5) 4 3 = 4 · 4 · 4 ; 6) A 3 B 2 C 3 \u003d aaabbccc; 7) A 3 -B 3 \u003d aaa-bbb; 8) 2A 4 + 3B 2 \u003d 2AAAA + 3BB.

III. A 0 \u003d 1 Bất kỳ số nào (trừ 0) ở độ bằng không bằng nhau. Ví dụ: 25 0 \u003d 1.
IV. 1 \u003d a Bất kỳ số nào ở mức độ đầu tiên bằng chính nó.

Ở v LÀ.∙ a N.= lÀ. + N. Khi nhân độ nhân với cùng một căn cứ, đế còn lại cho cùng và các chỉ số gập lại.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

9) A · A 3 · A 7; 10) B 0 + B 2 · B 3; 11) C 2 · C 0 · C · C 4.

Phán quyết.

9) A · A 3 · A 7\u003d A 1 + 3 + 7 \u003d A 11; 10) B 0 + B 2 · B 3 \u003d1 + B 2 + 3 \u003d 1 + B 5;

11) C 2 · C 0 · C · C 4 \u003d1 · C 2 · C · C 4 \u003d C 2 + 1 + 4 \u003d C 7 .

VI. LÀ.: a N.= lÀ. - N. Khi phân chia bằng phẳng với cùng một căn cứ, đế còn lại cho cùng một, và từ mức độ chia phân chia, mức độ của bộ chia được khấu trừ.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

12) 8: A 3; 13) M 11: M 4; 14) 5 6: 5 4.

12) 8: A 3\u003d 8-3 \u003d A 5; 13) M 11: M 4\u003d M 11-4 \u003d M 7; mười bốn ) 5 6:5 4 \u003d 5 2 \u003d 5 · 5 \u003d 25.

VII. (lÀ.) N.= một mn. Nếu độ được nâng lên ở mức độ, đế còn lại cho cùng một, và các chỉ số được kéo dài.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

15) (3) 4; 16) (C 5) 2.

15) (3) 4\u003d A 3 · 4 \u003d A 12; 16) (C 5) 2\u003d C 5 · 2 \u003d C 10.

Ghi chúrằng, vì công việc của hệ số nhân không thay đổi công việc, cái đó:

15) (3) 4 \u003d (A 4) 3; 16) (C 5) 2 \u003d (C 2) 5.

Ở vTÔI. II.. (A ∙ b) n \u003d a n ∙ b n Khi dựng lên công việc, mỗi hệ số nhân được nâng lên ở mức độ này.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6; 19) 0,25 2 · 40 2.

Phán quyết.

17) (2A 2) 5\u003d 2 5 · A 2 · 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 · 5 6\u003d (0,2 · 5) 6 \u003d 1 6 \u003d 1;

19) 0,25 2 · 40 2\u003d (0,25 · 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

Ix. Khi cương cứng vào mức độ phân số, nó được dựng lên ở mức độ này và tử số và mẫu số của phân số.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

Phán quyết.

Trang 1 trên 1 1

Trước đây chúng tôi đã nói về những gì các ngày của ngày. Nó có một số tính chất nhất định hữu ích trong việc giải quyết các nhiệm vụ: đó là chúng và tất cả các chỉ số có thể của mức độ chúng tôi sẽ phân tích trong bài viết này. Chúng tôi cũng sẽ thể hiện rõ ràng về các ví dụ cách bạn có thể chứng minh và áp dụng chính xác trong thực tế.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Chúng tôi sẽ nhớ khái niệm mức độ với một chỉ báo tự nhiên đã được chúng tôi xây dựng: Đây là một sản phẩm của số lượng số nhân số N, mỗi số bằng a. Chúng tôi cũng cần nhớ cách nhân số thực tế một cách chính xác. Tất cả điều này sẽ giúp chúng tôi xây dựng các thuộc tính sau đây trong phạm vi với một chỉ báo tự nhiên:

Định nghĩa 1.

1. Thuộc tính chính của mức độ: A m · a n \u003d a m + n

Nó có thể được khái quát hóa thành: a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

2. Tài sản riêng cho bằng cấp có cùng cơ sở: A m: a n \u003d a m - n

3. Tài sản của mức độ công việc: (a · b) n \u003d a n · b n

Bình đẳng có thể được mở rộng thành: (1 · A 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n

4. Tài sản riêng ở mức độ tự nhiên: (A: B) n \u003d a n: b n

5. Chúng tôi có bằng cấp độ: (a m) n \u003d a m · n,

Có thể được khái quát hóa thành: ((((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k

6. So sánh một mức độ với 0:

• nếu A\u003e 0, thì với bất kỳ N tự nhiên nào, A N sẽ lớn hơn 0;
• tại A, bằng 0, A N cũng sẽ bằng 0;
• với một.< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• với một.< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Bình đẳng a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Bất đẳng thức A M\u003e A N sẽ đúng, với điều kiện là M và N là số tự nhiên, M lớn hơn N và số 0 và ít hơn một.

Do đó, chúng tôi đã nhận được một số đẳng thức; Nếu bạn quan sát tất cả các điều kiện được đề cập ở trên, chúng sẽ giống hệt nhau. Đối với mỗi dấu bằng, ví dụ, đối với thuộc tính chính, bạn có thể thay đổi phần bên phải và bên trái: A m · a n \u003d a m + n giống như M + N \u003d a m · a n. Trong biểu mẫu này, nó thường được sử dụng trong các biểu thức đơn giản hóa.

1. Hãy bắt đầu với thuộc tính cơ bản của mức độ: sự bình đẳng a m · a n \u003d a m + n sẽ chính xác với bất kỳ M và N tự nhiên và hợp lệ a. Làm thế nào để chứng minh tuyên bố này?

Định nghĩa chính của độ với các chỉ số tự nhiên sẽ cho phép chúng ta chuyển đổi bình đẳng thành công việc của hệ số nhân. Chúng tôi sẽ nhận được một hồ sơ về loại hình này:

Nó có thể được giảm xuống (Nhớ lại các thuộc tính cơ bản của phép nhân). Do đó, chúng tôi đã nhận được mức độ số A với một chỉ số tự nhiên M + N. Do đó, một M + N, có nghĩa là, thuộc tính chính của mức độ được chứng minh.

Chúng tôi sẽ phân tích một ví dụ cụ thể xác nhận điều này.

Ví dụ 1.

Vì vậy, chúng tôi có hai độ với cơ sở 2. Các chỉ số tự nhiên của họ lần lượt là 2 và 3. Chúng tôi có bình đẳng: 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 Tính giá trị để kiểm tra lòng trung thành của sự bình đẳng này.

Thực hiện các hành động toán học cần thiết: 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 và 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32

Kết quả là, chúng tôi đã xuất hiện: 2 2 · 2 3 \u003d 2 5. Tài sản được chứng minh.

Nhờ tính chất nhân, chúng ta có thể bao gồm việc khái quát hóa tài sản, xây dựng nó dưới dạng ba độ và nhiều độ, trong đó các chỉ số là số tự nhiên và các cơ sở giống nhau. Nếu bạn chỉ định lượng số tự nhiên N 1, N 2, v.v. Chữ K, chúng tôi sẽ có được sự bình đẳng chung thủy:

a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

Ví dụ 2.

2. Tiếp theo, chúng tôi cần chứng minh tài sản sau đây, được gọi là tài sản riêng tư và vốn có bằng cùng với cùng một căn cứ: Đây là sự bình đẳng AM: AN \u003d AM - N, hợp lệ cho bất kỳ M và N tự nhiên (có m lớn hơn n)) và bất kỳ khác với 0 hợp lệ.

Để bắt đầu, hãy giải thích ý nghĩa của các điều kiện được đề cập trong từ ngữ là gì. Nếu chúng ta lấy một, bằng 0, thì kết quả là, chúng ta sẽ tìm thấy một phân chia về 0, không thể thực hiện được (vì 0 n \u003d 0). Điều kiện mà số m nhất thiết phải có nhiều n, cần phải để chúng ta có thể cưỡng lại trong khuôn khổ của các chỉ số tự nhiên của mức độ: khấu trừ n từ m, chúng tôi có được một số tự nhiên. Nếu điều kiện không được tôn trọng, chúng ta sẽ có một số âm hoặc số 0 và một lần nữa chúng ta sẽ vượt xa nghiên cứu về các mức độ với các chỉ số tự nhiên.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành bằng chứng. Từ nghiên cứu trước đây, chúng tôi nhớ các thuộc tính cơ bản của phân số và xây dựng bình đẳng như thế này:

một m - n · a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m

Từ nó có thể được bắt nguồn: a m - n · a n \u003d a m

Nhớ lại mối quan hệ giữa phân chia và nhân. Nó theo sau từ đó là một M - n là một độ riêng tư a m và a n. Đây là bằng chứng của tài sản thứ hai của bằng cấp.

Ví dụ 3.

Chúng tôi sẽ thay thế các số cụ thể cho sự rõ ràng trong các chỉ số và nền tảng của độ bằng được biểu thị bằng π: π 5: π 2 \u003d π 5 - 3 \u003d π 3

3. Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích mức độ của công việc: (a · b) n \u003d a n · b n với bất kỳ a và b hợp lệ và n.

Theo xác định cơ bản của mức độ với một chỉ báo tự nhiên, chúng ta có thể cải tạo bình đẳng như thế này:

Ghi nhớ các thuộc tính nhân, viết: . Điều này có nghĩa giống như một n · b n.

Ví dụ 4.

2 3 · - 4 2 5 4 \u003d 2 3 4 · - 4 2 5 4

Nếu có ba và nhiều hệ số nhân, thuộc tính này cũng kéo dài đến trường hợp này. Chúng tôi giới thiệu chỉ định K cho số lượng nhân và viết:

(A 1 · A 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n

Ví dụ 5.

Với số lượng cụ thể, chúng tôi có được sự bình đẳng trung thực sau: (2 · (- 2, 3) · a) 7 \u003d 2 7 · (- 2, 3) 7 · A

4. Sau đó, chúng tôi sẽ cố gắng chứng minh thuộc tính của tư nhân: (A: B) n \u003d a n: b n với bất kỳ a và b nào thực tế, nếu b không phải là 0 và n là một số tự nhiên.

Để chứng minh, bạn có thể sử dụng tài sản cấp độ trước đó. If (a: b) n · bn \u003d ((a: b) · b) n \u003d a, a (a: b) n · bn \u003d a, sau đó hóa ra (A: b) n là riêng tư từ chia một trên bn.

Ví dụ 6.

Tính toán ví dụ: 3 1 2: - 0. 5 3 \u003d 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

Ví dụ 7.

Hãy bắt đầu ngay lập tức từ ví dụ: (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6

Và bây giờ chúng tôi xây dựng chuỗi các đẳng thức, sẽ chứng minh sự trung bình của sự bình đẳng:

Nếu chúng ta có trong ví dụ có bằng cấp, thì tài sản này là công bằng cho họ. Nếu chúng ta có bất kỳ số tự nhiên p, q, r, s, thì đó sẽ là sự thật:

a p q s \u003d a p · q · y · s

Ví dụ 8.

Thêm chi tiết cụ thể: ((((5, 2) 3) 2) 5 \u003d (5, 2) 3 + 2 + 5 \u003d (5, 2) 10

6. Một tài sản khác của các độ với một hình tự nhiên mà chúng ta cần để chứng minh là tài sản so sánh.

Để bắt đầu với mức độ tương đương với số không. Tại sao một n\u003e 0, với điều kiện đó và hơn 0?

Nếu bạn nhân số tích cực sang số khác, thì chúng tôi cũng nhận được một số dương. Biết thực tế này, chúng ta có thể nói rằng nó không phụ thuộc vào số lượng hệ số nhân - kết quả của việc nhân bất kỳ số lượng số dương nào là số dương. Và mức độ không phải là kết quả của việc nhân số? Sau đó, đối với bất kỳ độ A nào với cơ sở dương và chỉ báo tự nhiên sẽ là sự thật.

Ví dụ 9.

3 5\u003e 0, (0, 00201) 2\u003e 0 và 34 9 13 51\u003e 0

Rõ ràng là mức độ có đế bằng không, bản thân bằng không. Bằng cấp nào chúng tôi không xây dựng Zero, anh ấy sẽ vẫn còn.

Ví dụ 10.

0 3 \u003d 0 và 0 762 \u003d 0

Nếu nền tảng của mức độ là một số âm, bằng chứng ở đây phức tạp hơn một chút, vì khái niệm chẵn lẻ / kỳ lạ của chỉ báo trở nên quan trọng. Thực hiện để bắt đầu với trường hợp khi hình này, và chúng tôi biểu thị nó 2 · M, trong đó M là một số tự nhiên.

Nhớ lại cách các số âm truy cập chính xác: công việc A · A bằng với sản phẩm của các mô-đun và do đó, nó sẽ là một số dương. Sau đó Và mức độ 2 · m cũng tích cực.

Ví dụ 11.

Ví dụ: (- 6) 4\u003e 0, (- 2, 2) 12\u003e 0 và - 2 9 6\u003e 0

Và nếu chỉ báo của mức độ với một cơ sở âm là một số lẻ? Biểu thị nó 2 · m - 1.

Sau đó

Tất cả hoạt động A · A, theo các thuộc tính của phép nhân, là tích cực, công việc của chúng quá. Nhưng nếu chúng ta nhân nó với số A duy nhất còn lại, kết quả cuối cùng sẽ là âm.

Sau đó, chúng tôi nhận được: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Làm thế nào để chứng minh điều đó?

a N.< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Ví dụ 12.

Ví dụ, bất bình đẳng trung thực: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Chúng tôi đã rời đi để chứng minh tài sản cuối cùng: Nếu chúng ta có hai độ, các nền tảng của giống nhau và tích cực, và các chỉ số là số tự nhiên, thì chúng là nhiều hơn, chỉ báo nhỏ hơn; Và có hai độ với các chỉ số tự nhiên và cùng một cơ sở, các đơn vị lớn, nhiều hơn mức độ, chỉ báo của nó lớn hơn.

Chúng tôi chứng minh những cáo buộc này.

Để bắt đầu, chúng ta cần đảm bảo rằng một m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Tôi gửi một n cho dấu ngoặc, sau đó sự khác biệt của chúng tôi sẽ lấy biểu mẫu A N · (A M - N - 1). Kết quả của nó sẽ âm (do kết quả của việc nhân số dương là âm). Thật vậy, theo các điều kiện ban đầu, M - n\u003e 0, sau đó là M - n - 1 là âm và yếu tố đầu tiên là dương, cũng như bất kỳ mức độ tự nhiên nào với cơ sở dương.

Chúng tôi đã xuất hiện rằng một m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Nó vẫn còn để dẫn đầu bằng chứng về phần thứ hai của phê duyệt được công thức trên: A M\u003e A có giá trị cho M\u003e N và A\u003e 1. Chúng tôi chỉ ra sự khác biệt và tóm tắt n cho dấu ngoặc: (A m - n - 1). Vận chuyển một n với một đơn vị lớn hơn, sẽ cung cấp một kết quả tích cực; Và chính sự khác biệt cũng sẽ tích cực do các điều kiện ban đầu và ở mức\u003e 1 độ một m - n nhiều đơn vị. Hóa ra, một m - a n\u003e 0 và một m\u003e a n, mà chúng ta cần để chứng minh.

Ví dụ 13.

Ví dụ với số cụ thể: 3 7\u003e 3 2

Các tính chất chính của độ với các chỉ số số nguyên

Đối với độ có các chỉ số tích cực nguyên, các thuộc tính sẽ tương tự nhau, vì toàn bộ số dương là tự nhiên, và do đó tất cả sự bình đẳng đã được chứng minh ở trên là hợp lệ cho chúng. Chúng cũng phù hợp với các trường hợp khi các chỉ báo âm hoặc bằng 0 (với điều kiện là cơ sở là mức độ khác của Nonzero).

Do đó, các thuộc tính của độ đều giống nhau đối với bất kỳ căn cứ nào a và b (với điều kiện các số này có giá trị và không bằng 0) và bất kỳ chỉ số nào M và N (với điều kiện là chúng là số nguyên). Chúng tôi viết chúng ngắn gọn như các công thức:

Định nghĩa 2.

1. a m · a n \u003d a m + n

2. A m: a n \u003d a m - n

3. (a · b) n \u003d a n · b n

4. (A: B) n \u003d a n: b n

5. (a m) n \u003d a m · n

6. A N.< b n и a − n > b - n trong tình trạng toàn bộ n tích cực, tích cực a và b, a< b

7 GIỜ SÁNG.< a n , при условии целых m и n , m > N và 0.< a < 1 , при a > 1 a m\u003e a n.

Nếu cơ sở của độ bằng 0, thì các bản ghi âm A và n có ý nghĩa chỉ trong trường hợp M và N dương tính tự nhiên và tích cực. Do đó, chúng tôi có được từ ngữ cao hơn và đối với các trường hợp có độ với cơ sở không, nếu tất cả các điều kiện khác được quan sát.

Bằng chứng về những tính chất này trong trường hợp này là không phức tạp. Chúng ta sẽ cần nhớ mức độ với tự nhiên và số nguyên, cũng như các thuộc tính của các hành động với các số hợp lệ.

Chúng tôi sẽ phân tích thuộc tính độ ở mức độ và chứng minh rằng nó là đúng với toàn bộ tích cực, và đối với các số lượng có thể hoàn toàn có giá trị. Hãy bắt đầu với bằng chứng về bằng (AP) Q \u003d AP · Q, (A - P) Q \u003d A (- p) · q, (ap) - q \u003d ap · (- q) và (a - p) - Q \u003d a (- p) · (- q)

Điều kiện: P \u003d 0 hoặc số tự nhiên; Q - Tương tự.

Nếu các giá trị p và q lớn hơn 0, thì chúng ta sẽ thành công (a p) q \u003d a p · q. Chúng tôi đã chứng minh sự bình đẳng tương tự trước đây. Nếu p \u003d 0, sau đó:

(A 0) q \u003d 1 q \u003d 1 a 0 · q \u003d a 0 \u003d 1

Do đó, (a 0) q \u003d a 0 · q

Đối với Q \u003d 0, mọi thứ đều giống nhau:

(A p) 0 \u003d 1 a p · 0 \u003d a 0 \u003d 1

Kết quả: (A p) 0 \u003d a p · 0.

Nếu cả hai chỉ báo bằng 0, sau đó (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 và 0 · 0 \u003d a 0 \u003d 1, có nghĩa là (a 0) 0 \u003d a 0 · 0.

Nhớ lại tài sản đã được chứng minh của tư nhân cho đất nước và viết ra:

1 a p q \u003d 1 q a p q

Nếu 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 và A p q \u003d a p · q, thì 1 q a p q \u003d 1 a p · q

Chúng tôi có thể chuyển đổi mục này nhờ các quy tắc nhân cơ bản trong A (- P) · Q.

Chỉ: P - Q \u003d 1 (A P) Q \u003d 1 A P · Q \u003d A - (P · q) \u003d a p · (- q).

Và (A - P) - q \u003d 1 a p - q \u003d (a p) q \u003d a p · q \u003d a (- p) · (- q)

Các thuộc tính còn lại của độ có thể được chứng minh theo cách tương tự, chuyển đổi bất đẳng thức hiện có. Chúng tôi sẽ không thực hiện chi tiết này, chúng tôi sẽ chỉ chỉ ra những khoảnh khắc phức tạp.

Bằng chứng về tài sản áp chót: thu hồi, A - N\u003e B - N là đúng với bất kỳ toàn bộ giá trị âm nào của bất kỳ A và B dương nào tích cực, với điều kiện là ít b.

Sau đó, sự bất bình đẳng có thể được chuyển đổi như sau:

1 a n\u003e 1 b n

Chúng tôi viết các phần bên phải và bên trái dưới dạng sự khác biệt và thực hiện các phép biến đổi cần thiết:

1 a n - 1 b n \u003d b n - a n a n · b n

Nhớ lại rằng trong điều kiện ít hơn B, sau đó, theo xác định mức độ với một hình tự nhiên: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n cuối cùng cho một số dương, vì số nhân của nó là tích cực. Do đó, chúng ta có một phần b n - a n a n · b n, cuối cùng cũng mang lại kết quả dương tính. Do đó 1 a n\u003e 1 b n từ a - n\u003e b - n, mà chúng ta cần chứng minh.

Thuộc tính cuối cùng của độ với các chỉ số số nguyên được chứng minh tương tự như tính chất của độ với các chỉ số tự nhiên.

Các tính chất chính của độ với các chỉ số hợp lý

Trong các bài viết trước, chúng tôi đã tháo rời mức độ với chỉ báo Rational (Fractional). Thuộc tính của chúng giống như độ với các chỉ số số nguyên. Chúng tôi viết:

Định nghĩa 3.

1. AM 1 N 1 · AM 2 N 2 \u003d AM 1 N 1 + M 2 N 2 TẠI A\u003e 0 và IF M 1 N 1\u003e 0 và M 2 N 2\u003e 0, sau đó ở ≥ 0 (thuộc tính sản phẩm độ có cùng cơ sở).

2. A m 1 n 1: b m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 - m 2 n 2, nếu a\u003e 0 (thuộc tính riêng).

3. A · BMN \u003d AMN · BMN với A\u003e 0 và B\u003e 0 và nếu m 1 n 1\u003e 0 và m 2 n 2\u003e 0, sau đó ở ≥ 0 và (hoặc) b ≥ 0 (thuộc tính của công việc ở mức độ phân đoạn).

4. A: b m n \u003d a m n: b m n với a\u003e 0 và b\u003e 0 và nếu m n\u003e 0, sau đó ở ≥ 0 và b\u003e 0 (thuộc tính của tư nhân ở độ phân đoạn).

5. AM 1 N 1 M 2 N 2 \u003d AM 1 N 1 · M 2 N 2 TẠI A\u003e 0, VÀ NẾU M 1 N 1\u003e 0 và M 2 N 2\u003e 0, sau đó ở mức 0 (độ bằng cấp bằng cấp).

6. A P.< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0; Nếu p.< 0 - a p > B p (một so sánh bằng cấp với các chỉ số hợp lý bằng nhau).

7. A P.< a q при условии рациональных чисел p и q , p > Q ở 0.< a < 1 ; если a > 0 - A p\u003e a q

Để chứng minh các điều khoản này, chúng ta sẽ cần phải nhớ lại rằng tốc độ phân số như vậy là thứ thuộc tính của gốc số học của độ n và các thuộc tính của mức độ với chỉ báo số nguyên là gì. Chúng tôi sẽ phân tích từng tài sản.

Theo thực tế là nó là một mức độ có chỉ báo phân số, chúng tôi nhận được:

a m 1 n 1 \u003d a m 1 n 1 và a m 2 n 2 \u003d a m 2 n 2, do đó, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Các thuộc tính của root sẽ cho phép chúng tôi rút bình đẳng:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 \u003d a m 1 · n 2 · A m 2 · n 1 n 1 n 1

Từ đây, chúng ta nhận được: A m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 n 1 n 2 \u003d a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Chúng tôi biến đổi:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 n 1 n 2 \u003d a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Chỉ báo có thể được viết dưới dạng:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d m 1 n 1 + m 2 n 2

Đây là bằng chứng. Tài sản thứ hai được chứng minh là hoàn toàn giống nhau. Chúng tôi viết chuỗi các đẳng thức:

aM 1 N 1: AM 2 N 2 \u003d AM 1 N 1: AM 2 N 2 \u003d AM 1 · N 2: AM 2 · N 1 N 1 · N 2 \u003d AM 1 N 2 - M 2 · N 1 N 1 · N 2 \u003d AM 1 · N 2 - M 2 · N 1 N 1 · N 2 \u003d AM 1 N 2 N 1 N 2 N 2 - M 2 · N 1 N 1 · N 2 \u003d AM 1 N 1 - M 2 N 2.

Bằng chứng về các đẳng thức khác:

a · b m n \u003d (a · b) m n \u003d a m · b m n \u003d a m n · b m n \u003d a m n · b m n; (A: B) M n \u003d (A: B) M n \u003d a m: b m n \u003d \u003d a m n: b m n \u003d a m n: b m n; Am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 m 2 n 1 n 2 \u003d am 1 m2 n 1 n 2 \u003d am 1 · m 2 N 2 · N 1 \u003d AM 1 · M 2 N 2 · N 1 \u003d AM 1 N 1 · M 2 N 2

Tài sản tiếp theo: Chúng ta hãy chứng minh rằng đối với bất kỳ giá trị A và B lớn hơn 0, nếu và ít B, sẽ được thực hiện P< b p , а для p больше 0 - a p > B P.

Hãy tưởng tượng một số hợp lý p như m n. Trong trường hợp này, M là một số, N -NET. Sau đó điều kiện P.< 0 и p > 0 sẽ lan đến m< 0 и m > 0. Tại M\u003e 0 và A< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Chúng tôi sử dụng các thuộc tính của rễ và mang lại: a m n< b m n

Xem xét sự tích cực của các giá trị của A và B, viết lại bất bình đẳng như một m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Theo cùng một cách tại m< 0 имеем a a m > b m, chúng ta có được một m n\u003e b m n có nghĩa là một m n\u003e b m n và p\u003e b p.

Chúng tôi đã để lại để mang lại bằng chứng của tài sản cuối cùng. Chúng tôi chứng minh rằng đối với các số hợp lý P và Q, P\u003e Q at 0< a < 1 a p < a q , а при a > 0 sẽ đúng một p\u003e a q.

Số hợp lý p và q có thể dẫn đến một mẫu số chung và có được các phân số m 1 n và m 2 n

Ở đây m 1 và m 2 là số nguyên, và n - tự nhiên. Nếu p\u003e q, thì m 1\u003e m 2 (cho quy tắc so sánh phân số). Sau đó ở 0.< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 - bất đẳng thức a 1 m\u003e a 2 m.

Chúng có thể được viết lại dưới dạng sau:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > A m 2 n

Sau đó, bạn có thể thực hiện chuyển đổi và cuối cùng:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > A m 2 n

Tóm tắt: tại P\u003e Q và 0< a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 - A p\u003e a q.

Các tính chất chính của độ với các chỉ số không hợp lý

Tất cả các thuộc tính được mô tả ở trên có thể được mở rộng đến mức độ như vậy, có mức độ với các chỉ số hợp lý. Điều này theo sau từ định nghĩa của nó, mà chúng tôi đã đưa ra trong một trong những bài viết trước. Chúng tôi xây dựng các thuộc tính này (điều kiện: a\u003e 0, b\u003e 0, các chỉ báo P và Q - số không hợp lý):

Định nghĩa 4.

1. một p · a q \u003d a p + q

2. A P: A Q \u003d A P - Q

3. (a · b) p \u003d a p · b p

4. (A: B) P \u003d A P: B P

5. (a p) q \u003d a p · q

6. A P.< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > B P.

7. A P.< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0, sau đó là một p\u003e a q.

Do đó, tất cả các độ có chỉ báo P và Q là số hợp lệ, được cung cấp\u003e 0, có cùng các thuộc tính.

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, vui lòng chọn nó và nhấn Ctrl + Enter

Bài học về chủ đề: "Quy tắc nhân và phân chia bằng cấp với các chỉ số giống nhau và khác nhau. Ví dụ"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại ý kiến, đánh giá, mong muốn của bạn. Tất cả các tài liệu được kiểm tra bởi chương trình Antivirus.

Hướng dẫn đào tạo và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến "tích hợp" cho lớp 7
Hướng dẫn sử dụng sách giáo khoa Yu.n. Makarychev có lợi cho sách giáo khoa a.g. Mordkovich.

Mục đích của bài học: học cách thực hiện các hành động với mức độ của số.

Để bắt đầu, hãy nhớ khái niệm về "mức độ của số". Biểu thức của loại $ \\ Underbrace (A * A * \\ ldots * a) _ (n) $ có thể được biểu diễn là $ a ^ n $.

Nó cũng là nghịch đảo đúng: $ a ^ n \u003d \\ Underbrace (A * A * \\ ldots * a) _ (n) $.

Bình đẳng này được gọi là "một kỷ lục mức độ dưới dạng công việc." Nó sẽ giúp chúng tôi xác định cách nhân và chia sẻ bằng cấp.
Nhớ lại:
a. - nền tảng của bằng cấp.
n. - Chỉ số.
Nếu một n \u003d 1., Vì vậy, số lượng nhưng Họ đã mất một lần và, theo đó: $ a ^ n \u003d 1 $.
Nếu một n \u003d 0., sau đó $ a ^ 0 \u003d 1 $.

Tại sao điều này xảy ra, chúng ta sẽ có thể tìm hiểu khi chúng ta sẽ làm quen với các quy tắc nhân và phân chia bằng cấp.

Quy tắc nhân

Thí dụ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Khách sạn này thuận tiện để sử dụng những gì để đơn giản hóa công việc khi dựng một số ở mức độ lớn hơn.
Thí dụ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Nếu độ được nhân với các cơ sở khác nhau, nhưng cùng một chỉ báo.
Đến $ a ^ n * b ^ n $, hãy viết mức độ dưới dạng công việc: $ \\ Underbrace (A * A * \\ ldots * a) _ (n) * \\ underbrace (b * b * \\ ldots * b) _ (m) $.
Nếu bạn thay đổi vị trí số nhân và tính toán các cặp kết quả, chúng tôi nhận được: $ \\ Underbrace ((A * B) * (A * B) * \\ ldots * (A * B)) _ (n) $.

Vì vậy, $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.

Thí dụ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Quy tắc phân chia

Vì vậy nó là cần thiết $ \\ Frac (A ^ n) (A ^ m) $Ở đâu n\u003e M..

Chúng tôi viết một mức độ dưới dạng một phần:

$ \\ Frac (\\ underbrace (A * a * \\ ldots * a) _ (n)) (\\ underbrace (A * a * \\ ldots * a) _ (m)) $.

Bây giờ sẽ làm giảm phần nhỏ.

Hóa ra: $ \\ Underbrace (A * a * \\ ldots * a) _ (n-m) \u003d a ^ (n-m) $.
Nó có nghĩa là $ \\ Frac (A ^ n) (a ^ m) \u003d a ^ (n-m) $.

Khách sạn này sẽ giúp giải thích tình huống với sự cương cứng của số lượng đến bằng không. Giả sử rằng n \u003d M., sau đó $ a ^ 0 \u003d a ^ (n - n) \u003d \\ frac (A ^ n) (a ^ n) \u003d 1 $.

Ví dụ.
$ \\ Frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.

$ \\ Frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.

b) nền móng của độ là khác nhau, các chỉ số là như nhau.
Giả sử nó là cần thiết $ \\ frac (A ^ n) (b ^ n) $. Chúng tôi viết mức độ của các số dưới dạng một phần:

$ \\ Frac (\\ Underbrace (A * a * \\ ldots * a) _ (n)) (\\ Underbrace (b * b * \\ ldots * b) _ (n)) $.

Thí dụ.
$ \\ Frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (\\ frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d $ 8.