Main. > Vật liệu cách nhiệt > Logarit của số hữu hạn của các yếu tố tích cực là bằng nhau. Các thuộc tính chính của logarit


Logarit của số hữu hạn của các yếu tố tích cực là bằng nhau. Các thuộc tính chính của logarit




Như bạn đã biết, khi nhân biểu thức nhân với độ, các chỉ số của chúng luôn được gấp lại (a b * a c \u003d a b + c). Luật toán học này được tạo ra bởi Archimema, và sau đó, trong thế kỷ VIII, toán học Virasen đã tạo ra một bảng các chỉ số số nguyên. Họ phục vụ cho việc mở logarit hơn nữa. Ví dụ về việc sử dụng tính năng này có thể được tìm thấy gần như ở mọi nơi, nơi cần thiết để đơn giản hóa phép nhân cồng kềnh trên sự bổ sung đơn giản. Nếu bạn dành 10 phút để đọc bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích cho bạn logarit là gì và cách làm việc với họ. Ngôn ngữ đơn giản và giá cả phải chăng.

Định nghĩa trong toán học

Logarit là biểu thức của loại sau: log ab \u003d c, nghĩa là logarit của bất kỳ số nào không âm nào (nghĩa là bất kỳ dương nào) "b" trên cơ sở của nó "A" được coi là mức độ "C" , trong đó cần phải xây dựng cơ sở của "A" đến cuối cùng nhận được giá trị "B". Ví dụ, chúng ta sẽ phân tích logarit trên các ví dụ, có một bản thức nhật ký 2 8. Làm thế nào để tìm câu trả lời? Nó rất đơn giản, bạn cần tìm một mức độ như vậy để có được 8 trong số 2. Đã thực hiện một số tính toán trong tâm trí, chúng tôi nhận được số 3! Và đúng, vì 2 đến độ 3 cho số 8 đáp ứng.

Giống logarit

Đối với nhiều sinh viên và học sinh, chủ đề này có vẻ khó khăn và không thể hiểu được, nhưng trên thực tế, logarit không khủng khiếp như vậy, điều chính là để hiểu ý nghĩa của chúng và ghi nhớ tài sản của họ và một số quy tắc. Có ba loại biểu thức logarit riêng biệt:

  1. Logarit tự nhiên LN A, nơi cơ sở là số lượng Euler (E \u003d 2.7).
  2. Thập phân a, nơi cơ sở là số 10.
  3. Logarit của bất kỳ số B dựa trên A\u003e 1.

Mỗi trong số chúng được giải quyết theo một cách tiêu chuẩn, bao gồm việc đơn giản hóa, giảm và căn chỉnh tiếp theo với một logarit với sự trợ giúp của các định lý logarit. Để có được các giá trị trung thành của logarit, bạn nên nhớ các thuộc tính của chúng và thứ tự hành động khi giải quyết chúng.

Quy tắc và một số hạn chế

Trong toán học, có một số quy tắc giới hạn được chấp nhận là AXIOMS, nghĩa là, không phải là cuộc thảo luận và là sự thật. Ví dụ: không thể chia số thành 0 và cũng không thể trích xuất một gốc độ thậm chí từ các số âm. Logarit cũng có quy tắc riêng, sau đây bạn có thể dễ dàng tìm hiểu cách làm việc ngay cả với các biểu thức logarit dài và yếu:

  • cơ sở "A" phải luôn bằng 0, đồng thời không bằng 1, nếu không biểu thức sẽ mất nghĩa, vì "1" và "0" đến mức độ luôn bằng các giá trị của nó;
  • nếu A\u003e 0, thì và B\u003e 0, hóa ra cả "C" sẽ không hơn 0.

Làm thế nào để giải quyết logarit?

Ví dụ, nhiệm vụ là tìm một phương trình trả lời 10 x \u003d 100. Nó rất dễ dàng, bạn cần phải lấy một mức độ như vậy, dựng lên số mười, chúng tôi nhận được 100. Tất nhiên, tất nhiên, 10 2 \u003d 100 .

Và bây giờ hãy tưởng tượng biểu thức này dưới dạng logarit. Chúng tôi có được nhật ký 10 100 \u003d 2. Khi giải xạ logarit, tất cả các hành động thực tế đang hội tụ để tìm mức độ mà cơ sở của logarit phải được nhập để có được một số nhất định.

Đối với một định nghĩa không có lỗi của một mức độ chưa biết, cần phải học cách làm việc với bảng độ. Có vẻ như thế này:

Như bạn có thể thấy, một số chỉ số về bằng cấp có thể đoán trực giác, nếu có một kho kỹ thuật của tâm trí và kiến \u200b\u200bthức về bảng nhân. Tuy nhiên, đối với các giá trị lớn sẽ yêu cầu một bảng độ. Ngay cả những người không có ý nghĩa gì trong các chủ đề toán học phức tạp có thể sử dụng nó. Cột bên trái hiển thị các số (cơ sở A), số lượng số hàng đầu là giá trị của độ C, vào đó số A được dựng lên. Tại ngã tư trong các ô xác định các giá trị của các số là câu trả lời (a c \u003d b). Ví dụ, thực hiện, ô đầu tiên có số 10 và dựng lên vào ô vuông, chúng tôi có được giá trị 100, được chỉ định ở giao điểm của hai ô của chúng tôi. Mọi thứ thật đơn giản và dễ dàng đến nỗi ngay cả những người nhân đạo thực sự nhất cũng sẽ hiểu!

Phương trình và bất bình đẳng

Nó chỉ ra rằng trong một số điều kiện nhất định, chỉ báo là một logarit. Do đó, bất kỳ biểu thức số toán học có thể được viết dưới dạng bình đẳng logarit. Ví dụ: 3 4 \u003d 81 có thể được viết dưới dạng logarit của số 81 theo cơ sở 3, bằng bốn (log 3 81 \u003d 4). Đối với độ âm, quy tắc là như nhau: 2 -5 \u003d 1/32 Chúng tôi viết ở dạng logarit, chúng tôi nhận được nhật ký 2 (1/32) \u003d -5. Một trong những phần hấp dẫn nhất của toán học là chủ đề "logarit". Các ví dụ và giải pháp của các phương trình chúng ta sẽ nhìn xuống thấp hơn một chút, ngay sau khi nghiên cứu tài sản của họ. Và bây giờ hãy tự hỏi làm thế nào bất bình đẳng trông như thế nào và làm thế nào để phân biệt chúng với các phương trình.

Loại sau được đưa ra: log 2 (x - 1)\u003e 3 - đó là bất đẳng thức logarit, vì giá trị không xác định "x" nằm dưới dấu hiệu của logarit. Và cả trong biểu thức so sánh hai giá trị: Logarit của số mong muốn trên cơ sở là hai số nhiều hơn số ba.

Sự khác biệt quan trọng nhất giữa các phương trình logarit và bất đẳng thức là các phương trình logarit (ví dụ - logarith 2 x \u003d √9) ngụ ý đáp ứng một hoặc nhiều giá trị số cụ thể, trong khi khi giải quyết bất đẳng thức được xác định cả dưới dạng giá trị cho phép Và điểm. Phá vỡ chức năng này. Do đó, phản hồi không thu được một số lượng đơn giản các số riêng lẻ như trong phản hồi của phương trình, mà là một hàng liên tục hoặc một bộ số.

Các định lý chính về logarith

Khi giải các nhiệm vụ nguyên thủy để tìm các giá trị của logarit, các thuộc tính của nó không thể biết được. Tuy nhiên, khi nói đến các phương trình logarit hoặc bất đẳng thức, trước hết, cần phải hiểu rõ và áp dụng tất cả các thuộc tính cơ bản của logarit trong thực tế. Với các ví dụ về phương trình, chúng ta sẽ biết sau, hãy xem xét từng tài sản trước chi tiết hơn.

  1. Danh tính chính trông như thế này: và logab \u003d b. Nó chỉ áp dụng trong điều kiện khi lớn hơn 0 không bằng một và B lớn hơn 0.
  2. Logarit của các tác phẩm có thể được biểu diễn trong công thức sau: log d (s 1 * s 2) \u003d log d s 1 + log d S 2. Trong trường hợp này, điều kiện tiên quyết là: D, S 1 và S 2\u003e 0; Một ≠ 1. Có thể mang lại bằng chứng cho công thức logarit này, với các ví dụ và giải pháp. Hãy đăng nhập dưới dạng 1 \u003d F 1 và đăng nhập dưới dạng 2 \u003d F 2, sau đó F1 \u003d S 1, F2 \u003d S 2. Chúng tôi có được S 1 * S 2 \u003d A F1 * A F2 \u003d A F1 + F2 (Thuộc tính bằng độ), và sau đó theo định nghĩa: log a (s 1 * s 2) \u003d f 1 + f 2 \u003d log a s1 + log là 2, được yêu cầu để chứng minh.
  3. Logarit của tư nhân trông như thế này: đăng nhập (s 1 / s 2) \u003d log a s 1 - log a s 2.
  4. Định lý trong biểu mẫu Công thức trở thành biểu mẫu sau: Đăng nhập Q B N \u003d N / Q log a b.

Công thức này được gọi là thuộc tính "logarit". Nó giống với các tính chất của độ thông thường, và không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì tất cả toán học theo dõi các dự phòng tự nhiên. Hãy nhìn vào bằng chứng.

Hãy để đăng nhập một b \u003d t được lấy bởi một t \u003d b. Nếu chúng ta xây dựng cả hai phần vào mức độ M: A TN \u003d B N;

nhưng vì một tn \u003d (a q) nt / q \u003d b n, do đó, hãy đăng nhập một Q B n \u003d (n * t) / t, sau đó đăng nhập q b n \u003d n / n / q log a b. Định lý được chứng minh.

Ví dụ về các nhiệm vụ và bất bình đẳng

Các loại nhiệm vụ phổ biến nhất về chủ đề logarit là các ví dụ về phương trình và bất đẳng thức. Chúng được tìm thấy trong hầu hết tất cả các nhiệm vụ, và cũng được đưa vào phần bắt buộc của các bài kiểm tra toán học. Để nhập học vào trường đại học hoặc đưa các bài kiểm tra vào toán học, bạn cần biết cách giải quyết chính xác các nhiệm vụ như vậy.

Thật không may, một gói hoặc sơ đồ duy nhất để giải quyết và xác định giá trị không xác định của logarit không tồn tại, nhưng các quy tắc nhất định có thể được áp dụng cho từng bất đẳng thức toán học hoặc phương trình logarit. Trước hết, cần tìm ra nếu có thể đơn giản hóa biểu thức hoặc dẫn đến tâm trí chung. Đơn giản hóa các biểu thức logarit dài có thể được sử dụng chính xác để sử dụng các thuộc tính của chúng. Hãy làm quen với họ.

Khi giải các phương trình logarit tương tự, cần xác định là khung nhìn của logarit: Một ví dụ về biểu thức có thể chứa logarit hoặc số thập phân tự nhiên.

Dưới đây là các ví dụ về LN100, LN1026. Quyết định của họ được giảm xuống thực tế là cần thiết phải xác định mức độ trong đó cơ sở 10 sẽ là 100 và 1026, tương ứng. Đối với các giải pháp, logarit tự nhiên cần phải được áp dụng danh tính logarit hoặc tài sản của họ. Chúng ta hãy xem xét giải pháp của các vấn đề logarit của các loại khác nhau.

Cách sử dụng công thức logarit: Với các ví dụ và giải pháp

Vì vậy, hãy xem xét các ví dụ về việc sử dụng các định lý logarit chính.

  1. Thuộc tính Logarit của công việc có thể được áp dụng trong các nhiệm vụ trong đó cần phải phân hủy giá trị lớn của số B thành các yếu tố đơn giản hơn. Ví dụ: log 2 4 + log 2 128 \u003d log 2 (4 * 128) \u003d log 2 512. Câu trả lời là 9.
  2. Đăng nhập 4 8 \u003d log 2 2 2 3 \u003d 3/2 log 2 2 \u003d 1.5 - Như đã áp dụng mức độ bất động sản thứ tư của logarit, có thể giải quyết một biểu thức phức tạp và không được phục hồi ngay từ cái nhìn đầu tiên. Chỉ cần phân hủy cơ sở cho số nhân và sau đó tạo giá trị của mức độ từ dấu logarit.

Nhiệm vụ từ ege

Logarit thường được tìm thấy trên các kỳ thi tuyển sinh, đặc biệt là rất nhiều nhiệm vụ logarit trong EEG (kỳ thi tiểu bang cho tất cả sinh viên tốt nghiệp trường học). Thông thường, các nhiệm vụ này có mặt không chỉ trong Phần A (phần thử nghiệm dễ nhất trong kỳ thi), mà còn về mặt (các tác vụ phức tạp và thể tích nhất). Kỳ thi ngụ ý kiến \u200b\u200bthức chính xác và hoàn hảo về chủ đề "logarit".

Các ví dụ và giải pháp cho các nhiệm vụ được lấy từ các tùy chọn chính thức của EGE. Hãy xem cách các nhiệm vụ như vậy được giải quyết.

Đưa ra nhật ký 2 (2x-1) \u003d 4. Giải pháp:
tôi viết lại biểu thức, một số nhật ký đơn giản 2 (2x-1) \u003d 2 2, theo định nghĩa của logarit, chúng tôi có được 2x-1 \u003d 2 4, do đó 2x \u003d 17; x \u003d 8,5.

  • Tất cả logarit dẫn tốt nhất đến một cơ sở để giải pháp không cồng kềnh và khó hiểu.
  • Tất cả các biểu thức dưới dấu hiệu của logarit được chỉ ra là tích cực, do đó, do đó, khi tôi gửi hệ số nhân của một chỉ báo về biểu thức đứng dưới dấu hiệu của logarit và là nền tảng của nó, biểu thức vẫn nằm dưới logarit phải dương.

Nói từ định nghĩa của nó. Và các số logarit b. Dựa trên nhưngxác định là một chỉ số của mức độ mà số lượng nên được phát hành a.để có được một số b. (Logarit chỉ tồn tại trong số dương).

Từ công thức này theo sau tính toán đó x \u003d đăng nhập một btương đương để giải phương trình a x \u003d b. Ví dụ, Đăng nhập 2 8 \u003d 3bởi vì 8 = 2 3 . Từ ngữ của logarit cho phép bạn biện minh cho rằng nếu b \u003d a vớisau đó số logarit b. Dựa trên a. Raven. từ. Cũng rõ ràng rằng chủ đề logarit được kết nối chặt chẽ với chủ đề của số.

Với logarit, như với bất kỳ số nào, có thể được thực hiện hoạt động bổ sung, phép trừ và biến đổi theo mọi cách. Nhưng do thực tế là logarit không hoàn toàn số bình thường, đây là những quy tắc đặc biệt của họ được gọi là các tính chất cơ bản.

Bổ sung và trừ logarit.

Lấy hai logarit với cùng một căn cứ: Đăng nhập X. và Đăng nhập một y.. Sau đó, có thể làm cho nó có thể thực hiện các hoạt động bổ sung và phép trừ:

Đăng nhập x + log a y \u003d log a (x · y);

Đăng nhập X - log a y \u003d log a (x: y).

Đăng nhập A.(x. 1 . x. 2 . x. 3 ... x K.) = Đăng nhập X. 1 + Đăng nhập X. 2 + Đăng nhập X. 3 + ... + Đăng nhập một x k.

Của Các định lý logarit là riêng tưbạn có thể nhận được một tài sản khác của logarit. Nó nổi tiếng rằng nhật ký A.1 \u003d 0, do đó,

Đăng nhập. A. 1 / B.\u003d Đăng nhập. A.1 - Đăng nhập. Một B.\u003d - Đăng nhập. Một B..

Và do đó, sự bình đẳng diễn ra:

Đăng nhập 1 / b \u003d - Đăng nhập b.

Logarit của hai số đảo ngược lẫn nhauhầu như căn cứ sẽ khác với nhau quen thuộc với nhau. Vì thế:

Đăng nhập 3 9 \u003d - Đăng nhập 3 1/9; Đăng nhập 5 1/125 \u003d -log 5 125.

Liên quan đến

một nhiệm vụ tìm bất kỳ số nào trong ba số trên hai số khác, được xác định trước có thể được gửi. Nếu chúng được đưa ra và sau đó n tìm hành động của bài tập. Nếu n được đưa ra và sau đó tìm sự chiết xuất bằng cấp gốc (hoặc xây dựng mức độ). Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi được yêu cầu a và n nhất định để tìm X.

Gọi n tích cực: số A là tích cực và không bằng một:.

Định nghĩa. Số logarit N trên cơ sở được gọi là chỉ báo của mức độ cần thiết để xây dựng a để có được số N; Logarit được chỉ định

Do đó, trong sự bình đẳng (26.1), chỉ báo được tìm thấy dưới dạng logarit n trên cơ sở của a. Mục

có cùng ý nghĩa. Bình đẳng (26.1) đôi khi được gọi là danh tính chính của lý thuyết logarit; Trong thực tế, nó thể hiện định nghĩa của khái niệm logarit. Đối với định nghĩa này, cơ sở của logarit luôn tích cực và xuất sắc từ đơn vị; Số logarit n tích cực. Số âm và zero logarit không có. Nó có thể được chứng minh rằng mỗi số dưới cơ sở này có một logarit xác định hoàn toàn. Do đó, sự bình đẳng đòi hỏi. Lưu ý rằng ở đây một điều kiện đáng kể, nếu không, kết luận sẽ không được biện minh, vì sự bình đẳng là đúng với bất kỳ giá trị nào của x và y.

Ví dụ 1. Tìm

Phán quyết. Để có được một số, cơ sở 2 có thể được đưa vào một mức độ.

Bạn có thể viết hồ sơ khi giải các ví dụ như vậy trong biểu mẫu sau:

Ví dụ 2. Tìm.

Phán quyết. Có

Trong ví dụ 1 và 2, chúng tôi dễ dàng tìm thấy logarit mong muốn, đại diện cho một số logarit là mức độ nền tảng với một chỉ số hợp lý. Nói chung, ví dụ, v.v., điều này sẽ không thể xảy ra, vì logarit có tầm quan trọng phi lý. Hãy chú ý đến một câu hỏi liên quan đến tuyên bố này. Trong đoạn 12, chúng tôi đã đưa ra khái niệm về khả năng xác định bất kỳ mức độ thực tế nào của một số dương nhất định. Nó là cần thiết cho việc giới thiệu logarit, nói chung, nói chung, có thể là những con số phi lý.

Xem xét một số thuộc tính của logarit.

Tài sản 1. Nếu số lượng và cơ sở bằng nhau, thì logarit bằng với một, và, trở lại, nếu logarit bằng với một, số lượng và cơ sở bằng nhau.

Chứng cớ. Đặt theo định nghĩa của logarit có và từ đâu

Trở lại, ngay cả khi theo định nghĩa

Tài sản 2. Đơn vị logarit cho bất kỳ cơ sở nào bằng không.

Chứng cớ. Theo định nghĩa của logarit (mức độ 0 của bất kỳ nền tảng tích cực nào bằng một, xem (10.1)). Từ đây

q.E.D.

Đó là đúng và tuyên bố nghịch đảo: nếu, sau đó n \u003d 1. Thật vậy, chúng tôi có.

Trước khi xây dựng thuộc tính sau của logarit, chúng tôi đồng ý nói rằng hai số A và B nằm ở một bên của số thứ ba C nếu cả hai c hoặc ít hơn với. Nếu một trong những số này lớn hơn C và một số khác nhỏ hơn C, thì chúng ta sẽ nói rằng chúng nằm ở các phía khác nhau từ.

Tài sản 3. Nếu số lượng và cơ sở nằm ở một bên của đơn vị, thì logarit là tích cực; Nếu số lượng và cơ sở nằm ở các cạnh khác nhau của thiết bị, thì logarit là âm.

Proof Properties 3 Nó dựa trên thực tế là mức độ và nhiều đơn vị hơn, nếu đế lớn hơn thiết bị và chỉ báo dương tính hoặc đế nhỏ hơn thiết bị và chỉ báo là âm. Mức độ ít hơn so với thiết bị nếu đế lớn hơn thiết bị và chỉ báo là âm hoặc đế nhỏ hơn thiết bị và chỉ báo dương.

Cần phải xem xét bốn trường hợp:

Chúng tôi hạn chế bản thân để phân tích đầu tiên trong số họ, người đọc khác sẽ xem xét độc lập.

Sau đó, hãy bình đẳng, chỉ báo của độ không thể không tiêu cực cũng không bằng 0, do đó, đó là tích cực, đó là cần thiết để chứng minh.

Ví dụ 3. Tìm hiểu logarit nào sau đây là tích cực, âm tính:

Giải pháp, a) Vì số 15 và cơ sở 12 được đặt một cách từ một);

b), kể từ 1000 và 2 nằm một cách từ một; Trong trường hợp này, nó không đáng kể là cơ sở lớn hơn logarit;

c), kể từ 3.1 và 0,8 nằm ở các cạnh khác nhau của đơn vị;

d); tại sao?

e); tại sao?

Các thuộc tính sau 4-6 thường được gọi là quy tắc logarit: chúng cho phép, biết logarit của một số số, tìm logarit của các tác phẩm của họ, riêng tư, mức độ của mỗi người trong số họ.

Tài sản 4 (Quy tắc logitimization của công việc). Logarit của một số số dương trên cơ sở này bằng tổng của logarit của các số này trên cùng cơ sở.

Chứng cớ. Để số dương được đưa ra.

Đối với logarit của công việc của họ, chúng tôi sẽ viết bình đẳng xác định logarit (26.1):

Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy

Bằng cách so sánh mức độ của các biểu thức đầu tiên và cuối cùng, chúng tôi có được sự bình đẳng cần thiết:

Lưu ý rằng điều kiện là điều cần thiết; Logarit của các tác phẩm của hai số âm có ý nghĩa, nhưng trong trường hợp này chúng ta nhận được

Nói chung, nếu công việc của một số yếu tố là tích cực, thì logarit của nó bằng tổng logarit của các mô-đun của các yếu tố này.

Tài sản 5 (Quy tắc logarit riêng). Logarit của các số dương riêng tư bằng với sự khác biệt trong logarit của phân chia và chia, được chụp trên cùng cơ sở. Chứng cớ. Chúng tôi luôn tìm thấy

q.E.D.

Tài sản 6 (Quy tắc logarit độ). Logarit của mức độ bất kỳ số dương nào bằng với logarit của số này nhân với chỉ số của mức độ.

Chứng cớ. Chúng tôi viết ra bản sắc chính (26.1) cho số:

q.E.D.

Horollary. Logarit của gốc của một số dương bằng với logarit của số nguồn cấp dữ liệu, được chia sẻ trên tốc độ gốc:

Có thể chứng minh tính hợp lệ của cuộc điều tra này bằng cách gửi như sử dụng tài sản 6.

Ví dụ 4. Splogrift dựa trên cơ sở A:

a) (Người ta cho rằng tất cả các giá trị của B, C, D, E đều dương);

b) (nó được mô tả rằng).

Giải pháp, a) thuận tiện để di chuyển trong biểu thức này đến độ phân đoạn:

Dựa trên sự bình đẳng (26,5) - (26,7) Bây giờ bạn có thể viết:

Chúng tôi nhận thấy rằng logarit của các số được tạo ra đơn giản hơn so với bản thân các số: Khi nhân số logarit của chúng đang phát triển, trong quá trình phân chia - trừ, v.v.

Đó là lý do tại sao logarit nhận được sử dụng trong thực hành tính toán (xem đoạn 29).

Hiệu ứng, logarit nghịch đảo, được gọi là Hiệu lực, cụ thể là: Tiềm năng được gọi là hành động mà số này nằm trên logarit này. Về cơ bản, sự mạnh mẽ không phải là bất kỳ hiệu ứng đặc biệt nào: nó đi xuống việc xây dựng cơ sở thành một mức độ (bằng logarit của số). Thuật ngữ "CHỨC LẬP" có thể được coi là đồng nghĩa với thuật ngữ "cương cứng đến mức độ".

Trong thời gian này, cần phải sử dụng các quy tắc liên quan đến các quy tắc của logarit: lượng logarit được thay thế bằng logarit của công việc, sự khác biệt của logarit - logarit của riêng tư, v.v. đặc biệt, nếu có là bất kỳ hệ số nhân nào ở phía trước của logarit, sau đó cần phải chuyển nó đến một mức độ đầy áp lực dưới dấu logarit.

Ví dụ 5. Tìm n, nếu bạn biết rằng

Phán quyết. Do quy tắc mô tô chỉ bày tỏ, số nhân 2/3 và 1/3 đối mặt với các dấu hiệu logarit trong phần bên phải của sự bình đẳng này, chúng tôi chuyển sang các chỉ số của mức độ dưới dấu hiệu của các logarit này; Nhận được

Bây giờ sự khác biệt giữa logarit bằng cách thay thế logarit của tư nhân:

Để có được phần cuối cùng trong chuỗi các đẳng thức này, chúng tôi thường xuyên giải phóng khỏi sự bất hợp lý trong mẫu số (đoạn 25).

Tài sản 7. Nếu cơ sở lớn hơn một, số lớn hơn có logarit lớn hơn (và phần nhỏ hơn), nếu cơ sở nhỏ hơn một, số lớn hơn có logarit nhỏ hơn (và nhỏ hơn là lớn hơn).

Khách sạn này cũng được xây dựng như một quy tắc logarit của sự bất bình đẳng, cả hai phần đều tích cực:

Khi đăng nhập chuyển tiếp bất bình đẳng dựa trên căn cứ, nhiều đơn vị hơn, dấu hiệu bất bình đẳng được duy trì và khi logarit trên cơ sở, một đơn vị nhỏ hơn, dấu hiệu bất đẳng thức thay đổi đối với đối diện (xem thêm đoạn 80).

Bằng chứng dựa trên các thuộc tính 5 và 3. Hãy xem xét trường hợp khi nào, sau đó, logarit, chúng tôi nhận được

(A và N / M nằm ở một bên của đơn vị). Từ đây

Trường hợp và bạn nên, người đọc sẽ hiểu độc lập.

Logarit là gì?

Chú ý!
Chủ đề này có thêm
Vật liệu trong phần đặc biệt 555.
Dành cho những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất ...")

Logarit là gì? Làm thế nào để giải quyết logarit? Những vấn đề này của nhiều sinh viên tốt nghiệp được giới thiệu thành một dám. Theo truyền thống, chủ đề của logarit được coi là phức tạp, khó hiểu và khủng khiếp. Đặc biệt là - phương trình với logarit.

Nó là hoàn toàn sai. Chắc chắn rồi! Đừng tin? Được chứ. Bây giờ trong khoảng 10 - 20 phút bạn:

1. Bắt logarit là gì.

2. Học cách giải quyết cả một lớp các phương trình chỉ định. Ngay cả khi không có gì nghe về họ.

3. Học cách tính logarit đơn giản.

Và đối với điều này, bạn sẽ chỉ cần biết bảng phép nhân, nhưng số lượng được dựng lên mức độ ...

Tôi cảm thấy nghi ngờ ... tốt, được rồi, đặt thời gian! Đi!

Để bắt đầu, giải quyết trong tâm trí đây là một phương trình như vậy:

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị khác cho bạn.)

Nó có thể được truy cập trong việc giải quyết các ví dụ và tìm ra cấp độ của bạn. Kiểm tra với séc ngay lập tức. Học - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các tính năng và các dẫn xuất.

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được gấp lại, khấu trừ và chuyển đổi. Nhưng vì logarit không phải là số khá thông thường, có các quy tắc riêng được gọi là các tính chất cơ bản.

Những quy tắc này nhất thiết phải biết - không có nhiệm vụ logarit nghiêm trọng nào được giải quyết mà không có họ. Ngoài ra, chúng khá nhiều - mọi thứ đều có thể được học trong một ngày. Vì vậy, tiến hành.

Bổ sung và trừ logarit

Xem xét hai logarit với cùng một căn cứ: Nhật ký a. x. và đăng nhập. a. y.. Sau đó, chúng có thể được gấp lại và khấu trừ, và:

  1. Đăng nhập. a. x. + Đăng nhập. a. y. \u003d Đăng nhập. a. (x. · y.);
  2. Đăng nhập. a. x. - Đăng nhập. a. y. \u003d Đăng nhập. a. (x. : y.).

Vì vậy, lượng logarit bằng với logarit của công việc và sự khác biệt là logarit của riêng tư. Xin lưu ý: Điểm chính ở đây là cùng một căn cứ.. Nếu nền tảng là khác nhau, các quy tắc này không hoạt động!

Các công thức này sẽ giúp tính toán biểu thức logarit ngay cả khi các bộ phận riêng lẻ không được xem xét (xem bài học "Logarit" là gì). Hãy xem các ví dụ - và đảm bảo:

Đăng nhập 6 4 + log 6 9.

Vì các căn cứ trong logarit là như nhau, chúng tôi sử dụng tổng của tổng:
Đăng nhập 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 2 48 - log 2 3.

Các nền tảng là như nhau, sử dụng công thức khác biệt:
Đăng nhập 2 48 - Log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 3 135 - log 3 5.

Một lần nữa nền tảng là như nhau, vì vậy chúng tôi có:
Đăng nhập 3 135 - Log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ logarit "xấu", không được xem xét riêng biệt. Nhưng sau khi chuyển đổi, số khá bình thường thu được. Trong thực tế này, nhiều công việc thử nghiệm được xây dựng. Nhưng điều khiển - những biểu thức như vậy là gì (đôi khi - gần như không thay đổi) được cung cấp trong kỳ thi.

Bằng cấp điều hành từ logarit

Bây giờ một chút phức tạp làm phức tạp nhiệm vụ. Điều gì xảy ra nếu ở cơ sở hoặc lập luận của logarit có mức độ? Sau đó, chỉ báo của mức độ này có thể được đưa ra khỏi Dấu hiệu logarit theo các quy tắc sau:

Thật dễ dàng để thấy rằng quy tắc cuối cùng theo hai người đầu tiên của họ. Nhưng tốt hơn là nhớ nó, trong một số trường hợp, nó sẽ làm giảm đáng kể số lượng tính toán.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này có ý nghĩa nếu tuân thủ logarit OTZ: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. Và cũng: Học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải, mà ngược lại, tức là. Bạn có thể tạo các số đối mặt với logarit, đến chính logarit. Đó là thường xuyên nhất cần thiết.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: Đăng nhập 7 49 6.

Loại bỏ mức độ trong đối số trong công thức đầu tiên:
Đăng nhập 7 49 6 \u003d 6 · Log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

[Chữ ký để hình]

Lưu ý rằng trong mẫu số có logarit, cơ sở và đối số là độ chính xác: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Chúng ta có:

[Chữ ký để hình]

Tôi nghĩ ví dụ mới nhất yêu cầu giải thích. Logarit đã biến mất ở đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Họ đã trình bày cơ sở và lập luận của một logarit ở đó dưới dạng bằng cấp và thực hiện các chỉ số - nhận được một phần ba tầng.

Bây giờ hãy nhìn vào phần cơ bản. Số trong tử số và mẫu số là cùng một số: log 2 7. Kể từ khi đăng nhập 2 7 ≠ 0, chúng ta có thể giảm phân số - 2/4 sẽ vẫn còn trong mẫu số. Theo các quy tắc của số học, bốn người có thể được chuyển đến tử số, đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.

Chuyển sang một cơ sở mới

Nói về các quy tắc để bổ sung và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng họ chỉ hoạt động với cùng một căn cứ. Và nếu các nền tảng là khác nhau thì sao? Điều gì xảy ra nếu chúng không phải là mức độ chính xác của cùng một số?

Công thức để chuyển đổi sang một cơ sở mới đến giải cứu. Chúng tôi xây dựng chúng dưới dạng định lý:

Hãy để logarit log. a. x.. Sau đó cho bất kỳ số nào c. như vậy mà c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, bình đẳng thực sự:

[Chữ ký để hình]

Đặc biệt, nếu bạn đặt c. = x.Chúng ta sẽ lấy:

[Chữ ký để hình]

Từ công thức thứ hai, nó tuân theo cơ sở và đối số của logarit có thể được thay đổi ở những nơi, nhưng đồng thời biểu thức "bật", I.E. Logarit hóa ra là trong mẫu số.

Các công thức này rất hiếm trong các biểu thức số thông thường. Đánh giá chúng thuận tiện như thế nào, chỉ có thể khi giải phương trình logarit và bất đẳng thức.

Tuy nhiên, có những nhiệm vụ thường không được giải quyết bất cứ nơi nào như là một sự chuyển đổi sang một cơ sở mới. Hãy xem xét một vài:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 5 16 · log 2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả logarit là độ chính xác. Tôi sẽ tóm tắt: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Đăng nhập 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

Và bây giờ "đảo ngược" logarit thứ hai:

[Chữ ký để hình]

Vì công việc không thay đổi từ sự sắp xếp lại của hệ số nhân, chúng ta bình tĩnh thay đổi bốn và hai, và sau đó được sắp xếp với logarit.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 9 100 · lg 3.

Cơ sở và lập luận của logarit đầu tiên - mức độ chính xác. Chúng tôi viết nó và thoát khỏi các chỉ số:

[Chữ ký để hình]

Bây giờ thoát khỏi logarit thập phân, bằng cách chuyển sang cơ sở mới:

[Chữ ký để hình]

Bản sắc logarit cơ bản.

Thông thường, giải pháp là cần thiết để gửi một số như một logarit cho một cơ sở được chỉ định. Trong trường hợp này, các công thức sẽ giúp chúng tôi:

Trong trường hợp đầu tiên n. Nó trở thành một chỉ số trong phạm vi trong đối số. Con số n. Nó có thể là hoàn toàn bất cứ ai, bởi vì nó chỉ là một giá trị logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa paraphrassed. Nó được gọi là: bản sắc logarit chính.

Trong thực tế, những gì sẽ xảy ra nếu số lượng b. xây dựng ở mức độ như vậy mà số lượng b. đến mức này cho số a.? Chính xác: đây là nhiều nhất a.. Đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều "Hang" trên đó.

Giống như các công thức chuyển tiếp đến một cơ sở mới, bản sắc logarit chính đôi khi là giải pháp duy nhất có thể.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

[Chữ ký để hình]

Lưu ý rằng nhật ký 25 64 \u003d log 5 8 - Chỉ cần thực hiện một hình vuông từ cơ sở và đối số của logarit. Với các quy tắc để nhân các mức độ có cùng một cơ sở, chúng tôi nhận được:

[Chữ ký để hình]

Nếu ai đó không biết, đó là một nhiệm vụ thực sự của EGE :)

Đơn vị logarit và logarit zero

Tóm lại, tôi sẽ cung cấp hai danh tính rất khó để đặt tên cho các thuộc tính - thay vào đó, đây là hậu quả của định nghĩa của logarit. Chúng liên tục được tìm thấy trong các nhiệm vụ và, thật đáng ngạc nhiên, tạo sự cố ngay cả đối với các sinh viên "nâng cao".

  1. Đăng nhập. a. a. \u003d 1 là một đơn vị logarit. Ghi lại một lần và mãi mãi: logarit trên bất kỳ cơ sở nào a. Từ chính cơ sở bằng một.
  2. Đăng nhập. a. 1 \u003d 0 là một logarit 0. Căn cứ a. Có lẽ bằng cách nào đó, nhưng nếu đối số là một đơn vị - logarit bằng không! Bởi vì a. 0 \u003d 1 là hậu quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả các tài sản. Hãy chắc chắn để thực hành áp dụng chúng trong thực tế! Tải về giường cũi ở đầu bài học, in nó - và giải quyết các nhiệm vụ.