Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Chức năng lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng. Nhiệm vụ B15 (2014)
Chức năng lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm là giá trị đơn đặt hàng lớn nhất (nhỏ) được áp dụng trên khoảng thời gian xem xét.
Để tìm chức năng lớn nhất hoặc nhỏ nhất của chức năng bạn cần:
- Kiểm tra điểm cố định nào được bao gồm trong phân đoạn đã chỉ định.
- Tính giá trị của hàm ở cuối phân khúc và trong các điểm cố định từ Khoản 3
- Chọn giá trị nhiều nhất hoặc nhỏ nhất từ \u200b\u200bkết quả thu được.
Để tìm điểm tối đa hoặc tối thiểu bạn cần:
- Tìm hàm phái sinh $ f "(x) $
- Tìm điểm cố định, quyết định phương trình $ f (x) \u003d 0 $
- Gửi đạo hàm của các hàm trên số nhân.
- Giữ tọa độ trực tiếp, đặt các điểm cố định trên đó và xác định các dấu hiệu của đạo hàm trong các khoảng thời gian thu được, sử dụng bản ghi của Khoản 3.
- Tìm điểm tối đa hoặc tối thiểu quy tắc: Nếu tại điểm dẫn xuất thay đổi dấu hiệu từ điểm cộng sang âm, thì đó sẽ là điểm tối đa (nếu có điểm trừ trên dấu cộng, thì đó sẽ là điểm tối thiểu). Trong thực tế, thuận tiện để sử dụng hình ảnh của các mũi tên trong các khoảng thời gian: Trên khoảng thời gian, nơi dẫn xuất dương, mũi tên được vẽ lên và ngược lại.
Bảng các dẫn xuất của một số chức năng cơ bản:
| Chức năng | Phát sinh |
| $ C $. | $0$ |
| $ x $. | $1$ |
| $ x ^ n, n∈n $ | $ nx ^ (n-1), n∈n $ |
| $ (1) / (x) $ | $ - (1) / (x ^ 2) $ |
| $ (1) / x (^ n), n∈n $ | $ - (n) / (x ^ (n + 1)), n∈n $ |
| $ ^ N (x), n∈n $ | $ (1) / (n√ ^ n (x ^ (n - 1)), n∈n $ |
| $ sinx $. | $ Cosx $. |
| $ Cosx $. | $ -sinx $. |
| $ Tgx $. | $ (1) / (cos ^ 2x) $ |
| $ CTGX $. | $ - (1) / (SIN ^ 2x) $ |
| $ cos ^ 2x $ | $ -sin2x $. |
| $ sin ^ 2x $ | $ sin2x $. |
| $ E ^ x $ | $ E ^ x $ |
| $ a ^ x $ | $ a ^ XLNA $ |
| $ Lnx $. | $ (1) / (x) $ |
| $ log_ (a) x $ | $ (1) / (XLNA) $ |
Quy tắc khác biệt cơ bản
1. Đạo hàm của số lượng và sự khác biệt bằng với dẫn xuất của từng thuật ngữ
$ (f (x) ± g (x)) '\u003d f' (x) ± g '(x) $
Tìm hàm phái sinh $ f (x) \u003d 3x ^ 5 - cosx + (1) / (x) $
Đạo hàm của số lượng và sự khác biệt tương đương với đạo hàm của từng điều khoản
$ f '(x) \u003d (3x ^ 5)' - (Cosx) '+ ((1) / (x)) "\u003d 15x ^ 4 + Sinx- (1) / (x ^ 2) $
2. Công việc phái sinh.
$ (f (x) ∙ g (x)) '\u003d f' (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x) '$
Tìm một khoản phái sinh $ f (x) \u003d 4x ∙ Cosx $
$ F '(x) \u003d (4x)' ∙ Cosx + 4x ∙ (Cosx) '\u003d 4 Cosx-4x ∙ Sinx $
3. Đề xuất tư nhân
$ ((F (x)) / (g (x))) "\u003d (f ^" (x) ∙ g (x) -f (x) ∙ g (x) ") / (g ^ 2 (x) ) $.
Tìm tọa độ $ f (x) \u003d (5x ^ 5) / (e ^ x) $
$ f "(x) \u003d ((5x ^ 5)" ∙ E ^ X-5X ^ 5 (e ^ x) ") / (((e ^ x) ^ 2) \u003d (25x ^ 4 ∙ e ^ x- 5x ^ 5 ∙ e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $
4. Đạo hàm của chức năng phức bằng bằng sản phẩm của đạo hàm của hàm bên ngoài trên đạo hàm của hàm bên trong
$ F (g (x)) '\u003d f' (g (x)) ∙ g '(x) $
$ f '(x) \u003d cos' (5x) ∙ (5x) '\u003d - sin (5x) ∙ 5 \u003d -5sin (5x) $
Tìm điểm của hàm tối thiểu $ y \u003d 2x-ln\u2061 (x + 11) + $ 4
1. Tìm ... Chức năng: $ x + 11\u003e 0; x\u003e -11 $
2. Tìm chức năng phái sinh $ Y "\u003d 2- (1) / ((x + 11) \u003d (2x + 22-1) / ((x + 11) \u003d (2x + 21) / (x + 11) $ 2.
3. Tìm các điểm cố định, đánh đồng xác đạo về 0
$ (2x + 21) / (x + 11) \u003d 0 $
Phần bằng 0 nếu tử số bằng 0 và mệnh giá không bằng không
$ 2x + 21 \u003d 0; x ≠ -11 $
4. Vẽ tọa độ trực tiếp, đặt điểm cố định trên đó và xác định các dấu hiệu của đạo hàm trong các khoảng thời gian thu được. Để làm điều này, chúng ta sẽ thay thế trong một dẫn xuất bất kỳ số lượng nào của khu vực phù hợp cực đoan, chẳng hạn, không.
$ y "(0) \u003d (2 ∙ 0 + 21) / (0 + 11) \u003d (21) / (11)\u003e 0 $
5. Ở điểm tối thiểu, đạo hàm thay đổi một dấu hiệu từ một điểm trừ trên dấu cộng, do đó, điểm -10,5 đô la là điểm tối thiểu.
TRẢ LỜI: $ -10,5 $
Tìm giá trị lớn nhất của hàm $ Y \u003d 6x ^ 5-90x ^ 3-5 $ TRÊN MEGMENT $ [- 5; 1] $
1. Tìm đạo hàm của hàm $ Y '\u003d 30x ^ 4-270x ^ 2 $
2. Đảm bảo các dẫn xuất về 0 và tìm điểm cố định
$ 30x ^ 4-270x ^ 2 \u003d 0 $
Tôi sẽ thực hiện tổng số triệu tổng cộng $ 30x ^ $ 2 cho dấu ngoặc
$ 30x ^ 2 (x ^ 2-9) \u003d $ 0
$ 30x ^ 2 (x-3) (x + 3) \u003d 0 $
Chúng tôi đánh đồng mọi số nhân về không
$ x ^ 2 \u003d 0; X-3 \u003d 0; x + 3 \u003d 0 $
$ x \u003d 0; x \u003d 3; x \u003d -3 $
3. Chọn các điểm cố định thuộc về một phân đoạn nhất định $ [- 5; 1] $
Chúng tôi thích hợp cho các điểm cố định $ x \u003d 0 $ và $ x \u003d -3 $
4. Tính giá trị của hàm ở đầu phân khúc và trong các điểm cố định từ Khoản 3
Một nhiệm vụ thu nhỏ và khá đơn giản từ danh mục những người phục vụ như một vòng tròn giải cứu cho một sinh viên nổi. Trong thiên nhiên, vương quốc buồn ngủ giữa tháng 7, vì vậy đã đến lúc để có được một máy tính xách tay trên bãi biển. Sáng sớm chơi một chú thỏ đầy nắng của lý thuyết, để tập trung vào thực tế, mặc dù ánh sáng đã nêu, chứa các mảnh thủy tinh trên cát. Về vấn đề này, tôi khuyên bạn nên cân nhắc một vài ví dụ về trang này. Để giải quyết các nhiệm vụ thực tế, bạn cần để có thể tìm các dẫn xuất. và hiểu tài liệu của bài viết Khoảng thời gian đơn điệu và chức năng Extremmas.
Đầu tiên ngắn gọn về điều chính. Trong lớp học O. chức năng liên tục Tôi đã dẫn đến một định nghĩa về tính liên tục tại điểm và liên tục trong khoảng thời gian. Các hành vi mẫu mực của hàm trên phân khúc được xây dựng theo cách tương tự. Chức năng này liên tục trên phân khúc nếu:
1) Nó liên tục trong khoảng thời gian;
2) liên tục tại điểm bên phải và tại điểm trái.
Trong đoạn thứ hai, đó là về cái gọi là liên tục một phíachức năng tại điểm. Có một số cách tiếp cận định nghĩa của nó, nhưng tôi sẽ tuân theo dòng được khởi chạy trước đó:
Chức năng liên tục tại điểm bên phảiNếu nó được xác định tại thời điểm này và giới hạn phía bên phải của nó trùng với giá trị hàm tại thời điểm này: 
. Nó liên tục tại điểm tráiNếu nó được xác định tại thời điểm này và giới hạn bên trái của nó bằng giá trị tại thời điểm này: 
Hãy tưởng tượng rằng các chấm màu xanh lá cây là móng trên đó một loại kẹo cao su ma thuật được cố định:
Tinh thần lấy đường màu đỏ trong tay. Rõ ràng, chúng ta không kéo dài lịch trình lên xuống (dọc theo trục), chức năng sẽ vẫn còn giới hạn - Độ cao từ trên cao, hàng rào là từ bên dưới, và sản phẩm của chúng tôi đang chăn thả trong cây bút. Theo cách này, chức năng liên tục được giới hạn ở nó. Trong quá trình Matanalya, loại thực tế đơn giản này được tuyên bố và chứng minh nghiêm ngặt Định lý Weierstrass đầu tiên. ... Nó gây khó chịu cho nhiều tuyên bố cơ bản được chứng minh trong toán học, nhưng có một ý nghĩa quan trọng trong đó. Giả sử một cư dân nhất định của Terry thời trung cổ đã kéo lịch trình xuống bầu trời vượt quá giới hạn của tầm nhìn mà nó được chèn vào. Trước khi phát minh ra kính thiên văn, những hạn chế của hàm trong không gian hoàn toàn không rõ ràng! Thật vậy, làm thế nào để bạn biết rằng chúng ta đang chờ đợi chân trời? Rốt cuộc, một khi đất được coi là phẳng, vì vậy ngày nay ngay cả sự dịch chuyển tức thời thông thường đòi hỏi phải chứng minh \u003d)
Dựa theo Định lý thứ hai Weierstr., liên tục trên cắtchức năng đạt đến nó mặt trên chính xác và của họ chính xác thấp hơn cạnh .
Số này còn được gọi là giá trị tối đa của hàm trên phân đoạn và biểu thị thông qua, và số - chức năng tối thiểu trên phân khúc với thông báo.
Trong trường hợp của chúng ta: 
Ghi chú
: Hồ sơ được phân phối trong lý thuyết 
.
Nói một cách thô bạo, giá trị cao nhất là điểm cao nhất của biểu đồ, và nhỏ nhất - điểm thấp nhất ở đâu.
Quan trọng!Như đã hành động chú ý trong bài viết về chức năng cực đoan, giá trị lớn nhất của chức năng và Ý nghĩa nhỏ nhất của chức năng – KHÔNG GIỐNG NHAU, gì chức năng tối đa và chức năng tối thiểu. Do đó, trong ví dụ về ví dụ, số này là một hàm tối thiểu, nhưng không phải là giá trị tối thiểu.
Nhân tiện, những gì xảy ra bên ngoài phân khúc? Vâng, ít nhất là một trận lụt, trong bối cảnh nhiệm vụ đang xem xét, điều này hoàn toàn không quan tâm. Nhiệm vụ chỉ giả định là tìm thấy của hai số 
Và đó là tất cả!
Hơn nữa, quyết định hoàn toàn phân tích, do đó, Đừng vẽ!
Thuật toán nằm trên bề mặt và gợi ý từ hình dưới đây:
1) Tìm các giá trị của hàm trong Điểm quan trọng, thuộc về phân khúc này.
Bắt một bun khác: Không cần kiểm tra tình trạng cực đoan, vì, ngay khi nó được hiển thị, sự hiện diện của mức tối thiểu hoặc tối đa chưa được bảo lãnhrằng có giá trị tối thiểu hoặc tối đa. Chức năng demo đạt đến mức tối đa và ý chí của số phận. Cùng một số là giá trị lớn nhất của hàm trên phân khúc. Nhưng, rõ ràng là một sự trùng hợp như vậy diễn ra xa luôn luôn.
Vì vậy, trong bước đầu tiên, nó nhanh hơn và dễ dàng hơn để tính các giá trị của hàm ở các điểm quan trọng thuộc về phân khúc, mà không cần làm phiền đó là cực đoan trong đó hay không.
2) Tính giá trị của hàm ở đầu phân khúc.
3) Trong số các chức năng được tìm thấy trong các mục 1 và 2, chọn số nhỏ nhất và lớn nhất, hãy viết câu trả lời.
Ngồi xuống bờ biển xanh và đánh giày cao gót ở vùng nước nông:
Ví dụ 1.
Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên phân đoạn
Phán quyết:
1) Tính giá trị của hàm tại các điểm quan trọng thuộc phân khúc này:
Chúng tôi tính giá trị của hàm trong điểm quan trọng thứ hai:
2) Tính giá trị của hàm ở đầu phân khúc: 
3) Kết quả "chất béo" đã thu được với các nhà triển lãm và logarit, mà so sánh đáng kể chúng. Vì lý do này, chúng tôi tranh luận với máy tính hoặc người ngoại trừ và tính toán các giá trị gần đúng, không quên rằng: 
Bây giờ mọi thứ đều rõ ràng.
Câu trả lời:
Ví dụ về phân số Rational cho các giải pháp tự:
Ví dụ 6.
Tìm các giá trị hàm tối đa và tối thiểu trên phân đoạn
Chức năng cực đoan là gì và điều kiện cực đoan cần thiết là gì?
Chức năng cực đoan được gọi là chức năng tối đa và tối thiểu.
Điều kiện tiên quyết của hàm tối đa và tối thiểu (cực) như sau: Nếu hàm F (x) có cực đoan tại điểm x \u003d a, sau đó tại điểm này, dẫn xuất là 0 hoặc vô hạn hoặc không tồn tại.
Điều kiện này là cần thiết, nhưng không đủ. Đạo hàm ở điểm X \u003d hoặc có thể liên hệ với 0, trong vô cực hoặc không tồn tại mà không có chức năng có cực đoan tại thời điểm này.
Điều kiện đủ của chức năng cực đoan là gì (tối đa hoặc tối thiểu)?
Điều kiện đầu tiên:
Nếu có đủ độ gần với điểm X \u003d một dẫn xuất f? (X) tích cực ở bên trái của A và âm ở bên phải của A, sau đó tại điểm X \u003d và hàm f (x) có tối đa.
Nếu có đủ độ gần với điểm X \u003d và dẫn xuất f? (X) là âm từ bên trái của A và dương ở bên phải của A, sau đó tại chính điểm X \u003d và hàm f (x) có tối thiểu Với điều kiện là chức năng f (x) liên tục ở đây.
Thay vào đó, bạn có thể sử dụng điều kiện đủ thứ hai cho hàm cực đoan:
Đặt tại điểm x \u003d một dẫn xuất đầu tiên f? (X) đề cập đến số không; Nếu dẫn xuất thứ hai f ?? (a) là âm, thì hàm f (x) có tại điểm x \u003d tối đa, nếu tích cực là tối thiểu.
Chức năng điểm quan trọng là gì và làm thế nào để tìm thấy nó?
Đây là giá trị của đối số hàm, trong đó chức năng có cực đoan (tức là tối đa hoặc tối thiểu). Để tìm nó, bạn cần tìm một dẫn xuất. Chức năng f? (X) và đánh đồng cách bằng không, giải quyết phương trình f? (x) \u003d 0. Rễ của phương trình này, cũng như những điểm mà không có đạo hàm của chức năng này là các điểm quan trọng, I.E. Các giá trị của đối số có thể là cực đoan. Chúng có thể dễ dàng xác định bằng cách nhìn vào Đồ thị phái sinh: Chúng tôi quan tâm đến các giá trị của đối số, trong đó biểu đồ của hàm vượt qua trục abscissa (trục oh) và những thứ đó trong đó các biểu đồ chịu được phá vỡ.
Ví dụ: tìm parabolla cực đoan..
Hàm y (x) \u003d 3x2 + 2x - 50.
Chức năng dẫn xuất: y? (X) \u003d 6x + 2
Chúng tôi giải quyết phương trình: y? (X) \u003d 0
6x + 2 \u003d 0, 6x \u003d -2, x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3
Trong trường hợp này, điểm quan trọng là x0 \u003d -1 / 3. Đó là với ý nghĩa của đối số rằng chức năng có cực đoan.. Vậy nên để tìm, Chúng ta thay thế một biểu thức cho một hàm thay vì số "x" được tìm thấy:
y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1/3 - 50 \u003d -50,333.
Làm thế nào để xác định tối đa và tối thiểu của hàm, tức là Ý nghĩa lớn nhất và nhỏ nhất của cô ấy?
Nếu dấu hiệu của đạo hàm trong quá trình chuyển đổi thông qua điểm quan trọng X0 đang thay đổi từ "cộng" thành "trừ", thì x0 là Điểm tối đa.Được; Nếu dấu hiệu của các thay đổi phái sinh với một điểm trừ trên dấu cộng, thì x0 là điểm tối thiểuĐược; Nếu dấu hiệu không thay đổi, thì tại điểm x0, không tối đa, không tối thiểu.
Đối với ví dụ được coi là:
Chúng tôi có một giá trị tùy ý của đối số ở bên trái của điểm quan trọng: x \u003d -1
Ở x \u003d -1, giá trị của dẫn xuất sẽ là? (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (nghĩa là dấu hiệu là "trừ").
Bây giờ có một giá trị tùy ý của đối số ở bên phải của điểm quan trọng: x \u003d 1
Ở x \u003d 1, giá trị của đạo hàm sẽ là (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (I.E. Dấu hiệu là "cộng").
Như chúng ta thấy, phái sinh trong quá trình chuyển đổi thông qua điểm quan trọng đã thay đổi dấu hiệu với một điểm trừ trên dấu cộng. Vì vậy, với giá trị quan trọng X0, chúng tôi có một điểm tối thiểu.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng tại khoảng thời gian (Trên phân khúc) được tìm thấy dọc theo cùng một quy trình, chỉ có tính đến thực tế là, có lẽ, không phải tất cả các điểm quan trọng sẽ nằm trong khoảng thời gian được chỉ định. Những điểm quan trọng đó dành cho phạm vi khoảng thời gian phải được loại trừ khỏi xem xét. Nếu chỉ có một điểm quan trọng là trong khoảng thời gian - nó sẽ tối đa hoặc tối thiểu. Trong trường hợp này, để xác định các giá trị hàm lớn nhất và nhỏ nhất, chúng tôi cũng sẽ tính đến các giá trị của hàm ở đầu của khoảng thời gian.
Ví dụ: tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.
y (x) \u003d 3sin (x) - 0,5 lần
trong khoảng thời gian:
Vì vậy, chức năng dẫn xuất -
y? (x) \u003d 3cos (x) - 0,5
Chúng tôi giải phương trình 3cos (x) - 0,5 \u003d 0
cos (x) \u003d 0,5 / 3 \u003d 0,16667
x \u003d ± Arccos (0.16667) + 2πk.
Chúng tôi tìm thấy các điểm quan trọng ở khoảng [-9; chín]:
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (không bao gồm trong khoảng thời gian)
x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (Không bao gồm trong khoảng thời gian)
Chúng tôi tìm thấy các giá trị của hàm ở các giá trị quan trọng của đối số:
y (-7,687) \u003d 3cos (-7,687) - 0,5 \u003d 0,885
y (-4.88) \u003d 3cos (-4,88) - 0,5 \u003d 5,398
y (-1,403) \u003d 3cos (-1,403) - 0,5 \u003d -2,256
y (1.403) \u003d 3cos (1.403) - 0,5 \u003d 2.256
y (4,88) \u003d 3cos (4,88) - 0,5 \u003d -5,398
y (7.687) \u003d 3cos (7.687) - 0,5 \u003d -0,885
Có thể thấy rằng trên khoảng [-9; 9] Giá trị lớn nhất của hàm có ở x \u003d -4.88:
x \u003d -4.88, y \u003d 5,398,
và nhỏ nhất - ở x \u003d 4,88:
x \u003d 4,88, y \u003d -5,398.
Trên khoảng [-6; -3] Chúng tôi chỉ có một điểm quan trọng: x \u003d -4.88. Giá trị của hàm ở x \u003d -4.88 bằng Y \u003d 5,398.
Chúng tôi tìm thấy giá trị của hàm ở đầu của khoảng:
y (-6) \u003d 3cos (-6) - 0,5 \u003d 3,838
y (-3) \u003d 3cos (-3) - 0,5 \u003d 1,077
Trên khoảng [-6; -3] có giá trị lớn nhất của chức năng
y \u003d 5,398 ở x \u003d -4,88
giá trị nhỏ nhất là
y \u003d 1,077 ở x \u003d -3
Làm cách nào để tìm chức năng đồ họa lạm dụng điểm và xác định các bên của Bulge và lõm?
Để tìm tất cả các điểm nhấp nháy của dòng y \u003d f (x), cần phải tìm đạo hàm thứ hai, để đánh đồng cách 0 (giải phương trình) và trải nghiệm tất cả các giá trị x có lượng dẫn xuất thứ hai bằng không , vô hạn hoặc không tồn tại. Nếu trong quá trình chuyển đổi thông qua một trong các giá trị này, dẫn xuất thứ hai thay đổi dấu hiệu, thì biểu đồ chức năng có tại điểm này. Nếu nó không thay đổi, thì sự thay đổi thì không.
Rễ phương trình f? (x) \u003d 0, cũng như các điểm phá vỡ chức năng và đạo hàm thứ hai phân chia khu vực xác định hàm thành một số khoảng thời gian. Bulge tại mỗi khoảng trong chúng được xác định bởi dấu hiệu của đạo hàm thứ hai. Nếu đạo hàm thứ hai tại điểm trong khoảng thời gian nghiên cứu là tích cực, thì dòng Y \u003d f (x) đang đối mặt ở đây lõm lên trên và nếu âm là cuốn sách.
Làm thế nào để tìm thấy cực đoan của hai biến?
Để tìm hàm Extremmas F (X, Y), phân biệt trong lĩnh vực nhiệm vụ của nó, bạn cần:
1) tìm điểm quan trọng, và đối với điều này - giải quyết hệ số phương trình
fx? (x, y) \u003d 0, fu? (x, y) \u003d 0
2) Đối với mỗi điểm quan trọng P0 (A; B) để khám phá xem dấu hiệu khác biệt vẫn không thay đổi
cho tất cả các điểm (x; y), gần p0. Nếu sự khác biệt giữ được một dấu hiệu tích cực, thì tại điểm P0, chúng tôi có tối thiểu, nếu âm là mức tối đa. Nếu sự khác biệt không lưu dấu hiệu, thì không có cực đoan ở P0.
Tương tự, cực đoan của hàm với số lượng lớn hơn các đối số được xác định.
Hãy để hàm $ z \u003d f (x, y) $ được xác định và liên tục trong một số khu vực kín hạn chế $ D $. Giả sử trong khu vực này, hàm xác định có các dẫn xuất riêng tư của đơn hàng đầu tiên (trừ, có lẽ số điểm cuối cùng). Để tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm của hai biến trong khu vực đóng này, ba bước của thuật toán đơn giản là bắt buộc.
Thuật toán để tìm kiếm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $ z \u003d f (x, y) $ trong khu vực đóng $ D $.
- Tìm các điểm quan trọng của hàm $ z \u003d f (x, y) $ sở hữu của Vùng $ D $. Tính các giá trị của hàm tại các điểm quan trọng.
- Khám phá hành vi của hàm $ z \u003d f (x, y) $ ở biên giới của khu vực $ D, tìm các điểm của các giá trị quan trọng và nhỏ nhất. Tính các giá trị của hàm trong các điểm thu được.
- Từ các giá trị của hàm thu được trong hai mục trước, chọn lớn nhất và nhỏ nhất.
Điểm quan trọng là gì? Hiện an
Dưới Điểm quan trọng Có nghĩa là những điểm như vậy trong đó cả hai dẫn xuất một phần của đơn hàng đầu tiên bằng 0 (i.e. $ \\ frac (\\ partial z) (\\ partial x) \u003d 0 $ và $ \\ frac (\\ partial z) (một phần Y) \u003d 0 $) hoặc ít nhất một đạo hàm tư nhân không tồn tại.
Thường các điểm trong đó các dẫn xuất tư nhân của đơn hàng đầu tiên là 0, hãy tham khảo Điểm cố định. Do đó, điểm đứng yên là một tập hợp con của các điểm quan trọng.
Ví dụ №1.
Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $ z \u003d x ^ 2 + 2XY-Y ^ 2-4x $ Trong khu vực đóng, dòng giới hạn $ x \u003d $ 3, $ y \u003d 0 $ và $ y \u003d x + $ 1.
Chúng tôi sẽ làm theo những điều trên, nhưng trước tiên chúng tôi sẽ hiểu bản vẽ của khu vực được chỉ định, chúng tôi biểu thị chữ $ D $. Chúng tôi được cung cấp các phương trình ba sợi, được giới hạn ở khu vực này. Trực tiếp $ X \u003d $ 3 đi qua điểm $ (3; 0) $ song song với trục của hoa cương (trục oy). Trực tiếp $ y \u003d 0 $ là phương trình của trục abscissa (trục bò). Chà, và để xây dựng một đô la trực tiếp Y \u003d X + 1 $ Chúng tôi sẽ tìm thấy hai điểm thông qua đó và làm điều này thẳng. Tất nhiên, bạn có thể thay thế thay vì $ X $ một vài giá trị tùy ý. Ví dụ: thay thế $ x \u003d $ 10, chúng tôi nhận được: $ y \u003d x + 1 \u003d 10 + 1 \u003d 11 $. Chúng tôi tìm thấy một điểm $ (10; 11) $ nằm trên $ Y \u003d X + $ 1. Tuy nhiên, tốt hơn là tìm các điểm đó trong đó các $ y \u003d x + 1 $ giao nhau với các dòng $ x \u003d $ 3 và $ y \u003d 0 $. Tại sao nó tốt hơn? Bởi vì chúng tôi sẽ ra mắt một vài con thỏ rừng: chúng tôi nhận được hai điểm để xây dựng một đô la trực tiếp Y \u003d x + 1 $ và đồng thời tìm ra điểm nào trực tiếp này vượt qua các dòng khác giới hạn khu vực được chỉ định. Trực tiếp $ y \u003d x + 1 $ chéo trực tiếp $ x \u003d 3 $ tại điểm $ (3; 4) $ và $ y \u003d 0 $ là điểm tại điểm $ (- 1; 0) $. Để không làm lộn xộn quá trình giải quyết với giải thích phụ trợ, câu hỏi thu được hai điểm này sẽ được thực hiện trong một ghi chú.
Làm thế nào các điểm $ (3; 4) $ và $ (- 1; 0) $ đã thu được? Hiện an
Hãy bắt đầu với điểm giao lộ của trực tiếp $ y \u003d x + 1 $ và $ x \u003d $ 3. Các tọa độ của điểm mong muốn thuộc về đầu tiên, và trực tiếp thứ hai, vì vậy để tìm tọa độ không xác định, cần phải giải quyết hệ phương trình:
$$ \\ left \\ (\\ bearch (căn chỉnh) & y \u003d x + 1; \\\\ & x \u003d 3. \\ end (căn chỉnh) \\ phải. $$
Giải pháp của một hệ thống như vậy là tầm thường: Thay thế $ x \u003d 3 $ trong phương trình đầu tiên, chúng ta sẽ có: $ y \u003d 3 + 1 \u003d $ 4. Điểm $ (3; 4) $ là điểm mong muốn của giao điểm trực tiếp $ y \u003d x + 1 $ và $ x \u003d $ 3.
Bây giờ siết chặt điểm giao điểm trực tiếp $ y \u003d x + 1 $ và $ y \u003d 0 $. Một lần nữa, và giải quyết hệ số phương trình:
$$ \\ left \\ (\\ bắt đầu (căn chỉnh) & y \u003d x + 1; \\\\ & y \u003d 0. \\ end (căn chỉnh) \\ phải. $$
Thay thế $ Y \u003d 0 $ Trong phương trình đầu tiên, chúng tôi nhận được: $ 0 \u003d x + 1 $, $ x \u003d -1 $. Điểm $ (- 1; 0) $ và có điểm giao nhau mong muốn của $ trực tiếp $ y \u003d x + 1 $ và $ y \u003d 0 $ (trục abscissa).
Mọi thứ đã sẵn sàng để xây dựng một bản vẽ, sẽ có loại này:
Câu hỏi về ghi chú có vẻ rõ ràng, bởi vì tất cả mọi thứ đều có thể nhìn thấy trong bản vẽ. Tuy nhiên, cần phải nhớ rằng bản vẽ không thể phục vụ như bằng chứng. Hình chỉ là một minh họa cho sự rõ ràng.
Khu vực của chúng tôi đã được thiết lập bằng phương trình trực tiếp, giới hạn nó. Rõ ràng, những điều này trực tiếp xác định một hình tam giác, phải không? Hoặc không hoàn toàn rõ ràng? Hoặc có thể chúng tôi được hỏi một khu vực khác bị giới hạn bởi cùng một trực tiếp:
Tất nhiên, điều kiện nói rằng khu vực này đã đóng, vì vậy hình ảnh hiển thị không chính xác. Nhưng để tránh những sự mơ hồ như vậy, khu vực này là tốt hơn để đặt bất đẳng thức. Chúng tôi quan tâm đến một phần của máy bay, nằm dưới $ Y $ Y \u003d X + 1 $? Ok, nó có nghĩa là $ y ≤ x + 1 $. Khu vực của chúng tôi nên được định vị trực tiếp $ Y \u003d 0 $? Tuyệt vời, nó có nghĩa là $ y ≥ 0 $. Nhân tiện, hai sự bất bình đẳng cuối cùng dễ dàng kết hợp thành một: $ 0 ≤ y ≤ x + $ 1.
$$ \\ left \\ (\\ bắt đầu (căn chỉnh) & 0 ≤ y ≤ x + 1; \\\\ & x ≤ 3. \\ end (căn chỉnh) \\ Phải. $$
Những bất đẳng thức này và đặt vùng $ D $ và họ xác định rõ ràng, không cho phép bất kỳ sự mơ hồ nào. Nhưng làm thế nào điều này có thể giúp chúng tôi trong câu hỏi, những gì được chỉ định ở đầu ghi chú? Vì nó sẽ giúp :) Chúng ta cần kiểm tra xem $ m_1 (1; 1) của $ D $ có được sở hữu hay không. Chúng tôi thay thế $ x \u003d 1 $ và $ y \u003d 1 $ vào hệ thống bất bình đẳng mà khu vực này được xác định. Nếu cả hai bất đẳng thức được đáp ứng, điểm nằm trong khu vực. Nếu ít nhất một trong những bất đẳng thức không được thực hiện, khu vực của khu vực không thuộc về. Vì thế:
$$ \\ left \\ (\\ started (căn chỉnh) & 0 ≤ 1 ≤ 1 + 1; \\\\ & 1 ≤ 3. \\ end (căn chỉnh) \\ phải. \\; \\; \\ left \\ (\\ bắt đầu (căn chỉnh) & 0 ≤ 1 ≤ 2; \\ & 1 ≤ 3. \\ end (căn chỉnh) \\ Phải. $$
Cả hai bất đẳng thức đều công bằng. Điểm $ M_1 (1; 1) $ sẽ nhập vùng $ D $.
Bây giờ nó đã trở thành cốt lõi để khám phá hành vi của chức năng trên biên giới của khu vực, tức là. Đi đến. Hãy bắt đầu với $ Y $ \u003d 0 $.
Trực tiếp $ y \u003d 0 $ (trục abscissa) giới hạn vùng $ D $ theo điều kiện $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Chúng tôi thay thế $ y \u003d 0 $ trong hàm đã chỉ định $ z (x, y) \u003d x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. Chức năng thay thế kết quả của một biến $ x $ sẽ chỉ định là $ f_1 (x) $:
$$ f_1 (x) \u003d z (x, 0) \u003d x ^ 2 + 2x \\ cdot 0-0 ^ 2-4x \u003d x ^ 2-4x. $$.
Bây giờ cho hàm $ f_1 (x) $ bạn cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên phân khúc $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Đặt đạo hàm của hàm này và đánh đồng cách 0:
$$ f_ (1) ^ (") (x) \u003d 2x-4; \\\\ 2x-4 \u003d 0; \\; x \u003d 2. $$
Giá trị $ X \u003d 2 $ thuộc về phân đoạn $ -1 ≤ x $ 3, do đó thêm điểm vào danh sách và $ m_2 (2; 0) $. Ngoài ra, chúng tôi tính giá trị của hàm $ z $ ở cuối phân khúc $ -1 ≤ x $ 3, I.E. Tại các điểm $ m_3 (-1; 0) $ và $ m_4 (3; 0) $. Nhân tiện, nếu điểm $ m_2 không thuộc về phân khúc đang xem xét, thì, tất nhiên, giá trị của hàm $ z $ trong đó sẽ không cần phải tính toán.
Vì vậy, tôi tính toán các giá trị của hàm $ z $ tại các điểm $ m_2 $, $ m_3 $, $ m_4 $. Tất nhiên, bạn có thể thay thế tọa độ của các điểm này vào biểu thức ban đầu $ z \u003d x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. Ví dụ: đối với các điểm $ m_2 $, chúng tôi sẽ nhận được:
$$ z_2 \u003d z (m_2) \u003d 2 ^ 2 + 2 \\ cdot 2 \\ cdot 0-0 ^ 2-4 \\ cdot 2 \u003d -4. $$
Tuy nhiên, các tính toán có thể dễ dàng đơn giản hóa. Để làm điều này, cần phải nhớ rằng trên đoạn $ m_3m_4 chúng ta có $ z (x, y) \u003d f_1 (x) $. Bệnh về nó một cách chi tiết:
\\ bắt đầu (căn chỉnh) & z_2 \u003d z (m_2) \u003d z (2.0) \u003d f_1 (2) \u003d 2 ^ 2-4 \\ cdot 2 \u003d -4; \\\\ & z_3 \u003d z (m_3) \u003d z (- 1.0) \u003d F_1 (-1) \u003d (- 1) ^ 2-4 \\ cdot (-1) \u003d 5; \\\\ & z_4 \u003d z (m_4) \u003d z (3.0) \u003d f_1 (3) \u003d 3 ^ 2-4 \\ CDOT 3 \u003d -3. \\ End (căn chỉnh)
Tất nhiên, thường không có nhu cầu về các hồ sơ chi tiết đó, và tất cả các tính toán trong tương lai sẽ viết ngắn hơn:
$$ z_2 \u003d f_1 (2) \u003d 2 ^ 2-4 \\ cdot 2 \u003d -4; \\; z_3 \u003d f_1 (-1) \u003d (- 1) ^ 2-4 \\ cdot (-1) \u003d 5; \\; z_4 \u003d f_1 (3) \u003d 3 ^ 2-4 \\ CDOT 3 \u003d -3. $$
Bây giờ chúng tôi chuyển sang $ x trực tiếp \u003d 3 đô la. Điều này giới hạn khu vực $ D $ thuộc điều kiện $ 0 ≤ y ≤ $ 4. Chúng tôi thay thế $ x \u003d 3 đô la vào một hàm nhất định $ z $. Do sự thay thế như vậy, chúng tôi sẽ có được chức năng $ f_2 (y) $:
$$ f_2 (y) \u003d z (3, y) \u003d 3 ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot y-y ^ 2-4 \\ cdot 3 \u003d -y ^ 2 + 6y-3. $$.
Đối với hàm $ f_2 (y) $ bạn cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên phân đoạn $ 0 ≤ y ≤ 4 đô la. Đặt đạo hàm của hàm này và đánh đồng cách 0:
$$ f_ (2) ^ (") (y) \u003d - 2y + 6; \\ -2y + 6 \u003d 0; \\; y \u003d 3. $$
Giá trị $ Y \u003d 3 đô la thuộc về một phân đoạn $ 0 ≤ y ≤ $ 4, do đó, nó cũng được thêm vào các điểm được tìm thấy trước đó và $ m_5 (3; 3) $. Ngoài ra, cần phải tính giá trị của hàm $ z $ tại các điểm ở đầu phân khúc $ 0 ≤ y ≤ $ 4, I.E. Tại các điểm $ m_4 (3; 0) $ và $ m_6 (3; 4) $. Tại điểm $ m_4 (3; 0) $ Chúng tôi đã tính giá trị $ z $. Tính giá trị của hàm $ z $ tại các điểm $ m_5 $ và $ m_6 $. Hãy để tôi nhắc nhở bạn rằng trên đoạn $ m_4m_6 Chúng tôi có $ z (x, y) \u003d f_2 (y) $, vì vậy:
\\ bắt đầu (căn chỉnh) & z_5 \u003d f_2 (3) \u003d - 3 ^ 2 + 6 \\ cdot 3-3 \u003d 6; & z_6 \u003d f_2 (4) \u003d - 4 ^ 2 + 6 \\ CDOT 4-3 \u003d 5. \\ End (căn chỉnh)
Và cuối cùng, hãy xem xét biên giới cuối cùng của Vùng $ D $, I.E. Trực tiếp $ y \u003d x + 1 $. Direct này giới hạn khu vực $ D $ theo điều kiện $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Thay thế $ y \u003d x + 1 $ vào hàm $ z $, chúng tôi sẽ có:
$$ f_3 (x) \u003d z (x, x + 1) \u003d x ^ 2 + 2x \\ cdot (x + 1) - (x + 1) ^ 2-4x \u003d 2x ^ 2-4x-1. $$.
Một lần nữa chúng tôi có một chức năng của một biến $ x $. Và một lần nữa, bạn cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng này trên phân khúc $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Đặt đạo hàm của hàm $ f_ (3) (x) $ và đánh đồng cách 0:
$$ f_ (3) ^ (") (x) \u003d 4x-4; \\\\ 4x-4 \u003d 0; \\; x \u003d 1. $$
Giá trị $ X \u003d 1 $ thuộc về phân khúc $ -1 ≤ X ≤ $ 3. Nếu $ x \u003d 1 $, thì $ y \u003d x + 1 \u003d $ 2. Chúng tôi thêm vào danh sách các điểm nhiều hơn và $ m_7 (1; 2) $ và tìm hiểu những gì bằng với giá trị của hàm $ z $ tại thời điểm này. Điểm ở cuối phân khúc $ -1 ≤ x ≤ $ 3, I.E. Các điểm $ m_3 (-1; 0) $ và $ m_6 (3; 4) $ đã được xem xét trước đó, giá trị của hàm trong chúng đã được tìm thấy.
$$ z_7 \u003d f_3 (1) \u003d 2 \\ cdot 1 ^ 2-4 \\ cdot 1-1 \u003d -3. $$
Bước thứ hai của quyết định được hoàn thành. Chúng tôi đã nhận được bảy giá trị:
$$ z_1 \u003d -2; \\; z_2 \u003d -4; \\; z_3 \u003d 5; \\; z_4 \u003d -3; \\; z_5 \u003d 6; \\; z_6 \u003d 5; \\; z_7 \u003d -3. $$
Chuyển sang. Khi chọn các ý nghĩa lớn nhất và nhỏ nhất từ \u200b\u200bnhững số đã thu được trong đoạn thứ ba, chúng ta sẽ có:
$$ z_ (tối thiểu) \u003d - 4; \\ z_ (Max) \u003d 6. $$
Nhiệm vụ được giải quyết, nó vẫn chỉ để ghi lại câu trả lời.
Câu trả lời: $ z_ (tối thiểu) \u003d - 4; \\ z_ (tối đa) \u003d $ 6.
Ví dụ số 2.
Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $ z \u003d x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16Y $ trong vùng $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ $ 25.
Đầu tiên, xây dựng một bản vẽ. Phương trình $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 25 $ (Đường biên của một khu vực nhất định) xác định vòng tròn với trung tâm ở đầu tọa độ (tức là tại điểm $ (0; 0) $) và bán kính 5. Bất đẳng thức $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ $ 25 thỏa mãn tất cả các điểm bên trong và trên vòng tròn được đề cập.
Chúng tôi sẽ hành động bởi. Chúng tôi tìm thấy các dẫn xuất riêng tư và tìm ra các điểm quan trọng.
$$ \\ frac (\\ partial z) (\\ partial x) \u003d 2x-12; \\ Frac (\\ partial z) (\\ một phần y) \u003d 2y + 16. $$.
Điểm trong đó các dẫn xuất riêng tư không tồn tại, không. Do đó, tại những điểm nào cả hai dẫn xuất tư nhân đồng thời không, tức là. Tìm điểm cố định.
$$ \\ left \\ (\\ started (căn chỉnh) & 2x-12 \u003d 0; \\\\ & 2y + 16 \u003d 0. \\ end (căn chỉnh) \\ phải. \\; \\; \\ left \\ (\\ bắt đầu (căn chỉnh) & x \u003d 6; \\\\ & y \u003d -8. \\ End (căn chỉnh) \\ phải. $$
Chúng tôi đã nhận được một điểm đứng yên $ (6; -8) $. Tuy nhiên, điểm tìm thấy không thuộc về Vùng $ D $. Thật dễ dàng để thể hiện, thậm chí không dùng đến sự giúp đỡ của bản vẽ. Chúng tôi kiểm tra xem sự bất bình đẳng là $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ $ 25, xác định khu vực của chúng tôi $ D $. Nếu $ X \u003d $ 6, $ Y \u003d -8 $, thì $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 36 + 64 \u003d 100 $, I.E. Sự bất bình đẳng $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ không được đáp ứng. KẾT LUẬN: Điểm $ (6; -8) $ không thuộc về Vùng $ D $.
Vì vậy, trong khu vực $ D $ không có điểm quan trọng. Tiếp tục, Ko. Chúng ta cần khám phá hành vi của hàm trên ranh giới của khu vực được chỉ định, I.E. Trên vòng tròn $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 25 $. Tất nhiên, bạn có thể thể hiện $ một đô la $ x $, và sau đó thay thế biểu thức thu được trong hàm $ z $. Từ phương trình vòng tròn, chúng ta có được: $ y \u003d \\ sqrt (25-x ^ 2) $ hoặc $ y \u003d \\ sqrt (25-x ^ 2) $. Thay thế, ví dụ: $ y \u003d \\ sqrt (25-x ^ 2) $ trong một hàm được chỉ định, chúng tôi sẽ có:
$$ z \u003d x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y \u003d x ^ 2 + 25-x ^ 2-12x + 16 \\ sqrt (25-x ^ 2) \u003d 25-12x + 16 \\ sqrt (25-x ^ 2); \\; \\; -5≤ x 5. $$
Một giải pháp khác sẽ hoàn toàn giống hệt với nghiên cứu về hành vi của chức năng tại biên giới của khu vực trong ví dụ trước số 1. Tuy nhiên, dường như tôi hợp lý hơn trong tình huống này để áp dụng phương pháp Lagrange. Chúng tôi sẽ chỉ quan tâm đến phần đầu tiên của phương pháp này. Sau khi áp dụng phần đầu tiên của phương thức Lagrange, chúng tôi sẽ nhận được điểm mà chúng tôi điều tra chức năng $ z $ cho các giá trị tối thiểu và tối đa.
Chúng tôi biên dịch chức năng của Lagrange:
$$ f \u003d z (x, y) + \\ lambda \\ cdot (x ^ 2 + y ^ 2-25) \u003d x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y + \\ lambda \\ cdot (x ^ 2 + y ^ 2 -25). $$.
Chúng tôi tìm thấy các dẫn xuất riêng tư của các chức năng Lagrange và tạo một hệ phương trình tương ứng:
$$ f_ (x) ^ (") \u003d 2x-12 + 2 \\ lambda x; \\; \\; \\; \\; ^ ^ ^ (") \u003d 2y + 16 + 2 \\ lambda y. \\\\ \\ left \\ (\\ bắt đầu (Căn chỉnh) & 2x-12 + 2 \\ lambda x \u003d 0; \\ & 2y + 16 + 2 \\ lambda y \u003d 0; \\\\ & x ^ 2 + y ^ 2-25 \u003d 0. \\ end (căn chỉnh) \\ Phải. \\; \\; \\ Left \\ (\\ bearch) & x + \\ lambda x \u003d 6; \\ \\ & y + \\ lambda y \u003d -8; \\\\ & x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 25. \\ Kết thúc (căn chỉnh) \\ phải. $$
Để giải quyết hệ thống này, hãy chỉ ra ngay lập tức rằng $ \\ lambda \\ neq -1 $. Tại sao $ \\ lambda \\ neq -1 $? Chúng ta hãy cố gắng thay thế $ \\ lambda \u003d -1 $ trong phương trình đầu tiên:
$$ X + (- 1) \\ CDOT X \u003d 6; \\ x - x \u003d 6; \\ 0 \u003d 6. $$.
Mâu thuẫn kết quả $ 0 \u003d $ 6 nói rằng giá trị của $ \\ lambda \u003d -1 $ là không thể chấp nhận được. Kết luận: $ \\ lambda \\ neq -1 $. Express $ X $ và $ Y $ thông qua $ \\ lambda $:
\\ bắt đầu (căn chỉnh) & x + \\ lambda x \u003d 6; \\; x (1+ \\ lambda) \u003d 6; \\; X \u003d \\ frac (6) (1+ \\ lambda). \\\\ & y + \\ lambda y \u003d -8; \\; y (1+ \\ lambda) \u003d - 8; \\; Y \u003d \\ frac (-8) (1+ \\ lambda). \\ End (căn chỉnh)
Tôi cho rằng nó trở nên rõ ràng, tại sao chúng tôi cụ thể quy định về điều kiện $ \\ lambda \\ neq -1 $. Điều này đã được thực hiện để thực hiện một biểu thức $ 1 + \\ lambda $ cho mà không bị nhiễu. Những người. Để chắc chắn rằng mẫu số là $ 1 + \\ lambda \\ neq 0 $.
Chúng tôi thay thế các biểu thức thu được cho $ X $ và $ Y $ ở phương trình thứ ba của hệ thống, I.E. Bằng $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d $ 25:
$$ \\ Left (\\ frac (6) (1+ lambda) \\ phải) ^ 2 + \\ left (\\ frac (-8) (1+ \\ lambda) \\ phải) ^ 2 \u003d 25; \\\\ \\ frac ( 36) ((1+ \\ lambda) ^ 2) + \\ frac (64) ((1+ \\ lambda) ^ 2) \u003d 25; \\\\ \\ frac (100) ((1+ \\ lambda) ^ 2) \u003d 25 Được; \\ (1+ \\ lambda) ^ 2 \u003d 4. $$.
Nó theo dõi từ sự bình đẳng thu được rằng $ 1 + \\ lambda \u003d 2 $ hoặc $ 1 + \\ lambda \u003d -2 $. Từ đây chúng ta có hai giá trị của tham số $ \\ lambda $, cụ thể là: $ \\ lambda_1 \u003d 1 $, $ \\ lambda_2 \u003d -3 $. Theo đó, chúng tôi nhận được hai cặp $ x $ và $ y $ Giá trị $:
\\ bắt đầu (căn chỉnh) & x_1 \u003d \\ frac (6) (1+ lambda_1) \u003d \\ frac (6) (2) \u003d 3; \\ y_1 \u003d \\ frac (-8) (1+ lambda_1) \u003d \\ frac (-8) (2) \u003d - 4. \\ & x_2 \u003d \\ frac (6) (1+ \\ lambda_2) \u003d \\ frac (6) (- 2) \u003d - 3; \\ Y_2 \u003d \\ frac (-8) (1+ \\ lambda_2) \u003d \\ frac (-8) (- 2) \u003d 4. \\ End (căn chỉnh)
Vì vậy, chúng tôi đã nhận được hai điểm cực đoan có điều kiện có thể, tức là. $ M_1 (3; -4) $ và $ m_2 (-3; 4) $. Tìm các giá trị của hàm $ z $ tại các điểm $ m_1 $ và $ m_2 $:
\\ bắt đầu (căn chỉnh) & z_1 \u003d z (m_1) \u003d 3 ^ 2 + (- 4) ^ 2-12 \\ cdot 3 + 16 \\ cdot (-4) \u003d - 75; \\\\ & z_2 \u003d z (m_2) \u003d (- 3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \\ cdot (-3) +16 \\ CDOT 4 \u003d 125. \\ End (căn chỉnh)
Bạn nên chọn lớn nhất và nhỏ nhất trong số những người mà chúng tôi nhận được trong các bước thứ nhất và thứ hai. Nhưng trong trường hợp này, sự lựa chọn là nhỏ :) Chúng tôi có:
$$ z_ (tối thiểu) \u003d - 75; \\ z_ (tối đa) \u003d 125. $$.
Câu trả lời: $ z_ (tối thiểu) \u003d - 75; \\ z_ (Max) \u003d $ 125.
Ví dụ đồ họa của các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm trên các phân đoạn và khoảng thời gian.
Parabola này trên khu vực định nghĩa chỉ có giá trị nhỏ nhất. Không có giá trị lớn nhất, vì các nhánh của nó đi vào vô cùng.
Trên phân khúc [ a.;b.] Ngoài ra còn có nhiều lớn nhất, và ý nghĩa nhỏ nhất. Trong ví dụ này, giá trị nhỏ nhất đạt được ở điểm bên trong của phân khúc và trùng với extran (tối thiểu) của hàm, vĩ đại nhất - ở một trong các đầu của phân khúc. Trong trường hợp này, nó y. = như nhau(b.).
Chức năng được xem xét trên khoảng ( a.;b.). Trong trường hợp này, các điểm cạnh a. và b. Không nhập định nghĩa trường trên trục CON BÒ., và, theo đó, các giá trị của hàm không được xác định. như nhau(a.) TÔI. như nhau(b.) trên trục Oy.. Tuy nhiên, có thể tính toán tùy tiện gần với chúng. Do đó, trong ví dụ này, chức năng có giá trị nhỏ nhất, nhưng không đạt đến mức lớn nhất, thì không.
Trong nửa khoảng cách này ( a.;b.] Có giá trị lớn nhất của hàm trên, nhưng nhỏ nhất là không.
Parabol khối trên khu vực định nghĩa có hai cực, nhưng các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất không đạt được: các nhánh của nó đi vào vô cùng. E ( như nhau) \u003d (-∞; + ∞) - khu vực của các giá trị của parabola khối.
Nếu thay vì một phân khúc [ a.;b.] Chúng tôi xem xét khoảng thời gian ( a.;b.) Với cùng một đầu, sau đó không có giá trị nhỏ nhất.
Hình hiển thị chức năng của đồ họa của hàm. y. \u003d Arctg. x. . Anh ta có hai tiệm cận ngang. Các giá trị của hàm được giới hạn ở các số-2 và π / 2, nhưng không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chức năng này, do đó các nhánh của biểu đồ đang phấn đấu cho các đại dịch viên của chúng, nhưng chúng làm không đến được họ. E ( như nhau) \u003d (-Π / 2; π / 2) - Diện tích của các giá trị của ornanens.
Chức năng liên tục được chỉ định trên phân đoạn luôn là lớn nhất và nhỏ nhất. Nhưng, nếu chức năng bị hỏng, thì có thể có nhiều tùy chọn khác nhau cho cả khoảng thời gian và cho các phân đoạn. Nhìn vào biểu đồ này của hàm không liên tục được đưa ra trên phân đoạn [-2; 3]. Ở đây chức năng không có giá trị lớn nhất: nó tăng trước điểm ngắt và đạt đến giá trị lớn so với các phần khác của phân khúc, nhưng không đạt đến mức lớn nhất, vì điểm dự định tối đa x. \u003d 2 nó được xác định bởi một ý nghĩa khác, không w. \u003d 2, và y. = −1.
