trang chủ > Rèm cửa > Khái niệm phân nhánh. Các vấn đề về lý thuyết phân cực. Các loại phân nhánh Các loại phân nhánh


Khái niệm phân nhánh. Các vấn đề về lý thuyết phân cực. Các loại phân nhánh Các loại phân nhánh




Để nghiên cứu các loại phân nhánh, bạn nên tự mình hiểu nó. Trong trường hợp tổng quát, việc nghiên cứu toàn bộ không gian pha cho các điểm phân nhánh là một công việc khó khăn đối với không gian n chiều nên các nghiên cứu cục bộ được thực hiện và các điểm phân nhánh thu được được gọi là điểm phân nhánh địa phương. Các điểm phân nhánh cục bộ có thể được theo dõi bằng cách quan sát sự phát triển của các nhiễu loạn nhỏ trong hệ thống Phân nhánh của các trạng thái cân bằng và các chuyển động tuần hoàn bằng ví dụ về một quả bóng. Đơn giản nhất và quan trọng nhất trong số đó là sự phân nhánh của trạng thái cân bằng và chuyển động tuần hoàn.

Sự phân chia vị trí cân bằng

Sự phân nhánh chính của các trạng thái cân bằng bao gồm:
  1. sự hợp nhất và sự biến mất sau đó của hai trạng thái cân bằng. Một ví dụ là chuyển động của một quả bóng trong một “giếng” tiềm năng có một “kệ” (Hình 1). Khi “kệ” BD được làm phẳng, trạng thái cân bằng “yên” S và tâm C 2 hợp nhất và biến mất (Hình 2).
Hình 1 - Sơ đồ chuyển động của một quả bóng trong một “hố” có một “kệ” (a) và chân dung pha của nó (b) Hình 2 - Sơ đồ chuyển động của quả bóng sau khi phân nhánh (a) và chân dung pha của nó (b)
  • Sự ra đời của chu trình giới hạn từ trạng thái cân bằng. Một ví dụ về sự phân nhánh như vậy Phân nhánh Hopf.
Hãy xem xét một hệ thống động (1) Hệ động lực Là biểu hiện đơn giản của một hệ động lực phức tạp được mô tả bởi các hàm x(t) Và y(t), được biểu thị thông qua tọa độ cực tương ứng: và được gọi là hệ Hopf. Hệ thống (1) phụ thuộc vào hai tham số, một trong số đó λ sẽ là chìa khóa cho chúng tôi, và cái còn lại с=const. Giải bài toán Cauchy với một số giá trị ban đầu cho trước r(t=0)=r 0, "phi;(t=0)="phi; 0 Tại λ < 0 cho chúng ta một đồ thị động học và chân dung pha như trong Hình 2. 3.
Hình 3 - Đồ thị động lực học (a) và chân dung pha (b) Trong trường hợp này, chỉ có một điểm đặc biệt - tập trung ổn định. Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một đồ thị động học và một chân dung pha cho trường hợp λ > 0 (λ = 4)(xem Hình 4)
Hình 3 - Đồ thị động lực học (a) và chân dung pha (b) cho λ > 0. Các màu khác nhau biểu thị sự tách rời trong các điều kiện ban đầu khác nhau. Như chúng ta có thể thấy, sau một quá trình chuyển đổi ngắn, hệ thống sẽ chuyển sang chế độ dao động và biên độ và tần số dao động không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu (đối với bất kỳ điều kiện ban đầu nào, hệ thống sẽ chuyển sang trạng thái dao động giống nhau). Trong bức chân dung pha, các giải pháp cho các điều kiện ban đầu khác nhau giống như “vết thương” xung quanh một đường cong khép kín. Đường cong này, mà t -> ∞ có xu hướng giải bài toán Cauchy, là chất hút và được gọi là chu kỳ giới hạn. Quá trình dao động mô tả chu kỳ giới hạn này được gọi là tự dao động. Việc tách rời dưới dạng tự dao động chỉ có thể thực hiện được trong các hệ động lực phi tuyến về cơ bản. Hệ động lực Hopf có tính phi tuyến ở dạng lập phương của tham số và tính phi tuyến bổ sung được áp đặt do định nghĩa của hàm x(t) Và y(t) dưới dạng biểu thức của hàm lượng giác. Có thể chứng minh rằng đối với một hệ động lực cho trước thì biên độ dao động bằng . Vì thế, λ = 0 - giá trị phân nhánh của tham số. Tại thời điểm này, nút mất đi tính ổn định và thay vào đó, một chu kỳ giới hạn ổn định được sinh ra. Sự phân nhánh này của sự ra đời của chu trình giới hạn từ một điểm cố định được gọi là Phân nhánh Hopf, và sự ra đời của các dao động tự phát là nhẹ nhàng (với những thay đổi nhỏ về tham số, các dao động có biên độ nhỏ, tăng theo sự tăng trưởng của nó). Sự ra đời khó khăn của tự dao động - với những thay đổi nhỏ trong tham số, quỹ đạo bị “đẩy” vào vùng hấp dẫn của một bộ thu hút khác.
  • Sự ra đời của ba trạng thái cân bằng từ một trạng thái cân bằng là sự vi phạm tính đối xứng một cách tự phát. Ví dụ, khi một quả bóng di chuyển trong một rãnh, với điều kiện là có một nốt sần xuất hiện trong đó, thì sẽ xuất hiện một sự phân nhánh, trong đó ba trạng thái cân bằng phát sinh từ trạng thái suy biến thuộc loại “tâm” - yên S và các tâm C1 và C2 (Hình 2). 4)

Hình 4 - Các sinh từ một trạng thái cân bằng gồm ba với một thay đổi nhỏ về tham số (hình đáy): a) hình đáy có một cực tiểu và chân dung pha tương ứng với một trạng thái cân bằng thuộc loại “tâm”; b) hình dạng của một máng có hai cực tiểu và chân dung pha tương ứng với ba trạng thái cân bằng: “yên” S và “tâm” C1 và C2

Sự phân nhánh sinh (tử) của chuyển động tuần hoàn

Tất cả các điểm phân nhánh của sự ra đời hoặc kết thúc của các trạng thái cân bằng đều tương ứng với việc một hoặc nhiều nghiệm đi qua số 0. Khả năng này được minh họa trong hình. 5, mô tả cái chết của hai trạng thái cân bằng như “yên ngựa” và “nút”. Sự phân nhánh tương tự xảy ra trong vấn đề cạnh tranh giữa loài X1 và X2, kiếm ăn từ cùng một nguồn. Hệ động lực tương ứng mô tả quy mô quần thể được cho bởi các phương trình: Khi ρ 1,2 > 1 trong hệ thống, một trong các loại có thể “chiến thắng”. Khi bất kỳ tham số nào ρ 1.2 giảm xuống giá trị nhỏ hơn 1, trong mọi điều kiện ban đầu, chỉ có một loài sống sót (Hình 5, b). Hình 5 - Chân dung pha của số lượng dân số, a) tại ρ 1< 1 , ρ 2 > 1; b) khi ρ 1,2 > 1

Sự phân nhánh của sự thay đổi độ ổn định của các chuyển động định kỳ

Đặc điểm nổi bật sự phân nhánh ổn định- các giá trị của số nhân tại thời điểm tới hạn, là hệ số khuếch đại (suy giảm) của các nhiễu nhỏ so với nền của chuyển động tuần hoàn trong khoảng thời gian T. Trong một hệ thống tự trị, một trong các số nhân luôn bằng một, vì vậy trong tương lai chúng ta sẽ nói về những người khác. Nếu tất cả các số nhân đều nhỏ hơn đơn vị về giá trị tuyệt đối thì chuyển động tuần hoàn ban đầu là ổn định. Sự phân nhánh liên quan đến sự biến mất của độ ổn định xảy ra ở các giá trị như vậy của các tham số hệ thống mà tại đó một hoặc nhiều trong số chúng có mô đun bằng 1.

a) Giới thiệu lý thuyết phân nhánh

Lý thuyết về sự phân nhánh của các hệ động lực mô tả những thay đổi đột ngột, định tính trong chân dung pha của các phương trình vi phân với những thay đổi liên tục, trơn tru trong các tham số. Do đó, khi một điểm đơn mất đi sự ổn định thì một chu trình giới hạn có thể xuất hiện và khi một chu trình giới hạn mất đi sự ổn định thì sự hỗn loạn có thể xảy ra. Những loại thay đổi này được gọi là phân nhánh.

Trong các phương trình vi phân mô tả các hiện tượng vật lý thực tế, các điểm kỳ dị và chu trình giới hạn ở vị trí tổng quát, tức là hyperbol, thường gặp nhất. Tuy nhiên, cũng có những lớp phương trình vi phân đặc biệt có tình huống khác. Ví dụ, đây là những hệ có tính đối xứng liên quan đến bản chất của hiện tượng được mô tả, cũng như các phương trình Hamilton, hệ thuận nghịch và các phương trình bảo toàn thể tích pha. Vì vậy, ví dụ, hãy xem xét một họ hệ thống động lực một tham số trên một đường thẳng có tính đối xứng bậc hai:

Sự phân nhánh điển hình của vị trí cân bằng đối xứng trong một hệ thống như vậy (“đinh ba”) được thể hiện trong Hình 2. 1. Nó bao gồm thực tế là hai vị trí cân bằng mới, ít đối xứng hơn phân nhánh từ một vị trí cân bằng đối xứng đang mất đi sự ổn định. Trong trường hợp này, vị trí cân bằng đối xứng được giữ nguyên nhưng mất đi độ ổn định.

Nền tảng của lý thuyết toán học về phân nhánh được A. Poincaré và A. M. Lyapunov tạo ra vào đầu thế kỷ XX, sau đó được một số trường phái phát triển. Lý thuyết về sự phân nhánh tìm thấy các ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác nhau, từ vật lý và hóa học đến sinh học và xã hội học.

Nguồn gốc của thuật ngữ phân đôi (từ tiếng Latin bifurcus - bifurcated) gắn liền với thực tế là một hệ động lực, hoạt động của nó trong vùng cân bằng được mô tả bởi một hệ phương trình vi phân tuyến tính có nghiệm duy nhất, khi các tham số thay đổi đến một giá trị tới hạn nhất định, đạt đến cái gọi là điểm phân nhánh - điểm phân nhánh các con đường phát triển có thể có của hệ thống.

Thời điểm này (điểm phân nhánh) tương ứng với sự chuyển đổi của hệ sang trạng thái không cân bằng và ở cấp độ mô tả toán học, nó tương ứng với sự chuyển đổi sang các phương trình vi phân phi tuyến và sự phân nhánh của nghiệm của chúng.

Phân nhánh là việc đạt được chất lượng tiến hóa mới (trong chuyển động) của một hệ thống động lực với một sự thay đổi nhỏ trong các tham số của nó. Sự phân nhánh tương ứng với việc tái cấu trúc bản chất chuyển động hoặc cấu trúc của một hệ thống thực (vật lý, hóa học, sinh học, v.v.).

Theo quan điểm toán học, phân nhánh là sự thay đổi cấu trúc tôpô của việc phân chia không gian pha của hệ động lực thành các quỹ đạo với một thay đổi nhỏ trong các tham số của nó.


Định nghĩa này dựa trên khái niệm về sự tương đương tôpô của các hệ động lực: hai hệ tương đương về mặt tôpô nếu chúng có cùng cấu trúc phân chia không gian pha thành các quỹ đạo, nếu chuyển động của một trong số chúng có thể được quy giản thành chuyển động của hệ kia bằng cách sự thay đổi liên tục của tọa độ và thời gian.

Một ví dụ về sự tương đương như vậy là chuyển động của một con lắc ở các giá trị khác nhau của hệ số ma sát k: với ma sát thấp, quỹ đạo trên mặt phẳng pha trông giống như các đường xoắn ốc xoắn và với ma sát cao, chúng trông giống như parabol (Hình trên). slide tiếp theo)

Sự chuyển đổi từ chân dung pha a sang b không đại diện cho sự phân nhánh, vì phân nhánh là sự chuyển đổi từ một hệ thống nhất định sang một hệ thống không tương đương về mặt tôpô.

Ví dụ: Trong mô hình toán học, sự xuất hiện của tế bào Benard tương ứng với sự phân nhánh ra đời của trạng thái cân bằng mới (tương ứng với cấu trúc tế bào).

Trong số các phân nhánh khác nhau trong phân tích các mô hình của hệ thống vật lý, cái gọi là hệ thống cục bộ đặc biệt thú vị - đây là những phân nhánh trong đó xảy ra sự tái cấu trúc các chuyển động riêng lẻ của một hệ động lực.

Đơn giản nhất và quan trọng nhất trong số đó là:

sự phân nhánh của trạng thái cân bằng (tế bào Benard)

sự phân nhánh của các chuyển động định kỳ.

Phần kết luận. Các tính năng quan trọng của phân nhánh

Sự phân nhánh, do đó các chế độ tĩnh hoặc tuần hoàn (nghĩa là trạng thái cân bằng hoặc chu kỳ giới hạn) biến mất, có thể dẫn đến thực tế là một hệ động lực chuyển sang chế độ dao động ngẫu nhiên.

Trong các ứng dụng của lý thuyết phân nhánh, nhiệm vụ được đặt ra - đối với từng tình huống cụ thể, là tìm các biểu thức phân tích cho các biến thể của nghiệm của phương trình phát sinh tại các điểm phân nhánh, cũng như xác định giá trị của các tham số tại đó phân nhánh của nghiệm để các phương trình bắt đầu. Đầu tiên cần phân tích tính ổn định của hệ thống và tìm kiếm các điểm không ổn định của nó. Các phương pháp phân tích này dựa trên lý thuyết về tính ổn định, chúng được phát triển đầy đủ chi tiết và mang tính chất kỹ thuật thuần túy.

Lý thuyết về sự phân nhánh mô tả một số lượng lớn các tình huống phân nhánh. Trong quá trình phát triển của các hệ thống tự nhiên thực sự, không thể quan sát được các phân nhánh riêng lẻ mà là toàn bộ các chuỗi phân nhánh (một ví dụ cổ điển là sự xuất hiện của nhiễu loạn và các bất ổn thủy động lực khác). Ngoài ra, còn có sự phân biệt giữa sự phân nhánh và thảm họa. Thậm chí còn có thuyết về thảm họa. Tuy nhiên, việc phân tích mối liên hệ và sự khác biệt giữa chúng nằm ngoài phạm vi của hướng dẫn này.

Một tính năng rất quan trọng của phân nhánh: Tại thời điểm hệ thống ở gần điểm phân nhánh, những nhiễu loạn nhỏ trong các giá trị của các tham số của nó bắt đầu đóng một vai trò rất lớn. Những xáo trộn này có thể hoàn toàn ngẫu nhiên hoặc có mục đích. Nó phụ thuộc vào họ rằng hệ thống sẽ đi theo nhánh tiến hóa nào sau khi đi qua điểm phân nhánh. Nghĩa là, nếu trước khi vượt qua điểm phân nhánh, hành vi của hệ thống tuân theo các quy luật xác định, thì tại chính điểm phân nhánh, cơ hội đóng vai trò quyết định.

Kết quả là, theo I. Prigozhin, thế giới trở nên “bí ẩn, khó đoán, không thể kiểm soát được”. Ở một mức độ nào đó điều này là đúng. Nhưng chúng ta không thể hoàn toàn đồng ý với tuyên bố này, vì đối với bất kỳ hệ thống nào tại điểm phân nhánh đều không có một con đường tiến hóa tùy ý mà là một tập hợp các con đường tiến hóa hoàn toàn xác định. Vì vậy, ngay cả khi cơ hội có tác dụng, nó cũng hoạt động trong một phạm vi khả năng được xác định chặt chẽ. Và do đó, sẽ không đúng khi nói về sự không chắc chắn hoàn toàn và hơn thế nữa là sự bí ẩn hoàn toàn. Đối với tính không thể kiểm soát, tất nhiên, không có ý nghĩa gì khi nói về kiểm soát hoàn toàn, nhưng trong một số quy trình, có thể can thiệp như một động lực hướng tới các phương án phát triển mong muốn.

4. Hỗn loạn

lý thuyết hỗn loạn- một công cụ toán học mô tả hành vi của một số hệ động lực phi tuyến nhất định, trong những điều kiện nhất định, đối với một hiện tượng được gọi là hỗn loạn, được đặc trưng bởi độ nhạy cao của hành vi của hệ thống với các điều kiện ban đầu; hành vi của một hệ thống như vậy có vẻ ngẫu nhiên, ngay cả khi mô hình mô tả hệ thống là xác định; ví dụ về các hệ thống như vậy là bầu không khí, dòng chảy hỗn loạn, quần thể sinh học, xã hội như một hệ thống truyền thông và các hệ thống con của nó: hệ thống kinh tế, chính trị và xã hội khác.

Lý thuyết hỗn loạn cho rằng các hệ thống phức tạp phụ thuộc rất nhiều vào các điều kiện ban đầu và những thay đổi nhỏ của môi trường sẽ dẫn đến những hậu quả khó lường.

Các hệ thống toán học với hành vi hỗn loạn có tính tất định, nghĩa là chúng tuân theo một số định luật chặt chẽ và theo một nghĩa nào đó, có trật tự.

Sự hỗn loạn năng động- một hiện tượng trong lý thuyết hệ động lực trong đó hành vi của hệ phi tuyến có vẻ ngẫu nhiên, mặc dù thực tế là nó được xác định bởi các quy luật tất định. Nguyên nhân dẫn đến sự hỗn loạn là do sự không ổn định đối với các điều kiện và tham số ban đầu: một sự thay đổi nhỏ ở điều kiện ban đầu theo thời gian sẽ dẫn đến những thay đổi lớn tùy ý về động lực học của hệ thống.

Vì trạng thái ban đầu của một hệ vật lý không thể được xác định chính xác tuyệt đối (ví dụ, do hạn chế của dụng cụ đo), nên luôn cần phải xem xét một số vùng (dù rất nhỏ) của các điều kiện ban đầu. Khi di chuyển trong một vùng không gian hạn chế, sự phân kỳ theo cấp số nhân của các quỹ đạo gần nhau theo thời gian dẫn đến sự trộn lẫn các điểm xuất phát trong toàn vùng. Sau khi trộn như vậy, sẽ không có ý nghĩa gì khi nói về tọa độ của hạt, nhưng bạn có thể tìm thấy xác suất tồn tại của nó tại một điểm nhất định.

Sự hỗn loạn xác định - kết hợp tính tất định và tính ngẫu nhiên, khả năng dự đoán hạn chế và không thể đoán trước và biểu hiện ở những hiện tượng đa dạng như động học của phản ứng hóa học, sự hỗn loạn của chất lỏng và khí, địa vật lý, đặc biệt là thay đổi thời tiết, phản ứng sinh lý của cơ thể, động thái dân số, dịch bệnh, hiện tượng xã hội ( Ví dụ: giá cổ phiếu).

Trong nhiều lĩnh vực tri thức (sinh học, địa lý, sư phạm), thuật ngữ “phân nhánh” có nghĩa là “phân nhánh”, “tách”. Trong động lực học phi tuyến, thuật ngữ "phân nhánh" được hiểu rộng hơn - đó là một sự thay đổi về chất trong trạng thái của hệ thống với một thay đổi nhỏ trong các tham số điều khiển. Định nghĩa từ Bách khoa toàn thư toàn cầu" của Cyril và Methodius: Phân nhánh, đạt được chất lượng mới trong các chuyển động của một hệ thống động với một thay đổi nhỏ trong các tham số của nó. Nền tảng của lý thuyết phân nhánh được đặt ra ngay từ đầu bởi A. Poincaré và A. M. Lyapunov. Thế kỷ XX, sau đó lý thuyết này được phát triển bởi A.A. Andronov và các sinh viên. Kiến thức về các nhánh chính giúp tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho việc nghiên cứu các hệ thống thực (vật lý, hóa học, sinh học, v.v.), đặc biệt, dự đoán bản chất của các chuyển động mới phát sinh tại thời điểm chuyển đổi hệ thống sang định tính. trạng thái khác nhau để đánh giá độ ổn định và vùng tồn tại của chúng.

Ví dụ, hãy xem xét một hệ thống cơ học đơn giản: một quả bóng lăn dọc theo một cái máng, biên dạng của nó được xác định bằng hệ thức:

(8.1) y(x) = x 4 + ax 2 + bx

Biểu đồ tương ứng giải thích hệ thống đang được xem xét được trình bày trong Hình 2. 8.1. Đây X- một biến xác định duy nhất vị trí của quả bóng (và do đó, trạng thái của hệ thống tại thời điểm được xem xét), MỘT Và b- các thông số kiểm soát xác định biên dạng của máng xối đang được đề cập. Khi thay đổi giá trị của các thông số điều khiển MỘT Và b biên dạng của máng xối thay đổi, kéo theo sự thay đổi trạng thái của hệ thống - vị trí của trạng thái cân bằng thay đổi, quả bóng di chuyển đến vị trí cân bằng mới (giá trị của biến thay đổi X). Vì vậy, việc thay đổi các thông số điều khiển MỘT Và b, chúng ta có thể thay đổi trạng thái của hệ thống.



Cơm. 8.1. Bóng ở giếng tiềm năng ( MỘT = –0,8; b= 1). Điều phối x 0 xác định vị trí của quả bóng, các thông số MỘT Và b- hồ sơ máng xối

Tất cả các giá trị có thể có của các tham số điều khiển có thể được hình dung dưới dạng một mặt phẳng ( một, b), được gọi là mặt phẳng tham số điều khiển. Bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng này đều tương ứng duy nhất với một loại biên dạng rất cụ thể của rãnh mà quả bóng lăn dọc theo. Và ngược lại, bất kỳ rãnh nào có dạng (8.1) đều có thể đặt tương ứng với một điểm trên mặt phẳng ( một, b). Nếu không có hai mà có nhiều tham số điều khiển hơn (ví dụ: ba), thì chúng ta đang nói về một không gian tham số. Tuy nhiên, chúng ta hãy quay trở lại với khái niệm “phân nhánh”. Vấn đề là với những thay đổi nhỏ trong giá trị của các tham số điều khiển, sẽ xảy ra sự thay đổi về chất về trạng thái của hệ thống. Chúng tôi nhấn mạnh hai điểm quan trọng: những thay đổi nhỏ trong giá trị của các tham số điều khiển và sự thay đổi về chất trong trạng thái của hệ thống. Nói cách khác, tất nhiên, bất kỳ thay đổi (nhỏ) nào trong các tham số điều khiển đều dẫn đến thay đổi trạng thái của hệ thống, nhưng nếu sự khác biệt giữa trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng không khác nhau về chất, thì chúng ta không thể nói về sự phân nhánh.

Hãy để chúng tôi giải thích điều này bằng ví dụ về một quả bóng trong một lỗ tiềm năng. Trong bộ lễ phục. 8.2 thể hiện mặt phẳng các thông số điều khiển ( một, b), và tại một số điểm, hình dạng của rãnh được thể hiện dọc theo đó quả bóng có thể lăn. Ví dụ, từ hình vẽ, có thể thấy rõ rằng tại điểm 3 và 4 của mặt phẳng tham số, tất nhiên, các cấu hình máng xối khác nhau, nhưng sự khác biệt này là về số lượng chứ không phải về chất lượng. Về mặt định tính, cả hai cấu hình này đều giống nhau: chúng có một mức tối thiểu và do đó có một trạng thái cân bằng ổn định. Đồng thời, trên mặt phẳng tham số có một vùng (được giới hạn bởi các đường chấm) trong đó máng có ba trạng thái cân bằng. Rãnh có ba điểm mà tại đó quả bóng có thể ở trạng thái cân bằng; hai trong số các trạng thái này ổn định và một trạng thái không ổn định.

Cơm. 8.2. Mặt phẳng tham số điều khiển ( một, b) và sự xuất hiện của giếng thế tại một số điểm trong mặt phẳng tham số

Nếu quả bóng ở trạng thái cân bằng không ổn định (Hình 8.3), thì bất kỳ tác động dù nhỏ nào lên nó (và những tác động đó chắc chắn sớm hay muộn sẽ được nhận ra) sẽ đưa quả bóng ra khỏi trạng thái cân bằng này, và nó sẽ lăn vào một trong các lỗ - lỗ bên trái hoặc bên phải. Ở cả hai lỗ bên trái và bên phải, quả bóng sẽ ở trạng thái cân bằng ổn định bao lâu tùy ý. Quả bóng sẽ rơi vào lỗ nào trong hai lỗ này được xác định một cách ngẫu nhiên. Những hệ thống như vậy, trong đó có thể có một số trạng thái ổn định (trong đó, tất nhiên, chỉ có một trạng thái được thực hiện), được gọi là đa ổn định, và bản thân hiện tượng này được gọi là đa ổn định.

Cơm. 8.3. Một hệ ở trạng thái cân bằng không ổn định. Những tác động nhỏ từ bên ngoài lên hệ thống chắc chắn sẽ dẫn đến việc hệ thống chuyển sang trạng thái cân bằng ổn định

Rõ ràng là một máng có hai hố (và ba trạng thái cân bằng) khác về mặt chất lượng với một máng có một trạng thái cân bằng. Như bạn có thể đoán, quá trình chuyển đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác, khác nhau về chất, được thực hiện trên các đường chấm (xem Hình 8.2). Nếu bạn “đến” đủ gần đường chấm trên mặt phẳng của các tham số điều khiển, thì bằng cách thay đổi một chút tham số điều khiển, bạn có thể vượt qua đường này, điều này sẽ dẫn đến việc tái cấu trúc về mặt chất lượng của toàn bộ hệ thống. Cái được gọi là phân nhánh sẽ xảy ra: một sự thay đổi về chất trong trạng thái của hệ thống với một thay đổi nhỏ trong các tham số điều khiển. Đường tại giao điểm xảy ra sự phân nhánh được gọi là đường phân nhánh và các giá trị của các tham số tại đó quan sát được sự phân nhánh được gọi là các tham số phân nhánh.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét bản chất của các hiện tượng xảy ra từ quan điểm của quả bóng nằm trong rãnh nước. Cho các tham số điều khiển MỘT Và b thay đổi từ từ như thể hiện bằng mũi tên trong hình. 8.4. Theo những thay đổi về thông số điều khiển, cấu hình máng xối liên tục thay đổi. Tại điểm 1 của mặt phẳng tham số, máng có một trạng thái cân bằng ổn định, trong đó quả bóng nằm. Khi vượt qua đường chấm tại điểm 2, một mức tối thiểu và một mức tối đa khác sẽ xuất hiện ở đáy, tức là. hai trạng thái cân bằng nữa xuất hiện, một trạng thái ổn định (tối thiểu) còn trạng thái kia thì không. Khi chúng ta di chuyển xa hơn dọc theo mặt phẳng tham số dọc theo tuyến đường đã chỉ định, mức tối thiểu thứ hai ngày càng trở nên sâu hơn (điểm 3) và khi đạt đến điểm 4, độ sâu của cả hai hố của rãnh sẽ giống nhau. Trong trường hợp này, cả hai trạng thái cân bằng đều “bằng nhau”. Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng quả bóng thậm chí còn chưa “nhận thấy” sự xuất hiện của trạng thái cân bằng thứ hai, trong đó nó có thể xuất hiện. Đối với quả bóng, hầu như không có gì thay đổi: nó vẫn ở trong lỗ và tiếp tục ở đó. Có, việc thay đổi tham số điều khiển sẽ làm thay đổi tọa độ x 0 trạng thái cân bằng và do đó là tọa độ vị trí của quả bóng, nhưng sự thay đổi này không đáng kể nên quả bóng không coi trọng nó lắm. Những thay đổi nhỏ, mượt mà không được chú ý và có vẻ không quan trọng.

Cơm. 8.4. Thay đổi trạng thái của hệ thống khi di chuyển dọc theo mặt phẳng tham số theo hướng mũi tên

Chúng ta có thực sự nghĩ rằng mỗi sáng chúng ta già đi một ngày không? Chúng ta có để ý đến thực tế là ngày 15 tháng 1 có độ dài ngày là 7 giờ 39 phút và ngày 16 tháng 1 là 7 giờ 42 phút không? Chúng ta có để ý rằng vào một ngày mùa thu, lá cây đã vàng hơn ngày hôm trước một chút không? Đây là cách những thay đổi nhỏ tích tụ mà chúng ta không chú ý đến. Một sự thay đổi nhỏ về tọa độ trạng thái cân bằng từ điểm này sang điểm khác khi di chuyển dọc theo mặt phẳng các tham số điều khiển là một điều không đáng kể và không quan trọng đến mức quả bóng không hề để ý đến nó. Có lẽ, quả bóng có thể tìm thấy sự xuất hiện của trạng thái thứ hai có thể có mà nó có thể thú vị và quan trọng, nhưng trạng thái thứ hai này vẫn vô hình đối với quả bóng, nó bị che khuất bởi những bức tường cao của rãnh và quả bóng chỉ đơn giản là không biết đến sự tồn tại của nó.

Hãy tiếp tục di chuyển dọc theo mặt phẳng của các tham số điều khiển. Tại điểm 5, độ sâu của mức tối thiểu thứ hai, “thay thế” vượt quá độ sâu của mức tối thiểu mà quả bóng nằm trong đó và chiều rộng của mức tối thiểu thứ hai cũng lớn hơn chiều rộng của mức tối thiểu thứ nhất. Rõ ràng là trạng thái cân bằng ổn định thứ hai hiện nay được ưa chuộng hơn trạng thái cân bằng thứ nhất. Tuy nhiên, quả bóng vẫn “sống” ở trạng thái cân bằng đầu tiên, và nhìn chung, không có gì thay đổi đối với nó. Trạng thái cân bằng thứ hai vẫn vô hình đối với anh ta. Mặc dù bây giờ, nếu chú ý, quả bóng có thể xác định bằng các dấu hiệu gián tiếp rằng có điều gì đó đã thay đổi trong hệ thống: các bức tường của lỗ nơi nó nằm đã trở nên ít dốc hơn và độ sâu của lỗ dường như đã nhỏ hơn. Nhưng liệu quả bóng có thể nhìn thấy đằng sau những thay đổi nhỏ này (là điềm báo của những sự kiện tiếp theo) điều gì đó nghiêm trọng hơn một số thay đổi nào đó trong môi trường của nó hay không, liệu nó có thể hiểu rằng trạng thái cân bằng hiện tại của nó đang bị đe dọa hay không, còn phụ thuộc vào nó, quả bóng, “cái nhìn sâu sắc” . Trong một hệ thống cơ học đơn giản như vậy, điều này có lẽ không khó lắm, đặc biệt nếu quả bóng có một số kinh nghiệm, tức là. nếu anh ta đã từng rơi vào tình huống tương tự vài lần. Rốt cuộc, một chuyển động nhỏ, một sự thay đổi nhỏ trong các thông số điều khiển và trạng thái cân bằng mà quả bóng đã tồn tại trong một thời gian rất dài sẽ biến mất (điểm 6), và quả bóng sẽ bị ném sang một trạng thái hoàn toàn khác.

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ cổ điển khác về sự phân nhánh, được Euler vĩ đại xem xét. Chúng ta sẽ cần một thước đo, một con dao để bàn mỏng, một lưỡi cưa sắt, một chiếc lược nhựa dài, v.v. Đặt nó thẳng đứng trên một đế vững chắc và bảo vệ bàn tay của bạn khỏi bị thương, bắt đầu ấn xuống nó (Hình 8.5). Tăng cường nỗ lực F, bạn sẽ thấy điều đó khi F b ồ lớn hơn một số giá trị Fb dải không giữ được hình dạng thẳng ban đầu (Hình 8.5a) - trạng thái này mất đi tính ổn định và thay vào đó có thể xảy ra một trong hai trạng thái khác (1 hoặc 2 trong Hình 8.5b) khi dải bị cong. Hơn nữa, trạng thái nào sẽ được thiết lập còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố nhỏ khác nhau (biến dạng ban đầu của dải, độ lệch so với phương thẳng đứng của lực tác dụng, độ rung, v.v.). Đây F- tham số điều khiển, Fb- giá trị phân nhánh của nó.

Cơm. 8,5. Thí nghiệm với thước: a) trạng thái của thước trước khi phân nhánh (giá trị F nhỏ hơn giá trị phân nhánh); b) hai trạng thái ổn định có thể có mà hệ chuyển sang khi lực vượt quá F giá trị phân nhánh Fb; c) sơ đồ phân nhánh tương ứng

Thật thuận tiện để minh họa những gì đang xảy ra trong hệ thống đang được xem xét bằng cách sử dụng đồ thị (Hình 8.5c, trong đó X- độ lệch của điểm giữa của dải so với phương thẳng đứng) - sơ đồ phân nhánh. Trong hình, các giá trị tham số được vẽ theo chiều ngang và các giá trị biến tương ứng được thiết lập trong hệ thống được vẽ theo chiều dọc (tức là đây không phải là mặt phẳng pha hoặc mặt phẳng tham số mà là một thứ gì đó kết hợp). Sơ đồ cho thấy thay vì một trạng thái được đánh dấu bằng số 0, sau khi phân nhánh, trạng thái 1 và 2 tồn tại và có thể được triển khai trong thực tế. Còn trạng thái 0 về nguyên tắc vẫn tiếp tục tồn tại ở các giá trị F, b ồ phân nhánh lớn hơn, nhưng không thể thực hiện được trên thực tế do tính không ổn định của nó.

Rõ ràng là các sự kiện thuộc định nghĩa “phân nhánh” (một sự thay đổi về chất ở trạng thái của một hệ thống với những thay đổi nhỏ trong các tham số kiểm soát) có thể dễ dàng được tìm thấy trong các hệ thống xã hội. Một ví dụ là một cuộc cách mạng tái cấu trúc triệt để đời sống thường ngày của xã hội loài người. Cũng có thể có những ví dụ ít “toàn cầu” hơn. Một người đang làm việc và làm việc ở đâu đó, rồi đột nhiên, dường như vì một chuyện vặt vãnh, anh ta nói: “Hãy đốt cháy tất cả những thứ này” và viết một lá thư từ chức. Hệ thống chuyển sang một trạng thái khác, khác về chất.

Tuy nhiên, cần lưu ý khía cạnh sau: các hệ thống xã hội cực kỳ phức tạp, và do đó cần nhớ rằng việc áp dụng các khái niệm tồn tại trong động lực phi tuyến tính vào các hệ thống đó (bao gồm cả các khái niệm về “phân nhánh”, “đa ổn định”) cần được thực hiện một cách thận trọng. , hãy nhớ rằng việc chuyển giao cơ học đơn giản có thể dẫn đến sai sót và đôi khi thậm chí là làm sai lệch. Khi chúng ta nói về một quả bóng trong giếng thế, chúng ta hoàn toàn rõ ràng những trạng thái có thể có của hệ thống mà chúng ta đang nói đến, trạng thái nào ổn định, trạng thái nào không và cuối cùng, trạng thái nào đang được hiện thực hóa tại thời điểm hiện tại. . Nhưng những trạng thái có thể có của một hệ thống xã hội có nghĩa là gì? Trạng thái được thực hiện tại một thời điểm nhất định là trạng thái duy nhất; về các trạng thái khác, liệu chúng có “tồn tại” hay không (chính xác hơn là liệu chúng có thể trở thành sự thật thay vì trạng thái hiện tại) hay không, chúng ta chỉ có thể đoán, và những phỏng đoán của chúng tôi sẽ vẫn là những phỏng đoán, về độ tin cậy mà chúng tôi cũng có thể rút ra kết luận của riêng mình, nhưng không hơn thế. Rõ ràng, khái niệm “đa ổn định” có thể được áp dụng cho các hệ thống xã hội, nhưng có lẽ không thể kiểm tra “thực nghiệm” sự tồn tại của tính đa ổn định trong các hệ thống xã hội. Không thể chỉ ra rằng tại bất kỳ thời điểm cố định nào (ví dụ: hôm nay), ngoài trạng thái đang được thực hiện, còn “tồn tại” thêm một (hoặc một số) trạng thái thay thế, mỗi trạng thái đó có thể, với một xác suất. hoặc cách khác, được thực hiện. Điều này có thể được giả định, nhưng nó không thể được xác minh bằng thực nghiệm. Và tất nhiên, việc “nhìn thấy”, “cảm nhận” rằng hệ thống xã hội đang tiến đến điểm phân nhánh, vượt quá điểm đó sẽ nảy sinh một trạng thái khác về chất, khó khăn hơn nhiều. Và nếu chúng ta thấy rằng một quả bóng nằm trong một lỗ tiềm năng, gần như cho đến giây phút cuối cùng, không “nhìn thấy” sự phân nhánh sắp xảy ra (và sự chuyển đổi của hệ thống sang một trạng thái khác), chúng ta có thể nói gì về con người và hệ thống xã hội . N.S. Ví dụ, Khrushchev đã không nhận thấy sự tiếp cận của hệ thống đến điểm phân nhánh, rời kỳ nghỉ đến Hội nghị toàn thể Ban Chấp hành Trung ương vào tháng 10 năm 1964, kết quả là ông bị cách chức Bí thư thứ nhất Ban Chấp hành Trung ương. và bị cách chức khỏi Đoàn chủ tịch, và ngày hôm sau - khỏi chức vụ Chủ tịch Hội đồng Bộ trưởng LIÊN XÔ. Và Gaius Julius Caesar vào năm 44 trước Công nguyên. Anh ta cũng không nhận thấy sự chia rẽ sắp xảy ra mà anh ta đã phải trả giá bằng mạng sống của mình.

Chúng ta hãy chú ý đến một khía cạnh quan trọng khác liên quan đến khái niệm “phân nhánh”. Tại thời điểm hệ thống (về mặt tham số) ở gần điểm phân nhánh, các nhiễu loạn nhỏ bắt đầu đóng một vai trò rất quan trọng. Những xáo trộn này có thể là ngẫu nhiên hoặc có mục đích, nhưng vai trò của chúng tăng lên đáng kể. Chúng ta hãy quay trở lại quả bóng trong giếng thế và xét hai trạng thái của hệ: xa và gần tại điểm phân nhánh (Hình 8.6). Có thể thấy rằng khi hệ nằm xa điểm phân nhánh, những tác động nhỏ lên nó không dẫn đến những thay đổi đáng kể về trạng thái của nó: quả bóng vẫn giữ nguyên vị trí như trước. Để “ném” hệ thống sang trạng thái khả thi khác, cần phải áp dụng nhiều hơn nữa ồ Những nỗ lực lớn hơn. Đồng thời, khi hệ thống ở gần điểm phân nhánh, ngay cả một tác động nhỏ (mà hệ thống đơn giản là không nhận thấy trước đó) cũng đủ để chuyển hệ thống từ trạng thái này sang trạng thái khác.

Cơm. 8.6. Hệ thống “quả bóng trong giếng thế năng” xa và gần điểm phân nhánh

Vì vậy, gần điểm phân nhánh, những tác động nhỏ lên hệ thống có thể dẫn đến những “phản ứng” lớn không cân xứng. Một yếu tố khác có thể dẫn đến sự thay đổi trạng thái của hệ thống là một thay đổi nhỏ trong các tham số điều khiển. Nếu hệ thống ở gần điểm phân nhánh, thì một sự "khuấy động" nhẹ của các tham số điều khiển có thể dẫn đến thực tế là hệ thống đã vượt ra ngoài ranh giới phân nhánh (như người ta nói, trong vùng siêu tới hạn) và bản thân hệ thống, không có bất kỳ tác động bên ngoài nào sẽ chuyển sang trạng thái mới. Sử dụng ví dụ về một quả bóng trong máng xối, sau khi vượt qua đường phân nhánh tại điểm 6 (xem Hình 8.4), trạng thái cân bằng ổn định, trong đó quả bóng đã tồn tại cho đến thời điểm đó, hợp nhất với quả bóng không ổn định và biến mất, và , do đó, quả bóng không còn cách nào khác ngoài việc “chuyển” sang trạng thái cân bằng khác.

Có rất nhiều ví dụ về hành vi tương tự của các hệ thống gần đường phân nhánh. Rõ ràng, một số giao dịch trên thị trường tài chính và chứng khoán cũng có thể được lấy làm ví dụ. Các hành động có tổ chức của một nhóm người quan tâm đến việc thực hiện một giao dịch tài chính cụ thể, được thực hiện vào đúng thời điểm, dẫn đến thực tế là hệ thống nằm gần trạng thái phân nhánh bị ảnh hưởng bởi tác động khiến nó mất cân bằng hoặc xảy ra chuyển động nhỏ của các tham số điều khiển và hệ thống tự tìm thấy ở vùng siêu tới hạn. Kết quả là, hệ thống chuyển sang trạng thái mới, chẳng hạn như cổ phần kiểm soát cuối cùng sẽ nằm trong tay của một bên quan tâm. Nhưng nếu hoạt động như vậy được thực hiện vào thời điểm hệ thống còn xa trạng thái phân nhánh thì có thể bỏ ra rất nhiều tiền nhưng không thể đạt được kết quả mong muốn.

Do đó, bằng cách tác động lên một hệ thống nằm gần trạng thái phân nhánh, có thể đạt được những thay đổi đáng kể. Một điều nữa là hệ thống xã hội không phải là một quả bóng trong rãnh nước. Xác định thời điểm một hệ thống đạt đến điểm phân nhánh là một nhiệm vụ khó khăn. Nhưng một nhiệm vụ không kém phần khó khăn và quan trọng không kém, nếu muốn quản lý các hệ thống xã hội theo cách này, là xác định xem hệ thống sẽ chuyển sang trạng thái nào sau khi rời khỏi trạng thái cân bằng.

Tuy nhiên, bạn không nên nghĩ rằng phân nhánh luôn là một loại thay đổi đột ngột nào đó, khi hệ thống thay đổi đến mức không thể nhận ra. Ví dụ về sự phân nhánh với các vị trí cân bằng cùng tồn tại được mô tả ở trên là một trong những ví dụ đơn giản nhất. Nói chung, trong lý thuyết về phân nhánh có một số lượng khá lớn các loại tình huống phân nhánh khác nhau. Ví dụ, người ta phân biệt giữa sự phân nhánh và thảm họa; Thậm chí còn có giả thuyết về thảm họa. Cần nhấn mạnh rằng sự phân nhánh có thể diễn ra suôn sẻ, đôi khi không thể nhận thấy được. Giao điểm của đường chấm chấm tại điểm 2 trong hình. 8.4 dẫn đến thực tế là hệ thống thay đổi về chất (số lượng trạng thái cân bằng ổn định có thể có trong hệ thống thay đổi), do đó xảy ra hiện tượng phân nhánh. Tuy nhiên, như đã đề cập, quả bóng nằm ở một lỗ khác không nhận thấy sự phân nhánh đã xảy ra. Một ví dụ khác với cùng hệ thống được hiển thị trong Hình. 8.7. Khi di chuyển dọc theo mặt phẳng các tham số điều khiển dọc theo đường b= 0 tại điểm Một= 0 xảy ra sự phân nhánh, trạng thái của hệ thống thay đổi về chất, nhưng sự thay đổi này diễn ra suôn sẻ, không có “thảm họa”. Quả bóng có thể nhận thấy có điều gì đó đã thay đổi trong hệ thống, vì tọa độ của nó x 0 lúc đầu (trước khi phân nhánh) nó bằng 0, sau đó trở thành khác 0. Tuy nhiên, sự thay đổi này xảy ra rất dần dần và có thể không có ý nghĩa gì.

Cơm. 8.7. Thay đổi trạng thái của hệ thống khi di chuyển dọc theo mặt phẳng tham số dọc theo một đường thẳng b= 0 theo hướng mũi tên chỉ

Nhưng ngay cả trong trường hợp này, gần điểm phân nhánh, những ảnh hưởng nhỏ lên hệ thống vẫn đóng một vai trò quan trọng. Chính những ảnh hưởng này sẽ quyết định quả bóng sẽ rơi vào lỗ nào (trái hoặc phải). Chính những tác động không đáng kể này nhìn chung sẽ quyết định số phận tương lai của hệ thống. Trong tình huống thể hiện trong hình. 8.7, tác động nhỏ khiến bóng đi vào đúng lỗ. Nếu sau khi hệ rời khỏi điểm phân nhánh, cần phải thay đổi trạng thái của hệ, cần ném bóng vào lỗ khác thì nỗ lực sẽ phải lớn hơn rất nhiều so với nỗ lực tại điểm phân nhánh đã xác định. lựa chọn sự phát triển tiếp theo của hệ thống. Một ví dụ về sự phân chia “mềm” nhưng đáng chú ý như vậy có thể là các cuộc bầu cử dân chủ. Cho đến khi cuộc bỏ phiếu diễn ra, số phận phát triển hơn nữa của đất nước có thể bị ảnh hưởng bởi những yếu tố không đáng kể nhất (thậm chí có thể là do kiểu tóc của ứng cử viên). Một khi cuộc bầu cử đã diễn ra, việc thay đổi bất cứ điều gì sẽ khó khăn hơn nhiều.

Một bài báo của I. Prigozhin mới được xuất bản, xương vẫn chưa được đúc. Thông điệp gửi thế hệ tương lai. Đặc biệt, ông viết như sau. “Tương lai không được trao trước cho chúng ta. Nhà sử học vĩ đại người Pháp Fernand Braudel đã từng nhận xét: "Các sự kiện là bụi". Điều này có đúng không? Sự kiện là gì? Sự tương tự ngay lập tức đi kèm với "sự phân nhánh", được nghiên cứu chủ yếu trong vật lý không cân bằng. Những sự phân nhánh này xuất hiện tại những điểm đặc biệt trong đó quỹ đạo mà hệ thống di chuyển được chia thành các "nhánh". Tất cả các nhánh đều có thể xảy ra như nhau, nhưng chỉ một trong số chúng sẽ được thực hiện. Thông thường, không phải một sự phân nhánh duy nhất được quan sát mà là cả một chuỗi các nhánh những sự chia rẽ... Từ thời điểm này Từ một góc nhìn, lịch sử hóa ra là một chuỗi những sự chia rẽ.”

Hơn nữa, I. Prigogine nhấn mạnh rằng các biến động ở cấp độ vi mô là nguyên nhân dẫn đến việc lựa chọn nhánh phát sinh sau điểm phân nhánh (chúng xác định sự kiện sẽ xảy ra). Khi áp dụng vào xã hội (theo Prigogine, cách áp dụng như vậy là một phép ẩn dụ), một sự kiện thể hiện sự xuất hiện của một cấu trúc xã hội mới sau khi trải qua một ngã rẽ, và những biến động là hệ quả của hành động cá nhân. Như vậy, sự kiện có một cấu trúc vi mô. Lấy ví dụ, I. Prigogine xem xét cuộc cách mạng năm 1917 ở Nga, chỉ ra rằng sự kết thúc của chế độ Sa hoàng có thể diễn ra dưới nhiều hình thức khác nhau. Ông tin rằng nhánh mà sự phát triển diễn ra là kết quả của những hành động “biến động” liên quan đến sự thiếu tầm nhìn xa của Sa hoàng, sự không được ưa chuộng của vợ ông, sự yếu đuối của Kerensky và bạo lực của Lenin. Cấu trúc vi mô này xác định tất cả các sự kiện tiếp theo.

“Do đó, thông điệp của tôi gửi đến các thế hệ tương lai là con súc sắc vẫn chưa được đúc, nhánh mà sự phát triển sẽ đi sau khi phân nhánh vẫn chưa được chọn. Chúng ta đang sống trong một thời đại đầy biến động trong đó hành động của mỗi cá nhân vẫn là điều cần thiết... Tôi tin vào sự xuất hiện của những biến động cần thiết mà qua đó những nguy hiểm mà chúng ta cảm thấy ngày nay có thể được khắc phục thành công.”

Và furcatus trong tiếng Latinh thời trung cổ - chia đôi, từ furca trong tiếng Latinh - cây chĩa hai mũi), phân nhánh, phân nhánh. Trong lý thuyết dao động và lý thuyết hệ động lực, phân nhánh là sự tái cấu trúc bản chất chuyển động của một hệ thống thực (vật lý, hóa học, sinh học), sự chuyển đổi của nó sang trạng thái định tính mới với một sự thay đổi nhỏ trơn tru ở một hoặc một số thông số. Các giá trị tham số tại đó quan sát thấy sự phân nhánh được gọi là giá trị phân nhánh. Về mặt toán học, phân nhánh là sự thay đổi cấu trúc phân chia không gian pha của hệ động lực thành các quỹ đạo với một thay đổi nhỏ trong các tham số của nó.

Lý thuyết phân nhánh cho phép hiểu cả các hiện tượng vật lý trong cơ học (hành vi của hạt trong giếng thế năng), quang học (điều kiện xảy ra sự phát ra tia laser), lý thuyết về dao động (tự dao động) và một số lý thuyết về dao động (tự dao động). các quá trình hóa học (ví dụ, các phản ứng dao động như phản ứng Belousov-Zhabotinsky). Ngoài ra, lý thuyết phân nhánh còn có thể áp dụng để mô tả một số hiện tượng về sinh thái và động thái quần thể, điều kiện cùng tồn tại của các loài (động vật ăn thịt - con mồi), quá trình tiến hóa và đột biến sinh học, tương tác và phát triển của các hệ thống xã hội, v.v..

Ví dụ đơn giản nhất về sự phân nhánh là sự oằn của một thanh chịu tải thẳng đứng theo hướng này hay hướng khác khi vượt quá tải trọng tới hạn, được xem xét bởi L. Euler (Hình 1). Lý thuyết phân nhánh là phổ quát. Kiến thức về các loại phân nhánh chính giúp tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho việc nghiên cứu các hệ thống thực, dự đoán bản chất của các chuyển động mới phát sinh tại thời điểm hệ thống chuyển sang trạng thái khác về chất và đánh giá tính ổn định và khu vực tồn tại của chúng.

Nền tảng của lý thuyết phân nhánh được đặt ra bởi A. Poincaré và A. M. Lyapunov vào đầu thế kỷ 20. Đóng góp quan trọng nhất cho sự phát triển của nó được thực hiện bởi A. A. Andronov và L. S. Pontryagin, những người đã đưa ra khái niệm về độ nhám (sự ổn định về cấu trúc) của các hệ động lực trên một mặt phẳng. Các hệ thống thô giữ lại cấu trúc định tính của việc chia không gian pha thành các quỹ đạo với những thay đổi nhỏ về tham số. Sự vi phạm các điều kiện độ nhám xảy ra ở các giá trị phân nhánh của các tham số, khi hệ thống trở nên không thô. Các loại hành vi phổ biến nhất của các hệ thống có nguồn gốc khác nhau là trạng thái cân bằng và chuyển động định kỳ. Hình ảnh toán học của chuyển động tuần hoàn là một chu trình giới hạn. Lý thuyết phân nhánh cho các hệ có trạng thái cân bằng và chu trình giới hạn được phát triển chủ yếu bởi A. A. Andronov và các học trò của ông.

Hệ thống ở trạng thái ổn định (trạng thái cân bằng ổn định) nếu, với một sai lệch nhỏ so với nó, nó sẽ quay trở lại trạng thái này (Hình 2a). Theo nghĩa này, những vị trí cân bằng như vậy dường như tự thu hút về phía mình, đó là lý do tại sao chúng được gọi là điểm thu hút (từ tiếng Anh thu hút - thu hút). Mỗi điểm thu hút có vùng hấp dẫn riêng - một tập hợp các điều kiện ban đầu (tọa độ và vận tốc của quả bóng, như trong Hình 2a), theo độ lệch mà hệ thống trở về trạng thái tương tự theo thời gian. Hệ thống ở trạng thái cân bằng không ổn định nếu với một sai lệch nhỏ so với nó, nó không trở lại trạng thái này (Hình 2b).

Một hệ thống ở trạng thái đứng yên ổn định có thể gặp phải tình trạng phân nhánh khi nó mất tính ổn định, chẳng hạn như hợp nhất với một hệ thống không ổn định (Hình 3a-c). Trong trường hợp này, khi tham số đi qua giá trị phân nhánh (Hình 3b), hệ thống sẽ chuyển sang vùng khác, cách xa vùng ban đầu (Hình 3c).

Sự phân nhánh, trong đó trạng thái cân bằng ổn định của hệ thống, được quan sát trước khi tham số đi qua điểm phân nhánh, được thay thế bằng chuyển động tuần hoàn ổn định, được nghiên cứu bởi A. A. Andronov và E. Hopf và mang tên của họ. Một loại phân nhánh Andronov-Hopf khác là kích thích cứng, khi tham số hệ thống thay đổi sao cho chu kỳ giới hạn không ổn định co lại về trạng thái ổn định đứng yên và hợp nhất với nó tại thời điểm phân nhánh. Trong trường hợp này, diện tích lực hút ở trạng thái đứng yên của hệ và kích thước của chu kỳ giới hạn giảm xuống 0, do đó hệ mất ổn định và chuyển sang chế độ chuyển động khác.

Một chuyển động tuần hoàn ổn định cũng có thể trải qua quá trình phân nhánh, hoặc hợp nhất với một chuyển động tuần hoàn không ổn định hoặc mất đi tính ổn định của nó. Trong trường hợp sau, các chuyển động tuần hoàn có chu kỳ kép hoặc dao động bán tuần hoàn (được gọi là hình xuyến bất biến hai chiều) có thể phát sinh từ các chuyển động tuần hoàn. Dao động bán tuần hoàn là những chuyển động có hai hoặc nhiều tần số không chính xác (độc lập hợp lý). Ví dụ, những dao động như vậy được quan sát thấy trong một hệ gồm hai con lắc ghép đôi có tần số ω 1 và ω 2 với ω 1 /ω 2 ≠ k/m, trong đó k và m là số nguyên.

Trong các hệ thống phi tuyến, khi các tham số thay đổi, có thể xảy ra một chuỗi hữu hạn (hoặc thậm chí vô hạn), dẫn đến sự xuất hiện của hỗn loạn động (xem thêm Lực hút lạ).

Lít.: Andronov A. A. và các cộng sự Lý thuyết về sự phân nhánh của các hệ động lực trên một mặt phẳng. M., 1967; Arnold V.I. và những người khác Lý thuyết về phân nhánh // Các vấn đề toán học hiện đại. Các hướng cơ bản. M., 1986. T.5; Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Giới thiệu về hiệp lực. M., 1990.

Ấn phẩm này được trích dẫn trong (tổng cộng trong 63 bài viết)

Lý thuyết phân nhánh

Chú thích: Lý thuyết về sự phân nhánh của các phương trình vi phân gần vị trí cân bằng và chu trình giới hạn được trình bày trong hai chương đầu tiên, phần trình bày bắt đầu với các khái niệm và sự kiện cơ bản và kết thúc bằng những kết quả mới về sự phân nhánh trong các họ một tham số điển hình xảy ra tại ranh giới của một tập hợp các hệ thống Morse-Smale. Dao động hồi phục được nghiên cứu từ quan điểm của lý thuyết về điểm kỳ dị và lý thuyết về dạng chuẩn tắc; kết quả về độ trễ mất ổn định và giải pháp vịt được bao gồm.
Kinh thánh 206.

Toàn văn: Tệp PDF (31704 kB)

Cơ sở dữ liệu trừu tượng:

Loại thư: Bài báo
UDC: 517.925 +517.928

Mẫu trích dẫn: V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov, “Lý thuyết về sự phân nhánh”, Hệ thống động - 5, Kết quả khoa học và công nghệ. Ser. Chúng ta hãy nói dối. vấn đề chiếu. Fundam. chỉ dẫn, 5, VINITI, M., 1986, 5-218

Định dạng trích dẫn AMSBIB

\Bibitem(ArnAfrIly86)
\by V.~I.~Arnold, V.~S.~Afraimovich, Yu.~S.~Ilyashenko, L.~P.~Shilnikov
\paper Lý thuyết phân nhánh
\inbook Hệ thống động~--~5
\nối tiếp Kết quả Khoa học và Công nghệ. Ser. Chúng ta hãy nói dối. vấn đề chiếu. Fundam. hướng
\năm 1986
\tập 5
\trang 5--218
\publ VINITI
\publaddr M.
\mathnet(http://mi.site/intf40)
\mathscinet(http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653)
\zmath(https://zbmath.org/?q=an:0797.58003)

Các liên kết mẫu đến trang này:

  • http://mi.site/intf40
  • http://mi.site/rus/intf/v5/p5
    GỬI:

    Ấn phẩm này được trích dẫn trong các bài viết sau:

    1. G. R. Belitsky, “Sự tương đương trơn tru của mầm trường vectơ với một số 0 hoặc một cặp giá trị riêng tưởng tượng thuần túy”, chức năng phân tích và tính từ của nó., 20:4 (1986), 1-8; G. R. Belitskii, “Sự tương đương trơn tru của mầm trường vectơ với một giá trị riêng bằng 0 hoặc một cặp giá trị riêng tưởng tượng thuần túy”, Funct. Hậu môn. ứng dụng. , 20:4 (1986), 253-259
    2. M.A. Shereshevsky, “Về chiều Hausdorff của các tập hợp cơ sở fractal phát sinh từ một số phân nhánh toàn cầu của dòng chảy trên các đa tạp ba chiều”, Toán học Nga. M. A. Shereshevskii, “Về chiều Hausdorff của các tập hợp cơ sở fractal phát sinh trong các phân nhánh toàn cầu nhất định của dòng chảy trên các đa tạp ba chiều”, Toán học Nga. Khảo sát, 43:3 (1988), 223-224
    3. A.V. Babin, M.I. Vishik, “Hiệu ứng tiệm cận quang phổ và ổn định của nghiệm của phương trình tiến hóa phi tuyến”, Uspekhi Mat. Nauk, 43:5(263) (1988), 99-132; A. V. Babin, M. I. Vishik, “Hành vi tiệm cận quang phổ và ổn định của nghiệm của phương trình tiến hóa phi tuyến tính”, Toán học Nga. Khảo sát, 43:5 (1988), 121-164
    4. B. A. Khesin, “Biến dạng ngược của giao của đa tạp con bất biến của hệ động lực”, Toán học Nga. B. A. Khesin, “Biến dạng ngược của giao của đa tạp con bất biến của hệ động lực”, Toán học Nga. Khảo sát, 44:3 (1989), 201-203
    5. Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Ykovenko, “Làm mịn hoàn toàn các dạng chuẩn tắc của các họ dị cấu và trường vectơ địa phương.”, Uspekhi Mat. Nauk, 46:1(277) (1991), 3-39; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Ykovenko, “Dạng chuẩn trực hữu hạn trơn của các họ dị cấu và trường vectơ địa phương”, Toán Nga. Khảo sát, 46:1 (1991), 1-43
    6. I. D. Chueshov, “Các điểm thu hút toàn cục trong các bài toán phi tuyến của vật lý toán học”, Uspekhi Mat. Nauk, 48:3(291) (1993), 135-162; I. D. Chueshov, “Các tập hút toàn cục cho các bài toán phi tuyến tính của vật lý toán học”, Toán Nga. Khảo sát, 48:3 (1993), 133-161
    7. E.V. Nikolaev, “Sự phân chia các chu trình giới hạn của phương trình vi phân thừa nhận tính đối xứng liên quan”, Mat. Đã ngồi. , 186:4 (1995), 143-160; E. V. Nikolaev, “Sự phân chia các chu trình giới hạn của phương trình vi phân thừa nhận tính đối xứng liên quan”, Sb. Toán học. , 186:4 (1995), 611-627
    8. S.V. Gonchenko, “$\Omega$ -mô-đun liên hợp của các phép dị hình hai chiều với đường viền dị nghiêng không thô”, Mat. Đã ngồi. , 187:9 (1996), 3-24; S. V. Gonchenko, “Các mô-đun của $\Omega$ -liên hợp của các phép dị hình hai chiều với đường viền dị nghiêng không ổn định về mặt cấu trúc”, Sb. Toán học. , 187:9 (1996), 1261-1281
    9. D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vasiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovansky, “Vladimir Igorevich Arnold (vào ngày sinh nhật thứ sáu mươi của ông)”, Toán Nga, 1997), 235-255; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, “Vladimir Igorevich Arnol”d (vào ngày sinh nhật lần thứ 60 của ông)”, Toán học Nga. Surveys, 52 :5 (1997), 1117-1139
    10. S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Sự lan truyền và phân tán các điểm gấp khúc trong môi trường phi tuyến không đồng nhất”, TMF, 112:3 (1997), 384-394; S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Sự lan truyền và phân tán các đường gấp khúc trong môi trường phi tuyến không đồng nhất”, Theoret. và Toán. Vật lý. , 112:3 (1997), 1104-1112
    11. E. A. Sataev, “Đạo hàm Schwartz cho các luồng và ánh xạ đa chiều”, Mat. Đã ngồi. , 190:1 (1999), 139-160; E. A. Sataev, “Đạo hàm Schwartzian cho các bản đồ và dòng chảy đa chiều”, Sb. Toán học. , 190:1 (1999), 143-164
    12. E. E. Shnol, E. V. Nikolaev, “Về sự phân nhánh của các vị trí cân bằng đối xứng tương ứng với các giá trị riêng kép”, Matem. Đã ngồi. , 190:9 (1999), 127-150; È. È. Shnol", E. V. Nikolaev, "Về sự phân nhánh của cân bằng tương ứng với giá trị riêng kép", Sb. Math. , 190 :9 (1999), 1353-1376
    13. Yu.N. Bibikov, “Tính ổn định và phân nhánh dưới sự nhiễu loạn định kỳ của vị trí cân bằng của một bộ dao động có tần số dao động vô cùng lớn hoặc vô cùng nhỏ”, Matem. Ghi chú, 65:3 (1999), 323-335; Yu. N. Bibikov, “Tính ổn định và phân nhánh dưới các nhiễu loạn định kỳ của vị trí cân bằng của một bộ dao động có tần số dao động vô cùng lớn hoặc vô cùng nhỏ”, Math. Ghi chú, 65:3 (1999), 269-279
    14. E. E. Shnol, “Các khối đa diện đều và các phân nhánh của vị trí cân bằng đối xứng của các phương trình vi phân thông thường”, Matem. Đã ngồi. , 191:8 (2000), 141-157; È. È. Shnol", “Các khối đa diện đều và các phân nhánh của cân bằng đối xứng của các phương trình vi phân thông thường”, Sb. Math. , 191 :8 (2000), 1243-1258
    15. S.V. Bogatyrev, “Vòng quay vịt trong hệ thống Lienard”, Vestn. Riêng tôi. tình trạng tech. un-ta. Ser. Vật lý-toán học. Khoa học, 12, SamSTU, Samara, 2001, 36-39
    16. L. I. Kononenko, “Phân tích định tính các hệ thống bị nhiễu loạn đơn lẻ với một hoặc hai biến chậm và nhanh”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 5 :4 (2002), 55-62
    17. E. P. Volokitin, S. A. Treskov, “Sơ đồ phân nhánh của hệ lập phương kiểu Liénard”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 5 :3 (2002), 67-75
    18. E. A. Shchepakina, “Điều kiện an toàn để đánh lửa chất lỏng dễ cháy trong vật liệu cách điện xốp,” Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 5 :3 (2002), 162-169
    19. M. D. Novikov, B. M. Pavlov, “Về một số hệ thống dòng chảy đơn giản với chế độ hỗn loạn”, Toán học. người mẫu, 14 :11 (2002), 63-77
    20. E. A. Shchepakina, “Bề mặt tích phân hút-đẩy trong các vấn đề cháy”, Toán học. người mẫu, 14 :3 (2002), 30-42
    21. O. D. Anosova, “Đa tạp bất biến trong các hệ nhiễu loạn đơn lẻ”, Bài viết sưu tầm. Đến kỷ niệm 80 năm ngày sinh của viện sĩ Evgeniy Frolovich Mishchenko, Tr. Viện Toán học Steklov, 236, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2002, 27-32; O. D. Anosova, “Đa tạp bất biến trong các hệ nhiễu loạn đơn phương”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 236 (2002), 19-24
    22. E. A. Shchepakina, “Các mô hình đốt cháy nhiễu loạn đơn lẻ trong môi trường nhiều pha”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 6 :4 (2003), 142-157
    23. E. A. Shchepakina, “Những nhiễu loạn đơn lẻ trong vấn đề mô hình hóa các chế độ đốt an toàn”, Toán học. người mẫu, 15 :8 (2003), 113-117
    24. L. I. Kononenko, “Phân tích vô hạn các hệ thống đơn lẻ với các biến nhanh và chậm”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 6 :4 (2003), 51-59
    25. L.G. Kurakin, V.I. Yudovich, “Về sự phân nhánh của cân bằng khi tính đối xứng của một hệ động lực bị phá hủy”, Sibirsk. toán học. tạp chí , 45:2 (2004), 356-374; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, “Về sự phân nhánh cân bằng trong sự sụp đổ đối xứng của một hệ động lực”, Siberian Math. J., 45:2 (2004), 294-310
    26. S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “Về sự phân nhánh của sự ra đời của các đường cong bất biến khép kín trong trường hợp dị hình hai chiều với tiếp tuyến đồng hình”, Hệ động lực và các chủ đề liên quan trong hình học, Tóm tắt bài viết. Dành để tưởng nhớ Viện sĩ Andrei Andreevich Bolibrukh, Tr. Viện Toán học Steklov, 244, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2004, 87-114; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “Về sự phân nhánh của sự ra đời của các đường cong bất biến khép kín trong trường hợp các phép dị hình hai chiều với các tiếp tuyến đồng hình”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 244 (2004), 80-105
    27. J. Guckenheimer, R. Haiduc, “Canards tại các nút gấp”, Mosc. Toán học. J., 5:1 (2005), 91-103
    28. E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Hành vi tiệm cận của nghiệm cho mô hình mạng tinh thể phi tuyến mạnh”, TMF, 143:3 (2005), 357-367; E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Hành vi tiệm cận của các nghiệm của mô hình phi tuyến mạnh của mạng tinh thể”, Lý thuyết. và Toán. Vật lý. , 143:3 (2005), 782-791
    29. A. R. Borisyuk, “Sự phân nhánh toàn cầu trên chai Klein. Trường hợp chung”, Matem. Đã ngồi. , 196:4 (2005), 3-22; A. R. Borisyuk, “Sự phân nhánh toàn cầu trên chai Klein. Trường hợp tổng quát”, Sb. Toán học. , 196:4 (2005), 465-483
    30. E. P. Belan, “Về động lực học của sóng truyền trong phương trình parabol với phép biến đổi độ dịch chuyển của biến không gian”, tạp chí toán học. vật lý, hậu môn, địa lý., 1 :1 (2005), 3-34
    31. T. S. Firsova, “Cấu trúc liên kết phân tích trong $\mathbb C^2$ . Tài sản Kupka-Smale”, Phương trình vi phân phân tích phi tuyến, Tuyển tập các bài viết, Tr. Viện Toán học Steklov, 254, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2006, 162-180; T. S. Firsova, “Cấu trúc liên kết của các phân tích phân tích trong $\mathbb C^2$ . Thuộc tính Kupka-Smale”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 254 (2006), 152-168
    32. A. O. Remizov, “Cấu trúc Poincaré đa chiều và điểm kỳ dị của trường nâng cho phương trình vi phân ẩn”, Kiểm soát tối ưu, SMFN, 19, RUDN, M., 2006, 131-170; A. O. Remizov, “Việc xây dựng Poincaré nhiều chiều và các điểm kỳ dị của trường nâng cho các phương trình vi phân ẩn”, Tạp chí khoa học toán học, 151 :6 (2008), 3561-3602
    33. L. I. Kononenko, “Phân tích định tính của một hệ nhiễu loạn đơn lẻ trong $\mathbb R^3$ ”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 10:4 (2007), 76-82; L. I. Kononenko, “Phân tích định tính của một hệ nhiễu loạn đơn lẻ trong $\mathbb R^3$ ”, J. Appl. Công nghiệp Toán học. , 3 :4 (2009), 456-461
    34. Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Sự ổn định về cấu trúc của các bất đẳng thức động đơn giản nhất”, Hệ thống động và tối ưu hóa, Tóm tắt bài viết. Nhân kỷ niệm 70 năm ngày sinh của viện sĩ Dmitry Viktorovich Anosov, Tr. Viện Toán học Steklov, 256, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2007, 89-101; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Sự ổn định về cấu trúc của những bất bình đẳng động đơn giản nhất”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 256 (2007), 80-91
    35. F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, E. E. Shnol, E. A. Ermkova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Các phương thức phức tạp của sự lan truyền kích thích và tự tổ chức trong các mô hình đông máu”, UFN, 177:1 (2007), 87-104 ; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, E. È. Shnol", E. A. Ermkova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Các chế độ phức tạp của sự lan truyền sự kích thích và tự tổ chức trong mô hình đông máu”, Phys. Usp. , 50 : 1 (2007), 79-94
    36. P. D. Lebedev, “Tính độ không lồi của các tập phẳng”, Tr. IMM URO RAS, 13, Số 3, 2007, 84-94
    37. “Vladimir Igorevich Arnold (vào ngày sinh nhật thứ bảy mươi của ông)”, Uspekhi Mat. Nauk, 62:5(377) (2007), 175-184; “Vladimir Igorevich Arnol”d (vào ngày sinh nhật lần thứ 70 của ông)”, Toán học Nga. Surveys, 62:5 (2007), 1021-1030
    38. Yu. M. Aponin, E. A. Aponina, “Thứ bậc của các mô hình sinh học toán học và các phương pháp số và phân tích cho nghiên cứu của họ (đánh giá)”, Toán học. sinh học và tin sinh học., 2 :2 (2007), 347-360
    39. E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Mô hình hóa các quá trình đốt an toàn với nhiệt độ tối đa”, Toán học. người mẫu, 20:5 (2008), 55-68; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Mô hình đốt cháy an toàn với nhiệt độ tối đa”, Math. Mô hình máy tính. Mô phỏng. , 1 :2 (2009), 322-334
    40. V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Điểm kỳ dị huyền thoại trong các hệ phương trình vi phân thường ẩn và hệ động lực nhanh-chậm”, Phương trình vi phân và hệ động lực, Tuyển tập các bài viết, Tr. Steklov, 261, MAIK "Science/Inter Periodica", M., 2008, 140-153; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Những điểm kỳ dị huyền thoại trong các hệ thống ODE ngầm định và các hệ thống động lực nhanh-chậm”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 261 (2008), 136-148
    41. N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmkova, “Về nghiệm xuyên tâm của phương trình Swift-Hoenberg”, Phương trình vi phân và hệ động lực, Tuyển tập các bài viết, Tr. Steklov, 261, MAIK "Science/Inter Periodica", M., 2008, 188-209; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmkova, “Về các giải pháp xuyên tâm của phương trình Swift-Hohenberg”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 261 (2008), 183-203
    42. P. D. Lebedev, A. A. Uspensky, “Hình học và tiệm cận của các mặt sóng”, Izv. trường đại học Toán học., 2008, số 3, 27-37; P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Hình học và sự tiệm cận của các dạng sóng”, Toán Nga. (Iz. VUZ), 52:3 (2008), 24-33
    43. L. I. Kononenko, “Sự thư giãn trong các hệ nhiễu loạn đơn lẻ trên máy bay”, Vestn. NSU. Ser. toán học, cơ học, thông tin, 9 :4 (2009), 45-50
    44. D. V. Anosov, “Về các công trình toán học của L. S. Pontryagin”, Phương trình vi phân và cấu trúc liên kết. TÔI, Tóm tắt bài viết. Nhân kỷ niệm 100 năm ngày sinh của viện sĩ Lev Semenovich Pontryagin, Tr. Steklov, 268, MAIK "Science/Inter Periodica", M., 2010, 23-11; D. V. Anosov, “Về công trình toán học của L. S. Pontryagin”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 268 (2010), 5-16