trang chủ > Rèm cửa > Sự phân nhánh của hệ thống động. Sự phân nhánh (lý thuyết dao động) Tìm sự phân nhánh


Sự phân nhánh của hệ thống động. Sự phân nhánh (lý thuyết dao động) Tìm sự phân nhánh




Ấn phẩm này được trích dẫn trong (tổng cộng trong 63 bài viết)

Lý thuyết phân nhánh

Chú thích: Lý thuyết về sự phân nhánh của các phương trình vi phân gần vị trí cân bằng và chu trình giới hạn được trình bày trong hai chương đầu tiên, phần trình bày bắt đầu với các khái niệm và sự kiện cơ bản và kết thúc bằng những kết quả mới về sự phân nhánh trong các họ một tham số điển hình xảy ra tại ranh giới của một tập hợp các hệ thống Morse-Smale. Dao động hồi phục được nghiên cứu từ quan điểm của lý thuyết về điểm kỳ dị và lý thuyết về dạng chuẩn tắc; kết quả về độ trễ mất ổn định và giải pháp vịt được bao gồm.
Kinh thánh 206.

Toàn văn: Tệp PDF (31704 kB)

Cơ sở dữ liệu trừu tượng:

Loại thư: Bài báo
UDC: 517.925 +517.928

Mẫu trích dẫn: V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov, “Lý thuyết phân nhánh”, Hệ thống động - 5, Kết quả khoa học và công nghệ. Ser. Chúng ta hãy nói dối. vấn đề chiếu. Fundam. chỉ dẫn, 5, VINITI, M., 1986, 5-218

Định dạng trích dẫn AMSBIB

\Bibitem(ArnAfrIly86)
\by V.~I.~Arnold, V.~S.~Afraimovich, Yu.~S.~Ilyashenko, L.~P.~Shilnikov
\paper Lý thuyết phân nhánh
\inbook Hệ thống động~--~5
\nối tiếp Kết quả Khoa học và Công nghệ. Ser. Chúng ta hãy nói dối. vấn đề chiếu. Fundam. hướng
\năm 1986
\tập 5
\trang 5--218
\publ VINITI
\publaddr M.
\mathnet(http://mi.site/intf40)
\mathscinet(http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653)
\zmath(https://zbmath.org/?q=an:0797.58003)

Các liên kết mẫu đến trang này:

  • http://mi.site/intf40
  • http://mi.site/rus/intf/v5/p5
    GỬI:

    Ấn phẩm này được trích dẫn trong các bài viết sau:

    1. G. R. Belitsky, “Sự tương đương trơn tru của mầm trường vectơ với một số 0 hoặc một cặp giá trị riêng tưởng tượng thuần túy”, chức năng phân tích và tính từ của nó., 20:4 (1986), 1-8; G. R. Belitskii, “Sự tương đương trơn tru của mầm trường vectơ với một giá trị riêng bằng 0 hoặc một cặp giá trị riêng tưởng tượng thuần túy”, Funct. Hậu môn. ứng dụng. , 20:4 (1986), 253-259
    2. M.A. Shereshevsky, “Về chiều Hausdorff của các tập hợp cơ sở fractal phát sinh từ một số phân nhánh toàn cầu của dòng chảy trên các đa tạp ba chiều”, Toán học Nga. M. A. Shereshevskii, “Về chiều Hausdorff của các tập cơ sở fractal phát sinh trong các phân nhánh toàn cầu nhất định của dòng chảy trên các đa tạp ba chiều”, Toán học Nga. Khảo sát, 43:3 (1988), 223-224
    3. A.V. Babin, M.I. Vishik, “Hiệu ứng tiệm cận quang phổ và ổn định của nghiệm của phương trình tiến hóa phi tuyến”, Uspekhi Mat. Nauk, 43:5(263) (1988), 99-132; A. V. Babin, M. I. Vishik, “Hành vi tiệm cận quang phổ và ổn định của nghiệm của phương trình tiến hóa phi tuyến tính”, Toán học Nga. Khảo sát, 43:5 (1988), 121-164
    4. B. A. Khesin, “Biến dạng ngược của giao của đa tạp con bất biến của hệ động lực”, Toán học Nga. B. A. Khesin, “Biến dạng ngược của giao của đa tạp con bất biến của hệ động lực”, Toán học Nga. Khảo sát, 44:3 (1989), 201-203
    5. Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Ykovenko, “Làm mịn hoàn toàn các dạng chuẩn tắc của các họ dị cấu và trường vectơ địa phương.”, Uspekhi Mat. Nauk, 46:1(277) (1991), 3-39; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Ykovenko, “Dạng chuẩn trực hữu hạn trơn của các họ dị cấu và trường vectơ địa phương”, Toán Nga. Khảo sát, 46:1 (1991), 1-43
    6. I. D. Chueshov, “Các điểm thu hút toàn cục trong các bài toán phi tuyến của vật lý toán học”, Uspekhi Mat. Nauk, 48:3(291) (1993), 135-162; I. D. Chueshov, “Các tập hút toàn cục cho các bài toán phi tuyến tính của vật lý toán học”, Toán Nga. Khảo sát, 48:3 (1993), 133-161
    7. E.V. Nikolaev, “Sự phân chia các chu trình giới hạn của phương trình vi phân thừa nhận tính đối xứng liên quan”, Mat. Đã ngồi. , 186:4 (1995), 143-160; E. V. Nikolaev, “Sự phân chia các chu trình giới hạn của phương trình vi phân thừa nhận tính đối xứng liên quan”, Sb. Toán học. , 186:4 (1995), 611-627
    8. S.V. Gonchenko, “$\Omega$ -mô-đun liên hợp của các phép dị hình hai chiều với đường viền dị nghiêng không thô”, Mat. Đã ngồi. , 187:9 (1996), 3-24; S. V. Gonchenko, “Các mô-đun của $\Omega$ -liên hợp của các phép dị hình hai chiều với đường viền dị nghiêng không ổn định về mặt cấu trúc”, Sb. Toán học. , 187:9 (1996), 1261-1281
    9. D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vasiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovansky, “Vladimir Igorevich Arnold (vào ngày sinh nhật thứ sáu mươi của ông)”, Toán Nga, 1997), 235-255; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, “Vladimir Igorevich Arnol”d (vào ngày sinh nhật lần thứ 60 của ông)”, Toán học Nga. Surveys, 52 :5 (1997), 1117-1139
    10. S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Sự lan truyền và phân tán các điểm gấp khúc trong môi trường phi tuyến không đồng nhất”, TMF, 112:3 (1997), 384-394; S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Sự lan truyền và phân tán các đường gấp khúc trong môi trường phi tuyến không đồng nhất”, Theoret. và Toán. Vật lý. , 112:3 (1997), 1104-1112
    11. E. A. Sataev, “Đạo hàm Schwartz cho các luồng và ánh xạ đa chiều”, Mat. Đã ngồi. , 190:1 (1999), 139-160; E. A. Sataev, “Đạo hàm Schwartzian cho các bản đồ và dòng chảy đa chiều”, Sb. Toán học. , 190:1 (1999), 143-164
    12. E. E. Shnol, E. V. Nikolaev, “Về sự phân nhánh của các vị trí cân bằng đối xứng tương ứng với các giá trị riêng kép”, Matem. Đã ngồi. , 190:9 (1999), 127-150; È. È. Shnol", E. V. Nikolaev, "Về sự phân nhánh của cân bằng tương ứng với giá trị riêng kép", Sb. Math. , 190 :9 (1999), 1353-1376
    13. Yu.N. Bibikov, “Tính ổn định và phân nhánh dưới sự nhiễu loạn định kỳ của vị trí cân bằng của một bộ dao động có tần số dao động vô cùng lớn hoặc vô cùng nhỏ”, Matem. Ghi chú, 65:3 (1999), 323-335; Yu. N. Bibikov, “Tính ổn định và phân nhánh dưới các nhiễu loạn định kỳ của vị trí cân bằng của một bộ dao động có tần số dao động vô cùng lớn hoặc vô cùng nhỏ”, Math. Ghi chú, 65:3 (1999), 269-279
    14. E. E. Shnol, “Các khối đa diện đều và các phân nhánh của vị trí cân bằng đối xứng của các phương trình vi phân thông thường”, Matem. Đã ngồi. , 191:8 (2000), 141-157; È. È. Shnol", “Các khối đa diện đều và các phân nhánh của cân bằng đối xứng của các phương trình vi phân thông thường”, Sb. Math. , 191 :8 (2000), 1243-1258
    15. S.V. Bogatyrev, “Vòng quay vịt trong hệ thống Lienard”, Vestn. Riêng tôi. tình trạng tech. un-ta. Ser. Vật lý-toán học. Khoa học, 12, SamSTU, Samara, 2001, 36-39
    16. L. I. Kononenko, “Phân tích định tính các hệ thống bị nhiễu loạn đơn lẻ với một hoặc hai biến chậm và nhanh”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 5 :4 (2002), 55-62
    17. E. P. Volokitin, S. A. Treskov, “Sơ đồ phân nhánh của hệ lập phương kiểu Liénard”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 5 :3 (2002), 67-75
    18. E. A. Shchepakina, “Điều kiện an toàn để đánh lửa chất lỏng dễ cháy trong vật liệu cách điện xốp,” Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 5 :3 (2002), 162-169
    19. M. D. Novikov, B. M. Pavlov, “Về một số hệ thống dòng chảy đơn giản với chế độ hỗn loạn”, Toán học. người mẫu, 14 :11 (2002), 63-77
    20. E. A. Shchepakina, “Bề mặt tích phân hút-đẩy trong các vấn đề cháy”, Toán học. người mẫu, 14 :3 (2002), 30-42
    21. O. D. Anosova, “Đa tạp bất biến trong các hệ nhiễu loạn đơn lẻ”, Bài viết sưu tầm. Nhân kỷ niệm 80 năm ngày sinh của viện sĩ Evgeniy Frolovich Mishchenko, Tr. Viện Toán học Steklov, 236, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2002, 27-32; O. D. Anosova, “Đa tạp bất biến trong các hệ nhiễu loạn đơn phương”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 236 (2002), 19-24
    22. E. A. Shchepakina, “Các mô hình đốt cháy nhiễu loạn đơn lẻ trong môi trường nhiều pha”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 6 :4 (2003), 142-157
    23. E. A. Shchepakina, “Những xáo trộn đơn lẻ trong vấn đề mô hình hóa các chế độ đốt an toàn”, Toán học. người mẫu, 15 :8 (2003), 113-117
    24. L. I. Kononenko, “Phân tích vô hạn các hệ đơn lẻ có biến nhanh và biến chậm”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 6 :4 (2003), 51-59
    25. L.G. Kurakin, V.I. Yudovich, “Về sự phân nhánh của cân bằng khi tính đối xứng của một hệ động lực bị phá hủy”, Sibirsk. toán học. tạp chí , 45:2 (2004), 356-374; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, “Về sự phân nhánh cân bằng trong sự sụp đổ đối xứng của một hệ động lực”, Siberian Math. J., 45:2 (2004), 294-310
    26. S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “Về sự phân nhánh của sự ra đời của các đường cong bất biến khép kín trong trường hợp dị hình hai chiều với tiếp tuyến đồng hình”, Hệ thống động lực và các chủ đề liên quan trong hình học, Tóm tắt bài viết. Dành để tưởng nhớ Viện sĩ Andrei Andreevich Bolibrukh, Tr. Viện Toán học Steklov, 244, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2004, 87-114; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “Về sự phân nhánh của sự ra đời của các đường cong bất biến khép kín trong trường hợp các phép dị hình hai chiều với các tiếp tuyến đồng hình”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 244 (2004), 80-105
    27. J. Guckenheimer, R. Haiduc, “Canards tại các nút gấp”, Mosc. Toán học. J., 5:1 (2005), 91-103
    28. E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Hành vi tiệm cận của nghiệm cho mô hình mạng tinh thể phi tuyến mạnh”, TMF, 143:3 (2005), 357-367; E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Hành vi tiệm cận của các nghiệm của mô hình phi tuyến mạnh của mạng tinh thể”, Lý thuyết. và Toán. Vật lý. , 143:3 (2005), 782-791
    29. A. R. Borisyuk, “Sự phân nhánh toàn cầu trên chai Klein. Trường hợp chung”, Matem. Đã ngồi. , 196:4 (2005), 3-22; A. R. Borisyuk, “Sự phân nhánh toàn cầu trên chai Klein. Trường hợp tổng quát”, Sb. Toán học. , 196:4 (2005), 465-483
    30. E. P. Belan, “Về động lực học của sóng truyền trong phương trình parabol với phép biến đổi độ dịch chuyển của biến không gian”, tạp chí toán học. vật lý, hậu môn, địa lý., 1 :1 (2005), 3-34
    31. T. S. Firsova, “Cấu trúc liên kết phân tích trong $\mathbb C^2$ . Tài sản Kupka-Smale”, Phương trình vi phân phân tích phi tuyến, Tuyển tập các bài viết, Tr. Viện Toán học Steklov, 254, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2006, 162-180; T. S. Firsova, “Cấu trúc liên kết của các phân tích phân tích trong $\mathbb C^2$ . Thuộc tính Kupka-Smale”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 254 (2006), 152-168
    32. A. O. Remizov, “Cấu trúc Poincaré đa chiều và điểm kỳ dị của trường nâng cho phương trình vi phân ẩn”, Kiểm soát tối ưu, SMFN, 19, RUDN, M., 2006, 131-170; A. O. Remizov, “Việc xây dựng Poincaré nhiều chiều và các điểm kỳ dị của trường nâng cho các phương trình vi phân ẩn”, Tạp chí khoa học toán học, 151 :6 (2008), 3561-3602
    33. L. I. Kononenko, “Phân tích định tính của một hệ nhiễu loạn đơn lẻ trong $\mathbb R^3$ ”, Sib. tạp chí công nghiệp toán học., 10:4 (2007), 76-82; L. I. Kononenko, “Phân tích định tính của một hệ nhiễu loạn đơn lẻ trong $\mathbb R^3$ ”, J. Appl. Công nghiệp Toán học. , 3 :4 (2009), 456-461
    34. Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Sự ổn định về cấu trúc của các bất đẳng thức động đơn giản nhất”, Hệ thống động và tối ưu hóa, Tóm tắt bài viết. Nhân kỷ niệm 70 năm ngày sinh của viện sĩ Dmitry Viktorovich Anosov, Tr. Viện Toán học Steklov, 256, Khoa học, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2007, 89-101; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Sự ổn định về cấu trúc của những bất bình đẳng động đơn giản nhất”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 256 (2007), 80-91
    35. F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, E. E. Shnol, E. A. Ermkova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Các phương thức phức tạp của sự lan truyền kích thích và tự tổ chức trong các mô hình đông máu”, UFN, 177:1 (2007), 87-104 ; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, E. È. Shnol", E. A. Ermkova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Các chế độ phức tạp của sự lan truyền sự kích thích và tự tổ chức trong mô hình đông máu”, Phys. Usp. , 50 : 1 (2007), 79-94
    36. P. D. Lebedev, “Tính độ không lồi của các tập phẳng”, Tr. IMM URO RAS, 13, Số 3, 2007, 84-94
    37. “Vladimir Igorevich Arnold (vào ngày sinh nhật thứ bảy mươi của ông)”, Uspekhi Mat. Nauk, 62:5(377) (2007), 175-184; “Vladimir Igorevich Arnol”d (vào ngày sinh nhật lần thứ 70 của ông)”, Toán học Nga. Surveys, 62:5 (2007), 1021-1030
    38. Yu. M. Aponin, E. A. Aponina, “Thứ bậc của các mô hình sinh học toán học và các phương pháp số và phân tích cho nghiên cứu của họ (đánh giá)”, Toán học. sinh học và tin sinh học., 2 :2 (2007), 347-360
    39. E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Mô hình hóa các quá trình đốt an toàn với nhiệt độ tối đa”, Toán học. người mẫu, 20:5 (2008), 55-68; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Mô hình đốt cháy an toàn với nhiệt độ tối đa”, Math. Mô hình máy tính. Mô phỏng. , 1 :2 (2009), 322-334
    40. V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Điểm kỳ dị huyền thoại trong các hệ phương trình vi phân thường ẩn và hệ động lực nhanh-chậm”, Phương trình vi phân và hệ động lực, Tuyển tập các bài viết, Tr. Steklov, 261, MAIK "Science/Inter Periodica", M., 2008, 140-153; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Những điểm kỳ dị huyền thoại trong các hệ thống ODE ngầm định và các hệ thống động lực nhanh-chậm”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 261 (2008), 136-148
    41. N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmkova, “Về nghiệm xuyên tâm của phương trình Swift-Hoenberg”, Phương trình vi phân và hệ động lực, Tuyển tập các bài viết, Tr. Steklov, 261, MAIK "Khoa học/Liên thời kỳ", M., 2008, 188-209; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmkova, “Về các giải pháp xuyên tâm của phương trình Swift-Hohenberg”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 261 (2008), 183-203
    42. P. D. Lebedev, A. A. Uspensky, “Hình học và tiệm cận của các mặt sóng”, Izv. trường đại học Toán học., 2008, số 3, 27-37; P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Hình học và sự tiệm cận của các dạng sóng”, Toán Nga. (Iz. VUZ), 52:3 (2008), 24-33
    43. L. I. Kononenko, “Sự thư giãn trong các hệ nhiễu loạn đơn lẻ trên máy bay”, Vestn. NSU. Ser. toán học, cơ học, thông tin, 9 :4 (2009), 45-50
    44. D. V. Anosov, “Về các công trình toán học của L. S. Pontryagin”, Phương trình vi phân và cấu trúc liên kết. TÔI, Tóm tắt bài viết. Nhân kỷ niệm 100 năm ngày sinh của viện sĩ Lev Semenovich Pontryagin, Tr. Steklov, 268, MAIK "Science/Inter Periodica", M., 2010, 23-11; D. V. Anosov, “Về công trình toán học của L. S. Pontryagin”, Proc. Viện Steklov Toán học. , 268 (2010), 5-16

    • Để nghiên cứu các loại phân nhánh, bạn nên tự mình hiểu nó. Trong trường hợp tổng quát, việc nghiên cứu toàn bộ không gian pha cho các điểm phân nhánh là một công việc khó khăn đối với không gian n chiều nên các nghiên cứu cục bộ được thực hiện và các điểm phân nhánh thu được được gọi là điểm phân nhánh địa phương. Các điểm phân nhánh cục bộ có thể được theo dõi bằng cách quan sát sự phát triển của các nhiễu loạn nhỏ trong hệ thống Phân nhánh của các trạng thái cân bằng và các chuyển động tuần hoàn bằng ví dụ về một quả bóng. Đơn giản nhất và quan trọng nhất trong số đó là sự phân nhánh của trạng thái cân bằng và chuyển động tuần hoàn.

    Sự phân chia vị trí cân bằng

    Sự phân nhánh chính của các trạng thái cân bằng bao gồm:
    1. sự hợp nhất và sự biến mất sau đó của hai trạng thái cân bằng. Một ví dụ là chuyển động của một quả bóng trong một “giếng” tiềm năng có một “kệ” (Hình 1). Khi “kệ” BD được làm phẳng, trạng thái cân bằng “yên” S và tâm C 2 hợp nhất và biến mất (Hình 2).
    Hình 1 - Sơ đồ chuyển động của một quả bóng trong một “hố” có một “kệ” (a) và chân dung pha của nó (b) Hình 2 - Sơ đồ chuyển động của quả bóng sau khi phân nhánh (a) và chân dung pha của nó (b)
    • Sự ra đời của chu trình giới hạn từ trạng thái cân bằng. Một ví dụ về sự phân nhánh như vậy Phân nhánh Hopf.
    Hãy xem xét một hệ thống động (1) Hệ động lực Là biểu hiện đơn giản của một hệ động lực phức tạp được mô tả bởi các hàm x(t) Và y(t), được biểu thị thông qua tọa độ cực tương ứng: và được gọi là hệ Hopf. Hệ thống (1) phụ thuộc vào hai tham số, một trong số đó λ sẽ là chìa khóa cho chúng tôi, và cái còn lại с=const. Giải bài toán Cauchy với một số giá trị ban đầu cho trước r(t=0)=r 0, "phi;(t=0)="phi; 0 Tại λ < 0 cho chúng ta một đồ thị động học và chân dung pha như trong Hình 2. 3.
    Hình 3 - Đồ thị động lực học (a) và chân dung pha (b) Trong trường hợp này, chỉ có một điểm đặc biệt - tập trung ổn định. Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một đồ thị động học và một chân dung pha cho trường hợp λ > 0 (λ = 4)(xem Hình 4)
    Hình 3 - Đồ thị động lực học (a) và chân dung pha (b) cho λ > 0. Các màu khác nhau biểu thị sự tách rời trong các điều kiện ban đầu khác nhau. Như chúng ta có thể thấy, sau một quá trình chuyển đổi ngắn, hệ thống sẽ chuyển sang chế độ dao động và biên độ và tần số dao động không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu (đối với bất kỳ điều kiện ban đầu nào, hệ thống sẽ chuyển sang trạng thái dao động giống nhau). Trong bức chân dung pha, các giải pháp cho các điều kiện ban đầu khác nhau giống như “vết thương” xung quanh một đường cong khép kín. Đường cong này, mà t -> ∞ có xu hướng giải bài toán Cauchy, là chất hút và được gọi là chu kỳ giới hạn. Quá trình dao động mô tả chu kỳ giới hạn này được gọi là tự dao động. Việc tách rời dưới dạng tự dao động chỉ có thể thực hiện được trong các hệ động lực phi tuyến về cơ bản. Hệ động lực Hopf có tính phi tuyến ở dạng lập phương của tham số và tính phi tuyến bổ sung được áp đặt do định nghĩa của hàm x(t) Và y(t) dưới dạng biểu thức của hàm lượng giác. Có thể chứng minh rằng đối với một hệ động lực cho trước thì biên độ dao động bằng . Vì thế, λ = 0 - giá trị phân nhánh của tham số. Tại thời điểm này, nút mất đi tính ổn định và thay vào đó, một chu kỳ giới hạn ổn định được sinh ra. Sự phân nhánh này của sự ra đời của chu trình giới hạn từ một điểm cố định được gọi là Phân nhánh Hopf, và sự ra đời của các dao động tự phát là nhẹ nhàng (với những thay đổi nhỏ về tham số, các dao động có biên độ nhỏ, tăng theo sự tăng trưởng của nó). Sự ra đời khó khăn của tự dao động - với những thay đổi nhỏ trong tham số, quỹ đạo bị “đẩy” vào vùng hấp dẫn của một bộ thu hút khác.
    • Sự ra đời của ba trạng thái cân bằng từ một trạng thái cân bằng là sự vi phạm tính đối xứng một cách tự phát. Ví dụ, khi một quả bóng di chuyển trong một rãnh, với điều kiện là có một nốt sần xuất hiện trong đó, thì sẽ xuất hiện một sự phân nhánh, trong đó ba trạng thái cân bằng phát sinh từ trạng thái suy biến thuộc loại “tâm” - yên S và các tâm C1 và C2 (Hình 2). 4)

    Hình 4 - Các sinh từ một trạng thái cân bằng gồm ba với một thay đổi nhỏ về tham số (hình đáy): a) hình đáy có một cực tiểu và chân dung pha tương ứng với một trạng thái cân bằng thuộc loại “tâm”; b) hình dạng của một máng có hai cực tiểu và chân dung pha tương ứng với ba trạng thái cân bằng: “yên” S và “tâm” C1 và C2

    Sự phân nhánh sinh (tử) của chuyển động tuần hoàn

    Tất cả các điểm phân nhánh của sự ra đời hoặc kết thúc của các trạng thái cân bằng đều tương ứng với việc một hoặc nhiều nghiệm đi qua số 0. Khả năng này được minh họa trong hình. 5, mô tả cái chết của hai trạng thái cân bằng như “yên ngựa” và “nút”. Sự phân nhánh tương tự xảy ra trong vấn đề cạnh tranh giữa loài X1 và X2, kiếm ăn từ cùng một nguồn. Hệ động lực tương ứng mô tả quy mô quần thể được cho bởi các phương trình: Khi ρ 1,2 > 1 trong hệ thống, một trong các loại có thể “chiến thắng”. Khi bất kỳ tham số nào ρ 1.2 giảm xuống giá trị nhỏ hơn 1, trong mọi điều kiện ban đầu, chỉ có một loài sống sót (Hình 5, b). Hình 5 - Chân dung pha của số lượng dân số, a) tại ρ 1< 1 , ρ 2 > 1; b) khi ρ 1,2 > 1

    Sự phân nhánh của sự thay đổi độ ổn định của các chuyển động định kỳ

    Đặc điểm nổi bật sự phân nhánh ổn định- các giá trị của số nhân tại thời điểm tới hạn, là hệ số khuếch đại (suy giảm) của các nhiễu nhỏ so với nền của chuyển động tuần hoàn trong khoảng thời gian T. Trong một hệ thống tự trị, một trong các số nhân luôn bằng một, vì vậy trong tương lai chúng ta sẽ nói về những người khác. Nếu tất cả các số nhân đều nhỏ hơn đơn vị về giá trị tuyệt đối thì chuyển động tuần hoàn ban đầu là ổn định. Sự phân nhánh liên quan đến sự biến mất của độ ổn định xảy ra ở các giá trị như vậy của các tham số hệ thống mà tại đó một hoặc nhiều trong số chúng có mô đun bằng 1.

    Quá trình tiến hóa được mô tả bằng toán học bằng trường vectơ trong không gian pha(một không gian trừu tượng có số chiều bằng số lượng biến đặc trưng cho trạng thái của hệ thống). Điểm không gian pha xác định tình trạng hệ thống. Vectơ được áp dụng tại thời điểm này biểu thị tốc độ thay đổi trạng thái. Trong trường hợp giảm chấn, quỹ đạo pha cho bất kỳ giá trị ban đầu nào đều kết thúc tại một điểm, tương ứng với trạng thái nghỉ. Tại những điểm như vậy vectơ có thể biến mất. Những điểm như vậy được gọi là vị trí cân bằng (trạng thái không thay đổi theo thời gian). Quỹ đạo pha tạo ra các nếp gấp trong không gian pha.

    Vùng không gian pha chứa đầy các quỹ đạo hỗn loạn được gọi là sức hấp dẫn kỳ lạ.

    Đặc tính quan trọng nhất của các điểm thu hút lạ là tính phân dạng. Fractal- đây là những đồ vật thể hiện số lượng chi tiết ngày càng tăng khi chúng tăng lên. Hỗn loạn tạo ra fractal và quỹ đạo pha của fractal có sự tự tương tự, I E. khi chọn hai điểm gần nhau trên quỹ đạo pha của fractal và sau đó tăng tỷ lệ, quỹ đạo giữa các điểm này sẽ trở nên hỗn loạn như tổng thể. Sự ra đời của các tập fractal giúp giải thích và dự đoán nhiều hiện tượng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

    Hình ảnh toán học của lý thuyết thảm họa được hiện thực hóa trong trường sóng. Vị trí hình học của các điểm mà tại đó trường sóng tập trung được gọi là tụ quang trong quang học. Khi vượt qua tụ quang, trạng thái của hệ thống sẽ thay đổi đột ngột. Thời điểm chuyển tiếp được xác định bởi các tính chất của hệ thống và mức độ dao động trong đó. Có hai nguyên tắc trong quá trình chuyển đổi: nguyên tắc trễ tối đa,được xác định bởi sự tồn tại của một mức độ ổn định, và nguyên lý Maxwell xác định trạng thái của hệ thống ở mức tối thiểu toàn cầu.

    Trình tự các phân nhánh xảy ra khi sự mất cân bằng ngày càng sâu sắc hơn trong hệ thống thay đổi và quá trình này sẽ diễn ra theo các kịch bản khác nhau (ví dụ: chuyển đổi từ dòng chảy tầng sang dòng chảy hỗn loạn).

    Sau khi tham số đi qua giá trị phân nhánh tương ứng với sự ra đời của một chu kỳ hoặc sự xuất hiện mềm mại của tự dao động, hệ thống vẫn ở vùng lân cận trạng thái không ổn định trong một thời gian, trong đó tham số thay đổi thành giá trị hữu hạn. Sau đó, hệ thống chuyển sang chế độ tự dao động (đã trở nên cứng) tại thời điểm phân nhánh.

    Hình 4 cho thấy chân dung pha của một hệ thống mô tả mối quan hệ giữa động vật ăn thịt và con mồi (chẳng hạn như cá chó và cá diếc). Không gian pha là góc phần tư dương của mặt phẳng. Số lượng cá diếc được vẽ dọc theo trục hoành và số lượng gai được vẽ dọc theo trục tọa độ. Điểm P là vị trí cân bằng. Điểm A ứng với số cá diếc cân bằng có 16 chiếc gai nhỏ hơn số cân bằng. Có thể thấy rằng theo thời gian, các dao động được thiết lập trong hệ thống; trạng thái cân bằng Hình 2. Không ổn định. Dao động ở trạng thái ổn định được biểu diễn bằng một đường cong khép kín trên mặt phẳng pha. Đường cong này được gọi là chu kỳ giới hạn.

    Trong vùng lân cận của một điểm không phải là vị trí cân bằng, việc phân chia không gian pha thành các đường cong pha được sắp xếp giống như cách phân chia thành các đường thẳng song song: một họ đường cong pha có thể được chuyển thành họ các đường thẳng song song bằng cách thay đổi tọa độ. Ở vùng lân cận vị trí cân bằng, hình ảnh phức tạp hơn.

    Hình 4. Chân dung các giai đoạn tiến hóa của hệ thống “kẻ săn mồi-con mồi”

    Các hệ thống mô tả các quá trình tiến hóa thực sự thường mang tính tổng quát. Thật vậy, một hệ thống như vậy luôn phụ thuộc vào những thông số không bao giờ được biết chính xác.

    Quản lý mà không có phản hồi luôn dẫn đến thảm họa: điều quan trọng là các cá nhân và tổ chức đưa ra quyết định có trách nhiệm phải phụ thuộc về mặt cá nhân và tài chính vào hậu quả của những quyết định này.

    Khó khăn của bài toán tái cơ cấu gắn liền với tính phi tuyến tính của nó. Các phương pháp quản lý thông thường, trong đó kết quả tỷ lệ thuận với nỗ lực, không có tác dụng ở đây và cần phải phát triển cụ thể trực giác phi tuyến, dựa trên những kết luận đôi khi nghịch lý của lý thuyết phi tuyến.

    Dưới đây là một số kết luận đơn giản định tính từ lý thuyết toán học về sự sắp xếp lại liên quan đến một hệ phi tuyến nằm ở trạng thái ổn định, được coi là xấu, vì trong giới hạn khả năng hiển thị có trạng thái ổn định tốt hơn, thích hợp hơn của hệ thống.

    1. Sự chuyển động dần dần hướng tới một trạng thái tốt hơn ngay lập tức dẫn đến sự thoái hóa. Tốc độ suy thoái cùng với sự chuyển động đồng đều hướng tới trạng thái tốt hơn sẽ tăng lên.

    2. Khi bạn chuyển từ trạng thái xấu hơn sang trạng thái tốt hơn, khả năng chống lại việc thay đổi trạng thái của hệ thống sẽ tăng lên.

    3. Đạt được mức kháng cự tối đa trước trạng thái tồi tệ nhất, trạng thái này phải được vượt qua để đạt được trạng thái tốt nhất. Sau khi vượt qua ngưỡng kháng cự tối đa, tình trạng tiếp tục xấu đi.

    4. Khi bạn tiếp cận trạng thái tồi tệ nhất trên con đường tái cơ cấu, lực cản, bắt đầu từ một thời điểm nhất định, bắt đầu giảm dần, và ngay khi trạng thái tồi tệ nhất đi qua, lực cản không chỉ biến mất hoàn toàn mà cả hệ thống cũng bắt đầu bị thu hút. tới trạng thái tốt hơn.

    5. Mức độ suy giảm cần thiết để chuyển sang trạng thái tốt hơn có thể so sánh với mức độ cải tiến cuối cùng và tăng lên khi hệ thống được cải thiện. Một hệ thống phát triển kém có thể chuyển sang trạng thái tốt hơn mà hầu như không bị suy giảm trước đó, trong khi một hệ thống phát triển, do tính ổn định của nó, không có khả năng cải tiến dần dần, liên tục như vậy.

    6. Nếu hệ thống có thể được chuyển ngay lập tức, đột ngột và không liên tục từ trạng thái ổn định xấu đủ gần sang trạng thái tốt, thì khi đó hệ thống sẽ tự phát triển sang trạng thái tốt.

    Nếu không có lý thuyết toán học về tái cấu trúc, việc kiểm soát có ý thức các hệ thống phi tuyến phức tạp và ít được biết đến trên thực tế là không thể. Tuy nhiên, không cần phải có lý thuyết toán học đặc biệt nào để hiểu rằng việc bỏ qua các quy luật tự nhiên và xã hội (có thể là quy luật hấp dẫn, quy luật giá trị hoặc nhu cầu phản hồi), sự suy giảm năng lực của các chuyên gia và thiếu năng lực cá nhân. trách nhiệm về những quyết định được đưa ra sớm hay muộn sẽ dẫn đến thảm họa.

    a) Giới thiệu lý thuyết phân nhánh

    Lý thuyết về sự phân nhánh của các hệ động lực mô tả những thay đổi đột ngột, định tính trong chân dung pha của các phương trình vi phân với những thay đổi liên tục, trơn tru trong các tham số. Do đó, khi một điểm đơn mất đi sự ổn định thì một chu trình giới hạn có thể xuất hiện và khi một chu trình giới hạn mất đi sự ổn định thì sự hỗn loạn có thể xảy ra. Những loại thay đổi này được gọi là phân nhánh.

    Trong các phương trình vi phân mô tả các hiện tượng vật lý thực tế, các điểm kỳ dị và chu trình giới hạn ở vị trí tổng quát, tức là hyperbol, thường gặp nhất. Tuy nhiên, cũng có những lớp phương trình vi phân đặc biệt có tình huống khác. Ví dụ, đây là những hệ có tính đối xứng liên quan đến bản chất của hiện tượng được mô tả, cũng như các phương trình Hamilton, hệ thuận nghịch và các phương trình bảo toàn thể tích pha. Vì vậy, ví dụ, hãy xem xét một họ hệ thống động lực một tham số trên một đường thẳng có tính đối xứng bậc hai:

    Sự phân nhánh điển hình của vị trí cân bằng đối xứng trong một hệ thống như vậy (“đinh ba”) được thể hiện trong Hình 2. 1. Nó bao gồm thực tế là hai vị trí cân bằng mới, ít đối xứng hơn phân nhánh từ một vị trí cân bằng đối xứng đang mất đi sự ổn định. Trong trường hợp này, vị trí cân bằng đối xứng được giữ nguyên nhưng mất đi độ ổn định.

    Nền tảng của lý thuyết toán học về phân nhánh được A. Poincaré và A. M. Lyapunov tạo ra vào đầu thế kỷ XX, sau đó được một số trường phái phát triển. Lý thuyết về sự phân nhánh tìm thấy các ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác nhau, từ vật lý và hóa học đến sinh học và xã hội học.

    Nguồn gốc của thuật ngữ phân đôi (từ tiếng Latin bifurcus - bifurcated) gắn liền với thực tế là một hệ động lực, hoạt động của nó trong vùng cân bằng được mô tả bởi một hệ phương trình vi phân tuyến tính có nghiệm duy nhất, khi các tham số thay đổi đến một giá trị tới hạn nhất định, đạt đến cái gọi là điểm phân nhánh - điểm phân nhánh các con đường phát triển có thể có của hệ thống.

    Thời điểm này (điểm phân nhánh) tương ứng với sự chuyển đổi của hệ sang trạng thái không cân bằng và ở cấp độ mô tả toán học, nó tương ứng với sự chuyển đổi sang các phương trình vi phân phi tuyến và sự phân nhánh của nghiệm của chúng.

    Phân nhánh là việc đạt được chất lượng tiến hóa mới (trong chuyển động) của một hệ thống động lực với một sự thay đổi nhỏ trong các tham số của nó. Sự phân nhánh tương ứng với việc tái cấu trúc bản chất chuyển động hoặc cấu trúc của một hệ thống thực (vật lý, hóa học, sinh học, v.v.).

    Theo quan điểm toán học, phân nhánh là sự thay đổi cấu trúc tôpô của việc phân chia không gian pha của hệ động lực thành các quỹ đạo với một thay đổi nhỏ trong các tham số của nó.


    Định nghĩa này dựa trên khái niệm về sự tương đương tôpô của các hệ động lực: hai hệ tương đương về mặt tôpô nếu chúng có cùng cấu trúc phân chia không gian pha thành các quỹ đạo, nếu chuyển động của một trong số chúng có thể được quy giản thành chuyển động của hệ kia bằng cách sự thay đổi liên tục của tọa độ và thời gian.

    Một ví dụ về sự tương đương như vậy là chuyển động của một con lắc ở các giá trị khác nhau của hệ số ma sát k: với ma sát thấp, quỹ đạo trên mặt phẳng pha trông giống như các đường xoắn ốc xoắn và với ma sát cao, chúng trông giống như parabol (Hình trên). slide tiếp theo)

    Sự chuyển đổi từ chân dung pha a sang b không đại diện cho sự phân nhánh, vì phân nhánh là sự chuyển đổi từ một hệ thống nhất định sang một hệ thống không tương đương về mặt tôpô.

    Ví dụ: Trong mô hình toán học, sự xuất hiện của tế bào Benard tương ứng với sự phân nhánh ra đời của trạng thái cân bằng mới (tương ứng với cấu trúc tế bào).

    Trong số các phân nhánh khác nhau trong phân tích các mô hình của hệ thống vật lý, cái gọi là hệ thống cục bộ đặc biệt thú vị - đây là những phân nhánh trong đó xảy ra sự tái cấu trúc các chuyển động riêng lẻ của một hệ động lực.

    Đơn giản nhất và quan trọng nhất trong số đó là:

    sự phân nhánh của trạng thái cân bằng (tế bào Benard)

    sự phân nhánh của các chuyển động định kỳ.

    Phần kết luận. Các tính năng quan trọng của phân nhánh

    Sự phân nhánh, do đó các chế độ tĩnh hoặc tuần hoàn (nghĩa là trạng thái cân bằng hoặc chu kỳ giới hạn) biến mất, có thể dẫn đến thực tế là một hệ động lực chuyển sang chế độ dao động ngẫu nhiên.

    Trong các ứng dụng của lý thuyết phân nhánh, nhiệm vụ được đặt ra - đối với từng tình huống cụ thể, là tìm các biểu thức phân tích cho các biến thể của nghiệm của phương trình phát sinh tại các điểm phân nhánh, cũng như xác định giá trị của các tham số tại đó phân nhánh của nghiệm để các phương trình bắt đầu. Đầu tiên cần phân tích tính ổn định của hệ thống và tìm kiếm các điểm không ổn định của nó. Các phương pháp phân tích này dựa trên lý thuyết về tính ổn định, chúng được phát triển đầy đủ chi tiết và mang tính chất kỹ thuật thuần túy.

    Lý thuyết về sự phân nhánh mô tả một số lượng lớn các tình huống phân nhánh. Trong quá trình phát triển của các hệ thống tự nhiên thực sự, không thể quan sát được các phân nhánh riêng lẻ mà là toàn bộ các chuỗi phân nhánh (một ví dụ cổ điển là sự xuất hiện của nhiễu loạn và các bất ổn thủy động lực khác). Ngoài ra, còn có sự phân biệt giữa sự phân nhánh và thảm họa. Thậm chí còn có thuyết về thảm họa. Tuy nhiên, việc phân tích mối liên hệ và sự khác biệt giữa chúng nằm ngoài phạm vi của hướng dẫn này.

    Một tính năng rất quan trọng của phân nhánh: Tại thời điểm hệ thống ở gần điểm phân nhánh, những nhiễu loạn nhỏ trong các giá trị của các tham số của nó bắt đầu đóng một vai trò rất lớn. Những xáo trộn này có thể hoàn toàn ngẫu nhiên hoặc có mục đích. Nó phụ thuộc vào họ rằng hệ thống sẽ đi theo nhánh tiến hóa nào sau khi đi qua điểm phân nhánh. Nghĩa là, nếu trước khi vượt qua điểm phân nhánh, hành vi của hệ thống tuân theo các quy luật xác định, thì tại chính điểm phân nhánh, cơ hội đóng vai trò quyết định.

    Kết quả là, theo I. Prigozhin, thế giới trở nên “bí ẩn, khó đoán, không thể kiểm soát được”. Ở một mức độ nào đó điều này là đúng. Nhưng chúng ta không thể hoàn toàn đồng ý với tuyên bố này, vì đối với bất kỳ hệ thống nào tại điểm phân nhánh đều không có một con đường tiến hóa tùy ý mà là một tập hợp các con đường tiến hóa hoàn toàn xác định. Vì vậy, ngay cả khi cơ hội có tác dụng, nó cũng hoạt động trong một phạm vi khả năng được xác định chặt chẽ. Và do đó, sẽ không đúng khi nói về sự không chắc chắn hoàn toàn và hơn thế nữa là sự bí ẩn hoàn toàn. Đối với tính không thể kiểm soát, tất nhiên, không có ý nghĩa gì khi nói về kiểm soát hoàn toàn, nhưng trong một số quy trình, có thể can thiệp như một động lực hướng tới các phương án phát triển mong muốn.

    4. Hỗn loạn

    lý thuyết hỗn loạn- một công cụ toán học mô tả hành vi của một số hệ động lực phi tuyến nhất định, trong những điều kiện nhất định, đối với một hiện tượng được gọi là hỗn loạn, được đặc trưng bởi độ nhạy cao của hành vi của hệ thống với các điều kiện ban đầu; hành vi của một hệ thống như vậy có vẻ ngẫu nhiên, ngay cả khi mô hình mô tả hệ thống là xác định; ví dụ về các hệ thống như vậy là bầu không khí, dòng chảy hỗn loạn, quần thể sinh học, xã hội như một hệ thống truyền thông và các hệ thống con của nó: hệ thống kinh tế, chính trị và xã hội khác.

    Lý thuyết hỗn loạn cho rằng các hệ thống phức tạp phụ thuộc rất nhiều vào các điều kiện ban đầu và những thay đổi nhỏ của môi trường sẽ dẫn đến những hậu quả khó lường.

    Các hệ thống toán học với hành vi hỗn loạn có tính tất định, nghĩa là chúng tuân theo một số định luật chặt chẽ và theo một nghĩa nào đó, có trật tự.

    Sự hỗn loạn năng động- một hiện tượng trong lý thuyết hệ động lực trong đó hành vi của hệ phi tuyến có vẻ ngẫu nhiên, mặc dù thực tế là nó được xác định bởi các quy luật tất định. Nguyên nhân dẫn đến sự hỗn loạn là do sự không ổn định đối với các điều kiện và tham số ban đầu: một sự thay đổi nhỏ ở điều kiện ban đầu theo thời gian sẽ dẫn đến những thay đổi lớn tùy ý về động lực học của hệ thống.

    Vì trạng thái ban đầu của một hệ vật lý không thể được xác định chính xác tuyệt đối (ví dụ, do hạn chế của dụng cụ đo), nên luôn cần phải xem xét một số vùng (dù rất nhỏ) của các điều kiện ban đầu. Khi di chuyển trong một vùng không gian hạn chế, sự phân kỳ theo cấp số nhân của các quỹ đạo gần nhau theo thời gian dẫn đến sự trộn lẫn các điểm xuất phát trong toàn vùng. Sau khi trộn như vậy, sẽ không có ý nghĩa gì khi nói về tọa độ của hạt, nhưng bạn có thể tìm thấy xác suất tồn tại của nó tại một điểm nhất định.

    Sự hỗn loạn xác định - kết hợp tính tất định và tính ngẫu nhiên, khả năng dự đoán hạn chế và không thể đoán trước và biểu hiện ở những hiện tượng đa dạng như động học của phản ứng hóa học, sự hỗn loạn của chất lỏng và khí, địa vật lý, đặc biệt là thay đổi thời tiết, phản ứng sinh lý của cơ thể, động thái dân số, dịch bệnh, hiện tượng xã hội ( Ví dụ: giá cổ phiếu).

    Cấu trúc tiêu tán

    Cấu trúc tiêu tan là một trong những khái niệm chính của lý thuyết cấu trúc của I. Prigogine. Toàn bộ hệ thống có thể không cân bằng, nhưng đã phần nào được sắp xếp và tổ chức theo một cách nhất định. I. Prigozhin gọi những hệ thống như vậy là cấu trúc tiêu tán (từ lat. tiêu tan- tăng tốc, tiêu tán năng lượng tự do), trong đó các trạng thái trật tự phát sinh với độ lệch đáng kể so với trạng thái cân bằng. Trong quá trình hình thành các cấu trúc này, entropy tăng lên và các hàm nhiệt động khác của hệ cũng thay đổi. Điều này cho thấy bản chất hỗn loạn tổng thể của nó vẫn còn nguyên vẹn. Tiêu tán là một quá trình tiêu tán năng lượng đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành cấu trúc trong các hệ thống mở. Trong hầu hết các trường hợp, sự tiêu tán được thực hiện dưới hình thức chuyển đổi năng lượng dư thừa thành nhiệt. Sự hình thành các loại cấu trúc mới cho thấy sự chuyển đổi từ hỗn loạn và mất trật tự sang tổ chức và trật tự. Những cấu trúc vi mô động tiêu tán này là nguyên mẫu của các trạng thái tương lai của hệ thống, được gọi là fractal (từ lat. vết gãy- phân số, cắt nhỏ). Hầu hết các fractal đều bị phá hủy mà không được hình thành đầy đủ (nếu chúng tỏ ra không có lợi theo quan điểm của các quy luật cơ bản của tự nhiên), hoặc đôi khi vẫn là những tàn tích cổ xưa riêng biệt của quá khứ (ví dụ, phong tục cổ xưa của các dân tộc, cổ xưa). từ, v.v.). Tại điểm phân nhánh (điểm nhánh) diễn ra một loại hình chọn lọc tự nhiên của sự hình thành fractal. Nền giáo dục hóa ra là thích nghi nhất với điều kiện môi trường thì “tồn tại”.

    Trong điều kiện thuận lợi, một cấu trúc mới (fractal) “phát triển” và dần dần chuyển thành cấu trúc vĩ mô mới - chất thu hút. Trong trường hợp này, hệ thống chuyển sang trạng thái chất lượng mới. Ở trạng thái mới này, hệ thống tiếp tục chuyển động tấn công cho đến điểm phân nhánh tiếp theo, nghĩa là cho đến khi chuyển pha không cân bằng tiếp theo.

    Nhìn chung, tiêu tán là một quá trình tiêu tán năng lượng, suy giảm chuyển động và thông tin đóng vai trò rất mang tính xây dựng trong việc hình thành các cấu trúc mới trong các hệ thống mở. Đối với một hệ tiêu tán, không thể dự đoán một lộ trình phát triển cụ thể, vì rất khó dự đoán các điều kiện thực tế ban đầu về trạng thái của nó.

    Một hệ thống tự tổ chức phi tuyến mở luôn chịu sự dao động. Chính trong các dao động mà hệ thống phát triển và chuyển động hướng tới các cấu trúc tương đối ổn định. Điều này được tạo điều kiện thuận lợi bởi sự trao đổi liên tục của năng lượng và vật chất giữa hệ thống và môi trường.

    Những thay đổi bất thường trong môi trường có thể đưa hệ thống ra khỏi trạng thái cân bằng động và nó sẽ trở thành không cân bằng. Ví dụ, dòng năng lượng ngày càng tăng vào một hệ thống sẽ gây ra những biến động và làm cho nó mất cân bằng và không được kiểm soát. Tổ chức của hệ thống ngày càng mất ổn định, tính chất của hệ thống ngày càng thay đổi.



    Nếu các tham số của hệ thống đạt đến các giá trị tới hạn nhất định thì hệ thống sẽ rơi vào trạng thái hỗn loạn.

    Trạng thái hỗn loạn tối đa của một quá trình không cân bằng được gọi là điểm phân nhánh. Điểm phân nhánh là điểm cân bằng của cả điểm ổn định và không ổn định của “sự lựa chọn” cho con đường phát triển tiếp theo của hệ thống.

    Các trạng thái không ổn định rất quan trọng đối với sự hiệp lực. Sự xuất hiện của các trạng thái không ổn định tạo cơ hội tiềm tàng cho hệ thống chuyển sang trạng thái chất lượng mới. Nó sẽ được đặc trưng bởi các thông số mới của hệ thống và một chế độ hoạt động mới.

    Trong các trạng thái chọn đường đi, tức là tại các điểm phân nhánh, các thăng giáng (dao động) ngẫu nhiên có tầm quan trọng rất lớn. Nó phụ thuộc vào họ con đường nào trong số nhiều con đường có thể mà hệ thống sẽ đi để thoát khỏi trạng thái không ổn định. Nhiều biến động tiêu tan, một số không ảnh hưởng đến sự phát triển tiếp theo của hệ thống vì chúng rất yếu. Nhưng trong những điều kiện ngưỡng nhất định, do những tác động ngẫu nhiên từ bên ngoài, những biến động này có thể tăng cường và tác động cộng hưởng, thúc đẩy hệ thống chọn một con đường phát triển nhất định (một quỹ đạo nhất định).

    Tại các điểm phân nhánh, một hệ thống tự tổ chức, đối mặt với sự lựa chọn các con đường phát triển, hình thành vô số cấu trúc vi mô động tiêu tán, giống như “phôi thai” của các trạng thái tương lai của hệ thống - fractal. Tập hợp các trạng thái như vậy tại các điểm phân nhánh trước khi chọn một con đường tiếp theo tạo thành sự hỗn loạn xác định hoặc năng động. Tuy nhiên, hầu hết các nguyên mẫu tương lai của hệ thống - sự hình thành fractal - đều chết trong cạnh tranh. Kết quả là cấu trúc vi mô thích nghi nhất với điều kiện bên ngoài sẽ tồn tại. Toàn bộ quá trình này là ngẫu nhiên và không chắc chắn. Cấu trúc vĩ mô mới nổi tồn tại sau sự cạnh tranh của các dạng fractal được gọi là điểm thu hút (xem ở trên). Kết quả của việc này là hệ thống chuyển sang trạng thái tổ chức mới có chất lượng cao hơn. Hướng chuyển động của điểm thu hút này bắt đầu tuân theo sự cần thiết. Hệ thống bây giờ hoạt động như thể nó hoàn toàn xác định.

    Do đó, điểm thu hút đại diện cho một đoạn của con đường tiến hóa từ điểm phân nhánh đến điểm kết thúc nhất định (nó có thể là một điểm phân nhánh khác). Các chất thu hút thông thường được đặc trưng bởi sự ổn định của một hệ thống động. Chất thu hút, giống như một nam châm, thu hút nhiều quỹ đạo khác nhau của hệ thống, được xác định bởi các giá trị ban đầu khác nhau của các tham số. Ở đây, các quá trình hợp tác, chung đóng một vai trò rất quan trọng, dựa trên sự tương tác chặt chẽ, tức là phối hợp của tất cả các yếu tố của cấu trúc ổn định mới nổi.

    Một điểm thu hút có thể được so sánh với một hình nón hoặc một cái phễu, phần rộng của nó hướng về vùng phân nhánh, tức là điểm phân nhánh, và phần hẹp của nó hướng về kết quả cuối cùng, tức là một cấu trúc có trật tự. Nếu một hệ thống nằm trong phạm vi hoạt động của một chất thu hút nhất định, thì nó sẽ tiến hóa theo hướng đó. Bằng những cách khác nhau, sự tiến hóa tiếp cận những điểm thu hút giống nhau. Kết quả là, các tham số thứ tự được hình thành, tức là trạng thái động ổn định. Hệ thống có thể duy trì ở trạng thái này cho đến khi, vì một số lý do, cũng như những biến động ngẫu nhiên, nó lại đạt đến vị trí không ổn định. Những lý do này gắn liền với sự bất hòa, sự khác biệt giữa trạng thái bên trong của một hệ thống mở và các điều kiện bên ngoài của môi trường của nó. Kết quả là hệ thống mất đi sự ổn định, trở lại trạng thái hỗn loạn và lại có nhiều con đường phát triển mới. Để rõ ràng, quá trình phân nhánh của quá trình phát triển hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng cây phân nhánh (Hình 8.1).

    Sử dụng nguyên tắc tương tự, sự phát triển của các loài sinh học hoặc quá trình hình thành loài người có thể được biểu diễn dưới dạng cây tiến hóa.

    Tại các điểm phân nhánh, ngay cả một thay đổi ngẫu nhiên nhỏ cũng có thể dẫn đến sự xáo trộn nghiêm trọng của hệ thống. Vì vậy, các hệ thống tự tổ chức không thể bị áp đặt một cách thô bạo trên những con đường phát triển nhất định. Ở đây cần phải tìm tòi, tìm cách để thiên nhiên và con người cùng chung sống, cố gắng tìm hiểu sâu sắc bản chất của quá trình tiến hóa, đồng tiến hóa chung của chúng.

    Nền tảng của lý thuyết phân nhánh được đặt ra vào đầu thế kỷ 20. Nhà toán học người Pháp A. Poincaré và nhà toán học người Nga A. Lyapunov. Lý thuyết này sau đó được phát triển trong trường học của nhà vật lý người Nga A. Andronov. Lý thuyết về sự phân nhánh hiện đang được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học liên ngành, cũng như trong vật lý, hóa học và sinh học.

    Cơm. 1. Bản chất phân nhánh trong quá trình phát triển của hệ thống (X, Z - tham số của hệ thống, f - thời gian, A và B - điểm phân nhánh)

    Sự chuyển động tiến hóa của một hệ thống nhất thiết phải gắn liền với nhu cầu xây dựng lại các cơ chế thích ứng lên một trình độ mới cao hơn về chất lượng. Nếu hệ thống, nhờ tái cơ cấu bên trong, có thể (được quản lý) thích ứng với các điều kiện mới, thì nó sẽ đạt được trạng thái ổn định, cao hơn về mặt tổ chức; nếu không thì nó sẽ sập và chết. Hệ thống có thể duy trì ở vị trí ổn định thích nghi cho đến khi có biến động ngẫu nhiên tiếp theo, sau đó tình huống đó lặp lại. Theo sơ đồ này, sự phát triển mang tính tiến hóa của tất cả các hệ thống ở mọi cấp độ cấu trúc đều diễn ra, mặc dù tốc độ của quá trình này là khác nhau. Như vậy, quá trình tiến hóa hóa học của Vũ trụ tiếp tục từ thời điểm xảy ra Vụ nổ lớn cho đến ngày nay - tức là khoảng 20 tỷ năm, quá trình tiến hóa của vật chất sống - 3,7 tỷ năm, quá trình tiến hóa của con người - khoảng 2 triệu năm và con người xã hội - khoảng vài chục ngàn năm.

    Từ quan điểm tự tổ chức tổng hợp, sự sống bắt nguồn từ một loạt các hệ thống phức tạp. Trong trường hợp này, sự sống nên được coi là một tập hợp (“tập hợp”) các yếu tố vật lý và hóa học.

    Từ quan điểm hiệp lực, sự tiến hóa của thế giới sống cũng có vẻ hợp lý, thông qua sự phát triển của động vật có vú sống trên cây, đã dẫn đến sự xuất hiện của con người như một loài sinh học, cũng như xã hội loài người với tư cách là một hệ thống xã hội.