Trang Chủ > Thiết kế > Dãy số: khái niệm, tính chất, phương pháp gán. Xác định một dãy số


Dãy số: khái niệm, tính chất, phương pháp gán. Xác định một dãy số




Định nghĩa của một dãy số được đưa ra. Ví dụ về chuỗi tăng, hội tụ và phân kỳ không giới hạn được xem xét. Một dãy chứa tất cả các số hữu tỉ được coi là.

Sự định nghĩa .
Dãy số (x n) được gọi là luật (quy tắc), theo đó, với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, 3, . . . một số x n được liên kết.
Phần tử x n được gọi là thành viên thứ n hoặc một phần tử trình tự.

Một trình tự được biểu thị bằng số hạng thứ n, được đặt trong dấu ngoặc nhọn:. Các chỉ định sau đây cũng có thể: Chúng chỉ ra một cách rõ ràng rằng chỉ số n thuộc tập hợp các số tự nhiên và bản thân dãy số đó có vô số thành viên. Dưới đây là một số ví dụ về trình tự:
, , .

Nói cách khác, dãy số là một hàm có miền xác định là tập các số tự nhiên. Số phần tử trong một dãy là vô hạn. Trong số các yếu tố, cũng có thể có các thành viên có các giá trị giống nhau... Ngoài ra, một dãy có thể được xem như một tập hợp số được đánh số, bao gồm vô số phần tử.

Chúng ta sẽ chủ yếu quan tâm đến câu hỏi - các trình tự hoạt động như thế nào khi n có xu hướng đến vô cùng:. Vật liệu này được trình bày trong phần Giới hạn trình tự - Các định lý và tính chất cơ bản. Dưới đây là một số ví dụ về trình tự.

Ví dụ về trình tự

Ví dụ về chuỗi tăng dần không giới hạn

Xem xét trình tự. Thành viên chung của chuỗi này. Hãy viết ra một số thuật ngữ đầu tiên:
.
Có thể thấy rằng khi số n càng lớn thì các phần tử cũng phát triển vô hạn về phía giá trị tích cực... Chúng ta có thể nói rằng chuỗi này có xu hướng: tại.

Bây giờ hãy xem xét một chuỗi với một số hạng chung. Đây là một số thành viên đầu tiên của nó:
.
Khi số n tăng lên, các phần tử của dãy này tăng lên vô hạn trong giá trị tuyệt đối nhưng không có dấu hiệu vĩnh viễn. Đó là, chuỗi này có xu hướng: tại.

Ví dụ về chuỗi hội tụ thành một số hữu hạn

Xem xét trình tự. Thành viên chung của cô ấy. Các điều khoản đầu tiên như sau:
.
Có thể thấy rằng khi số n lớn lên, các phần tử của dãy này tiến dần đến giá trị giới hạn của chúng a = 0 : tại . Vì vậy, mỗi số hạng tiếp theo gần bằng 0 hơn số hạng trước đó. Theo một nghĩa nào đó, chúng ta có thể giả định rằng có một giá trị gần đúng cho số a = 0 với một lỗi. Rõ ràng là với việc tăng n, sai số này có xu hướng bằng không, nghĩa là, bằng cách chọn n, sai số có thể được tạo ra nhỏ tùy ý. Hơn nữa, đối với bất kỳ lỗi nào đã cho ε > 0 bạn có thể chỉ định một số N sao cho tất cả các phần tử có số lớn hơn N :, độ lệch của số đó so với giá trị giới hạn a không vượt quá sai số ε:.

Tiếp theo, hãy xem trình tự. Thành viên chung của cô ấy. Đây là một số thành viên đầu tiên của nó:
.
Trong dãy số này, các số hạng chẵn bằng không. Các thành viên có n lẻ bằng nhau. Do đó, với việc tăng n, các giá trị của chúng tiếp cận với giá trị giới hạn a = 0 ... Điều này cũng xuất phát từ thực tế rằng
.
Như trong ví dụ trước, chúng ta có thể chỉ ra một lỗi nhỏ tùy ý ε > 0 , mà có thể tìm thấy một số N sao cho các phần tử có số lớn hơn N sẽ lệch khỏi giá trị giới hạn a = 0 bởi một số lượng không vượt quá sai số quy định. Do đó, chuỗi này hội tụ đến giá trị a = 0 : tại .

Ví dụ về trình tự phân kỳ

Hãy xem xét một chuỗi với số hạng phổ biến sau:

Đây là những thành viên đầu tiên của nó:


.
Có thể thấy rằng các thành viên số chẵn:
,
hội tụ với giá trị a 1 = 0 ... Các thành viên được đánh số lẻ:
,
hội tụ với giá trị a 2 = 2 ... Bản thân dãy số, với n tăng dần, không hội tụ đến bất kỳ giá trị nào.

Trình tự với các thành viên được phân phối trong khoảng (0; 1)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một trình tự thú vị hơn. Đi một đoạn trên trục số. Hãy chia đôi. Chúng tôi nhận được hai đoạn thẳng. Để cho được
.
Chia đôi mỗi phần một lần nữa. Chúng tôi nhận được bốn đoạn thẳng. Để cho được
.
Chia đôi mỗi đoạn một lần nữa. Hãy lấy


.
Vân vân.

Kết quả là, chúng tôi nhận được một chuỗi, các phần tử của chúng được phân phối trong khoảng mở (0; 1) ... Cho dù chúng ta lấy điểm nào từ khoảng thời gian đóng , chúng ta luôn có thể tìm thấy các thành viên của dãy gần với điểm này hoặc trùng với nó một cách tùy ý.

Sau đó, từ dãy ban đầu, người ta có thể chọn dãy con hội tụ đến một điểm tùy ý từ khoảng ... Nghĩa là, khi số n tăng lên, các thành viên của dãy con sẽ ngày càng tiến gần đến điểm đã chọn trước đó.

Ví dụ, đối với điểm a = 0 dãy con sau có thể được chọn:
.
= 0 .

Đối với điểm a = 1 chọn dãy con sau:
.
Các thành viên của dãy con này hội tụ với giá trị a = 1 .

Vì có các chuỗi con hội tụ với những nghĩa khác nhau, thì bản thân dãy số ban đầu không hội tụ về bất kỳ số nào.

Dãy chứa tất cả các số hữu tỉ

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một dãy chứa tất cả các số hữu tỉ. Hơn nữa, mỗi số hữu tỉ sẽ xuất hiện trong một dãy như vậy với số lần vô hạn.

Số hữu tỉ r có thể được biểu diễn bằng như sau:
,
toàn bộ ở đâu; - tự nhiên.
Chúng ta cần liên kết mỗi số tự nhiên n với một cặp số p và q sao cho cặp số p và q bất kỳ đều có trong dãy số của chúng ta.

Để làm điều này, hãy vẽ các trục p và q trên mặt phẳng. Vẽ các đường lưới thông qua các giá trị nguyên của p và q. Sau đó, mỗi nút của lưới này sẽ tương ứng với Số hữu tỉ... Toàn bộ tập hợp các số hữu tỉ sẽ được biểu diễn bằng một tập hợp các nút. Chúng ta cần tìm cách đánh số tất cả các nút để không bỏ sót một nút nào. Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách đánh số các nút trong các ô vuông căn giữa tại điểm (0; 0) (xem hình). Hơn nữa, các phần dưới của hình vuông với q < 1 chúng tôi không cần nó. Do đó, chúng không được hiển thị trong hình.


Vì vậy, đối với cạnh trên của hình vuông đầu tiên, chúng ta có:
.
Tiếp theo, chúng tôi đánh số phần trên hình vuông tiếp theo:

.
Chúng tôi đánh số đầu của hình vuông tiếp theo:

.
Vân vân.

Bằng cách này, chúng ta nhận được một dãy chứa tất cả các số hữu tỉ. Bạn có thể thấy rằng bất kỳ số hữu tỉ nào xuất hiện trong dãy số này với số lần vô hạn. Thật vậy, cùng với một nút, chuỗi này cũng sẽ bao gồm các nút, trong đó - số tự nhiên... Nhưng tất cả các nút này đều tương ứng với cùng một số hữu tỉ.

Sau đó, từ dãy chúng ta đã xây dựng, chúng ta có thể chọn một dãy con (có vô số phần tử), tất cả các phần tử của chúng đều bằng một số hữu tỉ xác định trước. Vì chuỗi mà chúng tôi đã xây dựng có các chuỗi con hội tụ với những con số khác nhau, thì dãy số không hội tụ về bất kỳ số nào.

Phần kết luận

Ở đây chúng tôi đã đưa ra một định nghĩa chính xác về một dãy số. Chúng tôi cũng nêu vấn đề về sự hội tụ của nó, dựa trên những ý tưởng trực quan. Định nghĩa chính xác Sự hội tụ được thảo luận trên trang Định nghĩa Giới hạn Trình tự. Các tính chất và định lý liên quan được nêu trên trang

Dãy số và giới hạn của nó thể hiện một trong những vấn đề quan trọng nhất của toán học trong suốt lịch sử tồn tại của ngành khoa học này. Liên tục cập nhật kiến ​​thức, xây dựng các định lý và chứng minh mới - tất cả những điều này cho phép chúng ta xem xét khái niệm này từ các vị trí mới và các

Dãy số, theo một trong những định nghĩa phổ biến nhất, là một hàm toán học dựa trên một tập hợp các số tự nhiên được sắp xếp theo một mẫu hoặc một mẫu khác.

Có một số tùy chọn để tạo chuỗi số.

Đầu tiên, hàm này có thể được chỉ định theo cách gọi là "rõ ràng", khi có một công thức nhất định, với sự trợ giúp của mỗi thành viên của nó có thể được xác định bằng cách thay thế đơn giản số thứ tự trong dãy đã cho.

Phương pháp thứ hai được gọi là "recurrent". Bản chất của nó nằm ở chỗ một số phần tử đầu tiên của dãy số được thiết lập, cũng như một công thức đệ quy đặc biệt, với sự trợ giúp của chúng, khi biết số hạng trước, bạn có thể tìm số hạng tiếp theo.

Cuối cùng, hầu hết Một cách tổng quát phép gán các dãy được gọi là khi mà không gặp nhiều khó khăn, người ta không chỉ có thể xác định một hoặc một thành viên khác dưới một số thứ tự nhất định, mà còn biết được một số thành viên liên tiếp, đi đến công thức chung Chức năng này.

Dãy số có thể tăng dần hoặc giảm dần. Trong trường hợp đầu tiên, mỗi số hạng tiếp theo nhỏ hơn số hạng trước đó, và trong trường hợp thứ hai, ngược lại, nó lớn hơn.

Đang cân nhắc chủ đề này, người ta không thể không chạm vào câu hỏi về giới hạn của các chuỗi. Giới hạn của một dãy số là một số sao cho bất kỳ, kể cả một số lượng nhỏ vô hạn, tồn tại số seri, sau đó độ lệch của các phần tử liên tiếp của dãy so với điểm đặtở dạng số, nó trở nên nhỏ hơn giá trị được chỉ định khi hàm này được hình thành.

Khái niệm giới hạn của một dãy số được sử dụng tích cực khi thực hiện một số phép tính tích phân và vi phân.

Các chuỗi toán học có một tập hợp các tính chất khá thú vị.

Đầu tiên, bất kỳ dãy số nào cũng là một ví dụ của một hàm toán học, do đó, những tính chất đặc trưng của hàm có thể được áp dụng một cách an toàn cho dãy. Nhiều nhất một tấm gương sáng thuộc tính đó là cung cấp các chuỗi số học tăng và giảm, được thống nhất bởi một khái niệm chung- trình tự đơn điệu.

Thứ hai, có đủ nhóm lớn Các trình tự không thể được phân loại là tăng hoặc giảm là các trình tự tuần hoàn. Trong toán học, chúng được coi là những hàm trong đó cái gọi là độ dài của chu kỳ tồn tại, tức là từ một thời điểm nhất định (n), đẳng thức sau yn = yn + T bắt đầu hoạt động, trong đó T sẽ là rất dài của thời kỳ.

Trước khi chúng tôi bắt đầu quyết định vấn đề cấp số cộng, hãy xem xét dãy số là gì, vì cấp số cộng là một trường hợp đặc biệt của một dãy số.

Dãy số là bộ số, mỗi phần tử có số sê-ri riêng... Các phần tử của tập hợp này được gọi là các thành viên của dãy. Số thứ tự của phần tử trình tự được biểu thị bằng chỉ số:

Phần tử đầu tiên của dãy;

Phần tử thứ năm của dãy số;

- Phần tử "thứ n" của dãy, tức là mục "trong hàng đợi" n.

Có một mối quan hệ giữa giá trị của một phần tử dãy và số thứ tự của nó. Do đó, chúng ta có thể coi dãy là một hàm có đối số là số thứ tự của một phần tử của dãy. Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng một chuỗi là một hàm của một đối số tự nhiên:

Trình tự có thể được thiết lập theo ba cách:

1 . Trình tự có thể được thiết lập bằng cách sử dụng một bảng. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần đặt giá trị của từng thành viên của chuỗi.

Ví dụ: Một người nào đó quyết định quản lý thời gian cá nhân và để bắt đầu, hãy tính toán lượng thời gian anh ta dành cho VKontakte trong tuần. Ghi lại thời gian trong bảng, anh ta sẽ nhận được một dãy bao gồm bảy phần tử:

Dòng đầu tiên của bảng chứa số ngày trong tuần, dòng thứ hai - thời gian tính bằng phút. Chúng tôi thấy rằng, vào thứ Hai, Ai đó đã dành 125 phút trên VKontakte, tức là vào thứ Năm - 248 phút và, tức là, vào thứ Sáu, chỉ có 15 phút.

2 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng công thức số hạng thứ n.

Trong trường hợp này, sự phụ thuộc của giá trị của phần tử dãy vào số của nó được biểu thị trực tiếp dưới dạng công thức.

Ví dụ, nếu, thì

Để tìm giá trị của một phần tử của dãy với một số cho trước, ta thay số phần tử vào công thức của số hạng thứ n.

Chúng ta làm tương tự nếu chúng ta cần tìm giá trị của một hàm nếu giá trị của đối số đã biết. Chúng tôi thay thế giá trị của đối số vào phương trình của hàm:

Ví dụ: , sau đó

Một lần nữa, tôi lưu ý rằng trong một chuỗi, không giống như một hàm số tùy ý, chỉ một số tự nhiên mới có thể là một đối số.

3 ... Một trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng công thức thể hiện sự phụ thuộc của giá trị của phần tử trình tự được đánh số vào giá trị của các phần tử trước đó. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ biết số của phần tử dãy để tìm giá trị của nó là không đủ. Chúng ta cần chỉ định thành viên đầu tiên hoặc một vài thành viên đầu tiên của chuỗi.

Ví dụ, hãy xem xét trình tự ,

Chúng ta có thể tìm giá trị của các thành viên của dãy theo thứ tự bắt đầu với thứ ba:

Tức là, mỗi lần, để tìm giá trị của phần tử thứ n của dãy, chúng ta quay lại hai lần trước. Cách sắp xếp trình tự này được gọi là lặp lại, từ từ latin định kỳ- sự trở lại.

Bây giờ chúng ta có thể xác định một cấp số cộng. Cấp số cộng là một trường hợp đặc biệt đơn giản của một dãy số.

Cấp số cộng một dãy số được gọi, mỗi phần tử của chúng, bắt đầu từ phần thứ hai, bằng với phần trước, được thêm vào cùng một số.


Số được gọi là sự khác biệt của cấp số cộng... Sự khác biệt trong cấp số cộng có thể là số dương, số âm hoặc bằng không.

Nếu title = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} tăng.

Ví dụ, 2; Số 5; tám; mười một; ...

Nếu, thì mỗi phần tử của cấp số cộng nhỏ hơn cấp số cộng trước đó và cấp số nhân là giảm dần.

Ví dụ, 2; -1; -4; -7; ...

Nếu, thì tất cả các thành viên của tiến trình bằng cùng một số, và cấp tiến là đứng im.

Ví dụ: 2; 2; 2; 2; ...

Tính chất chính của cấp số cộng:

Hãy nhìn vào bức tranh.

Chúng ta thấy rằng

, và cùng một lúc

Cộng hai giá trị bằng nhau này, chúng ta nhận được:

.

Chia cả hai vế của bình đẳng cho 2:

Vì vậy, mỗi thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ cấp thứ hai, bằng trung bình cộng của hai cấp số cộng lân cận:

Hơn nữa, kể từ khi

, và cùng một lúc

, sau đó

, và do đó

Mỗi thành viên của cấp số cộng bắt đầu bằng title = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Công thức của thành viên thứ.

Chúng ta thấy rằng đối với các thành viên của cấp số cộng, các quan hệ sau được thỏa mãn:

và cuối cùng

Chúng tôi có công thức của số hạng thứ n.

QUAN TRỌNG! Bất kỳ thành viên nào của cấp số cộng đều có thể được biểu thị bằng và. Biết số hạng đầu tiên và hiệu của cấp số cộng, bạn có thể tìm thấy bất kỳ số hạng nào của nó.

Tổng của n thành viên của một cấp số cộng.

Trong một cấp số cộng tùy ý, tổng của các thành viên cách đều cực trị bằng nhau:

Xét một cấp số cộng có n số hạng. Gọi tổng của n thành viên của cấp tiến này là.

Trước tiên, chúng ta hãy sắp xếp các thành viên của tiến trình theo thứ tự tăng dần của các số, sau đó theo thứ tự giảm dần:

Hãy thêm từng cặp:

Tổng trong mỗi dấu ngoặc bằng nhau, số cặp là n.

Chúng tôi nhận được:

Vì thế, Tổng của n số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm thấy bằng công thức:

Xem xét giải các bài toán về cấp số cộng.

1 . Dãy được cho bởi công thức số hạng thứ n: . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số cộng.

Hãy chứng minh rằng hiệu giữa hai thành viên liền kề của dãy bằng cùng một số.

Chúng tôi nhận thấy rằng sự khác biệt giữa hai thành viên liền kề của dãy không phụ thuộc vào số lượng của chúng và là không đổi. Do đó, theo định nghĩa, dãy số này là một cấp số cộng.

2 . Bạn được cho một cấp số cộng -31; -27; ...

a) Tìm 31 thành viên của cấp tiến.

b) Xác định xem số 41 có nằm trong cấp tiến này không.

Một) Chúng ta thấy rằng;

Hãy viết công thức cho số hạng thứ n cho cấp số nhân của chúng ta.

Nói chung

Trong trường hợp của chúng ta , vì thế

Chúng tôi nhận được:

NS) Giả sử 41 là một thành viên của một dãy. Hãy tìm số của anh ta. Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình:

Do đó, chúng tôi nhận được giá trị tự nhiên của n, do đó, số 41 là một thành viên của cấp số nhân. Nếu giá trị tìm được của n không phải là số tự nhiên, thì chúng ta sẽ trả lời rằng số 41 KHÔNG phải là thành viên của cấp số nhân.

3 ... a) Giữa các chữ số 2 và 8, hãy điền thêm 4 số sao cho chúng cùng với các số đã cho lập thành một cấp số cộng.

b) Tìm tổng các phần tử của cấp số cộng.

Một) Chèn bốn số giữa các số 2 và 8:

Chúng tôi nhận được một cấp số cộng có 6 thành viên.

Chúng ta hãy tìm sự khác biệt của sự tiến triển này. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng công thức cho số hạng thứ n:

Giờ đây, thật dễ dàng để tìm giá trị của các số:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

NS)

Trả lời: a) có; b) 30

4. Chiếc xe tải vận chuyển một lô đá dăm nặng 240 tấn, hàng ngày tăng tốc độ vận chuyển lên cùng một số tấn. Được biết, trong ngày đầu tiên đã vận chuyển 2 tấn đá dăm. Xác định xem ngày thứ mười hai người ta chở bao nhiêu tấn gạch vụn nếu tất cả các công việc được hoàn thành trong 15 ngày.

Theo tình trạng của vấn đề, lượng đá dăm do xe tải vận chuyển mỗi ngày một tăng. Do đó, chúng ta đang xử lý một cấp số cộng.

Hãy để chúng tôi hình thành vấn đề này dưới dạng một cấp số cộng.

Trong ngày đầu người ta vận chuyển được 2 tấn đá dăm là: a_1 = 2.

Tất cả công việc được hoàn thành trong 15 ngày:.

Chiếc xe tải chở một lô đá dăm nặng 240 tấn:

Chung ta cân tim.

Đầu tiên, hãy tìm sự khác biệt trong tiến trình. Hãy sử dụng công thức tổng của n số hạng của cấp số nhân.

Trong trường hợp của chúng ta:

Giả sử rằng mỗi số tự nhiên tương ứng với một số thực nào đó: số 1 tương ứng với số 1, số 2 tương ứng với số 2 và số n tương ứng với số n. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng một dãy số được viết như sau: a 1, a 2, ..., an, trong đó a 1 là số hạng đầu tiên và 2 là số hạng thứ hai, ..., và n là kỳ thứ n sự nối tiếp.

Có ba cách giải trình tự chính.

1. Phân tích. Dãy số được cho bởi công thức của số hạng thứ n; ví dụ, công thức а n = n / (n + 1) xác định trình tự 1, 2, ..., а n, trong đó

a 1 = 1 / (1 + 1) = 1/2; a 2 = 2 / (2 + 1) = 2/3 ...;

những thứ kia. dãy 1/2, 2/3, 3/4,…, n / (n + 1).

2. Định kỳ. Bất kỳ thành viên nào của dãy được thể hiện theo nghĩa của các thành viên trước đó. Với phương pháp chỉ định một dãy này, thành viên đầu tiên của dãy và một công thức cho phép bạn tính toán bất kỳ thành viên nào của dãy từ các thành viên trước đó đã biết phải được chỉ ra.

Hãy tìm một số thành viên của dãy a 1 = 1, và 2 = 1…, và n +2 = a n + a n +1.

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2;

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3, v.v.

Kết quả là ta nhận được dãy số: 1, 1, 2, 3, 5….

3. Bằng lời nói.Đây là trình tự của mô tả. Ví dụ, một chuỗi các xấp xỉ thập phân cho việc thiếu e.

Trình tự tăng dần và giảm dần.

Sequence (a n), mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng tiếp theo, tức là nếu một n< а n +1 для любого n, называется возрастающей последовательностью.

Sequence (a n), mỗi phần tử lớn hơn phần tử tiếp theo, tức là nếu a n> a n +1 với n bất kỳ, nó được gọi là dãy giảm.

Ví dụ:

a) 1, 4, 9, 16, 25,…, n 2,… - dãy số tăng dần;

b) -1, -2, -3, -4,…, -n,… - dãy giảm dần;

c) -1, 2, -3, 4, -5, 6,…, (-1) n ∙ n,… - dãy không tăng và không giảm;

d) 3, 3, 3, 3, 3, 3,…, 3,… là một dãy không đổi (đứng yên).

Nếu mỗi thành viên của dãy (a n), bắt đầu từ thứ hai, bằng phần trước, được cộng thêm với cùng số d, thì dãy như vậy được gọi là một cấp số cộng. Số d được gọi là hiệu số lũy tiến.

Do đó, cấp số cộng được cho bởi đẳng thức: a n +1 = a n + d. Ví dụ,

a 5 = a 4 + d.

Đối với d> 0, cấp số cộng tăng lên, đối với d< 0 убывает.

Dãy 3, 5, 7, 9, 11, 13 ... là một cấp số cộng,
trong đó a 1 = 3, d = 2 (5 - 3, 7 - 5, 9 - 7, v.v.).

Đôi khi không phải toàn bộ dãy số, là một cấp số cộng, được xem xét, mà chỉ xem xét một số phần tử đầu tiên của nó. Trong trường hợp này, người ta nói về một cấp số cộng hữu hạn.

Một cấp số cộng có ba thuộc tính.

1. Công thức của một cấp số cộng thứ n:

a n = a 1 + d (n - 1)

2. Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:

a) S n = ((a 1 + a n) / 2) ∙ n;

b) S n = ((2a 1 + d (n - 1)) / 2) ∙ n.

Ở đây S 1 = a 1, S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n.

3. Tính chất đặc trưng của cấp số cộng: một dãy là một dãy số học nếu và chỉ khi mỗi phần tử của nó, ngoại trừ dãy số đầu tiên (và dãy số cuối cùng trong trường hợp là một cấp số cộng hữu hạn), bằng trung bình cộng của các phần tử trước đó và tiếp theo:

a n = (a n -1 + a n +1) / 2.

Nếu số hạng đầu tiên của dãy (b n) là số hạng khác nhau và mỗi số hạng bắt đầu từ số thứ hai bằng số hạng trước đó nhân với cùng một số khác nhau q, thì dãy số như vậy được gọi là một cấp số nhân hình học. Số q được gọi là mẫu số của cấp tiến.

Điều đó., cấp số nhânđược cho bởi đẳng thức b n +1 = b n ∙ q ... Ví dụ, b 7 = b 6 ∙ q.

Dãy 100, 30, 9, 27/10, ... là một cấp số nhân hình học, trong đó b 1 = 100, q = 3/10.

Tiến trình hình học được đặc trưng bởi ba tính chất

1. Công thức cấu tử thứ n của một cấp tiến hình học:

b n = b 1 ∙ q n -1.

2. Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp hình học:

a) S n = (b n q - b 1) / (q - 1);

b) S n = (b 1 (q n - 1)) / (q - 1).

3. Tính chất đặc trưng của một cấp hình học: một dãy là một dãy hình học nếu và chỉ khi mỗi phần tử của nó, ngoại trừ phần đầu tiên (và phần cuối cùng trong trường hợp một tiến trình hình học hữu hạn), được liên kết với các phần tử trước đó và tiếp theo bằng công thức:

b n 2 = b n -1 ∙ b n +1.

blog. site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Giới thiệu ……………………………………………………………………………… 3

1. Phần lý thuyết ……………………………………………………………… .4

Các khái niệm và thuật ngữ cơ bản ……………………………………………… .... 4

1.1 Các loại trình tự ……………………………………………… ... 6

1.1.1 Chuỗi số có giới hạn và không giới hạn ... ..6

1.1.2 Tính đơn điệu của chuỗi ………………………………… 6

1.1.3 Dãy lớn vô hạn và dãy nhỏ vô hạn …… .7

1.1.4.Tính chất của dãy số thập phân ………………… 8

1.1.5. Các chuỗi hội tụ và phân kỳ và tính chất của chúng ... ... 9

1.2 Giới hạn của dãy số ………………………………………………… .11

1.2.1.Các định lý về giới hạn dãy số …………………………………………………………………………………………… 15

1.3 Cấp số cộng ……………………………………………… 17

1.3.1. Tính chất của cấp số cộng ………………………………… ..17

1.4 Tiến trình hình học ……………………………………………… ..19

1.4.1. Tính chất của một cấp hình học …………………………………… .19

1.5. Số Fibonacci ………………………………………………………… ..21

1.5.1 Mối quan hệ của số Fibonacci với các lĩnh vực kiến ​​thức khác …………………… .22

1.5.2. Sử dụng một dãy số Fibonacci để mô tả bản chất sống động và vô tri …………………………………………………………………………… .23

2. Nghiên cứu riêng ………………………………………………… .28

Kết luận ……………………………………………………………………… .30

Danh mục tài liệu đã sử dụng ………………………………………… .... 31

Giới thiệu.

Các dãy số rất thú vị và chủ đề nhận thức... Chủ đề này xảy ra trong các nhiệm vụ tăng độ phức tạp, được cung cấp cho học sinh bởi các tác giả của tài liệu giáo khoa, trong các vấn đề của Olympic toán học, các kỳ thi tuyển sinh lên Cao học Thiết lập chế độ giáo dục và trong kỳ thi. Tôi quan tâm đến việc tìm hiểu mối quan hệ của các chuỗi toán học với các lĩnh vực kiến ​​thức khác.

Mục tiêu công việc nghiên cứu: Mở rộng kiến ​​thức của bạn về dãy số.

1. Xem xét trình tự;

2. Xem xét các thuộc tính của nó;

3. Xem xét nhiệm vụ phân tích của trình tự;

4. Thể hiện vai trò của nó đối với sự phát triển của các lĩnh vực kiến ​​thức khác.

5. Trình bày việc sử dụng một dãy số Fibonacci để mô tả bản chất hữu hình và vô tri.

1. Phần lý thuyết.

Các khái niệm và thuật ngữ cơ bản.

Sự định nghĩa. Dãy số là một hàm có dạng y = f (x), x О N, trong đó N là tập hợp các số tự nhiên (hoặc một hàm của đối số tự nhiên), được ký hiệu là y = f (n) hoặc y1, y2 ,…, Yn,…. Các giá trị y1, y2, y3,… lần lượt được gọi là thành viên thứ nhất, thứ hai, thứ ba,… của dãy.

Số a được gọi là giới hạn của dãy số x = (x n) nếu với một số dương nhỏ tùy ý xác định trước ε tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n> N thì bất đẳng thức | x n - a |< ε.

Nếu số a là giới hạn của dãy số x = (x n), thì họ nói rằng x n có xu hướng là a, và viết

.

Một dãy (yn) được gọi là tăng dần nếu mỗi thành viên của nó (trừ dãy đầu tiên) lớn hơn dãy trước:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Một dãy (yn) được gọi là giảm dần nếu mỗi thành viên của nó (trừ dãy đầu tiên) nhỏ hơn dãy trước:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Các trình tự tăng dần và giảm dần được thống nhất bởi một thuật ngữ chung - các trình tự đơn điệu.

Một dãy được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số tự nhiên T sao cho, bắt đầu từ n nào đó, đẳng thức yn = yn + T là đúng. Số T được gọi là độ dài của chu kỳ.

Một cấp số cộng là một dãy (an), mỗi số hạng trong đó, bắt đầu từ số thứ hai, bằng tổng của số hạng trước đó và cùng số d, được gọi là một cấp số cộng, và số d là hiệu của một cấp số cộng.

Do đó, một cấp số cộng là một dãy số (an) được cho một cách đệ quy bởi các quan hệ

a1 = a, an = an - 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Cấp tiến hình học là một dãy, tất cả các phần tử của chúng đều khác không và mỗi số hạng của chúng, bắt đầu từ số thứ hai, nhận được từ số hạng trước đó bằng cách nhân với cùng một số q.

Do đó, một cấp tiến bộ hình học là một dãy số (bn) được cho một cách đệ quy bởi các quan hệ

b1 = b, bn = bn - 1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Các loại trình tự.

1.1.1 Trình tự có giới hạn và không giới hạn.

Một dãy (bn) được gọi là có giới hạn từ trên nếu tồn tại số M sao cho với số n bất kỳ thì bất đẳng thức bn≤ M thỏa mãn;

Một dãy (bn) được gọi là có giới hạn từ bên dưới nếu tồn tại một số M sao cho với bất kỳ số n nào thì bất đẳng thức bn≥ M được thỏa mãn;

Ví dụ:

1.1.2 Tính đơn điệu của dãy số.

Một dãy (bn) được gọi là không tăng (không giảm) nếu với bất kỳ số n nào, bất đẳng thức bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1) là đúng;

Một dãy (bn) được gọi là giảm (tăng) nếu, với bất kỳ số n nào, bất đẳng thức bn> bn + 1 (bn

Trình tự giảm dần và tăng dần được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt, đơn điệu không tăng theo nghĩa rộng.

Các chuỗi được giới hạn ở trên cùng và dưới cùng một lúc được gọi là giới hạn.

Trình tự của tất cả các loại này được gọi chung là đơn điệu.

1.1.3 Dãy lớn nhỏ vô hạn.

Dãy số thập phân là một hàm số hoặc dãy số có xu hướng bằng không.

Một dãy số được gọi là hệ thập phân vô số nếu

Một hàm được gọi là vô cực trong vùng lân cận của điểm x0 nếu ℓimx → x0 f (x) = 0.

Một hàm được gọi là vô cực ở vô cùng nếu ℓimx →. + ∞ f (x) = 0 hoặc ℓimx → -∞ f (x) = 0

Ngoài ra, một hàm thập phân là sự khác biệt giữa một hàm và giới hạn của nó, nghĩa là, nếu ℓimx →. + ∞ f (x) = a, thì f (x) - a = α (x), ℓimx →. + ∞ f ((x) -a) = 0.

Một dãy số lớn vô hạn là một hàm số hoặc một dãy số có xu hướng đến vô cùng.

Một dãy số được gọi là lớn vô hạn nếu

ℓimn → 0 an = ∞.

Một hàm được gọi là lớn vô hạn trong lân cận của điểm x0 nếu ℓimx → x0 f (x) = ∞.

Một hàm được gọi là lớn vô hạn ở vô cùng nếu

ℓimx →. + ∞ f (x) = ∞ hoặc ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Thuộc tính của dãy số thập phân.

Bản thân tổng của hai dãy số thập phân cũng là một dãy số thập phân.

Sự khác biệt của hai dãy số thập phân tự nó cũng là một dãy số thập phân.

Tổng đại số của bất kỳ số hữu hạn dãy số thập phân nào cũng là một dãy số thập phân nhỏ.

Tích của một dãy bị giới hạn bởi một dãy số thập phân là một dãy số thập phân vô cùng.

Tích của bất kỳ số hữu hạn nào của dãy số thập phân là một dãy số thập phân vô cùng.

Bất kỳ dãy số thập phân nào đều bị giới hạn.

Nếu một chuỗi tĩnh có dạng thập phân, thì tất cả các phần tử của nó, bắt đầu bằng một số nào đó, đều bằng không.

Nếu toàn bộ dãy số thập phân bao gồm các phần tử giống hệt nhau, thì các phần tử này là số không.

Nếu (xn) là dãy lớn vô hạn không chứa số hạng 0 thì dãy (1 / xn) nhỏ vô hạn. Tuy nhiên, nếu (xn) không chứa phần tử nào, thì dãy (1 / xn) vẫn có thể được xác định, bắt đầu từ một số n nào đó và sẽ vẫn nhỏ vô hạn.

Nếu (an) là dãy nhỏ vô hạn không chứa số hạng 0 thì dãy (1 / an) lớn vô hạn. Tuy nhiên, nếu (an) chứa 0 phần tử, thì dãy (1 / an) vẫn có thể được xác định bắt đầu từ một số n nào đó và sẽ vẫn lớn vô hạn.

1.1.5 Các chuỗi hội tụ và phân kỳ và các tính chất của chúng.

Dãy hội tụ là dãy các phần tử của tập X có giới hạn trong tập này.

Một dãy phân kỳ là một dãy không hội tụ.

Bất kỳ dãy số thập phân nào đều là hội tụ. Giới hạn của nó là không.

Việc loại bỏ bất kỳ số phần tử hữu hạn nào khỏi một dãy vô hạn không ảnh hưởng đến sự hội tụ hoặc giới hạn của dãy này.

Bất kỳ chuỗi hội tụ nào cũng bị giới hạn. Tuy nhiên, không phải mọi dãy số giới hạn đều hội tụ.

Nếu dãy (xn) hội tụ, nhưng không phải là số thập phân, thì bắt đầu từ một số nào đó, dãy (1 / xn) được xác định, có giới hạn.

Tổng của các dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ.

Sự khác biệt của các dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ.

Sản phẩm của các chuỗi hội tụ cũng là một chuỗi hội tụ.

Thương của hai dãy hội tụ được xác định bắt đầu từ một phần tử nào đó, trừ khi dãy thứ hai là số thập phân. Nếu thương của hai dãy hội tụ được xác định thì đó là một dãy hội tụ.

Nếu một chuỗi hội tụ được giới hạn từ bên dưới, thì không có giới hạn nào trong số các giới hạn dưới của nó vượt quá giới hạn của nó.

Nếu một chuỗi hội tụ được giới hạn từ phía trên, thì giới hạn của nó không vượt quá bất kỳ giới hạn nào trên của nó.

Nếu đối với bất kỳ số nào, các thành viên của một dãy hội tụ không vượt quá các thành viên của một dãy hội tụ khác, thì giới hạn của dãy thứ nhất cũng không vượt quá giới hạn của dãy thứ hai.