المعنى الهندسي للوحدة. تعريف معامل العدد. المعنى الهندسي للمقياس تعريف مقياس العدد من خلال الجذر التربيعي الحسابي

في هذه المقالة سوف نحلل بالتفصيل القيمة المطلقة للرقم. سنقدم تعريفات مختلفة لمعامل الرقم ، ونقدم تدوينًا ونعطي رسومًا توضيحية. في هذه الحالة ، نأخذ في الاعتبار أمثلة مختلفة لإيجاد مقياس العدد بالتعريف. بعد ذلك ، نقوم بإدراج الخصائص الرئيسية للوحدة وتبريرها. في نهاية المقال ، سنتحدث عن كيفية تحديد وإيجاد مقياس العدد المركب.

التنقل في الصفحة.

معامل العدد - التعريف والترميز والأمثلة

أولا نقدم تعيين المعامل. سيتم كتابة الوحدة النمطية للرقم a ، أي إلى يسار الرقم ويمينه ، سنضع خطوطًا عمودية تشكل علامة الوحدة. دعنا نعطي بعض الأمثلة. على سبيل المثال ، يمكن كتابة modulo -7 كـ ؛ تتم كتابة الوحدة 4،125 كـ ، ويتم كتابة الوحدة باسم.

يشير التعريف التالي للوحدة النمطية إلى الأعداد الصحيحة ، وبالتالي إلى ، وإلى الأعداد المنطقية وغير المنطقية ، فيما يتعلق بالأجزاء المكونة لمجموعة الأعداد الحقيقية. سنتحدث عن مقياس العدد المركب في.

تعريف.

معامل أهو إما الرقم a نفسه ، إذا كان a رقمًا موجبًا ، أو الرقم a ، عكس الرقم a ، إذا كان a رقمًا سالبًا ، أو 0 ، إذا كان a = 0.

غالبًا ما يتم كتابة التعريف الصوتي لمعامل الرقم بالشكل التالي ، يعني هذا الترميز أنه إذا كان a> 0 ، وإذا كان a = 0 ، وإذا كان a<0 .

يمكن تمثيل السجل بشكل أكثر إحكاما . يعني هذا الترميز أنه إذا (أ أكبر من أو يساوي 0) ، وإذا كان أ<0 .

هناك أيضا سجل . هنا ، الحالة عندما يكون a = 0 يجب شرحه بشكل منفصل. في هذه الحالة ، لدينا ، ولكن −0 = 0 ، لأن الصفر يعتبر رقمًا عكس نفسه.

لنجلب أمثلة لإيجاد مقياس العددمع تعريف معين. على سبيل المثال ، لنجد وحدات من الأرقام 15 و. لنبدأ بالبحث. نظرًا لأن الرقم 15 موجب ، فإن مقياسه ، بحكم التعريف ، يساوي هذا الرقم نفسه ، أي. ما هو مقياس العدد؟ بما أنه رقم سالب ، فإن مقياسه يساوي الرقم المقابل للعدد ، أي الرقم . في هذا الطريق، .

في ختام هذه الفقرة ، نقدم استنتاجًا واحدًا يكون مناسبًا جدًا للتطبيق عمليًا عند إيجاد مقياس العدد. من تعريف مقياس العدد يتبع ذلك مقياس العدد يساوي الرقم الموجود أسفل علامة المقياس ، بغض النظر عن علامته، ومن الأمثلة التي تمت مناقشتها أعلاه ، كان هذا واضحًا للعيان. يوضح البيان الذي تم التعبير عنه سبب استدعاء مقياس الرقم أيضًا القيمة المطلقة للرقم. إذن ، مقياس العدد والقيمة المطلقة لرقم واحد متماثل.

معامل الرقم كمسافة

هندسيًا ، يمكن تفسير معامل العدد على أنه مسافه: بعد. لنجلب تحديد معامل العدد من حيث المسافة.

تعريف.

معامل أهي المسافة من الأصل على خط الإحداثيات إلى النقطة المقابلة للرقم أ.

يتوافق هذا التعريف مع تعريف مقياس العدد الوارد في الفقرة الأولى. دعونا نشرح هذه النقطة. المسافة من الأصل إلى النقطة المقابلة لرقم موجب تساوي هذا الرقم. يتوافق الصفر مع الأصل ، وبالتالي فإن المسافة من الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات 0 هي صفر (لا يلزم تأجيل أي جزء واحد ولا يوجد جزء يشكل أي جزء من جزء الوحدة للانتقال من النقطة O إلى النقطة مع تنسيق 0). المسافة من الأصل إلى نقطة ذات إحداثي سالب تساوي الرقم المقابل لإحداثيات النقطة المعينة ، لأنها تساوي المسافة من الأصل إلى النقطة التي يكون إحداثيها هو الرقم المعاكس.

على سبيل المثال ، مقياس الرقم 9 هو 9 ، لأن المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات 9 تساوي تسعة. لنأخذ مثالاً آخر. النقطة ذات الإحداثيات −3.25 تقع على مسافة 3.25 من النقطة O ، لذلك .

إن التعريف الواضح لمعامل الرقم هو حالة خاصة لتعريف معامل الفرق بين عددين.

تعريف.

معامل الفرق بين عددين a و b يساوي المسافة بين نقطتي خط الإحداثيات بالإحداثيين a و b.

أي إذا تم إعطاء نقطتين على خط الإحداثيات A (a) و B (b) ، فإن المسافة من النقطة A إلى النقطة B تساوي معامل الاختلاف بين العددين a و b. إذا أخذنا النقطة O (النقطة المرجعية) كنقطة B ، فسنحصل على تعريف مقياس العدد الوارد في بداية هذه الفقرة.

تحديد مقياس عدد من خلال الجذر التربيعي الحسابي

وجدت في بعض الأحيان تحديد المعامل من خلال الجذر التربيعي الحسابي.

على سبيل المثال ، لنحسب الوحدات النمطية للأرقام −30 بناءً على هذا التعريف. لدينا . وبالمثل ، نحسب معامل الثلثين: .

يتوافق تعريف مقياس العدد من حيث الجذر التربيعي الحسابي أيضًا مع التعريف الوارد في الفقرة الأولى من هذه المقالة. دعونا نظهر ذلك. لنفترض أن a عددًا موجبًا ، وليكن − سالبًا. ثم و ، إذا كان a = 0 ، إذن .

خصائص الوحدة

الوحدة لديها عدد من النتائج المميزة - خصائص الوحدة. سنقدم الآن أهمها وأكثرها استخدامًا. عند إثبات هذه الخصائص ، سنعتمد على تعريف مقياس العدد من حيث المسافة.

لنبدأ بخاصية الوحدة النمطية الأكثر وضوحًا - لا يمكن أن يكون مقياس العدد عددًا سالبًا. في الشكل الحرفي ، هذه الخاصية لها شكل أي رقم أ. من السهل جدًا تبرير هذه الخاصية: مقياس الرقم هو المسافة ، ولا يمكن التعبير عن المسافة كرقم سالب.

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية للوحدة. معامل العدد يساوي صفرًا فقط إذا كان هذا الرقم صفرًا. مقياس الصفر هو صفر بالتعريف. يتوافق الصفر مع الأصل ، ولا توجد نقطة أخرى على خط الإحداثيات تقابل الصفر ، لأن كل رقم حقيقي مرتبط بنقطة واحدة على خط الإحداثيات. للسبب نفسه ، أي رقم بخلاف الصفر يتوافق مع نقطة أخرى غير الأصل. والمسافة من نقطة الأصل إلى أي نقطة غير النقطة O لا تساوي صفرًا ، لأن المسافة بين نقطتين تساوي صفرًا إذا وفقط إذا تزامنت هاتان النقطتان. يثبت المنطق أعلاه أن مقياس الصفر فقط هو الذي يساوي صفرًا.

استمر. الأرقام المقابلة لها وحدات متساوية ، أي لأي رقم أ. في الواقع ، توجد نقطتان على خط الإحداثيات ، إحداثياتهما أرقام متقابلة ، على نفس المسافة من الأصل ، مما يعني أن الوحدات النمطية للأرقام المتقابلة متساوية.

خاصية الوحدة التالية هي: مقياس حاصل ضرب عددين يساوي حاصل ضرب وحدات هذين العددين، بمعنى آخر، . بالتعريف ، فإن معامل حاصل ضرب العددين a و b هو إما a b if ، أو - (a b) if. ويترتب على قواعد ضرب الأعداد الحقيقية أن ناتج معاملات الأعداد أ و ب يساوي أ ب ، أو - (أ ب) ، إذا ، مما يثبت الخاصية المدروسة.

معامل حاصل قسمة a على b يساوي حاصل قسمة مقياس a على مقياس b، بمعنى آخر، . دعونا نبرر هذه الخاصية للوحدة. بما أن حاصل القسمة يساوي حاصل الضرب ، إذن. بحكم الملكية السابقة ، لدينا . يبقى فقط استخدام المساواة ، وهي صالحة بسبب تعريف معامل العدد.

تتم كتابة خاصية الوحدة النمطية التالية على أنها متباينة: ، أ ، ب ، ج هي أرقام حقيقية عشوائية. عدم المساواة المكتوبة ليست أكثر من عدم المساواة المثلث. لتوضيح ذلك ، دعنا نأخذ النقاط أ (أ) ، ب (ب) ، ج (ج) على خط الإحداثيات ، ونفكر في المثلث المنحل ABC ، الذي تقع رءوسه على نفس الخط. حسب التعريف ، فإن معامل الاختلاف يساوي طول المقطع AB ، - طول المقطع AC ، - طول المقطع CB. بما أن طول أي ضلع في المثلث لا يتجاوز مجموع أطوال الضلعين الآخرين ، فإن المتباينة ، لذلك ، فإن عدم المساواة يحمل أيضًا.

إن عدم المساواة التي تم إثباتها للتو أكثر شيوعًا في الشكل . تعتبر عدم المساواة المكتوبة عادةً خاصية منفصلة للوحدة مع الصيغة: " لا يتجاوز معامل مجموع عددين مجموع مقاييس هذه الأرقام". لكن المتباينة تأتي مباشرة من المتباينة ، إذا وضعنا −b بدلاً من b فيها ، وأخذنا c = 0.

معامل العدد المركب

هيا نعطي تحديد معامل العدد المركب. دعونا نعطي عدد مركب، مكتوبة بصيغة جبرية ، حيث x و y بعض الأعداد الحقيقية ، تمثل ، على التوالي ، الأجزاء الحقيقية والتخيلية لعدد مركب معين z ، وهي وحدة تخيلية.

تعريف.

مقياس العدد المركب z = x + i y يسمى الجذر التربيعي الحسابي لمجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي لعدد مركب معين.

يُشار إلى مقياس العدد المركب z على أنه يمكن كتابة التعريف الصوتي لمعامل العدد المركب .

يسمح لك هذا التعريف بحساب معامل أي عدد مركب في التدوين الجبري. على سبيل المثال ، لنحسب مقياس العدد المركب. في هذا المثال ، الجزء الحقيقي من العدد المركب هو ، والجزء التخيلي هو سالب أربعة. ثم ، من خلال تعريف مقياس العدد المركب ، لدينا .

يمكن إعطاء التفسير الهندسي لمقياس العدد المركب من حيث المسافة ، عن طريق القياس مع التفسير الهندسي لمقياس العدد الحقيقي.

تعريف.

معامل العدد المركب z هي المسافة من بداية المستوى المركب إلى النقطة المقابلة للرقم z في هذا المستوى.

وفقًا لنظرية فيثاغورس ، تم حساب المسافة من النقطة O إلى النقطة ذات الإحداثيات (x ، y) ، وبالتالي ، أين. لذلك ، فإن التعريف الأخير لمعامل العدد المركب يتفق مع الأول.

يسمح لك هذا التعريف أيضًا بالإشارة على الفور إلى معامل العدد المركب z ، إذا كان مكتوبًا في شكل مثلثي أو في شكل أسي. هنا . على سبيل المثال ، مقياس العدد المركب هو 5 ، ومقياس العدد المركب.

يمكن أيضًا ملاحظة أن حاصل ضرب عدد مركب ومقارنه المركب يعطينا مجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي. حقا، . تسمح لنا المساواة الناتجة بإعطاء تعريف آخر لمعامل العدد المركب.

تعريف.

معامل العدد المركب z هو الجذر التربيعي الحسابي لحاصل ضرب هذا الرقم ومقارنه المركب ، أي.

في الختام ، نلاحظ أن جميع خصائص الوحدة التي تمت صياغتها في القسم الفرعي المقابل صالحة أيضًا للأرقام المركبة.

فهرس.

فيلينكين ن. إلخ الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية.
ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي لثماني خلايا. المؤسسات التعليمية.
Lunts G.L. ، Elsgolts L.E. وظائف متغير معقد: كتاب مدرسي للجامعات.
بريفالوف الأول. مقدمة في نظرية وظائف المتغير المعقد.

الأرقام الحقيقية II

§ 44 التمثيل الهندسي للأرقام الحقيقية

يتم تمثيل الأعداد الحقيقية هندسيًا ، مثل الأعداد النسبية ، بنقاط على خط مستقيم.

اسمحوا ان ل - خط مستقيم تعسفي ، و O - بعض نقاطه (الشكل 58). كل رقم حقيقي موجب α ضع في المراسلات النقطة A ، الواقعة على يمين O على مسافة α وحدات الطول.

إذا ، على سبيل المثال ، α = 2.1356 ... إذن

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

من الواضح أن النقطة A في هذه الحالة يجب أن تكون على الخط ل على يمين النقاط المقابلة للأرقام

2; 2,1; 2,13; ... ,

ولكن على يسار النقاط المقابلة للأرقام

3; 2,2; 2,14; ... .

يمكن إثبات أن هذه الشروط تحدد على الخط ل النقطة الوحيدة أ ، والتي نعتبرها الصورة الهندسية لرقم حقيقي α = 2,1356... .

وبالمثل ، كل رقم حقيقي سلبي β ضع في المراسلات النقطة B الواقعة على يسار O على مسافة | β | وحدات الطول. أخيرًا ، نخصص النقطة O للرقم "صفر".

لذلك ، سيتم عرض الرقم 1 على خط مستقيم ل النقطة A ، الواقعة على يمين O على مسافة وحدة طول واحدة (الشكل 59) ، الرقم - √2 - النقطة B ، يقع على يسار O على مسافة 2 وحدة طول ، إلخ.

دعونا نظهر كيف على خط مستقيم ل باستخدام بوصلة ومسطرة ، يمكنك العثور على نقاط مقابلة للأرقام الحقيقية √2 ، 3 ، √4 ، √5 ، إلخ. للقيام بذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، سوف نوضح كيفية إنشاء مقاطع يتم التعبير عن أطوالها بواسطة هذه الارقام. لنفترض أن AB جزء مأخوذ كوحدة طول (الشكل 60).

عند النقطة A ، نعيد المقطع الرأسي إلى هذا المقطع ونضع جانبًا عليه المقطع AC ، والذي يساوي المقطع AB. ثم ، بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية ABC ، نحصل على ؛ BC \ u003d √AB 2 + AC 2 \ u003d √1 + 1 \ u003d √2

إذن ، المقطع BC له طول 2. الآن دعونا نستعيد العمود العمودي على القطعة BC عند النقطة C ونختار النقطة D عليها بحيث يكون المقطع CD مساويًا لوحدة الطول AB. ثم من المثلث الأيمن BCD نجد:

ВD \ u003d √BC 2 + CD 2 \ u003d √2 + 1 \ u003d √3

إذن ، طول القطعة BD √3. استمرارًا للعملية الموضحة ، يمكننا الحصول على المقاطع BE ، BF ، ... ، التي يتم التعبير عن أطوالها بالأرقام √4 ، √5 ، إلخ.

الآن على الخط ل من السهل العثور على تلك النقاط التي تعمل كتمثيل هندسي للأرقام √2 و √3 و √4 و √5 وما إلى ذلك.

بوضع ، على سبيل المثال ، على يمين النقطة O المقطع BC (الشكل 61) ، نحصل على النقطة C ، والتي تعمل بمثابة تمثيل هندسي للرقم √2. بالطريقة نفسها ، بإخراج المقطع BD على يمين النقطة O ، نحصل على النقطة D "، وهي الصورة الهندسية للرقم √3 ، إلخ.

ومع ذلك ، لا ينبغي لأحد أن يفكر في ذلك بمساعدة البوصلة والمسطرة على خط الأعداد ل يمكن للمرء أن يجد نقطة تقابل أي رقم حقيقي معين. لقد ثبت ، على سبيل المثال ، أنه بوجود بوصلة ومسطرة فقط تحت تصرفك ، فإنه من المستحيل إنشاء مقطع يتم التعبير عن طوله بالرقم π = 3.14 .... إذن على خط الأعداد ل باستخدام مثل هذه التركيبات ، من المستحيل الإشارة إلى نقطة مقابلة لهذا الرقم. ومع ذلك ، توجد مثل هذه النقطة.

لذلك لكل رقم حقيقي α من الممكن ربط بعض نقاط الخط المحددة جيدًا ل . سيتم فصل هذه النقطة عن نقطة البداية O على مسافة | α | وحدات الطول وتكون على يمين O إذا α > 0 وإلى يسار O إذا α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ل . في الواقع ، دع الرقم α يتوافق مع النقطة أ ، والرقم β - النقطة B. ثم إذا α > β ، ثم سيكون A على يمين B (الشكل 62 ، أ) ؛ إذا α < β ، ثم A سوف تقع على يسار B (الشكل 62 ، ب).

عند الحديث في الفقرة 37 عن التمثيل الهندسي للأرقام المنطقية ، طرحنا السؤال التالي: هل يمكن اعتبار أي نقطة على خط مستقيم كصورة هندسية للبعض عاقلأعداد؟ في ذلك الوقت لم نتمكن من إعطاء إجابة على هذا السؤال ؛ الآن يمكننا الإجابة عليه بكل تأكيد. هناك نقاط على الخط تعمل كتمثيل هندسي للأرقام غير المنطقية (على سبيل المثال ، 2). لذلك ، لا تمثل كل نقطة على الخط المستقيم عددًا نسبيًا. لكن في هذه الحالة ، يطرح سؤال آخر: هل يمكن اعتبار أي نقطة من الخط الحقيقي بمثابة صورة هندسية للبعض صالحأعداد؟ تم بالفعل حل هذه المشكلة بشكل إيجابي.

في الواقع ، دع "أ" يكون نقطة اعتباطية على المحك ل ، الكذب على يمين O (الشكل 63).

يتم التعبير عن طول المقطع OA ببعض الأرقام الحقيقية الموجبة α (انظر الفقرة 41). إذن ، النقطة أ هي الصورة الهندسية للرقم α . وبالمثل ، ثبت أن كل نقطة B تقع على يسار O يمكن اعتبارها صورة هندسية لعدد حقيقي سالب - β ، أين β - طول المقطع VO. أخيرًا ، تمثل النقطة O تمثيلًا هندسيًا للرقم صفر. من الواضح أن نقطتين متميزتين للخط ل لا يمكن أن تكون الصورة الهندسية لنفس الرقم الحقيقي.

للأسباب المذكورة أعلاه ، يسمى الخط المستقيم الذي يشار إليه على أنه نقطة "أولية" (لوحدة طول معينة) رقم الخط.

انتاج. تكون مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ومجموعة جميع نقاط الخط الحقيقي في تناظر واحد لواحد.

هذا يعني أن كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة محددة جيدًا لخط الأعداد ، وعلى العكس من كل نقطة على خط الأعداد ، مع مثل هذا التطابق ، هناك رقم حقيقي واحد محدد جيدًا.

تمارين

320. اكتشف أي النقطتين على خط الأعداد إلى اليسار وأيها على اليمين ، إذا كانت هاتان النقطتان تتطابقان مع الأرقام:

أ) 1.454545 ... و 1.455454 ... ؛ ج) 0 و - 1.56673 ... ؛

ب) - 12.0003 ... و- 12.0002 ... ؛ د) 13.24 ... و 13.00 ....

321- اكتشف أي من النقطتين أبعد من نقطة البداية O على خط الأعداد ، إذا كانت هذه النقاط تتطابق مع الأرقام:

أ) 5.2397 ... و 4.4996 ... ؛ .. ج) -0.3567 ... و 0.3557 ....

د) - 15.0001 و - 15.1000 ... ؛

322. في هذا القسم تبين أنه لبناء جزء من الطول √ ن باستخدام البوصلة والاستقامة ، يمكنك القيام بما يلي: أولاً ، قم بإنشاء مقطع بطول √2 ، ثم مقطع بطول √3 ، وما إلى ذلك ، حتى نصل إلى مقطع بطول √ ن . لكن لكل ثابت ص > 3 يمكن تسريع هذه العملية. كيف ، على سبيل المثال ، ستبدأ في بناء مقطع طوله 10؟

323 *. كيفية استخدام البوصلة والمسطرة لإيجاد نقطة على خط الأعداد تقابل الرقم 1 / α ، إذا كان موضع النقطة المطابق للرقم α ، معروف؟

الفصل 1 المتغيرات والوظائف

§1.1. الأعداد الحقيقية
يحدث التعارف الأول مع الأرقام الحقيقية في سياق الرياضيات بالمدرسة. يتم تمثيل أي رقم حقيقي بكسر عشري محدود أو لانهائي.

تنقسم الأعداد الحقيقية (الحقيقية) إلى فئتين: فئة الأعداد المنطقية وفئة الأعداد غير المنطقية. عاقلتسمى الأرقام التي تبدو مثل وأين مو نهي أعداد صحيحة coprime ، ولكن
. (يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام المنطقية بالحرف س). يتم استدعاء باقي الأعداد الحقيقية غير منطقي. يتم تمثيل الأعداد المنطقية بواسطة كسر دوري محدود أو لانهائي (مثل الكسور العادية) ، ثم تلك فقط تلك الأعداد الحقيقية التي يمكن تمثيلها بواسطة كسور غير دورية لا نهائية ستكون غير منطقية.

على سبيل المثال ، الرقم
- عقلاني و
,
,
إلخ. هي أرقام غير منطقية.

يمكن أيضًا تقسيم الأعداد الحقيقية إلى أرقام جبرية - جذور كثير الحدود ذات المعاملات المنطقية (تشمل هذه ، على وجه الخصوص ، جميع الأعداد المنطقية - جذور المعادلة
) - ومتسام - كل الباقي (على سبيل المثال ، الأرقام
و اخرين).

يتم الإشارة إلى مجموعات الأعداد الطبيعية والصحيحة والحقيقية على التوالي على النحو التالي: نض, ص
(الأحرف الأولى من كلمات Naturel و Zahl و Reel).

§1.2. صورة لأرقام حقيقية على خط الأعداد. فترات

هندسيًا (من أجل الوضوح) ، يتم تمثيل الأرقام الحقيقية بنقاط على خط مستقيم لا نهائي (في كلا الاتجاهين) ، يسمى عددي محور. لهذا الغرض ، يتم أخذ نقطة على الخط قيد الدراسة (النقطة المرجعية هي النقطة 0) ، ويشار إلى الاتجاه الإيجابي ، ويصور بواسطة سهم (عادةً إلى اليمين) ، ويتم اختيار وحدة مقياس يتم وضعها جانبًا إلى أجل غير مسمى على جانبي النقطة 0. هذه هي الطريقة التي يتم بها عرض الأعداد الصحيحة. لتصوير رقم به منزلة عشرية واحدة ، يجب تقسيم كل جزء إلى عشرة أجزاء ، وهكذا. وهكذا ، يتم تمثيل كل رقم حقيقي بنقطة على خط الأعداد. على العكس من ذلك ، كل نقطة
يتوافق مع عدد حقيقي يساوي طول المقطع
ويتم التقاطها بعلامة "+" أو "-" ، اعتمادًا على ما إذا كانت النقطة تقع إلى يمين أو يسار الأصل. وبالتالي ، يتم إنشاء تطابق واحد لواحد بين مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ومجموعة جميع نقاط المحور العددي. يتم استخدام المصطلحين "الرقم الحقيقي" و "نقطة المحور العددي" المرادفات.

رمز سنشير إلى كل من الرقم الحقيقي والنقطة المقابلة له. توجد الأرقام الموجبة على يمين النقطة 0 ، سالبة - إلى اليسار. إذا
، ثم على المحور الحقيقي النقطة تقع على يسار النقطة . دع النقطة
يتوافق مع رقم ، ثم الرقم يسمى إحداثيات النقطة ، يكتبون
؛ في كثير من الأحيان ، يتم الإشارة إلى النقطة نفسها بنفس الحرف مثل الرقم. النقطة 0 هي أصل الإحداثيات. يُشار إلى المحور أيضًا بالحرف (الشكل 1.1).

أرز. 1.1 المحور الرقمي.
مجموعة كل الأرقام الكاذبة ما بينالأرقام المعطاة وتسمى الفاصل الزمني أو الفاصل الزمني ؛ قد تكون أو لا تنتمي إلى النهايات. دعنا نوضح هذا. اسمحوا ان
. مجموعة الأرقام التي تحقق الشرط
، تسمى فترة (بالمعنى الضيق) أو فاصل مفتوح ، يُشار إليه بالرمز
(الشكل 1.2).

أرز. 1.2 فترة
مجموعة من الأرقام من هذا القبيل
يسمى الفاصل الزمني المغلق (مقطع ، مقطع) ويشار إليه بواسطة
؛ على المحور العددي تم وضع علامة على النحو التالي:

أرز. 1.3 فاصل مغلق
يختلف عن الفجوة المفتوحة فقط في نقطتين (نهايات) و. لكن هذا الاختلاف أساسي وضروري ، كما سنرى لاحقًا ، على سبيل المثال ، عند دراسة خصائص الوظائف.

حذف عبارة "مجموعة كل الأرقام (نقاط) xمثل "، وما إلى ذلك ، نلاحظ كذلك:

و
، يعني
و
فترات نصف مفتوحة أو نصف مغلقة (أحيانًا: نصف فترات) ؛

أو
يعني:
أو
والمشار إليها
أو
;

أو
يعني
أو
والمشار إليها
أو
;

، يعني
مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. شارات
رموز "اللانهاية". يطلق عليهم أرقام غير مناسبة أو مثالية.

§1.3. القيمة المطلقة (أو المعامل) لعدد حقيقي
تعريف. القيمة المطلقة (أو الوحدة النمطية) number يسمى الرقم نفسه ، إذا
أو
إذا
. يتم الإشارة إلى القيمة المطلقة بواسطة الرمز . وبالتالي،

علي سبيل المثال،
,
,
.

هندسيًا تعني مسافة النقطة أإلى أصل الإحداثيات. إذا كان لدينا نقطتان ، فيمكن تمثيل المسافة بينهما على النحو التالي
(أو
). علي سبيل المثال،
تلك المسافة
.

خصائص القيم المطلقة.

1. ويترتب على التعريف أن

,
، بمعنى آخر
.

2. لا تتجاوز القيمة المطلقة للمجموع والفرق مجموع القيم المطلقة:
.

1) إذا
، ومن بعد
. 2) إذا
، ومن بعد . ▲

3.
.

، ثم حسب الخاصية 2:
، بمعنى آخر.
. وبالمثل ، إذا تخيلنا
، ثم نصل إلى عدم المساواة
▲

4.
- يتبع من التعريف: النظر في القضايا
و
.

5.
، بشرط
نفس الشيء يتبع من التعريف.

6. عدم المساواة
,
، يعني
. يتم استيفاء هذا التفاوت بالنقاط الواقعة بينهما
و
.

7. عدم المساواة
يعادل عدم المساواة
، بمعنى آخر. . إنها فترة تتمحور عند نقطة الطول
. تسمى
حي نقطة (رقم). إذا
، ثم يسمى الحي مثقوبًا: هذا أو
. (الشكل 1.4).

8.
من أين يتبع ذلك عدم المساواة
(
) يعادل عدم المساواة
أو
؛ وعدم المساواة
يحدد مجموعة النقاط التي
، بمعنى آخر. هي نقاط خارج الجزء
، بالضبط:
و
.

§1.4. بعض المفاهيم والتسميات
فيما يلي بعض المفاهيم المستخدمة على نطاق واسع ، والملاحظات من نظرية المجموعات ، والمنطق الرياضي والفروع الأخرى للرياضيات الحديثة.

1 . مفهوم مجموعاتهي واحدة من الأساسيات في الرياضيات ، أولية ، عالمية - وبالتالي لا يمكن تعريفها. يمكن وصفها فقط (استبدالها بالمرادفات): إنها مجموعة ، مجموعة من بعض الأشياء ، أشياء ، توحدها بعض العلامات. تسمى هذه الأشياء عناصرمجموعات. أمثلة: العديد من حبات الرمل على الشاطئ ، النجوم في الكون ، الطلاب في الفصل ، جذور المعادلة ، نقاط الجزء. المجموعات التي تسمى عناصرها أرقام مجموعات عددية. بالنسبة لبعض المجموعات القياسية ، يتم تقديم تدوين خاص ، على سبيل المثال ، ن,ض,ص-انظر الفقرة 1.1.

اسمحوا ان أ- مجموعة و xهو عنصرها ، ثم نكتب:
؛ يقرأ " xينتمي أ» (
علامة التضمين للعناصر). إذا كان الكائن xغير مدرج في أ، ثم يكتبون
؛ يقرأ: " xلا ينتمي أ". علي سبيل المثال،
ن; 8,51ن؛ لكن 8.51 ص.

إذا xهي تسمية عامة لعناصر المجموعة أ، ثم يكتبون
. إذا كان من الممكن كتابة تسمية جميع العناصر ، فاكتب
,
المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد تسمى مجموعة فارغة ويشار إليها بالرمز  ؛ على سبيل المثال ، مجموعة الجذور (الحقيقية) للمعادلة
هناك واحدة فارغة.

المجموعة تسمى أخيرإذا كان يتكون من عدد محدود من العناصر. إذا كان ، مع ذلك ، بغض النظر عن العدد الطبيعي N المأخوذ ، في المجموعة أهناك عناصر أكثر من N ، إذن أمسمى بلا نهايةمجموعة: هناك عدد لانهائي من العناصر فيه.

إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة ^ أينتمي إلى المجموعة ب، ومن بعد يسمى جزء أو مجموعة فرعية من مجموعة بواكتب
؛ يقرأ " أالواردة في ب» (
هناك علامة تضمين لمجموعات). علي سبيل المثال، نضتم العثور على R.إذا و
، ثم نقول أن المجموعات أو بعلى قدم المساواة والكتابة
. خلاف ذلك ، اكتب
. على سبيل المثال ، إذا
، لكن
مجموعة من جذور المعادلة
، ومن بعد .

مجموعة عناصر كلا المجموعتين أو بمسمى منظمةمجموعات ويشار إليها
(بعض الأحيان
). مجموعة العناصر التي تنتمي إلى و أو ب، يسمى تداخلمجموعات ويشار إليها
. مجموعة كل عناصر المجموعة ^ أ، والتي لم يتم تضمينها في ب، يسمى فرقمجموعات ويشار إليها
. من الناحية التخطيطية ، يمكن تصوير هذه العمليات على النحو التالي:

إذا كان من الممكن إنشاء تطابق واحد لواحد بين عناصر المجموعات ، فإنهم يقولون إن هذه المجموعات متكافئة ويكتبون
. أي مجموعة أ، أي ما يعادل مجموعة الأعداد الطبيعية ن= دعا معدودأو معدود.بمعنى آخر ، تسمى المجموعة قابلة للعد إذا كان من الممكن ترقيم عناصرها ، ووضعها في لانهائي اللاحقة
، كل أعضائها مختلفون:
في
، ويمكن كتابتها كـ. مجموعات لانهائية أخرى تسمى غير معدود. قابل للعد ، باستثناء المجموعة نفسها ن،سيكون هناك ، على سبيل المثال ، مجموعات
, Z.اتضح أن مجموعات جميع الأعداد المنطقية والجبرية قابلة للعد ، والمجموعات المكافئة لجميع الأعداد غير المنطقية والمتجاوزة والحقيقية والنقاط لأي فترة زمنية غير قابلة للعد. يقولون أن الأخير لديه قوة الاستمرارية (القوة هي تعميم لمفهوم عدد (عدد) العناصر لمجموعة لانهائية).

2 . يجب أن يكون هناك بيانان ، حقيقتان: و
. رمز
يعني: "إذا كان صحيحًا ، ثم صحيح و" أو "يتبع" ، "يعني أن جذر المعادلة له خاصية من اللغة الإنجليزية يخرج- يخرج.

تسجيل:

، أو
، يعني: هناك كائن (واحد على الأقل) له الخاصية . سجل
، أو
، يعني: كل ممتلكات. على وجه الخصوص ، يمكننا أن نكتب:
و .

نعلم بالفعل أن مجموعة الأعداد الحقيقية $ R $ تتكون من أعداد منطقية وغير منطقية.

يمكن دائمًا تمثيل الأعداد المنطقية على أنها أرقام عشرية (دورية محدودة أو غير محدودة).

تتم كتابة الأعداد غير النسبية في صورة كسور عشرية لا نهائية ولكنها غير متكررة.

تتضمن مجموعة الأعداد الحقيقية $ R $ أيضًا العناصر $ - \ infty $ و $ + \ infty $ ، والتي من أجلها $ - \ infty

فكر في طرق لتمثيل الأعداد الحقيقية.

الكسور المشتركة

تتم كتابة الكسور العادية باستخدام عددين طبيعيين وشريط كسري أفقي. يستبدل الشريط الكسري فعليًا علامة القسمة. الرقم الموجود أسفل الخط هو المقام (المقسوم عليه) ، والرقم الموجود أعلى الخط هو البسط (قابل للقسمة).

تعريف

يسمى الكسر المناسب إذا كان البسط أقل من مقامه. على العكس من ذلك ، يُطلق على الكسر اسم غير لائق إذا كان بسطه أكبر من مقامه أو مساويًا له.

بالنسبة للكسور العادية ، توجد قواعد مقارنة بسيطة وواضحة عمليًا ($ m $ ، $ n $ ، $ p $ أرقام طبيعية):

من كسرين لهما نفس المقامات ، يكون الجزء الذي يحتوي على بسط أكبر أكبر ، أي $ \ frac (m) (p)> \ frac (n) (p) $ لـ $ m> n $؛
من كسرين لهما نفس البسط ، يكون الجزء ذو المقام الأصغر أكبر ، على سبيل المثال $ \ frac (p) (m)> \ frac (p) (n) $ مقابل $ m
يكون الكسر الصحيح دائمًا أقل من واحد ؛ الكسر غير الصحيح دائمًا أكبر من واحد ؛ كسر بسطه مقامه يساوي واحدًا ؛
أي كسر غير فعلي أكبر من أي كسر حقيقي.

أرقام عشرية

تدوين الرقم العشري (الكسر العشري) له الشكل: جزء صحيح ، فاصلة عشرية ، جزء كسري. يمكن الحصول على الرمز العشري لكسر عادي بقسمة "زاوية" البسط على المقام. يمكن أن ينتج عن هذا إما كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري لانهائي.

تعريف

تسمى الأرقام الكسرية بالمنازل العشرية. في هذه الحالة ، يُطلق على الرقم الأول بعد الفاصلة العشرية رقم العشر ، والثاني - رقم المئات ، والثالث - رقم الألف ، وما إلى ذلك.

مثال 1

نحدد قيمة الرقم العشري 3.74. حصلنا على: 3.74 دولار = 3 + \ فارك (7) (10) + \ فارك (4) (100) دولار.

يمكن تقريب الرقم العشري. في هذه الحالة ، يجب تحديد الرقم الذي يتم التقريب إليه.

قاعدة التقريب هي كما يلي:

يتم استبدال جميع الأرقام الموجودة على يمين هذا الرقم بالأصفار (إذا كانت هذه الأرقام قبل الفاصلة العشرية) أو يتم تجاهلها (إذا كانت هذه الأرقام بعد الفاصلة العشرية) ؛
إذا كان الرقم الأول الذي يلي الرقم المعطى أقل من 5 ، فلن يتغير رقم هذا الرقم ؛
إذا كان الرقم الأول الذي يلي الرقم المعطى هو 5 أو أكثر ، فسيتم زيادة رقم هذا الرقم بمقدار واحد.

مثال 2

لنقرب الرقم 17302 لأقرب ألف: 17000.
لنقرب العدد 17378 لأقرب مائة: 17400.
لنقرب العدد 17378.45 إلى عشرات: 17380.
لنقرب العدد 378.91434 لأقرب جزء من مائة: 378.91.
لنقرب العدد 378.91534 لأقرب جزء من مائة: 378.92.

تحويل رقم عشري إلى كسر مشترك.

حالة 1

الرقم العشري هو عدد عشري منتهي.

يتم عرض طريقة التحويل في المثال التالي.

مثال 2

لدينا: 3.74 دولار = 3 + \ فارك (7) (10) + \ فارك (4) (100) دولار.

اختزل إلى قاسم مشترك واحصل على:

يمكن اختزال الكسر: $ 3.74 = \ frac (374) (100) = \ frac (187) (50) $.

الحالة 2

الرقم العشري هو عدد عشري متكرر لانهائي.

تعتمد طريقة التحويل على حقيقة أن الجزء الدوري من كسر عشري دوري يمكن اعتباره مجموع أعضاء تقدم هندسي متناقص لانهائي.

مثال 4

$ 0، \ يسار (74 \ يمين) = \ frac (74) (100) + \ frac (74) (10000) + \ frac (74) (1000000) + \ ldots $. العضو الأول في التقدم هو $ a = 0.74 $ ، ومقام التقدم هو $ q = 0.01 $.

مثال 5

0.5 دولار \ يسار (8 \ يمين) = \ frac (5) (10) + \ frac (8) (100) + \ frac (8) (1000) + \ frac (8) (10000) + \ ldots $. العضو الأول في التقدم هو $ a = 0.08 $ ، ومقام التقدم هو $ q = 0.1 $.

يتم حساب مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص اللانهائي بواسطة الصيغة $ s = \ frac (a) (1-q) $ ، حيث $ a $ هو المصطلح الأول و $ q $ هو مقام التقدم $ \ اليسار (0

مثال 6

لنحول الكسر العشري الدوري اللانهائي 0 $ ، \ left (72 \ right) $ إلى كسر عادي.

أول عضو في التقدم هو $ a = 0.72 $ ، ومقام التقدم هو $ q = 0.01 $. نحصل على: $ s = \ frac (a) (1-q) = \ frac (0.72) (1-0.01) = \ frac (0.72) (0.99) = \ frac (72) (99) = \ frac (8) ) (11) دولار. إذن $ 0، \ left (72 \ right) = \ frac (8) (11) $.

مثال 7

لنحول الكسر العشري الدوري اللانهائي 0.5 دولار إلى اليسار (3 \ يمين) دولار إلى كسر عادي.

العضو الأول في التقدم هو $ a = 0.03 $ ، ومقام التقدم هو $ q = 0.1 $. نحصل على: $ s = \ frac (a) (1-q) = \ frac (0.03) (1-0.1) = \ frac (0.03) (0.9) = \ frac (3) (90) = \ frac (1 ) (30) دولار.

لذلك $ 0.5 \ left (3 \ right) = \ frac (5) (10) + \ frac (1) (30) = \ frac (5 \ cdot 3) (10 \ cdot 3) + \ frac (1) (30 ) = \ frac (15) (30) + \ frac (1) (30) = \ frac (16) (30) = \ frac (8) (15) $.

يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية بالنقاط على خط الأعداد.

في هذه الحالة ، نسمي المحور العددي خطًا مستقيمًا لانهائيًا ، حيث يتم تحديد الأصل (النقطة $ O $) والاتجاه الإيجابي (المشار إليه بواسطة سهم) والمقياس (لعرض القيم).

بين جميع الأرقام الحقيقية وجميع نقاط المحور العددي هناك تطابق واحد لواحد: كل نقطة تتوافق مع رقم واحد ، وعلى العكس ، كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة. لذلك ، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية مستمرة ولانهائية بنفس الطريقة التي يكون بها محور الأرقام مستمرًا ولانهائيًا.

تسمى بعض المجموعات الفرعية لمجموعة الأعداد الحقيقية بالفواصل الرقمية. عناصر الفترة العددية هي أرقام $ x \ في R $ تحقق متباينة معينة. دع $ a \ in R $ و $ b \ in R $ و $ a \ le b $. في هذه الحالة ، يمكن أن تكون أنواع الفجوات كما يلي:

الفاصل $ \ left (a، \؛ b \ right) $. في نفس الوقت $ a
المقطع $ \ left $. علاوة على ذلك ، $ a \ le x \ le b $.
نصف المقاطع أو الفواصل النصفية $ \ left $. في نفس الوقت $ a \ le x
فترات لانهائية ، على سبيل المثال $ a

من الأهمية بمكان أيضًا نوع من الفاصل الزمني ، يسمى جوار نقطة. جوار نقطة معينة $ x_ (0) \ في R $ هو فاصل عشوائي $ \ left (a، \؛ b \ right) $ يحتوي على هذه النقطة داخل نفسه ، أي $ a 0 $ - نصف القطر العاشر.

القيمة المطلقة للرقم

القيمة المطلقة (أو المعامل) للعدد الحقيقي $ x $ هي رقم حقيقي غير سالب $ \ left | x \ right | $ ، محدد بالصيغة: $ \ left | x \ right | = \ left \ (\ تبدأ (مجموعة) (ج) (\ ؛ \ ؛ س \ ؛ \ ؛ (\ rm on) \ ؛ \ ؛ x \ ge 0) \\ (-x \ ؛ \ ؛ (\ rm on) \ ؛ \ ؛ x

هندسيًا ، يعني $ \ left | x \ right | $ المسافة بين النقطتين $ x $ و 0 على المحور الحقيقي.

خصائص القيم المطلقة:

يتبع من التعريف أن $ \ left | x \ right | \ ge 0 $، $ \ left | x \ right | = \ left | -x \ right | $؛
لمعامل المجموع ومعامل الفرق بين عددين ، المتباينات $ \ left | x + y \ right | \ le \ left | x \ right | + \ left | y \ right | $ ، $ \ يسار | xy \ right | \ le \ left | x \ right | + \ left | y \ right | $ وكذلك $ \ left | x + y \ right | \ ge \ left | x \ right | - \ left | y \ يمين | $، $ \ left | xy \ right | \ ge \ left | x \ right | - \ left | y \ right | $؛
يلبي معامل المنتج ومعامل حاصل عددين المساواة $ \ left | x \ cdot y \ right | = \ left | x \ right | \ cdot \ left | y \ right | $ و $ \ left | \ frac (x) (y) \ right | = \ frac (\ left | x \ right |) (\ left | y \ right |) $.

استنادًا إلى تعريف القيمة المطلقة لرقم تعسفي $ a> 0 $ ، يمكن للمرء أيضًا إنشاء تكافؤ بين أزواج عدم المساواة التالية:

إذا كان $ \ يسار | x \ يمين |
إذا $ \ left | x \ right | \ le a $ ثم $ -a \ le x \ le a $؛
إذا $ \ left | x \ right |> $ ثم إما $ xa $؛
إذا كان $ \ left | x \ right | \ ge a $ ، إذن إما $ x \ le -a $ أو $ x \ ge a $.

المثال 8

حل المتباينة $ \ left | 2 \ cdot x + 1 \ right |

هذا التفاوت يعادل المتباينات -7 دولار

من هنا نحصل على: -8 دولارات

نعلم بالفعل أن مجموعة الأعداد الحقيقية $ R $ تتكون من أعداد منطقية وغير منطقية.

يمكن دائمًا تمثيل الأعداد المنطقية على أنها أرقام عشرية (دورية محدودة أو غير محدودة).

تتم كتابة الأعداد غير النسبية في صورة كسور عشرية لا نهائية ولكنها غير متكررة.

تتضمن مجموعة الأعداد الحقيقية $ R $ أيضًا العناصر $ - \ infty $ و $ + \ infty $ ، والتي من أجلها $ - \ infty

فكر في طرق لتمثيل الأعداد الحقيقية.

الكسور المشتركة

تعريف

بالنسبة للكسور العادية ، توجد قواعد مقارنة بسيطة وواضحة عمليًا ($ m $ ، $ n $ ، $ p $ أرقام طبيعية):

من كسرين لهما نفس المقامات ، يكون الجزء الذي يحتوي على بسط أكبر أكبر ، أي $ \ frac (m) (p)> \ frac (n) (p) $ لـ $ m> n $؛
من كسرين لهما نفس البسط ، يكون الجزء ذو المقام الأصغر أكبر ، على سبيل المثال $ \ frac (p) (m)> \ frac (p) (n) $ مقابل $ m
يكون الكسر الصحيح دائمًا أقل من واحد ؛ الكسر غير الصحيح دائمًا أكبر من واحد ؛ كسر بسطه مقامه يساوي واحدًا ؛
أي كسر غير فعلي أكبر من أي كسر حقيقي.

أرقام عشرية

تعريف

مثال 1

نحدد قيمة الرقم العشري 3.74. حصلنا على: 3.74 دولار = 3 + \ فارك (7) (10) + \ فارك (4) (100) دولار.

يمكن تقريب الرقم العشري. في هذه الحالة ، يجب تحديد الرقم الذي يتم التقريب إليه.

قاعدة التقريب هي كما يلي:

يتم استبدال جميع الأرقام الموجودة على يمين هذا الرقم بالأصفار (إذا كانت هذه الأرقام قبل الفاصلة العشرية) أو يتم تجاهلها (إذا كانت هذه الأرقام بعد الفاصلة العشرية) ؛
إذا كان الرقم الأول الذي يلي الرقم المعطى أقل من 5 ، فلن يتغير رقم هذا الرقم ؛
إذا كان الرقم الأول الذي يلي الرقم المعطى هو 5 أو أكثر ، فسيتم زيادة رقم هذا الرقم بمقدار واحد.

مثال 2

لنقرب الرقم 17302 لأقرب ألف: 17000.
لنقرب العدد 17378 لأقرب مائة: 17400.
لنقرب العدد 17378.45 إلى عشرات: 17380.
لنقرب العدد 378.91434 لأقرب جزء من مائة: 378.91.
لنقرب العدد 378.91534 لأقرب جزء من مائة: 378.92.

تحويل رقم عشري إلى كسر مشترك.

حالة 1

الرقم العشري هو عدد عشري منتهي.

يتم عرض طريقة التحويل في المثال التالي.

مثال 2

لدينا: 3.74 دولار = 3 + \ فارك (7) (10) + \ فارك (4) (100) دولار.

اختزل إلى قاسم مشترك واحصل على:

يمكن اختزال الكسر: $ 3.74 = \ frac (374) (100) = \ frac (187) (50) $.

الحالة 2

الرقم العشري هو عدد عشري متكرر لانهائي.

مثال 4

مثال 5

مثال 6

لنحول الكسر العشري الدوري اللانهائي 0 $ ، \ left (72 \ right) $ إلى كسر عادي.

مثال 7

لنحول الكسر العشري الدوري اللانهائي 0.5 دولار إلى اليسار (3 \ يمين) دولار إلى كسر عادي.

يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية بالنقاط على خط الأعداد.

الفاصل $ \ left (a، \؛ b \ right) $. في نفس الوقت $ a
المقطع $ \ left $. علاوة على ذلك ، $ a \ le x \ le b $.
نصف المقاطع أو الفواصل النصفية $ \ left $. في نفس الوقت $ a \ le x
فترات لانهائية ، على سبيل المثال $ a

القيمة المطلقة للرقم

هندسيًا ، يعني $ \ left | x \ right | $ المسافة بين النقطتين $ x $ و 0 على المحور الحقيقي.

خصائص القيم المطلقة:

يتبع من التعريف أن $ \ left | x \ right | \ ge 0 $، $ \ left | x \ right | = \ left | -x \ right | $؛
لمعامل المجموع ومعامل الفرق بين عددين ، المتباينات $ \ left | x + y \ right | \ le \ left | x \ right | + \ left | y \ right | $ ، $ \ يسار | xy \ right | \ le \ left | x \ right | + \ left | y \ right | $ وكذلك $ \ left | x + y \ right | \ ge \ left | x \ right | - \ left | y \ يمين | $، $ \ left | xy \ right | \ ge \ left | x \ right | - \ left | y \ right | $؛
يلبي معامل المنتج ومعامل حاصل عددين المساواة $ \ left | x \ cdot y \ right | = \ left | x \ right | \ cdot \ left | y \ right | $ و $ \ left | \ frac (x) (y) \ right | = \ frac (\ left | x \ right |) (\ left | y \ right |) $.

إذا كان $ \ يسار | x \ يمين |
إذا $ \ left | x \ right | \ le a $ ثم $ -a \ le x \ le a $؛
إذا $ \ left | x \ right |> $ ثم إما $ xa $؛
إذا كان $ \ left | x \ right | \ ge a $ ، إذن إما $ x \ le -a $ أو $ x \ ge a $.

المثال 8

حل المتباينة $ \ left | 2 \ cdot x + 1 \ right |

هذا التفاوت يعادل المتباينات -7 دولار

من هنا نحصل على: -8 دولارات

فئات

اختيار المحرر

المعنى الهندسي للوحدة. تعريف معامل العدد. المعنى الهندسي للمقياس تعريف مقياس العدد من خلال الجذر التربيعي الحسابي

معامل العدد - التعريف والترميز والأمثلة

معامل الرقم كمسافة

تحديد مقياس عدد من خلال الجذر التربيعي الحسابي

خصائص الوحدة

معامل العدد المركب

الكسور المشتركة

أرقام عشرية

القيمة المطلقة للرقم

الكسور المشتركة

أرقام عشرية

القيمة المطلقة للرقم

بحث

الاشتراك

إدخالات شعبية

الملاحظات الأخيرة