ما هي تعريف اللوغاريتمات. ما هو اللوغاريتم؟ حل اللوغاريتمات. أمثلة. خصائص اللوغاريتمات. حجة وأساس اللوغاريتم
إذن ، لدينا قوى لاثنين. إذا أخذت الرقم من الخلاصة ، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي يجب أن ترفع بها اثنين للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال ، للحصول على 16 ، عليك رفع اثنين مرفوعًا للقوة الرابعة. ولكي تحصل على 64 ، عليك أن ترفع اثنين أس ستة. هذا يمكن رؤيته من الجدول.
والآن - في الواقع ، تعريف اللوغاريتم:
الأساس a لوغاريتم للوسيطة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على العدد x.
تدوين: سجل أ س \ u003d ب ، حيث أ هو الأساس ، س هو الوسيطة ، ب هو في الواقع ما يساوي اللوغاريتم.
على سبيل المثال ، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لوغاريتم 8 للأساس 2 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). قد يكون كذلك سجل 2 64 = 6 ، لأن 2 6 = 64.
تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لأساس معين اللوغاريتم. لذلك دعونا نضيف صفًا جديدًا إلى طاولتنا:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| سجل 2 2 = 1 | سجل 2 4 = 2 | سجل 2 8 = 3 | سجل 2 16 = 4 | سجل 2 32 = 5 | سجل 2 64 = 6 |
لسوء الحظ ، لا يتم النظر في جميع اللوغاريتمات بسهولة. على سبيل المثال ، حاول العثور على log 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول ، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سوف يقع في مكان ما على الفترة الزمنية. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
تسمى هذه الأرقام غير منطقية: يمكن كتابة الأرقام بعد الفاصلة العشرية إلى أجل غير مسمى ، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فمن الأفضل تركه على النحو التالي: log 2 5 ، log 3 8 ، log 5100.
من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم عبارة عن تعبير به متغيرين (الأساس والحجة). في البداية ، كثير من الناس يخلطون بين مكان الأساس وأين توجد الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:
أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. تذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي تحتاج إلى رفع الأساس للحصول على الحجة. إنها القاعدة التي يتم رفعها إلى قوة - في الصورة مظللة باللون الأحمر. اتضح أن القاعدة دائمًا في الأسفل! أقول هذه القاعدة الرائعة لطلابي في الدرس الأول - ولا يوجد أي لبس.
توصلنا إلى التعريف - يبقى أن نتعلم كيفية حساب اللوغاريتمات ، أي تخلص من علامة "السجل". بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين يتبعان التعريف:
- يجب أن تكون الوسيطة والأساس دائمًا أكبر من صفر. هذا يتبع من تعريف الدرجة بواسطة الأس المنطقي ، والذي يتم اختزال تعريف اللوغاريتم إليه.
- يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الوحدة ، لأن الوحدة لأي قوة لا تزال وحدة. لهذا السبب ، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرفع المرء للحصول على اثنين" لا معنى له. لا توجد مثل هذه الدرجة!
تسمى هذه القيود مجال صحيح(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كالتالي: log a x = b ⇒ x> 0، a> 0، a ≠ 1.
لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم) غير مفروضة. على سبيل المثال ، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1 ، لأن 0.5 = 2 1.
ومع ذلك ، نحن الآن نفكر في التعبيرات العددية فقط ، حيث لا يلزم معرفة ODZ للوغاريتم. تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مجمعي المشاكل. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة حيز التنفيذ ، ستصبح متطلبات DHS إلزامية. في الواقع ، في الأساس والحجة يمكن أن تكون هناك إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.
الآن ضع في اعتبارك المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:
- اكتب القاعدة a والسعة x كقوة لها أصغر أساس ممكن أكبر من واحد. على طول الطريق ، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية ؛
- حل معادلة المتغير ب: س = أ ب ؛
- سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.
هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فسيتم رؤية ذلك بالفعل في الخطوة الأولى. يعتبر اشتراط أن تكون القاعدة أكبر من واحد وثيق الصلة للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. وبالمثل مع الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية ، فسيكون هناك عدد مرات أقل من الأخطاء.
دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط مع أمثلة محددة:
مهمة. احسب اللوغاريتم: log 5 25
- دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 52 ؛
- لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒ 5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ؛ - تلقى إجابة: 2.
مهمة. احسب اللوغاريتم:
مهمة. احسب اللوغاريتم: log 4 64
- دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة لاثنين: 4 = 2 2؛ 64 = 26 ؛
- لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 4 64 = ب (2 2) ب = 2 6 ⇒ 2 2 ب = 2 6 ⇒ 2 ب = 6 ⇒ ب = 3 ؛ - تلقى إجابة: 3.
مهمة. احسب اللوغاريتم: log 16 1
- لنمثل الأساس والسعة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ؛ 1 = 20 ؛
- لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒ 2 4 ب = 2 0 ⇒ 4 ب = 0 ب = 0 ؛ - تلقى الرد: 0.
مهمة. احسب اللوغاريتم: log 7 14
- دعنا نمثل القاعدة والسعة كقوة سبعة: 7 = 7 1 ؛ ١٤ لا يتم تمثيلها كقوة سبعة ، لأن ٧ ١< 14 < 7 2 ;
- ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يؤخذ في الاعتبار ؛
- الجواب لا تغيير: سجل 7 14.
ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف تتأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ بسيط جدًا - فقط قم بتحليله إلى عوامل أولية. وإذا تعذر جمع هذه العوامل بدرجة ما بنفس المؤشرات ، فإن الرقم الأصلي ليس درجة دقيقة.
مهمة. اكتشف ما إذا كانت قوى العدد بالضبط هي: 8 ؛ 48 ؛ 81 ؛ 35 ؛ أربعة عشرة.
8 \ u003d 2 2 2 \ u003d 2 3 هي الدرجة الدقيقة ، لأن يوجد مضاعف واحد فقط ؛
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ليست قوة دقيقة لأن هناك عاملين: 3 و 2 ؛
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة ؛
35 = 7 5 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛
14 \ u003d 7 2 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛
لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها دائمًا ما تكون قوى محددة لها.
اللوغاريتم العشري
بعض اللوغاريتمات شائعة لدرجة أن لها اسمًا خاصًا وتسمية.
اللوغاريتم العشري لوسيطة x هو لوغاريتم الأساس 10 ، أي القوة التي تحتاجها لرفع الرقم 10 للحصول على الرقم x. التعيين: lg x.
على سبيل المثال ، سجل 10 = 1 ؛ سجل 100 = 2 ؛ lg 1000 = 3 - إلخ.
من الآن فصاعدًا ، عندما ترى عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي ، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك ، إذا كان هذا الترميز غير معتاد بالنسبة لك ، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س
كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على الكسور العشرية.
اللوغاريتم الطبيعي
هناك لوغاريتم آخر له رمز خاص به. بمعنى أنه أكثر أهمية من النظام العشري. هذا هو اللوغاريتم الطبيعي.
اللوغاريتم الطبيعي للوسيطة x هو لوغاريتم الأساس e ، أي القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x.
سوف يسأل الكثير: ما هو الرقم e أيضًا؟ هذا رقم غير نسبي ، لا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وتدوينها. هذه هي الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459 ...
لن نتعمق في ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = تسجيل الدخول x
هكذا ln e = 1 ؛ سجل ه 2 = 2 ؛ ln e 16 = 16 - إلخ. من ناحية أخرى ، ln 2 عدد غير نسبي. بشكل عام ، اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد نسبي غير منطقي. باستثناء الوحدة بالطبع: ln 1 = 0.
بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية ، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.
لوغاريتم رقم موجب ب للقاعدة أ (أ> 0 ، أ لا يساوي 1) هو رقم ج مثل أن ج = ب: سجل أب = ج ⇔ أس = ب (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب > 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp
لاحظ أنه لم يتم تعريف لوغاريتم الرقم غير الموجب. أيضًا ، يجب أن يكون أساس اللوغاريتم رقمًا موجبًا لا يساوي 1. على سبيل المثال ، إذا قمنا بتربيع -2 ، نحصل على الرقم 4 ، لكن هذا لا يعني أن لوغاريتم الأساس -2 للعدد 4 هو 2.
الهوية اللوغاريتمية الأساسية
أ سجل أ ب = ب (أ> 0 ، أ 1) (2)من المهم أن تختلف مجالات تعريف الجزأين الأيمن والأيسر من هذه الصيغة. يتم تحديد الجانب الأيسر فقط لـ b> 0 و a> 0 و a 1. والجانب الأيمن محدد لأي b ولا يعتمد على a على الإطلاق. وبالتالي ، فإن تطبيق "الهوية" اللوغاريتمية الأساسية في حل المعادلات وعدم المساواة يمكن أن يؤدي إلى تغيير في DPV.
نتيجتان واضحتان لتعريف اللوغاريتم
سجل أ أ = 1 (أ> 0 ، أ 1) (3)سجل أ 1 = 0 (أ> 0 ، أ 1) (4)
في الواقع ، عند رفع الرقم a إلى القوة الأولى ، نحصل على نفس العدد ، وعند رفعه إلى الأس صفر ، نحصل على واحد.
لوغاريتم المنتج ولوغاريتم حاصل القسمة
log a (b c) = log a b + log a c (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0) (5)السجل أ ب ج = السجل أ ب - السجل أ ج (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب> 0 ، ج> 0) (6)
أود أن أحذر تلاميذ المدارس من الاستخدام الطائش لهذه الصيغ عند حل المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة. عند استخدامها "من اليسار إلى اليمين" ، يضيق ODZ ، وعند الانتقال من مجموع أو اختلاف اللوغاريتمات إلى لوغاريتم المنتج أو حاصل القسمة ، يتم توسيع ODZ.
في الواقع ، يتم تعريف التعبير log a (f (x) g (x)) في حالتين: عندما تكون كلتا الوظيفتين موجبة تمامًا أو عندما تكون f (x) و g (x) أقل من الصفر.
بتحويل هذا التعبير إلى مجموع log a f (x) + log a g (x) ، نحن مجبرون على تقييد أنفسنا فقط بالحالة عندما تكون f (x)> 0 و g (x)> 0. هناك تضييق في نطاق القيم المقبولة ، وهذا أمر غير مقبول بشكل قاطع ، لأنه يمكن أن يؤدي إلى فقدان الحلول. توجد مشكلة مماثلة للصيغة (6).
يمكن إخراج الدرجة من علامة اللوغاريتم
log a b p = p log a b (a> 0، a 1، b> 0) (7)ومرة أخرى أود أن أطالب بالدقة. ضع في اعتبارك المثال التالي:
السجل أ (و (س) 2 = 2 سجل أ و (س)
من الواضح أن الجانب الأيسر من المساواة محدد لجميع قيم f (x) باستثناء الصفر. الجانب الأيمن فقط لـ f (x)> 0! بإخراج القوة من اللوغاريتم ، نقوم مرة أخرى بتضييق مساحة ODZ. يؤدي الإجراء العكسي إلى توسيع نطاق القيم المقبولة. كل هذه الملاحظات لا تنطبق فقط على قوة 2 ، ولكن أيضًا على أي قوة متساوية.
صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة
السجل أ ب = السجل ج ب السجل ج أ (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب> 0 ، ج> 0 ، ج 1) (8)تلك الحالة النادرة عندما لا يتغير ODZ أثناء التحويل. إذا اخترت القاعدة c بحكمة (موجبة ولا تساوي 1) ، فإن صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة تكون آمنة تمامًا.
إذا اخترنا الرقم b كأساس جديد c ، فإننا نحصل على حالة معينة مهمة من الصيغة (8):
السجل أ ب = 1 السجل ب أ (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب> 0 ، ب ≠ 1) (9)
بعض الأمثلة البسيطة مع اللوغاريتمات
مثال 1 احسب: lg2 + lg50.
المحلول. lg2 + lg50 = lg100 = 2. استخدمنا صيغة مجموع اللوغاريتمات (5) وتعريف اللوغاريتم العشري.
مثال 2 احسب: lg125 / lg5.
المحلول. lg125 / lg5 = log 5 125 = 3. استخدمنا صيغة الانتقال الأساسية الجديدة (8).
جدول الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات
| أ سجل أ ب = ب (أ> 0 ، أ ≠ 1) |
| سجل أ أ = 1 (أ> 0 ، أ ≠ 1) |
| سجل أ 1 = 0 (أ> 0 ، أ ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0) |
| log a b c = log a b - log a c (a> 0، a ≠ 1، b> 0، c> 0) |
| log a b p = p log a b (a> 0، a ≠ 1، b> 0) |
| السجل أ ب = السجل ج ب السجل ج أ (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب> 0 ، ج> 0 ، ج 1) |
| السجل أ ب = 1 السجل ب أ (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب> 0 ، ب ≠ 1) |
مع تطور المجتمع ، تعقيد الإنتاج ، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. من طريقة المحاسبة المعتادة للجمع والطرح ، مع تكرارهم المتكرر ، توصلوا إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح الحد من عملية المضاعفة المتكررة مفهوم الأس. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأس في القرن الثامن من قبل عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. من بينها ، يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.
مخطط تاريخي
حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر أيضًا تطور الميكانيكا. تي يتطلب قدرًا كبيرًا من الحسابالمرتبطة بضرب وقسمة الأعداد متعددة الأرقام. كانت الطاولات القديمة خدمة رائعة. لقد جعلوا من الممكن استبدال العمليات المعقدة بعمليات أبسط - الجمع والطرح. تمثلت خطوة كبيرة إلى الأمام في عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل ، الذي نُشر عام 1544 ، والذي أدرك فيه فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للدرجات في شكل أعداد أولية ، ولكن أيضًا للأرقام المنطقية التعسفية.
في عام 1614 ، قام الاسكتلندي جون نابير ، بتطوير هذه الأفكار ، بتقديم المصطلح الجديد "لوغاريتم الرقم". تم تجميع جداول معقدة جديدة لحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام ، وكذلك الظلال. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.
بدأت الجداول الجديدة في الظهور ، والتي استخدمها العلماء بنجاح لمدة ثلاثة قرون. مر الكثير من الوقت قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. تم تحديد اللوغاريتم ودراسة خصائصه.
فقط في القرن العشرين ، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر ، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي كانت تعمل بنجاح طوال القرن الثالث عشر.
اليوم نسمي لوغاريتم b لأساس الرقم x ، وهو قوة a ، لنحصل على الرقم b. تتم كتابة هذا كصيغة: x = log a (b).
على سبيل المثال ، سجل 3 (9) سيكون مساويًا لـ 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. إذا رفعنا 3 أس 2 ، فسنحصل على 9.
وبالتالي ، فإن التعريف المصوغ يضع قيدًا واحدًا فقط ، يجب أن يكون الرقمان أ و ب حقيقيين.
أنواع اللوغاريتمات
يُطلق على التعريف الكلاسيكي اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع حل للمعادلة أ س = ب. الخيار a = 1 هو حد فاصل ولا يهم. ملاحظة: 1 إلى أي قوة هي 1.
القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفها فقط إذا كانت القاعدة والوسيطة أكبر من 0 ، ويجب ألا تكون الأساس مساوية لـ 1.
مكانة خاصة في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات ، والتي سيتم تسميتها بناءً على قيمة قاعدتها:
القواعد والقيود
الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).
كمتغير لهذا البيان ، سيكون: السجل ج (ب / ع) \ u003d السجل ج (ب) - السجل ج (ع) ، وظيفة حاصل القسمة تساوي فرق الوظائف.
من السهل أن نرى من القاعدتين السابقتين أن: log a (b p) = p * log a (b).
تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:
تعليق. لا ترتكب خطأ شائعًا - لوغاريتم المجموع لا يساوي مجموع اللوغاريتمات.
لقرون عديدة ، كانت عملية إيجاد اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً. استخدم علماء الرياضيات الصيغة المعروفة للنظرية اللوغاريتمية للتوسع في كثير الحدود:
ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * ((x ^ n) / n) ، حيث n هو رقم طبيعي أكبر من 1 ، والذي يحدد دقة الحساب.
تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام النظرية حول الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.
لأن هذه الطريقة شاقة للغاية و عند حل المشكلات العمليةصعب التنفيذ ، فقد استخدموا جداول اللوغاريتمات المجمعة مسبقًا ، مما أدى إلى تسريع العمل بأكمله بشكل كبير.
في بعض الحالات ، تم استخدام الرسوم البيانية التي تم تجميعها خصيصًا للوغاريتمات ، مما أعطى دقة أقل ، ولكنه أدى إلى تسريع البحث عن القيمة المطلوبة بشكل كبير. منحنى الدالة y = log a (x) ، المبني على عدة نقاط ، يسمح باستخدام المسطرة المعتادة للعثور على قيم الوظيفة في أي نقطة أخرى. لفترة طويلة ، استخدم المهندسون ما يسمى بورق الرسم البياني لهذه الأغراض.
في القرن السابع عشر ، ظهرت أولى ظروف الحوسبة التناظرية المساعدة ، والتي اكتسبت شكلاً كاملاً بحلول القرن التاسع عشر. كان الجهاز الأكثر نجاحًا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز ، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير ، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. في الوقت الحالي ، قلة من الناس على دراية بهذا الجهاز.
جعل ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر من العبث استخدام أي أجهزة أخرى.
المعادلات وعدم المساواة
تُستخدم الصيغ التالية لحل المعادلات والمتباينات المختلفة باستخدام اللوغاريتمات:
- الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a (b) = log c (b) / log c (a) ؛
- كنتيجة للإصدار السابق: سجل أ (ب) = 1 / سجل ب (أ).
لحل عدم المساواة ، من المفيد معرفة:
- ستكون قيمة اللوغاريتم موجبة فقط إذا كانت القاعدة والوسيطة أكبر من أو أقل من واحد ؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل ، فستكون قيمة اللوغاريتم سالبة.
- إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر من المتباينة ، وكانت قاعدة اللوغاريتم أكبر من واحد ، فسيتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة ؛ خلاف ذلك ، يتغير.
أمثلة المهام
ضع في اعتبارك عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة لحل المعادلات:
ضع في اعتبارك خيار وضع اللوغاريتم في الدرجة:
- المهمة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة ، التدوين مشابه لما يلي (5 ^ 2) ^ log5 (3) أو 5 ^ (2 * log 5 (3)). دعنا نكتبها بشكل مختلف: 5 ^ log 5 (3 * 2) ، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع للدالة نفسها (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، يكون هذا التعبير 3 ^ 2. الجواب: نتيجة الحساب نحصل على 9.
الاستخدام العملي
لكونه أداة رياضية بحتة ، يبدو أنه بعيد كل البعد عن الحياة الواقعية أن اللوغاريتم قد اكتسب فجأة أهمية كبيرة في وصف الأشياء في العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يستخدم فيه. هذا لا ينطبق فقط على مجالات المعرفة الطبيعية ، ولكن أيضًا على مجالات المعرفة في العلوم الإنسانية.
التبعيات اللوغاريتمية
فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:
الميكانيكا والفيزياء
تاريخيًا ، تطورت الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام طرق البحث الرياضية وفي الوقت نفسه كانت بمثابة حافز لتطوير الرياضيات ، بما في ذلك اللوغاريتمات. معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. نعطي مثالين فقط لوصف القوانين الفيزيائية باستخدام اللوغاريتم.
من الممكن حل مشكلة حساب كمية معقدة مثل سرعة صاروخ باستخدام صيغة Tsiolkovsky ، التي أرست الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:
V = I * ln (M1 / M2) ، أين
- V هي السرعة النهائية للطائرة.
- أنا هو الدافع المحدد للمحرك.
- M 1 هي الكتلة الأولية للصاروخ.
- م 2 - الكتلة النهائية.
مثال آخر مهم- هذا هو الاستخدام في صيغة عالم عظيم آخر ، ماكس بلانك ، والذي يعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.
S = k * ln () ، أين
- S خاصية ديناميكية حرارية.
- k هو ثابت بولتزمان.
- Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.
كيمياء
أقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. هنا مثالان فقط:
- معادلة نرنست ، حالة إمكانات الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
- كما أن حساب الثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول لا يكتمل بدون وظيفتنا.
علم النفس وعلم الأحياء
وما علاقة علم النفس به أمر غير مفهوم تمامًا. اتضح أن قوة الإحساس موصوفة جيدًا بواسطة هذه الوظيفة على أنها النسبة العكسية لقيمة شدة المنبه إلى قيمة الشدة الأقل.
بعد الأمثلة المذكورة أعلاه ، لم يعد من المستغرب أن يتم استخدام موضوع اللوغاريتمات أيضًا على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية المقابلة للحلزونات اللوغاريتمية.
مناطق أخرى
يبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة ، وهو يحكم جميع القوانين. خاصة عندما ترتبط قوانين الطبيعة بتقدم هندسي. يجدر الإشارة إلى موقع MatProfi ، وهناك العديد من الأمثلة في مجالات النشاط التالية:
يمكن أن تكون القائمة لا نهاية لها. بعد أن أتقنت القوانين الأساسية لهذه الوظيفة ، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.
لوغاريتم
رقم يبسط العديد من العمليات الحسابية المعقدة. يتيح لك استخدام اللوغاريتمات الخاصة بهم بدلاً من الأرقام في العمليات الحسابية استبدال الضرب بعملية جمع أبسط ، والقسمة بالطرح ، والرفع إلى أس بالضرب ، واستخراج الجذور بالقسمة. وصف عام. لوغاريتم رقم معين هو الأس الذي يجب رفع رقم آخر إليه ، يسمى أساس اللوغاريتم ، للحصول على الرقم المحدد. على سبيل المثال ، لوغاريتم العدد 100 للأساس 10 هو 2. بمعنى آخر ، يجب تربيع 10 للحصول على الرقم 100 (102 = 100). إذا كان n عددًا معطى ، و b هو أساس ، و l لوغاريتم ، إذن bl = n. الرقم n يسمى أيضًا antilogarithm للقاعدة b للرقم l. على سبيل المثال ، اللوغاريتم المضاد من 2 إلى الأساس 10 هو 100. يمكن كتابة هذا كـ logb n = l و antilogb l = n. الخصائص الرئيسية للوغاريتمات:
أي رقم موجب غير واحد يمكن أن يكون بمثابة أساس اللوغاريتمات ، ولكن لسوء الحظ ، اتضح أنه إذا كانت b و n أرقامًا منطقية ، ففي حالات نادرة يوجد رقم نسبي l مثل أن bl = n. ومع ذلك ، من الممكن تحديد عدد غير نسبي l ، على سبيل المثال ، بحيث 10l = 2 ؛ يمكن تقريب هذا الرقم غير النسبي l بأرقام منطقية بأي دقة مطلوبة. اتضح أنه في المثال أعلاه ، l يساوي تقريبًا 0.3010 ، ويمكن إيجاد هذه القيمة التقريبية للوغاريتم 10 الأساسي للرقم 2 في جداول مكونة من أربعة أرقام من اللوغاريتمات العشرية. تُستخدم لوغاريتمات الأساس 10 (أو اللوغاريتمات العشرية) في كثير من الأحيان في الحسابات التي تسمى اللوغاريتمات العادية وتتم كتابتها على أنها log2 = 0.3010 أو log2 = 0.3010 ، مع حذف الإشارة الصريحة لأساس اللوغاريتم. اللوغاريتمات للقاعدة e ، العدد التجاوزي الذي يساوي تقريبًا 2.71828 ، تسمى اللوغاريتمات الطبيعية. توجد بشكل أساسي في أعمال التحليل الرياضي وتطبيقاته في العلوم المختلفة. تتم كتابة اللوغاريتمات الطبيعية أيضًا دون الإشارة صراحة إلى الأساس ، ولكن باستخدام الترميز الخاص ln: على سبيل المثال ، ln2 = 0.6931 ، لأن e0.6931 = 2.
أنظر أيضا NUMBER هـ. استخدام جداول اللوغاريتمات العادية. اللوغاريتم العادي لرقم ما هو الأس الذي تحتاج إلى رفعه 10 للحصول على الرقم المحدد. بما أن 100 = 1 ، 101 = 10 ، 102 = 100 ، نحصل على الفور على السجل 1 = 0 ، السجل 10 = 1 ، السجل 100 = 2 ، وهكذا. لزيادة قوى الأعداد الصحيحة من 10. وبالمثل ، 10-1 = 0.1 ، 10-2 = 0.01 وبالتالي log 0.1 = -1 ، log0.01 = -2 ، وهكذا. لجميع الأعداد الصحيحة السالبة من 10. يتم وضع اللوغاريتمات المعتادة للأعداد المتبقية بين لوغاريتمات أقرب عدد صحيح من الأس 10 ؛ يجب إرفاق log2 بين 0 و 1 ، و log20 بين 1 و 2 ، و log0.2 بين -1 و 0. وهكذا ، يتكون اللوغاريتم من جزأين ، عدد صحيح وكسر عشري محاط بين 0 و 1. الجزء الصحيح يسمى خاصية اللوغاريتم ويتم تحديدها من خلال الرقم نفسه ، يسمى الجزء الكسري الجزء العشري ويمكن العثور عليه من الجداول. أيضًا ، log20 = log (2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. لوغاريتم 2 هو 0.3010 ، لذا فإن log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. وبالمثل ، log0.2 = log (2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. عن طريق الطرح ، نحصل على log0.2 = - 0.6990. ومع ذلك ، فمن الأنسب تمثيل log0.2 كـ 0.3010 - 1 أو 9.3010 - 10 ؛ يمكن أيضًا صياغة قاعدة عامة: جميع الأرقام التي تم الحصول عليها من رقم معين بضربها في قوة 10 لها نفس الجزء العشري من رقم معين. في معظم الجداول ، يتم إعطاء مانتيسات للأرقام التي تتراوح من 1 إلى 10 ، حيث يمكن الحصول على مانتيساس لجميع الأرقام الأخرى من تلك الواردة في الجدول. تعطي معظم الجداول اللوغاريتمات لأربعة أو خمسة منازل عشرية ، على الرغم من وجود جداول مكونة من سبعة أرقام وجداول بها منازل عشرية أكثر. تعلم كيفية استخدام هذه الجداول أسهل مع الأمثلة. للعثور على log 3.59 ، أولاً ، لاحظ أن الرقم 3.59 يقع بين 100 و 101 ، لذا فإن خصائصه هي 0. نجد الرقم 35 في الجدول (على اليسار) وننتقل على طول الصف إلى العمود الذي يحتوي على الرقم 9 في الأعلى ؛ تقاطع هذا العمود والصف 35 هو 5551 ، لذلك log3.59 = 0.5551. للعثور على الجزء العشري لعدد مكون من أربعة أرقام معنوية ، عليك اللجوء إلى الاستيفاء. في بعض الجداول ، يتم تسهيل الاستيفاء من خلال الأجزاء المتناسبة الواردة في آخر تسعة أعمدة على الجانب الأيمن من كل صفحة من صفحات الجدول. ابحث الآن عن log736.4 ؛ الرقم 736.4 يقع بين 102 و 103 ، لذا فإن خاصية اللوغاريتم الخاص به هي 2. في الجدول نجد الصف الذي على يساره 73 والعمود 6. عند تقاطع هذا الصف وهذا العمود هو الرقم 8669. من بين الأجزاء الخطية نجد العمود 4. عند تقاطع الصف 73 والعمود 4 هو الرقم 2. بإضافة 2 إلى 8669 ، نحصل على الجزء العشري - يساوي إلى 8671. وهكذا ، log736.4 = 2 ، 8671.
اللوغاريتمات الطبيعية.تشبه جداول وخصائص اللوغاريتمات الطبيعية جداول وخصائص اللوغاريتمات العادية. الفرق الرئيسي بين الاثنين هو أن الجزء الصحيح من اللوغاريتم الطبيعي ليس مهمًا في تحديد موضع الفاصلة العشرية ، وبالتالي فإن الاختلاف بين الجزء العشري والخاصية لا يلعب دورًا خاصًا. اللوغاريتمات الطبيعية للأرقام 5.432 ؛ 54.32 و 543.2 هما 1.6923 على التوالي ؛ 3.9949 و 6.2975. تصبح العلاقة بين هذه اللوغاريتمات واضحة إذا أخذنا في الاعتبار الاختلافات بينهما: log 543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026 ؛ الرقم الأخير ليس سوى اللوغاريتم الطبيعي للرقم 10 (مكتوب على هذا النحو: ln10) ؛ سجل 543.2 - سجل 5.432 = 4.6052 ؛ الرقم الأخير هو 2ln10. لكن 543.2 = 10 * 54.32 = 102 * 5.432. وهكذا ، من خلال اللوغاريتم الطبيعي لرقم معين أ ، يمكن للمرء أن يجد اللوغاريتمات الطبيعية للأرقام المساوية لنواتج الرقم أ وأي قوى لـ n للعدد 10 ، إذا تمت إضافة ln10 مضروبًا في n إلى lna ، أي ln (a * 10n) = lna + nln10 = lna + 2.3026n. على سبيل المثال ، ln0.005432 = ln (5.432 * 10-3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3 * 2.3026) = - 5.2155. لذلك ، فإن جداول اللوغاريتمات الطبيعية ، مثل جداول اللوغاريتمات العادية ، تحتوي عادةً فقط على لوغاريتمات الأرقام من 1 إلى 10. في نظام اللوغاريتمات الطبيعية ، يمكن للمرء التحدث عن اللوغاريتمات المضادة ، ولكن في كثير من الأحيان يتحدث المرء عن دالة أسية أو أسية . إذا كانت x = lny ، فإن y = ex ، ويطلق على y اسم الأس x (للملاءمة المطبعية ، غالبًا ما تتم كتابة y = exp x). يلعب الأس دور نقيض اللوغاريتم للعدد x. باستخدام جداول اللوغاريتمات العشرية والطبيعية ، يمكنك إنشاء جداول لوغاريتمات في أي قاعدة بخلاف 10 و e. إذا كان logb a = x ، إذن bx = a ، وبالتالي logc bx = logc a أو xlogc b = logc a ، أو x = logc a / logc b = logb a. لذلك ، باستخدام صيغة الانعكاس هذه من جدول اللوغاريتمات إلى القاعدة c ، يمكن للمرء إنشاء جداول من اللوغاريتمات لأي قاعدة أخرى b. يُطلق على العامل 1 / logc b معامل الانتقال من القاعدة c إلى القاعدة b. لا شيء يمنع ، على سبيل المثال ، استخدام صيغة الانعكاس ، أو الانتقال من نظام لوغاريتمات إلى أخرى ، للعثور على اللوغاريتمات الطبيعية من جدول اللوغاريتمات العادية أو لإجراء الانتقال العكسي. على سبيل المثال ، log105.432 = loge 5.432 / loge 10 = 1.6923 / 2.3026 = 1.6923 x 0.4343 = 0.7350. الرقم 0.4343 ، الذي يجب بموجبه ضرب اللوغاريتم الطبيعي لرقم معين للحصول على اللوغاريتم العادي ، هو معامل الانتقال إلى نظام اللوغاريتمات العادية.
طاولات خاصة.تم اختراع اللوغاريتمات في الأصل لاستخدام خصائصها logab = loga + logb و loga / b = loga - logb لتحويل المنتجات إلى مجاميع وحواجز إلى اختلافات. بمعنى آخر ، إذا كان loga و logb معروفين ، فبمساعدة الجمع والطرح يمكننا بسهولة العثور على لوغاريتم المنتج وحاصل القسمة. ومع ذلك ، في علم الفلك ، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على السجل (أ + ب) أو السجل (أ - ب) معطى قيم loga و logb. بالطبع ، سيكون من الممكن العثور أولاً على (أ) و (ب) من جداول اللوغاريتمات ، ثم إجراء عملية الجمع أو الطرح المشار إليها ، ومرة أخرى بالرجوع إلى الجداول ، والعثور على اللوغاريتمات المطلوبة ، ولكن مثل هذا الإجراء سيتطلب ثلاث زيارات للجداول . نشر Z. Leonelli في عام 1802 جداول لما يسمى ب. اللوغاريتمات الغوسية - لوغاريتمات إضافة المجاميع والاختلافات - جعلت من الممكن حصر أنفسنا في لجوء واحد إلى الجداول. في عام 1624 ، اقترح إ. كبلر جداول اللوغاريتمات النسبية ، أي لوغاريتمات الأرقام a / x ، حيث a هو ثابت موجب. يتم استخدام هذه الجداول بشكل أساسي من قبل علماء الفلك والملاحين. اللوغاريتمات النسبية لـ a = 1 تسمى اللوغاريتمات وتستخدم في العمليات الحسابية عندما يتعين عليك التعامل مع المنتجات والحاصل. لوغاريتم الرقم n يساوي لوغاريتم مقلوب الرقم ؛ أولئك. cologn = log1 / n = - تسجيل الدخول. إذا كان log2 = 0.3010 ، فإن colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. تتمثل ميزة استخدام اللوغاريتمات في أنه عند حساب قيمة لوغاريتمات التعبيرات مثل pq / r ، يكون المجموع الثلاثي للأعداد العشرية الموجبة لـ logp + logq + cologr هو أسهل في العثور عليها من المجموع المختلط والفرق logp + logq - logr.
تاريخ.كان المبدأ الذي يقوم عليه أي نظام من اللوغاريتمات معروفًا لفترة طويلة جدًا ويمكن إرجاعه إلى الرياضيات البابلية القديمة (حوالي 2000 قبل الميلاد). في تلك الأيام ، تم استخدام الاستيفاء بين القيم المجدولة لقوى عدد صحيح موجب لحساب الفائدة المركبة. بعد ذلك بوقت طويل ، استخدم أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) قوى 108 لإيجاد حد أعلى لعدد حبيبات الرمل اللازمة لملء الكون تمامًا المعروف في ذلك الوقت. لفت أرخميدس الانتباه إلى خاصية الأسس التي تكمن وراء فعالية اللوغاريتمات: ناتج القوى يتوافق مع مجموع الأس. في نهاية العصور الوسطى وبداية العصر الجديد ، بدأ علماء الرياضيات بشكل متزايد في الإشارة إلى العلاقة بين التقدم الهندسي والحسابي. قدم M. Stiefel في مقالته "حساب الأعداد الصحيحة" (1544) جدولاً للقوى الموجبة والسالبة للرقم 2:
لاحظ Stiefel أن مجموع العددين في الصف الأول (صف الأسس) يساوي أس اثنين ، وهو ما يتوافق مع حاصل ضرب العددين المتناظرين في الصف السفلي (صف الأسس). فيما يتعلق بهذا الجدول ، صاغ Stiefel أربع قواعد مكافئة للقواعد الحديثة الأربعة للعمليات على الأس أو أربع قواعد للعمليات على اللوغاريتمات: المجموع في الصف العلوي يتوافق مع المنتج في الصف السفلي ؛ يتوافق الطرح في الصف العلوي مع القسمة في الصف السفلي ؛ يتوافق الضرب في الصف العلوي مع الأس في الصف السفلي ؛ التقسيم في الصف العلوي يتوافق مع استخراج الجذر في الصف السفلي. على ما يبدو ، فإن القواعد المشابهة لتلك التي وضعها ستيفل قادت ج. قبل عشر سنوات من نشر عمله ، تلقى نابير أخبارًا من الدنمارك تفيد بأن مساعديه في مرصد تايكو براهي يمتلكون طريقة لتحويل المنتجات إلى مبالغ. الطريقة المذكورة في اتصال نابير كانت قائمة على استخدام الصيغ المثلثية من النوع
لذلك كانت جداول نابير تتكون أساسًا من لوغاريتمات التوابع المثلثية. على الرغم من أن مفهوم القاعدة لم يتم تضمينه صراحةً في التعريف الذي اقترحه نابير ، إلا أن الرقم المكافئ لقاعدة نظام اللوغاريتمات في نظامه تم لعبه بواسطة الرقم (1-10-7) ґ107 ، أي ما يعادل تقريبًا 1 / e . بشكل مستقل عن نابير وبالتزامن معه تقريبًا ، تم اختراع ونشر نظام لوغاريتمات ، مشابه تمامًا في النوع ، بواسطة ج. بورغي في براغ ، الذي نشر جداول الحساب والتقدم الهندسي في عام 1620. كانت هذه جداول لمضادات اللوغاريتمات في القاعدة (1 + 10-4) * 10 4 ، وهو تقدير تقريبي جيد إلى حد ما للرقم هـ. في نظام نابير ، تم أخذ لوغاريتم الرقم 107 على أنه صفر ، ومع تناقص الأرقام ، ازداد اللوغاريتمات. عندما زار ج. بريجز (1561-1631) نابير ، اتفق كلاهما على أنه سيكون أكثر ملاءمة لاستخدام الرقم 10 كأساس والنظر في لوغاريتم واحد يساوي صفرًا. ثم ، مع زيادة الأرقام ، سيزداد اللوغاريتمات الخاصة بهم. وهكذا حصلنا على النظام الحديث للوغاريتمات العشرية ، وهو جدول نشر بريجز في عمله الحساب اللوغاريتمي (1620). غالبًا ما تسمى اللوغاريتمات للقاعدة e ، وإن لم تكن تلك التي قدمها نابير بالضبط ، بـ non-Pier. تم اقتراح المصطلحين "مميزة" و "الجزء العشري" من قبل بريجز. استخدمت اللوغاريتمات الأولى ، لأسباب تاريخية ، تقديرات تقريبية للأرقام 1 / e و e. بعد ذلك بقليل ، ارتبطت فكرة اللوغاريتمات الطبيعية بدراسة المناطق الواقعة تحت القطع الزائد xy = 1 (الشكل 1). في القرن السابع عشر لقد ثبت أن المنطقة التي يحدها هذا المنحنى والمحور x والإحداثيات x = 1 و x = a (في الشكل 1 ، هذه المنطقة مغطاة بنقاط أكثر سمكًا وأندر) تزداد أضعافًا مضاعفة عندما تزداد أسيًا. هذا هو الاعتماد الذي ينشأ في قواعد الإجراءات على الأس واللوغاريتمات. أعطى هذا أسبابًا لتسمية لوغاريتمات نابير "اللوغاريتمات الزائدية".
دالة لوغاريتمية.كان هناك وقت كان يُنظر فيه إلى اللوغاريتمات كوسيلة حساب فقط ، ولكن في القرن الثامن عشر ، ويرجع ذلك أساسًا إلى عمل أويلر ، تم تشكيل مفهوم الوظيفة اللوغاريتمية. يظهر الرسم البياني لمثل هذه الوظيفة y = lnx ، التي تزداد إحداثياتها في التقدم الحسابي ، بينما تزداد الأحرف الفاصلة في التقدم الهندسي ، في الشكل. 2 أ. الرسم البياني للدالة العكسية أو الأسية (الأسية) y = ex ، التي تزداد إحداثياتها أضعافا مضاعفة ، وترد الحروف الأبجدية - الحسابية ، على التوالي ، في الشكل. 2 ب. (المنحنيات y = logx و y = 10x متشابهة في الشكل مع المنحنيات y = lnx و y = ex.) كما تم اقتراح تعريفات بديلة للدالة اللوغاريتمية ، على سبيل المثال ،
بفضل عمل أويلر ، أصبحت العلاقات بين اللوغاريتمات والدوال المثلثية في المستوى المركب معروفة. من الهوية eix = cos x + i sin x (حيث تُقاس الزاوية x بالراديان) ، خلص أويلر إلى أن كل عدد حقيقي غير صفري يحتوي على عدد لا نهائي من اللوغاريتمات الطبيعية ؛ كلها معقدة للأرقام السالبة ، وكلها ماعدا واحدة للأرقام الموجبة. نظرًا لأن eix = 1 ليس فقط لـ x = 0 ، ولكن أيضًا لـ x = ± 2kp ، حيث k هي أي عدد صحيح موجب ، يمكن اعتبار أي من الأرقام 0 ± 2kpi اللوغاريتم الطبيعي للرقم 1 ؛ وبالمثل ، فإن اللوغاريتمات الطبيعية للعدد -1 هي أرقام معقدة من الشكل (2k + 1) pi ، حيث k عدد صحيح. عبارات مماثلة صحيحة أيضًا بالنسبة للوغاريتمات العامة أو أنظمة اللوغاريتمات الأخرى. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تعميم تعريف اللوغاريتمات باستخدام هويات أويلر لتشمل اللوغاريتمات المعقدة للأعداد المركبة. يتم توفير تعريف بديل للوظيفة اللوغاريتمية من خلال التحليل الوظيفي. إذا كانت f (x) دالة مستمرة لرقم حقيقي x لها الخصائص الثلاث التالية: f (1) = 0 ، f (b) = 1 ، f (uv) = f (u) + f (v) ، إذن تُعرّف f (x) على أنها لوغاريتم الرقم x للقاعدة b. هذا التعريف له عدد من المزايا على التعريف الوارد في بداية هذه المقالة.
التطبيقات. تم استخدام اللوغاريتمات في الأصل فقط لتبسيط العمليات الحسابية ، ولا يزال هذا التطبيق أحد أهمها. يتم تسهيل حساب المنتجات والحاصل والقوى والجذور ليس فقط من خلال التوافر الواسع لجداول اللوغاريتمات المنشورة ، ولكن أيضًا من خلال استخدام ما يسمى. قاعدة الشريحة - أداة حسابية ، يعتمد مبدأها على خصائص اللوغاريتمات. تم تجهيز المسطرة بمقاييس لوغاريتمية أي. يتم اختيار المسافة من الرقم 1 إلى أي رقم x لتكون log x ؛ من خلال تحويل مقياس نسبة إلى آخر ، من الممكن رسم مجاميع أو اختلافات اللوغاريتمات ، مما يجعل من الممكن قراءة المنتجات أو أجزاء من الأرقام المقابلة مباشرة من المقياس. للاستفادة من عرض الأرقام في شكل لوغاريتمي يسمح لما يسمى. ورق لوغاريتمي للتخطيط (ورق بمقاييس لوغاريتمية مطبوعة عليه على طول محوري الإحداثيات). إذا كانت الدالة تستوفي قانون الأس بالصيغة y = kxn ، فإن مخططها اللوغاريتمي يبدو وكأنه خط مستقيم ، لأن log y = log k + n log x هي معادلة خطية في log y و log x. على العكس من ذلك ، إذا كان الرسم البياني اللوغاريتمي لبعض التبعية الوظيفية له شكل خط مستقيم ، فإن هذا الاعتماد هو قانون قوة. الورق شبه اللوغاريتمي (حيث يكون المحور y على مقياس لوغاريتمي ويكون الحد الأقصى على مقياس موحد) مفيدًا عند الحاجة إلى تحديد الدوال الأسية. تنشأ المعادلات بالصيغة y = kbrx عندما تنخفض أو تزداد كمية ، مثل السكان أو المواد المشعة أو الرصيد المصرفي ، بمعدل يتناسب مع عدد السكان الحالي أو المواد المشعة أو المال. إذا تم تطبيق مثل هذا الاعتماد على الورق شبه اللوغاريتمي ، فسيبدو الرسم البياني كخط مستقيم. تنشأ الوظيفة اللوغاريتمية فيما يتعلق بمجموعة متنوعة من الأشكال الطبيعية. تصطف الأزهار في أزهار عباد الشمس في حلزونات لوغاريتمية ، وتكون أصداف نوتيلوس رخويات ، وقرون خراف الجبل ومناقير الببغاوات ملتوية. كل هذه الأشكال الطبيعية هي أمثلة على المنحنى المعروف باسم اللولب اللوغاريتمي لأن معادلته في الإحداثيات القطبية هي r = aebq أو lnr = lna + bq. يوصف هذا المنحنى بنقطة متحركة ، حيث تنمو المسافة من القطب بشكل كبير ، والزاوية الموصوفة بواسطة متجه نصف القطر الخاص بها تنمو حسابيًا. إن انتشار مثل هذا المنحنى ، وبالتالي الوظيفة اللوغاريتمية ، يتضح جيدًا من خلال حقيقة أنه يحدث في مناطق بعيدة ومختلفة تمامًا مثل محيط الكاميرا اللامركزية ومسار بعض الحشرات التي تطير نحو الضوء.
موسوعة كولير. - مجتمع مفتوح. 2000 .
شاهد ما هو "LOGARIFM" في القواميس الأخرى:
- (اليونانية ، من علاقة الشعارات ، ورقم arithmos). عدد التقدم الحسابي المقابل لعدد التقدم الهندسي. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. Chudinov A.N. ، 1910. LOGARIFM اليونانية ، من الشعارات ، العلاقة ، ... ... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية
الرقم المعطى N عند القاعدة a هو أُس القوة y التي تحتاج إلى رفع الرقم a للحصول على N ؛ وبالتالي ، N = ay. عادة ما يتم الإشارة إلى اللوغاريتم بواسطة logaN. لوغاريتم مع قاعدة البريد؟ 2.718 ... يسمى طبيعي ويشار إليه بـ lnN ... ... قاموس موسوعي كبير
- (من نسبة الشعارات اليونانية ورقم الحساب) الأرقام N في الأساس a (O ... الموسوعة الحديثة
اللوغاريتمات هي صداع تقليدي للعديد من طلاب المدارس الثانوية. خاصة - المعادلات والمتباينات مع اللوغاريتمات. لسبب ما ، لا يحب طلاب المدارس الثانوية اللوغاريتمات. ولذا فهم خائفون. وعبثا تماما.) لأن اللوغاريتم نفسه هو مفهوم بسيط للغاية. لا تصدق؟ انظر بنفسك! في درس اليوم.
لذلك ، دعنا نتعرف.)
أولاً ، دعنا نحل هذه المعادلة البسيطة جدًا في أذهاننا:
2 س = 4
هذه أبسط معادلة أسية. يطلق عليه بسبب حقيقة أن المجهول X موجود في الأس. حتى إذا كنت لا تعرف كيف يتم حل المعادلات الأسية ، فما عليك سوى اختيار x ذهنيًا حتى تثبت المساواة. تعال؟! بالتاكيد، س = 2. اثنين تربيعأربعة.)
والآن سأغير رقم واحد فقط فيه. لنحل هذه المعادلة الآن:
2 س = 5
ومرة أخرى نحاول التقاط X ...
ما الذي لا يتم اختياره؟ اثنان تربيع يساوي أربعة. اثنان تكعيب يساوي ثمانية. ولدينا خمسة. لقد تخطوا الماضي ... ماذا تفعل؟ فقط لا تخبرني أنه لا يوجد مثل X! لن أصدق.)
توافق على أن هذا غير عادل إلى حد ما: مع الأربعة ، يتم حل المعادلة في العقل ، ومع الخمسة ، لم يعد يتم حلها بأي شكل من الأشكال. الرياضيات لا تقبل مثل هذا التمييز! بالنسبة لها ، جميع الأرقام شركاء متساوون.)
في هذه المرحلة ، يمكننا فقط تقدير أن x - بعض الأعداد الكسريةبين اثنين ( 2 2 = 4 ) وثلاثية ( 2 3 = 8 ). يمكننا حتى العبث قليلاً بالآلة الحاسبة والالتقاط تقريبًا ، وإيجاد هذا الرقم. لكن هذه الضجة في كل مرة ... أتفق ، حزينة إلى حد ما ...
تحل الرياضيات هذه المشكلة بكل بساطة وبأناقة - من خلال تقديم مفاهيم اللوغاريتم.
إذن ما هو اللوغاريتم؟ دعنا نعود إلى معادلتنا الغامضة:
2 س = 5
نحن نفهم المشكلة: نحتاج إلى إيجاد رقم معين X, التي تحتاج إلى رفع 2 للحصول عليها 5 . هل هذه العبارة واضحة؟ إذا لم يكن كذلك ، اقرأها مرة أخرى. و اكثر ... حتى تدرك. لانه مهم جدا!
لذلك دعونا نسمي هذا الرقم الغامض X لوغاريتم من خمسة إلى الأساس الثاني!في الشكل الرياضي ، تبدو هذه الكلمات كما يلي:
X = تسجيل 2 5
ويتم نطقه على النحو التالي: "X هو لوغاريتم خمسة إلى الأساس الثاني."
الرقم أدناه (اثنان) يسمى أساس اللوغاريتم.إنه مكتوب من الأسفل بنفس الطريقة كما في التعبير الأسي 2 x. من السهل جدًا تذكرها.)
حسنا هذا كل شيء! لقد حللنا معادلة أسية تبدو رهيبة!
2 س = 5
X = تسجيل 2 5
وهذا كل شيء! هذه هي الإجابة الصحيحة والكاملة تمامًا!
ربما يزعجك أنه بدلاً من رقم معين ، أكتب بعض الأحرف والرموز الغريبة؟
حسنًا ، حسنًا ، أقنعنا ... خاصة بالنسبة لك:
س = سجل 2 5 = 2.321928095 ...
ضع في اعتبارك أن هذا الرقم لا ينتهي أبدًا. نعم نعم! إنه غير منطقي ...
هذه هي الإجابة على سؤالك، ما هي اللوغاريتمات ل؟. نحتاج أولاً إلى اللوغاريتمات لحلها المعادلات الأسية!تلك التي لم تحل على الإطلاق بدون لوغاريتمات ...
على سبيل المثال ، حل المعادلة الأسية
3 س = 9
يمكنك نسيان اللوغاريتمات. يتضح على الفور أن x = 2.
لكن ، لحل المعادلة ، دعنا نقول هذا
3 س = 7 ،
أنت تقريبااحصل على هذه الاستجابة الأشعث:
اكس ≈ 1.77124375
ولكن من خلال اللوغاريتم المعطى درجة الكمالإجابه:
X = تسجيل 3 7.
وهذا كل شيء.) لهذا السبب يكتبون اللوغاريتمات بدلاً من الأرقام غير المنطقية القبيحة. من يحتاج إلى إجابة عددية - سيعتمد على الآلة الحاسبة أو على الأقل في Excel.) وفي وقت سابق ، عندما لم تكن هناك آلات حاسبة وأجهزة كمبيوتر ، كانت هناك جداول خاصة من اللوغاريتمات. ضخم وضخم. تمامًا مثل جداول Bradys للجيب وجيب التمام. وحتى هذه الأداة كانت - المسطرة اللوغاريتمية. مما سمح بدقة جيدة لحساب الكثير من الأشياء المفيدة. وليس فقط اللوغاريتمات.)
ها أنت ذا. الآن ، بشكل غير محسوس لأنفسنا ، تعلمنا أن نقرر الكلمعادلات أسية من هذا النوع الوحشي.
علي سبيل المثال:
2 س = 13
لا مشكلة:
X = تسجيل 2 13
5 س = 26
الابتدائية أيضا!
X = تسجيل 5 26
11 × = 0.123
وهذا ليس سؤال:
X = تسجيل 11 0.123
هذه كلها إجابات صحيحة! حسنا كيف؟ مغرية ، أليس كذلك؟
لنفكر الآن في معنى عملية إيجاد اللوغاريتم.
كما نعلم ، يحاول علماء الرياضيات إيجاد رد فعل لكل فعل (أي يعكسعمل). بالإضافة إلى أنه طرح ، أما الضرب فهو قسمة. ما هو العمل العكسي ل الأس؟
دعنا نرى. ما هي أرقام التشغيل الرئيسية لدينا عند الارتقاء إلى قوة ما؟ ها هم:
أ = ب
أ - يتمركز،
ن - مؤشر،
ب - الدرجة نفسها.
لنفكر الآن: إذا علمنا الدرجة العلمية(ب) ومعروفة مؤشرهذه الدرجة بالذات (ن) ، لكن عليك أن تجدها يتمركز (أ) ثم ماذا نفعل عادة؟ حق! نستخرج جذر الدرجة التاسعة! مثله:
الآن دعونا نلقي نظرة على موقف آخر: نحن نعرف مرة أخرى الدرجة العلمية(ب) ، ولكن هذه المرة بدلاً من الأس ن الذي نعرفه يتمركز(أ) ، لكنك تحتاج فقط إلى العثور على هذا بالذات مؤشر (ن). ما نحن بصدد القيام به؟
هذا هو المكان الذي يأتي فيه اللوغاريتمات لإنقاذ! يكتبون بالضبط مثل هذا:
"En" (ن)هو الرقم الذي سيتم رفعه إليه "أ"، ليحصل "ب". هذا كل شئ. هذا هو بيت القصيد من اللوغاريتم. عملية إيجاد اللوغاريتم هي مجرد بحث مؤشردرجات مشهورة درجاتو المؤسسة.
وبالتالي ، من أجل الأس في الرياضيات ، هناك نوعان مختلفانإجراءات عكسية. هذه استخراج الجذرو إيجاد اللوغاريتم. ولكن ، لنقل الضرب ، يوجد فعل عكسي واحد فقط - القسمة. إنه مفهوم: أي من العوامل المجهولة - وهو الأول والثاني - يتم البحث عنه باستخدام عملية واحدة - القسمة.)
أبسط الأمثلة مع اللوغاريتمات.
الآن الأخبار ليست جيدة. إذا تم اعتبار اللوغاريتم بالضبط ، فعندئذ يكون يجب ان تؤخذ بعين الاعتبار، نعم.
دعنا نقول ما إذا كنت قد حصلت في مكان ما في المعادلة
x = سجل 3 9 ,
لن تكون هذه الإجابة موضع تقدير. نحتاج إلى حساب اللوغاريتم وكتابة:
س = 2
وكيف فهمنا أن log 3 9 = 2؟ نترجم المساواة من اللغة الرياضية إلى اللغة الروسية: لوغاريتم تسعة إلى أساس ثلاثة هو الرقم الذي يجب رفع ثلاثة إليه للحصول على تسعة. وما هو العدد الذي تحتاجه لرفع ثلاثة لتحصل على تسعة؟ حسنا بالطبع! يجب أن تكون مربعة. هذا هو اثنان.)
وما هو ، على سبيل المثال ، log 5 125؟ وإلى أي مدى يعطينا خمسة 125؟ في الثالث طبعا (أي في مكعب)!
لذا سجل 5 125 = 3.
سجل 7 7 =؟
إلى أي قوة يجب رفع 7 للحصول على 7؟ أولا!
ها هي إجابتك: log 7 7 = 1
ماذا عن مثل هذا المثال؟
سجل 3 1 =؟
وإلى أي قوة يجب رفع ثلاثة للحصول على واحد؟ لا تخمن؟ هل تذكر .) نعم! إلى الصفر! نكتب هنا:
سجل 3 1 = 0
حصلت على المبدأ؟ ثم نتدرب:
السجل 2 16 = ...
سجل 4 64 = ...
سجل 13 13 = ...
السجل 3243 = ...
سجل 15 1 = ...
الإجابات (في disarray): 1 ؛ 3 ؛ خمسة؛ 0 ؛ 4.
لما؟ نسيت إلى أي مدى يعطي 3 243؟ حسنًا ، لا يوجد شيء يجب القيام به: يجب التعرف على درجات الأرقام الشعبية. في الوجه! حسنًا ، جدول الضرب هو رفيق ومساعد موثوق به. وليس فقط في اللوغاريتمات.)
حسنًا ، لقد تم حل أمثلة بسيطة للغاية ، ونحن الآن بصدد رفع مستوى هذا الأمر. نتذكر المؤشرات السلبية والكسرية.)
لنحل هذا المثال:
سجل 4 0.25 =؟
حسنًا ... وما القوة التي تحتاجها لرفع الأربعة لتحصل على 0.25؟ لذلك لا يمكنك معرفة ذلك فورًا. إذا كنت تعمل فقط مع المؤشرات الطبيعية. لكن الشهادات في الرياضيات ، كما تعلم ، ليست طبيعية فقط. حان الوقت لربط معرفتنا به نفيالمؤشرات وتذكر ذلك
0,25 = 1/4 = 4 -1
لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:
السجل 4 0.25 = السجل 4 4 -1 = -1.
وهذا كل شيء.)
مثال آخر:
سجل 4 2 =؟
إلى أي قوة تحتاج لرفع 4 لتحصل على 2؟ للإجابة على هذا السؤال ، سيتعين علينا ربط معرفتنا بالجذور. وتذكر أن الشيطان هو الجذر التربيعي لأربعة:
ويسمح لك الجذر التربيعي للرياضيات بتمثيلها كدرجة! بمؤشر 1/2. لذلك نكتب:
لذلك سيكون اللوغاريتم الخاص بنا هو:
حسنًا ، تهانينا! ها نحن معك والتقينا باللوغاريتمات. في المستوى البدائي الأكثر بدائية.) ورأيت بنفسك أنها ليست مخيفة على الإطلاق كما كنت تعتقد من قبل. لكن اللوغاريتمات ، مثل أي مفاهيم رياضية أخرى ، لها خصائصها وخصائصها الخاصة. حول كليهما (حول الخصائص وحول الرقائق) - في الدرس التالي.
والآن نقرر بأنفسنا.
احسب:
الإجابات (في disarray): 4.4 ؛ 0 ؛ واحد؛ 6 ؛ 4 ؛ 2.
