Lý thuyết về xác suất các sự kiện ngẫu nhiên cho người giả. Lý thuyết xác suất. Giải pháp nhiệm vụ (2019)
Nhiều người, gặp phải với khái niệm "Lý thuyết xác suất", bị sợ hãi, nghĩ rằng đây là điều không thể chịu đựng được, rất phức tạp. Nhưng mọi thứ không thực sự quá bi thảm. Hôm nay chúng tôi sẽ xem xét khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất, học cách giải quyết vấn đề về các ví dụ cụ thể.
Khoa học
Những nghiên cứu nào mà một phần toán học như "lý thuyết xác suất"? Nó lưu ý các mẫu và giá trị. Lần đầu tiên câu hỏi này, các nhà khoa học quan tâm đến thế kỷ thứ mười tám, khi họ học bài bạc. Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất là một sự kiện. Đây là bất kỳ thực tế được tuyên bố bởi kinh nghiệm hoặc quan sát. Nhưng kinh nghiệm là gì? Một khái niệm cơ bản khác về lý thuyết xác suất. Điều đó có nghĩa là thành phần này của hoàn cảnh không được tạo ra bởi cơ hội, nhưng với một mục tiêu nhất định. Đối với quan sát, ở đây, chính nhà nghiên cứu không tham gia vào trải nghiệm, nhưng chỉ cần chứng kiến \u200b\u200bcác sự kiện dữ liệu, anh ta không ảnh hưởng đến những gì đang xảy ra.
Sự kiện
Chúng tôi đã học được rằng khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất là một sự kiện, nhưng không được coi là phân loại. Tất cả trong số họ được chia thành các loại sau:
- Đáng tin cậy
- Không thể nào.
- Ngẫu nhiên.
Bất kể những sự kiện nào được quan sát hoặc tạo ra trong trải nghiệm, tất cả đều phải tuân theo phân loại này. Chúng tôi cung cấp từng loại loài để làm quen riêng.
Sự kiện đáng tin cậy
Đây là hoàn cảnh mà tập hợp các sự kiện cần thiết được thực hiện. Để đi sâu hơn vào bản chất, tốt hơn là mang lại một số ví dụ. Luật này phải chịu vật lý và hóa học, và kinh tế, và toán cao hơn. Lý thuyết xác suất bao gồm một khái niệm quan trọng như một sự kiện đáng tin cậy. Chúng tôi đưa ra ví dụ:
- Chúng tôi làm việc và nhận được một sự thù lao dưới dạng tiền lương.
- Vượt qua các bài kiểm tra tốt, cuộc thi đã được tổ chức, chúng tôi nhận được phần thưởng cho việc này dưới hình thức nhận trong cơ sở giáo dục.
- Chúng tôi đã đầu tư tiền vào ngân hàng, nếu cần thiết, chúng tôi sẽ lấy lại chúng.
Những sự kiện như vậy là đáng tin cậy. Nếu chúng ta thực hiện mọi thứ các điều kiện cần thiết, Tôi chắc chắn sẽ có được kết quả mong đợi.
Sự kiện bất khả thi
Bây giờ chúng tôi xem xét các yếu tố của lý thuyết xác suất. Chúng tôi đề nghị đi đến giải thích về loại sự kiện tiếp theo, cụ thể là không thể. Để bắt đầu với nhiều nhất một quy tắc quan trọng - Xác suất của sự kiện không thể bằng không.
Từ công thức này, không thể rút lui khi giải quyết vấn đề. Để giải thích, chúng tôi đưa ra ví dụ về các sự kiện như vậy:
- Nước đông lạnh ở nhiệt độ cộng với mười (không thể).
- Không có điện không ảnh hưởng đến sản xuất (nó cũng không thể, như trong ví dụ trước).
Nhiều ví dụ không nên được đưa ra, như các ví dụ như được mô tả ở trên phản ánh bản chất của thể loại này. Sự kiện bất khả thi sẽ không bao giờ xảy ra trong bất kỳ trường hợp nào.
Những sự kiện ngẫu nhiên
Nghiên cứu các yếu tố của lý thuyết xác suất, Đặc biệt chú ý Nó đáng để trả chính xác loại này sự kiện. Chính họ là nghiên cứu khoa học này. Là kết quả của kinh nghiệm, một cái gì đó có thể xảy ra hay không. Ngoài ra, bài kiểm tra có thể được thực hiện một số lần không giới hạn. Ví dụ sáng Có thể phục vụ:
- Một dàn đồng xu là một kinh nghiệm, hoặc thử nghiệm, một Eagle Falling là một sự kiện.
- Kéo một quả bóng một cách mù quáng - một bài kiểm tra, một quả bóng màu đỏ bị bắt - đây là một sự kiện và như vậy.
Các ví dụ như vậy có thể là một số lượng không giới hạn, nhưng nói chung, bản chất phải rõ ràng. Để tóm tắt và hệ thống hóa kiến \u200b\u200bthức đạt được trên các sự kiện, một bảng được đưa ra. Lý thuyết về xác suất nghiên cứu chỉ là quan điểm cuối cùng của tất cả được trình bày.
tên | Định nghĩa | |
Đáng tin cậy | Sự kiện xảy ra với đảm bảo 100% khi tuân thủ các điều kiện nhất định. | Nhập học vào một tổ chức giáo dục với sự đầu hàng tốt của kỳ thi tuyển sinh. |
Không thể nào | Các sự kiện sẽ không bao giờ xảy ra trong bất kỳ trường hợp nào. | Có tuyết ở nhiệt độ không khí cộng với ba mươi độ C. |
Ngẫu nhiên | Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không trong quá trình thử nghiệm / thử nghiệm. | Trí thông minh hoặc bỏ lỡ khi ném một quả bóng rổ vào một chiếc nhẫn. |
Luật pháp
Lý thuyết xác suất là một khoa học nghiên cứu khả năng rơi ra bất kỳ sự kiện nào. Giống như những người khác, nó có một số quy tắc. Các luật sau đây của lý thuyết xác suất là tồn tại:
- Hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên.
- Luật của số lượng lớn.
Khi tính khả năng phức tạp, bạn có thể sử dụng một phức hợp các sự kiện đơn giản để đạt được kết quả dễ dàng và nhanh chóng hơn. Lưu ý rằng luật pháp dễ dàng được chứng minh bằng một số định lý. Chúng tôi cung cấp để bắt đầu làm quen với luật đầu tiên.
Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên
Lưu ý rằng các loài hội tụ có phần:
- Trình tự các biến ngẫu nhiên mong muốn bằng xác suất.
- Gần như không thể.
- R hội tụ trung bình vuông.
- Hội tụ phân phối.
Vì vậy, với mùa hè, rất khó để đi sâu vào bản chất. Chúng tôi cung cấp các định nghĩa sẽ giúp tìm ra chủ đề này. Để bắt đầu với cái nhìn đầu tiên. Trình tự được gọi thường xuyên thích xác suấtNếu điều kiện sau được quan sát: N có xu hướng vô cùng, số mà trình tự đang phấn đấu, Zero hơn và xấp xỉ với một.
Đi đến hình thức sau đây Gần như có lẽ. Người ta nói rằng trình tự hội tụ gần như có lẽ Đến một biến ngẫu nhiên cho n, phấn đấu cho vô cực và p, phấn đấu đến độ lớn gần đúng với một.
Loại tiếp theo là sự hội tụ là mộc mạc. Khi sử dụng SK-Convergence, nghiên cứu các quy trình ngẫu nhiên Vector sẽ giảm xuống nghiên cứu các quy trình ngẫu nhiên tọa độ của họ.
Loại cuối cùng vẫn còn, hãy hiểu một cách ngắn gọn và nó di chuyển trực tiếp để giải quyết các nhiệm vụ. Sự hội tụ của phân phối có một tên khác - "yếu", sau đó giải thích tại sao. Hội tụ yếu - Đây là sự hội tụ của các chức năng phân phối ở tất cả các điểm vị trí của chức năng phân phối giới hạn.
Hãy chắc chắn thực hiện lời hứa: sự hội tụ yếu khác với tất cả các điều trên trong giá trị ngẫu nhiên không được xác định trên không gian xác suất. Điều này là có thể bởi vì điều kiện được hình thành chỉ bằng cách sử dụng các chức năng phân phối.
Luật số lượng lớn
Các trợ lý xuất sắc trong bằng chứng về luật này sẽ là định lý của lý thuyết xác suất, chẳng hạn như:
- Bất bình đẳng chebyshev.
- Định lý Ch Quashev.
- Tổng quát định lý Ch Quabyshev.
- Định lý của Markov.
Nếu chúng ta xem xét tất cả các định lý này, thì vấn đề này có thể trì hoãn vài chục tờ. Chúng tôi cũng có nhiệm vụ chính - đây là việc sử dụng lý thuyết xác suất trong thực tế. Chúng tôi cung cấp cho bạn ngay bây giờ và làm điều đó. Nhưng trước đây, hãy xem xét các tiên đề của lý thuyết xác suất, chúng sẽ là trợ lý chính khi giải quyết vấn đề.
Tiên đề.
Từ cái đầu tiên chúng ta đã gặp nhau khi họ nói về sự kiện không thể. Hãy nhớ rằng: xác suất của sự kiện không thể bằng không. Ví dụ Chúng tôi mang rất sáng và đáng nhớ: Tuyết rơi ở nhiệt độ không khí của ba mươi độ C.
Âm thanh thứ hai như sau: một sự kiện đáng tin cậy xảy ra với một xác suất bằng một. Bây giờ chúng tôi chỉ cho cách viết nó với sự trợ giúp của ngôn ngữ toán học: P (c) \u003d 1.
Thứ ba: Sự kiện ngẫu nhiên có thể xảy ra hay không, nhưng khả năng luôn thay đổi so với số 0 đến một. Giá trị càng gần một, cơ hội nhiều hơn; Nếu giá trị đang đến gần bằng 0, xác suất rất nhỏ. Chúng tôi viết nó trong ngôn ngữ toán học: 0<Р(С)<1.
Hãy xem xét tiên đề cuối cùng, thứ tư, nghe như thế này: xác suất tổng của hai sự kiện bằng tổng xác suất của chúng. Chúng tôi viết ra ngôn ngữ toán học: P (A + C) \u003d P (A) + P (B).
Asoms của lý thuyết xác suất là các quy tắc đơn giản nhất sẽ không khó nhớ. Hãy cố gắng giải quyết một số nhiệm vụ, dựa vào kiến \u200b\u200bthức đã nhận được.
Vé số
Để bắt đầu, hãy xem xét ví dụ đơn giản nhất - Xổ số. Hãy tưởng tượng rằng bạn đã mua một vé xổ số để may mắn. Khả năng bạn sẽ thắng ít nhất hai mươi rúp là gì? Một ngàn vé tham gia lưu hành, một trong số đó có giải thưởng trong năm trăm rúp, mười trăm rúp, năm mươi hai mươi rúp và một trăm năm. Nhiệm vụ về lý thuyết xác suất được dựa trên việc tìm kiếm cơ hội may mắn. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích giải pháp trên các nhiệm vụ được trình bày.
Nếu chúng ta là bức thư và biểu thị số tiền thắng của năm trăm rúp, xác suất rơi ra sẽ bằng 0,001. Làm thế nào chúng ta có được nó? Bạn chỉ cần chia sẻ số lượng vé "hạnh phúc" để chia sẻ số của họ (trong trường hợp này: 1/1000).
B là một tiền thắng của một trăm rúp, xác suất sẽ bằng 0,01. Bây giờ chúng tôi đã hành động theo cùng một nguyên tắc như trong hành động trong quá khứ (10/1000)
C - Tiền thắng bằng hai mươi rúp. Chúng tôi tìm thấy xác suất, nó bằng 0,05.
Phần còn lại của vé không quan tâm đến chúng tôi, vì hồ bơi giải thưởng của họ ít hơn quy định trong điều kiện. Áp dụng Axiom thứ tư: Xác suất chiến thắng ít nhất hai mươi rúp là P (a) + p (c) + p (c). Chữ P được biểu thị bằng khả năng xuất xứ của sự kiện này, chúng tôi đã tìm thấy chúng trong các hành động trước đó. Nó vẫn chỉ để gấp dữ liệu cần thiết, chúng tôi nhận được 0,061 trong câu trả lời. Đây là số và sẽ là một phản ứng với câu hỏi của nhiệm vụ.
Sàn thẻ
Các nhiệm vụ về lý thuyết xác suất phức tạp hơn, ví dụ, làm nhiệm vụ sau. Trước khi bạn một bộ bài trong số ba mươi sáu lá bài. Nhiệm vụ của bạn là rút ra hai bản đồ liên tiếp mà không khuấy một ngăn xếp, thẻ thứ nhất và thẻ thứ hai phải là Aces, bộ đồ không có gì.
Để bắt đầu, chúng tôi tìm thấy khả năng thẻ đầu tiên sẽ là ACE, cho bốn phân chia này cho ba mươi sáu. Hoãn anh ấy sang một bên. Cho thẻ thứ hai, nó sẽ là Ace với xác suất ba ba mươi lăm. Xác suất của sự kiện thứ hai phụ thuộc vào bản đồ chúng ta đã kéo đầu tiên, chúng ta tự hỏi, đó là ace hay không. Nó theo sau từ điều này mà sự kiện này phụ thuộc vào sự kiện A.
Hành động tiếp theo chúng tôi tìm thấy khả năng thực hiện đồng thời, nghĩa là với một lần gấp A và B. Công việc của họ như sau: Xác suất của một sự kiện Nhân với xác suất có điều kiện khác, mà chúng tôi tính toán, giả định rằng sự kiện đầu tiên xảy ra Đó là, chúng tôi đã kéo cái đầu tiên đến át chủ bài.
Để trở thành mọi thứ rõ ràng, chúng tôi đưa ra chỉ định cho một yếu tố như sự kiện như vậy. Nó được tính toán, giả sử rằng sự kiện này là những gì đã xảy ra. Nó được tính như sau: p (v / a).
Hãy để chúng tôi tiếp tục giải pháp về vấn đề của chúng tôi: P (A * C) \u003d P (A) * P (IN / A) hoặc P (A * C) \u003d P (C) * P (A / C). Xác suất bằng (4/36) * ((3/35) / (4/36). Tính toán, làm tròn đến một phần trăm. Chúng tôi có: 0,11 * (0,09 / 0.11) \u003d 0,11 * 0, 82 \u003d 0,09. Khả năng Rằng chúng tôi mở rộng hai con aces liên tiếp là chín phần trăm. Giá trị rất nhỏ, nó theo sau này rằng khả năng của sự kiện là vô cùng nhỏ.
Quên số
Chúng tôi đề xuất tháo rời một số tùy chọn khác cho các nhiệm vụ nghiên cứu lý thuyết xác suất. Ví dụ về việc giải quyết một số trong số họ đã thấy trong bài viết này, cố gắng giải quyết nhiệm vụ sau: Cậu bé đã quên chữ số cuối cùng của số điện thoại của bạn mình, nhưng vì cuộc gọi rất quan trọng, sau đó bắt đầu tuyển dụng mọi thứ . Chúng ta cần tính toán khả năng mà nó sẽ gọi không quá ba lần. Vấn đề của vấn đề là đơn giản nhất, nếu các quy tắc, luật pháp và tiên đề của lý thuyết xác suất được biết đến.
Trước khi xem một giải pháp, hãy cố gắng giải quyết chính mình. Chúng tôi biết rằng chữ số cuối cùng có thể từ 0 đến chín, nghĩa là chỉ có mười giá trị. Xác suất gõ mong muốn là 1/10.
Tiếp theo, chúng ta cần xem xét các tùy chọn cho nguồn gốc của sự kiện này, giả sử rằng cậu bé đoán và ngay lập tức đạt được sự kiện cần thiết, khả năng của một sự kiện như vậy là 1/10. Tùy chọn thứ hai: tiếng chuông đầu tiên của phiếu, và thứ hai đến mục tiêu. Tính khả năng một sự kiện như vậy: 9/10 nhân với 1/9, kết quả là chúng ta cũng nhận được 1/10. Tùy chọn thứ ba: Cuộc gọi thứ nhất và thứ hai không ở địa chỉ, chỉ từ cậu bé thứ ba đến đó nơi anh ta muốn. Tính xác suất của một sự kiện như vậy: 9/10 nhân vào 8/9 và 1/8, kết quả là chúng tôi sẽ nhận được 1/10. Các tùy chọn khác trong điều kiện của nhiệm vụ không quan tâm đến chúng tôi, chúng tôi vẫn được gấp lại bởi kết quả, kết quả là chúng tôi có 3/10. Trả lời: Khả năng cậu bé sẽ gọi không quá ba lần bằng 0,3.
Thẻ có số
Có chín thẻ trước bạn, mỗi thẻ được viết số từ một đến chín, các số không được lặp lại. Chúng được đặt vào hộp và trộn kỹ. Bạn cần tính toán khả năng
- số chẵn sẽ rơi ra;
- hai chữ số.
Trước khi chuyển sang giải pháp, chúng tôi sẽ thảo luận rằng M là số trường hợp thành công và N là tổng số tùy chọn. Chúng tôi tìm thấy khả năng số sẽ là chẵn. Không khó để tính toán rằng thậm chí bốn số, nó sẽ là M của chúng tôi, mọi thứ đều có thể có chín tùy chọn, đó là M \u003d 9. Sau đó xác suất là 0,44 hoặc 4/9.
Chúng tôi xem xét trường hợp thứ hai: số lượng tùy chọn cho chín, và không thể không có kết quả thành công nào, đó là không. Khả năng thẻ kéo dài sẽ chứa một số có hai chữ số, tương tự bằng 0.
Quá trình toán học đang chuẩn bị cho học sinh rất nhiều bất ngờ, một trong số đó là nhiệm vụ của lý thuyết xác suất. Với giải pháp của các nhiệm vụ như vậy, sinh viên phát sinh gần một trăm phần trăm trường hợp. Để hiểu và hiểu vấn đề này, bạn cần biết các quy tắc cơ bản, tiên đề, định nghĩa. Để hiểu văn bản trong cuốn sách, bạn cần biết tất cả các khoản giảm. Tất cả những điều này chúng tôi cung cấp để học.
Khoa học và sử dụng nó
Kể từ khi chúng tôi cung cấp một khóa học tăng tốc "Lý thuyết xác suất cho Teapots", trước tiên bạn phải giới thiệu các khái niệm cơ bản và cắt chữ cái. Để bắt đầu, chúng tôi xác định với khái niệm về bản thân "lý thuyết xác suất". Khoa học này là gì và nó cần là gì? Lý thuyết xác suất là một trong những phần của toán học, nghiên cứu những hiện tượng ngẫu nhiên và cường độ. Nó cũng xem xét các tính năng, tài sản và hoạt động được thực hiện với các giá trị ngẫu nhiên này. Nó cần gì cho? Khoa học rộng rãi nhận được trong nghiên cứu về hiện tượng tự nhiên. Bất kỳ quá trình tự nhiên và vật lý không có giá mà không có sự hiện diện của cơ hội. Ngay cả khi trong kinh nghiệm, kết quả đã được đăng ký chính xác như một cách chính xác, trong khi lặp lại cùng một bài kiểm tra, kết quả với xác suất cao sẽ không giống nhau.
Chúng tôi chắc chắn sẽ xem xét các nhiệm vụ chẳng hạn, bạn có thể đảm bảo về nó. Kết quả phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau gần như không thể xem xét hoặc đăng ký, nhưng tuy nhiên, chúng có ảnh hưởng lớn đến kết quả của kinh nghiệm. Các ví dụ tươi sáng có thể đóng vai trò là nhiệm vụ xác định quỹ đạo của chuyển động của các hành tinh hoặc định nghĩa dự báo thời tiết, khả năng gặp một người quen thuộc trong khi cách làm việc và xác định chiều cao của bước nhảy của vận động viên. Ngoài ra, lý thuyết về xác suất có sự giúp đỡ tuyệt vời của các nhà môi giới trên sàn giao dịch chứng khoán. Nhiệm vụ của lý thuyết về xác suất, với giải pháp mà rất nhiều vấn đề xảy ra sớm hơn, sẽ trở thành đối với bạn bởi một câu chuyện nhỏ sau ba bốn ví dụ dưới đây.
Sự kiện
Như đã đề cập trước đó, các sự kiện nghiên cứu khoa học. Lý thuyết xác suất, ví dụ về việc giải quyết các nhiệm vụ chúng ta sẽ tìm kiếm một lát sau, chỉ nghiên cứu một loài - ngẫu nhiên. Tuy nhiên, cần phải biết rằng các sự kiện có thể là ba loại:
- Không thể nào.
- Đáng tin cậy
- Ngẫu nhiên.
Chúng tôi đề nghị một chút xác định từng người trong số họ. Sự kiện bất khả thi sẽ không bao giờ xảy ra trong bất kỳ trường hợp nào. Ví dụ có thể phục vụ: Đóng băng nước với nhiệt độ cộng, kéo một khối từ một túi có quả bóng.
Một sự kiện đáng tin cậy luôn xảy ra với đảm bảo 100% nếu tất cả các điều kiện được thực hiện. Ví dụ: bạn đã nhận được tiền lương cho công việc được thực hiện, nhận được bằng tốt nghiệp giáo dục nghề nghiệp cao hơn, nếu có thiện chí, đã vượt qua các bài kiểm tra và bảo vệ bằng tốt nghiệp, v.v.
Với mọi thứ trở nên khó khăn hơn một chút: Trong trải nghiệm, nó có thể xảy ra hoặc không, ví dụ, rút \u200b\u200bAce ra khỏi bộ bài thẻ, không quá ba lần thử. Kết quả có thể được lấy từ cả lần thử đầu tiên, và nói chung, không nhận được. Đó là xác suất của sự xuất hiện của sự kiện nghiên cứu khoa học.
Xác suất
Điều này theo nghĩa chung ước tính khả năng một kết quả thành công của kinh nghiệm mà sự kiện đến. Xác suất được ước tính ở mức định tính, đặc biệt nếu đánh giá định lượng là không thể hoặc khó khăn. Nhiệm vụ của lý thuyết xác suất với giải pháp, chính xác hơn, đánh giá ngụ ý việc tìm kiếm tỷ lệ có thể có của một kết quả thịnh vượng. Xác suất toán học là đặc điểm số của sự kiện. Nó lấy các giá trị từ 0 đến một, được ký hiệu bởi chữ R. Nếu p bằng 0, thì sự kiện có thể không xảy ra nếu một người hợp nhất, thì sự kiện sẽ xảy ra với xác suất một trăm phần trăm. P Letters tiếp cận đơn vị, khả năng của một kết quả thịnh vượng càng mạnh và ngược lại, nếu gần bằng 0, sự kiện sẽ xảy ra với một xác suất nhỏ.
Viết tắt.
Nhiệm vụ của lý thuyết xác suất, với giải pháp mà bạn sẽ sớm gặp phải, có thể chứa các chữ viết tắt sau:
- P và P (x);
- A, B, C, vv D;
Một số người khác là có thể: Giải thích bổ sung sẽ được thực hiện khi cần thiết. Chúng tôi cung cấp, để bắt đầu, giải thích việc giảm được trình bày ở trên. Đầu tiên trong danh sách của chúng tôi là một giai thừa. Để rõ ràng, chúng tôi cung cấp các ví dụ: 5! \u003d 1 * 2 * 3 * 4 * 5 hoặc 3! \u003d 1 * 2 * 3. Hơn nữa, các bộ được chỉ định được viết trong dấu ngoặc hình, ví dụ: (1; 2; 3; 4; ..; n) hoặc (10; 140; 400; 562). Chỉ định sau đây là một tập hợp các số tự nhiên, khá thường xuyên xảy ra trong các nhiệm vụ đối với lý thuyết xác suất. Như đã đề cập trước đó, P là xác suất và P (x) là xác suất xuất xứ của sự kiện. H. Các chữ cái Latin của bảng chữ cái Latin được biểu thị bằng các sự kiện, ví dụ: và quả bóng trắng xuất hiện, màu xanh lam, C - đỏ hoặc, tương ứng,. Chữ nhỏ N là số tiền của tất cả các kết quả có thể và M là số lượng thịnh vượng. Từ đây và chúng tôi có được quy tắc tìm xác suất cổ điển trong các tác vụ cơ bản: p \u003d m / n. Lý thuyết về xác suất "cho ấm trà" có thể giới hạn trong những kiến \u200b\u200bthức này. Bây giờ để hợp nhất, đi đến giải pháp.
Nhiệm vụ 1. Kết hợp
Nhóm sinh viên có ba mươi người, trong đó cần phải chọn người đứng đầu, phó và giáo dục của mình. Nó là cần thiết để tìm số cách để thực hiện hành động này. Một nhiệm vụ như vậy có thể đáp ứng trong kỳ thi. Lý thuyết xác suất, giải pháp của các nhiệm vụ mà chúng tôi hiện đang xem xét có thể bao gồm các nhiệm vụ từ quá trình kết hợp, tìm ra xác suất, hình học và nhiệm vụ cổ điển cho các công thức cơ bản. Trong ví dụ này, chúng tôi giải quyết nhiệm vụ từ quá trình kết hợp. Đi đến quyết định. Nhiệm vụ này là đơn giản nhất:
- n1 \u003d 30 - Anh cao tuổi có thể của nhóm sinh viên;
- n2 \u003d 29 - Những người có thể lấy bài phó;
- n3 \u003d 28 Người tuyên bố là bài viết của progor.
Tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm một số lượng tùy chọn có thể, đó là, nhân tất cả các chỉ số. Kết quả là, chúng tôi nhận được: 30 * 29 * 28 \u003d 24360.
Đây sẽ là câu trả lời cho câu hỏi.
Nhiệm vụ 2. perestanovka.
Tại hội nghị, 6 người tham gia thực hiện, thứ tự được xác định bởi trận hòa. Chúng ta cần tìm số lượng hấp dẫn có thể. Trong ví dụ này, chúng tôi xem xét sự hoán vị của sáu yếu tố, nghĩa là chúng tôi cần tìm 6!
Trong mục viết tắt, chúng tôi đã đề cập đến nó là gì và như được tính toán. Hóa ra có 720 tùy chọn vẽ. Thoạt nhìn, nhiệm vụ khó khăn có một giải pháp hoàn toàn ngắn và đơn giản. Đây là những nhiệm vụ xem xét lý thuyết xác suất. Làm thế nào để giải quyết các nhiệm vụ cấp cao hơn, chúng tôi sẽ xem xét các ví dụ sau.
Nhiệm vụ 3.
Một nhóm sinh viên từ hai mươi lăm người phải được chia thành ba nhóm sáu, chín và mười người. Chúng tôi có: n \u003d 25, k \u003d 3, n1 \u003d 6, n2 \u003d 9, n3 \u003d 10. Nó vẫn còn để thay thế các giá trị cho công thức mong muốn, chúng tôi nhận được: N25 (6,9,10). Sau khi dễ dàng tính toán, chúng tôi nhận được câu trả lời - 16 360 143 800. Nếu nhiệm vụ không nói rằng cần phải có được một giải pháp số, thì có thể cung cấp cho nó là nhân viên.
Nhiệm vụ 4.
Ba người di chuyển số từ một đến mười. Tìm khả năng mà ai đó có những con số. Đầu tiên, chúng ta cần tìm hiểu số lượng tất cả các kết quả - trong trường hợp của chúng tôi, đó là một ngàn, nghĩa là mười ở mức độ thứ ba. Bây giờ chúng tôi tìm thấy số lượng tùy chọn khi tất cả các số khác nhau được thực hiện, đối với điều này, chúng tôi biến mười, chín và tám. Những con số này đến từ đâu? Cái đầu tiên tạo ra một số, anh ta có mười tùy chọn, lần thứ hai đã chín, và thứ ba cần phải chọn từ tám còn lại, do đó chúng tôi nhận được 720 tùy chọn có thể. Như chúng ta đã tính trước đó, chỉ có 1000 tùy chọn và không có sự lặp lại 720, do đó, chúng tôi quan tâm đến 280 còn lại. Bây giờ chúng ta cần một công thức để tìm xác suất cổ điển: p \u003d. Chúng tôi đã nhận được câu trả lời: 0,28.
TÀI LIỆU CỦA CÁC LUẬT ĐƯỢC ĐỐI TƯỢNG T. NAZ. Phenomena ngẫu nhiên. Một từ điển các từ nước ngoài có trong tiếng Nga. Chudinov A.N., 1910 ... Từ điển tiếng nước ngoài của tiếng Nga
lý thuyết xác suất - - [l.g.sumenko. Từ điển tiếng Anh Nga về công nghệ thông tin. M .: GP TSNIIIS, 2003.] Tổng thống thông tin công nghệ thông tin nói chung, en lý thuyết xác suất lý thuyết về việc tính toán khả thi ... Danh mục dịch thuật kỹ thuật
Lý thuyết xác suất - Có một phần toán học, nghiên cứu các phụ thuộc giữa xác suất (xem khả năng và thống kê) của các sự kiện khác nhau. Chúng tôi liệt kê các định lý quan trọng nhất thuộc về khoa học này. Xác suất xuất hiện của một trong nhiều sự kiện không hoàn chỉnh là ... ... Từ điển bách khoa toàn thư f.a. Brockhaus và I.A. Efron.
Lý thuyết xác suất - Toán học. Khoa học cho phép xác suất của một số sự kiện ngẫu nhiên (xem) để tìm xác suất của các sự kiện ngẫu nhiên liên quan đến. L. cách với người đầu tiên. T.V hiện đại Dựa trên tiên đề (xem phương pháp tiên đề) A. N. Kolmogorov. Trên ... ... Bách khoa học xã hội học Nga.
Lý thuyết xác suất - Phần toán học, trong đó, theo các xác suất này của một số sự kiện ngẫu nhiên, tìm khả năng các sự kiện khác liên quan đến một số cách với đầu tiên. Lý thuyết xác suất cũng nghiên cứu các biến ngẫu nhiên và các quy trình ngẫu nhiên. Một trong những ... ... Khái niệm về khoa học tự nhiên hiện đại. Từ điển thuật ngữ chính
lý thuyết xác suất - Tikimybių Teorija Statesas T Sritis Fizika Atitikmenys: Angl. Lý thuyết xác suất Vok. Wahrscheinlichkeitseorie, f rus. Lý thuyết xác suất, f Pranc. Théorie des probableés, F Fizikos Terminų odynas
Lý thuyết xác suất - ... Wikipedia.
Lý thuyết xác suất - Kỷ luật toán học nghiên cứu các mô hình của các hiện tượng ngẫu nhiên ... Sự khởi đầu của khoa học tự nhiên hiện đại
Lý thuyết xác suất - (Lý thuyết xác suất) Xem khả năng ... Từ điển xã hội học lớn.
Lý thuyết về xác suất và các ứng dụng của nó - ("Lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó",) Tạp chí khoa học của Khoa Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học của Liên Xô. Xuất bản các bài viết gốc và báo cáo ngắn gọn về lý thuyết xác suất, các vấn đề chung về thống kê toán học và các ứng dụng của họ trong khoa học tự nhiên và ... Bách khoa toàn thư Liên Xô tuyệt vời
Sách
- Lý thuyết xác suất. , Ventcel ES .. Cuốn sách là một hướng dẫn được thiết kế cho những người quen thuộc với toán học về khối lượng khóa học mô phỏng thông thường và những người quan tâm đến các ứng dụng kỹ thuật của xác suất, trong ... để mua cho năm 1993 UAH (Ukraine chỉ)
- Lý thuyết xác suất. , Ventcel E.S. Cuốn sách này sẽ được thực hiện theo đơn đặt hàng của bạn bằng cách sử dụng công nghệ in theo yêu cầu. Cuốn sách là một hướng dẫn được thiết kế cho những người quen thuộc với toán học trong khối lượng ...
"Tai nạn không phải là ngẫu nhiên" ... Nghe có vẻ như triết gia nói, nhưng thực tế để nghiên cứu sự ngẫu nhiên của khoa học toán học vĩ đại của toán học. Trong toán học, cơ hội lý thuyết xác suất được tham gia. Công thức và ví dụ về các nhiệm vụ, cũng như các định nghĩa chính của khoa học này sẽ được trình bày trong bài viết.
Lý thuyết khả năng là gì?
Lý thuyết xác suất là một trong những ngành toán học nghiên cứu các sự kiện ngẫu nhiên.
Để rõ ràng hơn một chút, chúng tôi cung cấp một ví dụ nhỏ: Nếu bạn ném một đồng xu, nó có thể rơi "Eagle" hoặc "rộng". Trong khi đồng xu trong không khí, cả hai xác suất này đều có thể. Đó là, xác suất của hậu quả có thể xảy ra tương quan 1: 1. Nếu bạn rút một trong các bộ bài với 36 thẻ, thì xác suất sẽ được chỉ định là 1:36. Có vẻ như không có gì để khám phá và dự đoán, đặc biệt là với sự trợ giúp của các công thức toán học. Tuy nhiên, nếu bạn lặp lại một hành động nhất định nhiều lần, có thể xác định một số tính đều đặn và dựa trên nó để dự đoán kết quả của các sự kiện trong các điều kiện khác.
Nếu chúng ta khái quát tất cả những điều trên, lý thuyết xác suất trong một sự hiểu biết cổ điển là khám phá khả năng một trong những sự kiện có thể trong giá trị số.
Từ trang lịch sử
Lý thuyết về xác suất, các công thức và ví dụ về các nhiệm vụ đầu tiên xuất hiện trở lại trong khoảng cách trung niên, khi cố gắng dự đoán kết quả của các trò chơi bài lần đầu tiên.
Ban đầu, lý thuyết xác suất không có bất cứ thứ gì chung với toán học. Nó hợp lý với các sự kiện hoặc tính chất thực nghiệm của một sự kiện có thể được sao chép trong thực tế. Công việc đầu tiên trong lĩnh vực này như trong kỷ luật toán học xuất hiện trong thế kỷ XVII. Trang trại Pascal và Pierre là Brush hơn Blazers. Trong một thời gian dài, họ đã nghiên cứu đánh bạc và thấy một số mô hình mà họ quyết định nói với xã hội.
Kỹ thuật tương tự đã được phát minh bởi các Kitô hữu Huygens, mặc dù ông không quen thuộc với kết quả nghiên cứu về Pascal và trang trại. Khái niệm về "Lý thuyết xác suất", công thức và ví dụ, được coi là người đầu tiên trong lịch sử kỷ luật, được giới thiệu bởi họ.
Jacob Bernoulli, Laplas và Poisson Các định lý có tầm quan trọng quan trọng. Họ đã đưa ra lý thuyết về xác suất giống như kỷ luật toán học. Quan điểm hiện tại của lý thuyết xác suất, công thức và ví dụ về các nhiệm vụ cơ bản đã thu được nhờ các tiên đề của Kolmogorov. Là kết quả của tất cả các thay đổi, lý thuyết xác suất đã trở thành một trong những phần toán học.
Các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất. Sự kiện
Khái niệm chính của kỷ luật này là sự kiện. Sự kiện là ba loài:
- Đáng tin cậy Những người sẽ xảy ra trong bất kỳ trường hợp nào (đồng xu sẽ rơi).
- Không thể nào. Các sự kiện sẽ không xảy ra với bất kỳ loại nào (đồng xu sẽ vẫn treo trong không khí).
- Ngẫu nhiên. Những người sẽ xảy ra hoặc sẽ không xảy ra. Chúng có thể ảnh hưởng đến các yếu tố khác nhau rất khó dự đoán. Nếu chúng ta nói về một đồng xu, thì các yếu tố ngẫu nhiên có thể ảnh hưởng đến kết quả: các đặc điểm vật lý của đồng xu, hình dạng của nó, vị trí ban đầu, lực ném, v.v.
Tất cả các sự kiện trong các ví dụ được ký hiệu bởi các chữ cái Latin vốn, ngoại trừ P, được chỉ định một vai trò khác. Ví dụ:
- A \u003d "Học sinh đã đến bài giảng."
- Ā \u003d "Học sinh đã không đi đến bài giảng."
Trong các nhiệm vụ thực tế, các sự kiện được chấp nhận để ghi lại các từ.
Một trong những đặc điểm quan trọng nhất của các sự kiện là trạng thái cân bằng của chúng. Đó là, nếu bạn ném một đồng xu, tất cả các tùy chọn cho mùa thu ban đầu là có thể cho đến khi nó rơi. Nhưng cũng sự kiện không bằng nhau. Điều này xảy ra khi ai đó đặc biệt ảnh hưởng đến kết quả. Ví dụ: "dán nhãn" thẻ chơi hoặc chơi xương trong đó trung tâm của trọng lực được dịch chuyển.
Ngay cả các sự kiện là tương thích và không tương thích. Các sự kiện tương thích không loại trừ lẫn nhau. Ví dụ:
- A \u003d "Học sinh đã đến bài giảng."
- B \u003d "Học sinh đã đến bài giảng."
Những sự kiện này độc lập với nhau, và sự xuất hiện của một trong số họ không ảnh hưởng đến sự xuất hiện của người khác. Các sự kiện không tương thích được xác định bởi thực tế là sự xuất hiện của một người loại bỏ sự xuất hiện của người khác. Nếu chúng ta nói về cùng một đồng tiền, thì sự mất mát của "món ăn" khiến nó không thể xuất hiện "Eagle" trong cùng một thí nghiệm.
Hành động trên các sự kiện
Các sự kiện có thể được nhân lên và gấp lại, tương ứng, dây chằng logic "và" và "hoặc" được giới thiệu trong kỷ luật.
Số tiền được xác định bởi thực tế là một sự kiện a, hoặc b hoặc hai lần xuất hiện đồng thời. Trong trường hợp khi chúng không tương thích, tùy chọn cuối cùng là không thể, rơi ra hoặc A, hoặc V.
Nhân các sự kiện là sự xuất hiện của A và cùng một lúc.
Bây giờ bạn có thể đưa ra một vài ví dụ để ghi nhớ những điều cơ bản, lý thuyết về xác suất và công thức. Ví dụ về các giải pháp nhiệm vụ tiếp theo.
Tập thể dục 1.: Công ty tham gia cuộc thi cho hợp đồng cho ba loại công việc. Sự kiện có thể xảy ra:
- A \u003d "Công ty sẽ nhận được hợp đồng đầu tiên."
- Và 1 \u003d "Công ty sẽ không nhận được hợp đồng đầu tiên."
- B \u003d "Công ty sẽ nhận được hợp đồng thứ hai."
- Trong 1 \u003d "Công ty sẽ không nhận được hợp đồng thứ hai"
- C \u003d "Công ty sẽ nhận được hợp đồng thứ ba."
- Từ 1 \u003d "Công ty sẽ không nhận được hợp đồng thứ ba."
Sử dụng hành động trên các sự kiện, hãy thử thể hiện các tình huống sau:
- K \u003d "Công ty sẽ nhận được tất cả các hợp đồng."
Ở dạng toán học, phương trình sẽ có dạng sau: K \u003d ABC.
- M \u003d "Công ty sẽ không nhận được một hợp đồng duy nhất."
M \u003d A 1 trong 1 S 1.
Hoàn thành nhiệm vụ: H \u003d "Công ty sẽ nhận được một hợp đồng." Vì nó không biết chính xác loại hợp đồng nào sẽ nhận được một công ty (thứ nhất, thứ hai hoặc thứ ba), cần phải ghi lại toàn bộ các sự kiện có thể xảy ra:
N \u003d A 1 SUN 1 AV 1 C 1 υ A 1 trong 1 C.
Và 1 Sun 1 là một số sự kiện nơi công ty không nhận được hợp đồng đầu tiên và thứ ba, nhưng nhận được thứ hai. Các sự kiện có thể khác được ghi lại bằng phương pháp tương ứng. Biểu tượng υ trong ngành học chỉ ra gói "hoặc". Nếu chúng tôi dịch ví dụ nhất định về ngôn ngữ của con người, công ty sẽ nhận được hoặc hợp đồng thứ ba, hoặc thứ hai hoặc đầu tiên. Tương tự, các điều kiện khác có thể được ghi lại trong lĩnh vực "lý thuyết xác suất". Công thức và ví dụ về việc giải quyết các nhiệm vụ được trình bày ở trên sẽ giúp tự làm.
Trên thực tế, xác suất
Có lẽ, trong kỷ luật toán học này, khả năng của một sự kiện là một khái niệm trung tâm. Có 3 định nghĩa xác suất:
- cổ điển;
- thống kê;
- hình học.
Mỗi người có vị trí của nó trong nghiên cứu xác suất. Lý thuyết về xác suất, công thức và ví dụ (lớp 9) chủ yếu sử dụng một định nghĩa cổ điển nghe như thế này:
- Xác suất của tình huống bằng tỷ lệ của số lượng kết quả, giúp sự xuất hiện của nó, với số lượng kết quả có thể xảy ra.
Công thức trông như thế này: P (a) \u003d m / n.
A - thực sự, sự kiện. Nếu trường hợp xuất hiện đối diện A, nó có thể được viết dưới dạng ā hoặc 1.
m là số trường hợp thuận lợi có thể.
n - tất cả các sự kiện có thể xảy ra.
Ví dụ: a \u003d "kéo thẻ của bộ đồ sâu." Trong một bộ bài 36 thẻ tiêu chuẩn, 9 trong số chúng giun. Theo đó, công thức để giải quyết nhiệm vụ sẽ là:
P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.
Do đó, khả năng thẻ của bộ đồ sâu sẽ được rút ra khỏi bộ bài, sẽ là 0,25.
Đến toán cao hơn
Bây giờ nó đã trở nên ít biết đến lý thuyết về xác suất, các công thức và ví dụ về việc giải quyết các nhiệm vụ bắt gặp trong chương trình của trường. Tuy nhiên, lý thuyết xác suất gặp nhau trong toán học cao hơn, được dạy trong các trường đại học. Hầu hết thường được vận hành bởi các định nghĩa hình học và thống kê về lý thuyết và công thức phức tạp.
Lý thuyết xác suất rất thú vị. Các công thức và ví dụ (toán học cao hơn) tốt hơn là bắt đầu học từ một số nhỏ - từ xác định xác suất thống kê (hoặc tần suất).
Cách tiếp cận thống kê không mâu thuẫn với cổ điển, và hơi mở rộng nó. Nếu trong trường hợp đầu tiên, cần xác định khả năng xảy ra sự kiện nào nhiều khả năng, sau đó trong phương pháp này, cần phải chỉ ra mức độ thường xuyên xảy ra. Ở đây, khái niệm mới về "tần số tương đối" được giới thiệu, có thể được ký hiệu bởi W n (a). Công thức không khác gì cổ điển:
Nếu công thức cổ điển được tính toán để dự đoán, thì thống kê - theo kết quả của thí nghiệm. Lấy, ví dụ, một nhiệm vụ nhỏ.
Bộ phận kiểm soát công nghệ kiểm tra các sản phẩm về chất lượng. Trong số 100 sản phẩm tìm thấy 3 chất lượng thấp. Làm thế nào để tìm xác suất tần suất của sản phẩm chất lượng?
A \u003d "Sự xuất hiện của hàng hóa chất lượng cao."
W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97
Do đó, tần số của sản phẩm chất lượng là 0,97. Bạn đã nhận được 97 ở đâu? 100 sản phẩm đã được kiểm tra, 3 sản phẩm hóa ra là chất lượng kém. Từ 100 lượt 3, chúng tôi nhận được 97, đây là lượng sản phẩm chất lượng.
Một chút về tổ hợp
Một phương pháp xác suất khác được gọi là tổ hợp. Nguyên tắc chính của nó là nếu một lựa chọn nhất định A có thể được thực hiện bằng M theo các cách khác nhau, và sự lựa chọn của B là N theo những cách khác nhau, thì sự lựa chọn A và B có thể được thực hiện bằng cách nhân lên.
Ví dụ, từ thành phố và trong thành phố dẫn đầu 5 con đường. Từ thành phố đến thành phố với 4 cách. Có bao nhiêu cách có thể đạt được từ thành phố và thành phố s?
Mọi thứ đều đơn giản: 5x4 \u003d 20, đó là hai mươi cách khác nhau có thể đạt được từ điểm A đến điểm S.
Nhiệm vụ phức tạp. Có bao nhiêu cách để đặt thẻ trong solitaire? Trong một sàn 36 thẻ - đây là điểm khởi đầu. Để tìm hiểu số lượng cách, bạn cần từ điểm ban đầu để "lấy đi" trên cùng một bản đồ và nhân lên.
Đó là, 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d kết quả sẽ không phù hợp với màn hình máy tính, vì vậy nó có thể được biểu thị đơn giản là 36 !. Ký tên "!" Gần số chỉ ra rằng toàn bộ số lượng số thay đổi với nhau.
Các tổ hợp trình bày các khái niệm như sự hoán vị, chỗ ở và sự kết hợp. Mỗi người trong số họ có công thức riêng.
Một bộ đặt hàng của bộ bộ được gọi là vị trí. Vị trí có thể được lặp lại, nghĩa là, một phần tử có thể được sử dụng nhiều lần. Và không có sự lặp lại, khi các mặt hàng không được lặp lại. n là tất cả các yếu tố, m là các yếu tố có liên quan đến chỗ ở. Công thức cho vị trí mà không cần lặp lại sẽ là:
A n m \u003d n! / (N-m)!
Các hợp chất từ \u200b\u200bN phần tử chỉ khác nhau theo thứ tự của vị trí được gọi là hoán vị. Trong toán học, nó có hình thức: p n \u003d n!
Kết hợp từ N các phần tử trên M được gọi là các hợp chất như vậy, trong đó điều quan trọng là các yếu tố nào và tổng số của chúng là bao nhiêu. Công thức sẽ xem xét:
A n m \u003d n! / M! (N-m)!
Công thức Bernoulli.
Theo lý thuyết xác suất, cũng như trong mỗi ngành học, có những công trình nổi bật trong lĩnh vực các nhà nghiên cứu đã mang nó đến một cấp độ mới. Một trong những công trình này là công thức Bernoulli, điều này có thể xác định khả năng một sự kiện nhất định trong các điều kiện độc lập. Điều này cho thấy sự xuất hiện của A trong thí nghiệm không phụ thuộc vào sự xuất hiện hoặc không xuất hiện cùng một sự kiện trong các bài kiểm tra được thực hiện trước đó hoặc tiếp theo.
Phương trình Bernoulli:
P n (m) \u003d c n m × p m × q n-m.
Xác suất (p) sự xuất hiện của một sự kiện (a) không thay đổi cho mỗi bài kiểm tra. Khả năng xảy ra tình hình sẽ xảy ra chính xác M lần trong N Số lượng thí nghiệm sẽ được tính theo công thức được trình bày ở trên. Theo đó, câu hỏi phát sinh về cách tìm ra số Q.
Nếu sự kiện xảy ra số lần tương ứng, nó có thể không đến. Đơn vị là con số được ký hiệu bởi tất cả các kết quả của tình huống trong kỷ luật. Do đó, Q là một số có nghĩa là khả năng các sự kiện chưa được mở.
Bây giờ bạn biết công thức Bernoulli (Lý thuyết xác suất). Ví dụ về việc giải quyết các nhiệm vụ (cấp độ đầu tiên) xem xét thêm.
Nhiệm vụ 2: Khách truy cập của cửa hàng sẽ mua hàng với xác suất 0,2. 6 khách truy cập đến thăm cửa hàng. Khả năng khách truy cập sẽ mua hàng là gì?
Giải pháp: Vì không biết có bao nhiêu khách truy cập nên mua hàng, một hoặc cả sáu, cần phải tính tất cả các xác suất có thể bằng công thức Bernoulli.
A \u003d "Khách truy cập sẽ mua hàng."
Trong trường hợp này: P \u003d 0,2 (như được chỉ định trong nhiệm vụ). Theo đó, Q \u003d 1-0,2 \u003d 0,8.
n \u003d 6 (kể từ khi cửa hàng có 6 khách truy cập). Số M sẽ thay đổi từ 0 (không người mua mua hàng) thành 6 (tất cả khách truy cập để lưu trữ một cái gì đó sẽ được mua). Kết quả là, chúng tôi có được một giải pháp:
P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.
Không ai trong số người mua mua hàng với xác suất 0,2621.
Làm thế nào khác là công thức Bernoulli (Lý thuyết xác suất)? Ví dụ về việc giải quyết các vấn đề (cấp độ thứ hai) tiếp theo.
Sau ví dụ trên, câu hỏi phát sinh về nơi để chia sẻ với và r. Liên quan đến P số đến mức độ 0 sẽ bằng một. Đối với C, nó có thể được tìm thấy trong công thức:
C n m \u003d n! / M! (N-m)!
Vì trong ví dụ đầu tiên M \u003d 0, tương ứng, C \u003d 1, nguyên tắc không ảnh hưởng đến kết quả. Sử dụng một công thức mới, chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu xác suất mua hàng hóa bằng hai khách.
P 6 (2) \u003d C 6 2 × P 2 × Q 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.
Không quá phức tạp về lý thuyết xác suất. Công thức Bernoulli, các ví dụ về được trình bày ở trên, đó là bằng chứng trực tiếp.
Công thức Poisson.
Phương trình Poisson được sử dụng để tính toán các tình huống ngẫu nhiên không thể.
Công thức cơ bản:
P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).
Trong trường hợp này, λ \u003d n x p. Đây là một công thức Poisson đơn giản (lý thuyết xác suất). Ví dụ về việc giải quyết các nhiệm vụ xem xét thêm.
Nhiệm vụ 3.: Tại nhà máy sản xuất các bộ phận với số lượng 100.000 chiếc. Sự xuất hiện của phần bị lỗi \u003d 0,0001. Xác suất mà 5 bộ phận bị lỗi sẽ là gì trong bữa tiệc?
Như bạn có thể thấy, hôn nhân là một sự kiện không thể xảy ra và liên quan đến việc sử dụng công thức Poisson (Lý thuyết xác suất) để tính toán. Ví dụ về việc giải quyết các vấn đề của loại này không khác gì với các nhiệm vụ khác của ngành học, trong công thức giảm, chúng tôi thay thế dữ liệu cần thiết:
A \u003d "Mục được chọn ngẫu nhiên sẽ bị lỗi."
p \u003d 0,0001 (theo điều kiện chuyển nhượng).
n \u003d 100000 (số phần).
m \u003d 5 (các bộ phận bị lỗi). Chúng tôi thay thế dữ liệu trong công thức và nhận:
P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.
Cũng như công thức Bernoulli (Lý thuyết xác suất), các ví dụ về các giải pháp với sự trợ giúp được viết ở trên, phương trình Poisson có một e không xác định. Trong thực tế, nó có thể được tìm thấy trong công thức:
e -λ \u003d lim n -\u003e ∞ (1-λ / n) n.
Tuy nhiên, có những bảng đặc biệt trong đó hầu hết các giá trị.
Định lý MohaVorate Laplace
Nếu số lượng thử nghiệm trong Bernoulli trong chương trình Bernoulli và khả năng của một sự kiện và trong tất cả các chương trình là như nhau, thì khả năng của các sự kiện và một số lần nhất định trong một loạt các thử nghiệm có thể được tìm thấy như Công thức Laplace:
P n (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).
X m \u003d m-np / √npq.
Để nhớ rõ hơn về công thức của Laplace (Lý thuyết xác suất), các ví dụ về các nhiệm vụ để giúp đỡ dưới đây.
Trước tiên chúng ta tìm thấy X M, chúng tôi thay thế dữ liệu (tất cả đều được chỉ định ở trên) trong công thức và nhận 0,025. Với sự trợ giúp của các bảng, chúng tôi tìm thấy số φ (0,025), giá trị của đó là 0,3988. Bây giờ bạn có thể thay thế tất cả dữ liệu trong công thức:
P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Do đó, xác suất tờ rơi quảng cáo sẽ hoạt động chính xác 267 lần, là 0,03.
Công thức Bayes.
Công thức Bayes (Lý thuyết xác suất), ví dụ về việc giải quyết các nhiệm vụ sẽ được hiển thị bên dưới, là một phương trình mô tả khả năng của một sự kiện, dựa trên các trường hợp có thể liên quan đến nó. Công thức chính có hình thức sau:
P (a | b) \u003d p (in | a) x p (a) / p (c).
A và B là một số sự kiện nhất định.
P (A | B) - Xác suất có điều kiện, nghĩa là một sự kiện có thể xảy ra A, với điều kiện sự kiện này là đúng.
P (trong | a) - xác suất có điều kiện của sự kiện V.
Vì vậy, phần cuối cùng của khóa học nhỏ "Lý thuyết xác suất" là công thức Bayes, các ví dụ về các giải pháp của các nhiệm vụ dưới đây.
Nhiệm vụ 5.: Kho đã mang điện thoại từ ba công ty. Đồng thời, một phần của điện thoại được sản xuất tại nhà máy đầu tiên là 25%, trong lần thứ hai - 60%, vào thứ ba - 15%. Người ta còn được biết rằng tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trung bình tại nhà máy đầu tiên là 2%, trong lần thứ hai - 4% và trong phần ba - 1%. Cần phải tìm khả năng điện thoại được chọn ngẫu nhiên sẽ bị lỗi.
A \u003d "Điện thoại lấy ngẫu nhiên."
Trong điện thoại thứ 1 đã tạo ra nhà máy đầu tiên. Theo đó, phần giới thiệu trong 2 và 3 (cho các nhà máy thứ hai và thứ ba) sẽ xuất hiện.
Kết quả là, chúng tôi nhận được:
P (trong 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (trong 2) \u003d 0,6; P (trong 3) \u003d 0,15 - vì vậy chúng tôi đã tìm thấy khả năng của mỗi tùy chọn.
Bây giờ bạn cần tìm xác suất có điều kiện của sự kiện mong muốn, nghĩa là xác suất sản phẩm bị lỗi trong các công ty:
P (a / trong 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;
P (a / in 2) \u003d 0,04;
P (a / trong 3) \u003d 0,01.
Bây giờ chúng tôi sẽ thay thế dữ liệu trong công thức Bayes và nhận:
P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
Bài báo trình bày lý thuyết xác suất, công thức và ví dụ về việc giải quyết vấn đề, nhưng nó chỉ là đỉnh của kỷ luật mở rộng Iceberg. Và sau tất cả bằng văn bản, sẽ logic để hỏi liệu lý thuyết về xác suất là cần thiết trong cuộc sống. Thật khó để trả lời một người đơn giản để trả lời, tốt hơn là hỏi về điều đó, với sự giúp đỡ của cô ấy, không phá vỡ mồ hôi.
