Пропорционални отсечки на права во правоаголен триаголник. Лекција „пропорционални линии во правоаголен триаголник“ Пропорционални линии во правоаголен триаголник излез
Знак за сличност на правоаголни триаголници
Прво да го воведеме критериумот за сличност за правоаголните триаголници.
Теорема 1
Знак за сличност на правоаголни триаголници: два правоаголни триаголници се слични кога имаат еден еднаков остар агол (сл. 1).
Слика 1. Слични правоаголни триаголници
Доказ.
Да ни се даде дека $ \ агол B = \ агол B_1 $. Бидејќи триаголниците се правоаголни, тогаш $ \ агол A = \ агол A_1 = (90) ^ 0 $. Затоа, тие се слични во првиот знак на сличност на триаголниците.
Теоремата е докажана.
Теорема за висина во правоаголен триаголник
Теорема 2
Висината на правоаголниот триаголник, извлечена од темето на правиот агол, го дели триаголникот на два слични правоаголни триаголници, од кои секој е сличен на овој триаголник.
Доказ.
Да ни биде даден правоаголен триаголник $ ABC $ со прав агол $ C $. Да ја нацртаме висината $ CD $ (сл. 2).
Слика 2. Илустрација на теорема 2
Да докажеме дека триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични на триаголникот $ ABC $ и дека триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични еден на друг.
Бидејќи $ \ агол ADC = (90) ^ 0 $, триаголникот $ ACD $ е правоаголен. Триаголниците $ ACD $ и $ ABC $ имаат заеднички агол $ A $, затоа, според теорема 1, триаголниците $ ACD $ и $ ABC $ се слични.
Бидејќи $ \ агол BDC = (90) ^ 0 $, триаголникот $ BCD $ е правоаголен. Триаголниците $ BCD $ и $ ABC $ имаат заеднички агол $ B $, затоа, според теорема 1, триаголниците $ BCD $ и $ ABC $ се слични.
Сега разгледајте ги триаголниците $ ACD $ и $ BCD $
\ [\ агол A = (90) ^ 0- \ агол ACD \] \ [\ агол BCD = (90) ^ 0- \ агол ACD = \ агол A \]
Според тоа, според теорема 1, триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични.
Теоремата е докажана.
Пропорционална средина
Теорема 3
Висината на правоаголниот триаголник, извлечена од темето на правиот агол, е пропорционален просек за отсечките на кои висината ја дели хипотенузата на овој триаголник.
Доказ.
Според теорема 2, имаме дека триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични, оттука
Теоремата е докажана.
Теорема 4
Кракот на правоаголен триаголник е просечната пропорционалност помеѓу хипотенузата и сегментот на хипотенузата затворен помеѓу кракот и висината извлечена од врвот на аголот.
Доказ.
Во докажувањето на теоремата ќе ја користиме ознаката од Слика 2.
Според теорема 2, имаме дека триаголниците $ ACD $ и $ ABC $ се слични, оттука
Теоремата е докажана.
Цели на лекцијата:
- воведување на концептот на пропорционален просек (геометриска средина) на два сегменти;
- разгледајте го проблемот со пропорционалните отсечки во правоаголен триаголник: својството на висината на правоаголен триаголник, извлечен од темето на прав агол;
- да формираат вештини кај учениците за користење на изучената тема во процесот на решавање проблеми.
Тип на лекција:лекција за учење нов материјал.
План:
- Организациски момент.
- Ажурирање на знаењето.
- Проучување на својството на висината на правоаголен триаголник, извлечен од темето на прав агол:
- подготвителна фаза;
- вовед;
- асимилација. - Воведување на концептот на средина пропорционална на два сегменти.
- Совладување на концептот на просечна пропорционална на два сегменти.
- Доказ за последиците:
- висината на правоаголен триаголник, извлечен од врвот на правиот агол, е пропорционален просек помеѓу отсечките на кои е поделена хипотенузата со оваа висина;
- кракот на правоаголен триаголник е просечна пропорционална помеѓу хипотенузата и сегментот на хипотенузата, затворена помеѓу катетата и висината. - Решавање проблеми.
- Сумирајќи.
- Поставување домашна задача.
За време на часовите
I. ОРГМОМЕНТ
- Здраво момци, седнете. Дали сите се подготвени за лекцијата?
Започнување.
II. АЖУРИРАЊЕ НА ЗНАЕЊЕТО
- Кој важен математички концепт го запознавте на претходните часови? ( со концептот на сличност на триаголници)
- Да се потсетиме кои два триаголници се нарекуваат слични? (два триаголници се нарекуваат слични ако нивните агли се соодветно еднакви и страните на едниот триаголник се пропорционални на сличните страни на другиот триаголник)
- Што користиме за да ја докажеме сличноста на два триаголници? (
- Формулирајте ги овие знаци (формулирајте три критериуми за сличност на триаголниците)
III. ПРОУЧУВАЊЕ НА СВОЈСТВАТА НА ВИСИНАТА НА ПРАВОАГОЛЕН ТРИАГОЛНИК ИЗВРШЕН ОД ВРВ НА ПРАВИОТ АГОЛ
а) подготвителна фаза
- Момци, ве молиме погледнете го првиот слајд. ( Апликација) Еве два правоаголни триаголници - и. и - висини и, соодветно. 
.
Задача 1.а)Определете дали и се слични.
- Што користиме за да ја докажеме сличноста на триаголниците? ( знаци на сличност на триаголници)
(првиот знак, бидејќи во проблемот ништо не се знае за страните на триаголниците)
... (Два пара: 1.∟B = ∟B1 (прави линии), 2.∟A = ∟A 1)
- Направете заклучок. ( со првиот знак на сличност на триаголниците ~)
Задача 1.б)Определете дали и се слични.
- Каков знак на сличност ќе користиме и зошто? (првиот знак, бидејќи во проблемот ништо не се знае за страните на триаголниците)
- Колку пара еднакви агли треба да најдеме? Најдете ги овие парови (бидејќи триаголниците се правоаголни, доволно е еден пар еднакви агли: ∟A = ∟A 1)
- Направете заклучок. (со првиот знак за сличност на триаголниците, заклучуваме дека овие триаголници се слични).
Како резултат на разговорот, слајдот 1 изгледа вака:
б) откривање на теоремата
Задача 2.
- Определи дали и, и се слични. Како резултат на разговорот се градат одговорите кои се рефлектираат на слајдот.
- Сликата го покажа тоа. Дали ја користевме оваа мерка за степен кога одговаравме на прашањата од задачите? ( Не, не користевме)
- Момци, извлечете заклучок: на кои триаголници правоаголниот триаголник ја дели висината извлечена од темето на правиот агол? (заклучи)
- Се поставува прашањето: дали овие два правоаголни триаголници, на кои висината го дели правоаголниот триаголник, ќе бидат слични еден на друг? Ајде да се обидеме да најдеме парови на еднакви агли.
Како резултат на разговорот, се гради запис:
- И сега да донесеме целосен заклучок. ( ЗАКЛУЧОК: висината на правоаголен триаголник, извлечена од темето на прав агол, го дели триаголникот на два допаѓа
- Тоа. ја формулиравме и докажавме теоремата за својството на висината на правоаголен триаголник.
Да ја утврдиме структурата на теоремата и да направиме цртеж. Што е дадено во теоремата и што треба да се докаже? Учениците пишуваат во тетратка:
- Да ја докажеме првата точка од теоремата за новиот цртеж. Која карактеристика на сличност ќе ја користиме и зошто? (Првата, бидејќи во теоремата ништо не се знае за страните на триаголниците)
- Колку пара еднакви агли треба да најдеме? Најдете ги овие парови. (Во овој случај, доволен е еден пар: ∟A-заедничко)
- Направете заклучок. Триаголниците се слични. Како резултат на тоа, прикажан е примерок од формулацијата на теоремата
- Втората и третата точка запишете ги сами дома.
в) асимилација на теоремата
- Значи, формулирајте ја теоремата повторно (Висината на правоаголен триаголник, извлечена од темето на правиот агол, го дели триаголникот на два допаѓаправоаголни триаголници, од кои секој е сличен на овој)
- Колку пара слични триаголници во конструкцијата „во правоаголен триаголник висината е извлечена од темето на правиот агол“ дозволува да се најдат оваа теорема? ( Три пара)
На студентите им се нуди следната задача:
IV. ВОВЕД НА ПОИМОТ НА ПРОСЕЧЕН ПРОПОРЦИОНАЛ НА ДВЕ ДОЛИЖИНИ
- И сега ќе проучуваме нов концепт со вас.
Внимание!
Дефиниција.Секција XYповикани просечна пропорционална (геометриска средина)помеѓу сегментите АБи ЦД, ако
(напиши во тетратка).
V. ЗАДАДЕЊЕ НА ПОИМОТ НА ПРОСЕЧЕН ПРОПОРЦИОНАЛ НА ДВЕ ИНТЕРАКЦИИ
- Сега да се свртиме кон следниот слајд.
Вежба 1.Најдете ја должината на средината на пропорционалните отсечки MN и KP, ако MN = 9 cm, KP = 16 cm.
- Што е дадено во проблемот? ( Два сегменти и нивните должини: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
- Што треба да најдеш? ( Должината на просечната пропорционална на овие сегменти)
- Која е формулата за пропорционална средина и како ја наоѓаме?
(Ги заменуваме податоците во формулата и ја наоѓаме должината на просечниот реквизит.)
Задача број 2.Најдете ја должината на отсечката AB ако просечната пропорционална на отсечките AB и CD е 90 cm и CD = 100 cm
- Што е дадено во проблемот? (должината на отсечката CD = 100 cm, а просечната пропорционална на отсечките AB и CD е 90 cm)
- Што треба да најдете во проблемот? ( Должина на сегментот AB)
- Како ќе го решиме проблемот? (Ја пишуваме формулата за просекот на пропорционалните отсечки AB и CD, ја изразуваме должината AB од неа и ги заменуваме податоците за проблемот.)
Vi. ЗАКЛУЧОК НА ПОСЛЕДИЦИТЕ
- Браво момци. Сега да се вратиме на сличноста на триаголниците, што ја докажавме во теоремата. Формулирајте ја теоремата повторно. ( Висината на правоаголен триаголник, извлечена од темето на правиот агол, го дели триаголникот на два допаѓаправоаголни триаголници, од кои секој е сличен на даден)
- Прво да ја искористиме сличноста на триаголниците и. Што следи од ова? ( По дефиниција за сличност, страните се пропорционални на сличностите)
- Каква еднаквост ќе се добие при користење на главното својство на пропорција? ()
- Изрази ЦД и донесе заклучок (
;
.
Излез: висината на правоаголен триаголник, извлечен од темето на правиот агол, е пропорционален просек помеѓу отсечките на кои е поделена хипотенузата со оваа висина)
- И сега докажете се дека кракот на правоаголен триаголник е просечна пропорционална помеѓу хипотенузата и отсечката на хипотенузата затворена помеѓу катетата и висината. Да ги најдеме од - ... отсечките на кои е поделена хипотенузата по оваа висина )
Кракот на правоаголен триаголник е просечна пропорционална помеѓу ... (- ... хипотенузата и отсечката од хипотенузата затворена помеѓу овој крак и висината )
- Каде ги применуваме научените искази? ( При решавање на проблеми)
IX. ДОМАШНА ЗАДАЧА
d/s:бр.571, бр.572 (а, г), самостојна работа во тетратка, теорија.
Денес го покануваме вашето внимание на уште една презентација на неверојатна и мистериозна тема - геометрија. Во оваа презентација ќе ве запознаеме со новото својство на геометриските форми, особено со концептот на пропорционални отсечки на линии во правоаголни триаголници.
Прво, треба да запомните што е триаголник? Ова е наједноставниот многуаголник, кој се состои од три темиња поврзани со три линии. Правоаголен триаголник се нарекува триаголник во кој еден од аглите е 90 степени. Веќе подетално се запознавте со нив во нашите претходни материјали за обука презентирани на вашето внимание.
Значи, враќајќи се на нашата денешна тема, со цел да означиме дека висината на правоаголен триаголник, нацртан од агол од 90 степени, го дели на два триаголници, кои се слични и еден на друг и на оригиналот. Сите слики и графикони за кои ве интересира се дадени во предложената презентација и ви препорачуваме да ги контактирате, придружувајќи го опишаното објаснување.
Графички пример на горната теза може да се види на вториот слајд. Врз основа на првиот знак за сличност на триаголниците, триаголниците се слични, бидејќи имаат два идентични агли. Ако наведете подетално, тогаш висината, спуштена до хипотенузата, формира прав агол со неа, односно веќе има исти агли, а секој од формираните агли има и еден заеднички агол како почетниот. Резултатот е два агли кои се еднакви еден на друг. Тоа е, триаголниците се слични.
Да означиме и што значи концептот „пропорционално значење“ или „геометриско значење“? Ова е одредена отсечка XY за отсечките AB и CD, кога е еднаква на квадратниот корен од производот од нивните должини.
Од што, исто така, произлегува дека кракот на правоаголен триаголник е геометриската средина помеѓу хипотенузата и проекцијата на оваа катета врз хипотенузата, односно другата катета.
Друго од својствата на правоаголен триаголник е тоа што неговата висина, нацртана од агол од 90 °, е просечна пропорционална пропорција помеѓу проекциите на краците на хипотенузата. Ако се повикате на презентацијата понудена на вашето внимание и други материјали, ќе видите дека постои доказ за оваа теза во многу едноставна и достапна форма. Претходно веќе докажавме дека добиените триаголници се слични едни на други и на оригиналниот триаголник. Потоа, користејќи го соодносот на краците на овие геометриски фигури, доаѓаме до фактот дека висината на правоаголен триаголник е директно пропорционална со квадратниот корен на производот на отсечките што се формирани како резултат на намалувањето на висината. од прав агол на првобитниот триаголник.
Последната во презентацијата покажа дека кракот на правоаголен триаголник е геометриската средина за хипотенузата и нејзиниот сегмент кој се наоѓа помеѓу кракот и висината, нацртан од агол од 90 степени. Овој случај треба да се разгледа од страната дека наведените триаголници се слични еден на друг, а кракот на едниот од нив се добива со хипотенузата на другиот. Но, ќе се запознаете со ова подетално со проучување на предложените материјали.
Лекција 40. Пропорционални отсечки на права во правоаголен триаголник. C. b. а. ч. C. п.н.е. H. ac. A. V. Висината на правоаголниот триаголник, извлечена од темето на правиот агол, го дели триаголникот на 2 слични правоаголни триаголници, од кои секој е сличен на овој триаголник. Знак за сличност на правоаголните триаголници. Два правоаголни триаголници се слични ако имаат еднаков остар агол. Отсечката XY се нарекува пропорционален просек (геометриска средина) за отсечките AB и CD, ако Својството 1. Висината на правоаголен триаголник, извлечен од темето на правиот агол, е пропорционален просек помеѓу проекциите на нозете до хипотенузата. Својство 2. Кратката на правоаголен триаголник е просечната пропорционалност помеѓу хипотенузата и проекцијата на оваа катета врз хипотенузата.
Слајд 28од презентацијата „Геометрија“ Слични триаголници „“... Големината на архивата со презентацијата е 232 KB.Геометрија 8 одделение
резимеа на други презентации„Решавање проблеми на Питагоровата теорема“ - рамнокрак триаголник ABC. Практична примена на Питагоровата теорема. AVSD е четириаголник. Квадратна површина. Најдете авиони. Доказ. Основите на рамнокрак трапез. Размислете за Питагоровата теорема. Областа на четириаголникот. Правоаголни триаголници. Питагорова теорема. Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите.
„Наоѓање на областа на паралелограм“ - основа. Висина. Определување на висината на паралелограмот. Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници. Паралелограмска област. Најдете ја плоштината на триаголникот. Својства на области. Орални вежби. Најдете ја плоштината на паралелограмот. Висини на паралелограми. Најдете го периметарот на квадратот. Плоштина на триаголник. Најдете ја областа на плоштадот. Најдете ја плоштината на правоаголникот. Квадратна површина.
„Плоштад“ 8 одделение „- Црн квадрат. Задачи за усна работа околу периметарот на плоштадот. Квадратна површина. Знаци на квадрат. Плоштадот е меѓу нас. Квадрат е правоаголник со сите страни еднакви. Плоштад. Торба со квадратна основа. Усни задачи. Колку квадрати се прикажани на сликата. Квадратни својства. Богат трговец. Задачи за усна работа на површина на квадрат. Периметарот на плоштадот.
„Одредување на аксијална симетрија“ - Точки што лежат на иста нормална. Нацртајте две прави линии. Градба. Точки на заплетот. Прашај. Форми кои не се аксијално симетрични. Секција. Недостасуваат координати. Слика. Форми со повеќе од две оски на симетрија. Симетрија. Симетријата во поезијата. Изградете триаголници. Оски на симетрија. Создавање сегмент. Зацртување точка. Форми со две оски на симетрија. Народи. Триаголници. Пропорционалност.
„Дефиниција на слични триаголници“ - многуаголници. Пропорционални отсечки на линии. Односот на плоштините на слични триаголници. Два триаголници се нарекуваат слични. Услови. Конструирај триаголник од дадените два агли и симетралата на темето. Да речеме дека треба да го одредите растојанието до објавата. Третиот знак за сличност на триаголниците. Ајде да изградиме некој вид триаголник. ABC. Триаголниците ABC и ABC се еднакви на три страни. Одредување на висината на објектот.
„Решение на Питагоровата теорема“ - Делови од прозорци. Наједноставен доказ. Хамураби. Дијагонала. Целосен доказ. Доказ за одземање. Питагорејци. Доказ со метод на проширување. Историја на теоремата. Дијаметар. Доказ со комплемент метод. Доказот на Епштајн. Кантор. Триаголници. Следбеници. Примени на Питагоровата теорема. Питагорова теорема. Изјава на теоремата. Доказот на Перигал. Примена на теоремата.
Знак за сличност на правоаголни триаголници
Прво да го воведеме критериумот за сличност за правоаголните триаголници.
Теорема 1
Знак за сличност на правоаголни триаголници: два правоаголни триаголници се слични кога имаат еден еднаков остар агол (сл. 1).
Слика 1. Слични правоаголни триаголници
Доказ.
Да ни се даде дека $ \ агол B = \ агол B_1 $. Бидејќи триаголниците се правоаголни, тогаш $ \ агол A = \ агол A_1 = (90) ^ 0 $. Затоа, тие се слични во првиот знак на сличност на триаголниците.
Теоремата е докажана.
Теорема за висина во правоаголен триаголник
Теорема 2
Висината на правоаголниот триаголник, извлечена од темето на правиот агол, го дели триаголникот на два слични правоаголни триаголници, од кои секој е сличен на овој триаголник.
Доказ.
Да ни биде даден правоаголен триаголник $ ABC $ со прав агол $ C $. Да ја нацртаме висината $ CD $ (сл. 2).
Слика 2. Илустрација на теорема 2
Да докажеме дека триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични на триаголникот $ ABC $ и дека триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични еден на друг.
Бидејќи $ \ агол ADC = (90) ^ 0 $, триаголникот $ ACD $ е правоаголен. Триаголниците $ ACD $ и $ ABC $ имаат заеднички агол $ A $, затоа, според теорема 1, триаголниците $ ACD $ и $ ABC $ се слични.
Бидејќи $ \ агол BDC = (90) ^ 0 $, триаголникот $ BCD $ е правоаголен. Триаголниците $ BCD $ и $ ABC $ имаат заеднички агол $ B $, затоа, според теорема 1, триаголниците $ BCD $ и $ ABC $ се слични.
Сега разгледајте ги триаголниците $ ACD $ и $ BCD $
\ [\ агол A = (90) ^ 0- \ агол ACD \] \ [\ агол BCD = (90) ^ 0- \ агол ACD = \ агол A \]
Според тоа, според теорема 1, триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични.
Теоремата е докажана.
Пропорционална средина
Теорема 3
Висината на правоаголниот триаголник, извлечена од темето на правиот агол, е пропорционален просек за отсечките на кои висината ја дели хипотенузата на овој триаголник.
Доказ.
Според теорема 2, имаме дека триаголниците $ ACD $ и $ BCD $ се слични, оттука
Теоремата е докажана.
Теорема 4
Кракот на правоаголен триаголник е просечната пропорционалност помеѓу хипотенузата и сегментот на хипотенузата затворен помеѓу кракот и висината извлечена од врвот на аголот.
Доказ.
Во докажувањето на теоремата ќе ја користиме ознаката од Слика 2.
Според теорема 2, имаме дека триаголниците $ ACD $ и $ ABC $ се слични, оттука
Теоремата е докажана.
