Способы решения дробно рациональных уравнений. Решение целых и дробно рациональных уравнений
Решение дробно-рациональных уравнений
Справочное пособие
Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.
(Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления - например: 6x; (m – n)2; x/3y и т.п.)
Дробно-рациональные уравнения, как правило, приводятся к виду:
Где P (x ) и Q (x ) – многочлены.
Для решения подобных уравнений умножить обе части уравнения на Q(x), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, при решении дробно-рациональных уравнений необходима проверка найденных корней.
Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.
Примеры целого рационального уравнения:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2x – 10
4
Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.
Пример дробного рационального уравнения:
15
x + - = 5x – 17
x
Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:
1) находят общий знаменатель дробей и умножают на него обе части уравнения;
2) решают получившееся целое уравнение;
3) исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.
Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.
Пример 1. Решим целое уравнение
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Решение:
Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:
3(x – 1) + 4x 5х
------ = --
6 6
Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение:
3(x – 1) + 4x = 5х.
Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:
3х – 3 + 4х = 5х
3х + 4х – 5х = 3
Пример решен.
Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:
х 2 – 3х x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:
х 2 – 3x + x – 5 = x + 5
х 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
х 2 – 3x – 10 = 0.
Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5.
Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.
При x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.
При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: x = –2
Ещё примеры
Пример 1.
x 1 =6, x 2 = - 2,2.
Ответ:-2,2;6.
Пример 2.
Уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это - алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Если r(х) - рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.
Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) - рациональные выражения.
До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению
. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.
Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде
При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем
Вспомним условия равенства дроби
нулю: тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:
1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля ).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим
Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения (1), что . Значения х 1 = 2 и х 2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.
1) Преобразуем уравнение к виду
2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:
(одновременно изменили знаки в числителе и
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид
3) Решим уравнение х 2 - 6x + 8 = 0. Находим
4) Для найденных значений проверим выполнение условия 
. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 - нет. Значит, 4 - корень заданного уравнения, а 2 - посторонний корень.
О т в е т: 4.
2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной
Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.
Пример 3. Решить уравнение х 4 + х 2 - 20 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = х 2 . Так как х 4 = (х 2) 2 = у 2 , то заданное уравнение можно переписать в виде
у 2 + у - 20 = 0.
Это - квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы
; получим у 1 = 4, у 2 = - 5.
Но у = х 2 , значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x 2 =4; х 2 =-5.
Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Уравнение вида ах 4 + bx 2 +c = 0 называют биквадратным уравнением («би» - два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х 2 , решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х 2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х 2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной
- и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):
А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.
1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:
= 0
2) Преобразуем левую часть уравнения
Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду
3) Из уравнения - 7у 2 + 29у -4 = 0 находим (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).
4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1). Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: 
Поскольку у = х 2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и , - нам еще предстоит решить два уравнения: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх = . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения - числа
В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.
Пример 5.
Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х 2 - Зх.
С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у 2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два уравнения х 2 - Зх = 4 и х 2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х 1 = 4, х 2 = - 1; второе уравнение не имеет корней.
О т в е т: 4, - 1.
Цели урока:
Обучающая:
- формирование понятия дробных рационального уравнения;
- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
Развивающая:
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской работы.
Воспитывающая:
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока : урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
- Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
- Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
- Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
- Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
- Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
- Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Ответ : 10.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)
х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Ответ : 1,5.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
х 2 -7х+12 = 0
D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.
Ответ : 3;4.
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
(х 2 -2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5) |
|
||
(х 2 -2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0 |
х 2 -2х-5=х+5 |
||
х(х-5)(х 2 -2х-5-(х+5))=0 |
х 2 -2х-5-х-5=0 |
||
х(х-5)(х 2 -3х-10)=0 |
|||
х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0 |
|||
х 1 =0 х 2 =5 D=49 |
|||
х 3 =5 х 4 =-2 |
х 3 =5 х 4 =-2 |
||
Ответ : 0;5;-2. |
Ответ : 5;-2. |
Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?
До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.
- Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .)
- Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
- Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)
При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.
х 2 -3х-10=0 , D=49 , х 1 =5 , х 2 =-2.
Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.
Если х=-2, то х(х-5)≠0.
Ответ : -2.
Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:
- Перенести все в левую часть.
- Привести дроби к общему знаменателю.
- Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
- Решить уравнение.
- Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
- Записать ответ.
Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).
4. Первичное осмысление нового материала.
Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.
б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.
в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.
а) Ответ: -12,5.
ж) Ответ: 1;1,5.
5. Постановка домашнего задания.
- Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
- Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
- Решить в тетрадях № 600(а,г,д); №601(г,з).
- Попробовать решить №696(а)(по желанию).
6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.
Работа выполняется на листочках.
Пример задания:
А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?
Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .
В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?
Г) Решить уравнение №7.
Критерии оценивания задания:
- «5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания.
- «4» - 75%-89%
- «3» - 50%-74%
- «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
- Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.
7. Рефлексия.
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
- 1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
- 2 – интересно, но не понятно;
- 3 – не интересно, но понятно;
- 4 – не интересно, не понятно.
8. Подведение итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.
Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?
Всем спасибо, урок окончен.
Продолжаем разговор про решение уравнений . В этой статье мы подробно остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Сначала разберемся, уравнения какого вида называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробных рациональных уравнений, приведем примеры. Дальше получим алгоритмы решения рациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим решения характерных примеров со всеми необходимыми пояснениями.
Навигация по странице.
Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x=1 , 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0 , , - это все рациональные уравнения.
Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными. В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.
Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.
Определение.
Рациональное уравнение называют целым , если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.
Определение.
Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно рациональным (или дробным рациональным).
Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную, напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Так 3·x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5 – это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями. А и x:(5·x 3 +y 2)=3:(x−1):5 – примеры дробных рациональных уравнений.
Завершая этот пункт, обратим внимание на то, что известные к этому моменту линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.
Решение целых уравнений
Одним из основных подходов к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям . Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения :
- сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
- после этого в левой части уравнения образовавшееся стандартного вида.
В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае – к решению алгебраического уравнения степени n . Для наглядности разберем решение примера.
Пример.
Найдите корни целого уравнения 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3 .
Решение.
Сведем решение этого целого уравнения к решению равносильного ему алгебраического уравнения. Для этого, во-первых, перенесем выражение из правой части в левую, в результате приходим к уравнению 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0 . И, во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части, в многочлен стандартного вида, выполнив необходимые : 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3·x+3)·(x−3)−2·x 2 +x+3= 3·x 2 −9·x+3·x−9−2·x 2 +x+3=x 2 −5·x−6 . Таким образом, решение исходного целого уравнения сводится к решению квадратного уравнения x 2 −5·x−6=0 .
Вычисляем его дискриминант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49
, он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле корней квадратного уравнения :
Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения . Сначала проверяем корень 6 , подставляем его вместо переменной x в исходное целое уравнение: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 , что то же самое, 63=63 . Это верное числовое равенство, следовательно, x=6 действительно является корнем уравнения. Теперь проверяем корень −1 , имеем 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3 , откуда, 0=0 . При x=−1 исходное уравнение также обратилось в верное числовое равенство, следовательно, x=−1 тоже является корнем уравнения.
Ответ:
6 , −1 .
Здесь еще нужно заметить, что с представлением целого уравнения в виде алгебраического уравнения связан термин «степень целого уравнения». Дадим соответствующее определение:
Определение.
Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему алгебраического уравнения.
Согласно этому определению целое уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.
На этом можно бы было закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы ни одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй сопряжено со значительными сложностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще не существует общих формул корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.
В таких случаях иногда выручает подход к решению целых рациональных уравнений, основанный на методе разложения на множители . При этом придерживаются следующего алгоритма:
- сначала добиваются, чтобы в правой части уравнения был нуль, для этого переносят выражение из правой части целого уравнения в левую;
- затем, полученное выражение в левой части представляют в виде произведения нескольких множителей, что позволяет перейти к совокупности нескольких более простых уравнений.
Приведенный алгоритм решения целого уравнения через разложение на множители требует детального разъяснения на примере.
Пример.
Решите целое уравнение (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2·x·(x 2 −10·x+13) .
Решение.
Сначала как обычно переносим выражение из правой части в левую часть уравнения, не забыв изменить знак, получаем (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2·x·(x 2 −10·x+13)=0 . Здесь достаточно очевидно, что не целесообразно преобразовывать левую часть полученного уравнения в многочлен стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение четвертой степени вида x 4 −12·x 3 +32·x 2 −16·x−13=0 , решение которого сложно.
С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения можно x 2 −10·x+13 , тем самым представив ее в виде произведения. Имеем (x 2 −10·x+13)·(x 2 −2·x−1)=0 . Полученное уравнение равносильно исходному целому уравнению, и его, в свою очередь, можно заменить совокупностью двух квадратных уравнений x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0 . Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны . Они являются искомыми корнями исходного уравнения.
Ответ:
Для решения целых рациональных уравнений также бывает полезен метод введения новой переменной . В некоторых случаях он позволяет переходить к уравнениям, степень которых ниже, чем степень исходного целого уравнения.
Пример.
Найдите действительные корни рационального уравнения (x 2 +3·x+1) 2 +10=−2·(x 2 +3·x−4) .
Решение.
Сведение данного целого рационального уравнения к алгебраическому уравнению является, мягко говоря, не очень хорошей идеей, так как в этом случае мы придем к необходимости решения уравнения четвертой степени, не имеющего рациональных корней. Поэтому, придется поискать другой способ решения.
Здесь несложно заметить, что можно ввести новую переменную y , и заменить ею выражение x 2 +3·x . Такая замена приводит нас к целому уравнению (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , которое после переноса выражения −2·(y−4) в левую часть и последующего преобразования образовавшегося там выражения, сводится к квадратному уравнению y 2 +4·y+3=0 . Корни этого уравнения y=−1 и y=−3 легко находятся, например, их можно подобрать, основываясь на теореме, обратной теореме Виета .
Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть, к проведению обратной замены. Выполнив обратную замену, получаем два уравнения x 2 +3·x=−1 и x 2 +3·x=−3 , которые можно переписать как x 2 +3·x+1=0 и x 2 +3·x+3=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим корни первого уравнения . А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Ответ:
Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, всегда надо быть готовым к поиску нестандартного метода или искусственного приема для их решения.
Решение дробно рациональных уравнений
Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно рациональные уравнения вида , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. А дальше мы покажем, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.
В основе одного из подходов к решению уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь u/v , где v – отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с , которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0 . В силу этого утверждения, решение уравнения сводится к выполнению двух условий p(x)=0 и q(x)≠0 .
Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения . Чтобы решить дробное рациональное уравнение вида , надо
- решить целое рациональное уравнение p(x)=0 ;
- и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0 , при этом
- если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
- если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.
Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.
Пример.
Найдите корни уравнения .
Решение.
Это дробно рациональное уравнение, причем вида , где p(x)=3·x−2 , q(x)=5·x 2 −2=0 .
Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3·x−2=0 . Это линейное уравнение, корнем которого является x=2/3 .
Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5·x 2 −2≠0 . Подставляем в выражение 5·x 2 −2 вместо x число 2/3 , получаем . Условие выполнено, поэтому x=2/3 является корнем исходного уравнения.
Ответ:
2/3 .
К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на переменной x исходного уравнения. То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения :
- решить уравнение p(x)=0 ;
- найти ОДЗ переменной x ;
- взять корни, принадлежащие области допустимых значений, - они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.
Для примера решим дробное рациональное уравнение по этому алгоритму.
Пример.
Решите уравнение .
Решение.
Во-первых, решаем квадратное уравнение x 2 −2·x−11=0 . Его корни можно вычислить, используя формулу корней для четного второго коэффициента , имеем D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12 , и .
Во-вторых, находим ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Ее составляют все числа, для которых x 2 +3·x≠0 , что то же самое x·(x+3)≠0 , откуда x≠0 , x≠−3 .
Остается проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Очевидно, да. Следовательно, исходное дробно рациональное уравнение имеет два корня .
Ответ:
Отметим, что такой подход выгоднее первого, если легко находится ОДЗ, и особенно выгоден, если еще при этом корни уравнения p(x)=0 иррациональные, например, , или рациональные, но с довольно большим числителем и/или знаменателем, к примеру, 127/1101 и −31/59 . Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q(x)≠0 потребует значительных вычислительных усилий, и проще исключить посторонние корни по ОДЗ.
В остальных случаях при решении уравнения , особенно когда корни уравнения p(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из приведенных алгоритмов. То есть, целесообразно сразу находить корни целого уравнения p(x)=0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q(x)≠0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.
Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации оговоренных нюансов.
Пример.
Найдите корни уравнения .
Решение.
Сначала найдем корни целого уравнения (2·x−1)·(x−6)·(x 2 −5·x+14)·(x+1)=0 , составленного с использованием числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому, согласно методу решения уравнений через разложение на множители, это уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2·x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5·x+14=0 , x+1=0 . Три из этих уравнений линейные и одно – квадратное, их мы умеем решать. Из первого уравнения находим x=1/2 , из второго – x=6 , из третьего – x=7 , x=−2 , из четвертого – x=−1 .
С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Для этого по очереди подставляем их вместо переменной x
в выражение x 5 −15·x 4 +57·x 3 −13·x 2 +26·x+112
, получающихся после подстановки, и сравниваем их с нулем:
(1/2) 5 −15·(1/2) 4 +
57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112=
1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112=
448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0
;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 +
26·(−2)+112=−720≠0
;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 +
26·(−1)+112=0
.
Таким образом, 1/2 , 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно рационального уравнения, а 7 и −1 – посторонние корни.
Ответ:
1/2 , 6 , −2 .
Пример.
Найдите корни дробного рационального уравнения .
Решение.
Сначала найдем корни уравнения (5·x 2 −7·x−1)·(x−2)=0 . Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: квадратного 5·x 2 −7·x−1=0 и линейного x−2=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим два корня , а из второго уравнения имеем x=2 .
Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x , достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ.
В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно рационального уравнения составляют все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 +5·x−14=0 . Корнями этого квадратного уравнения являются x=−7 и x=2 , откуда делаем вывод про ОДЗ: ее составляют все такие x , что .
Остается проверить, принадлежат ли найденные корни и x=2 области допустимых значений. Корни - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.
Ответ:
Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида в числителе находится число, то есть, когда p(x) представлено каким-либо числом. При этом
- если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
- если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.
Пример.
Решение.
Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ:
нет корней.
Пример.
Решите уравнение .
Решение.
В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x , при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной.
Осталось определить эту область допустимых значений. Она включает все такие значения x , при которых x 4 +5·x 3 ≠0 . Решениями уравнения x 4 +5·x 3 =0 являются 0 и −5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 ·(x+5)=0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 =0 и x+5=0 , откуда и видны эти корни. Следовательно, искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x=0 и x=−5 .
Таким образом, дробно рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти.
Ответ:
Наконец, пришло время поговорить о решении дробных рациональных уравнений произвольного вида. Их можно записать как r(x)=s(x) , где r(x) и s(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида .
Известно, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к равносильному уравнению, поэтому уравнению r(x)=s(x) равносильно уравнение r(x)−s(x)=0 .
Также мы знаем, что можно любое , тождественно равную этому выражению. Таким образом, рациональное выражение в левой части уравнения r(x)−s(x)=0 мы всегда можем преобразовать в тождественно равную рациональную дробь вида .
Так мы от исходного дробного рационального уравнения r(x)=s(x) переходим к уравнению , а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения p(x)=0 .
Но здесь обязательно надо учитывать тот факт, что при замене r(x)−s(x)=0 на , и дальше на p(x)=0 , может произойти расширение области допустимых значений переменной x .
Следовательно, исходное уравнение r(x)=s(x) и уравнение p(x)=0 , к которому мы пришли, могут оказаться неравносильными, и, решив уравнение p(x)=0 , мы можем получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения r(x)=s(x) . Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно, либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения.
Обобщим эту информацию в алгоритм решения дробного рационального уравнения r(x)=s(x) . Чтобы решить дробное рациональное уравнение r(x)=s(x) , надо
- Получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком.
- Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида .
- Решить уравнение p(x)=0 .
- Выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.
Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробных рациональных уравнений:
.
Давайте рассмотрим решения нескольких примеров с подробным пояснением хода решения, чтобы прояснить приведенный блок информации.
Пример.
Решите дробное рациональное уравнение .
Решение.
Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую, в результате переходим к уравнению .
На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби . Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение: . Так мы приходим к уравнению .
На следующем этапе нам нужно решить уравнение −2·x−1=0 . Находим x=−1/2 .
Остается проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.
Начнем с проверки. Подставляем в исходное уравнение вместо переменной x число −1/2 , получаем , что то же самое, −1=−1 . Подстановка дает верное числовое равенство, поэтому, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.
Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x=−1 и x=0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Найденный на предыдущем шаге корень x=−1/2 принадлежит ОДЗ, следовательно, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.
Ответ:
−1/2 .
Рассмотрим еще пример.
Пример.
Найдите корни уравнения .
Решение.
Нам требуется решить дробно рациональное уравнение, пройдем все шаги алгоритма.
Во-первых, переносим слагаемое из правой части в левую, получаем .
Во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части: . В результате приходим к уравнению x=0 .
Его корень очевиден – это нуль.
На четвертом шаге остается выяснить, не является ли найденный корень посторонним для исходного дробно рационального уравнения. При его подстановке в исходное уравнение получается выражение . Очевидно, оно не имеет смысла, так как содержит деление на нуль. Откуда заключаем, что 0 является посторонним корнем. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
7 , что приводит к уравнению . Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно из правой части, то есть, . Теперь вычитаем из обеих частей тройки: . По аналогии , откуда , и дальше .
Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробного рационального уравнения.
Ответ:
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.
Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.
У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.
Итак, начнем.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.
1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.
2. Перемножим их.
3. Введем замену переменной.
В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:
В этом месте замена переменной становится очевидной:
Получаем уравнение 
Ответ:
2 .
Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:
1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.
2. Перемножаем каждую пару скобок.
3. Из каждого множителя выносим за скобку х.
4. Делим обе части уравнения на .
5. Вводим замену переменной.
В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :
Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :
Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:
Получим уравнение: 
Ответ:
3
. 
Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение относительно переменной t:
4 .
Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .
Чтобы его решить,
1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:
2. Сгруппируем слагаемые таким образом:
3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
4. Введем замену:
5. Выразим через t выражение :
Отсюда 
Получим уравнение относительно t:
Ответ:
5. Однородные уравнения.
Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.
Однородные уравнения имеют такую структуру:
В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.
Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
Пойдем первым путем. Получим уравнение:
Теперь мы вводим замену переменной:
Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:
Ответ: или
7
. 
Это уравнение имеет такую структуру:
Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.
Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.
Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно
Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:
Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:
