ОДЗ. Область Допустимых Значений. Область определения функции. Примеры
Если в выражении \(\sqrt{x-2}\) значение переменной равно \(0\), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно . Значит, здесь \(x\) не может быть \(0\), а также \(1, -3, -52,7\) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: \(x\geq2\);
А вот в выражение \(4x+1\) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь - вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают , потому что оно не несет в себе полезной информации.
Все правила, которые должны соблюдаться вы можете найти .
ОДЗ в уравнениях
Про область допустимых значений важно помнить при решении и , т.к. там мы как раз ищем значения переменных и можем случайно найти такие, которые нарушают правила математики.
Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.
Пример
:
Решить уравнение
Решение
:
| Без ОДЗ: | С ОДЗ: | |
| \(\frac{x^2-x}{x+3}=\frac{12}{x+3}\) | \(\frac{x^2-x}{x+3}=\frac{12}{x+3}\) | |
| ОДЗ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
| \(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
| \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\)\(\frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2·1}\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\)\(\frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2·1}\) \(=-3\) - не подходит под ОДЗ | |
| Ответ : \(4; -3\) | Ответ : \(4\) |
Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний ! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.
\(\frac{(-3)^2-(-3)}{(-3)+3}\)
\(=\)\(\frac{12}{(-3)+3}\)
\(\frac{12}{0}\)
\(=\)\(\frac{12}{0}\)
Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения - не существуют. Таким образом, "\(-3\)" – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.
Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!
Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.
Пример : Найдите область определения выражения \(\sqrt{5-2x}+\)\(\frac{1}{\sqrt{14+5x-x^{2}}}\)
Решение : В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот . Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым - больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?
Ответ : \((-2;2,5]\)Шамшурин А.В. 1
Гагарина Н.А. 1
1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %.
Цель : выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Задачи:
- Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
- Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.
Глава 1
Что такое ОДЗ?
ОДЗ - это область допустимых значений , то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.
Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…
- Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю, ОДЗ:f(x)
- Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0
Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.
Алгоритм нахождения ОДЗ:
- Определите вид запрета.
- Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
- Исключить эти значения из множества действительных чисел R.
Решить уравнение: =
|
Без ОДЗ |
С ОДЗ |
|
Ответ: х=5 |
ОДЗ: => => Ответ: корней нет |
Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак.
Дополнительные уравнения:
а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2
Глава 2
ОДЗ. Зачем? Когда? Как?
Область допустимых значений - есть решение
- ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
0, уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) + =5; б) + =23х-18; в) =0.
- В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.
ОДЗ: х=2, х=3
Проверка: х=2, + , 0<1, верно
Проверка: х=3, + , 0<1, верно.
Ответ: х=2, х=3.
- > ОДЗ: х=1,х=0
Проверка: х=0, > , 0>0, неверно
Проверка: х=1, > , 1>0, верно
Ответ: х=1.
- + =х ОДЗ: х=3
Проверка: + =3, 0=3, неверно.
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) = ; б) + =0; в) + =х -1
Опасность ОДЗ
Заметим, тождественные преобразования могут:
- не влиять на ОДЗ;
- приводить к расширенному ОДЗ;
- приводить к сужению ОДЗ.
Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.
Давайте поясним каждый случай примером.
1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.
2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).
3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
Приложение 1
Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
│х+14│= 2 - 2х |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Приложение 2
Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
Ответ: корней нет |
Ответ: х-любое число, кроме х=5 |
|
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Ответ: корней нет |
ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5. |
|
у= -убывает, у= -возрастает Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6. |
ОДЗ: → →х≥5 Ответ:х≥5, х≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ |
Убывает, -возрастает Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет. |
|
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Ответ: х≥3,х≤2 |
8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Ответ: корней нет. |
|
х=7, х=1. Ответ: решений нет |
Возрастает, - убывает Ответ: х=2. |
|
0 ОДЗ: х≠15 Ответ: х- любое число, кроме х=15. |
│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ. Ответ: х=-1. |
В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!
При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.
Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными... Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)
Ну, что тут сказать... Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.
А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)
Дополнительные ограничения на область определения функции.
Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.
Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.
Например, такое задание:
Найти область определения функции:
на множестве положительных чисел.
Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:
D(f)=(-∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:
Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.
Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:
D(f): х ∈ N
Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...
Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...
Мораль: глаза боятся, голова решает!)
Для начала научимся находить область определения суммы функций . Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:
Если функция f - это сумма n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) , то областью определения функции f является пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Запишем это как .
Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать , записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.
Пример.
Дана функция y=x 7 +x+5+tgx , и надо найти ее область определения.
Решение.
Функция f представлена суммой четырех функций: f 1 - степенной функции с показателем 7 , f 2 - степенной функции с показателем 1 , f 3 - постоянной функции и f 4 - функции тангенс.
Взглянув в таблицу областей определения основных элементарных функций, находим, что D(f 1)=(−∞, +∞)
, D(f 2)=(−∞, +∞)
, D(f 3)=(−∞, +∞)
, а областью определения тангенса является множество всех действительных чисел, кроме чисел 
.
Область определения функции f
– это пересечение областей определения функций f 1
, f 2
, f 3
и f 4
. Достаточно очевидно, что это есть множество всех действительных чисел, за исключением чисел .
Ответ:
множество всех действительных чисел, кроме .
Переходим к нахождению области определения произведения функций . Для этого случая имеет место аналогичное правило:
Если функция f - это произведение n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x) , то область определения функции f есть пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Итак, .
Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f .
Пример.
Y=3·arctgx·lnx .
Решение.
Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f 1 (x)·f 2 (x)·f 3 (x) , где f 1 – это постоянная функция, f 2 – это функция арктангенс, а f 3 – логарифмическая функция с основанием e .
Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞)
, D(f 2)=(−∞, +∞)
и D(f 3)=(0, +∞)
. Тогда
.
Ответ:
областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.
Отдельно остановимся на нахождении области определения функции, заданной формулой y=C·f(x)
, где С
– некоторое действительное число. Легко показать, что область определения этой функции и область определения функции f
совпадают. Действительно, функция y=C·f(x)
– это произведение постоянной функции и функции f
. Областью определения постоянной функции является множество всех действительных чисел, а область определения функции f
есть D(f)
. Тогда область определения функции y=C·f(x)
есть 
, что и требовалось показать.
Итак, области определения функций y=f(x) и y=C·f(x) , где С – некоторое действительное число, совпадают. Например, область определения корня есть , становится ясно, что D(f) - это множество всех x из области определения функции f 2 , для которых f 2 (x) входит в область определения функции f 1 .
Таким образом, область определения сложной функции
y=f 1 (f 2 (x))
- это пересечение двух множеств: множества всех таких x
, что x∈D(f 2)
, и множества всех таких x
, для которых f 2 (x)∈D(f 1)
. То есть, в принятых нами обозначениях 
(это по сути система неравенств).
Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать , так как это выходит за рамки этой статьи.
Пример.
Найти область определения функции y=lnx 2 .
Решение.
Исходную функцию можно представить в виде y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – логарифм с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .
Обратившись к известным областям определения основных элементарных функций, имеем D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=(−∞, +∞) .
Тогда
Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля.
Ответ:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Пример.
Какова область определения функции 
?
Решение.
Данная функция сложная, ее можно рассматривать как y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – степенная функция с показателем , а f 2 – функция арксинус, и нам нужно найти ее область определения.
Посмотрим, что нам известно: D(f 1)=(0, +∞)
и D(f 2)=[−1, 1]
. Остается найти пересечение множеств таких значений x
, что x∈D(f 2)
и f 2 (x)∈D(f 1)
:
Чтобы arcsinx>0 вспомним свойства функции арксинус . Арксинус возрастает на всей области определения [−1, 1] и обращается в ноль при x=0 , следовательно, arcsinx>0 для любого x из промежутка (0, 1] .
Вернемся к системе:
Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал (0, 1] .
Ответ:
(0, 1] .
Теперь давайте перейдем к сложным функциям общего вида y=f 1 (f 2 (…f n (x))))
. Область определения функции f
в этом случае находится как
.
Пример.
Найти область определения функции 
.
Решение.
Заданную сложную функцию можно расписать как y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) , где f 1 – sin , f 2 – функция корень четвертой степени, f 3 – lg .
Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=}
