Утверждение о второй производной от сложной функции. Правило дифференцирования сложной функции
Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу
и сделать вот такое лицо:
Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь , старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.
Что такое сложная функция?
Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:
Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а \(x\), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные .
Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию :
В результате получим, ясное дело, \(\cosx\). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» - запаковываем, например, в кубическую функцию.
Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».
Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» - «упаковка в упаковке».
В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре:
Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию . Получим:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в , а потом в :
\(x → sinx → ctg (sinx)\)
Просто, правда?
Напиши теперь сам функции, где икс:
- сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);
- сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
- сначала в логарифм по основанию \(4\)
, затем в степень \(-2\).
Ответы на это задание посмотри в конце статьи.
А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:
\(y=5^{\log_2{\sin(x^4)}}\)
Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше - у них может быть и посложнее☺).
«Распаковка» сложной функции
Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть - какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.
Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.
То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.
Например, вот такая функция: \(y=tg(\log_2x)\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Еще пример: \(y=\cos{(x^3)}\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos{(x^3)}\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos{(x·x·x)})\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cosx·\cosx·\cosx\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».
Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin{(2x+5)}\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin{(2x+5)}\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.
Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных - два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) - тоже простая функция. Например, \(x^7\) – простая функция и \(ctg x\) - тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:
\(x^7+ ctg x\) - простая,
\(x^7· ctg x\) – простая,
\(\frac{x^7}{ctg x}\)
– простая и т.д.
Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:
Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
\(y=cos{(sinx)}\)
\(y=5^{x^7}\)
\(y=arctg{11^x}\)
\(y=log_2(1+x)\)
Ответы опять в конце статьи.
Внутренняя и внешняя функции
Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.
И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция - это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.
Вот в этом примере: \(y=tg(log_2x)\), функция \(\log_2x\) – внутренняя, а 
- внешняя.
А в этом: \(y=\cos{(x^3+2x+1)}\), \(x^3+2x+1\) - внутренняя, а 
- внешняя.
Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:
Заполни пропуски в таблице:
Производная сложной функции
Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Формула эта читается так:
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.
И сразу смотри схему разбора, по словам, чтобы, понимать, что к чему относиться:
Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» - мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?
Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.
Пусть у нас есть функция \(y=\sin(x^3)\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя 
. Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.
Приводятся примеры вычисления производных с применением формулы производной сложной функции.
Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
;
;
;
;
.
Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или ,
расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.
Обычно, в таблицах производных , приводятся производные функций от переменной x . Однако x - это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u .
Простые примеры
Пример 1
Найти производную сложной функции
.
Решение
Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.
По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .
Ответ
Пример 2
Найти производную
.
Решение
Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.
.
Здесь .
Ответ
Пример 3
Найдите производную
.
Решение
Выносим постоянную -1
за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Ответ
Более сложные примеры
В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных . Также мы применяем правила дифференцирования суммы , произведения и дроби . Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.
Пример 4
Найдите производную
.
Решение
Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .
.
Здесь мы использовали обозначение
.
Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.
Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь .
Ответ
Пример 5
Найдите производную функции
.
Решение
Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.
И теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:
Пусть 1) функция $u=\varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}"=\varphi"(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=\varphi (x_0)$ производную $y_{u}"=f"(u)$. Тогда сложная функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $\varphi (x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_{u}"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
или, в более короткой записи: $y_{x}"=y_{u}"\cdot u_{x}"$.
В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y"$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y"$ пишут $y"_x$.
В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.
Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.
Пример №1
Найти производную функции $y=e^{\cos x}$.
Нам нужно найти производную сложной функции $y"$. Так как $y=e^{\cos x}$, то $y"=\left(e^{\cos x}\right)"$. Чтобы найти производную $\left(e^{\cos x}\right)"$ используем формулу №6 из таблицы производных . Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=\cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $\cos x$ вместо $u$:
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)" \tag {1.1}$$
Теперь нужно найти значение выражения $(\cos x)"$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(\cos x)"=-\sin x\cdot x"$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x") \tag {1.2} $$
Так как $x"=1$, то продолжим равенство (1.2):
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x")=e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^{\cos x} \tag {1.3} $$
Итак, из равенства (1.3) имеем: $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, - как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.
Ответ : $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$.
Пример №2
Найти производную функции $y=9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x)$.
Нам необходимо вычислить производную $y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)" \tag {2.1} $$
Теперь обратимся к выражению $\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{12}\right)"$. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. В эту формулу подставим $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$:
Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag {2.2} $$
В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(\arctg \; u)"=\frac{1}{1+u^2}\cdot u"$ вместо формулы $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции. Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4\cdot 5^x$. Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $\arctg(4\cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$. Последнее действие, - т.е. возведение в степень 12, - и будет внешней функцией. И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).
Теперь нужно найти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Равенство (2.2) теперь станет таким:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" \tag {2.3} $$
Осталось найти $(4\cdot \ln x)"$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. Для того, чтобы найти $(\ln x)"$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)"=\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot 4\cdot \frac{1}{x}=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}. $$
Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, - как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.
Ответ : $y"=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}$.
Пример №3
Найти $y"$ функции $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}$.
Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$, то:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)" \tag {3.1} $$
Используем формулу №2 из таблицы производных , подставив в неё $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac{3}{7}$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}-1} (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" \tag {3.2} $$
Теперь нужно найти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" \tag {3.3} $$
Осталось найти $(5\cdot 9^x)"$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x)"$. Для нахождения производной $(9^x)"$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}$ в виде $\frac{1}{\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{4}{7}}}=\frac{1}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:
$$ y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}. $$
Ответ : $y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$.
Пример №4
Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^\alpha$. Подставляя $\alpha=-1$ в формулу №2, получим:
$$(u^{-1})"=-1\cdot u^{-1-1}\cdot u"=-u^{-2}\cdot u"\tag {4.1}$$
Так как $u^{-1}=\frac{1}{u}$ и $u^{-2}=\frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $\left(\frac{1}{u} \right)"=-\frac{1}{u^2}\cdot u"$. Это и есть формула №3 таблицы производных.
Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $\alpha=\frac{1}{2}$:
$$\left(u^{\frac{1}{2}}\right)"=\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}-1}\cdot u"=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u"\tag {4.2} $$
Так как $u^{\frac{1}{2}}=\sqrt{u}$ и $u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:
$$ (\sqrt{u})"=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot u"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u" $$
Полученное равенство $(\sqrt{u})"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u"$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $\alpha$.
В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.
Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".
Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:
Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.
Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию
Назовем выражение промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.
Строгое определение понятия сложной функции звучит так:
Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.
В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, - внешняя функция, - промежуточный аргумент.
Производная сложной функции находится по такому правилу:
Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:
В этом выражении с помощью обозначена промежуточная функция.
Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно
1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.
2. Определить промежуточный аргумент.
В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:
а. Запишите уравнение функции.
б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.
Например, в функции
Последнее действие - возведение в степень.
Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент
Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.
Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Производная сложной функции от одной переменной
Пусть функцию от переменной x
можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x
.
Функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x
и ее производная определяется по формуле:
(1)
.
Формулу (1) также можно записать так:
;
.
Доказательство
Введем следующие обозначения.
;
.
Здесь есть функция от переменных и ,
есть функция от переменных и .
Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.
Поскольку функции и дифференцируемы в точках x
и ,
соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.
Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении переменной u
,
является функцией от .
Очевидно, что
.
Тогда
.
Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке ,
то она непрерывна в этой точке. Поэтому
.
Тогда
.
Теперь находим производную.
.
Формула доказана.
Следствие
Если функцию от переменной x
можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь ,
и есть некоторые дифференцируемые функции.
Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.
Производная сложной функции от двух переменных
Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных .
Пусть функцию ,
зависящую от переменной x
,
можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x
;
- функция от двух переменных, дифференцируемая в точке ,
.
Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:
(2)
.
Доказательство
Поскольку функции и дифференцируемы в точке ,
то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке ,
которые являются следующими пределами:
;
.
Здесь
;
.
В силу непрерывности этих функций в точке имеем:
;
.
Поскольку функция дифференцируема в точке ,
то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:
(3)
.
Здесь
- приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;
;
- частные производные функции по переменным и .
При фиксированных значениях и ,
и есть функции от переменных и .
Они стремятся к нулю при и :
;
.
Поскольку и ,
то
;
.
Приращение функции :
.
:
.
Подставим (3):
.
Формула доказана.
Производная сложной функции от нескольких переменных
Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.
Например, если f
является функцией от трех переменных
, то
,
где
,
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x
;
- дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке ,
,
.
Тогда, из определения дифференцируемости функции ,
имеем:
(4)
.
Поскольку, в силу непрерывности,
;
;
,
то
;
;
.
Разделив (4) на и выполнив предельный переход ,
получим:
.
И, наконец, рассмотрим самый общий случай
.
Пусть функцию от переменной x
можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x
;
- дифференцируемая функция от n
переменных в точке
,
,
... , .
Тогда
.
