Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи
В изучении темы о многочленах отдельно стоит упомянуть о том, что многочлены встречаются как стандартного, так и не стандартного вида. При этом многочлен нестандартного вида можно привести к стандартному виду. Собственно, этот вопрос и будем разбирать в данной статье. Закрепим разъяснения примерами с подробным пошаговым описанием.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Смысл приведения многочлена к стандартному виду
Немного углубимся в само понятие, действие – «приведение многочлена к стандартному виду».
Многочлены, подобно любым другим выражениям, возможно тождественно преобразовывать. Как итог, мы получаем в таком случае выражения, которые тождественно равны исходному выражению.
Определение 1
Привести многочлен к стандартному виду – означает замену исходного многочлена на равный ему многочлен стандартного вида, полученный из исходного многочлена при помощи тождественных преобразований.
Способ приведения многочлена к стандартному виду
Порассуждаем на тему того, какие именно тождественные преобразования приведут многочлен к стандартному виду.
Определение 2
Согласно определению, каждый многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не имеет в своем составе подобных членов. Многочлен же нестандартного вида может включать в себя одночлены нестандартного вида и подобные члены. Из сказанного закономерно выводится правило, говорящее о том, как привести многочлен к стандартному виду:
- в первую очередь к стандартному виду приводятся одночлены, составляющие заданный многочлен;
- затем производится приведение подобных членов.
Примеры и решения
Разберем подробно примеры, в которых приведем многочлен к стандартному виду. Следовать будем правилу, выведенному выше.
Отметим, что иногда члены многочлена в исходном состоянии уже имеют стандартный вид, и остается только привести подобные члены. Случается, что после первого шага действий не оказывается подобных членов, тогда второй шаг пропускаем. В общих случаях необходимо совершать оба действия из правила выше.
Пример 1
Заданы многочлены:
5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 ,
0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 ,
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Необходимо привести их к стандартному виду.
Решение
рассмотрим сначала многочлен 5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 : его члены имеют стандартный вид, подобные члены отсутствуют, значит многочлен задан в стандартном виде, и никаких дополнительных действий не требуется.
Теперь разберем многочлен 0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 . В его состав входят нестандартные одночлены: 2 · a 3 · 0 , 6 и − b · a · b 4 · b 5 , т.е. имеем необходимость привести многочлен к стандартному виду, для чего первым действием преобразуем одночлены в стандартный вид:
2 · a 3 · 0 , 6 = 1 , 2 · a 3 ;
− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , таким образом получаем следующий многочлен:
0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0 , 8 + 1 , 2 · a 3 − a · b 10 .
В полученном многочлене все члены – стандартные, подобных членов не имеется, значит наши действия по приведению многочлена к стандартному виду завершены.
Рассмотрим третий заданный многочлен: 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8
Приведем его члены к стандартному виду и получим:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Мы видим, что в составе многочлена имеются подобные члены, произведем приведение подобных членов:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = = 2 3 7 · x 2 - 1 6 7 · x 2 - 4 7 · x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 0 - x · y + 1 = x · y + 1
Таким образом, заданный многочлен 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 принял стандартный вид − x · y + 1 .
Ответ:
5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 - многочлен задан стандартным;
0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0 , 8 + 1 , 2 · a 3 − a · b 10 ;
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .
Во многих задачах действие приведения многочлена к стандартному виду – промежуточное при поиске ответа на заданный вопрос. Рассмотрим и такой пример.
Пример 2
Задан многочлен 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 . 5 · z 2 + z 3 . Необходимо привести его к с стандартному виду, указать его степень и расположить члены заданного многочлена по убывающим степеням переменной.
Решение
Приведем члены заданного многочлена к стандартному виду:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .
Следующим шагом приведем подобные члены:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 · z 3 + z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 = = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2
Мы получили многочлен стандартного вида, что дает нам возможность обозначить степень многочлена (равна наибольшей степени составляющих его одночленов). Очевидно, что искомая степень равна 5 .
Остается только расположить члены по убывающим степеням переменных. С этой целью мы просто переставим местами члены в полученном многочлене стандартного вида с учетом требования. Таким образом, получим:
z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Ответ:
11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 , 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 , при этом степень многочлена – 5 ; в результате расположения членов многочлена по убывающим степеням переменных многочлен примет вид: z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Понятие многочлена
Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:
здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.
Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.
Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.
Число ноль - это нулевой многочлен.
Стандартный вид многочлена
Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.
Пример многочлена в стандартном виде:
здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.
Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:
здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:
Ещё пример:
Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:
Степень многочлена
Что такое степень многочлена?
Степень многочлена определение:
Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.
Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.
Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.
Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.
Многочлен и его стандартный вид
Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена 4x2y - 5xy + 3x -1 являются 4x2y, -5xy, 3x и -1 .
Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех - трехчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.
В многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 члены 7x3y2 и - 2y2x3 являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые -12 и 6, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене - приведением подобных членов многочлена.
Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 .
Многочлен называется многочленом стандартного вида, если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные слагаемые.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Для примера найдем степень многочлена 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4:
8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.
Заметим, что в исходный многочлен входят одночлены шестой степени, но при приведении подобных членов все они сократились, и получился многочлен третьей степени, значит и исходный многочлен имеет степень 3!
Многочлены от одной переменной
Выражение вида, где - некоторые числа и, называется многочленом степени от.
Два многочлена называются тождественно равными, если их числовые значения совпадают при всех значениях. Многочлены и тождественно равны тогда и только тогда, когда они совпадают, т.е. коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов одинаковы.
При делении многочлена на многочлен (например «уголком») получаем многочлен (неполное частное) и остаток - многочлен (в случае, когда остаток равен нулю, многочлен называется частным). Если - делимое, - делитель, то многочлен представим в виде. При этом сумма степеней многочленов и равна степени многочлена, а степень остатка меньше степени делителя..
Понятие многочлена. Степень многочлена
Многочленом от переменной х будем называть выражение вида
anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,где n - натуральное число; аn, an-1,..., a1, a0 - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения anxn, an-1xn-1,..., a1х, a0 называются членами многочлена, а0 - свободным членом.
Часто будем употреблять и такие термины: an - коэффициент при хn, аn-1 - коэффициент при хn-1 и т.д.
Примерами многочленов являются следующие выражения: 0х4+2х3+ (-3) х3+ (3/7) х+; 0х2+0х+3; 0х2+0х+0. Здесь для первого многочлена коэффициентами являются числа 0, 2, - 3, 3/7, ; при этом, например, число 2 - коэффициент при х3, а - свободный член.
Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.
Так, например, многочлен 0х2+0х+0 - нулевой.
Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом. Этот термин происходит от греческих слов πολι - много и νομχ - член.
Многочлен от одной переменной х будем обозначать так: f (x), g (x), h (x) и т.д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить f (x), то можно записать: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.
Для того чтобы запись многочлена выглядела проще и выглядела компактнее, договорились о ряде условностей.
Те члены не нулевого многочлена, у коэффициенты равны нулю, не записывают. Например, вместо f (x) =0x3+3x2+0x+5 пишут: f (x) =3x2+5; вместо g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Таким образом, каждое число - это тоже многочлен. Многочлен h (x), у которого все коэффициенты равны нулю, т.е. нулевой многочлен, записывают так: h (x) =0.
Коэффициенты многочлена, не являющиеся свободным членом и равные 1, тоже не записывают. Например, многочлен f (x) =2x3+1x2+7x+1 можно записать так: f (x) =x3+x2+7x+1.
Знак ‹‹-›› отрицательного коэффициента относят к члену, содержащему этот коэффициент, т.е., например, многочлен f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) записывают в виде f (x) =2x3-3x2+7x-5. При этом, если коэффициент, не являющийся свободным членом, равен - 1, то знак "-" сохраняют перед соответствующим членом, а единицу не пишут. Например, если многочлен имеет вид f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), то его можно записать так: f (x) =x3-x2+3x-1.
Может возникнуть вопрос: зачем, например, уславливаться о замене 1х на х в записи многочлена, если известно, что 1х=х для любого числа х? Дело в том, что последнее равенство имеет место, если х - число. В нашем же случае х - элемент произвольной природы. Более того запись 1х мы пока не имеем права рассматривать как произведение числа 1 и элемента х, ибо, повторяем х - это не число. Именно таким обстоятельством и вызваны условности в записи многочлена. И если мы дальше говорим все-таки о произведении, скажем, 2 и х без всяких оснований, то этим допускаем некоторую нестрогость.
В связи с условностями в записи многочлена обращаем внимание на такую деталь. Если имеется, например, многочлен f (x) =3х3-2х2-х+2, то его коэффициенты - это числа 3, - 2, - 1,2. Конечно, можно было бы сказать, что коэффициентами являются числа 0, 3, - 2, - 1, 2, имея в виду такое представление данного многочлена: f (x) =0x4-3x2-2x2-x+2.
В дальнейшем для определенности будем указывать коэффициенты, начиная с отличного от нуля, в порядке их следования в записи многочлена. Так, коэффициентами многочлена f (x) =2x5-x являются числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Дело в том, что хотя, например, член с х2 в записи отсутствует, это лишь означает, что его коэффициент равен нулю. Аналогично свободного члена в записи нет, поскольку он равен нулю.
Если имеется многочлен f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и an≠0, то число n называют степенью многочлена f (x) (или говорят: f (x) - n-й степени) и пишут ст. f (x) =n. В этом случае an называется старшим коэффициентом, а anxn - старшим членом данного многочлена.
Например, если f (x) =5x4-2x+3, то ст. f (x) =4, старший коэффициент - 5, старший член - 5х4.
Рассмотрим теперь многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля. Чему равна степень этого многочлена? Легко заметить, что коэффициенты многочлена f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, n-1, n и если an≠0, то ст. f (x) =n. Значит, степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля (при той нумерации, о которой только что говорилось). Вернемся теперь к многочлену f (x) =a, a≠0, и пронумеруем его коэффициенты справа налево числами 0, 1, 2, … коэффициент а при этом получит номер 0, а так как все остальные коэффициенты - нулевые, то это и есть самый большой из номеров коэффициентов данного многочлена, отличных от нуля. Значит ст. f (x) =0.
Таким образом, многочлены нулевой степени - это числа, отличные от нуля.
Осталось выяснить, как обстоит дело со степенью нулевого многочлена. Как известно, все его коэффициенты равны нулю, и поэтому к нему нельзя применить данное выше определение. Так вот, условились нулевому многочлену не присваивать никакой степени, т.е. что он не имеет степени. Такая условность вызвана некоторым обстоятельством, которые будут рассмотрены несколько позже.
Итак, нулевой многочлен степени не имеет; многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена, как легко заметить, равна наибольшему показателю степени переменной х, коэффициент при которой равен нулю.
В заключение напомним еще несколько определений. Многочлен второй степени f (x) =ax2+bx+c называется квадратным трехчленом. Многочлен первой степени вида g (x) =x+c называется линейным двучленом.
Схема Горнера.
Схема Горнера - один из простейших способов деления многочлена на бином x-a. Конечно, делением применение схемы Горнера не исчерпывается, но для начала рассмотрим именно это. Применение алгоритма поясним на примерах. Разделим на. Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена по убыванию степеней переменной. Заметьте, что данный многочлен не содержит х, т.е. коэффициент перед х равен 0. Так как мы делим на, во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. В первую пустую ячейку запишем 5, просто перенеся ее из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу:
Аналогично заполним и четвертую: :
Для пятой ячейки получим:
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем:
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между первым и последним), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления на. Последнее число во второй строке означает остачу от деления или, что то же самое, значение многочлена при. Следовательно, если в нашем случае остача равна нулю, то многочлены делятся нацело.
Полученный результат говорит также и о том, что 1 является корнем многочлена.
Приведем еще один пример. Разделим многочлен на. Сразу оговорим, что выражение нужно представить в форме. В схеме Горнера будет учавствовать именно -3.
Если наша цель - найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, - до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни. Например, отыщем все корни многочлена. Целые корни нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей 8. Т.е., целыми корнями могут быть числа -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Проверим, к примеру, 1:
Итак, в остаче имеем 0, т.е. единица действительно является корнем данного мнгогочлена. Попробуем проверить единицу еще несколько раз. Новую таблицу для этого создавать не будем, а продолжим использование предыдущей:
Вновь в остаче ноль. Продолжим таблицу до тех пор, пока не исчерпаем все возможные значения корней:
Итог: Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целых корней метод довольно-таки неплох.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Нахождение корней многочлена – интересная и достаточно трудная задача, решение которой выходит за границы школьного курса математики. Однако для многочленов с целыми коэффициентами есть простой переборный алгоритм, позволяющий находить все рациональные корни.
Теорема. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень (– несократимая дробь),
то числитель дроби является делителем свободного члена, а знаменатель – делителем старшего коэффициента этого многочлена.
Доказательство
Пусть многочлен записан в каноническом виде Подставим и освободимся от знаменателей, домножив на наибольшую степень n:
Перенесем вправо член
Произведение делится на целое число m. По условию дробь несократима, следовательно, числа m и n взаимно просты. Тогда взаимно простыми будут числа m и Если произведение чисел делится на m, а множитель взаимно прост с m, то второй множитель должен делиться на m.
Доказательство делимости старшего коэффициента на знаменатель n доказывается точно так же, перенося вправо член и вынося слева множитель n за скобку.
Сделаем несколько замечаний к доказанной теореме.
Замечания
1) Теорема дает только необходимое условие существования рационального корня. Это означает, что нужно проверить все рациональные числа, с указанным в теореме свойством и отобрать из них те, которые окажутся корнями. Других не будет.
2) Среди делителей надо брать не только положительные, но и отрицательные целые числа.
3) Если старший коэффициент равен 1, то всякий рациональный корень должен быть целым, так как у 1 нет делителей, кроме
Проиллюстрируем теорему и замечания к ней на примерах.
1) Рациональные корни должны быть целыми.
Перебираем делители свободного члена: Положительные числа подставлять нет смысла, так как все коэффициенты многочлена положительны и при
Осталось вычислить F(–1) и F(–2). F(–1)=1+0; F(–2)=0.
Итак, многочлен имеет один целый корень x=–2.
Можем поделить F(x) на x+2:
2) Выписываем возможные значения корней:
Подстановкой убеждаемся, что и Многочлен имеет три различных рациональных корня:
Конечно, корень x = -1 угадывается легко. Потом можно разложить на множители и искать корни квадратного трехчлена обычными приемами.
ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Деление многочленов
Результатом деления является единственная пара многочленов – частное и остаток, которые должны удовлетворять равенству: < делимое > = < делитель > ´ < частное > + <… Если многочлен степени n Pn(x) является делимым,Пример №1
6х 3 + х 2 – 3х – 2 2х 2 – х – 1
6х 3 ± 3х 2 ± 3х 3х + 2
4х 2 + 0х – 2
4х 2 ± 2х ± 2
Таким образом, 6х 3 + х 2 – 3х – 2 = (2х 2 – х – 1)(3х + 2) + 2х.
Пример №2
a 5 a 4 b a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4
± a 4 b ± a 3 b 2
– a 2 b 3 + b 5
± a 2 b 3 ± ab 4
Таким образом, a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4).
Например, выражения:
a - b + c , x 2 - y 2 , 5x - 3y - z - многочлены
Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Рассмотрим многочлен:
7a + 2b - 3c - 11
выражения: 7a , 2b , -3c и -11 - это члены многочлена. Обратите внимание на член -11 он не содержит переменной, такие члены, состоящие только из числа, называются свободными .
Принято считать, что любой одночлен это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия - двучлен и трёхчлен соответственно:
7a - одночлен
7a + 2b - двучлен
7a + 2b - 3c - трёхчлен
Подобные члены
Подобные члены - одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом , знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:
| 3a 2 b | + | 5abc 2 | + | 2a 2 b | - | 7abc 2 | - | 2a 2 b |
члены 3a 2 b , 2a 2 b и -2a 2 b , так же как и члены 5abc 2 и -7abc 2 - это подобные члены.
Приведение подобных членов
Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов . Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b ) + (5abc 2 - 7abc 2)
Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:
((3 + 2 - 2)a 2 b ) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b ) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2
Приведение подобных членов - это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.
Многочлен стандартного вида
Многочлен стандартного вида - это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:
3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3
Сначала найдём подобные члены:
Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место - справа.
Например, многочлен
3x + x 3 - 2x 2 - 7
должен быть записан так:
x 3 - 2x 2 + 3x - 7
Члены многочлена являются базовыми единицами многих алгебраических структур. По своему определению, мономы - это либо натуральные числовые значения, либо некие переменные (группы умноженных друг на друга переменных).
Одним из главных математических действий над многочленом является приведение подобных слагаемых. В этом видеоуроке мы рассмотрим более подробно, что собой представляют операции над многочленом.
Так как все члены полинома между собой связаны посредством алгебраического суммирования, то все они именуются слагаемыми. Подобными же являются мономы, имеющие одинаковую буквенную часть, т.е. состоящие из одинаковых переменных. При этом переменные обязательно должны быть в одинаковой степени и при равном числовом коэффициенте. А отдельные числовые значения в многочленах считаются приравненными к подобным слагаемым сами по себе.
Приведение подобных слагаемых подразумевает группирование мономов многочлена так, чтобы получились отдельные части, состоящие полностью из подобных слагаемых. К примеру, рассмотрим данный многочлен:
3а 2 + 2ab 2 - 6 - 3с 3 + 6а 2 - 7ab 2 + 7
Подобными слагаемыми, в данном случае, являются:
- Все свободные числовые значения: -6, +7;
- Мономы с основанием а в квадрате: +3а 2 , +6а 2 ;
- Мономы с основанием аb в квадрате: 2ab 2 , -7ab 2 ;
- Мономы с основанием с в кубе: -3с 3 ;
Последняя группа состоит из одного лишь одночлена, не имеющего подобного себе во всем полиноме.
Зачем нужны такие преобразования? Приведение подобных слагаемых помогает упростить многочлен, привести его к элементарному виду, который состоит из меньшего количества мономов. Это легко сделать, сгруппировав те члены, между которыми совершаются алгебраические действия. Главными операциями тут становится вычитание и сложение - они же оказывают эффект перегруппировки и позволяют свободно перемещать одночлены внутри полинома. Поэтому вполне по правилам будет преобразовать вышеуказанный пример так:
6 +7 + 3а 2 +6а 2 + 2ab 2 +(-7ab 2) + (-3с 3) =
9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1
Реализовав стандартное вычитание и сложение, получаем упрощенный многочлен. Если первоначальный вариант насчитывал 7 одночленов, то текущий имеет всего 4 члена. Однако возникает закономерный вопрос, что является точным критерием «простоты» многочлена?
С точки зрения алгебраических правил, элементарным, а точнее - стандартным многочленом считается такой полином, у которого все основания одночленов разные, и не являются подобными друг другу. Наш пример:
9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1
Состоит из мономов с основаниями а 2 , ab 2 , с 3 , а также, из одного числового значения. Ни один из вышеперечисленных элементов не может быть суммирован или вычтен из другого. Перед нами - стандартный полином, состоящий из четырех членов.
У любого многочлена есть такой критерий, как степень. Степенью полинома, в общем отношении, называется наибольшая степень одночлена в данном многочлене. Стоит усвоить важную деталь - степени многобуквенных (многопеременных) выражений суммируются. Поэтому, общая степень ab 2 равна трем (а в первой степени, b в квадрате). А многочлен вида:
9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1
имеет степень, равную трем, так как один из одночленов находится в наибольшей кубической степени.
Степень полиномов принято определять только для стандартного вида. Если многочлен имеет подобные слагаемые, то его сначала приводят к упрощенному виду, а потом вычисляют итоговую степень.
Если многочлен состоит только из одних числовых одночленов, то его стандартная форма приобретает вид единственного числа, являющегося алгебраической суммой всех мономов. Степень данного числа, как многочлена, равна нулю. Если же само число, будучи стандартным видом полинома, приобретает значение «ноль», то его степень считается неопределенной, а сам «нулевой» многочлен называется нуль-полиномом.
На представленном видео также заметно, что любой многочлен имеет, помимо всего прочего, старший коэффициент и свободный член. Старшим коэффициентом называют числовое значение, стоящие перед переменной с наибольшей степенью (той самой, которая задает разряд самому многочлену). А свободный член - это итоговая сумма всех числовых значений многочлена. Если подобных значений в полиноме нет, либо же если они полностью сокращаются, то свободный член принимают равным 0. В примере:
7а 4 - 2в 2 + 5с 3 + 3
старшим коэффициентом является число 7, потому что оно стоит перед переменной, имеющей наибольшую степень (четвертую - и, вместе с тем, весь многочлен имеет четвертую степень). Свободный член, в данном примере, равен 3.
