Геометриското значење на модулот. Дефиниција на модул на број. Геометриското значење на модулот Дефиниција на модулот на број преку аритметичкиот квадратен корен
Во оваа статија детално ќе анализираме апсолутната вредност на некој број. Ќе дадеме различни дефиниции за модулот на број, ќе воведеме нотација и ќе дадеме графички илустрации. Во овој случај, разгледуваме различни примери за пронаоѓање на модулот на број по дефиниција. После тоа, ги наведуваме и оправдуваме главните својства на модулот. На крајот од статијата, ќе зборуваме за тоа како се одредува и наоѓа модулот на комплексен број.
Навигација на страница.
Модул на број - дефиниција, нотација и примери
Прво воведуваме ознака на модул. Модулот на бројот a ќе биде напишан како , односно лево и десно од бројот ќе ставиме вертикални линии кои го формираат знакот на модулот. Да дадеме неколку примери. На пример, модуло -7 може да се напише како ; модулот 4.125 е напишан како , а модулот е напишан како .
Следната дефиниција на модулот се однесува на, и затоа, на, и на цели броеви, и на рационални и ирационални броеви, како на составните делови на множеството реални броеви. Ќе зборуваме за модулот на комплексен број во.
Дефиниција.
Модул на ае или самиот број a, ако a е позитивен број, или бројот −a, спротивен на бројот a, ако a е негативен број, или 0, ако a=0 .
Изразената дефиниција за модулот на број често се пишува во следнава форма 
, оваа нотација значи дека ако a>0 , ако a=0 , и ако a<0
.
Записот може да биде претставен во покомпактна форма 
. Оваа нотација значи дека ако (a е поголемо или еднакво на 0 ), и ако a<0
.
Има и рекорд 
. Тука посебно треба да се објасни случајот кога a=0. Во овој случај, имаме , но −0=0 , бидејќи нула се смета за број што е спротивен на себе.
Ајде да донесеме примери за наоѓање модул на бројсо дадена дефиниција. На пример, да најдеме модули од броевите 15 и . Да почнеме со наоѓање. Бидејќи бројот 15 е позитивен, неговиот модул е, по дефиниција, еднаков на самиот овој број, односно . Кој е модулот на еден број? Бидејќи е негативен број, тогаш неговиот модул е еднаков на бројот спротивен на бројот, односно бројот 
. На овој начин,.
Како заклучок на овој став, даваме еден заклучок, кој е многу погодно да се примени во пракса при наоѓање на модулот на број. Од дефиницијата на модулот на број произлегува дека модулот на еден број е еднаков на бројот под знакот на модулот, без оглед на неговиот знак, и од примерите дискутирани погоре, тоа е многу јасно видливо. Изразената изјава објаснува зошто се нарекува и модул на број апсолутната вредност на бројот. Значи, модулот на еден број и апсолутната вредност на бројот се едно исто.
Модул на број како растојание
Геометриски, модулот на број може да се толкува како растојание. Ајде да донесеме определување на модулот на некој број во однос на растојанието.
Дефиниција.
Модул на ае растојанието од потеклото на координатната права до точката што одговара на бројот a.
Оваа дефиниција е конзистентна со дефиницијата за модулот на број дадена во првиот пасус. Ајде да ја објасниме оваа точка. Растојанието од потеклото до точката што одговара на позитивен број е еднакво на овој број. Нулата одговара на потеклото, така што растојанието од почетокот до точката со координата 0 е нула (ниту една отсечка и ниту една отсечка што сочинува кој било дел од единечната отсечка не треба да се одложи за да се стигне од точката О до точката со координата 0). Растојанието од почеток до точка со негативна координата е еднакво на бројот спротивен на координатата на дадената точка, бидејќи е еднаков на растојанието од почетокот до точката чија координата е спротивен број.
На пример, модулот на бројот 9 е 9, бидејќи растојанието од потеклото до точката со координата 9 е девет. Да земеме уште еден пример. Точката со координата −3,25 е на растојание од 3,25 од точката О, па 
.
Звучената дефиниција на модулот на број е посебен случај на дефинирање на модулот на разликата на два броја.
Дефиниција.
Модул на разлика од два броја a и b е еднакво на растојанието помеѓу точките на координатната права со координатите a и b.
Односно, ако се дадени точките на координатната права A(a) и B(b), тогаш растојанието од точката A до точката B е еднакво на модулот на разликата помеѓу броевите a и b. Ако ја земеме точката О (референтна точка) како точка Б, тогаш ќе ја добиеме дефиницијата за модулот на бројот даден на почетокот на овој став.
Одредување на модулот на број преку аритметичкиот квадратен корен
Понекогаш се наоѓа определување на модулот преку аритметичкиот квадратен корен.
На пример, да ги пресметаме модулите на броевите −30 и врз основа на оваа дефиниција. Ние имаме . Слично на тоа, ние го пресметуваме модулот од две третини: 
.
Дефиницијата на модулот на број во однос на аритметичкиот квадратен корен е исто така конзистентна со дефиницијата дадена во првиот став од овој член. Ајде да го покажеме. Нека a е позитивен број, а −a е негативен. Потоа 
И 
, ако a=0 , тогаш 
.
Својства на модулот
Модулот има голем број на карактеристични резултати - својства на модулот. Сега ќе ги дадеме главните и најчесто користените од нив. При докажување на овие својства, ќе се потпреме на дефиницијата на модулот на некој број во однос на растојанието.
Да почнеме со најочигледното својство на модулот − модул на број не може да биде негативен број. Во буквална форма, ова својство ја има формата за кој било број a. Ова својство е многу лесно да се оправда: модулот на бројот е растојанието, а растојанието не може да се изрази како негативен број.
Ајде да преминеме на следното својство на модулот. Модулот на еден број е еднаков на нула ако и само ако овој број е нула. Модулот на нула е нула по дефиниција. Нулата одговара на потеклото, ниту една друга точка на координатната права не одговара на нула, бидејќи секој реален број е поврзан со една точка на координатната права. Од истата причина, кој било број освен нула одговара на точка различна од потеклото. И растојанието од потеклото до која било точка освен точката O не е еднакво на нула, бидејќи растојанието помеѓу две точки е еднакво на нула ако и само ако овие точки се совпаѓаат. Горенаведеното расудување докажува дека само модулот на нула е еднаков на нула.
Продолжи понатаму. Спротивните броеви имаат еднакви модули, односно за кој било број a . Навистина, две точки на координатната линија, чии координати се спротивни броеви, се на исто растојание од потеклото, што значи дека модулите со спротивни броеви се еднакви.
Следното својство на модулот е: модулот на производот од два броја е еднаков на производот на модулите на овие броеви, т.е. По дефиниција, модулот на производот на броевите a и b е или a b ако , или −(a b) ако . Од правилата за множење на реалните броеви произлегува дека производот на модулите на броевите a и b е еднаков или a b , , или −(a b) , ако , што го докажува разгледуваното својство.
Модулот на количникот на делење a со b е еднаков на количникот на делење на модулот на a со модулот на b, т.е. Дозволете ни да го оправдаме ова својство на модулот. Бидејќи количникот е еднаков на производот, тогаш . Врз основа на претходниот имот, имаме 
. Останува само да се користи еднаквоста , која важи поради дефинирањето на модулот на бројот.
Следното својство на модулот е напишано како неравенство: 
, a , b и c се произволни реални броеви. Пишаната нееднаквост не е ништо повеќе од неравенство на триаголник. За да биде јасно ова, да ги земеме точките A(a) , B(b) , C(c) на координатната права и да го разгледаме дегенерираниот триаголник ABC, чии темиња лежат на истата права. По дефиниција, модулот на разликата е еднаков на должината на отсечката AB, - должината на отсечката AC и - должината на отсечката CB. Бидејќи должината на која било страна на триаголникот не го надминува збирот на должините на другите две страни, неравенството 
, значи, нееднаквоста исто така важи.
Штотуку докажаната нееднаквост е многу почеста во формата 
. Пишаната нееднаквост обично се смета како посебно својство на модулот со формулацијата: „ Модулот на збирот на два броја не го надминува збирот на модулите на овие броеви“. Но, неравенката директно следи од неравенката , ако во неа ставиме −b наместо b и земеме c=0 .
Модул на сложени броеви
Ајде да дадеме определување на модулот на комплексен број. Да ни се даде комплексен број, напишана во алгебарска форма , каде што x и y се некои реални броеви, кои ги претставуваат, соодветно, реалните и имагинарните делови на даден комплексен број z, и е имагинарна единица.
Дефиниција.
Модулот на комплексен број z=x+i y се вика аритметички квадратен корен од збирот на квадратите на реалните и имагинарните делови на даден комплексен број.
Модулот на сложениот број z се означува како , тогаш звучната дефиниција за модулот на сложениот број може да се запише како 
.
Оваа дефиниција ви овозможува да го пресметате модулот на кој било сложен број во алгебарска нотација. На пример, да го пресметаме модулот на комплексен број. Во овој пример, реалниот дел од сложениот број е , а имагинарниот дел е минус четири. Тогаш, според дефиницијата на модулот на комплексен број, имаме 
.
Геометриското толкување на модулот на комплексен број може да се даде во однос на растојанието, по аналогија со геометриското толкување на модулот на реален број.
Дефиниција.
Модул на сложен број z е растојанието од почетокот на сложената рамнина до точката што одговара на бројот z во оваа рамнина.
Според Питагоровата теорема, растојанието од точката O до точката со координати (x, y) се наоѓа како , значи, , каде . Затоа, последната дефиниција за модулот на комплексен број се согласува со првата.
Оваа дефиниција, исто така, ви овозможува веднаш да покажете колкав е модулот на сложениот број z, ако тој е напишан во тригонометриска форма како 
или во експоненцијална форма. Еве . На пример, модулот на комплексен број 
е 5 , а модулот на комплексниот број е .
Исто така, може да се види дека производот на сложен број и неговиот комплексен конјугат го дава збирот на квадратите на реалните и имагинарните делови. Навистина,. Добиената еднаквост ни овозможува да дадеме уште една дефиниција за модулот на комплексен број.
Дефиниција.
Модул на сложен број z е аритметички квадратен корен на производот на овој број и неговиот комплексен конјугат, односно .
Како заклучок, забележуваме дека сите својства на модулот формулирани во соодветната потсекција важат и за сложени броеви.
Библиографија.
- Виленкин Н.Ја. итн Математика. Одделение 6: учебник за образовни институции.
- Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 ќелии. образовните институции.
- Лантс Г.Л., Елсголтс Л.Е. Функции на сложена променлива: учебник за универзитети.
- Привалов И.И. Вовед во теоријата на функции на сложена променлива.
РЕАЛНИ БРОЕВИ II
§ 44 Геометриски приказ на реални броеви
Геометриски реалните броеви, како и рационалните броеви, се претставени со точки на права линија.
Нека биде л - произволна права линија, и О - некои од нејзините точки (Слика 58). Секој позитивен реален број α ставете ја во кореспонденција точката А, која лежи десно од О на растојание од α единици за должина.
Ако, на пример, α = 2,1356..., тогаш
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
итн. Очигледно е дека точката А во овој случај мора да биде на правата л десно од точките што одговараат на броевите
2; 2,1; 2,13; ... ,
но лево од точките што одговараат на броевите
3; 2,2; 2,14; ... .
Може да се покаже дека овие услови се дефинираат на линијата л единствената точка А, која ја сметаме како геометриска слика на реален број α = 2,1356... .
Исто така, секој негативен реален број β ставете ја во кореспонденција точката B што лежи лево од О на растојание од | β | единици за должина. Конечно, точката О ја доделуваме на бројот „нула“.
Значи, бројот 1 ќе биде прикажан на права линија л точка А, која се наоѓа десно од О на растојание од една единица должина (слика 59), бројот - √2 - точка Б, што лежи лево од О на растојание од √2 единици должина итн.
Ајде да покажеме како на права линија л со помош на компас и линијар, можете да најдете точки што одговараат на реалните броеви √2, √3, √4, √5, итн. За да го направите ова, прво ќе покажеме како да конструираме отсечки чии должини се изразени овие бројки. Нека AB е отсечка земена како единица за должина (сл. 60).
Во точката А, враќаме нормална на оваа отсечка и на неа ја издвојуваме отсечката AC, еднаква на отсечката AB. Потоа, применувајќи ја Питагоровата теорема на правоаголниот триаголник ABC, добиваме; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2
Според тоа, отсечката BC има должина √2. Сега да ја вратиме нормалната на отсечката BC во точката C и да ја избереме точката D на неа така што отсечката CD е еднаква на единечната должина AB. Потоа од правоаголниот триаголник BCD наоѓаме:
ВД \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3
Според тоа, отсечката BD има должина √3. Продолжувајќи го опишаниот процес понатаму, би можеле да ги добиеме отсечките BE, BF, ..., чии должини се изразуваат со броевите √4, √5 итн.
Сега на линија л лесно е да се најдат оние точки кои служат како геометриско претставување на броевите √2, √3, √4, √5 итн.
Ставајќи го, на пример, десно од точката O отсечката BC (сл. 61), ја добиваме точката C, која служи како геометриска претстава на бројот √2. На ист начин, ставајќи ја отсечката BD десно од точката O, ја добиваме точката D“, што е геометриска слика на бројот √3 итн.
Сепак, не треба да се мисли дека со помош на компас и линијар на бројна права л може да се најде точка која одговара на кој било даден реален број. Докажано е, на пример, дека имајќи на располагање само компас и линијар, невозможно е да се конструира отсечка чија должина е изразена со бројот π = 3,14 .... Значи на нумеричката линија л користејќи такви конструкции, невозможно е да се означи точка што одговара на овој број, но сепак таква точка постои.
Така за секој реален број α можно е да се поврзе некоја добро дефинирана точка на правата л . Оваа точка ќе биде одвоена од почетната точка О на растојание од | α | единици за должина и да биде десно од О ако α > 0, и лево од О ако α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой л . Навистина, нека бројот α одговара на точката А, а бројот β - точка Б. Тогаш, ако α > β , тогаш A ќе биде десно од B (Слика 62, а); ако α < β , тогаш А ќе лежи лево од Б (слика 62, б).
Зборувајќи во § 37 за геометриското претставување на рационалните броеви, го поставивме прашањето: дали која било точка од права линија може да се смета за геометриска слика на некои рационаленбројки? Во тоа време не можевме да дадеме одговор на ова прашање; сега можеме да одговориме сосема дефинитивно. Постојат точки на правата што служат како геометриска претстава на ирационални броеви (на пример, √2). Според тоа, не секоја точка на права линија претставува рационален број. Но, во овој случај, се поставува друго прашање: дали која било точка од вистинската линија може да се смета како геометриска слика на некои валиденбројки? Ова прашање е веќе позитивно решено.
Навистина, нека А е произволна точка на правата л , лежи десно од О (сл. 63).
Должината на отсечката ОА се изразува со некој позитивен реален број α (види § 41). Затоа точката А е геометриска слика на бројот α . На сличен начин, утврдено е дека секоја точка Б, која лежи лево од О, може да се смета како геометриска слика на негативен реален број - β , каде β - должината на отсечката VO. Конечно, точката О служи како геометриски приказ на бројот нула. Јасно е дека две различни точки на линијата л не може да биде геометриска слика на ист реален број.
Од причините наведени погоре, права линија на која некоја точка O е означена како „почетна“ точка (за дадена единица должина) се нарекува бројна линија.
Излез. Множеството од сите реални броеви и множеството од сите точки од реалната права се во кореспонденција еден на еден.
Ова значи дека секој реален број одговара на една, добро дефинирана точка од бројната права и, обратно, на секоја точка од бројната права, со таква кореспонденција, одговара еден, добро дефиниран реален број.
Вежби
320. Откријте која од двете точки е на бројната права лево, а која десно, ако овие точки одговараат на броеви:
а) 1,454545... и 1,455454...; в) 0 и - 1,56673...;
б) - 12.0003... и - 12.0002...; г) 13.24... и 13.00 часот....
321. Откријте која од двете точки е подалеку од почетната точка О на бројната права, ако овие точки одговараат на броеви:
а) 5,2397... и 4,4996...; .. в) -0,3567... и 0,3557... .
г) - 15.0001 и - 15.1000...;
322. Во овој дел се покажа дека за да се конструира отсечка со должина √ n со помош на компас и прав, можете да го направите следново: прво конструирајте отсечка со должина од √2, потоа отсечка со должина од √3 итн., додека не дојдеме до отсечка со должина од √ n . Но, за секој поправен П > 3 овој процес може да се забрза. Како, на пример, би почнале да градите сегмент со должина √10?
323*. Како да користите компас и линијар за да пронајдете точка на бројната линија што одговара на бројот 1 / α , ако позицијата на точката што одговара на бројот α , познато?
ПОГЛАВЈЕ 1 Променливи и функции§1.1. Реални бројки
Првото запознавање со реалните броеви се случува во училишниот курс по математика. Секој реален број е претставен со конечна или бесконечна децимална дропка.
Реалните (реалните) броеви се поделени во две класи: класа на рационални и класа на ирационални броеви. Рационалносе нарекуваат броеви кои изгледаат како , каде мИ nсе сопримерни цели броеви, но 
. (Множеството рационални броеви се означува со буквата П). Се повикуваат останатите реални броеви ирационален. Рационалните броеви се претставени со конечна или бесконечна периодична дропка (исто како и обичните дропки), тогаш тие и само оние реални броеви што можат да бидат претставени со бесконечни непериодични дропки ќе бидат ирационални.
На пример, број 
- рационално и 
, 
, 
итн. се ирационални броеви.
Реалните броеви може да се поделат и на алгебарски - корените на полиномот со рационални коефициенти (тие ги вклучуваат, особено, сите рационални броеви - корените на равенката 
) - и трансцендентално - сите останати (на пример, броеви 
и други).
Множествата од сите природни, цели и реални броеви се означени соодветно на следниов начин: НЗ, Р
(почетните букви од зборовите Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Слика на реални броеви на бројната права. Интервали
Геометриски (за јасност), реалните броеви се претставени со точки на бесконечна (во двете насоки) права линија, т.н. нумерички
оска. За таа цел, се зема точка на линијата што се разгледува (референтната точка е точка 0), се означува позитивна насока, прикажана со стрелка (обично надесно) и се избира единица за скала, која се издвојува неодредено од двете страни на точката 0. Така се прикажуваат цели броеви. За да се прикаже број со едно децимално место, секој сегмент мора да се подели на десет делови итн. Така, секој реален број е претставен со точка на бројната права. Спротивно на тоа, секоја точка 
одговара на реален број еднаков на должината на отсечката 
и се зема со знакот „+“ или „-“, во зависност од тоа дали точката лежи десно или лево од потеклото. Така, се воспоставува кореспонденција еден-на-еден помеѓу множеството од сите реални броеви и множеството од сите точки на нумеричката оска. Термините „вистински број“ и „точка на нумеричката оска“ се користат како синоними.
Симбол 
ќе означиме и реален број и точка што му одговара. Позитивните броеви се наоѓаат десно од точката 0, негативните - лево. Ако 
, потоа на вистинската оска точката 
лежи лево од точката 
. Нека поентата 
одговара на број, тогаш бројот се нарекува координата на точката, пишуваат 
; почесто самата точка се означува со истата буква како и бројот. Точката 0 е потеклото на координатите. Оската се означува и со буквата 
(сл.1.1).
Ориз. 1.1. Нумеричка оска.
Множеството на сите лажни броеви помеѓудадени броеви и се нарекува интервал или празнина; краевите може да му припаѓаат или не. Да го разјасниме ова. Нека биде 
. Збир на броеви кои го задоволуваат условот 
, се нарекува интервал (во потесна смисла) или отворен интервал, означен со симболот 
(сл.1.2).
Ориз. 1.2. Интервал
Збирка на броеви таква што 
се нарекува затворен интервал (сегмент, сегмент) и се означува со 
; на нумеричката оска е означено на следниов начин:
Ориз. 1.3. затворен интервал
Од отворениот јаз се разликува само по две точки (краеви) и . Но, оваа разлика е фундаментална, суштинска, како што ќе видиме подоцна, на пример, кога ги проучуваме својствата на функциите.
Испуштање на зборовите „множество од сите броеви (точки) xтака што ", итн., понатаму забележуваме:
И 
, означено 
И 
полуотворени или полузатворени интервали (понекогаш: полу-интервали);
или 
значи: 
или 
и означува 
или 
;
или 
значи 
или 
и означува 
или 
;
, означено 
множеството од сите реални броеви. Значки 
симболи на „бесконечност“; тие се нарекуваат неправилни или идеални броеви. 
§1.3. Апсолутна вредност (или модул) на реален број
Дефиниција. Апсолутна вредност (или модул)број се нарекува самиот број, ако 
или 
ако 
. Апсолутната вредност се означува со симболот 
. Значи, 
На пример, 
, 
, 
.
Геометриски значи растојание од точка адо потеклото на координатите. Ако имаме две точки и , тогаш растојанието меѓу нив може да се претстави како 
(или 
). На пример, 
тоа растојание 
.
Својства на апсолутни вредности.
1. Од дефиницијата произлегува дека 
, 
, т.е 
.
2. Апсолутната вредност на збирот и разликата не го надминува збирот на апсолутните вредности: 
.
1) Ако 
, тогаш 
. 2) Ако 
, тогаш. ▲
3. 
.
, потоа според својството 2: 
, т.е. 
. Слично, ако замислиме 
, тогаш доаѓаме до нееднаквоста 
▲
4. 
– произлегува од дефиницијата: разгледајте случаи 
И 
.
5. 
, под услов тоа 
Истото произлегува од дефиницијата.
6. Нееднаквост 
,
, значи 
. Оваа нееднаквост се задоволува со точките што се наоѓаат помеѓу 
И 
.
7. Нееднаквост 
е еквивалентно на нееднаквоста 
, т.е. . Тоа е интервал центриран на точката на должина 
. Тоа се нарекува 
соседство на точка (број) . Ако 
, тогаш маалото се нарекува дупнато: ова или 
. (Сл.1.4).
8. 
од каде произлегува дека неравенството 
(
) е еквивалентно на неравенството 
или 
; и нееднаквоста 
го одредува множеството точки за кои 
, т.е. се точки надвор од сегментот 
, точно: 
И 
.
§1.4. Некои концепти, ознаки
Дозволете ни да дадеме некои широко користени концепти, нотации од теоријата на множества, математичката логика и други гранки на модерната математика.
1 . концепт множествае еден од основните во математиката, почетна, универзална - и затоа не може да се дефинира. Може да се опише само (заменето со синоними): тоа е збирка, збирка на некои предмети, нешта, обединети со некои знаци. Овие предмети се нарекуваат елементимножества. Примери: многу зрна песок на брегот, ѕвезди во универзумот, ученици во училницата, корените на равенката, точките од сегментот. Се повикуваат множества чии елементи се броеви нумерички множества. За некои стандардни множества, се воведува посебна нотација, на пример, Н,З,R-види § 1.1.
Нека биде А- сет и xе неговиот елемент, тогаш пишуваме: 
; гласи " xприпаѓа А» ( 
знак за вклучување на елементи). Доколку предметот xне се вклучени во А, потоа пишуваат 
; гласи: " xне припаѓаат А“. На пример, 
Н; 8,51
Н; но 8,51 
Р.
Ако xе општа ознака за елементи од множество А, потоа пишуваат 
. Ако е можно да се напише ознаката на сите елементи, тогаш напишете 
, 
итн Множеството кое не содржи ниту еден елемент се нарекува празно множество и се означува со симболот ; на пример, множеството од (вистински) корени на равенката 
има празен.
Сетот се вика конечнаако се состои од конечен број елементи. Ако, пак, без разлика кој природен број N се земе, во множеството Атогаш има повеќе елементи од N Аповикани бескрајнамножество: во него има бескрајно многу елементи.
Ако секој елемент од множеството ^ Априпаѓа на комплетот Б, тогаш 
наречен дел или подмножество од множество Би пишувај 
; гласи " Асодржани во Б» ( 
има знак за вклучување за множества). На пример, НЗР.Доколку и 
, тогаш велиме дека множествата АИ Беднакви и пишуваат 
. Во спротивно, пиши 
. На пример, ако 
, но 
збир на корени на равенката 
, тогаш.
Множеството елементи од двете множества АИ Бповикани асоцијацијасе поставува и се означува 
(понекогаш 
). Множеството елементи кои припаѓаат на и АИ Б, се нарекува раскрсницасе поставува и се означува 
. Множество од сите елементи на множеството ^ А, кои не се вклучени во Б, се нарекува разликасе поставува и се означува 
. Шематски, овие операции може да се прикажат на следниов начин:
Ако може да се воспостави кореспонденција еден на еден помеѓу елементите на множествата, тогаш тие велат дека овие множества се еквивалентни и пишуваат 
. Било кој сет А, еквивалентно на множеството природни броеви Н= повикан пребројливили пребројлив.Со други зборови, множеството се нарекува бројливо ако неговите елементи можат да се нумерираат, сместени во бесконечно последователна низа 
, чиишто членови се различни: 
на 
, а може да се напише како . Други бесконечни множества се нарекуваат безброј. Пребројлив, освен самиот сет N,ќе има, на пример, множества 
, З.Излегува дека множествата на сите рационални и алгебарски броеви се избројливи, а еквивалентните множества на сите ирационални, трансцендентални, реални броеви и точки од кој било интервал се неброиви. Тие велат дека вторите ја имаат моќта на континуумот (моќта е генерализација на концептот на бројот (бројот) на елементи за бесконечно множество).
2
. Нека има две изјави, два факти: и 
. Симбол 
значи: „ако е точно, тогаш точно и“ или „следи“, „имплицира дека коренот на равенката има својство од англискиот Постои- постојат.
Снимање: 
, или 
, значи: има (најмалку еден) објект што го има имотот 
. Рекорден 
, или 
, значи: сите имаат имот . Конкретно, можеме да напишеме: 
И .
Веќе знаеме дека множеството реални броеви $R$ е формирано од рационални и ирационални броеви.
Рационалните броеви секогаш може да се претстават како децимали (конечни или бесконечни периодични).
Ирационалните броеви се пишуваат како бесконечни, но неповторливи децимали.
Множеството реални броеви $R$ ги вклучува и елементите $-\infty $ и $+\infty $, за кои неравенките $-\infty
Размислете за начини за претставување на реални броеви.
Заеднички дропки
Обичните дропки се пишуваат со употреба на два природни броја и хоризонтална фракциона лента. Дробната лента всушност го заменува знакот за поделба. Бројот под линијата е именителот (делител), бројот над линијата е броител (делив).
Дефиниција
Дропката се нарекува соодветна ако нејзиниот броител е помал од неговиот именител. Спротивно на тоа, дропка се нарекува неправилна ако нејзиниот броител е поголем или еднаков на неговиот именител.
За обичните дропки, постојат едноставни, практично очигледни правила за споредба ($m$,$n$,$p$ се природни броеви):
- од две дропки со исти именители, онаа со поголем броител е поголема, т.е. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ за $m>n$;
- од две дропки со исти броители, онаа со помал именител е поголема, т.е. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ за $ m
- соодветна дропка е секогаш помала од една; неправилната дропка е секогаш поголема од една; дропка чиј броител е еднаков на именителот е еднаква на еден;
- Секоја неправилна дропка е поголема од која било соодветна дропка.
Децимални броеви
Ознаката на децимален број (децимална дропка) има форма: цел број, децимална точка, дробен дел. Децималната ознака на обична дропка може да се добие со делење на „аголот“ на броителот со именителот. Ова може да резултира или со конечна децимална дропка или со бесконечна периодична децимална дропка.
Дефиниција
Дробните цифри се нарекуваат децимални места. Во овој случај, првата цифра по децималната точка се нарекува десетти цифра, втората - стотинка, третата - илјадити цифра итн.
Пример 1
Ја одредуваме вредноста на децималниот број 3,74. Добиваме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Децималниот број може да се заокружи. Во овој случај, мора да ја наведете цифрата на која се врши заокружување.
Правилото за заокружување е како што следува:
- сите цифри десно од оваа цифра се заменуваат со нули (ако овие цифри се пред децималната точка) или се отфрлаат (ако овие цифри се по децималната точка);
- ако првата цифра што следи по дадената цифра е помала од 5, тогаш цифрата на оваа цифра не се менува;
- ако првата цифра по дадената цифра е 5 или повеќе, тогаш цифрата од оваа цифра се зголемува за еден.
Пример 2
- Да го заокружиме бројот 17302 до најблиската илјада: 17000.
- Да го заокружиме бројот 17378 до најблиската стотка: 17400.
- Да го заокружиме бројот 17378,45 на десетки: 17380.
- Да го заокружиме бројот 378,91434 до најблиската стотинка: 378,91.
- Да го заокружиме бројот 378,91534 до најблиската стотинка: 378,92.
Претворање децимален број во заедничка дропка.
Случај 1
Децимален број е крајна децимала.
Методот на конверзија е прикажан во следниот пример.
Пример 2
Имаме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Намали на заеднички именител и добиј:
Дропката може да се намали: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Случај 2
Децимален број е бесконечна повторлива децимала.
Методот на трансформација се заснова на фактот дека периодичниот дел од периодична децимална дропка може да се смета како збир на членови на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија.
Пример 4
$0,\left(74\десно)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Првиот член на прогресијата е $a=0,74$, именителот на прогресијата е $q=0,01$.
Пример 5
$0,5\left(8\десно)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Првиот член на прогресијата е $a=0,08$, именителот на прогресијата е $q=0,1$.
Збирот на членовите на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија се пресметува со формулата $s=\frac(a)(1-q) $, каде што $a$ е првиот член и $q$ е именителот на прогресијата $ \лево (0
Пример 6
Да ја претвориме бесконечната периодична децимална дропка $0,\left(72\десно)$ во правилна.
Првиот член на прогресијата е $a=0,72$, именителот на прогресијата е $q=0,01$. Добиваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 ) (11) $. Значи $0,\left(72\десно)=\frac(8)(11) $.
Пример 7
Ајде да ја претвориме бесконечната периодична децимална дропка $0,5\left(3\десно)$ во правилна.
Првиот член на прогресијата е $a=0,03$, именителот на прогресијата е $q=0,1$. Добиваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1 ) (30) $.
Значи $0,5\left(3\десно)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
Реалните броеви може да се претстават со точки на бројната права.
Во овој случај, нумеричката оска ја нарекуваме бесконечна линија на која се избираат потеклото (точка $O$), позитивната насока (означена со стрелка) и скалата (за прикажување на вредностите).
Помеѓу сите реални броеви и сите точки на нумеричката оска постои кореспонденција еден на еден: секоја точка одговара на еден број и, обратно, секој број одговара на една точка. Според тоа, множеството реални броеви е континуирано и бесконечно на ист начин како што бројната оска е континуирана и бесконечна.
Некои подмножества од множеството реални броеви се нарекуваат нумерички интервали. Елементите на нумеричкиот интервал се броеви $x\in R$ кои задоволуваат одредена неравенка. Нека $a\in R$, $b\во R$ и $a\le b$. Во овој случај, типовите на празнини може да бидат како што следува:
- Интервал $\лево(a,\; b\десно)$. Во исто време $ a
- Сегмент $\left$. Покрај тоа, $a\le x\le b$.
- Полу-сегменти или полу-интервали $\лево$. Во исто време $ a \le x
- Бесконечни распони, на пр. $a
Од големо значење е и еден вид интервал, наречен соседство на точка. Соседството на дадена точка $x_(0) \во R$ е произволен интервал $\left(a,\; b\right)$ кој ја содржи оваа точка во себе, т.е. $a 0$ - 10-ти радиус.
Апсолутната вредност на бројот
Апсолутната вредност (или модул) на реален број $x$ е ненегативен реален број $\лево|x\десно|$, дефиниран со формулата: $\лево|x\десно|=\лево\(\ почеток (низа) (в) (\; \; x\; \; (\rm вклучен)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm вклучен)\; \; x
Геометриски, $\лево|x\десно|$ значи растојание помеѓу точките $x$ и 0 на вистинската оска.
Својства на апсолутни вредности:
- од дефиницијата произлегува дека $\лево|x\десно|\ge 0$, $\лево|x\десно|=\лево|-x\десно|$;
- за модулот на збирот и за модулот на разликата на два броја, неравенките $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ лево|xy\десно|\le \лево|x\десно|+\лево|y\десно|$ и исто така $\лево|x+y\десно|\ge \лево|x\десно|-\лево|y \десно|$,$\ лево|xy\десно|\ge \лево|x\десно|-\лево|y\десно|$;
- модулот на производот и модулот на количникот од два броја ги задоволуваат еднаквостите $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\десно|$ и $\left |\frac(x)(y) \десно|=\frac(\лево|x\десно|)(\лево|y\десно|) $.
Врз основа на дефиницијата на апсолутната вредност за произволен број $a>0$, може да се утврди и еквивалентноста на следните парови на неравенки:
- ако $ \лево|x\десно|
- ако $\лево|x\десно|\le a$ тогаш $-a\le x\le a$;
- ако $\лево|x\десно|>a$ тогаш или $xa$;
- ако $\лево|x\десно|\ge a$, тогаш или $x\le -a$ или $x\ge a$.
Пример 8
Решете ја неравенката $\left|2\cdot x+1\right|
Оваа неравенка е еквивалентна на неравенките -7 $
Од тука добиваме: -8 долари
Веќе знаеме дека множеството реални броеви $R$ е формирано од рационални и ирационални броеви.
Рационалните броеви секогаш може да се претстават како децимали (конечни или бесконечни периодични).
Ирационалните броеви се пишуваат како бесконечни, но неповторливи децимали.
Множеството реални броеви $R$ ги вклучува и елементите $-\infty $ и $+\infty $, за кои неравенките $-\infty
Размислете за начини за претставување на реални броеви.
Заеднички дропки
Обичните дропки се пишуваат со употреба на два природни броја и хоризонтална фракциона лента. Дробната лента всушност го заменува знакот за поделба. Бројот под линијата е именителот (делител), бројот над линијата е броител (делив).
Дефиниција
Дропката се нарекува соодветна ако нејзиниот броител е помал од неговиот именител. Спротивно на тоа, дропка се нарекува неправилна ако нејзиниот броител е поголем или еднаков на неговиот именител.
За обичните дропки, постојат едноставни, практично очигледни правила за споредба ($m$,$n$,$p$ се природни броеви):
- од две дропки со исти именители, онаа со поголем броител е поголема, т.е. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ за $m>n$;
- од две дропки со исти броители, онаа со помал именител е поголема, т.е. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ за $ m
- соодветна дропка е секогаш помала од една; неправилната дропка е секогаш поголема од една; дропка чиј броител е еднаков на именителот е еднаква на еден;
- Секоја неправилна дропка е поголема од која било соодветна дропка.
Децимални броеви
Ознаката на децимален број (децимална дропка) има форма: цел број, децимална точка, дробен дел. Децималната ознака на обична дропка може да се добие со делење на „аголот“ на броителот со именителот. Ова може да резултира или со конечна децимална дропка или со бесконечна периодична децимална дропка.
Дефиниција
Дробните цифри се нарекуваат децимални места. Во овој случај, првата цифра по децималната точка се нарекува десетти цифра, втората - стотинка, третата - илјадити цифра итн.
Пример 1
Ја одредуваме вредноста на децималниот број 3,74. Добиваме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Децималниот број може да се заокружи. Во овој случај, мора да ја наведете цифрата на која се врши заокружување.
Правилото за заокружување е како што следува:
- сите цифри десно од оваа цифра се заменуваат со нули (ако овие цифри се пред децималната точка) или се отфрлаат (ако овие цифри се по децималната точка);
- ако првата цифра што следи по дадената цифра е помала од 5, тогаш цифрата на оваа цифра не се менува;
- ако првата цифра по дадената цифра е 5 или повеќе, тогаш цифрата од оваа цифра се зголемува за еден.
Пример 2
- Да го заокружиме бројот 17302 до најблиската илјада: 17000.
- Да го заокружиме бројот 17378 до најблиската стотка: 17400.
- Да го заокружиме бројот 17378,45 на десетки: 17380.
- Да го заокружиме бројот 378,91434 до најблиската стотинка: 378,91.
- Да го заокружиме бројот 378,91534 до најблиската стотинка: 378,92.
Претворање децимален број во заедничка дропка.
Случај 1
Децимален број е крајна децимала.
Методот на конверзија е прикажан во следниот пример.
Пример 2
Имаме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Намали на заеднички именител и добиј:
Дропката може да се намали: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Случај 2
Децимален број е бесконечна повторлива децимала.
Методот на трансформација се заснова на фактот дека периодичниот дел од периодична децимална дропка може да се смета како збир на членови на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија.
Пример 4
$0,\left(74\десно)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Првиот член на прогресијата е $a=0,74$, именителот на прогресијата е $q=0,01$.
Пример 5
$0,5\left(8\десно)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Првиот член на прогресијата е $a=0,08$, именителот на прогресијата е $q=0,1$.
Збирот на членовите на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија се пресметува со формулата $s=\frac(a)(1-q) $, каде што $a$ е првиот член и $q$ е именителот на прогресијата $ \лево (0
Пример 6
Да ја претвориме бесконечната периодична децимална дропка $0,\left(72\десно)$ во правилна.
Првиот член на прогресијата е $a=0,72$, именителот на прогресијата е $q=0,01$. Добиваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 ) (11) $. Значи $0,\left(72\десно)=\frac(8)(11) $.
Пример 7
Ајде да ја претвориме бесконечната периодична децимална дропка $0,5\left(3\десно)$ во правилна.
Првиот член на прогресијата е $a=0,03$, именителот на прогресијата е $q=0,1$. Добиваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1 ) (30) $.
Значи $0,5\left(3\десно)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
Реалните броеви може да се претстават со точки на бројната права.
Во овој случај, нумеричката оска ја нарекуваме бесконечна линија на која се избираат потеклото (точка $O$), позитивната насока (означена со стрелка) и скалата (за прикажување на вредностите).
Помеѓу сите реални броеви и сите точки на нумеричката оска постои кореспонденција еден на еден: секоја точка одговара на еден број и, обратно, секој број одговара на една точка. Според тоа, множеството реални броеви е континуирано и бесконечно на ист начин како што бројната оска е континуирана и бесконечна.
Некои подмножества од множеството реални броеви се нарекуваат нумерички интервали. Елементите на нумеричкиот интервал се броеви $x\in R$ кои задоволуваат одредена неравенка. Нека $a\in R$, $b\во R$ и $a\le b$. Во овој случај, типовите на празнини може да бидат како што следува:
- Интервал $\лево(a,\; b\десно)$. Во исто време $ a
- Сегмент $\left$. Покрај тоа, $a\le x\le b$.
- Полу-сегменти или полу-интервали $\лево$. Во исто време $ a \le x
- Бесконечни распони, на пр. $a
Од големо значење е и еден вид интервал, наречен соседство на точка. Соседството на дадена точка $x_(0) \во R$ е произволен интервал $\left(a,\; b\right)$ кој ја содржи оваа точка во себе, т.е. $a 0$ - 10-ти радиус.
Апсолутната вредност на бројот
Апсолутната вредност (или модул) на реален број $x$ е ненегативен реален број $\лево|x\десно|$, дефиниран со формулата: $\лево|x\десно|=\лево\(\ почеток (низа) (в) (\; \; x\; \; (\rm вклучен)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm вклучен)\; \; x
Геометриски, $\лево|x\десно|$ значи растојание помеѓу точките $x$ и 0 на вистинската оска.
Својства на апсолутни вредности:
- од дефиницијата произлегува дека $\лево|x\десно|\ge 0$, $\лево|x\десно|=\лево|-x\десно|$;
- за модулот на збирот и за модулот на разликата на два броја, неравенките $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ лево|xy\десно|\le \лево|x\десно|+\лево|y\десно|$ и исто така $\лево|x+y\десно|\ge \лево|x\десно|-\лево|y \десно|$,$\ лево|xy\десно|\ge \лево|x\десно|-\лево|y\десно|$;
- модулот на производот и модулот на количникот од два броја ги задоволуваат еднаквостите $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\десно|$ и $\left |\frac(x)(y) \десно|=\frac(\лево|x\десно|)(\лево|y\десно|) $.
Врз основа на дефиницијата на апсолутната вредност за произволен број $a>0$, може да се утврди и еквивалентноста на следните парови на неравенки:
- ако $ \лево|x\десно|
- ако $\лево|x\десно|\le a$ тогаш $-a\le x\le a$;
- ако $\лево|x\десно|>a$ тогаш или $xa$;
- ако $\лево|x\десно|\ge a$, тогаш или $x\le -a$ или $x\ge a$.
Пример 8
Решете ја неравенката $\left|2\cdot x+1\right|
Оваа неравенка е еквивалентна на неравенките -7 $
Од тука добиваме: -8 долари
