Што се дефиниција за логаритми. Што е логаритам? Решение на логаритми. Примери. Својства на логаритмите. Аргумент и основа на логаритмот
Значи, имаме моќ од два. Ако го земете бројот од крајната линија, тогаш лесно можете да ја пронајдете моќта на која треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.
И сега - всушност, дефиницијата на логаритам:
Основата на логаритамот на аргументот x е моќта до која бројот a мора да се подигне за да се добие бројот x.
Ознака: log a x \u003d b, каде што a е основата, x е аргументот, b е всушност она на што е еднаков на логаритамот.
На пример, 2 3 = 8 ⇒ лог 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Може и да логирате 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.
Операцијата за наоѓање логаритам на број на дадена основа се нарекува логаритам. Значи, да додадеме нов ред на нашата табела:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| дневник 2 2 = 1 | дневник 2 4 = 2 | дневник 2 8 = 3 | дневник 2 16 = 4 | дневник 2 32 = 5 | дневник 2 64 = 6 |
За жал, не сите логаритми се разгледуваат толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на сегментот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка може да се пишуваат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да го оставите вака: дневник 2 5, дневник 3 8, лог 5 100.
Важно е да се разбере дека логаритамот е израз со две променливи (основа и аргумент). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:
Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритамот е моќта, на што треба да ја подигнете основата за да го добиете аргументот. Тоа е основата која е подигната на јачина - на сликата е означена со црвено. Излегува дека основата е секогаш на дното! Ова прекрасно правило им го кажувам на моите ученици уште на првиот час - и нема забуна.
Ја сфативме дефиницијата - останува да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:
- Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата на степенот со рационален експонент, на кој е намалена дефиницијата на логаритамот.
- Основата мора да се разликува од единството, бидејќи единицата за која било моќ е сè уште единица. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!
Таквите ограничувања се нарекуваат валиден опсег(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Имајте на ум дека не постојат ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот) не е наметната. На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1 .
Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае ODZ на логаритамот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од составувачите на проблемите. Но, кога ќе влезат во игра логаритамските равенки и неравенки, барањата за DHS ќе станат задолжителни. Навистина, во основата и аргументот може да има многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.
Сега разгледајте ја општата шема за пресметување логаритми. Се состои од три чекори:
- Основата a и аргументот x изразете ги како сила со најмала можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децималните фракции;
- Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
- Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.
Тоа е се! Ако логаритамот се покаже дека е ирационален, тоа ќе се види веќе на првиот чекор. Барањето основата да биде поголема од една е многу релевантно: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Слично на децималните фракции: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу пати помалку грешки.
Ајде да видиме како функционира оваа шема со конкретни примери:
Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Да ја направиме и решиме равенката:
дневник 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Доби одговор: 2.
Задача. Пресметајте го логаритамот:
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Да ја направиме и решиме равенката:
дневник 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Доби одговор: 3.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Да ја направиме и решиме равенката:
дневник 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Доби одговор: 0.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не е претставен како моќ од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
- Од претходниот став произлегува дека логаритамот не се разгледува;
- Одговорот е без промена: дневник 7 14.
Мала забелешка за последниот пример. Како да се увериме дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу едноставно - само разградете го на основни фактори. И ако таквите фактори не можат да се соберат во степен со исти показатели, тогаш оригиналниот број не е точен степен.
Задача. Откријте дали точните сили на бројот се: 8; 48; 81; 35; Четиринаесет.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 е точниот степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна моќност бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - точен степен;
35 \u003d 7 5 - повторно не е точен степен;
14 \u003d 7 2 - повторно не е точен степен;
Забележете исто така дека самите прости броеви се секогаш точни моќи на самите нив.
Децимален логаритам
Некои логаритми се толку вообичаени што имаат посебно име и ознака.
Децималниот логаритам на аргументот x е логаритам на основата 10, т.е. моќта до која треба да го подигнете бројот 10 за да го добиете бројот x. Ознака: lg x.
На пример, дневник 10 = 1; дневник 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.
Отсега па натаму, кога во учебникот ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте навикнати на таква ознака, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x
Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децимали.
природен логаритам
Постои уште еден логаритам кој има своја нотација. Во извесна смисла, тоа е уште поважно од децималното. Ова е природниот логаритам.
Природниот логаритам на аргументот x е логаритам на основата e , т.е. моќта до која треба да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x .
Многумина ќе прашаат: кој друг е бројот e? Ова е ирационален број, неговата точна вредност не може да се најде и запише. Еве ги само првите бројки:
e = 2,718281828459...
Нема да навлегуваме во тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x
Така ln e = 1; дневник e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Општо земено, природниот логаритам на кој било рационален број е ирационален. Освен, се разбира, единството: ln 1 = 0.
За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.
Логаритмот на позитивен број b за основата a (a>0, a не е еднаков на 1) е број c таков што ac = b: log ab = c ⇔ ac = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Забележете дека логаритамот на непозитивен број не е дефиниран. Исто така, основата на логаритамот мора да биде позитивен број кој не е еднаков на 1. На пример, ако квадратиме -2, го добиваме бројот 4, но тоа не значи дека логаритамот на основата -2 од 4 е 2.
Основен логаритамски идентитет
a лог a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Важно е дека доменот на дефинирање на десниот и левиот дел од оваа формула се различни. Левата страна е дефинирана само за b>0, a>0 и a ≠ 1. Десната страна е дефинирана за кое било b, и воопшто не зависи од a. Така, примената на основниот логаритамски „идентитет“ при решавање равенки и неравенки може да доведе до промена на DPV.
Две очигледни последици од дефиницијата на логаритамот
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Навистина, кога го подигаме бројот a на првата моќност, го добиваме истиот број, а кога го подигаме на нулта моќ, добиваме еден.
Логаритм на производот и логаритам на количник
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Би сакал да ги предупредам учениците од непромислената употреба на овие формули при решавање на логаритамски равенки и неравенки. Кога се користат „од лево кон десно“, ODZ се стеснува, а кога се движи од збирот или разликата на логаритмите до логаритмот на производот или количникот, ODZ се шири.
Навистина, изразот log a (f (x) g (x)) е дефиниран во два случаи: кога двете функции се строго позитивни или кога f(x) и g(x) и двете се помали од нула.
Трансформирајќи го овој израз во збир log a f (x) + log a g (x) , ние сме принудени да се ограничиме само на случајот кога f(x)>0 и g(x)>0. Постои стеснување на опсегот на дозволени вредности и тоа е категорично неприфатливо, бидејќи може да доведе до губење на решенија. Сличен проблем постои и за формулата (6).
Степенот може да се извади од знакот на логаритамот
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)И повторно би сакал да повикам на точност. Размислете за следниов пример:
Пријавете се a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левата страна на еднаквоста е очигледно дефинирана за сите вредности на f(x) освен нула. Десната страна е само за f(x)>0! Извлекувајќи ја моќноста од логаритамот, повторно го стеснуваме ODZ. Обратна постапка води до проширување на опсегот на дозволени вредности. Сите овие забелешки се однесуваат не само на моќта на 2, туку и на секоја парна моќ.
Формула за преселба во нова база
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Тој редок случај кога ODZ не се менува при конверзија. Ако паметно сте ја одбрале основата c (позитивна и не е еднаква на 1), формулата за преместување во нова основа е совршено безбедна.
Ако го избереме бројот b како нова основа c, ќе добиеме важен посебен случај на формулата (8):
Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Неколку едноставни примери со логаритми
Пример 1 Пресметајте: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Ја користевме формулата за збир на логаритми (5) и дефиниција за децимален логаритам.
Пример 2 Пресметај: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Ја користевме новата формула за транзиција на базите (8).
Табела со формули поврзани со логаритми
| a лог a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Со развојот на општеството, сложеноста на производството, се разви и математиката. Движење од едноставно до сложено. Од вообичаениот сметководствен метод на собирање и одземање, со нивното постојано повторување, дошле до концептот на множење и делење. Намалувањето на множи повторената операција стана концепт на степенување. Првите табели за зависноста на броевите од основата и бројот на степенување беа составени уште во 8 век од индискиот математичар Варасена. Од нив, можете да го броите времето на појава на логаритми.
Историски преглед
Заживувањето на Европа во 16 век го поттикнало и развојот на механиката. Т бараше голема количина на пресметкиповрзани со множење и делење на повеќецифрени броеви. Античките маси направија одлична услуга. Тие овозможија да се заменат сложените операции со поедноставни - собирање и одземање. Голем чекор напред беше делото на математичарот Мајкл Штифел, објавено во 1544 година, во кое тој ја реализираше идејата на многу математичари. Ова овозможи да се користат табели не само за степени во форма на прости броеви, туку и за произволни рационални.
Во 1614 година, Шкотланѓанецот Џон Напиер, развивајќи ги овие идеи, прв го воведе новиот термин „логаритам на број“. Беа составени нови сложени табели за пресметување на логаритмите на синусите и косинусите, како и тангентите. Ова во голема мера ја намали работата на астрономите.
Почнаа да се појавуваат нови табели, кои успешно ги користеа научниците три века. Помина многу време пред новата операција во алгебрата да ја добие својата завршена форма. Беше дефиниран логаритамот и беа проучени неговите својства.
Дури во 20 век, со појавата на калкулаторот и компјутерот, човештвото ги напуштило древните маси кои успешно функционирале во текот на 13 век.
Денес го нарекуваме логаритам на b за да го засноваме a бројот x, кој е моќта на a, за да го добиеме бројот b. Ова е напишано како формула: x = log a(b).
На пример, дневникот 3(9) ќе биде еднаков на 2. Ова е очигледно ако ја следите дефиницијата. Ако подигнеме 3 на моќност од 2, добиваме 9.
Така, формулираната дефиниција става само едно ограничување, броевите a и b мора да бидат реални.
Сорти на логаритми
Класичната дефиниција се нарекува реален логаритам и всушност е решение на равенката a x = b. Опцијата a = 1 е гранична и не е од интерес. Забелешка: 1 на која било моќност е 1.
Реална вредност на логаритамотдефинирано само ако основата и аргументот се поголеми од 0, а основата не смее да биде еднаква на 1.
Посебно место во областа на математикатаиграјте логаритми, кои ќе бидат именувани во зависност од вредноста на нивната основа:
Правила и ограничувања
Основното својство на логаритмите е правилото: логаритамот на производот е еднаков на логаритамскиот збир. log abp = log a(b) + log a(p).
Како варијанта на оваа изјава, тоа ќе биде: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), функцијата количник е еднаква на разликата на функциите.
Лесно е да се види од претходните две правила дека: log a(b p) = p * log a(b).
Други својства вклучуваат:
Коментар. Не правете вообичаена грешка - логаритмот на збирот не е еднаков на збирот на логаритмите.
За многу векови, операцијата за наоѓање на логаритам беше прилично долга задача. Математичарите ја користеа добро познатата формула на логаритамската теорија на експанзија во полином:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), каде што n е природен број поголем од 1, што ја одредува точноста на пресметката.
Логаритмите со други основи беа пресметани со помош на теоремата за премин од една основа во друга и својството на логаритмот на производот.
Бидејќи овој метод е многу макотрпен и при решавање на практични проблемитешко за имплементација, тие користеа претходно составени табели на логаритми, што во голема мера ја забрза целата работа.
Во некои случаи се користеа специјално составени графикони на логаритми, кои даваа помала точност, но значително го забрзаа пребарувањето за саканата вредност. Кривата на функцијата y = log a(x), изградена на неколку точки, овозможува користење на вообичаениот линијар за наоѓање на вредностите на функцијата во која било друга точка. Долго време, инженерите ја користеа таканаречената графичка хартија за овие цели.
Во 17 век се појавија првите помошни аналогни пресметковни услови, кои до 19 век добија завршена форма. Најуспешниот уред беше наречен слајд правило. И покрај едноставноста на уредот, неговиот изглед значително го забрза процесот на сите инженерски пресметки, а тоа е тешко да се прецени. Во моментов, малку луѓе се запознаени со овој уред.
Појавата на калкулатори и компјутери го направи бесмислено да се користи било кој друг уред.
Равенки и неравенки
Следниве формули се користат за решавање на различни равенки и неравенки со помош на логаритми:
- Премин од една база во друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Како последица на претходната верзија: log a(b) = 1 / log b(a).
За да се решат нееднаквостите, корисно е да се знае:
- Вредноста на логаритамот ќе биде позитивна само ако и основата и аргументот се поголеми или помали од еден; ако е нарушен барем еден услов, вредноста на логаритамот ќе биде негативна.
- Ако логаритамската функција се примени на десната и левата страна на неравенката, а основата на логаритамот е поголема од една, тогаш знакот за неравенство е зачуван; во спротивно, се менува.
Примери за задачи
Размислете за неколку опции за користење на логаритми и нивните својства. Примери со решавање равенки:
Размислете за опцијата за поставување на логаритам во степен:
- Задача 3. Пресметај 25^log 5(3). Решение: во услови на проблемот, ознаката е слична на следната (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Да го напишеме поинаку: 5^log 5(3*2), или квадратот на број како функциски аргумент може да се напише како квадрат на самата функција (5^log 5(3))^2. Користејќи ги својствата на логаритмите, овој израз е 3^2. Одговор: како резултат на пресметката добиваме 9.
Практична употреба
Бидејќи е чисто математичка алатка, се чини дека е далеку од реалниот живот дека логаритамот одеднаш доби големо значење во опишувањето на предметите во реалниот свет. Тешко е да се најде наука каде што не се користи. Ова целосно се однесува не само на природните, туку и на хуманистичките полиња на знаење.
Логаритамски зависности
Еве неколку примери на нумерички зависности:
Механика и физика
Историски гледано, механиката и физиката отсекогаш се развивале користејќи математички методи на истражување и во исто време служеле како поттик за развој на математиката, вклучувајќи ги и логаритмите. Теоријата на повеќето закони на физиката е напишана на јазикот на математиката. Даваме само два примери за опис на физичките закони користејќи го логаритамот.
Можно е да се реши проблемот со пресметување на толку сложена количина како брзината на ракетата користејќи ја формулата Циолковски, која ја постави основата за теоријата за истражување на вселената:
V = I * ln(M1/M2), каде
- V е крајната брзина на авионот.
- Јас сум специфичниот импулс на моторот.
- М 1 е почетната маса на ракетата.
- М 2 - конечна маса.
Друг важен пример- ова е употребата во формулата на друг голем научник, Макс Планк, која служи за проценка на рамнотежната состојба во термодинамиката.
S = k * ln (Ω), каде
- S е термодинамичко својство.
- k е Болцмановата константа.
- Ω е статистичката тежина на различни состојби.
Хемија
Помалку очигледна би била употребата на формули во хемијата што го содржат односот на логаритми. Еве само два примери:
- Нернстовата равенка, состојбата на редокс потенцијалот на медиумот во однос на активноста на супстанциите и константата на рамнотежа.
- Пресметката на таквите константи како што се индексот на автопролиза и киселоста на растворот исто така не е целосна без нашата функција.
Психологија и биологија
И сосема е неразбирливо каква врска има психологијата со тоа. Излегува дека силата на сензацијата е добро опишана со оваа функција како обратен однос на вредноста на интензитетот на стимулот кон вредноста на помал интензитет.
По горенаведените примери, веќе не е чудно што темата логаритми е исто така широко користена во биологијата. Може да се напишат цели томови за биолошки форми што одговараат на логаритамските спирали.
Други области
Се чини дека постоењето на светот е невозможно без поврзаност со оваа функција и тој управува со сите закони. Особено кога законите на природата се поврзани со геометриска прогресија. Вреди да се повикате на веб-страницата MatProfi, а такви примери има многу во следните области на активност:
Списокот може да биде бесконечен. Совладувајќи ги основните закони на оваа функција, можете да се фрлате во светот на бесконечната мудрост.
ЛОГАРИТАМ
број кој поедноставува многу сложени аритметички операции. Користењето на нивните логаритми наместо броеви во пресметките овозможува да се замени множењето со поедноставна операција на собирање, делење со одземање, подигање до моќ со множење и извлекување корени со делење. Општ опис. Логаритмот на даден број е експонентот на кој мора да се подигне друг број, наречен основа на логаритамот, за да се добие дадениот број. На пример, основниот 10 логаритам од 100 е 2. Со други зборови, 10 мора да се квадрат за да се добие 100 (102 = 100). Ако n е даден број, b е основа, а l е логаритам, тогаш bl = n. Бројот n се нарекува и антилогаритам на основата b од бројот l. На пример, антилогаритмот од 2 до основата 10 е 100. Ова може да се напише како logb n = l и antilogb l = n. Главните својства на логаритмите:
Секој позитивен број освен еден може да послужи како основа на логаритмите, но, за жал, излегува дека ако b и n се рационални броеви, тогаш во ретки случаи постои рационален број l таков што bl = n. Сепак, можно е да се дефинира ирационален број l, на пример, таков што 10l = 2; овој ирационален број l може да се приближи со рационални броеви со која било потребна точност. Излегува дека во примерот погоре, l е приближно еднакво на 0,3010, а оваа приближна вредност на логаритамот на основата 10 од бројот 2 може да се најде во четирицифрените табели со децимални логаритми. Логаритмите на базата 10 (или децималните логаритми) се користат толку често во пресметките што се нарекуваат обични логаритми и се пишуваат како log2 = 0,3010 или log2 = 0,3010, испуштајќи ја експлицитната ознака на основата на логаритмот. Логаритмите до основата e, трансцендентален број приближно еднаков на 2,71828, се нарекуваат природни логаритми. Тие се наоѓаат главно во трудовите за математичка анализа и нејзините примени во различни науки. Природните логаритми се пишуваат и без експлицитно означување на основата, но со помош на специјалната нотација ln: на пример, ln2 = 0,6931, бидејќи e0,6931 = 2.
исто така види БРОЈ e . Користење на табели на обични логаритми. Обичниот логаритам на бројот е експонентот на кој треба да подигнете 10 за да го добиете дадениот број. Бидејќи 100 = 1, 101 = 10 и 102 = 100, веднаш добиваме дека log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 итн. за зголемување на целобројните моќи од 10. Слично, 10-1 = 0,1, 10-2 = 0,01 и оттука log0,1 = -1, log0,01 = -2, и така натаму. за сите негативни цели броеви од 10. Вообичаените логаритми на преостанатите броеви се затворени помеѓу логаритмите на најблиските цели броеви од 10; log2 мора да биде затворен помеѓу 0 и 1, log20 помеѓу 1 и 2, и log0.2 помеѓу -1 и 0. Така, логаритамот има два дела, цел број и децимален затворен помеѓу 0 и 1. Целиот дел се нарекува карактеристика на логаритамот и се одредува со самиот број, фракциониот дел се нарекува мантиса и може да се најде од табелите. Исто така, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логаритмот од 2 е 0,3010, значи log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Слично, log0.2 = log(2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. Со одземање, добиваме log0.2 = - 0.6990. Сепак, попогодно е да се претстави log0.2 како 0.3010 - 1 или како 9.3010 - 10; може да се формулира и општо правило: сите броеви добиени од даден број со множење со моќ од 10 имаат иста мантис еднаква на мантисата на даден број. Во повеќето табели, мантисите на броеви кои се движат од 1 до 10 се дадени, бидејќи богомолките на сите други броеви може да се добијат од оние дадени во табелата. Во повеќето табели, логаритмите се дадени со четири или пет децимални места, иако има седумцифрени табели и табели со уште повеќе децимални места. Учењето како да се користат такви табели е најлесно со примери. За да го пронајдете log3.59, пред сè, забележете дека бројот 3.59 е помеѓу 100 и 101, па неговата карактеристика е 0. Го наоѓаме бројот 35 во табелата (лево) и се движиме по редот до колоната што има бројот 9 на врвот; пресекот на оваа колона и редот 35 е 5551, така што log3.59 = 0.5551. За да ја пронајдете мантисата на број со четири значајни цифри, треба да прибегнете кон интерполација. Во некои табели, интерполацијата е олеснета со пропорционалните делови дадени во последните девет колони на десната страна на секоја страница од табелата. Најдете сега log736.4; бројот 736,4 се наоѓа помеѓу 102 и 103, така што карактеристиката на неговиот логаритам е 2. Во табелата го наоѓаме редот лево од кој е 73 и колоната 6. На пресекот на овој ред и оваа колона е бројот 8669. Меѓу линеарните делови ја наоѓаме колоната 4. На пресекот на редот 73 и колоната 4 е бројот 2. Додавајќи 2 на 8669, ја добиваме мантисата - таа е еднаква до 8671. Така, log736.4 = 2, 8671.
природни логаритми.Табелите и својствата на природните логаритми се слични на табелите и својствата на обичните логаритми. Главната разлика меѓу двете е тоа што целобројниот дел од природниот логаритам не е значаен во одредувањето на позицијата на децималната точка, и затоа разликата помеѓу мантисата и карактеристиката не игра посебна улога. Природни логаритми на броеви 5,432; 54,32 и 543,2 се, соодветно, 1,6923; 3,9949 и 6,2975. Врската помеѓу овие логаритми станува очигледна ако ги земеме предвид разликите меѓу нив: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; последниот број не е ништо друго туку природниот логаритам на бројот 10 (напишан вака: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; последниот број е 2ln10. Но, 543,2 = 10 * 54,32 = 102 * 5,432. Така, со природниот логаритам на даден број a, може да се најдат природни логаритми на броеви еднакви на производите на бројот a со кои било сили од n од бројот 10, ако на lna додадеме ln10 помножено со n, т.е. ln(a*10n) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. На пример, ln0,005432 = ln (5,432 * 10-3) = ln5,432 - 3ln10 = 1,6923 - (3 * 2,3026) = - 5,2155. Затоа, табелите на природни логаритми, како и табелите на обичните логаритми, обично ги содржат само логаритмите на броевите од 1 до 10. Во системот на природни логаритми, може да се зборува за антилогаритми, но почесто се зборува за експоненцијална функција или експоненцијална . Ако x = lny, тогаш y = ex, а y се нарекува експонент на x (за типографска погодност, често се пишува y = exp x). Експонентот ја игра улогата на антилогаритам на бројот x. Користејќи табели со децимални и природни логаритми, можете да креирате табели на логаритми во која било основа освен 10 и e. Ако logb a = x, тогаш bx = a, и оттука logc bx = logc a или xlogc b = logc a, или x = logc a/logc b = logb a. Затоа, користејќи ја оваа формула за инверзија од табела со логаритми до основата c, може да се конструираат табели на логаритми на која било друга основа b. Факторот 1/logc b се нарекува модул на премин од база c во основа b. Ништо не го спречува, на пример, користењето на формулата за инверзија, или преминот од еден систем на логаритми во друг, да се најдат природни логаритми од табелата на обичните логаритми или да се направи обратна транзиција. На пример, log105.432 = log 5.432/loge 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923 x 0.4343 = 0.7350. Бројот 0,4343, со кој мора да се помножи природниот логаритам на даден број за да се добие обичниот логаритам, е модулот на преминот кон системот на обични логаритми.
Специјални маси.Логаритмите првично беа измислени за да ги користат нивните својства logab = лога + логб и лога/б = лога - логб за претворање на производите во збирови и количници во разлики. Со други зборови, ако се познати лога и логб, тогаш со помош на собирање и одземање лесно можеме да го најдеме логаритамот на производот и количникот. Во астрономијата, сепак, често е неопходно да се најдат log(a + b) или log(a - b) дадени вредности на лога и логб. Се разбира, би било можно прво да се најдат a и b од табелите на логаритми, потоа да се изврши посоченото собирање или одземање и, повторно повикувајќи се на табелите, да се најдат потребните логаритми, но таквата постапка би барала три посети на табелите. . Z. Leonelli во 1802 година објави табели на т.н. Гаусови логаритми - логаритми на собирање на збирови и разлики - кои овозможија да се ограничиме на едно прибегнување кон табелите. Во 1624 година, И.Кеплер предложил табели на пропорционални логаритми, т.е. логаритми на броеви a/x, каде што a е некоја позитивна константа. Овие табели се користат првенствено од астрономи и навигатори. Пропорционалните логаритми за a = 1 се нарекуваат логаритми и се користат во пресметките кога треба да се справите со производи и количници. Логаритмот на бројот n е еднаков на логаритамот на реципроцитет на бројот; тие. колонска вода = log1/n = - најава. Ако log2 = 0,3010, тогаш colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Предноста на користењето логаритми е што при пресметување на вредноста на логаритмот на изрази како pq/r, тројниот збир на позитивните децимали на logp + logq + cologr е полесно да се најде од мешаниот збир и разлика logp + logq - logr.
Историја.Принципот кој лежи во основата на кој било систем на логаритми е познат многу долго време и може да се проследи наназад во древната вавилонска математика (околу 2000 г. п.н.е.). Во тие денови, интерполацијата помеѓу табеларните вредности на позитивните цели броеви се користеше за пресметување на сложената камата. Многу подоцна, Архимед (287-212 п.н.е.) ги искористил силите на 108 за да ја пронајде горната граница на бројот на зрна песок потребни за целосно пополнување на универзумот познат во тоа време. Архимед го привлече вниманието на својството на експонентите што лежи во основата на ефективноста на логаритмите: производот на силите одговара на збирот на експонентите. На крајот на средниот век и почетокот на новото време, математичарите сè повеќе почнале да се осврнуваат на врската помеѓу геометриските и аритметичките прогресии. М. Штифел во својот есеј Аритметика на цели броеви (1544) даде табела со позитивни и негативни моќи на бројот 2:
Штифел забележал дека збирот на двата броја во првиот ред (редот на експоненти) е еднаков на експонентот од два, што одговара на производот на двата соодветни броја во долниот ред (редот на експоненти). Во врска со оваа табела, Штифел формулирал четири правила кои се еквивалентни на четирите современи правила за операции на експоненти или четири правила за операции на логаритми: збирот во горниот ред одговара на производот во долниот ред; одземањето во горниот ред одговара на поделбата во долниот ред; множењето во горниот ред одговара на степенувањето во долниот ред; поделбата во горниот ред одговара на екстракцијата на коренот во долниот ред. Очигледно, правилата слични на оние на Штифел го наведоа Ј. Десет години пред објавувањето на неговата работа, Напиер добил вест од Данска дека во опсерваторијата на Тихо Брахе неговите помошници имале метод за претворање на производите во суми. Методот споменат во комуникацијата на Напиер се засноваше на употреба на тригонометриски формули од типот
Затоа, табелите на Непиер се состоеле главно од логаритми на тригонометриски функции. Иако концептот на база не беше експлицитно вклучен во дефиницијата предложена од Напиер, улогата еквивалентна на основата на системот на логаритми во неговиот систем ја играше бројот (1 - 10-7)ґ107, приближно еднаков на 1/e . Независно од Напиер и речиси истовремено со него, систем на логаритми, доста сличен по тип, бил измислен и објавен од J. Burgi во Прага, кој ги објавил Табелите на аритметички и геометриски прогресии во 1620 година. Тоа беа табели на антилогаритми во основа (1 + 10-4) * 10 4, прилично добра апроксимација на бројот e. Во системот на Напиер, логаритмот на бројот 107 бил земен како нула, а како што се намалувале бројките, логаритмите се зголемувале. Кога Г. Бригс (1561-1631) го посетил Напиер, и двајцата се согласиле дека би било попогодно да се користи бројот 10 како основа и да се смета логаритамот на еден еднаков на нула. Тогаш, како што се зголемуваат бројките, нивните логаритми би се зголемиле. Така го добивме современиот систем на децимални логаритми, чија табела Бригс ја објави во своето дело Логаритмска аритметика (1620). Логаритмите на основата e, иако не се баш оние воведени од Напиер, честопати се нарекуваат не-Пиер. Термините „карактеристично“ и „мантиса“ беа предложени од Бригс. Првите логаритми, од историски причини, користеле приближување на броевите 1/e и e. Нешто подоцна, идејата за природни логаритми беше поврзана со проучување на области под хиперболата xy = 1 (сл. 1). Во 17 век Се покажа дека областа ограничена со оваа крива, x-оската и ординатите x = 1 и x = a (на слика 1 оваа област е покриена со подебели и поретки точки) експоненцијално се зголемува кога a се зголемува експоненцијално. Токму оваа зависност се јавува во правилата за дејства на експоненти и логаритми. Ова даде основа да ги наречеме логаритмите на Непиер „хиперболични логаритми“.
Логаритамска функција.Имаше време кога логаритмите се сметаа исклучиво како средство за пресметка, но во 18 век, главно поради работата на Ојлер, се формираше концептот на логаритамска функција. Графикот на таква функција y = lnx, чии ординати се зголемуваат во аритметичка прогресија, додека абсцисите се зголемуваат во геометриска прогресија, е прикажан на сл. 2а. Графикот на инверзната, или експоненцијална (експоненцијална) функција y = ex, чии ординати се зголемуваат експоненцијално, а апсцисите - аритметика, е прикажан, соодветно, на сл. 2б. (Кривите y = logx и y = 10x се слични по форма на кривите y = lnx и y = ex.) Предложени се и алтернативни дефиниции за логаритамската функција, на пример,
Благодарение на работата на Ојлер, станаа познати односите помеѓу логаритмите и тригонометриските функции во сложената рамнина. Од идентитетот eix = cos x + i sin x (каде што аголот x се мери во радијани), Ојлер заклучил дека секој реален број што не е нула има бесконечно многу природни логаритми; сите тие се сложени за негативни броеви, а сите освен еден за позитивни броеви. Бидејќи eix = 1 не само за x = 0, туку и за x = ± 2kp, каде што k е кој било позитивен цел број, кој било од броевите 0 ± 2kpi може да се земе како природен логаритам на бројот 1; и, слично, природните логаритми на -1 се сложени броеви од формата (2k + 1)pi, каде што k е цел број. Слични изјави се точни и за општи логаритми или други системи на логаритми. Дополнително, дефиницијата за логаритми може да се генерализира со користење на Ојлеровите идентитети за да ги вклучи сложените логаритми на сложените броеви. Алтернативна дефиниција на логаритамската функција е дадена со функционална анализа. Ако f(x) е континуирана функција на реален број x со следните три својства: f(1) = 0, f(b) = 1, f(uv) = f(u) + f(v), тогаш f(x) се дефинира како логаритам на бројот x до основата b. Оваа дефиниција има голем број на предности во однос на дефиницијата дадена на почетокот на овој член.
Апликации. Логаритмите првично беа користени само за поедноставување на пресметките, а оваа апликација сè уште е една од нивните најважни. Пресметката на производи, количници, моќи и корени е олеснета не само од широката достапност на објавените табели на логаритми, туку и со употребата на т.н. правило за слајд - компјутерска алатка, чиј принцип се заснова на својствата на логаритмите. Линијарот е опремен со логаритамски скали, т.е. растојанието од бројот 1 до кој било број x е избрано да биде log x; со поместување на една скала во однос на друга, можно е да се исцртаат збировите или разликите на логаритмите, што овозможува да се читаат производи или делови од соодветните броеви директно од скалата. Да се искористи приказот на броевите во логаритамска форма овозможува т.н. логаритамска хартија за цртање (хартија со логаритамски скали испечатени на неа по двете координатни оски). Ако функцијата задоволува закон за моќ од формата y = kxn, тогаш нејзиниот логаритамски график изгледа како права линија, бидејќи log y = log k + n log x е линеарна равенка во log y и log x. Напротив, ако логаритамскиот график на некоја функционална зависност има форма на права линија, тогаш оваа зависност е закон за моќ. Полулогаритамска хартија (каде што y-оската е на логаритамска скала, а апсцисата е на рамномерна скала) е корисна кога треба да се идентификуваат експоненцијални функции. Равенките од формата y = kbrx се појавуваат секогаш кога количеството, како што се населението, радиоактивен материјал или банкарското салдо, се намалува или зголемува со стапка пропорционална на моменталната популација, радиоактивен материјал или пари. Ако таквата зависност се примени на полулогаритамска хартија, тогаш графикот ќе изгледа како права линија. Логаритамската функција се јавува во врска со различни природни форми. Цветовите во сончогледовите соцвети се редат во логаритамски спирали, лушпите на мекотелот Наутилус, роговите на планинските овци и клуновите на папагалите се извиткани. Сите овие природни форми се примери на кривата позната како логаритамска спирала бидејќи нејзината равенка во поларните координати е r = aebq, или lnr = lna + bq. Таквата крива се опишува со подвижна точка, чие растојание од полот расте експоненцијално, а аголот опишан со вектор на радиус расте аритметички. Сеприсутноста на таквата крива, а со тоа и на логаритамската функција, е добро илустрирана со фактот дека таа се појавува во подалечни региони и сосема различни како контурата на ексцентрична камери и траекторијата на одредени инсекти кои летаат кон светлината.
Енциклопедија Колиер. - Отворено општество. 2000 .
Погледнете што е „LOGARIFM“ во другите речници:
- (грчки, од релација logos и аритмос број). Бројот на аритметичка прогресија што одговара на бројот на геометриска прогресија. Речник на странски зборови вклучен во рускиот јазик. Чудинов А.Н., 1910. ЛОГАРИФМ грчки, од логос, однос, ... ... Речник на странски зборови на рускиот јазик
Дадениот број N во основата a е експонент на моќта на y на кој треба да го подигнете бројот a за да добиете N; така, N = ay. Логаритмот обично се означува со логаN. Логаритам со основа e? 2.718... се нарекува природно и се означува со lnN.… … Голем енциклопедиски речник
- (од грчкиот логос сооднос и аритмос број) броевите N во основата a (O ... Модерна енциклопедија
Логаритмите се традиционална главоболка за многу средношколци. Особено - равенки и неравенки со логаритми. Поради некоја причина, средношколците не сакаат логаритми. И затоа се плашат. И сосема залудно.) Зашто самиот логаритам е многу, многу едноставен концепт. Не верувам? Види и самиот! На денешната лекција.
Значи, ајде да се запознаеме.)
Прво, да ја решиме оваа многу едноставна равенка во нашиот ум:
2 x = 4
Ова е наједноставната експоненцијална равенка. Така се нарекува поради фактот што непознатиот X е во експонент. Дури и ако не знаете како се решаваат експоненцијалните равенки, само ментално изберете x за да важи еднаквоста. Ајде?! Сигурно, x = 2. Две на квадрате четири.)
И сега ќе сменам само еден број во него. Ајде да ја решиме оваа равенка сега:
2 x = 5
И повторно се обидуваме да собереме X ...
Што не се бира? Два квадрат е четири. Две коцки е осум. И ние имаме пет. Тие се лизнаа покрај ... Што да правам? Само немој да ми кажеш дека таков Х нема! Нема да верувам.)
Согласете се дека ова е некако неправедно: со четворката равенката се решава во умот, а со петката повеќе не се решава никако. Математиката не прифаќа ваква дискриминација! За неа, сите броеви се еднакви партнери.)
Во оваа фаза, можеме само грубо да процениме дека x - некој дробен бројпомеѓу две ( 2 2 = 4 ) и тројно ( 2 3 = 8 ). Можеме дури и малку да го почекаме калкулаторот и приближно да го собереме, да го најдеме овој број. Но, таква врева секој пат ... Се согласувам, некако тажно ...
Математиката многу едноставно и елегантно ја решава оваа проблема – со воведување логаритамски концепти.
Значи, што е логаритам? Да се вратиме на нашата мистериозна равенка:
2 x = 5
Го разбираме проблемот: треба да најдеме одреден број X, на кој треба да подигнете 2 за да добиете 5 . Дали е јасна оваа фраза? Ако не, прочитајте го повторно. И повеќе... Се додека не сфатите. Затоа што е многу важно!
Ајде да го повикаме овој мистериозен број X логаритам од пет до основа два!Во математичка форма, овие зборови изгледаат вака:
X = дневник 2 5
И се изговара вака: „Х е логаритам од пет до основа два“.
Се повикува бројот подолу (два). основата на логаритмот.Се пишува одоздола на ист начин како во експоненцијалниот израз 2 x. Многу е лесно да се запамети.)
Па, тоа е сè! Решивме експоненцијална равенка со ужасен изглед!
2 x = 5
X = дневник 2 5
И тоа е тоа! Ова е точниот и целосно целосен одговор!
Можеби ти пречи што наместо конкретен број пишувам чудни букви и икони?
Па, во ред, убедивме ... Специјално за вас:
X = дневник 2 5 = 2,321928095…
Имајте на ум дека оваа бројка никогаш не завршува. Да Да! Нерационално е...
Еве го одговорот на твоето прашање, за што служат логаритмите?. Потребни ни се логаритми, пред сè, за решавање експоненцијални равенки!Оние кои воопшто не се решаваат без логаритми ...
На пример, решавање на експоненцијалната равенка
3x=9
Можете да заборавите на логаритмите. Веднаш е јасно дека x = 2.
Но, решавајќи ја равенката, да го кажеме ова
3 x = 7,
Вие приближнодобијте го овој бушав одговор:
X ≈ 1,77124375
Но, преку логаритам е дадена теренот совршенодговор:
X = дневник 3 7.
И тоа е се.) Затоа пишуваат логаритми наместо грди ирационални броеви. Кому му треба нумерички одговор - тој ќе смета на калкулатор или барем во Excel.) И порано, кога немаше калкулатори и компјутери, имаше посебни табели на логаритми. Крупен и тежок. Исто како и табелите на Брејдис за синуси и косинуси. Па дури и оваа алатка беше - логаритамски владетел. Што овозможи со добра точност да се пресметаат многу корисни работи. И не само логаритми.)
Еве ти. Сега, незабележливо за нас, научивме да одлучуваме ситеекспоненцијални равенки од овој брутален тип.
На пример:
2 x = 13
Нема проблем:
X = дневник 2 13
5 x = 26
Исто така елементарно!
X = дневник 5 26
11 x = 0,123
И ова не е прашање:
X = лог 11 0,123
Сите овие се точни одговори! Па, како? Примамливо, нели?
Сега да размислиме за значењето на операцијата за наоѓање на логаритам.
Како што знаеме, за секоја акција математичарите се обидуваат да најдат реакција (т.е. обратноакција). За собирање е одземање, за множење е делење. За што служи обратното дејство експоненцијација?
Ајде да видиме. Кои се нашите главни оперативни бројки кога се подигаме на моќ? Тука се:
a n = б
а - база,
n - индикатор,
б - самата диплома.
Сега да размислиме: ако знаеме степен(б) и познати индикаторовој степен (n), но треба да го пронајдете основа (а) , тогаш што правиме обично? Во право! Го извлекуваме коренот од n-ти степен! Како ова:
Сега да погледнеме во друга ситуација: повторно знаеме степен(б), но овој пат наместо експонентот n знаеме база(а), но само треба да го најдете ова индикатор (n). Што ќе правиме?
Еве каде логаритмите доаѓаат на помош! Тие пишуваат токму вака:
"En" (n)е бројот на кој треба да се подигне "а", За да се добие "б". Тоа е се. Тоа е целата поента на логаритмот. Операцијата за наоѓање на логаритам е само пребарување индикаторстепени во познати степенИ основа.
Така, за степенување во математиката, постои две различни природиобратно дејство. Ова екстракција на коренотИ наоѓање на логаритам. Но, да речеме за множење, има само едно инверзно дејство - делење. Разбирливо е: кој било од непознатите фактори - кој е првиот, кој е вториот - се бара со помош на една операција - поделба.)
Наједноставните примери со логаритми.
Сега вестите не се добри. Ако логаритамот се смета точно, тогаш тоа е мора да се разгледа, Да.
Да речеме ако некаде во равенката сте добиле
x = дневник 3 9 ,
Тој одговор нема да биде ценет. Треба да го пресметаме логаритамот и да запишеме:
x = 2
И како го разбравме тој дневник 3 9=2? Ние ја преведуваме еднаквоста од математички јазик на руски: логаритамот од девет до основата од три е бројот до кој треба да се подигнат три за да се добие девет. И кој број ви треба за да подигнете тројка за да добиете девет? Па, се разбира! Мора да биде квадрат. Тоа е, две.)
А што е, да речеме, лог 5 125? И колку пет ни даваат 125? Во третата, се разбира (т.е. во коцка)!
Значи дневник 5 125 = 3.
Дневник 7 7 = ?
До која сила треба да се подигне 7 за да се добие 7? Прво!
Еве го вашиот одговор: дневник 7 7 = 1
Како за ваков пример?
Дневник 3 1 = ?
И до која сила треба да се подигнат тројца за да се добие еден? Не погодивте? Дали се сеќаваш .) Да! На нула! Тука пишуваме:
Дневник 3 1 = 0
Го разбирате принципот? Потоа тренираме:
Дневник 2 16 =…
Дневник 4 64 =…
Дневник 13 13 =…
Дневник 3 243 =…
Дневник 15 1 =…
Одговори (во неред): 1; 3; пет; 0; 4.
Што? Заборавивте до кој степен 3 дава 243? Па, нема што да се направи: мора да се препознаат степените на популарните броеви. Во лице! Па, табелата за множење е сигурен придружник и асистент. И не само во логаритми.)
Па, прилично едноставни примери се решени, а сега се засилуваме. Се сеќаваме на негативните и фракционите показатели.)
Да го решиме овој пример:
Дневник 4 0,25 = ?
Хм... И до која моќ треба да ја подигнеш четворката за да добиеш 0,25? Значи, не можете веднаш да препознаете. Ако работите само со природни индикатори. Но, дипломите по математика, како што знаете, не се само природни. Време е да го поврземе нашето знаење за негативениндикатори и запомнете го тоа
0,25 = 1/4 = 4 -1
Затоа, можеме безбедно да напишеме:
Дневник 4 0,25 = дневник 4 4 -1 = -1.
И тоа е тоа.)
Друг пример:
Дневник 4 2 = ?
До која сила треба да подигнете 4 за да добиете 2? За да одговориме на ова прашање, ќе треба да го поврземе нашето знаење за корените. И запомнете дека двојката е квадратен корен од четири:
А квадратниот корен на математиката ви овозможува да го претставите како диплома! Со индикатор 1/2. Така пишуваме:
Значи, нашиот логаритам ќе биде:
Па, честитки! Тука сме со вас и се сретнавме со логаритми. На најпримитивното почетно ниво.) И самите видовте дека тие воопшто не се толку страшни како што сте мислеле претходно. Но, логаритмите, како и сите други математички концепти, имаат свои својства и свои посебни карактеристики. За двете (за својствата и за чиповите) - во следната лекција.
И сега сами одлучуваме.
Пресметајте:
Одговори (во неред): 4.4; 0; еден; 6; 4; 2.
