الرئيسي > تصميم > حساب التوقعات الرياضية. التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. تشتت متغير عشوائي منفصل


حساب التوقعات الرياضية. التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. تشتت متغير عشوائي منفصل




2. أساسيات نظرية الاحتمالات

القيمة المتوقعة

ضع في اعتبارك متغيرًا عشوائيًا بقيم رقمية. غالبًا ما يكون من المفيد ربط رقم بهذه الوظيفة - "قيمته المتوسطة" أو ، كما يقولون ، "متوسط ​​القيمة" ، "مؤشر الاتجاه المركزي". لعدد من الأسباب ، بعضها سيكون واضحًا مما يلي ، عادةً ما يتم استخدام التوقع الرياضي كـ "القيمة المتوسطة".

التعريف 3.التوقع الرياضي لمتغير عشوائي NSدعا الرقم

هؤلاء. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو المجموع المرجح لقيم متغير عشوائي بأوزان مساوية لاحتمالات الأحداث الأولية المقابلة.

مثال 6.دعنا نحسب التوقع الرياضي للرقم الذي تم إسقاطه على الوجه العلوي للنرد. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف 3

البيان 2.دع المتغير العشوائي NSيأخذ القيم x 1 ، x 2 ، ... ، xم... ثم المساواة

(5)

هؤلاء. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو المجموع المرجح لقيم متغير عشوائي بأوزان مساوية لاحتمالات أن يأخذ المتغير العشوائي قيمًا معينة.

على عكس (4) ، حيث يتم إجراء الجمع مباشرة على الأحداث الأولية ، يمكن أن يتكون الحدث العشوائي من عدة أحداث أولية.

في بعض الأحيان يتم اعتبار العلاقة (5) بمثابة تعريف للتوقع الرياضي. ومع ذلك ، بمساعدة التعريف 3 ، كما هو موضح أدناه ، من الأسهل تحديد خصائص التوقع الرياضي الضروري لبناء نماذج احتمالية للظواهر الحقيقية بدلاً من مساعدة العلاقة (5).

لإثبات العلاقة (5) ، قمنا بتجميع المصطلحات (4) بنفس قيم المتغير العشوائي:

بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت خارج علامة المجموع ، إذن

من خلال تحديد احتمال وقوع حدث

بمساعدة العلاقات الأخيرين ، نحصل على المطلوب:

يتوافق مفهوم التوقع الرياضي في النظرية الإحصائية الاحتمالية مع مفهوم مركز الثقل في الميكانيكا. ضع في النقاط x 1 ، x 2 ، ... ، xمعلى محور الكتلة العددية ص(X= x 1 ), ص(X= x 2 ),…, ص(X= س م) على التوالى. ثم توضح المساواة (5) أن مركز الثقل لهذا النظام من النقاط المادية يتطابق مع التوقع الرياضي ، مما يدل على طبيعة التعريف 3.

البيان 3.اسمحوا ان NS- قيمة عشوائية ، م (X)- توقعها الرياضي ، لكن- بعض الأرقام. ثم

1) م (أ) = أ ؛ 2) م (XM (X)) = 0 ؛ 3 مليون [(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 .

للإثبات ، ضع في اعتبارك أولاً متغير عشوائي ثابت ، أي تقوم الوظيفة بتعيين مساحة الأحداث الأولية إلى نقطة واحدة لكن... بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت خارج علامة المجموع ، إذن

إذا تم تقسيم كل حد من حدود المجموع إلى فترتين ، فسيتم تقسيم المجموع بالكامل إلى مجموعين ، يتكون الأول منهما من المصطلحين الأول والثاني يتكون من الثاني. لذلك ، التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين X + صالمحدد في نفس مساحة الأحداث الأولية يساوي مجموع التوقعات الرياضية م (X)و م (يو)هذه المتغيرات العشوائية:

م (س + ص) = م (س) + م (ص).

وبالتالي م (X-M (X)) = M (X) - M (M (X)).كما هو مبين أعلاه، م (م (س)) = م (X).بالتالي، M (XM (X)) = M (X) - M (X) = 0.

بسبب ال (س - أ) 2 = ((X – م(X)) + (م(X) - أ)} 2 = (X - م(X)) 2 + 2(X - م(X))(م(X) - أ) + (م(X) – أ) 2 ، من ثم م[(س - أ) 2] =م(X - م(X)) 2 + م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} + م[(م(X) – أ) 2 ]. دعونا نبسط المساواة الأخيرة. كما هو موضح في بداية إثبات العبارة 3 ، فإن التوقع الرياضي للثابت هو هذا الثابت نفسه ، وبالتالي م[(م(X) – أ) 2 ] = (م(X) – أ) 2 . بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت خارج علامة المجموع ، إذن م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} = 2(م(X) - أ) م (X - م(X)). الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة هو 0 لأنه ، كما هو موضح أعلاه ، M (XM (X)) = 0.بالتالي، م [(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 ، كما هو مطلوب.

مما قيل يتبع ذلك م [(X- أ) 2 ] يصل إلى الحد الأدنى في لكنيساوي م[(X- م(X)) 2 ], في أ = م (س) ،لأن المصطلح الثاني في المساواة 3) دائمًا غير سالب ويساوي 0 فقط للقيمة المشار إليها لكن.

البيان 4.دع المتغير العشوائي NSيأخذ القيم x 1 ، x 2 ، ... ، xم، و f هي بعض وظائف وسيطة رقمية. ثم

للإثبات ، نقوم بتجميع المصطلحات على الجانب الأيمن من المساواة (4) ، والتي تحدد التوقع الرياضي ، المصطلحات بنفس القيم:

باستخدام حقيقة أن العامل الثابت يمكن نقله خارج علامة المجموع ، ومن خلال تحديد احتمال وقوع حدث عشوائي (2) ، نحصل على

Q.E.D.

البيان 5.اسمحوا ان NSو لديك- المتغيرات العشوائية المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية ، لكنو ب- بعض الأرقام. ثم م(فأس+ بواسطة)= صباحا(X)+ بي ام(ص).

من خلال تحديد التوقع الرياضي وخصائص رمز الجمع ، نحصل على سلسلة من المساواة:

مطلوب ثبت.

يوضح ما سبق كيف يعتمد التوقع الرياضي على الانتقال إلى أصل آخر وإلى وحدة قياس أخرى (انتقال ص=فأس+ب) ، وكذلك وظائف المتغيرات العشوائية. يتم استخدام النتائج التي تم الحصول عليها باستمرار في التحليل الفني والاقتصادي ، وفي تقييم الأنشطة المالية والاقتصادية للمؤسسة ، وفي الانتقال من عملة إلى أخرى في الحسابات الاقتصادية الأجنبية ، وفي الوثائق التنظيمية والفنية ، وما إلى ذلك. تسمح النتائج قيد الدراسة باستخدام نفس الصيغ الحسابية للمعلمات المختلفة المقياس والتحول.

سابق

يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي تمامًا. ومع ذلك ، فإن قانون التوزيع غالبًا ما يكون غير معروف ويجب على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح استخدام الأرقام التي تصف متغيرًا عشوائيًا في المجموع ، يتم استدعاء هذه الأرقام الخصائص العدديةمتغير عشوائي. التوقع الرياضي هو أحد الخصائص العددية الهامة.

التوقع الرياضي ، كما هو موضح أدناه ، يساوي تقريبًا متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي. لحل العديد من المشاكل ، يكفي معرفة التوقع الرياضي. على سبيل المثال ، إذا كان من المعروف أن التوقع الرياضي لعدد النقاط التي أخرجها مطلق النار الأول أكبر من التوقع الثاني ، فإن مطلق النار الأول ، في المتوسط ​​، يخرج نقاطًا أكثر من الثانية ، وبالتالي ، يطلق النار أفضل من الثانية.

التعريف 4.1: توقع رياضييسمى المتغير العشوائي المنفصل مجموع حاصل ضرب كل قيمه المحتملة من خلال احتمالاتها.

دع المتغير العشوائي Xيمكن أن تأخذ القيم فقط x 1، x 2، ... x n، الاحتمالات متساوية على التوالي ص 1 ، ص 2 ، ... ص ن.ثم التوقع م (X) لمتغير عشوائي Xيتم تعريفه من خلال المساواة

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n.

إذا كان متغير عشوائي منفصل Xيأخذ مجموعة معدودة من القيم الممكنة ، إذن

,

علاوة على ذلك ، فإن التوقع الرياضي موجود إذا كانت السلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة تتقارب بشكل مطلق.

مثال.أوجد العدد المتوقع من تكرارات الحدث أفي تجربة واحدة ، إذا كان احتمال وقوع حدث أيساوي ص.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد تكرارات الحدث أله توزيع برنولي ، لذلك

هكذا، التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث في تجربة واحدة يساوي احتمال هذا الحدث.

المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي

دعها تنتج نالاختبارات التي يكون فيها المتغير العشوائي Xوافقت م 1مرات القيمة × 1, م 2مرات القيمة × 2 ,…, م كمرات القيمة س ك، و م 1 + م 2 + ... + م ك = ن... ثم مجموع كل القيم المأخوذة X، يساوي س 1 م 1 + س 2 م 2 + ... + س ك م ك .

سيكون المتوسط ​​الحسابي لجميع القيم المأخوذة بواسطة متغير عشوائي

سلوك م أنا / ن- التردد النسبي دبليو أناالمعنى س طيساوي تقريبًا احتمال وقوع الحدث ص ط، أين ، وبالتالي

المعنى الاحتمالي للنتيجة التي تم الحصول عليها كما يلي: التوقع الرياضي يساوي تقريبًا(كلما زادت الدقة ، زاد عدد الاختبارات) المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي.

خصائص التوقع الرياضي

خاصية 1:التوقع الرياضي للثابت يساوي الأكثر ثباتًا

خاصية 2:يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي

التعريف 4.2: متغيرين عشوائيينوتسمى لا يعتمد، إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها القيمة الأخرى. غير ذلك المتغيرات العشوائية تعتمد.

التعريف 4.3: عدة متغيرات عشوائيةوتسمى مستقل بشكل متبادل، إذا كانت قوانين التوزيع لأي عدد منها لا تعتمد على القيم المحتملة التي افترضتها الكميات الأخرى.

الملكية 3:التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية.

اللازمة - النتيجة:التوقع الرياضي لمنتج لعدة متغيرات عشوائية مستقلة بشكل متبادل يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية.

خاصية 4:التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية.

اللازمة - النتيجة:التوقع الرياضي لمجموع العديد من المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية.

مثال.نحسب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ذي الحدين X -تاريخ الحدث أفي نالتجارب.

المحلول:الرقم الإجمالي Xمظاهر الحدث أفي هذه التجارب هو مجموع عدد تكرارات الحدث في التجارب الفردية. نقدم المتغيرات العشوائية X ط- عدد تكرارات الحدث في أناالاختبار التاسع ، وهو متغيرات برنولي العشوائية مع توقع رياضي ، حيث ... من خلال خاصية التوقع الرياضي ، لدينا

هكذا، التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين مع المعلمات n و p يساوي حاصل ضرب np.

مثال.احتمالية إصابة الهدف عند إطلاق النار من مسدس ص = 0.6.أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الضربات إذا تم إطلاق 10 طلقات.

المحلول:لا تعتمد الضربة مع كل لقطة على نتائج اللقطات الأخرى ، وبالتالي فإن الأحداث المعنية مستقلة ، وبالتالي ، التوقع الرياضي المطلوب

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) لمتغير عشوائي X ، المعطى على مساحة احتمالية منفصلة ، هو الرقم m = M [X] = ∑x i p i إذا كانت السلسلة تتقارب تمامًا.

الغرض من الخدمة... استخدام الخدمة عبر الإنترنت يتم حساب التوقعات الرياضية والتباين والانحراف المعياري(انظر المثال). بالإضافة إلى ذلك ، يتم رسم رسم بياني لوظيفة التوزيع F (X).

خصائص التوقع الرياضي لمتغير عشوائي

  1. التوقع الرياضي للثابت يساوي نفسه: M [C] = C ، C ثابت ؛
  2. M = C M [X]
  3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية: M = M [X] + M [Y]
  4. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية: M = M [X] M [Y] ، إذا كانت X و Y مستقلين.

خصائص التشتت

  1. تباين الثابت هو صفر: D (c) = 0.
  2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التباين بتربيعها: D (k * X) = k 2 D (X).
  3. إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y مستقلة ، فإن تباين المجموع يساوي مجموع التباينات: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
  4. إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y تابعة: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
  5. صيغة الحساب صالحة للتباين:
    D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

مثال. تُعرف التوقعات والتباينات الرياضية لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y: M (x) = 8 ، M (Y) = 7 ، D (X) = 9 ، D (Y) = 6. أوجد التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي Z = 9X-8Y + 7.
المحلول. بناءً على خصائص التوقع الرياضي: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
بناءً على خصائص التشتت: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

خوارزمية لحساب القيمة المتوقعة

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بأرقام طبيعية ؛ قم بتعيين احتمال غير صفري لكل قيمة.
  1. نضرب الأزواج: x i في p i على التوالي.
  2. أضف حاصل ضرب كل زوج x i p i.
    على سبيل المثال ، بالنسبة لـ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلتدريجيًا ، يزداد فجأة عند تلك النقاط ، والتي تكون احتمالاتها إيجابية.

مثال 1.

س ط 1 3 4 7 9
ص ط 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3

نجد التوقع الرياضي بالصيغة m = ∑x i p i.
التوقع الرياضي M [X].
م [س] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
نوجد التباين بالصيغة d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
تشتت D [X].
D [X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
الانحراف المعياري σ (x).
σ = الجذر التربيعي (D [X]) = الجذر التربيعي (7.69) = 2.78

المثال رقم 2. المتغير العشوائي المنفصل له سلسلة التوزيع التالية:

NS -10 -5 0 5 10
ص لكن 0,32 2أ 0,41 0,03
أوجد القيمة أ ، التوقع الرياضي والانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي.

المحلول. نجد القيمة a من العلاقة: Σp i = 1
Σp i = أ + 0.32 + 2 أ + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 أ = 1
0.76 + 3 أ = 1 أو 0.24 = 3 أ ، ومن أين أ = 0.08

مثال رقم 3. حدد قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل ، إذا كان تباينه معروفًا ، و x 1 × 1 = 6 ؛ × 2 = 9 ؛ × 3 = س ؛ × 4 = 15
ص 1 = 0.3 ؛ ص 2 = 0.3 ؛ ص 3 = 0.1 ؛ ص 4 = 0.3
د (س) = 12.96

المحلول.
من الضروري هنا تكوين صيغة لإيجاد التباين d (x):
د (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
حيث التوقع m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
لبياناتنا
م (س) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + × 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1 س 3
12.96 = 6 2 0.3 + 9 2 0.3 + x 3 2 0.1 + 15 2 0.3- (9 + 0.1x 3) 2
أو -9/100 (× 2-20 × + 96) = 0
وفقًا لذلك ، من الضروري إيجاد جذور المعادلة ، وسيكون هناك اثنان منهم.
س 3 = 8 ، × 3 = 12
نختار الشخص الذي يلبي الشرط × 1 × 3 = 12

قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل
× 1 = 6 ؛ × 2 = 9 ؛ × 3 = 12 ؛ × 4 = 15
ص 1 = 0.3 ؛ ص 2 = 0.3 ؛ ص 3 = 0.1 ؛ ص 4 = 0.3

نظرية الاحتمالية هي فرع خاص من فروع الرياضيات يدرسها طلاب الجامعة فقط. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألست خائفًا من احتمال التعرف على التوزيع الطبيعي ، وانتروبيا المجموعة ، والتوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي منفصل؟ ثم سيكون هذا الموضوع ممتعًا جدًا بالنسبة لك. دعنا نتعرف على بعض أهم المفاهيم الأساسية في هذا الفرع من العلوم.

لنتذكر الأساسيات

حتى إذا كنت تتذكر أبسط مفاهيم نظرية الاحتمالات ، فلا تهمل الفقرات الأولى من المقال. الحقيقة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات ، لن تتمكن من التعامل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.

لذلك ، يحدث بعض الأحداث العشوائية ، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي تم تنفيذها ، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها أكثر شيوعًا والبعض الآخر أقل شيوعًا. احتمال وقوع حدث هو نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. فقط بمعرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم ، يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي والتباين للمتغيرات العشوائية المستمرة.

متوسط

بالعودة إلى المدرسة ، في دروس الرياضيات ، بدأت العمل باستخدام الوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمال ، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا في الوقت الحالي هو أننا سنواجهه في الصيغ الخاصة بالتوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي.

لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد المتوسط ​​الحسابي. كل ما هو مطلوب منا هو جمع كل ما هو متاح وقسمته على عدد العناصر في التسلسل. لنفترض أن لدينا أرقامًا من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45 ، وسوف نقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.

تشتت

من الناحية العلمية ، التباين هو متوسط ​​مربع انحرافات القيم التي تم الحصول عليها لميزة من المتوسط ​​الحسابي. يُرمز إلى أحدهما بحرف لاتيني كبير D. ما الذي تحتاجه لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر التسلسل ، احسب الفرق بين الرقم المتاح والمتوسط ​​الحسابي وقم بتربيعه. سيكون هناك العديد من القيم بالضبط بقدر ما يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي ندرسه. بعد ذلك ، نلخص كل العناصر المستلمة ونقسمها على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة ، فسنقسم على خمسة.

يحتوي التباين أيضًا على خصائص يجب تذكرها من أجل تطبيقها عند حل المشكلات. على سبيل المثال ، عندما يتم زيادة متغير عشوائي بمقدار X مرة ، يزداد التباين بمقدار X مرات تربيع (أي X * X). لا تقل أبدًا عن الصفر ولا تعتمد على إزاحة القيم بقيمة متساوية لأعلى أو لأسفل. بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة للاختبارات المستقلة ، يكون تباين المجموع مساويًا لمجموع الفروق.

الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة تباين متغير عشوائي منفصل وتوقع رياضي.

لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. لاحظنا كل واحد منهم ، على التوالي ، 1،2،2،3،4،4 و 5 مرات. ما هو التباين؟

أولاً ، لنحسب المتوسط ​​الحسابي: مجموع العناصر يساوي ، بالطبع ، 21. قسّمه على 7 ، لتحصل على 3. الآن ، من كل رقم في التسلسل الأصلي ، اطرح 3 ، ربّع كل قيمة ، وأضف النتائج معًا. سوف يتحول إلى 12. الآن نحتاج فقط إلى قسمة الرقم على عدد العناصر ، ويبدو أن هذا كل شيء. لكن هناك قبض! دعونا نناقشها.

الاعتماد على عدد التجارب

اتضح أنه عند حساب التباين ، يمكن أن يكون المقام واحدًا من رقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (والتي هي في الأساس نفس الشيء). على ماذا تعتمد؟

إذا تم قياس عدد الاختبارات بالمئات ، فيجب أن نضع المقام N. إذا كان بالوحدات ، فعندئذٍ N-1. قرر العلماء رسم الحدود بشكل رمزي تمامًا: اليوم يتم تشغيلها بالرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة ، فسنقسم المجموع على N-1 ، وإذا كان أكثر من ذلك ، فسنقسم على N.

مهمة

دعنا نعود إلى مثالنا في حل مشكلة التباين والتوقع. حصلنا على رقم وسيط 12 ، والذي يجب تقسيمه على N أو N-1. نظرًا لأننا أجرينا 21 تجربة ، أي أقل من 30 تجربة ، فسنختار الخيار الثاني. إذن الجواب هو: الفرق هو 12/2 = 2.

القيمة المتوقعة

دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني ، والذي يجب علينا بالتأكيد النظر فيه في هذه المقالة. القيمة المتوقعة هي مجموع كل النتائج المحتملة مضروبة في الاحتمالات المقابلة. من المهم أن نفهم أن القيمة التي تم الحصول عليها ، وكذلك نتيجة حساب التباين ، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمشكلة بأكملها ، بغض النظر عن عدد النتائج التي يتم أخذها في الاعتبار.

معادلة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نأخذ النتيجة ونضربها في احتمالية نضيفها للنتيجة الثانية والثالثة وما إلى ذلك. كل ما يتعلق بهذا المفهوم يسهل حسابه. على سبيل المثال ، مجموع التوقع يساوي توقع المجموع. نفس الشيء ينطبق على العمل. ليست كل قيمة في نظرية الاحتمال تسمح بإجراء مثل هذه العمليات البسيطة بنفسها. لنأخذ مشكلة ونحسب معنى المفهومين اللذين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك ، انشغلنا بالنظرية - لقد حان وقت الممارسة.

مثال آخر

أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تحدث بنسب مختلفة. هذه على التوالي: 2٪ ، 10٪ ، 4٪ ، 14٪ ، 2٪ ، 18٪ ، 6٪ ، 16٪ ، 10٪ ، 18٪. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات ، عليك قسمة القيم بالنسبة المئوية على 100. وهكذا ، نحصل على 0.02 ؛ 0.1 ، إلخ. دعونا نقدم مثالاً لحل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.

نحسب المتوسط ​​الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.

الآن دعنا نحول الاحتمالات إلى عدد من النتائج "على شكل أجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1 و 5 و 2 و 7 و 1 و 9 و 3 و 8 و 5 و 9. قم بطرح المتوسط ​​الحسابي من كل قيمة تم الحصول عليها ، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل من النتائج التي تم الحصول عليها. تعرف على كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1-5 = (-4). التالي: (-4) * (-4) = 16. بالنسبة لبقية القيم ، قم بإجراء هذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح ، فبعد إضافة كل شيء ، ستحصل على 90.

دعنا نواصل حساب التباين ونعني بقسمة 90 على N. لماذا نختار N وليس N-1؟ هذا صحيح ، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30 تجربة. لذا: 90/10 = 9. حصلنا على التباين. إذا حصلت على رقم مختلف ، فلا تيأس. على الأرجح ، لقد ارتكبت خطأ شائعًا في الحسابات. أعد فحص ما كتبته ، وبالتأكيد سيصبح كل شيء في مكانه.

أخيرًا ، لنتذكر صيغة التوقع الرياضي. لن نعطي جميع الحسابات ، سنكتب فقط الإجابة التي يمكنك التحقق بها بعد الانتهاء من جميع الإجراءات المطلوبة. سيكون التوقع 5.48. دعونا نتذكر فقط كيفية تنفيذ العمليات ، باستخدام مثال العناصر الأولى: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... وهكذا. كما ترى ، نقوم ببساطة بضرب قيمة النتيجة في احتمالية حدوثها.

انحراف

مفهوم آخر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتباين والتوقع الرياضي هو الانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالحروف اللاتينية sd أو بالحروف اليونانية الصغيرة "سيجما". يوضح هذا المفهوم مدى انحراف القيم عن السمة المركزية في المتوسط. لإيجاد قيمته ، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.

إذا قمت برسم التوزيع الطبيعي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرةً ، فيمكن القيام بذلك في عدة خطوات. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية) ، ارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. ستمثل قيمة المقطع بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج على المحور الأفقي الانحراف المعياري.

برمجة

كما يتضح من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة ، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أبسط إجراء من وجهة نظر حسابية. من أجل عدم إضاعة الوقت ، من المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في مؤسسات التعليم العالي - يطلق عليه "R". لديها وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاءات ونظرية الاحتمالات.

على سبيل المثال ، أنت تحدد متجهًا للقيم. يتم ذلك على النحو التالي: ناقل<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

أخيرا

التشتت والتوقعات الرياضية - والتي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات ، يتم النظر فيها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها ، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن الركب في البرنامج ثم يتلقون لاحقًا درجات ضعيفة بناءً على نتائج الدورة ، مما يحرمهم من منحهم الدراسية.

تدرب لمدة أسبوع على الأقل ، نصف ساعة في اليوم ، على حل مهام مشابهة لتلك الواردة في هذه المقالة. ثم في أي اختبار لنظرية الاحتمال ، سوف تتعامل مع أمثلة بدون نصائح غريبة وأوراق الغش.

يتم تحديد كل قيمة مأخوذة بشكل منفصل تمامًا من خلال وظيفة التوزيع الخاصة بها. أيضًا ، لحل المشكلات العملية ، يكفي معرفة العديد من الخصائص العددية ، والتي بفضلها يصبح من الممكن تقديم السمات الرئيسية لمتغير عشوائي في شكل قصير.

تشمل هذه القيم في المقام الأول القيمة المتوقعةو تشتت .

القيمة المتوقعة- متوسط ​​قيمة متغير عشوائي في نظرية الاحتمالات. يشار إليه باسم.

في أبسط طريقة ، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X (ث)تجد مثل متكاملليبيسجفيما يتعلق بالتدبير الاحتمالي ص أصلي مساحة الاحتمال

يمكنك أيضًا العثور على التوقع الرياضي لقيمة مثل تكامل ليبيجمن NSحسب التوزيع الاحتمالي ص Xالمقادير X:

أين هي مجموعة كل القيم الممكنة X.

التوقع الرياضي لوظائف المتغير العشوائي Xمن خلال التوزيع ص X. فمثلا، لو X- متغير عشوائي بقيم في و و (خ)- خالية من الغموض بوريلوظيفة NS ، من ثم:

لو و (س)- دالة التوزيع X، فإن التوقع الرياضي يمكن تمثيله متكاملLebesgue - Stieltjes (أو Riemann - Stieltjes):

علاوة على ذلك ، التكامل Xبأى منطق ( * ) يتوافق مع محدودية التكامل

في حالات محددة ، إذا Xله توزيع منفصل مع القيم المحتملة س ك, ك = 1 ، 2و. ، والاحتمالات ، إذن

لو Xله توزيع مستمر تمامًا مع كثافة احتمالية ص (خ)، من ثم

في هذه الحالة ، فإن وجود توقع رياضي يعادل التقارب المطلق للسلسلة أو التكامل المقابل.

خصائص التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

  • التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذه القيمة:

ج- مستمر؛

  • M = C.M [X]
  • التوقع الرياضي لمجموع القيم المأخوذة عشوائيًا يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية:

  • التوقع الرياضي لمنتج الكميات المستقلة المأخوذة عشوائيًا = ناتج توقعاتهم الرياضية:

M = M [X] + M [Y]

لو Xو صلا يعتمد.

إذا تقاربت السلسلة:

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي.

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بأرقام طبيعية ؛ يساوي كل قيمة مع احتمال غير صفري.

1. اضرب الأزواج بالتناوب: س طعلى ال ص ط.

2. أضف منتج كل زوج س ط ص ط.

فمثلا، إلى عن على ن = 4 :

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلتدريجياً ، يزداد بشكل مفاجئ عند تلك النقاط ، والتي يكون لاحتمالاتها علامة موجبة.

مثال:أوجد القيمة المتوقعة بالصيغة.