تحديد التوقع الرياضي. متوسط السكان هو. خوارزمية لحساب القيمة المتوقعة
التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي
التوقع ، التعريف ، التوقع الرياضي للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة ، العينة ، التوقع الشرطي ، الحساب ، الخصائص ، المهام ، تقدير التوقع ، التباين ، دالة التوزيع ، الصيغ ، أمثلة على الحساب
قم بتوسيع المحتوى
تصغير المحتوى
التوقع الرياضي هو التعريف
من أهم المفاهيم في الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات التي تميز توزيع القيم أو الاحتمالات لمتغير عشوائي. عادة ما يتم التعبير عنها كمتوسط مرجح لجميع المعلمات الممكنة لمتغير عشوائي. يستخدم على نطاق واسع في التحليل الفني ، ودراسة السلاسل العددية ، ودراسة العمليات المستمرة وطويلة الأجل. إنه مهم في تقييم المخاطر ، والتنبؤ بمؤشرات الأسعار عند التداول في الأسواق المالية ، ويستخدم في تطوير استراتيجيات وأساليب تكتيكات المقامرة في نظرية المقامرة.
التوقع الرياضيمتوسط قيمة المتغير العشوائي ، يؤخذ في الاعتبار التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في نظرية الاحتمالات.
التوقع الرياضيمقياس لمتوسط قيمة متغير عشوائي في نظرية الاحتمالات. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي xيعني م (س).
التوقع الرياضي
التوقع الرياضيفي نظرية الاحتمالات ، المتوسط المرجح لجميع القيم الممكنة التي يمكن أن يتخذها هذا المتغير العشوائي.
التوقع الرياضيمجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي من خلال احتمالات هذه القيم.
التوقع الرياضيمتوسط الفائدة من حل أو آخر ، بشرط أن يتم النظر في مثل هذا الحل في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافات الطويلة.
التوقع الرياضيفي نظرية القمار ، مقدار المكاسب التي يمكن للاعب أن يربحها أو يخسرها ، في المتوسط ، لكل رهان. في لغة المقامرين ، يسمى هذا أحيانًا "ميزة اللاعب" (إذا كانت إيجابية للاعب) أو "ميزة الكازينو" (إذا كانت سلبية بالنسبة للاعب).
التوقع الرياضيالنسبة المئوية للأرباح على الأرباح مضروبة في متوسط الربح مطروحًا منه احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط الخسارة.
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي في النظرية الرياضية
واحدة من الخصائص العددية الهامة للمتغير العشوائي هي التوقع الرياضي. دعونا نقدم مفهوم نظام المتغيرات العشوائية. ضع في اعتبارك مجموعة من المتغيرات العشوائية التي هي نتيجة نفس التجربة العشوائية. إذا - إحدى القيم المحتملة للنظام ، فإن الحدث يتوافق مع احتمال معين يفي ببديهيات Kolmogorov. تسمى الوظيفة المحددة لأي قيم محتملة للمتغيرات العشوائية قانون التوزيع المشترك. تتيح لك هذه الوظيفة حساب احتمالات أي أحداث من. على وجه الخصوص ، القانون المشترك لتوزيع المتغيرات العشوائية ، والذي يأخذ قيمًا من المجموعة ويعطى من خلال الاحتمالات.
تم تقديم مصطلح "التوقع الرياضي" من قبل بيير سيمون الماركيز دي لابلاس (1795) ونشأ من مفهوم "القيمة المتوقعة للمكافأة" ، والذي ظهر لأول مرة في القرن السابع عشر في نظرية المقامرة في أعمال بليز باسكال. وكريستيان هيغنز. ومع ذلك ، تم تقديم أول فهم نظري كامل وتقييم لهذا المفهوم من قبل بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف (منتصف القرن التاسع عشر).
يصف قانون توزيع القيم العددية العشوائية (دالة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمالات) تمامًا سلوك المتغير العشوائي. لكن في عدد من المسائل ، يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للكمية التي تم فحصها (على سبيل المثال ، متوسط قيمتها والانحراف المحتمل عنها) للإجابة على السؤال المطروح. الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية هي التوقع الرياضي والتباين والوضع والمتوسط.
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه المحتملة بالاحتمالات المقابلة. في بعض الأحيان ، يُطلق على التوقع الرياضي اسم المتوسط المرجح ، لأنه يساوي تقريبًا المتوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي لعدد كبير من التجارب. من تعريف التوقع الرياضي ، يترتب على ذلك أن قيمته لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة لمتغير عشوائي وليست أكبر من أكبر قيمة ممكنة. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو قيمة غير عشوائية (ثابتة).
للتوقع الرياضي معنى فيزيائي بسيط: إذا تم وضع كتلة وحدة على خط مستقيم عن طريق وضع بعض الكتلة في بعض النقاط (لتوزيع منفصل) ، أو "تلطيخها" بكثافة معينة (لتوزيع مستمر تمامًا) ، ثم ستكون النقطة المقابلة للتوقع الرياضي هي الإحداثي. "مركز الثقل" مستقيم.
متوسط قيمة المتغير العشوائي هو رقم معين ، وهو ، كما كان ، "ممثل" ويستبدلها بحسابات تقريبية تقريبية. عندما نقول: "متوسط وقت تشغيل المصباح 100 ساعة" أو "يتم إزاحة نقطة منتصف التأثير بالنسبة للهدف بمقدار 2 متر إلى اليمين" ، فإننا نشير إلى خاصية عددية معينة لمتغير عشوائي يصفه الموقع على المحور العددي ، أي "توصيف الموقف".
من خصائص الموضع في نظرية الاحتمال ، يلعب التوقع الرياضي للمتغير العشوائي الدور الأكثر أهمية ، والذي يسمى أحيانًا ببساطة القيمة المتوسطة لمتغير عشوائي.
ضع في اعتبارك متغير عشوائي NSمع القيم الممكنة x1 ، x2 ، ... ، xnمع الاحتمالات p1، p2، ...، pn... نحتاج إلى تحديد موقع قيم المتغير العشوائي على محور الإحداثي بواسطة بعض الأرقام ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن هذه القيم لها احتمالات مختلفة. لهذا الغرض ، من الطبيعي استخدام ما يسمى "المتوسط المرجح" للقيم الحادي عشر، ويجب أن تؤخذ كل قيمة xi أثناء حساب المتوسط في الاعتبار مع "وزن" يتناسب مع احتمال هذه القيمة. وهكذا نحسب متوسط المتغير العشوائي Xالذي سنشير إليه م | س |:
يسمى هذا المتوسط المرجح التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. وهكذا ، قدمنا في الاعتبار أحد أهم مفاهيم نظرية الاحتمالات - مفهوم التوقع الرياضي. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي من خلال احتمالات هذه القيم.
NSيرتبط بعلاقة غريبة مع المتوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي مع عدد كبير من التجارب. هذا الاعتماد هو من نفس نوع الاعتماد بين التردد والاحتمال ، أي: مع عدد كبير من التجارب ، فإن المتوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي يقترب (يتقارب في الاحتمال) إلى توقعاته الرياضية. من وجود علاقة بين التكرار والاحتمال ، يمكن للمرء أن يستنتج نتيجة وجود علاقة مماثلة بين المتوسط الحسابي والتوقع الرياضي. في الواقع ، ضع في اعتبارك المتغير العشوائي NSتتميز بسلسلة التوزيع:
دعها تنتج نتجارب مستقلة ، في كل منها القيمة Xيأخذ معنى معين. افترض القيمة x1ظهر م 1مرات ، قيمة x2ظهر م 2مرات ، تعني بشكل عام الحادي عشرظهرت مي مرات. نحسب المتوسط الحسابي لقيم X المرصودة ، على عكس التوقعات الرياضية م | س |سنقوم بتعيين م * | س |:
مع زيادة عدد التجارب نتكرر بيسوف تقترب (تتقارب في الاحتمالية) مع الاحتمالات المقابلة. وبالتالي ، المتوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي م | س |مع زيادة عدد التجارب ، سوف يقترب (يتقارب في الاحتمالية) من توقعاته الرياضية. العلاقة بين المتوسط الحسابي والتوقعات الرياضية التي تمت صياغتها أعلاه هي محتوى أحد أشكال قانون الأعداد الكبيرة.
نحن نعلم بالفعل أن جميع أشكال قانون الأعداد الكبيرة تنص على حقيقة أن متوسطات معينة مستقرة لعدد كبير من التجارب. نحن هنا نتحدث عن ثبات الوسط الحسابي من سلسلة ملاحظات بنفس الكمية. مع عدد قليل من التجارب ، يكون المتوسط الحسابي لنتائجها عشوائيًا ؛ مع زيادة كافية في عدد التجارب ، يصبح "عشوائيًا تقريبًا" ، ويستقر ، ويقترب من قيمة ثابتة - التوقع الرياضي.
من السهل التحقق تجريبيًا من خاصية ثبات المتوسطات مع عدد كبير من التجارب. على سبيل المثال ، عند قياس وزن الجسم في المختبر بميزان دقيق ، نحصل على قيمة جديدة في كل مرة كنتيجة للوزن ؛ لتقليل خطأ الملاحظة ، نزن الجسم عدة مرات ونستخدم الوسط الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها. من السهل أن نرى أنه مع زيادة أخرى في عدد التجارب (الوزن) ، يتفاعل المتوسط الحسابي مع هذه الزيادة بشكل أقل وأقل ، ومع وجود عدد كبير من التجارب ، فإنه يتوقف عمليًا عن التغيير.
وتجدر الإشارة إلى أن أهم خاصية لموضع المتغير العشوائي - التوقع الرياضي - لا توجد لجميع المتغيرات العشوائية. من الممكن تكوين أمثلة لمثل هذه المتغيرات العشوائية التي لا يوجد لها توقع رياضي ، لأن المجموع المقابل أو التباعد المتكامل. ومع ذلك ، بالنسبة للممارسة ، مثل هذه الحالات ليست ذات أهمية كبيرة. عادةً ما يكون للمتغيرات العشوائية التي نتعامل معها نطاقًا محدودًا من القيم المحتملة ، وبالطبع يكون لها توقع رياضي.
بالإضافة إلى أهم خصائص موضع المتغير العشوائي - التوقع الرياضي - تُستخدم أحيانًا خصائص أخرى للموضع في الممارسة العملية ، على وجه الخصوص ، وضع ومتوسط المتغير العشوائي.
نمط المتغير العشوائي هو أكثر قيمته احتمالا. مصطلح "القيمة الأكثر احتمالا" ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، ينطبق فقط على الكميات غير المستمرة ؛ بالنسبة للكمية المستمرة ، يكون الوضع هو تلك القيمة التي تكون عندها كثافة الاحتمال القصوى. توضح الأشكال وضع المتغيرات العشوائية المتقطعة والمستمرة ، على التوالي.
إذا كان لمضلع التوزيع (منحنى التوزيع) أكثر من حد أقصى ، يسمى التوزيع "متعدد الوسائط".
في بعض الأحيان هناك توزيعات ليس لها في المنتصف حد أقصى ، ولكن الحد الأدنى. تسمى هذه التوزيعات "المضادة للوسائط".
في الحالة العامة ، لا يتطابق الوضع مع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي. في الحالة الخاصة ، عندما يكون التوزيع متماثلًا ومشروطًا (أي له وضع) وهناك توقع رياضي ، فإنه يتزامن مع وضع ومركز تناظر التوزيع.
غالبًا ما يتم استخدام خاصية أخرى للموضع - ما يسمى بمتوسط المتغير العشوائي. عادة ما تستخدم هذه الخاصية فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة ، على الرغم من أنه يمكن تحديدها رسميًا لمتغير غير مستمر. هندسيًا ، الوسيط هو الحد الأقصى للنقطة التي تنقسم عندها المنطقة التي يحدها منحنى التوزيع إلى النصف.
في حالة التوزيع النمطي المتماثل ، يتطابق الوسيط مع التوقع والأسلوب الرياضي.
التوقع الرياضي هو متوسط قيمة لمتغير عشوائي - خاصية عددية للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. بشكل عام ، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X (ث)يتم تعريفه على أنه تكامل ليبيج فيما يتعلق بمقياس الاحتمالية صفي مساحة الاحتمال الأصلية:
يمكن حساب التوقع الرياضي باعتباره تكامل Lebesgue NSحسب التوزيع الاحتمالي مقصفالمقادير X:
بطريقة طبيعية ، يمكنك تحديد مفهوم المتغير العشوائي مع توقع رياضي لانهائي. أوقات العودة في بعض مسارات المشي العشوائية هي أمثلة نموذجية.
باستخدام التوقع الرياضي ، يتم تحديد العديد من الخصائص العددية والوظيفية للتوزيع (كتوقع رياضي للوظائف المقابلة لمتغير عشوائي) ، على سبيل المثال ، دالة توليد ، وظيفة مميزة ، لحظات من أي ترتيب ، على وجه الخصوص ، التباين ، التغاير.
التوقع الرياضي هو خاصية مميزة لموقع قيم المتغير العشوائي (متوسط قيمة توزيعه). وبهذه الصفة ، يعمل التوقع الرياضي كمعامل توزيع "نموذجي" ويشبه دوره دور اللحظة الثابتة - إحداثيات مركز ثقل توزيع الكتلة - في الميكانيكا. يختلف التوقع الرياضي عن خصائص الموقع الأخرى ، وبمساعدته يتم وصف التوزيع بعبارات عامة ، والوسيطات ، والأنماط ، بالقيمة الأكبر التي يمتلكها وخاصية التشتت المقابلة - التشتت - في نظريات الحد لنظرية الاحتمالات. بأكبر قدر من الاكتمال ، يتم الكشف عن معنى التوقع الرياضي من خلال قانون الأعداد الكبيرة (عدم المساواة في Chebyshev) والقانون المعزز للأعداد الكبيرة.
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل
يجب أن يكون هناك بعض المتغيرات العشوائية التي يمكن أن تأخذ واحدة من عدة قيم عددية (على سبيل المثال ، يمكن أن يكون عدد النقاط عند رمي النرد 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6). من الناحية العملية ، غالبًا ما يُطرح السؤال لمثل هذه القيمة: ما هي القيمة التي تأخذها "في المتوسط" مع عدد كبير من الاختبارات؟ ماذا سيكون متوسط دخلنا (أو خسارته) من كل من العمليات المحفوفة بالمخاطر؟
لنفترض أن هناك نوعًا من اليانصيب. نريد أن نفهم ما إذا كان من المربح أم لا المشاركة فيه (أو حتى المشاركة بشكل متكرر ومنتظم). لنفترض أن كل تذكرة رابعة فائزة ، الجائزة 300 روبل ، وسعر أي تذكرة 100 روبل. هذا ما يحدث مع عدد لا نهائي من المشاركة. في ثلاثة أرباع الحالات ، سنفقد ، كل ثلاث خسائر ستكلف 300 روبل. في كل حالة رابعة ، سنفوز بـ 200 روبل. (الجائزة مطروحًا منها التكلفة) ، أي في أربع مشاركات نخسر ما متوسطه 100 روبل ، لواحد - في المتوسط 25 روبل. في المجموع ، سيكون متوسط سعر الخراب لدينا 25 روبل لكل تذكرة.
نرمي النرد. إذا لم يكن غشًا (لا يوجد تحول في مركز الثقل ، وما إلى ذلك) ، فكم عدد النقاط التي سنحصل عليها في المتوسط في كل مرة؟ نظرًا لأن كل خيار محتمل بنفس القدر ، فإننا نأخذ متوسطًا حسابيًا غبيًا ونحصل على 3.5. نظرًا لأن هذا هو AVERAGE ، فلا داعي للسخط لأنه لا توجد رمية محددة ستعطي 3.5 نقطة - حسنًا ، هذا المكعب ليس له ميزة بهذا الرقم!
الآن دعنا نلخص أمثلةنا:
دعونا نلقي نظرة على الصورة المعروضة للتو. يوجد على اليسار جدول توزيع متغير عشوائي. يمكن أن تأخذ القيمة X إحدى القيم الممكنة n (الموضحة في السطر العلوي). لا يمكن أن تكون هناك قيم أخرى. يتم تصنيف كل قيمة ممكنة أدناه باحتمالية. على اليمين هي الصيغة ، حيث M (X) يسمى التوقع الرياضي. معنى هذه القيمة هو أنه مع وجود عدد كبير من الاختبارات (مع عينة كبيرة) ، فإن متوسط القيمة سيميل إلى هذا التوقع الرياضي للغاية.
دعنا نعود إلى نفس مكعب اللعب. التوقع الرياضي لعدد النقاط عند الرمي هو 3.5 (احسب نفسك باستخدام الصيغة ، إذا كنت لا تصدق). لنفترض أنك رميته عدة مرات. لقد انخفضا 4 و 6. في المتوسط ، اتضح أنهما 5 ، أي بعيدًا عن 3.5. ألقوا بها مرة أخرى ، وأسقطوا 3 ، أي في المتوسط (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... بعيدًا إلى حد ما عن التوقعات الرياضية. الآن قم بهذه التجربة المجنونة - دحرج المكعب 1000 مرة! وإذا لم يكن المتوسط 3.5 بالضبط ، فسيكون قريبًا من ذلك.
دعونا نحسب التوقع الرياضي لليانصيب الموصوف أعلاه. ستبدو اللوحة كما يلي:
ثم سيكون التوقع الرياضي كما ذكرنا أعلاه.:
شيء آخر هو أنه سيكون من الصعب القيام بذلك على الأصابع فقط ، بدون صيغة ، إذا كان هناك المزيد من الخيارات. حسنًا ، لنفترض أنه سيكون هناك 75٪ من التذاكر الخاسرة ، و 20٪ من التذاكر الفائزة ، و 5٪ من التذاكر الفائزة الإضافية.
الآن بعض خصائص التوقع الرياضي.
إثبات ذلك بسيط:
يُسمح بإخراج عامل ثابت من علامة التوقع الرياضي ، وهو:
هذه حالة خاصة للخاصية الخطية للتوقع الرياضي.
نتيجة أخرى لخطية التوقع الرياضي:
أي أن التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية.
دع X ، Y تكون متغيرات عشوائية مستقلة، من ثم:
من السهل أيضًا إثبات ذلك) س صهو نفسه متغير عشوائي ، بينما إذا كانت القيم الأولية يمكن أن تأخذ نو مالقيم على التوالي ، إذن س صيمكن أن تأخذ قيم نانومتر. يتم حساب احتمال كل من القيم بناءً على حقيقة أن احتمالات الأحداث المستقلة تتضاعف. نتيجة لذلك ، حصلنا على هذا:
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر
المتغيرات العشوائية المستمرة لها خاصية مثل كثافة التوزيع (كثافة الاحتمال). في الواقع ، يميز الموقف أن المتغير العشوائي يأخذ بعض القيم من مجموعة الأرقام الحقيقية في كثير من الأحيان ، وبعضها أقل في كثير من الأحيان. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرسم البياني التالي:
هنا Xهو متغير عشوائي في حد ذاته ، و (خ)- كثافة التوزيع. انطلاقا من هذا الرسم البياني ، في التجارب ، القيمة Xغالبًا ما يكون رقمًا قريبًا من الصفر. فرص تجاوز 3 أو كن أقل -3 بالأحرى نظرية بحتة.
على سبيل المثال ، افترض أن هناك توزيعًا موحدًا:
هذا يتوافق تمامًا مع الفهم الحدسي. لنفترض ، إذا حصلنا على الكثير من الأرقام الحقيقية العشوائية بتوزيع موحد ، كل جزء |0; 1| ، إذن يجب أن يكون المتوسط الحسابي حوالي 0.5.
خصائص التوقع الرياضي - الخطية ، وما إلى ذلك ، المطبقة على المتغيرات العشوائية المنفصلة ، قابلة للتطبيق هنا أيضًا.
العلاقة بين التوقع الرياضي والمؤشرات الإحصائية الأخرى
في التحليل الإحصائي ، إلى جانب التوقع الرياضي ، هناك نظام من المؤشرات المترابطة التي تعكس تجانس الظواهر واستقرار العمليات. غالبًا ما لا يكون لمؤشرات التباين معنى مستقل ويتم استخدامها لمزيد من تحليل البيانات. الاستثناء هو معامل التباين الذي يميز تجانس البيانات ، وهو إحصاء قيم.
يمكن قياس درجة تباين أو استقرار العمليات في العلوم الإحصائية باستخدام عدة مؤشرات.
أهم مؤشر يميز تباين المتغير العشوائي هو تشتت، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا ومباشرًا بالتوقعات الرياضية. يتم استخدام هذه المعلمة بنشاط في أنواع أخرى من التحليل الإحصائي (اختبار الفرضيات ، وتحليل علاقات السبب والنتيجة ، وما إلى ذلك). مثل المتوسط الخطي ، يعكس التباين أيضًا قياس انتشار البيانات حول المتوسط.
من المفيد ترجمة لغة الإشارات إلى لغة الكلمات. اتضح أن التباين هو متوسط مربع الانحرافات. أي ، يتم حساب المتوسط أولاً ، ثم يتم أخذ الفرق بين كل أصلي والمتوسط ، وتربيعه ، وإضافته ، ثم قسمة عدد القيم في المجتمع. يعكس الفرق بين القيمة الفردية والمتوسط مقياس الانحراف. يتم تربيعها بحيث تصبح جميع الانحرافات أرقامًا موجبة بشكل حصري ولتجنب التدمير المتبادل للانحرافات الإيجابية والسلبية عند تلخيصها. بعد ذلك ، باستخدام مربعات الانحرافات ، نحسب ببساطة المتوسط الحسابي. متوسط - مربع - الانحرافات. يتم تربيع الانحرافات ويتم أخذ المتوسط في الاعتبار. يكمن حل الكلمة السحرية "التباين" في ثلاث كلمات فقط.
ومع ذلك ، لا يتم استخدام التباين في شكله النقي ، مثل المتوسط الحسابي أو الفهرس. إنه بالأحرى مؤشر مساعد ومتوسط يستخدم لأنواع أخرى من التحليل الإحصائي. ليس لديها حتى وحدة قياس عادية. انطلاقًا من الصيغة ، هذا هو مربع وحدة قياس البيانات الأصلية.
دعونا نقيس متغير عشوائي نمرات ، على سبيل المثال ، نقيس سرعة الرياح عشر مرات ونريد إيجاد القيمة المتوسطة. كيف يرتبط المتوسط بوظيفة التوزيع؟
أو سنقوم برمي النرد عددًا كبيرًا من المرات. عدد النقاط التي ستسقط في النرد مع كل لفة هو متغير عشوائي ويمكن أن يأخذ أي قيم طبيعية من 1 إلى 6. المتوسط الحسابي للنقاط المسقطة ، المحسوبة لجميع لفات النرد ، هو أيضًا قيمة عشوائية ، ولكن على نطاق واسع نتميل إلى رقم محدد للغاية - التوقع الرياضي مكس... في هذه الحالة ، Mx = 3.5.
كيف نشأت هذه القيمة؟ اتركه نمحاكمات n1انخفض مرة واحدة نقطة ، n2مرات - 2 نقطة وهلم جرا. ثم عدد النتائج التي تم إسقاط نقطة واحدة فيها هو:
وبالمثل بالنسبة للنتائج عندما يتم تدوير 2 و 3 و 4 و 5 و 6 نقاط.
لنفترض الآن أننا نعرف قانون توزيع المتغير العشوائي x ، أي أننا نعلم أن المتغير العشوائي x يمكن أن يأخذ القيم x1 ، x2 ، ... ، xk مع الاحتمالات p1 ، p2 ، ... ، pk.
التوقع الرياضي Mx لمتغير عشوائي x هو:
التوقع الرياضي ليس دائمًا تقديرًا معقولًا لبعض المتغيرات العشوائية. لذلك ، لتقدير متوسط الأجر ، من المعقول أكثر استخدام مفهوم الوسيط ، أي أن عدد الأشخاص الذين يتلقون أقل من متوسط الأجر وأكثر متماثلًا.
احتمال p1 أن المتغير العشوائي x سيكون أقل من x1 / 2 ، واحتمال p2 أن المتغير العشوائي x سيكون أكبر من x1 / 2 هو نفسه ويساوي 1/2. لم يتم تحديد الوسيط بشكل فريد لجميع التوزيعات.
الانحراف المعياري أو المعياريفي الإحصاء ، يتم استدعاء الدرجة التي تنحرف بها بيانات أو مجموعات المراقبة عن قيمة AVERAGE. يتم تحديده بواسطة الأحرف s أو s. يشير الانحراف المعياري الصغير إلى أن البيانات تتجمع حول المتوسط ، بينما يشير الانحراف المعياري الكبير إلى أن البيانات الأولية بعيدة عنها. الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي لكمية تسمى التباين. إنه متوسط مجموع تربيع الفروق في البيانات الأولية التي تنحرف عن المتوسط. يسمى الانحراف الجذر التربيعي لمتغير عشوائي الجذر التربيعي للتباين:
مثال. تحت ظروف الاختبار عند التصوير على هدف ، احسب التباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي:
تفاوت- التباين ، تقلب قيمة الصفة في وحدات السكان. تسمى القيم العددية الفردية للميزة الموجودة في المجتمع المدروس بخيارات القيمة. عدم كفاية متوسط القيمة لخاصية كاملة للسكان يجعل من الضروري استكمال القيم المتوسطة بمؤشرات تجعل من الممكن تقييم نموذجية هذه المتوسطات من خلال قياس التباين (التباين) للسمة قيد الدراسة. يتم حساب معامل الاختلاف بالصيغة:
انتقد الاختلاف(R) هو الفرق بين القيم القصوى والدنيا للسمة في المجتمع المدروس. يعطي هذا المؤشر الفكرة الأكثر عمومية عن تباين السمة قيد الدراسة ، لأنه يظهر الفرق فقط بين القيم المحددة للخيارات. الاعتماد على القيم القصوى للسمة يعطي نطاق التباين طابعًا عشوائيًا غير مستقر.
متوسط الانحراف الخطيهو المتوسط الحسابي للانحرافات المطلقة (المعيارية) لجميع قيم المجتمع الذي تم تحليله من متوسط قيمتها:
القيمة المتوقعة في نظرية القمار
التوقع الرياضيمتوسط المبلغ الذي يمكن أن يربحه المقامر أو يخسره في رهان معين. هذا مفهوم مهم جدًا للاعب ، لأنه أساسي لتقييم معظم مواقف اللعبة. التوقع هو أيضًا أداة مثالية لتحليل تخطيطات البطاقات الأساسية ومواقف اللعبة.
لنفترض أنك تلعب عملة معدنية مع صديق ، وتراهن بدولار واحد بالتساوي في كل مرة ، بغض النظر عما سيحدث. ذيول - تربح ، رؤساء - تخسر. احتمالات ظهور ذيول هي واحد لواحد ، وأنت تراهن من 1 دولار إلى 1 دولار. وبالتالي ، فإن توقعاتك الرياضية هي صفر ، لأن من الناحية الحسابية ، لا يمكنك معرفة ما إذا كنت ستتقدم أو تخسر بعد رميتين أو بعد 200.
ربحك بالساعة هو صفر. الفوز بالساعة هو مقدار المال الذي تتوقع أن تربحه في ساعة واحدة. يمكنك قلب العملة 500 مرة في غضون ساعة ، لكنك لن تربح أو تخسر ، لأنك فرصك ليست ايجابية ولا سلبية. من وجهة نظر لاعب جاد ، فإن نظام المراهنة هذا ليس سيئًا. لكن هذا مجرد مضيعة للوقت.
لكن لنفترض أن شخصًا ما يريد المراهنة بمبلغ 2 دولار مقابل 1 دولار في نفس اللعبة. ثم لديك على الفور توقع إيجابي قدره 50 سنتًا من كل رهان. لماذا 50 سنتا؟ في المتوسط ، تربح رهانًا واحدًا وتخسر الثاني. راهن على الدولار الأول وخسر 1 دولار ، راهن على الثاني واربح 2 دولار. أنت تراهن بدولار واحد مرتين وتسبقك بدولار واحد. لذا فإن كل رهاناتك التي تبلغ قيمتها دولار واحد أعطتك 50 سنتًا.
إذا سقطت العملة 500 مرة في ساعة واحدة ، فستكون أرباحك بالساعة بالفعل 250 دولارًا ، لأن في المتوسط ، خسرت 1 250 دولارًا وفازت بـ 2 250 دولارًا. 500 دولار ناقص 250 دولارًا يساوي 250 دولارًا ، وهو إجمالي المكاسب. يرجى ملاحظة أن القيمة المتوقعة ، وهي المبلغ الذي فزت به في المتوسط في رهان واحد ، هي 50 سنتًا. لقد ربحت 250 دولارًا عن طريق وضع رهان بالدولار 500 مرة ، أي ما يعادل 50 سنتًا من الحصة.
القيمة المتوقعة لا علاقة لها بالنتيجة قصيرة المدى. يمكن لخصمك ، الذي قرر المراهنة بمبلغ 2 دولار ضدك ، أن يهزمك في أول عشر رميات متتالية ، لكنك ، بميزة الرهان 2: 1 ، مع تساوي جميع الأشياء الأخرى ، تحت أي ظرف من الظروف ، تربح 50 سنتًا من كل رهان 1 دولار. لا فرق بين الفوز أو الخسارة في رهان واحد أو عدة رهانات ، ولكن فقط إذا كان لديك نقود كافية لتعويض التكاليف بهدوء. إذا واصلت المراهنة بنفس الطريقة ، فبعد فترة طويلة من الوقت ستصل أرباحك إلى مجموع توقعاتك في رميات فردية.
في كل مرة تقوم فيها بالمراهنة بأفضل نتيجة (رهان يمكن أن يكون مربحًا على المدى الطويل) ، عندما تكون الاحتمالات في صالحك ، ستفوز بالتأكيد بشيء ما ، ولا يهم إذا خسرت أو لا في هذه اليد. بالمقابل ، إذا راهنت بأسوأ نتيجة (رهان غير مربح على المدى الطويل) ، عندما لا تكون الاحتمالات في صالحك ، فأنت تخسر شيئًا بغض النظر عما إذا كنت تربح أو تخسر في توزيع الورق المعين.
يمكنك المراهنة بأفضل النتائج إذا كانت توقعاتك إيجابية ، وتكون إيجابية إذا كانت الاحتمالات في صفك. عندما تضع رهانًا بأسوأ نتيجة ، يكون لديك توقع سلبي ، والذي يحدث عندما تكون الاحتمالات ضدك. يراهن المقامرون الجادون فقط بأفضل النتائج ؛ في أسوأ الأحوال ، ينسون. ماذا تعني الاحتمالات لصالحك؟ قد ينتهي بك الأمر بالفوز بأكثر مما تجلبه الاحتمالات الحقيقية. الاحتمالات الحقيقية لظهور ذيول هي 1 إلى 1 ، لكنك تحصل على 2 إلى 1 بسبب نسبة الرهانات. في هذه الحالة ، الاحتمالات في صالحك. ستحصل بالتأكيد على أفضل نتيجة مع توقع إيجابي قدره 50 سنتًا لكل رهان.
فيما يلي مثال أكثر تعقيدًا للقيمة المتوقعة. يكتب صديقك الأرقام من واحد إلى خمسة ويراهن بخمسة دولارات مقابل دولار واحد أنك لن تحدد الرقم المخفي. هل يجب أن توافق على مثل هذا الرهان؟ ما هو التوقع هنا؟
في المتوسط ، أنت تخطئ أربع مرات. بناءً على ذلك ، فإن الاحتمالات ضد تخمينك للرقم هي من 4 إلى 1. الاحتمالات هي أنك تخسر دولارًا في محاولة واحدة. ومع ذلك ، تربح 5 إلى 1 ، إذا كنت تستطيع أن تخسر 4 إلى 1. لذا فإن الاحتمالات في صالحك ، يمكنك المراهنة والأمل في الحصول على نتيجة أفضل. إذا قمت بهذا الرهان خمس مرات ، فستخسر في المتوسط أربع مرات 1 دولار وتربح 5 دولارات مرة واحدة. بناءً على ذلك ، بالنسبة لجميع المحاولات الخمس ، ستربح دولارًا واحدًا بقيمة إيجابية متوقعة تبلغ 20 سنتًا لكل رهان.
اللاعب الذي سيفوز أكثر مما يراهن ، كما في المثال أعلاه ، يتفهم الاحتمالات. على العكس من ذلك ، فإنه يفسد الاحتمالات عندما يتوقع أن يربح أقل مما يراهن. يمكن للاعب الذي يراهن أن يكون لديه توقعات إيجابية أو سلبية ، والتي تعتمد على ما إذا كان سيحصل على الاحتمالات أو يفسدها.
إذا راهنت بـ 50 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات مع احتمال 4 إلى 1 للفوز ، فستحصل على توقع سلبي قدره 2 دولار ، لأن في المتوسط ، تربح أربعة أضعاف 10 دولارات وتخسر 50 دولارًا مرة واحدة ، مما يدل على أن خسارة رهان واحد هي 10 دولارات. لكن إذا راهنت بـ 30 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات ، مع نفس فرص الفوز بـ 4 إلى 1 ، ففي هذه الحالة يكون لديك توقع إيجابي قدره 2 دولار ، لأن تربح مرة أخرى أربع مرات مقابل 10 دولارات وتخسر 30 دولارًا مرة واحدة لتحقق ربحًا قدره 10 دولارات. توضح هذه الأمثلة أن الرهان الأول سيئ والثاني جيد.
التوقع هو مركز أي موقف لعبة. عندما يشجع صانع المراهنات مشجعي كرة القدم على المراهنة بمبلغ 11 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات ، فإن لديهم توقعات إيجابية تبلغ 50 سنتًا لكل 10 دولارات. إذا دفع الكازينو أموالًا متساوية من خط المرور في لعبة الكرابس ، فإن التوقع الإيجابي للكازينو هو 1.40 دولار تقريبًا لكل 100 دولار ، لأن تم تنظيم هذه اللعبة بحيث يخسر كل من يراهن على هذا الخط 50.7٪ في المتوسط ويفوز بنسبة 49.3٪ من إجمالي الوقت. مما لا شك فيه أن هذا الحد الأدنى من التوقعات الإيجابية على ما يبدو هو الذي يجلب أرباحًا هائلة لأصحاب الكازينوهات في جميع أنحاء العالم. وكما لاحظ بوب ستوباك ، مالك كازينو فيجاس وورلد ، "فإن واحدًا من ألف في المائة من الاحتمالية السلبية على مسافة طويلة بما يكفي سيدمر أغنى رجل في العالم."
التوقع الرياضي عند لعب البوكر
تعتبر لعبة البوكر أكثر الأمثلة التوضيحية والتوضيحية من حيث استخدام نظرية وخصائص التوقعات الرياضية.
القيمة المتوقعة في البوكر هي متوسط الفائدة من قرار معين ، بشرط أن يتم النظر في مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافات الطويلة. تدور لعبة البوكر الناجحة حول قبول التحركات بتوقعات إيجابية دائمًا.
المعنى الرياضي للتوقع الرياضي عند لعب البوكر هو أننا غالبًا ما نواجه متغيرات عشوائية عند اتخاذ القرار (لا نعرف البطاقات الموجودة في يد الخصم ، وما هي البطاقات التي ستظهر في جولات المراهنة اللاحقة). يجب أن نفكر في كل من الحلول من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة ، والتي تنص على أنه مع وجود عينة كبيرة بما فيه الكفاية ، فإن متوسط قيمة المتغير العشوائي سيميل إلى توقعه الرياضي.
من بين الصيغ الخاصة لحساب التوقع الرياضي ، ما يلي هو الأكثر قابلية للتطبيق في لعبة البوكر:
عند لعب البوكر ، يمكن حساب القيمة المتوقعة لكل من الرهانات والمكالمات. في الحالة الأولى ، يجب أن تؤخذ أضعاف حقوق الملكية في الاعتبار ، في الحالة الثانية - احتمالات الرهان نفسه. عند تقييم التوقع الرياضي للحركة ، يجب أن نتذكر أن الحظ لا يتوقع حدوثه دائمًا. وبالتالي ، سيكون التخلص من البطاقات دائمًا قرارًا مربحًا أكثر من أي حركة سلبية.
يخبرك التوقع بما يمكن أن تتوقعه (ربح أو خسارة) مقابل كل دولار تخاطر به. تجني الكازينوهات الأموال لأن توقع جميع الألعاب التي تمارس فيها لصالح الكازينو. مع سلسلة طويلة من الألعاب ، يمكن للمرء أن يتوقع أن يخسر العميل أمواله ، لأن "الاحتمال" لصالح الكازينو. ومع ذلك ، يقصر لاعبو الكازينو المحترفون ألعابهم على فترات زمنية قصيرة ، مما يزيد من الاحتمالات لصالحهم. الشيء نفسه ينطبق على الاستثمار. إذا كانت توقعاتك إيجابية ، يمكنك كسب المزيد من المال عن طريق إجراء العديد من الصفقات في فترة زمنية قصيرة. التوقع هو النسبة المئوية لأرباحك على الربح مضروبة في متوسط الربح مطروحًا منه احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط الخسارة.
يمكن أيضًا عرض البوكر من حيث التوقعات الرياضية. يمكنك أن تفترض أن حركة معينة مربحة ، ولكن في بعض الحالات قد تكون بعيدة عن الأفضل ، لأن حركة أخرى تكون أكثر ربحية. لنفترض أنك ضربت منزلًا كاملاً في لعبة البوكر بالسحب بخمس بطاقات. رهان خصمك. أنت تعلم أنك إذا رفعت عرضك ، فسوف يجيب. لذلك ، يبدو أن الرفع هو أفضل تكتيك. ولكن إذا رفعت الرهان بالفعل ، فإن اللاعبين المتبقيين سينسحبون بالتأكيد. ولكن إذا اتصلت ، فستكون متأكدًا تمامًا من أن لاعبين آخرين بعدك سيفعلان الشيء نفسه. عندما ترفع الرهان ، تحصل على وحدة واحدة ، ولكن ببساطة عن طريق الاتصال - اثنان. وبالتالي ، تمنحك المعادلة توقعًا رياضيًا إيجابيًا أعلى وهي أفضل تكتيك.
يمكن أن تعطي القيمة المتوقعة أيضًا فكرة عن التكتيكات الأقل ربحية في البوكر وأيها أكثر. على سبيل المثال ، عند لعب توزيع ورق معين ، فأنت تعتقد أن متوسط خسائرك ستبلغ 75 سنتًا ، بما في ذلك الرهان المسبق ، إذن يجب أن تُلعب هذه اليد لأن هذا أفضل من الطي عندما يكون الرهان المسبق 1 دولار.
سبب آخر مهم لفهم جوهر التوقع الرياضي هو أنه يمنحك إحساسًا بالسلام سواء فزت برهان أم لا: إذا قمت برهان جيد أو خسرت في الوقت المحدد ، فستعرف أنك ربحت أو ادخرت مبلغًا معينًا من المال الذي لم يستطع اللاعب الأضعف إدخاره. يكون الانسحاب أكثر صعوبة إذا كنت منزعجًا من أن خصمك قد قدم يدًا أقوى في التبادل. مع كل هذا ، فإن الأموال التي وفرتها دون اللعب ، بدلاً من الرهان ، تضاف إلى أرباحك في الليلة أو كل شهر.
فقط تذكر أنك إذا غيرت يديك ، فسيتصل بك خصمك ، وكما سترى في مقالة "النظرية الأساسية للبوكر" هذه مجرد إحدى مزاياك. يجب أن تكون سعيدا عندما يحدث هذا. يمكنك حتى تعلم الاستمتاع بتوزيع الورق الخاسر ، لأنك تعلم أن اللاعبين الآخرين في مكانك كانوا سيخسرون الكثير.
كما هو مذكور في مثال لعبة العملات المعدنية في البداية ، يرتبط معدل العائد لكل ساعة بالقيمة المتوقعة ، وهذا المفهوم مهم بشكل خاص للاعبين المحترفين. عندما تلعب البوكر ، يجب أن تقدر عقليًا مقدار ما يمكنك الفوز به في ساعة واحدة من اللعب. في معظم الحالات ، ستحتاج إلى الاعتماد على حدسك وخبرتك ، ولكن يمكنك أيضًا استخدام بعض الرياضيات. على سبيل المثال ، أنت تلعب لعبة Draw lowball وترى ثلاثة لاعبين يراهنون بـ 10 دولارات ثم يتبادلون بطاقتين ، وهو تكتيك سيء للغاية ، قد تعتقد أنه في كل مرة يراهنون فيها بـ 10 دولارات ، يخسرون حوالي 2 دولار. كل منهم يفعل ذلك ثماني مرات في الساعة ، مما يعني أن الثلاثة يخسرون حوالي 48 دولارًا في الساعة. أنت أحد اللاعبين الأربعة المتبقين ، وهم متساوون تقريبًا ، لذا يتعين على هؤلاء اللاعبين الأربعة (ومن بينهم) تقسيم 48 دولارًا ، وسيكون كل ربح 12 دولارًا في الساعة. معدلك بالساعة في هذه الحالة هو ببساطة حصتك من الأموال التي خسرها ثلاثة لاعبين سيئين في ساعة واحدة.
على مدى فترة طويلة من الزمن ، يكون إجمالي العائد للاعب هو مجموع توقعاته الرياضية في أيدي الأفراد. كلما لعبت بتوقعات إيجابية أكثر ، كلما ربحت أكثر ، والعكس صحيح ، كلما لعبت المزيد من توزيعات الورق ذات التوقعات السلبية ، كلما خسرت أكثر. نتيجة لذلك ، يجب عليك اختيار لعبة يمكنها تعظيم توقعاتك الإيجابية أو إبطال السلبية حتى تتمكن من زيادة أرباحك في الساعة.
التوقعات الرياضية الإيجابية في استراتيجية اللعبة
إذا كنت تعرف كيفية عد البطاقات ، فقد يكون لديك ميزة على الكازينو إذا لم يرها ويطردك. تحب الكازينوهات المقامرين المخمورين ولا يمكنها تحمل عدادات البطاقات. سوف تسمح لك ميزة Advantage بالفوز بمرور الوقت أكثر مما تخسره. يمكن أن تساعدك الإدارة الجيدة للأموال باستخدام حسابات التوقع الرياضية على الاستفادة بشكل أكبر من ميزتك وتقليل الخسائر. بدون ميزة ، من الأفضل أن تتبرع بالمال للجمعيات الخيرية. في التداول في البورصة ، يتم إعطاء الميزة من خلال نظام اللعبة ، والذي يحقق أرباحًا أكثر من الخسائر وفروق الأسعار والعمولات. لن يؤدي أي قدر من إدارة الأموال إلى توفير نظام ألعاب سيء.
يتم تعريف التوقع الإيجابي بقيمة أكبر من الصفر. كلما زاد هذا الرقم ، زادت قوة التوقعات الإحصائية. إذا كانت القيمة أقل من الصفر ، فسيكون التوقع الرياضي سالبًا أيضًا. كلما زاد معامل القيمة السالبة ، كان الوضع أسوأ. إذا كانت النتيجة صفر ، فإن التوقع هو نقطة التعادل. يمكنك الفوز فقط عندما يكون لديك توقعات رياضية إيجابية ، ونظام لعب معقول. اللعب بالحدس يؤدي إلى كارثة.
التوقع والتبادل التجاري
التوقع الرياضي هو مؤشر إحصائي مطلوب على نطاق واسع وشائع في تنفيذ تداول العملات في الأسواق المالية. بادئ ذي بدء ، يتم استخدام هذه المعلمة لتحليل نجاح التجارة. ليس من الصعب تخمين أنه كلما زادت القيمة المعطاة ، زاد سبب اعتبار التجارة المدروسة ناجحة. بالطبع ، لا يمكن تحليل عمل المتداول إلا بمساعدة هذه المعلمة. ومع ذلك ، فإن القيمة المحسوبة ، بالاقتران مع الطرق الأخرى لتقييم جودة العمل ، يمكن أن تحسن بشكل كبير دقة التحليل.
غالبًا ما يتم حساب التوقع الرياضي في خدمات مراقبة حسابات التداول ، مما يسمح لك بتقييم العمل المنجز على الإيداع بسرعة. كاستثناءات ، يمكن للمرء الاستشهاد بالاستراتيجيات التي تستخدم "الجلوس" في الصفقات غير المربحة. قد يكون التاجر محظوظًا لبعض الوقت ، وبالتالي ، قد لا تكون هناك خسائر في عمله على الإطلاق. في هذه الحالة ، لن يكون من الممكن التنقل إلا بالتوقع ، لأن المخاطر المستخدمة في العمل لن تؤخذ في الاعتبار.
في التداول في السوق ، غالبًا ما يستخدم التوقع عند التنبؤ بربحية استراتيجية التداول أو عند توقع دخل المتداول بناءً على البيانات الإحصائية لتداولاته السابقة.
فيما يتعلق بإدارة الأموال ، من المهم جدًا أن نفهم أنه عند إجراء صفقات بتوقعات سلبية ، لا يوجد مخطط لإدارة الأموال يمكن أن يحقق أرباحًا عالية بالتأكيد. إذا واصلت اللعب في البورصة في ظل هذه الظروف ، فبغض النظر عن كيفية إدارتك لأموالك ، ستفقد حسابك بالكامل ، بغض النظر عن حجمه في البداية.
هذه البديهية لا تنطبق فقط على الألعاب أو الصفقات ذات التوقعات السلبية ، بل هي صحيحة أيضًا للألعاب ذات الاحتمالات المتساوية. لذلك ، فإن الحالة الوحيدة التي يكون لديك فيها فرصة للاستفادة على المدى الطويل هي عندما تعقد صفقات بقيمة إيجابية متوقعة.
الفرق بين التوقع السلبي والتوقع الإيجابي هو الفرق بين الحياة والموت. لا يهم مدى إيجابية أو سلبية التوقعات ؛ ما يهم هو ما إذا كانت إيجابية أم سلبية. لذلك ، قبل التفكير في قضايا إدارة الأموال ، يجب أن تجد لعبة ذات توقعات إيجابية.
إذا لم يكن لديك مثل هذه اللعبة ، فلن يوفر لك أي قدر من إدارة الأموال في العالم. من ناحية أخرى ، إذا كان لديك توقع إيجابي ، يمكنك ، من خلال الإدارة الجيدة للأموال ، تحويلها إلى وظيفة نمو أسي. لا يهم مدى ضآلة هذا التوقع الإيجابي! بمعنى آخر ، لا يهم مدى ربحية نظام تداول عقد واحد. إذا كان لديك نظام يربح 10 دولارات لكل عقد في صفقة واحدة (بعد خصم العمولات والانزلاق السعري) ، يمكنك استخدام تقنيات إدارة الأموال لجعلها أكثر ربحية من النظام الذي يظهر متوسط ربح 1000 دولار لكل صفقة (بعد الخصم) العمولات والانزلاق).
ما يهم ليس مدى ربحية النظام ، ولكن مدى التأكد من أن النظام سيُظهر على الأقل ربحًا ضئيلًا في المستقبل. لذلك ، فإن أهم إعداد يمكن أن يقوم به المتداول هو التأكد من أن النظام يُظهر توقعات رياضية إيجابية في المستقبل.
من أجل الحصول على توقعات رياضية إيجابية في المستقبل ، من المهم جدًا عدم تقييد درجات الحرية في نظامك. يتم تحقيق ذلك ليس فقط عن طريق إزالة أو تقليل عدد المعلمات المطلوب تحسينها ، ولكن أيضًا عن طريق تقليل أكبر عدد ممكن من قواعد النظام. كل معلمة تضيفها ، كل قاعدة تقوم بها ، كل تغيير صغير تقوم به على النظام ، يقلل من عدد درجات الحرية. من الناحية المثالية ، تحتاج إلى بناء نظام بدائي وبسيط إلى حد ما سيحقق باستمرار أرباحًا صغيرة في أي سوق تقريبًا. مرة أخرى ، من المهم أن تفهم أنه لا يهم مدى ربحية النظام ، طالما أنه مربح. سيتم كسب الأموال التي تكسبها في التداول من خلال الإدارة الفعالة للأموال.
نظام التداول هو ببساطة أداة تمنحك توقعًا رياضيًا إيجابيًا بحيث يمكن استخدام إدارة الأموال. الأنظمة التي تعمل (تظهر على الأقل ربحًا ضئيلًا) في سوق واحد أو عدد قليل من الأسواق ، أو لديها قواعد أو معايير مختلفة لأسواق مختلفة ، على الأرجح لن تعمل في الوقت الفعلي لفترة كافية. تكمن مشكلة معظم المتداولين المتمرسين في التكنولوجيا في أنهم يقضون الكثير من الوقت والجهد في تحسين القواعد المختلفة وقيم المعلمات لنظام التداول. هذا يعطي نتائج معاكسة تمامًا. بدلاً من إنفاق الطاقة ووقت الكمبيوتر في زيادة أرباح نظام التداول ، ركز طاقتك على زيادة مستوى الموثوقية لتحقيق الحد الأدنى من الربح.
مع العلم أن إدارة الأموال هي مجرد لعبة رقمية تتطلب استخدام التوقعات الإيجابية ، يمكن للمتداول التوقف عن البحث عن "الكأس المقدسة" لتداول الأسهم. بدلاً من ذلك ، يمكنه البدء في اختبار طريقة التداول الخاصة به ، ومعرفة مدى منطقية هذه الطريقة ، وما إذا كانت تعطي توقعات إيجابية. الأساليب الصحيحة لإدارة الأموال المطبقة على أي طرق تداول متواضعة ، ستقوم ببقية العمل بأنفسهم.
لكي ينجح أي تاجر في عمله ، من الضروري حل أهم ثلاث مهام:. التأكد من أن عدد الصفقات الناجحة يتجاوز الأخطاء الحتمية وسوء التقدير ؛ قم بإعداد نظام التداول الخاص بك بحيث تكون فرصة كسب المال في كثير من الأحيان ؛ لتحقيق استقرار النتيجة الإيجابية لعملياتك.
وهنا ، نحن التجار العاملون ، يمكن أن تساعدنا التوقعات الرياضية. هذا المصطلح في نظرية الاحتمال هو أحد المصطلحات الرئيسية. بمساعدتها ، يمكنك إعطاء تقدير متوسط لقيمة عشوائية معينة. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي يشبه مركز الثقل إذا تخيلنا جميع الاحتمالات الممكنة كنقاط ذات كتل مختلفة.
كما هو مطبق على استراتيجية التداول ، لتقييم فعاليتها ، غالبًا ما يتم استخدام التوقع الرياضي للربح (أو الخسارة). يتم تعريف هذه المعلمة على أنها مجموع منتجات المستويات المحددة للربح والخسارة واحتمال حدوثها. على سبيل المثال ، تفترض إستراتيجية التداول المطورة أن 37٪ من جميع المعاملات ستحقق ربحًا ، والباقي - 63٪ - ستكون غير مربحة. في الوقت نفسه ، سيكون متوسط الدخل من صفقة ناجحة 7 دولارات ، ومتوسط الخسارة 1.4 دولار. دعنا نحسب التوقع الرياضي للتداول باستخدام النظام التالي:
ماذا يعني هذا الرقم؟ تقول أنه وفقًا لقواعد هذا النظام ، في المتوسط ، سوف نتلقى 1.708 دولارًا أمريكيًا من كل عملية تداول مغلقة. نظرًا لأن تقدير الكفاءة الذي تم الحصول عليه أكبر من الصفر ، فيمكن استخدام هذا النظام للعمل الحقيقي. إذا تبين ، نتيجة للحساب ، أن التوقع الرياضي سالب ، فإن هذا يتحدث بالفعل عن متوسط الخسارة وستؤدي مثل هذه التجارة إلى الخراب.
يمكن أيضًا التعبير عن مقدار الربح لكل صفقة كقيمة نسبية في شكل٪. فمثلا:
- نسبة الدخل لصفقة واحدة - 5٪ ؛
- نسبة عمليات التداول الناجحة - 62٪ ؛
- نسبة الخسارة لكل صفقة - 3٪ ؛
- النسبة المئوية للصفقات غير الناجحة - 38٪ ؛
أي أن متوسط التجارة سيولد 1.96٪.
من الممكن تطوير نظام يعطي نتيجة إيجابية ، على الرغم من انتشار التداولات غير المربحة ، نظرًا لأن معدل الحد الأدنى لديه> 0.
ومع ذلك ، فإن الانتظار وحده لا يكفي. من الصعب كسب المال إذا أعطى النظام إشارات تداول قليلة جدًا. في هذه الحالة ، ستكون ربحيتها قابلة للمقارنة مع الفائدة المصرفية. دع كل معاملة تعطي متوسط 0.50 دولار فقط ، ولكن ماذا لو افترض النظام 1000 معاملة في السنة؟ سيكون هذا مبلغًا خطيرًا جدًا في وقت قصير نسبيًا. ويترتب على ذلك منطقياً أن ميزة أخرى مميزة لنظام تداول جيد يمكن اعتبارها فترة قصيرة للاحتفاظ بالمراكز.
المصادر والروابط
dic.academic.ru - قاموس الإنترنت الأكاديمي
mathematics.ru - موقع تعليمي في الرياضيات
nsu.ru - الموقع التعليمي لجامعة ولاية نوفوسيبيرسك
webmath.ru هي بوابة تعليمية للطلاب والمتقدمين وأطفال المدارس.
موقع exponenta.ru التعليمي الرياضي
ru.tradimo.com - مدرسة تداول مجانية عبر الإنترنت
crypto.hut2.ru - مصدر معلومات متعدد التخصصات
poker-wiki.ru - موسوعة البوكر المجانية
sernam.ru - مكتبة علمية لمنشورات العلوم الطبيعية المختارة
reshim.su - موقع ويب LET'S SOLVE مهام التحكم في الدورة التدريبية
unfx.ru - الفوركس في UNFX: التدريب ، وإشارات التداول ، وإدارة الثقة
slovopedia.com - القاموس الموسوعي الكبير في Slovopedia
pokermansion.3dn.ru - دليلك إلى عالم البوكر
statanaliz.info - مدونة المعلومات "تحليل البيانات الإحصائية"
forex-trader.rf - بوابة Forex-Trader
megafx.ru - تحليلات فوركس محدثة
fx-by.com - كل شيء للمتداول
نظرية الاحتمالات هي فرع خاص من فروع الرياضيات يدرسها طلاب الجامعة فقط. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألست خائفًا من احتمال التعرف على التوزيع الطبيعي ، وانتروبيا المجموعة ، والتوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي منفصل؟ ثم سيكون هذا الموضوع ممتعًا جدًا بالنسبة لك. دعنا نتعرف على بعض أهم المفاهيم الأساسية في هذا الفرع من العلوم.
دعونا نتذكر الأساسيات
حتى إذا كنت تتذكر أبسط مفاهيم نظرية الاحتمالات ، فلا تهمل الفقرات الأولى من المقال. الحقيقة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات ، لن تتمكن من التعامل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.
لذلك ، يحدث بعض الأحداث العشوائية ، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي تم تنفيذها ، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها أكثر شيوعًا والبعض الآخر أقل شيوعًا. احتمال وقوع حدث هو نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. فقط بمعرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم ، يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي والتباين للمتغيرات العشوائية المستمرة.
متوسط
بالعودة إلى المدرسة ، في دروس الرياضيات ، بدأت العمل باستخدام الوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمال ، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا في الوقت الحالي هو أننا سنواجهه في الصيغ الخاصة بالتوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي.
لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد المتوسط الحسابي. كل ما هو مطلوب منا هو جمع كل ما هو متاح وقسمته على عدد العناصر في التسلسل. افترض أن لدينا أرقامًا من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45 ، وسنقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.
تشتت
من الناحية العلمية ، التباين هو متوسط مربع انحرافات القيم التي تم الحصول عليها لميزة من المتوسط الحسابي. يُرمز إلى أحدهما بحرف لاتيني كبير D. ما الذي تحتاجه لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر التسلسل ، احسب الفرق بين الرقم المتاح والمتوسط الحسابي وقم بتربيعه. سيكون هناك العديد من القيم بالضبط بقدر ما يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي ندرسه. بعد ذلك ، نلخص كل العناصر المستلمة ونقسمها على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة ، فسنقسم على خمسة.
يحتوي التباين أيضًا على خصائص يجب تذكرها من أجل تطبيقها عند حل المشكلات. على سبيل المثال ، عندما يتم زيادة المتغير العشوائي بمقدار X مرة ، يزداد التباين بمقدار X مرات تربيع (أي X * X). لا تقل أبدًا عن الصفر ولا تعتمد على إزاحة القيم بقيمة متساوية لأعلى أو لأسفل. بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة للاختبارات المستقلة ، يكون تباين المجموع مساويًا لمجموع الفروق.
الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة تباين متغير عشوائي منفصل وتوقع رياضي.
لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. لاحظنا كل واحد منهم ، على التوالي ، 1،2،2،3،4،4 و 5 مرات. ما هو التباين؟
أولاً ، دعنا نحسب المتوسط الحسابي: مجموع العناصر يساوي ، بالطبع ، 21. قسّمه على 7 ، لتحصل على 3. الآن ، من كل رقم في التسلسل الأصلي ، اطرح 3 ، ربّع كل قيمة ، وأضف النتائج معًا. سوف يتحول إلى 12. الآن نحتاج فقط إلى قسمة الرقم على عدد العناصر ، ويبدو أن هذا كل شيء. لكن هناك قبض! دعونا نناقشها.
الاعتماد على عدد التجارب
اتضح أنه عند حساب التباين ، يمكن أن يكون المقام واحدًا من رقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (والتي هي في الأساس نفس الشيء). على ماذا تعتمد؟
إذا تم قياس عدد الاختبارات بالمئات ، فيجب أن نضع المقام N. إذا كان بالوحدات ، فعندئذٍ N-1. قرر العلماء رسم الحدود بشكل رمزي تمامًا: اليوم يتم تشغيلها بالرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة ، فسنقسم المجموع على N-1 ، وإذا كان أكثر من ذلك ، فسنقسم على N.
مهمة
دعنا نعود إلى مثالنا في حل مشكلة التباين والتوقع. حصلنا على رقم وسيط 12 ، والذي يجب تقسيمه على N أو N-1. نظرًا لأننا أجرينا 21 تجربة ، وهي أقل من 30 تجربة ، فسنختار الخيار الثاني. إذن الجواب هو: الفرق هو 12/2 = 2.
القيمة المتوقعة
دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني ، والذي يجب علينا بالتأكيد النظر فيه في هذه المقالة. القيمة المتوقعة هي مجموع كل النتائج المحتملة مضروبة في الاحتمالات المقابلة. من المهم أن نفهم أن القيمة التي تم الحصول عليها ، وكذلك نتيجة حساب التباين ، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمشكلة بأكملها ، بغض النظر عن عدد النتائج التي يتم أخذها في الاعتبار.
معادلة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نأخذ النتيجة ، ونضربها في احتمالها ، ونضيفها للنتيجة الثانية ، والثالثة ، وما إلى ذلك. كل ما يتعلق بهذا المفهوم يسهل حسابه. على سبيل المثال ، مجموع التوقع يساوي توقع المجموع. نفس الشيء ينطبق على العمل. ليست كل قيمة في نظرية الاحتمالات تسمح بإجراء مثل هذه العمليات البسيطة مع الذات. لنأخذ مشكلة ونحسب معنى المفهومين اللذين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك ، فقد انشغلنا بالنظرية - حان وقت الممارسة.
مثال آخر
أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تحدث بنسب مختلفة. هذه على التوالي: 2٪ ، 10٪ ، 4٪ ، 14٪ ، 2٪ ، 18٪ ، 6٪ ، 16٪ ، 10٪ ، 18٪. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات ، عليك قسمة القيم بالنسبة المئوية على 100. وهكذا ، نحصل على 0.02 ؛ 0.1 ، إلخ. دعونا نقدم مثالاً على حل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.
نحسب المتوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.
الآن دعنا نحول الاحتمالات إلى عدد من النتائج "على شكل أجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1 و 5 و 2 و 7 و 1 و 9 و 3 و 8 و 5 و 9. قم بطرح المتوسط الحسابي من كل قيمة تم الحصول عليها ، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل من النتائج التي تم الحصول عليها. تعرف على كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1-5 = (-4). التالي: (-4) * (-4) = 16. بالنسبة لبقية القيم ، قم بإجراء هذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح ، فبعد إضافة كل شيء ، ستحصل على 90.
دعنا نواصل حساب التباين ونعني بقسمة 90 على N. لماذا نختار N وليس N-1؟ هذا صحيح ، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30 تجربة. لذا: 90/10 = 9. حصلنا على التباين. إذا حصلت على رقم مختلف ، فلا تيأس. على الأرجح ، لقد ارتكبت خطأ شائعًا في الحسابات. أعد فحص ما كتبته ، وبالتأكيد سيصبح كل شيء في مكانه.
أخيرًا ، لنتذكر صيغة التوقع الرياضي. لن نقدم جميع الحسابات ، سنكتب فقط الإجابة التي يمكنك التحقق من خلالها بعد الانتهاء من جميع الإجراءات المطلوبة. سيكون التوقع 5.48. دعونا نتذكر فقط كيفية تنفيذ العمليات ، باستخدام مثال العناصر الأولى: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... وهكذا. كما ترى ، نقوم ببساطة بضرب قيمة النتيجة في احتمالية حدوثها.
انحراف
مفهوم آخر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتباين والتوقع الرياضي هو الانحراف المعياري. يتم تحديده إما بالحروف اللاتينية sd أو بالحروف اليونانية الصغيرة "سيجما". يوضح هذا المفهوم مدى انحراف القيم عن السمة المركزية في المتوسط. لإيجاد قيمته ، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.
إذا قمت برسم التوزيع الطبيعي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرةً ، فيمكن القيام بذلك في عدة خطوات. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية) ، ارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. ستمثل قيمة المقطع بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج على المحور الأفقي الانحراف المعياري.
برمجة
كما يتضح من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة ، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أبسط إجراء من وجهة نظر حسابية. من أجل عدم إضاعة الوقت ، من المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في التعليم العالي - ويسمى "R". لديها وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاءات ونظرية الاحتمالات.
على سبيل المثال ، أنت تحدد متجهًا للقيم. يتم ذلك على النحو التالي: ناقل<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
أخيرا
التشتت والتوقعات الرياضية - والتي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات ، يتم اعتبارها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها ، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن الركب في البرنامج ثم يتلقون لاحقًا درجات ضعيفة بناءً على نتائج الجلسة ، مما يحرمهم من المنح الدراسية.
تدرب لمدة أسبوع على الأقل ، نصف ساعة في اليوم ، على حل مهام مشابهة لتلك الواردة في هذه المقالة. ثم في أي اختبار لنظرية الاحتمال ، سوف تتعامل مع أمثلة بدون نصائح غريبة وأوراق الغش.
خصائص DSV وخصائصها. التوقع الرياضي ، التباين ، الانحراف المعياري
يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي تمامًا. ومع ذلك ، عندما يكون من المستحيل العثور على قانون التوزيع ، أو أن هذا غير مطلوب ، يمكن للمرء أن يقيد نفسه بإيجاد القيم ، التي تسمى الخصائص العددية للمتغير العشوائي. تحدد هذه القيم بعض متوسط القيمة التي يتم حولها تجميع قيم المتغير العشوائي ، ودرجة تشتتها حول هذه القيمة المتوسطة.
توقع رياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب كل القيم الممكنة لمتغير عشوائي من خلال احتمالاتها.
التوقع الرياضي موجود إذا كانت السلسلة على الجانب الأيمن من المساواة تتقارب بشكل مطلق.
من وجهة نظر الاحتمال ، يمكننا القول أن التوقع الرياضي يساوي تقريبًا المتوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي.
مثال. قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل معروف. أوجد القيمة المتوقعة.
| X | ||||
| ص | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
المحلول:
9.2 خصائص التوقع الرياضي
1. التوقع الرياضي للثابت يساوي الأكثر ثباتًا.
2. يمكن إخراج العامل الثابت بعد علامة التوقع الرياضي.
3. التوقع الرياضي لحاصل ضرب متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية.
هذه الخاصية صالحة لعدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.
4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.
هذه الخاصية صالحة أيضًا لعدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.
دع n من الاختبارات المستقلة يتم إجراؤها ، واحتمال حدوث الحدث A الذي يساوي p.
نظرية.التوقع الرياضي M (X) لعدد حدوث الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي ناتج عدد التجارب واحتمال حدوث الحدث في كل تجربة.
مثال. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X و Y معروفة: M (X) = 3 ، M (Y) = 2 ، Z = 2X + 3Y.
المحلول:
9.3 تشتت متغير عشوائي منفصل
ومع ذلك ، فإن التوقع الرياضي لا يمكن أن يصف بشكل كامل عملية عشوائية. بالإضافة إلى التوقع الرياضي ، من الضروري إدخال قيمة تميز انحراف قيم المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي.
هذا الانحراف يساوي الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. في هذه الحالة ، التوقع الرياضي للانحراف هو صفر. هذا يرجع إلى حقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة إيجابية ، والبعض الآخر سلبي ، ونتيجة لسدادها المتبادل ، يتم الحصول على الصفر.
تشتت (تشتت)يسمى المتغير العشوائي المنفصل التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.
في الممارسة العملية ، هذه الطريقة لحساب التباين غير ملائمة ، منذ ذلك الحين يؤدي إلى حسابات مرهقة لعدد كبير من قيم متغير عشوائي.
لذلك ، يتم استخدام طريقة مختلفة.
نظرية. الفرق يساوي الفرق بين التوقع الرياضي لمربع المتغير العشوائي X ومربع توقعه الرياضي.
دليل - إثبات. مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن التوقع الرياضي M (X) ومربع التوقع الرياضي M 2 (X) قيمتان ثابتتان ، يمكننا كتابة:
مثال. أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل المعطى بواسطة قانون التوزيع.
| NS | ||||
| X 2 | ||||
| ص | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
المحلول: .
9.4 خصائص التشتت
1. تباين الثابت هو صفر. ...
2. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التشتت بتربيعها. ...
3. إن التباين في مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه القيم. ...
4. فرق الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع الفروق بين هذه القيم. ...
نظرية. التباين في عدد تكرارات حدث A في n تجارب مستقلة ، يكون فيها احتمال p لحدوث حدث ثابتًا ، يساوي ناتج عدد المحاكمات واحتمالات الحدوث وغير- وقوع حدث في كل تجربة.
9.5 الانحراف المعياري لمتغير عشوائي متقطع
يعني الانحراف التربيعييسمى المتغير العشوائي X الجذر التربيعي للتباين.
نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه القيم.
قيمة عشوائيةيسمى متغيرًا ، نتيجة كل اختبار ، يأخذ قيمة واحدة غير معروفة سابقًا ، اعتمادًا على أسباب عشوائية. يتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بأحرف لاتينية كبيرة: $ X، \ Y، \ Z، \ \ dots $ حسب نوعها ، يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية منفصلةو مستمر.
المتغير العشوائي المنفصلهو متغير عشوائي لا يمكن أن تكون قيمه أكثر من قابلة للعد ، أي منتهية أو قابلة للعد. قابلية العد تعني أنه يمكن ترقيم قيم المتغير العشوائي.
مثال 1 ... فيما يلي بعض الأمثلة على المتغيرات العشوائية المنفصلة:
أ) عدد الضربات على الهدف بـ $ n $ shots ، هنا القيم المحتملة هي $ 0 ، \ 1 ، \ \ dots ، \ n $.
ب) عدد طبقات الأسلحة التي تم إسقاطها عند رمي العملة المعدنية ، هنا القيم المحتملة هي $ 0 ، \ 1 ، \ \ نقاط ، \ n $.
ج) عدد السفن التي تصل على متنها (مجموعة قيم قابلة للعد).
د) عدد المكالمات التي تصل إلى PBX (مجموعة قيم قابلة للعد).
1. قانون التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متقطع.
يمكن أن يأخذ المتغير العشوائي المنفصل $ X $ قيمًا $ x_1 ، \ dots ، \ x_n $ مع الاحتمالات $ p \ left (x_1 \ right) ، \ \ dots ، \ p \ left (x_n \ right) $. يسمى التطابق بين هذه القيم واحتمالاتها قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل... كقاعدة عامة ، يتم تعيين هذا التطابق باستخدام جدول ، في السطر الأول يشار إلى القيم $ x_1 ، \ dots ، \ x_n $ ، وفي السطر الثاني ، الاحتمالات $ p_1 ، \ dots ، \ p_n $ المقابلة لهذه القيم.
$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
X_i & x_1 & x_2 & \ dots & x_n \\
\ hline
p_i & p_1 & p_2 & \ dots & p_n \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $
مثال 2 ... اجعل المتغير العشوائي $ X $ هو عدد النقاط التي تم إسقاطها عند إلقاء النرد. يمكن لمثل هذا المتغير العشوائي $ X $ أن يأخذ القيم التالية $ 1، \ 2، \ 3، \ 4، \ 5، \ 6 $. احتمالات كل هذه القيم هي 1/6 دولار. ثم قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي $ X $:
$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline
\ hline
نهاية (مجموعة) $
تعليق... نظرًا لأنه في قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل $ X $ events $ 1، \ 2، \ \ dots، \ 6 $ تشكل مجموعة كاملة من الأحداث ، يجب أن يكون إجمالي الاحتمالات مساويًا لواحد ، أي $ \ sum (p_i) = 1 دولار.
2. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع.
التوقع الرياضي لمتغير عشوائييحدد معناها "المركزي". بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل ، يتم حساب التوقع كمجموع حاصل ضرب القيم $ x_1 ، \ dots ، \ x_n $ بالاحتمالات المقابلة $ p_1 ، \ dots ، \ p_n $ ، أي: $ M \ يسار (X \ يمين) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. في أدب اللغة الإنجليزية ، يتم استخدام ترميز مختلف $ E \ left (X \ right) $.
خصائص التوقع الرياضي M دولار \ يسار (X \ يمين) $:
- $ M \ left (X \ right) $ محاط بين أصغر وأكبر قيم للمتغير العشوائي $ X $.
- التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه ، أي M دولار \ يسار (C \ يمين) = C $.
- يمكن أخذ العامل الثابت خارج علامة التوقع الرياضي: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
- التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
- التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.
مثال 3 ... لنجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $ X $ من المثال $ 2 $.
$$ M \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) = 1 \ cdot ((1) \ over (6)) + 2 \ cdot ((1) \ over (6) ) +3 \ cdot ((1) \ over (6)) + 4 \ cdot ((1) \ over (6)) + 5 \ cdot ((1) \ over (6)) + 6 \ cdot ((1 ) \ أكثر من (6)) = 3.5. $$
نلاحظ أن $ M \ left (X \ right) $ محصور بين أصغر قيم ($ 1 $) وأكبر ($ 6 $) للمتغير العشوائي $ X $.
مثال 4 ... من المعروف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $ X $ يساوي $ M \ left (X \ right) = 2 $. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $ 3X + 5 $.
باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه ، نحصل على M دولار \ يسار (3X + 5 \ يمين) = M \ يسار (3X \ يمين) + M \ يسار (5 \ يمين) = 3M \ يسار (X \ يمين) + 5 = 3 \ cdot 2 + 5 = 11 دولار.
مثال 5 ... من المعروف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $ X $ يساوي $ M \ left (X \ right) = 4 $. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $ 2X-9 $.
باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه ، نحصل على $ M \ left (2X-9 \ right) = M \ left (2X \ right) -M \ left (9 \ right) = 2M \ left (X \ right) -9 = 2 \ cdot 4-9 = -1 دولار.
3. تشتت متغير عشوائي منفصل.
يمكن أن تتناثر القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية ذات التوقعات الرياضية المتساوية بطرق مختلفة حول القيم المتوسطة. على سبيل المثال ، في مجموعتين طلابيتين ، كان متوسط درجات الامتحان في نظرية الاحتمالات 4 ، ولكن في مجموعة واحدة تبين أن الجميع جيد ، وفي المجموعة الأخرى فقط C و A. لذلك ، هناك حاجة لمثل هذه الخاصية العددية للمتغير العشوائي ، والتي من شأنها أن توضح انتشار قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي. هذه الخاصية هي التباين.
تشتت متغير عشوائي منفصل$ X $ يساوي:
$$ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_i (\ left (x_i-M \ left (X \ right) \ right)) ^ 2). \ $$
في الأدب الإنجليزي ، يتم استخدام الترميز $ V \ left (X \ right) ، \ Var \ left (X \ right) $. في كثير من الأحيان يتم حساب التباين $ D \ left (X \ right) $ بالصيغة $ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix ^ 2_i) - (\ left (M \ يسار (X \ يمين) \ يمين)) ^ 2 $.
خصائص التشتت$ D \ left (X \ right) $:
- يكون التباين دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر ، أي $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
- تباين الثابت يساوي صفرًا ، أي دولار D \ يسار (C \ يمين) = 0 دولار.
- يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التباين بشرط أن يكون مربعًا ، أي $ D \ left (CX \ right) = C ^ 2D \ left (X \ right) $.
- التباين في مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تبايناتها ، أي $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
- التباين في اختلاف المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تبايناتها ، أي $ D \ left (X-Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
مثال 6 ... لنحسب تباين المتغير العشوائي $ X $ من المثال $ 2 $.
$$ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_i (\ left (x_i-M \ left (X \ right) \ right)) ^ 2) = ((1) \ over (6)) \ cdot (\ left (1-3.5 \ right)) ^ 2 + ((1) \ over (6)) \ cdot (\ left (2-3.5 \ right)) ^ 2+ \ dots + ( (1) \ over (6)) \ cdot (\ left (6-3.5 \ right)) ^ 2 = ((35) \ over (12)) \ حوالي 2.92. $$
مثال 7 ... من المعروف أن تباين المتغير العشوائي $ X $ يساوي $ D \ left (X \ right) = 2 $. أوجد تباين المتغير العشوائي $ 4X + 1 $.
باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه ، نجد $ D \ left (4X + 1 \ right) = D \ left (4X \ right) + D \ left (1 \ right) = 4 ^ 2D \ left (X \ right) + 0 = 16D \ يسار (X \ يمين) = 16 \ cdot 2 = 32 دولار.
المثال 8 ... من المعروف أن تباين المتغير العشوائي $ X $ يساوي $ D \ left (X \ right) = 3 $. أوجد تباين المتغير العشوائي $ 3-2X $.
باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه ، نجد $ D \ left (3-2X \ right) = D \ left (3 \ right) + D \ left (2X \ right) = 0 + 2 ^ 2D \ left (X \ right) = 4D \ يسار (X \ يمين) = 4 \ cdot 3 = 12 دولار.
4. دالة التوزيع لمتغير عشوائي متقطع.
إن طريقة تمثيل متغير عشوائي منفصل في شكل سلسلة توزيع ليست الطريقة الوحيدة ، والأهم من ذلك أنها ليست عالمية ، حيث لا يمكن تحديد متغير عشوائي مستمر باستخدام سلسلة توزيع. هناك طريقة أخرى لتمثيل متغير عشوائي - دالة التوزيع.
وظيفة التوزيعمن المتغير العشوائي $ X $ تسمى الوظيفة $ F \ left (x \ right) $ ، والتي تحدد احتمال أن المتغير العشوائي $ X $ سيأخذ قيمة أقل من قيمة ثابتة $ x $ ، أي $ F \ يسار (x \ يمين) = P \ يسار (X< x\right)$
خصائص دالة التوزيع:
- $ 0 \ le F \ left (x \ right) \ le 1 $.
- احتمال أن المتغير العشوائي $ X $ سيأخذ قيمًا من الفاصل $ \ left (\ alpha؛ \ \ beta \ right) $ يساوي الفرق بين قيم دالة التوزيع في نهايات هذا الفاصل الزمني: $ P \ left (\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $ F \ left (x \ right) $ غير متناقص.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \) \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ حق) = 1 \) دولار.
المثال 9 ... لنجد دالة التوزيع $ F \ left (x \ right) $ لقانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل $ X $ من المثال $ 2 $.
$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $
إذا كان $ x \ le 1 $ ، فمن الواضح أن $ F \ left (x \ right) = 0 $ (بما في ذلك $ x = 1 $ $ F \ left (1 \ right) = P \ left (X< 1\right)=0$).
إذا كان $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
إذا كان 2 دولار< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
إذا كان 3 دولارات< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
إذا كان 4 دولارات< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
إذا 5 دولارات< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
إذا كان $ x> 6 $ ، فإن $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) + P \ يسار (X = 4 \ يمين) + P \ يسار (X = 5 \ يمين) + P \ يسار (X = 6 \ يمين) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 دولار.
إذن $ F (x) = \ left \ (\ start (matrix)
0 ، \ لـ \ x \ le 1 ، \
1/6 من أجل \ 1< x\le 2,\\
1/3 ، \ لـ \ 2< x\le 3,\\
1/2 ، لـ \ 3< x\le 4,\\
2/3 ، \ لـ \ 4< x\le 5,\\
5/6، \ لـ \ 4< x\le 5,\\
1 ، \ لـ \ x> 6.
\ end (matrix) \ right. $
2. أساسيات نظرية الاحتمالات
القيمة المتوقعة
ضع في اعتبارك متغيرًا عشوائيًا بقيم رقمية. غالبًا ما يكون من المفيد ربط رقم بهذه الوظيفة - "قيمته المتوسطة" أو ، كما يقولون ، "متوسط القيمة" ، "مؤشر الاتجاه المركزي". لعدد من الأسباب ، بعضها سيكون واضحًا مما يلي ، عادةً ما يتم استخدام التوقع الرياضي كـ "القيمة المتوسطة".
التعريف 3.التوقع الرياضي لمتغير عشوائي NSدعا الرقم
هؤلاء. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو المجموع المرجح لقيم متغير عشوائي بأوزان مساوية لاحتمالات الأحداث الأولية المقابلة.
مثال 6.دعنا نحسب التوقع الرياضي للرقم الذي تم إسقاطه على الوجه العلوي للنرد. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف 3
البيان 2.دع المتغير العشوائي NSيأخذ القيم x 1 ، x 2 ، ... ، xم... ثم المساواة
(5)
هؤلاء. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو المجموع المرجح لقيم متغير عشوائي بأوزان مساوية لاحتمالات أن يأخذ المتغير العشوائي قيمًا معينة.
على عكس (4) ، حيث يتم إجراء الجمع مباشرة على الأحداث الأولية ، يمكن أن يتكون الحدث العشوائي من عدة أحداث أولية.
في بعض الأحيان يتم اعتبار العلاقة (5) بمثابة تعريف للتوقع الرياضي. ومع ذلك ، بمساعدة التعريف 3 ، كما هو موضح أدناه ، من الأسهل تحديد خصائص التوقع الرياضي الضروري لبناء نماذج احتمالية للظواهر الحقيقية بدلاً من مساعدة العلاقة (5).
لإثبات العلاقة (5) ، قمنا بتجميع المصطلحات (4) بنفس قيم المتغير العشوائي:
بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت خارج علامة المجموع ، إذن
من خلال تحديد احتمال وقوع حدث
بمساعدة العلاقات الأخيرين ، نحصل على المطلوب:
يتوافق مفهوم التوقع الرياضي في النظرية الإحصائية الاحتمالية مع مفهوم مركز الثقل في الميكانيكا. ضع في النقاط x 1 ، x 2 ، ... ، xمعلى محور الكتلة العددية ص(X= x 1 ), ص(X= x 2 ),…, ص(X= س م) على التوالى. ثم توضح المساواة (5) أن مركز الثقل لهذا النظام من النقاط المادية يتطابق مع التوقع الرياضي ، مما يدل على طبيعة التعريف 3.
البيان 3.اسمحوا ان NS- قيمة عشوائية ، م (X)- توقعها الرياضي ، لكن- بعض الأرقام. ثم
1) م (أ) = أ ؛ 2) م (XM (X)) = 0 ؛ 3 مليون [(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 .
للإثبات ، ضع في اعتبارك أولاً متغير عشوائي ثابت ، أي تقوم الوظيفة بتعيين مساحة الأحداث الأولية إلى نقطة واحدة لكن... بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت خارج علامة المجموع ، إذن
إذا تم تقسيم كل حد من حدود المجموع إلى فترتين ، فسيتم تقسيم المجموع بالكامل إلى مجموعين ، يتكون الأول منهما من المصطلحين الأول والثاني يتكون من الثاني. لذلك ، التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين X + صالمحدد في نفس مساحة الأحداث الأولية يساوي مجموع التوقعات الرياضية م (X)و م (يو)هذه المتغيرات العشوائية:
م (س + ص) = م (س) + م (ص).
وبالتالي م (XM (X)) = M (X) - M (M (X)).كما هو مبين أعلاه، م (م (س)) = م (X).بالتالي، M (XM (X)) = M (X) - M (X) = 0.
بسبب ال (س - أ) 2 = ((X – م(X)) + (م(X) - أ)} 2 = (X - م(X)) 2 + 2(X - م(X))(م(X) - أ) + (م(X) – أ) 2 ، من ثم م[(س - أ) 2] =م(X - م(X)) 2 + م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} + م[(م(X) – أ) 2 ]. دعونا نبسط المساواة الأخيرة. كما هو موضح في بداية إثبات العبارة 3 ، فإن التوقع الرياضي للثابت هو هذا الثابت نفسه ، وبالتالي م[(م(X) – أ) 2 ] = (م(X) – أ) 2 . بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت خارج علامة المجموع ، إذن م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} = 2(م(X) - أ) م (X - م(X)). الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة هو 0 لأنه ، كما هو موضح أعلاه ، M (XM (X)) = 0.بالتالي، م [(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 ، كما هو مطلوب.
يتبع مما قيل ذلك م [(X- أ) 2 ] يصل إلى الحد الأدنى في لكنيساوي م[(X- م(X)) 2 ], في أ = م (س) ،لأن المصطلح الثاني في المساواة 3) دائمًا غير سالب ويساوي 0 فقط للقيمة المشار إليها لكن.
البيان 4.دع المتغير العشوائي NSيأخذ القيم x 1 ، x 2 ، ... ، xم، و f هي بعض وظائف وسيطة رقمية. ثم
للإثبات ، نقوم بتجميع المصطلحات على الجانب الأيمن من المساواة (4) ، والتي تحدد التوقع الرياضي ، المصطلحات بنفس القيم:
باستخدام حقيقة أن العامل الثابت يمكن نقله خارج علامة المجموع ، ومن خلال تحديد احتمال وقوع حدث عشوائي (2) ، نحصل على
Q.E.D.
البيان 5.اسمحوا ان NSو لديك- المتغيرات العشوائية المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية ، لكنو ب- بعض الأرقام. ثم م(فأس+ بواسطة)= صباحا(X)+ بي ام(ص).
من خلال تحديد التوقع الرياضي وخصائص رمز الجمع ، نحصل على سلسلة من المساواة:
مطلوب ثبت.
يوضح ما ورد أعلاه كيف يعتمد التوقع الرياضي على الانتقال إلى أصل آخر وإلى وحدة قياس أخرى (انتقال ص=فأس+ب) ، وكذلك وظائف المتغيرات العشوائية. تُستخدم النتائج التي تم الحصول عليها باستمرار في التحليل الفني والاقتصادي ، وفي تقييم الأنشطة المالية والاقتصادية للمؤسسة ، وفي الانتقال من عملة إلى أخرى في الحسابات الاقتصادية الأجنبية ، وفي التوثيق التنظيمي والفني ، وما إلى ذلك. النتائج قيد الدراسة تجعلها من الممكن تطبيق نفس المعادلات الحسابية لمعلمات مختلفة الحجم والتحول.
| سابق |
