أمثلة لإيجاد قيمة دالة معقدة. مشتق دالة معقدة. أمثلة أكثر تعقيدًا
المشتقات المعقدة. المشتق اللوغاريتمي.
مشتق من الدالة الأسية
نواصل تحسين أسلوب التمايز لدينا. في هذا الدرس ، سنقوم بتوحيد المادة التي تمت تغطيتها ، والنظر في المشتقات الأكثر تعقيدًا ، وكذلك التعرف على التقنيات والحيل الجديدة لإيجاد المشتق ، على وجه الخصوص ، مع المشتق اللوغاريتمي.
يجب على القراء ذوي المستوى المنخفض من التدريب الرجوع إلى المقالة كيف أجد المشتق؟ أمثلة على الحلول، مما سيسمح لك برفع مهاراتك من الصفر تقريبًا. بعد ذلك ، تحتاج إلى دراسة الصفحة بعناية مشتق دالة معقدةوفهمها وحلها الكلالأمثلة التي أعطيتها. هذا الدرس منطقيًا هو الثالث على التوالي ، وبعد إتقانه ، ستفرق بثقة بين الوظائف المعقدة نوعًا ما. من غير المرغوب فيه التمسك بالموقف "أين آخر؟ وهذا يكفي! "، لأن جميع الأمثلة والحلول مأخوذة من اختبارات حقيقية وغالبًا ما توجد في الممارسة.
لنبدأ بالتكرار. في الفصل مشتق دالة معقدةلقد نظرنا في عدد من الأمثلة مع تعليقات مفصلة. أثناء دراسة التفاضل والتكامل والفروع الأخرى للتحليل الرياضي ، سيتعين عليك التفريق كثيرًا ، وليس من الملائم دائمًا (وليس ضروريًا دائمًا) كتابة أمثلة بتفصيل كبير. لذلك ، سوف نتدرب على إيجاد المشتقات اللفظي. أنسب "المرشحين" لذلك هي مشتقات أبسط الوظائف المعقدة ، على سبيل المثال:
وفقا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة 
:
عند دراسة مواضيع أخرى من matan في المستقبل ، غالبًا ما يكون مثل هذا السجل التفصيلي غير مطلوب ، فمن المفترض أن الطالب قادر على العثور على مشتقات مماثلة على الطيار الآلي. تخيل أنه في الساعة 3 صباحًا رن الهاتف ، وسأل صوت لطيف: "ما هو مشتق مماس اثنين Xs؟" يجب أن يتبع ذلك إجابة شبه مهذبة وفورية: 
.
سيخصص المثال الأول على الفور لحل مستقل.
مثال 1
ابحث عن المشتقات التالية شفهيًا ، بخطوة واحدة ، على سبيل المثال:. لإكمال المهمة ، ما عليك سوى استخدام جدول مشتقات الدوال الابتدائية(إذا لم يتم تذكرها بعد). إذا واجهت أي صعوبات ، فإنني أوصي بإعادة قراءة الدرس. مشتق دالة معقدة.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
الإجابات في نهاية الدرس
المشتقات المعقدة
بعد التحضير الأولي للمدفعية ، ستكون الأمثلة ذات المرفقات الوظيفية 3-4-5 أقل رعباً. ربما يبدو المثالان التاليان صعبًا بالنسبة للبعض ، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما) ، فسيبدو كل شيء تقريبًا في حساب التفاضل وكأنه مزحة طفل.
مثال 2
أوجد مشتق دالة 
كما لوحظ بالفعل ، عند إيجاد مشتق دالة معقدة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري حقافهم المرفقات. في الحالات التي توجد فيها شكوك ، أتذكر أسلوبًا مفيدًا: نأخذ القيمة التجريبية لـ "X" ، على سبيل المثال ، ونحاول (عقليًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".
1) أولاً ، نحتاج إلى حساب التعبير ، مما يعني أن المبلغ هو الاستثمار الأعمق.
2) ثم تحتاج إلى حساب اللوغاريتم:
4) ثم ارفع جيب التمام إلى مكعب:
5) في الخطوة الخامسة ، الفرق:
6) أخيرًا ، الوظيفة الخارجية هي الجذر التربيعي: 
صيغة تفاضل دالة معقدة 
يتم تطبيقها بترتيب عكسي ، من الوظيفة الخارجية إلى الأعمق. نحن نقرر:
يبدو بدون أخطاء….
(1) خذ مشتق الجذر التربيعي.
(2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة 
(3) مشتق الثلاثي هو صفر. في المصطلح الثاني ، نأخذ مشتق الدرجة (المكعب).
(4) نأخذ مشتق جيب التمام.
(5) خذ مشتق اللوغاريتم.
(6) أخيرًا ، نأخذ مشتق التداخل الأعمق.
قد يبدو الأمر صعبًا للغاية ، لكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ ، على سبيل المثال ، مجموعة Kuznetsov وستقدر كل سحر وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يرغبون في إعطاء شيء مماثل في الامتحان للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق من وظيفة معقدة ، أو لا يفهم.
المثال التالي هو حل افعل ذلك بنفسك.
مثال 3
أوجد مشتق دالة
تلميح: أولاً ، نطبق قواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتج
الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.
حان الوقت الآن للانتقال إلى شيء أكثر إحكاما ولطيفا.
ليس من غير المألوف أن يعطي أحد الأمثلة منتجًا لا يتألف من وظيفتين ، بل ثلاث وظائف. كيفية إيجاد مشتق حاصل ضرب ثلاثة عوامل؟
مثال 4
أوجد مشتق دالة 
أولاً ، دعنا نرى ما إذا كان من الممكن تحويل حاصل ضرب دالات ثلاث إلى حاصل ضرب وظيفتين؟ على سبيل المثال ، إذا كان لدينا كثير الحدود في المنتج ، فيمكننا فك الأقواس. لكن في هذا المثال ، تختلف جميع الوظائف: الدرجة والأس واللوغاريتم.
في مثل هذه الحالات ، من الضروري باتساقتطبيق قاعدة تمايز المنتج 
مرتين
الحيلة هي أنه بالنسبة لـ "y" نشير إلى ناتج وظيفتين: و "ve" - اللوغاريتم :. لماذا يمكن القيام بذلك؟ فعلا 
- هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل ؟! لا يوجد شيء معقد:
الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية 
إلى الأقواس:
لا يزال بإمكانك منحرفًا ووضع شيء ما خارج الأقواس ، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.
يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية: 
كلا الحلين متكافئان تمامًا.
مثال 5
أوجد مشتق دالة
هذا مثال على حل مستقل ، في العينة يتم حله بالطريقة الأولى.
لنلقِ نظرة على أمثلة متشابهة مع الكسور.
مثال 6
أوجد مشتق دالة 
هنا يمكنك الذهاب بعدة طرق:
او مثل هذا:
لكن سيتم كتابة الحل بشكل أكثر إحكاما إذا استخدمنا ، أولا وقبل كل شيء ، القاعدة لاشتقاق حاصل القسمة 
، مع أخذ البسط بأكمله:
من حيث المبدأ ، يتم حل المثال ، وإذا تركته كما هو ، فلن يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت ، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة ، ولكن هل من الممكن تبسيط الإجابة؟ لنختزل تعبير البسط إلى مقام مشترك و تخلص من الجزء المكون من ثلاثة طوابق:
عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس في العثور على المشتق ، ولكن في حالة التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى ، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "تذكر" المشتق.
مثال أبسط لحل افعل ذلك بنفسك:
مثال 7
أوجد مشتق دالة
نواصل إتقان طرق إيجاد المشتق ، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يُقترح اللوغاريتم "الرهيب" للتفاضل
المثال 8
أوجد مشتق دالة
يمكنك هنا قطع شوط طويل باستخدام قاعدة التفريق بين دالة معقدة:
لكن الخطوة الأولى ستغرقك على الفور في اليأس - عليك أن تأخذ مشتقًا مزعجًا من قوة كسرية ، ومن ثم أيضًا من كسر.
وبالتالي قبلكيفية أخذ مشتق اللوغاريتم "الخرافي" ، يتم تبسيطه مبدئيًا باستخدام خصائص المدرسة المعروفة:
! إذا كان لديك دفتر ملاحظات في متناول اليد ، فقم بنسخ هذه الصيغ هناك. إذا لم يكن لديك دفتر ملاحظات ، فأعد رسمها على قطعة من الورق ، حيث ستتمحور بقية أمثلة الدرس حول هذه الصيغ.
يمكن تصميم الحل نفسه على النحو التالي:
دعنا نحول الوظيفة:
أوجد المشتق: 
لقد أدى التكوين المسبق للوظيفة نفسها إلى تبسيط الحل إلى حد كبير. وبالتالي ، عندما يُقترح لوغاريتم مماثل للتفاضل ، فمن المستحسن دائمًا "تفتيته".
والآن بعض الأمثلة البسيطة لحل مستقل:
المثال 9
أوجد مشتق دالة 
المثال 10
أوجد مشتق دالة
جميع التحولات والإجابات في نهاية الدرس.
المشتق اللوغاريتمي
إذا كان مشتق اللوغاريتمات موسيقى حلوة ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه ، هل من الممكن في بعض الحالات تنظيم اللوغاريتم بشكل مصطنع؟ علبة! وحتى ضروري.
المثال 11
أوجد مشتق دالة 
لقد رأينا أمثلة مماثلة مؤخرًا. ماذا أفعل؟ يمكنك باستمرار تطبيق قاعدة التفاضل في حاصل القسمة ، ثم قاعدة التفرقة في العمل. عيب هذه الطريقة هو أنك تحصل على جزء ضخم من ثلاثة طوابق ، والذي لا ترغب في التعامل معه على الإطلاق.
لكن في النظرية والتطبيق ، هناك شيء رائع مثل المشتق اللوغاريتمي. يمكن تنظيم اللوغاريتمات بشكل مصطنع من خلال "تعليقها" على كلا الجانبين:
ملحوظة
: منذ يمكن أن تأخذ الوظيفة قيمًا سالبة ، إذن ، بشكل عام ، تحتاج إلى استخدام الوحدات النمطية: 
التي ستختفي نتيجة التمايز. ومع ذلك ، فإن التصميم الحالي مقبول أيضًا ، حيث يتم أخذ الإعدادات الافتراضية في الاعتبار مركبالقيم. ولكن إذا كان بكل شدة ، في كلتا الحالتين ، يجب التحفظ على ذلك.
أنت الآن بحاجة إلى "تدمير" لوغاريتم الجانب الأيمن إلى أقصى حد (الصيغ أمام عينيك؟). سأصف هذه العملية بتفصيل كبير:
في الواقع ، ننتقل إلى التفاضل.
نرفق كلا الجزأين تحت السكتة الدماغية:
إن مشتق الجانب الأيمن بسيط للغاية ، ولن أعلق عليه ، لأنه إذا كنت تقرأ هذا النص ، فيجب عليك التعامل معه بثقة.
ماذا عن الجانب الأيسر؟
على اليسار لدينا وظيفة معقدة... أتوقع السؤال: "لماذا ، يوجد أيضًا حرف واحد" ygrek "تحت اللوغاريتم؟"
الحقيقة هي أن هذا "حرف واحد igrek" - هي نفسها وظيفة(إذا لم يكن واضحًا جدًا ، فارجع إلى المقالة المشتقة من وظيفة ضمنية). لذلك ، اللوغاريتم هو وظيفة خارجية ، و "اللعبة" هي وظيفة داخلية. ونستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة 
:
على الجانب الأيسر ، كما لو كان السحر ، ظهر مشتق. علاوة على ذلك ، وفقًا لقاعدة التناسب ، نرمي "اللعبة" من مقام الجانب الأيسر إلى أعلى الجانب الأيمن:
والآن نتذكر أي نوع من وظيفة "اللعبة" ناقشناها في التفاضل؟ ننظر إلى الحالة: 
الجواب النهائي: 
المثال 12
أوجد مشتق دالة
هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. عينة من تصميم نموذج من هذا النوع في نهاية الدرس.
بمساعدة المشتق اللوغاريتمي ، كان من الممكن حل أي من الأمثلة رقم 4-7 ، والشيء الآخر هو أن الدوال هناك أبسط ، وربما استخدام المشتق اللوغاريتمي غير مبرر تمامًا.
مشتق من الدالة الأسية
لم نفكر في هذه الوظيفة بعد. الدالة الأسية هي وظيفة فيها وتعتمد الدرجة والقاعدة على "x"... مثال كلاسيكي سيتم إعطاؤه لك في أي كتاب مدرسي أو في أي محاضرة:
كيفية إيجاد مشتق دالة أسية؟
من الضروري استخدام التقنية التي تم النظر فيها للتو - المشتق اللوغاريتمي. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين:
كقاعدة عامة ، تُخرج الدرجة من أسفل اللوغاريتم على الجانب الأيمن:
نتيجة لذلك ، على الجانب الأيمن لدينا منتج من وظيفتين ، سيتم تمييزهما وفقًا للصيغة القياسية 
.
نجد المشتق ، ولهذا نضع كلا الجزأين تحت الضربات:
إجراءات أخرى بسيطة:
أخيرا: 
إذا لم يكن أي تحويل واضحًا تمامًا ، فيرجى إعادة قراءة التفسيرات في المثال رقم 11 بعناية.
في المهام العملية ، ستكون الوظيفة الأسية دائمًا أكثر تعقيدًا من مثال المحاضرة المدروس.
المثال 13
أوجد مشتق دالة
نستخدم المشتق اللوغاريتمي. 
على الجانب الأيمن لدينا ثابت وحاصل ضرب عاملين - "x" و "لوغاريتم لوغاريتم x" (لوغاريتم آخر مضمن تحت اللوغاريتم). عند التفريق بين الثابت ، كما نتذكر ، من الأفضل إزالة علامة المشتق على الفور حتى لا تعترض طريقك ؛ وبالطبع نطبق القاعدة المألوفة 
:
بعد التحضير الأولي للمدفعية ، ستكون الأمثلة ذات المرفقات الوظيفية 3-4-5 أقل رعباً. ربما يبدو المثالان التاليان صعبًا بالنسبة للبعض ، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما) ، فسيبدو كل شيء تقريبًا في حساب التفاضل وكأنه مزحة طفل.
مثال 2
أوجد مشتق دالة
كما لوحظ بالفعل ، عند إيجاد مشتق دالة معقدة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري حقافهم المرفقات. في الحالات التي توجد فيها شكوك ، أتذكر أسلوبًا مفيدًا: نأخذ القيمة التجريبية لـ "X" ، على سبيل المثال ، ونحاول (عقليًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".
1) أولاً ، نحتاج إلى حساب التعبير ، مما يعني أن المبلغ هو الاستثمار الأعمق.
2) ثم تحتاج إلى حساب اللوغاريتم:
4) ثم ارفع جيب التمام إلى مكعب:
5) في الخطوة الخامسة ، الفرق:
6) أخيرًا ، الوظيفة الخارجية هي الجذر التربيعي: 
صيغة تفاضل دالة معقدة 
يتم تطبيقها بترتيب عكسي ، من الوظيفة الخارجية إلى الأعمق. نحن نقرر:
يبدو بدون أخطاء:
1) خذ مشتق الجذر التربيعي.
2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة 
3) مشتق الثلاثي هو صفر. في المصطلح الثاني ، نأخذ مشتق الدرجة (المكعب).
4) نأخذ مشتق جيب التمام.
6) وأخيرًا ، نأخذ مشتق التداخل الأعمق.
قد يبدو الأمر صعبًا للغاية ، لكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ ، على سبيل المثال ، مجموعة Kuznetsov وستقدر كل سحر وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يرغبون في إعطاء شيء مماثل في الامتحان للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق من وظيفة معقدة ، أو لا يفهم.
المثال التالي هو حل افعل ذلك بنفسك.
مثال 3
أوجد مشتق دالة
تلميح: أولاً ، نطبق قواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتج
الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.
حان الوقت الآن للانتقال إلى شيء أكثر إحكاما ولطيفا.
ليس من غير المألوف أن يعطي أحد الأمثلة منتجًا لا يتألف من وظيفتين ، بل ثلاث وظائف. كيفية إيجاد مشتق حاصل ضرب ثلاثة عوامل؟
مثال 4
أوجد مشتق دالة 
أولاً ، دعنا نرى ما إذا كان من الممكن تحويل حاصل ضرب دالات ثلاث إلى حاصل ضرب وظيفتين؟ على سبيل المثال ، إذا كان لدينا كثير الحدود في المنتج ، فيمكننا فك الأقواس. لكن في هذا المثال ، تختلف جميع الوظائف: الدرجة والأس واللوغاريتم.
في مثل هذه الحالات ، من الضروري باتساقتطبيق قاعدة تمايز المنتج 
مرتين
الحيلة هي أنه بالنسبة لـ "y" نشير إلى ناتج وظيفتين: و "ve" - اللوغاريتم :. لماذا يمكن القيام بذلك؟ فعلا 
- هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل ؟! لا يوجد شيء معقد:
الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية إلى الأقواس:
لا يزال بإمكانك منحرفًا ووضع شيء ما خارج الأقواس ، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.
يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:
كلا الحلين متكافئان تمامًا.
مثال 5
أوجد مشتق دالة
هذا مثال على حل مستقل ، في العينة يتم حله بالطريقة الأولى.
لنلقِ نظرة على أمثلة متشابهة مع الكسور.
مثال 6
أوجد مشتق دالة 
هنا يمكنك الذهاب بعدة طرق:
او مثل هذا:
لكن سيتم كتابة الحل بشكل أكثر إحكاما إذا استخدمنا ، أولا وقبل كل شيء ، القاعدة لاشتقاق حاصل القسمة 
، مع أخذ البسط بأكمله:
من حيث المبدأ ، يتم حل المثال ، وإذا تركته كما هو ، فلن يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت ، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة ، ولكن هل من الممكن تبسيط الإجابة؟
لنجعل التعبير عن البسط في مقام مشترك ونتخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:
عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس في العثور على المشتق ، ولكن في حالة التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى ، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "تذكر" المشتق.
مثال أبسط لحل افعل ذلك بنفسك:
مثال 7
أوجد مشتق دالة
نواصل إتقان طرق إيجاد المشتق ، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يُقترح اللوغاريتم "الرهيب" للتفاضل
حيث قمنا بتحليل أبسط المشتقات ، وكذلك تعرفنا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات لإيجاد المشتقات. وبالتالي ، إذا لم تكن مع مشتقات الدوال كثيرًا ، أو إذا كانت بعض نقاط هذه المقالة غير واضحة تمامًا ، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك ، استمع إلى مزاج جاد - المواد ليست سهلة ، لكنني سأحاول تقديمها ببساطة وسهولة.
من الناحية العملية ، عليك التعامل مع مشتق دالة معقدة في كثير من الأحيان ، حتى أنني أقول ، دائمًا تقريبًا ، عندما يتم تكليفك بمهام لإيجاد المشتقات.
ننظر في الجدول إلى القاعدة (رقم 5) لتمييز دالة معقدة:
فهم. بادئ ذي بدء ، دعنا ننتبه إلى التسجيل. هنا لدينا وظيفتان - وعلاوة على ذلك ، فإن الوظيفة ، بالمعنى المجازي ، مضمنة في وظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل إحدى الوظائف مع أخرى) بالدالة المعقدة.
سوف أستدعي الوظيفة وظيفة خارجيةوالوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة).
! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للتخصيصات. أنا أستخدم التعبيرات غير الرسمية "وظيفة خارجية" ، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.
لتوضيح الموقف ، ضع في اعتبارك:
مثال 1
أوجد مشتق دالة
تحت شرط الجيب ليس لدينا فقط الحرف "X" ، ولكن تعبير عدد صحيح ، لذلك لن يكون من الممكن إيجاد المشتق مباشرة من الجدول. نلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربعة الأولى هنا ، ويبدو أن هناك اختلافًا ، ولكن الحقيقة هي أنه لا يمكنك "تفكيك" شرط:
في هذا المثال ، من توضيحاتي ، من الواضح بشكل حدسي أن الوظيفة هي وظيفة معقدة ، وأن كثير الحدود هو وظيفة داخلية (تداخل) ، ووظيفة خارجية.
الخطوة الأولى، والتي يجب إجراؤها عند إيجاد مشتق دالة معقدة ، هو هذا معرفة أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.
في حالة الأمثلة البسيطة ، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود متداخلة تحت الجيب. ولكن ماذا لو كان كل شيء غير واضح؟ كيف تحدد بالضبط الوظيفة الخارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك ، أقترح استخدام الأسلوب التالي ، والذي يمكن القيام به عقليًا أو في مسودة.
تخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير في الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد ، يمكن أن يكون هناك أي رقم).
ماذا سنحسب أولا؟ في البدايةسوف تحتاج إلى القيام بالإجراء التالي: وبالتالي فإن كثير الحدود سيكون وظيفة داخلية: 
ثانويسوف تحتاج إلى العثور عليها ، لذا فإن الجيب سيكون وظيفة خارجية: 
بعد نحن اكتشفمع الوظائف الداخلية والخارجية ، حان الوقت لتطبيق قاعدة التمايز لوظيفة معقدة 
.
نبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيف أجد المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:
في البدايهنجد مشتق الوظيفة الخارجية (الجيب) ، وننظر إلى جدول مشتقات الوظائف الأولية ونلاحظ ذلك. جميع الصيغ الجدولية قابلة للتطبيق حتى إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:
لاحظ أن الوظيفة الداخلية لم يتغير ، نحن لا نتطرق إليه.
حسنًا ، من الواضح تمامًا أن
نتيجة تطبيق الصيغة 
في التصميم النهائي يبدو كالتالي:
يوضع العامل الثابت عادة في بداية التعبير:
إذا كان هناك أي لبس ، فاكتب الحل واقرأ التفسيرات مرة أخرى.
مثال 2
أوجد مشتق دالة
مثال 3
أوجد مشتق دالة
كالعادة نكتب: 
لنكتشف أين لدينا وظيفة خارجية ، وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك ، حاول (عقليًا أو في مسودة) لحساب قيمة التعبير في. ما الذي يجب عمله اولا؟ بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى حساب ما تساوي القاعدة: مما يعني أن كثير الحدود هو الوظيفة الداخلية: 
وعندها فقط يتم تنفيذ الأس ، وبالتالي ، فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية: 
حسب الصيغة 
، عليك أولاً إيجاد مشتق الدالة الخارجية ، في هذه الحالة ، من الدرجة. نحن نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول:. نكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "x" ، ولكن أيضًا للتعبير المعقد... وبالتالي ، نتيجة تطبيق قاعدة تفاضل دالة معقدة 
التالي:
أؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتق الوظيفة الخارجية ، فإن الوظيفة الداخلية لا تتغير بالنسبة لنا: 
الآن يبقى إيجاد مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية و "مشط" النتيجة قليلاً:
مثال 4
أوجد مشتق دالة
هذا مثال على حل "افعل ذلك بنفسك" (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).
لتوطيد فهم مشتق دالة معقدة ، سأقدم مثالًا بدون تعليقات ، أحاول اكتشافه بنفسك ، وتكهن أين هو الخارجي وأين الوظيفة الداخلية ، لماذا تم حل المهام بهذه الطريقة؟
مثال 5
أ) أوجد مشتق الوظيفة
ب) أوجد مشتق الوظيفة
مثال 6
أوجد مشتق دالة 
هنا لدينا جذر ، ولتمييز الجذر ، يجب تمثيله كدرجة. وبالتالي ، نأتي بالدالة أولاً إلى شكل مناسب للتمايز:
عند تحليل الوظيفة ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن مجموع المصطلحات الثلاثة هو وظيفة داخلية ، وأن الأس دالة خارجية. نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة 
:
يتم تمثيل الدرجة مرة أخرى على أنها جذرية (جذر) ، وبالنسبة لمشتق الوظيفة الداخلية ، نطبق قاعدة بسيطة لتمييز المجموع:
مستعد. يمكنك أيضًا إحضار التعبير إلى مقام موحد بين قوسين وكتابة كل شيء في كسر واحد. جميل ، بالطبع ، ولكن عندما يتم الحصول على مشتقات طويلة مرهقة ، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل الخلط ، وارتكاب خطأ غير ضروري ، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق).
مثال 7
أوجد مشتق دالة
هذا مثال على حل "افعل ذلك بنفسك" (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).
من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه في بعض الأحيان ، بدلاً من قاعدة تمييز دالة معقدة ، يمكن للمرء استخدام القاعدة للتمييز بين حاصل القسمة 
، لكن مثل هذا الحل سيبدو غير عادي باعتباره تحريفًا. إليك مثال نموذجي:
المثال 8
أوجد مشتق دالة
هنا يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق حاصل القسمة 
، ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة اشتقاق دالة معقدة:
نحضر دالة الاشتقاق - نحرك السالب خلف علامة المشتق ، ونرفع جيب التمام إلى البسط:
جيب التمام هو دالة داخلية ، الأُس دالة خارجية.
نحن نستخدم حكمنا 
:
ابحث عن مشتق الوظيفة الداخلية ، وأعد ضبط جيب التمام لأسفل:
مستعد. في هذا المثال ، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة ، حاول حلها بالقاعدة 
، يجب أن تتطابق الإجابات.
المثال 9
أوجد مشتق دالة
هذا مثال على حل "افعل ذلك بنفسك" (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).
حتى الآن ، نظرنا في الحالات التي كان لدينا فيها مرفق واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية ، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات ، حيث ، مثل الدمى المتداخلة ، واحدة في أخرى ، 3 ، أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.
المثال 10
أوجد مشتق دالة
دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. محاولة تقييم التعبير باستخدام قيمة الاختبار. كيف نعتمد على الآلة الحاسبة؟
تحتاج أولاً إلى البحث ، مما يعني أن القوس هو أعمق تداخل:
ثم يجب أن يكون قوس جيب الزاوية هذا تربيعًا:
وأخيرًا ، ارفع الرقم 7 إلى القوة: 
أي في هذا المثال لدينا ثلاث وظائف مختلفة ومرفقان ، في حين أن الوظيفة الأعمق هي القوس ، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.
نبدأ في الحل
حسب القاعدة 
أولا عليك أن تأخذ مشتق الدالة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتق الدالة الأسية: الاختلاف الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير مركب ، والذي لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن ، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة 
التالي.
من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتق وطرق حسابها. المشتق من أهم المفاهيم في التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه المادي والهندسي ، وكيف نحسب مشتقة دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟
المعنى الهندسي والمادي للمشتق
يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) تعطى في بعض الفترات (أ ، ب) ... النقاط х و х0 تنتمي إلى هذا الفاصل الزمني. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - الفرق بين قيمها x-x0 ... هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق في قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:
مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.
خلاف ذلك ، يمكن كتابتها على النحو التالي:
ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ وإليك ما يلي:
مشتق الوظيفة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للوظيفة عند هذه النقطة.
المعنى المادي للمشتق: مشتق المسار فيما يتعلق بالوقت يساوي سرعة الحركة المستقيمة.
في الواقع ، منذ أوقات الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر ... متوسط السرعة خلال فترة زمنية:
لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:
القاعدة الأولى: إخراج ثابت
يمكن نقل الثابت خارج علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، خذ كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .
مثال. دعنا نحسب المشتق:
القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف
مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق اختلاف الوظائف.
لن نعطي دليلًا على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.
أوجد مشتق دالة:
القاعدة الثالثة: مشتق من حاصل ضرب التوابع
يتم حساب مشتق ناتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:
مثال: أوجد مشتق دالة:
المحلول: 
من المهم أن نقول هنا عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي ناتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.
في المثال أعلاه ، نلتقي بالتعبير:
في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نحسب أولاً مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالوسيطة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة الفورية فيما يتعلق بالمتغير المستقل.
القاعدة الرابعة: مشتق خارج القسمة لوظيفتين
صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:
حاولنا إخبارك عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.
لأي سؤال حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب اختبار والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تكن قد قمت بحساب المشتقات من قبل.
يتم إعطاء أمثلة لحساب المشتقات باستخدام صيغة مشتق دالة معقدة.
المحتوىأنظر أيضا: دليل على صيغة مشتق دالة معقدة
الصيغ الأساسية
نقدم هنا أمثلة لحساب مشتقات الوظائف التالية:
;
;
;
;
.
إذا كان من الممكن تمثيل الوظيفة كدالة معقدة بالشكل التالي:
,
ثم يتم تحديد مشتقها من خلال الصيغة:
.
في الأمثلة أدناه ، سنكتب هذه الصيغة بالشكل التالي:
.
أين .
هنا ، تشير الرموز السفلية أو الموجودة أسفل علامة المشتق إلى المتغيرات التي يتم إجراء التفاضل عليها.
عادة ، في جداول المشتقات ، يتم إعطاء مشتقات دوال المتغير x. ومع ذلك ، فإن x هي معلمة رسمية. يمكن استبدال المتغير x بأي متغير آخر. لذلك ، عند اشتقاق دالة من متغير ، فإننا ببساطة نغير ، في جدول المشتقات ، المتغير x إلى المتغير u.
أمثلة بسيطة
مثال 1
أوجد مشتق دالة معقدة
.
دعنا نكتب الوظيفة المعينة في شكل مكافئ:
.
في جدول المشتقات نجد:
;
.
من خلال صيغة مشتق دالة معقدة ، لدينا:
.
هنا .
مثال 2
أوجد المشتق
.
نخرج الثابت 5 خارج علامة المشتق ومن جدول المشتقات نجد:
.
.
هنا .
مثال 3
أوجد المشتق
.
نخرج ثابت -1
خلف علامة المشتق ومن جدول المشتقات نجد:
;
من جدول المشتقات نجد:
.
نطبق صيغة مشتق دالة معقدة:
.
هنا .
أمثلة أكثر تعقيدًا
في الأمثلة الأكثر تعقيدًا ، نطبق قاعدة تفاضل الدالة المركبة عدة مرات. وبذلك نحسب المشتق من النهاية. أي أننا قسمنا الدالة إلى أجزائها المكونة ونوجد مشتقات أبسط الأجزاء باستخدامها جدول المشتقات... نحن نستخدم أيضا قواعد تمايز المبلغوالمنتجات والكسور. ثم نجري استبدالات ونطبق صيغة مشتقة دالة معقدة.
مثال 4
أوجد المشتق
.
لنحدد أبسط جزء من الصيغة ونوجد مشتقها. ...
.
هنا استخدمنا الترميز
.
أوجد مشتق الجزء التالي من الوظيفة الأصلية بتطبيق النتائج التي تم الحصول عليها. نطبق قاعدة التفريق بين المبلغ:
.
مرة أخرى ، نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة.
.
هنا .
مثال 5
العثور على مشتق من وظيفة
.
لنحدد أبسط جزء من الصيغة ونجد مشتقه من جدول المشتقات. ...
نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة.
.
هنا
.
نفرق الجزء التالي باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها.
.
هنا
.
نحن نفرق الجزء التالي.
.
هنا
.
الآن نجد مشتقة الدالة المطلوبة.
.
هنا
.
