الرئيسي > ستائر > أوجد كل الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. الخطوط المقاربة العمودية لمخطط الوظيفة


أوجد كل الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. الخطوط المقاربة العمودية لمخطط الوظيفة




وظيفة مؤامرة الخطوط المقاربة

ظل شبح الخط المقارب يتجول في الموقع لفترة طويلة ليتجسد أخيرًا في مقال منفصل ويسعد القراء الذين يشعرون بالحيرة الاستكشاف الكامل للوظيفة... يعد العثور على الخطوط المقاربة للرسم البياني أحد الأجزاء القليلة من المهمة المحددة ، والتي يتم تناولها في الدورة المدرسية فقط بترتيب عام ، حيث تدور الأحداث حول الحساب حدود الوظائف، لكنهم ما زالوا ينتمون إلى رياضيات أعلى. الزوار الذين ليس لديهم دراية جيدة بالتحليل الرياضي ، أعتقد أن التلميح واضح ؛-) ... توقف ، إلى أين أنت ذاهب؟ حدود- من السهل!

تمت مصادفة أمثلة للخطوط المقاربة على الفور في الدرس الأول حول قطع من الوظائف الأولية، والآن يخضع الموضوع لدراسة تفصيلية.

إذن ما هو الخط المقارب؟

يتصور نقطة متغيرة، والذي "يقود" وفقًا لجدول الوظيفة. الخط المقارب هو على التواليإلى whcih إغلاق غير محدوديقترب الرسم البياني للدالة عند نقل نقطتها المتغيرة إلى ما لا نهاية.

ملحوظة : التعريف ذو مغزى ، إذا كنت بحاجة إلى صياغة في تدوين التحليل الرياضي ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي.

على المستوى ، يتم تصنيف الخطوط المقاربة وفقًا لموقعها الطبيعي:

1) الخطوط المقاربة الرأسية، والتي يتم تقديمها بواسطة معادلة النموذج ، حيث "alpha" هو رقم حقيقي. يحدد الممثل الشعبي المحور ص نفسه ،
مع نوبة من الغثيان الخفيف ، نتذكر المبالغة.

2) الخطوط المقاربة المائلةمسجلة تقليديا معادلة الخط المستقيممع منحدر. في بعض الأحيان يتم تحديد حالة خاصة كمجموعة منفصلة - الخطوط المقاربة الأفقية... على سبيل المثال ، نفس القطع الزائد مع خط مقارب.

انطلقنا بسرعة ، دعنا نطرح الموضوع بدفعة قصيرة من الأسلحة الآلية:

كم عدد الخطوط المقاربة التي يمكن أن يحتويها الرسم البياني للوظيفة؟

لا شيء ، واحد ، اثنان ، ثلاثة ، ... أو عدد لا نهائي. لن نذهب بعيدا عن الأمثلة ، تذكر وظائف الابتدائية... القطع المكافئ ، المكعب المكعب ، الجيوب الأنفية ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق. يحتوي الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية الأسية على خط مقارب واحد. قوس ظل التمام وظل التمام القوسي لهما اثنان ، والظل ظل التمام والقوس لهما عدد لا نهائي من الظل. ليس من غير المألوف أن يكتمل الرسم البياني بخطوط مقاربة أفقية ورأسية. المبالغة ، سوف أحبك دائما.

ماذا يعني ؟

الخطوط المقاربة العمودية لمخطط الوظيفة

عادة ما يتم العثور على الخط المقارب العمودي للرسم البياني عند نقطة الاستراحة اللانهائيةالمهام. الأمر بسيط: إذا كانت الدالة تعاني من انقطاع لا نهائي عند نقطة ما ، فإن الخط المستقيم الذي تعطيه المعادلة هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني.

ملحوظة : لاحظ أنه يتم استخدام الترميز للإشارة إلى مفهومين مختلفين تمامًا. النقطة ضمنية أو معادلة الخط المستقيم - تعتمد على السياق.

وبالتالي ، من أجل إثبات وجود خط مقارب عمودي في نقطة ما ، يكفي إظهار ذلك مرة على الأقلمن حدود من جانب واحد بلا نهاية. غالبًا ما تكون هذه هي النقطة التي يكون فيها مقام الدالة صفرًا. على هذا النحو ، وجدنا بالفعل الخطوط المقاربة العمودية في الأمثلة الأخيرة من الدرس. على استمرارية الوظيفة... ولكن في بعض الحالات ، لا يوجد سوى حد واحد من جانب واحد ، وإذا كان غير محدود ، فعندئذ مرة أخرى - حب وفضل الخط المقارب العمودي. أبسط توضيح: والمحور الإحداثي (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية).

وتتبع الحقيقة الواضحة أيضًا مما سبق: إذا كانت الوظيفة مستمرة في، فلا توجد خطوط مقاربة عمودية... لسبب ما ، خطرت على البال قطع مكافئ. في الواقع ، أين يمكنك "لصق" خط مستقيم هنا؟ ... نعم ... أفهم ... كان أتباع العم فرويد في حالة هستيرية =)

العبارة العكسية غير صحيحة بشكل عام: على سبيل المثال ، لم يتم تحديد الوظيفة على خط الأرقام بالكامل ، لكنها محرومة تمامًا من الخطوط المقاربة.

الخطوط المقاربة المائلة للرسم البياني للدالة

يمكن رسم الخطوط المقاربة المائلة (كحالة خاصة - أفقية) إذا كانت حجة الوظيفة تميل إلى "زائد اللانهاية" أو "ناقص اللانهاية". وبالتالي لا يمكن أن يحتوي الرسم البياني لوظيفة ما على أكثر من خطين مقاربين مائلين... على سبيل المثال ، يحتوي الرسم البياني للدالة الأسية على خط مقارب أفقي واحد عند ، ويحتوي الرسم البياني للظل في خطين مقاربين وأخرى مختلفة.

عندما يقترب الرسم البياني هنا وهناك من الخط المقارب المائل الوحيد ، فمن المعتاد دمج "اللانهاية" تحت رمز واحد. على سبيل المثال ، ... لقد خمنت بشكل صحيح:.

القاعدة العامة:

إذا كان هناك اثنان أخيرحد ، إذن الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني للوظيفة عند. لو مرة على الأقلمن الحدود المدرجة لانهائية ، ثم الخط المقارب المائل غائب.

ملحوظة : تظل الصيغ صالحة إذا كانت "x" تميل فقط إلى "plus infinity" أو فقط إلى "minus infinity".

دعونا نظهر أن القطع المكافئ ليس له خطوط مقاربة مائلة:

الحد لانهائي ، مما يعني عدم وجود خط مقارب مائل. لاحظ أنه في إيجاد الحد لم تعد ضرورية ، حيث تم تلقي الإجابة بالفعل.

ملحوظة : إذا واجهت (أو ستواجه) صعوبات في فهم علامات "زائد ناقص" ، "ناقص زائد" ، يرجى الاطلاع على المساعدة في بداية الدرس
على وظائف متناهية الصغر، حيث أخبرتك كيف تفسر هذه العلامات بشكل صحيح.

من الواضح أن أي دالة تربيعية أو دالة تكعيبية أو متعددة الحدود من الدرجة الرابعة أو أعلى لا تحتوي أيضًا على خطوط مقاربة مائلة.

لنتأكد الآن من عدم وجود خط مقارب مائل للرسم البياني. للكشف عن عدم اليقين ، نستخدم حكم L'Hôpital:
، الذي كان مطلوبًا ليتم التحقق منه.

عندما تكبر الدالة إلى أجل غير مسمى ، لكن لا يوجد خط مستقيم يقترب منه الرسم البياني قريب بلا حدود.

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي من الدرس:

كيف تجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة؟

هذه هي الطريقة التي يتم بها صياغة مهمة نموذجية ، وهي تتضمن إيجاد جميع الخطوط المقاربة للرسم البياني (عمودي ، مائل / أفقي). على الرغم من أنه ، لكي نكون أكثر دقة في صياغة السؤال ، فإننا نتحدث عن دراسة لوجود الخطوط المقاربة (بعد كل شيء ، قد لا يكون هناك مثل هذا على الإطلاق). لنبدأ بشيء بسيط:

مثال 1

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلولمن المناسب تقسيمها إلى نقطتين:

1) أولاً ، نتحقق مما إذا كانت هناك خطوط مقاربة عمودية. يتلاشى المقام عند ، ويتضح على الفور أن الوظيفة تعاني عند نقطة معينة استراحة لا نهاية لها، والخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للدالة. ولكن قبل وضع مثل هذا الاستنتاج ، من الضروري إيجاد حدود من جانب واحد:

أذكر تقنية الحسابات ، التي تناولتها بالمثل في المقالة استمرارية الوظيفة. نقاط كسر... نعوض في التعبير تحت علامة النهاية بدلاً من "x". لا يوجد شيء مثير للاهتمام في البسط:
.

لكن في المقام اتضح عدد سالب متناهي الصغر:
، كما أنه يحدد مصير الحد.

حد الجانب الأيسر لانهائي ، ومن حيث المبدأ ، من الممكن بالفعل إصدار حكم بشأن وجود خط مقارب عمودي. لكن هناك حاجة إلى حدود من جانب واحد ليس فقط لهذا - فهي تساعد على الفهم ، كيفيقع الرسم البياني للوظيفة ويرسمها بشكل صحيح... لذلك ، يجب علينا أيضًا حساب الحد الأيمن:

استنتاج: الحدود أحادية الجانب لانهائية ، مما يعني أن الخط هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للوظيفة عند.

الحد الأول محدود، مما يعني أنه من الضروري "متابعة المحادثة" والعثور على الحد الثاني:

الحد الثاني أيضا محدود.

إذن خطنا المقارب هو:

استنتاج: الخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة عند.

للعثور على الخط المقارب الأفقي
يمكنك استخدام صيغة مبسطة:

إذا كان هناك محدودالحد ، فالخط المستقيم هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة عند.

من السهل أن نرى أن بسط الدالة ومقامها نفس ترتيب النمو، مما يعني أن الحد المطلوب سيكون محدودًا:

إجابه:

حسب الشرط ، لا تحتاج إلى إكمال الرسم ، ولكن إذا كان على قدم وساق دراسة وظيفية، ثم في المسودة نرسم على الفور:

استنادًا إلى الحدود الثلاثة التي تم العثور عليها ، حاول أن تكتشف بنفسك كيف يمكن تحديد موقع الرسم البياني للوظيفة. هل هي حقا صعبة؟ ابحث عن 5-6-7-8 نقاط وقم بتمييزها على الرسم. ومع ذلك ، فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة مبني باستخدام تحويلات الرسم البياني لوظيفة أولية، والقراء الذين فحصوا بعناية المثال 21 من هذه المقالة سوف يخمنون بسهولة ماهية هذا المنحنى.

مثال 2

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. اسمحوا لي أن أذكرك أنه يمكن تقسيم العملية بسهولة إلى نقطتين - الخطوط المقاربة العمودية والخطوط المقاربة المائلة. في حل العينة ، تم إيجاد الخط المقارب الأفقي باستخدام مخطط مبسط.

من الناحية العملية ، غالبًا ما تتم مصادفة الدوال الكسرية المنطقية ، وبعد التدريب على القطوع الزائدة ، سنقوم بتعقيد المهمة:

مثال 3

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول: واحد ، اثنان ، وتم:

1) تم العثور على الخطوط المقاربة العمودية عند نقاط الانقطاع اللانهائي، لذلك عليك التحقق مما إذا كان المقام قد اختفى. سنحل معادلة من الدرجة الثانية:

المميز موجب ، لذا فإن للمعادلة جذرين حقيقيين ، والعمل يضاف بشكل ملحوظ =)

من أجل إيجاد المزيد من الحدود أحادية الجانب ، من المناسب تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:
(بالنسبة للتدوين المضغوط ، تم وضع "ناقص" في القوس الأول). لكي نكون في الجانب الآمن ، سنقوم بإجراء فحص ، إما عقليًا أو على مسودة من خلال فتح الأقواس.

نعيد كتابة الدالة كـ

لنجد حدودًا من جانب واحد عند نقطة ما:

وعند هذه النقطة:

وبالتالي ، فإن الخطوط المستقيمة هي الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة قيد النظر.

2) النظر في الوظيفة ، فمن الواضح تمامًا أن النهاية ستكون محدودة ولدينا خط مقارب أفقي. دعنا نظهر وجودها باختصار:

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (محور الإحداثي) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

إجابه:

توفر الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها الكثير من المعلومات حول الرسم البياني للدالة. حاول تصور الرسم مع مراعاة الحقائق التالية:

ارسم نسختك من الرسم البياني في مسودة.

بالطبع ، لا تحدد الحدود التي تم العثور عليها نوع الرسم البياني بشكل لا لبس فيه ، وقد ترتكب خطأ ، ولكن التمرين نفسه سيوفر مساعدة لا تقدر بثمن أثناء دراسة كاملة الوظائف... الصورة الصحيحة في نهاية الدرس.

مثال 4

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

مثال 5

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذه مهام لحل مستقل. يحتوي كلا الرسمين البيانيين مرة أخرى على خطوط مقاربة أفقية ، والتي يتم اكتشافها على الفور بواسطة الميزات التالية: في المثال 4 ترتيب النموالمقام - صفة مشتركة - حالة أكثرمن ترتيب نمو البسط ، وفي المثال 5 ، البسط والمقام نفس ترتيب النمو... في حل العينة ، يتم التحقق من الوظيفة الأولى لوجود خطوط مقاربة مائلة بطريقة كاملة ، والثانية - عبر الحد.

الخطوط المقاربة الأفقية ، في انطباعي الشخصي ، أكثر شيوعًا بشكل ملحوظ من تلك "المائلة حقًا". الحالة العامة التي طال انتظارها:

مثال 6

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول: كلاسيكيات النوع:

1) بما أن المقام موجب ، فإن الدالة مستمرعلى خط الأعداد الصحيح ، ولا توجد خطوط مقاربة عمودية. …هل هذا جيد؟ كلمة خاطئة - عظيم! النقطة رقم 1 مغلقة.

2) تحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة:

الحد الأول محدود، لذلك نذهب أبعد من ذلك. عند حساب الحد الثاني للحذف عدم اليقين "اللانهاية ناقص اللانهاية"نحضر التعبير إلى قاسم مشترك:

الحد الثاني أيضا محدودلذلك ، فإن الرسم البياني للوظيفة قيد النظر له خط مقارب مائل:

استنتاج:

وهكذا عند الرسم البياني للدالة قريب بلا حدوديقترب من الخط المستقيم:

لاحظ أنه يتقاطع مع خط التقارب المائل عند الأصل ، وأن نقاط التقاطع هذه مقبولة تمامًا - من المهم أن "كل شيء طبيعي" عند اللانهاية (في الواقع ، تتم مناقشة الخطوط المقاربة هناك).

مثال 7

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول: لا يوجد شيء خاص للتعليق عليه ، لذلك سأضع عينة تقريبية من محلول نظيف:

1) الخطوط المقاربة العمودية. افحص النقطة.

الخط المستقيم هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني عند.

2) الخطوط المقاربة المائلة:

الخط المستقيم خط مقارب مائل للرسم البياني عند.

إجابه:

تسمح لنا الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها من جانب واحد بثقة عالية بافتراض شكل الرسم البياني لهذه الوظيفة. الرسم الصحيح في نهاية الدرس.

المثال 8

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال لحل مستقل ، لتسهيل حساب بعض الحدود ، يمكنك قسمة البسط على حد المقام على حد. ومرة أخرى ، عند تحليل النتائج التي تم الحصول عليها ، حاول رسم رسم بياني لهذه الوظيفة.

من الواضح أن مالكي الخطوط المقاربة المائلة "الحقيقية" هم الرسوم البيانية لتلك الدوال المنطقية الكسرية التي تكون أعلى درجة من البسط فيها مرة اخرىأعلى درجة للمقام. إذا كان أكبر ، فلن يكون الخط المقارب المائل موجودًا (على سبيل المثال ،).

لكن المعجزات الأخرى تحدث في الحياة:

المثال 9


المثال 11

افحص الرسم البياني للدالة لمعرفة وجود الخطوط المقاربة

المحلول: من الواضح أن لذلك ، فإننا ننظر فقط إلى نصف المستوى الأيمن ، حيث يكون التمثيل البياني للدالة.

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (المحور الإحداثي) هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة عند.

2) يمكن إجراء دراسة الخط المقارب المائل وفقًا للمخطط الكامل ، ولكن في المقالة قواعد L'Hôpitalاكتشفنا أن دالة خطية ذات ترتيب نمو أعلى من دالة لوغاريتمية ، لذلك: (انظر المثال 1 من نفس الدرس).

الخلاصة: المحور السيني هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة في.

إجابه:
، لو ؛
، لو .

الرسم من أجل الوضوح:

من المثير للاهتمام أن الوظيفة التي تبدو متشابهة ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق (أولئك الذين يرغبون يمكنهم التحقق من ذلك).

مثالان أخيران للدراسة الذاتية:

المثال 12

افحص الرسم البياني للدالة لمعرفة وجود الخطوط المقاربة

- (من اليونانية. Neg. متكرر ، وتتزامن الأعراض معًا). خط مستقيم يقترب باستمرار من منحنى ويقابله فقط عند اللانهاية. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. Chudinov AN ، 1910. ASYMPTOT من ... ... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

ASYMPTOTE- (من الخطوط المقاربة اليونانية لا تتطابق) ، خط مستقيم يقترب منه الفرع اللامتناهي من المنحنى إلى أجل غير مسمى ، على سبيل المثال ، الخط المقارب للقطع الزائد ... الموسوعة الحديثة

ASYMPTOTE- (من الخطوط المقاربة اليونانية لا تتطابق) لمنحنى بفرع لانهائي ، وهو خط مستقيم يقترب منه هذا الفرع بلا حدود ، على سبيل المثال ، الخط المقارب للقطع الزائد ... قاموس موسوعي كبير

خط مقارب- خط مستقيم يقترب منه المنحنى تدريجياً. خط مقارب خط مستقيم يميل إليه منحنى وظيفة ما ، والتي لها فرع لا نهائي ، (لا تصل إليه أبدًا) عندما تزيد حجتها بلا حدود أو ... دليل المترجم الفني

خط مقارب- (من اليونانية asymptotos non-coincident) ، وهو خط مستقيم يقترب منه الفرع اللامتناهي من المنحنى إلى أجل غير مسمى ، على سبيل المثال ، الخط المقارب للقطع الزائد. ... قاموس موسوعي مصور

ASYMPTOTE- أنثى ، geom. خط مستقيم ، يقترب دائمًا من منحنى (غلو) ، لكن لا يتقارب معه أبدًا. مثال لشرح ذلك: إذا تم تقسيم أي رقم إلى نصفين ، فسوف ينخفض ​​إلى ما لا نهاية ، لكنه لن يصبح صفرًا أبدًا ... ... قاموس دال التوضيحي

خط مقارب- الاسم ، عدد المرادفات: سطر واحد (182) قاموس مرادف أيسيس. في. تريشين. 2013 ... قاموس مرادف

خط مقارب- (من الكلمات اليونانية: a، sun، piptw) غير متطابقة. الخط المقارب يعني خطًا ، يتم تمديده إلى أجل غير مسمى ، يقترب من خط منحني معين أو جزء منه بحيث تصبح المسافة بين الخطوط المشتركة أقل ... ...

خط مقارب- السطح هو خط مستقيم يتقاطع مع السطح على الأقل عند نقطتين متباعدتين بشكل لا نهائي ... موسوعة بروكهاوس وإيفرون

ASYMPTOTE- (خط مقارب) القيمة التي تميل إليها هذه الوظيفة عند تغيير الوسيطة (الوسيطة) ، ولكنها لا تصل إليها لأي قيمة محدودة للوسيطة. على سبيل المثال ، إذا كانت التكلفة الإجمالية للمخرجات x معطاة من خلال الدالة TC = a + bx ، حيث a و b ثوابت ... القاموس الاقتصادي

خط مقارب- خط مستقيم يميل إليه منحنى بعض الوظائف (لا يصل إليه أبدًا) ، وله فرع لا نهائي ، عندما تزيد حجته أو تنقص إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال ، في الوظيفة: y = c + 1 / x ، تقترب قيمة y من ... ... قاموس الاقتصاد والرياضيات

  1. مفهوم الخطوط المقاربة

تتمثل إحدى الخطوات المهمة في رسم الوظائف في العثور على الخطوط المقاربة. لقد واجهنا خطوط مقاربة أكثر من مرة: عند رسم الرسوم البيانية للوظائف ، ص = tgx, ص = ctgx... لقد حددناها على أنها الخطوط التي "يميل" إليها الرسم البياني للوظيفة ، ولكن لا يتقاطع معها أبدًا. حان الوقت لإعطاء تعريف دقيق للخطوط المقاربة.

الخطوط المقاربة من ثلاثة أنواع: رأسية وأفقية ومائلة. في الرسم ، عادةً ما يتم الإشارة إلى الخطوط المقاربة بخطوط منقطة.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة المرسوم بشكل مصطنع (الشكل 16.1) ، على سبيل المثال ، جميع أنواع الخطوط المقاربة مرئية بوضوح:

دعونا نعطي تعريفًا لكل نوع من الخطوط المقاربة:

1. مباشر س = أاتصل الخط المقارب الرأسي وظائف إذا.

2. مباشر ص = جاتصل خط مقارب أفقي وظائف إذا.

3. مباشر ص = ك س + باتصل خط مقارب مائل وظائف إذا.

هندسيًا ، يعني تعريف الخط المقارب المائل أنه ، مثل → ∞ ، يقترب الرسم البياني للوظيفة بشكل تعسفي من الخط المستقيم ص = ك س + ب، بمعنى آخر. هم تقريبا نفس الشيء. الفرق في التعبيرات المتطابقة عمليًا يميل إلى الصفر.

لاحظ أن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة لا يتم اعتبارها إلا في حالة الشرط → ∞. في بعض الأحيان يتم تمييزها في خطوط مقاربة أفقية ومائلة في → + و →-.

  1. خوارزمية لإيجاد الخطوط المقاربة

يمكن استخدام الخوارزمية التالية للعثور على الخطوط المقاربة:

قد يكون هناك خط مقارب عمودي واحد ، أو عدة ، أو لا شيء على الإطلاق.

  • إذا كان c رقمًا ، إذن ص = ج- خط مقارب أفقي ؛
  • إذا كانت c لانهاية ، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

إذا كانت الوظيفة عبارة عن نسبة متعددة الحدود ، إذا كانت الوظيفة تحتوي على خطوط مقاربة أفقية ، فلن نبحث عن خطوط مقاربة مائلة - فهي ليست كذلك.

ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد الخطوط المقاربة لوظيفة ما:

مثال 16.1.أوجد الخطوط المقاربة للمنحنى.

المحلول NS-1≠0; NS≠1.

تحقق مما إذا كان الخط المستقيم س = 1 عن طريق الخط المقارب العمودي. للقيام بذلك ، نحسب نهاية الدالة عند النقطة س = 1: .



س = 1 - خط مقارب عمودي.

مع= .

مع= =. لان مع= 2 (رقم) ، إذن ص = 2- خط مقارب أفقي.

نظرًا لأن الوظيفة هي نسبة متعددة الحدود ، في وجود خطوط مقاربة أفقية ، فإننا نؤكد أنه لا توجد خطوط مقاربة مائلة.

س = 1 والخط المقارب الأفقي ص = 2.من أجل الوضوح ، يظهر الرسم البياني لهذه الوظيفة في الشكل. 16.2.

مثال 16.2... أوجد الخطوط المقاربة للمنحنى.

المحلول... 1. لنجد مجال تعريف الوظيفة: NS-2≠0; NS≠2.

تحقق مما إذا كان الخط المستقيم س = 2 من الخط المقارب العمودي. للقيام بذلك ، نحسب نهاية الدالة عند النقطة س = 2: .

لقد حصلنا على ذلك ، س = 2 - خط مقارب عمودي.

2. للبحث عن الخطوط المقاربة الأفقية ، نجد: مع= .

نظرًا لأن عدم اليقين يظهر في الحد ، فسنستخدم قاعدة L'Hôpital: مع= =. لان معلا نهاية ، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

3. للبحث عن الخطوط المقاربة المائلة ، نجد:

لقد حصلنا على عدم اليقين في النموذج ، نستخدم قاعدة L'Hôpital: = = 1. لذا ، 1. ابحث بحسب الصيغة: .

ب = = =

تلقيت ذلك ب = 2. ثم ص = ك س + ب -خط مقارب مائل. في حالتنا ، يبدو كما يلي: ص = س + 2.

أرز. 16.3
وبالتالي ، فإن هذه الوظيفة لها خط مقارب عمودي س = 2 والخط المقارب المائل ص = س + 2.من أجل الوضوح ، يظهر الرسم البياني للوظيفة في الشكل. 16.3.

أسئلة الاختبار:

المحاضرة 17. المخطط العام لوظائف الدراسة وتكوين الرسومات

في هذه المحاضرة سوف نلخص كل المواد التي سبق دراستها. الهدف النهائي لرحلتنا الطويلة هو أن نكون قادرين على استكشاف أي وظيفة محددة تحليليًا ورسمها. ستكون الروابط المهمة لبحثنا هي دراسة وظيفة الحد الأقصى ، وتحديد فترات الرتابة والتحدب والتقعر في الرسم البياني ، والبحث عن نقاط الانعطاف ، والخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.

مع الأخذ في الاعتبار جميع الجوانب المذكورة أعلاه ، فإننا نقدم دراسة الوظيفة ومخطط التآمر .

1. ابحث عن مجال الوظيفة.

2. تحقق من وظيفة التكافؤ الزوجي الفردي:

إذا كانت الوظيفة زوجية (الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور OU);

· إذا كانت الوظيفة فردية (الرسم البياني للدالة الفردية متماثل حول الأصل) ؛

· وإلا فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

3. التحقيق في وظيفة الدورية (من بين الوظائف التي ندرسها ، فقط الدوال المثلثية يمكن أن تكون دورية).

4. ابحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات:

· أوه: في= 0 (لا نحل المعادلة إلا إذا استطعنا استخدام الطرق المعروفة لنا) ؛

· OU: NS=0.

5. أوجد المشتق الأول للتابع والنقاط الحرجة من النوع الأول.

6. أوجد فترات الرتابة والنهايات القصوى للوظيفة.

7. أوجد المشتق الثاني للتابع والنقاط الحرجة من النوع الثاني.

8. أوجد فترات التحدب-التقعر للرسم البياني للدالة ونقطة الانعطاف.

9. أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.

10. بناء رسم بياني للدالة. عند البناء ، يجب أن تأخذ في الاعتبار حالات الموقع المحتمل للرسم البياني بالقرب من الخطوط المقاربة :

11. إذا لزم الأمر ، حدد نقاط التحكم لبناء أكثر دقة.

ضع في اعتبارك مخطط دراسة دالة ورسم رسمها البياني باستخدام أمثلة محددة:

مثال 17.1... ارسم الدالة.

المحلول... 1. يتم تحديد هذه الوظيفة على خط الأعداد الصحيح باستثناء NS= 3 لأن عند هذه النقطة يختفي المقام.

2. لتحديد تساوي وغرابة الدالة ، نجد:

نرى ذلك ، وبالتالي ، الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

3. الوظيفة غير دورية.

4. أوجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات. لإيجاد نقطة التقاطع مع محور أوهقبول في= 0. نحصل على المعادلة:. إذن ، النقطة (0 ؛ 0) هي نقطة التقاطع مع محاور الإحداثيات.

5. أوجد مشتق التابع وفقًا لقاعدة اشتقاق الكسر: = = = =.

لإيجاد النقاط الحرجة ، نجد النقاط التي يكون عندها مشتق الدالة مساويًا للصفر أو غير موجود.

إذا كان = 0 ، لذلك ،. المنتج بعد ذلك يساوي 0 عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي 0: أو.

NS-3) 2 تساوي 0 ، أي لا يوجد ل NS=3.

إذن ، للدالة ثلاث نقاط حرجة من النوع الأول: ؛ ؛ ...

6. على المحور العددي ، قم بتمييز النقاط الحرجة من النوع الأول ، وقم بتمييز النقطة بنقطة مثقوبة ، حيث لم يتم تعريف الوظيفة فيه.

نضع علامات المشتق = على كل فترة:

tmin
ر ماكس

على الفواصل الزمنية ، حيث تزيد الوظيفة الأصلية (عند (-؛ 0]) ، حيث - تقل (في).

نقطة NS= 0 هي النقطة القصوى للدالة. لإيجاد الحد الأقصى للدالة ، نجد قيمة الدالة عند النقطة 0 :.

نقطة NS= 6 هي النقطة الدنيا للدالة. لإيجاد الحد الأدنى للدالة ، نجد قيمة الدالة عند النقطة 6:.

يمكن إدخال نتائج البحث في الجدول. عدد الصفوف في الجدول ثابت بأربعة ، وعدد الأعمدة يعتمد على الوظيفة قيد الدراسة. في خلايا السطر الأول ، يتم إدخال الفواصل الزمنية بالتسلسل التي تقسم فيها النقاط الحرجة مجال الوظيفة ، بما في ذلك النقاط الحرجة نفسها. من أجل تجنب الأخطاء أثناء البناء ، يمكن حذف النقاط التي لا تنتمي إلى منطقة التعريف من الجدول.

في الصف الثاني من الجدول ، يتم وضع علامات المشتق في كل من الفواصل الزمنية قيد الدراسة وقيمة المشتق عند النقاط الحرجة. وفقًا لعلامات مشتق الوظيفة ، يتم تحديد فترات الزيادة والنقصان والحد الأقصى للدالة في السطر الثالث.

يتم استخدام السطر الأخير للإشارة إلى الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة.

NS (-∞;0) (0;3) (3;6) (6;+ ∞)
+ - - +
و (خ)
الاستنتاجات الأعلى دقيقة

7. أوجد المشتق الثاني للدالة كمشتق للمشتق الأول: = =

لنخرج في البسط NS-3 خارج الأقواس وإجراء التخفيض:

دعونا نعطي المصطلحات المتشابهة في البسط:.

دعونا نجد النقاط الحرجة من النوع الثاني: النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني للدالة صفرًا أو غير موجود.

0 إذا كانت = 0. لا يمكن أن يكون هذا الكسر مساويًا للصفر ، لذلك لا توجد نقاط يكون فيها المشتق الثاني للدالة مساويًا للصفر.

لا يوجد إذا كان المقام ( NS-3) 3 تساوي 0 ، أي لا يوجد ل NS= 3. :أوه ، OU، الأصل ، وحدات القياس لكل محور.

قبل رسم الرسم البياني للوظيفة ، تحتاج إلى:

· رسم خطوط مقاربة بخطوط منقطة.

· تحديد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.

أرز. 17.1
حدد الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة ، ويوصى بتمييز الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة بأقواس مباشرة على الرسم: k أو ؛

· باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها على فترات الزيادة والنقص والتحدب والتقعر ، قم بإنشاء رسم بياني للدالة. يجب أن "تميل" فروع الرسم البياني إلى الخطوط المقاربة ، ولكن لا تتقاطع معها.

· تحقق مما إذا كان الرسم البياني للوظيفة يتوافق مع الدراسة: إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية ، فعندئذٍ ما إذا كان التماثل ملحوظًا ؛ ما إذا كانت فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر ، تتوافق نظريًا مع تلك الموجودة.

11. للحصول على بناء أكثر دقة ، يمكنك تحديد عدة نقاط تحكم. على سبيل المثال ، لنجد قيم الدالة عند النقطتين -2 و 7:

دعنا نضبط المخطط مع مراعاة نقاط التحكم.

أسئلة الاختبار:

  1. ما هي الخوارزمية لرسم الرسم البياني للدالة؟
  2. هل يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند نقاط خارج مجال التعريف؟

الفصل 3. 3. حساب متكامل للوظائف

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

مفهوم الخطوط المقاربة

إذا قمت برسم الخطوط المقاربة للمنحنى لأول مرة ، فسيتم تسهيل إنشاء الرسم البياني للوظيفة في كثير من الحالات.

مصير الخط المقارب مليء بالمأساة. تخيل ما هو عليه الأمر: كل حياتك تتحرك في خط مستقيم نحو الهدف المنشود ، وتقترب منه قدر الإمكان ، ولكن لا تصل إليه أبدًا. على سبيل المثال ، أن تسعى جاهدة لربط مسار حياتك بمسار الشخص المطلوب ، في مرحلة ما للاقتراب منه عن كثب ، ولكن حتى لا تلمسه. أو نسعى جاهدين لتحقيق المليار ، ولكن قبل تحقيق هذا الهدف والدخول في موسوعة جينيس للأرقام القياسية ، فإن مئات السنتات لا تكفي. إلخ. هذا هو الحال مع الخط المقارب: فهو يسعى باستمرار للوصول إلى منحنى الرسم البياني للوظيفة ، ويقترب منه عند أدنى مسافة ممكنة ، لكنه لا يلمسه.

التعريف 1. الخطوط المقاربة هي خطوط مستقيمة يقترب منها الرسم البياني للدالة بشكل عشوائي عندما يميل المتغير إلى زائد اللانهاية أو ناقص اللانهاية.

التعريف 2. يسمى الخط المستقيم الخط المقارب للرسم البياني للدالة إذا كانت المسافة من نقطة المتغير ميميل الرسم البياني للدالة إلى هذا الخط المستقيم إلى الصفر بمسافة غير محدودة من النقطة ممن الأصل على طول فرع من الرسم البياني للوظيفة.

هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: الرأسية والأفقية والمائلة.

الخطوط المقاربة الرأسية

أول شيء يجب معرفته عن الخطوط المقاربة العمودية: فهي موازية للمحور أوي .

تعريف... على التوالي. مستقيم x = أهو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة إذا كانت النقطة x = أهو نقطة كسر من النوع الثانيلهذه الوظيفة.

ويترتب على التعريف أن الخط المستقيم x = أهو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة F(x) إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية على الأقل:

في هذه الحالة ، الوظيفة F(x) على الإطلاق ، على التوالي ، من أجل x ≥ أو x ≤ أ .

تعليق:

مثال 1.الرسم البياني للوظيفة ذ= ln xله خط مقارب عمودي x= 0 (أي يتزامن مع المحور أوي) على حدود مجال التعريف ، نظرًا لأن حد الوظيفة عندما يميل x إلى الصفر على اليمين يساوي سالب ما لا نهاية:

(الشكل أعلاه).

بنفسك ومن ثم انظر إلى الحلول

مثال 2.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة.

مثال 3.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

الخطوط المقاربة الأفقية

أول شيء يجب معرفته عن الخطوط المقاربة الأفقية: فهي موازية للمحور ثور .

إذا (حد الدالة كما تميل الوسيطة إلى زائد أو ناقص ما لا نهاية يساوي بعض القيمة ب)، من ثم ذ = ب – خط مقارب أفقي ملتوية ذ = F(x ) (يمينًا عندما تميل x إلى زائد ما لا نهاية ، ولليسار عندما تميل x إلى سالب ما لا نهاية ، وعلى وجهين إذا كانت الحدود متساوية عندما يميل x إلى زائد أو ناقص ما لا نهاية).

مثال 5.الرسم البياني للوظيفة

في أ> 1 له خط مقارب أفقي يسار ذ= 0 (أي يتزامن مع المحور ثور) ، نظرًا لأن حد الدالة مثل "x" يميل إلى سالب ما لا نهاية يساوي صفرًا:

لا يحتوي المنحنى على خط مقارب أفقي صحيح ، نظرًا لأن نهاية الدالة مثل "x" تميل إلى زائد اللانهاية يساوي اللانهاية:

الخطوط المقاربة المائلة

الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية ، التي نظرنا إليها أعلاه ، موازية لمحاور الإحداثيات ، لذلك ، لبناءها ، نحتاج فقط إلى رقم معين - نقطة على الإحداثي أو المحور الإحداثي الذي يمر من خلاله الخط المقارب. بالنسبة إلى الخط المقارب المائل ، هناك حاجة إلى المزيد - المنحدر كالتي توضح زاوية ميل الخط المستقيم والمصطلح الحر ب، مما يوضح مقدار الخط الموجود أعلى أو أسفل نقطة الأصل. أولئك الذين لم يكن لديهم الوقت لنسيان الهندسة التحليلية ، ومنه - معادلات الخط المستقيم ، سيلاحظون أنه بالنسبة للخط المقارب المائل يجدونها معادلة المنحدر... يتم تحديد وجود خط مقارب مائل من خلال النظرية التالية ، والتي على أساسها تم العثور على المعاملات المذكورة للتو.

نظرية.لمنحنى ذ = F(x) كان له خط مقارب ذ = ككس + ب ، من الضروري والكافي أن تكون هناك حدود محدودة كو بمن الوظيفة المدروسة كما يميل المتغير xإلى اللانهاية وطرح اللانهاية:

(1)

(2)

وجدت بهذه الطريقة الأرقام كو بوهي معاملات الخط المقارب المائل.

في الحالة الأولى (عندما يميل x إلى زائد اللانهاية) ، يتم الحصول على خط مقارب مائل أيمن ، في الحالة الثانية (عندما يميل x إلى سالب اللانهاية) ، على اليسار. يظهر الخط المقارب الأيمن المائل في الشكل. من الأسفل.

عند إيجاد معادلة الخط المقارب المائل ، من الضروري مراعاة ميل x إلى كل من زائد اللانهاية وسالب اللانهاية. بالنسبة لبعض الوظائف ، على سبيل المثال ، بالنسبة للعقلانية الكسرية ، تتطابق هذه الحدود ، ومع ذلك ، بالنسبة للعديد من الوظائف ، تختلف هذه الحدود ويمكن أن يوجد واحد منها فقط.

إذا تزامنت الحدود مع x تميل إلى زائد ما لا نهاية وإلى سالب ما لا نهاية ، يكون الخط المستقيم ذ = ككس + ب هو خط مقارب ذو وجهين للمنحنى.

إذا كان واحد على الأقل من الحدود التي تحدد الخط المقارب ذ = ككس + ب ، غير موجود ، فإن الرسم البياني للوظيفة لا يحتوي على خط مقارب مائل (ولكن قد يكون له خط عمودي).

من السهل أن نرى أن الخط المقارب الأفقي ذ = بهي حالة خاصة من الانحراف ذ = ككس + بفي ك = 0 .

لذلك ، إذا كان للمنحنى في أي اتجاه خط مقارب أفقي ، فلا يوجد في هذا الاتجاه منحرف ، والعكس صحيح.

مثال 6.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. يتم تحديد الوظيفة على خط الأعداد بالكامل ، باستثناء x= 0 ، أي

لذلك ، عند نقطة الانهيار x= 0 ، قد يكون للمنحنى خط مقارب عمودي. في الواقع ، نهاية الدالة عندما يقترب x من الصفر من اليسار تساوي زائد ما لا نهاية:

بالتالي، x= 0 - خط مقارب عمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

لا يحتوي الرسم البياني لهذه الوظيفة على خط مقارب أفقي ، لأن نهاية الدالة عندما يميل x إلى زائد اللانهاية يساوي زائد ما لا نهاية:

دعنا نتعرف على وجود خط مقارب مائل:

حصلت على حدود محدودة ك= 2 و ب= 0. على التوالي. مستقيم ذ = 2xهو خط مقارب مائل من جانبين للرسم البياني لهذه الوظيفة (الشكل. داخل المثال).

مثال 7.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. الوظيفة لها نقطة توقف واحدة x= −1. نحسب الحدود من جانب واحد ونحدد نوع الانقطاع:

استنتاج: x= −1 هي نقطة انقطاع من النوع الثاني ، وبالتالي الخط x= −1 هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

نحن نبحث عن الخطوط المقاربة المائلة. نظرًا لأن هذه الدالة عقلانية كسرية ، فإن حدين من أجل و سيتطابقان. وهكذا ، نجد معاملات الاستبدال في معادلة الخط المستقيم - الخط المقارب المائل:

باستبدال المعامِلات الموجودة في معادلة الخط المستقيم بالمنحدر ، نحصل على معادلة الخط المقارب المائل:

ذ = −3x + 5 .

في الشكل ، تم تمييز الرسم البياني للوظيفة باللون العنابي ، والخطوط المقاربة باللون الأسود.

المثال 8.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. نظرًا لأن هذه الوظيفة متصلة ، فإن الرسم البياني الخاص بها لا يحتوي على خطوط مقاربة عمودية. نبحث عن خطوط مقاربة مائلة:

.

وبالتالي ، فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة له خط مقارب ذ= 0 عند وليس لها أسبتوت عند.

المثال 9.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. أولاً ، نبحث عن الخطوط المقاربة العمودية. للقيام بذلك ، سنجد مجال الوظيفة. يتم تعريف الوظيفة عندما يتم استيفاء عدم المساواة وفي نفس الوقت. علامة متغير xيطابق العلامة. لذلك ، ضع في اعتبارك عدم المساواة المكافئة. من هذا نحصل على مجال الوظيفة: ... لا يمكن أن يكون الخط المقارب العمودي إلا على حدود مجال تعريف الوظيفة. ولكن xلا يمكن أن تكون = 0 خطًا مقاربًا رأسيًا ، حيث تم تعريف الوظيفة من أجل x = 0 .

ضع في اعتبارك حد اليد اليمنى عند (حد اليد اليسرى غير موجود):

.

نقطة x= 2 هي نقطة انقطاع من النوع الثاني ، وبالتالي الخط المستقيم x= 2 - خط مقارب عمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

نبحث عن خطوط مقاربة مائلة:

وبالتالي، ذ = x+ 1 - خط مقارب مائل للرسم البياني لهذه الوظيفة عند. نحن نبحث عن خط مقارب مائل لـ:

وبالتالي، ذ = −x − 1 هل الخط المقارب المائل عند.

المثال 10.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. الوظيفة لها نطاق ... نظرًا لأن الخط المقارب العمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة يمكن أن يكون فقط على حدود مجال التعريف ، فإننا نجد الحدود أحادية الجانب للدالة عند.