الرئيسي > أبواب > كيفية إيجاد مشتق من أمثلة دالة معقدة. حل مشتق للدمى: تحديد كيفية البحث ، أمثلة على الحلول. مشتقات الدوال الابتدائية


كيفية إيجاد مشتق من أمثلة دالة معقدة. حل مشتق للدمى: تحديد كيفية البحث ، أمثلة على الحلول. مشتقات الدوال الابتدائية




بعد التحضير الأولي للمدفعية ، ستكون الأمثلة ذات المرفقات الوظيفية 3-4-5 أقل رعباً. ربما يبدو المثالان التاليان صعبًا بالنسبة للبعض ، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما) ، فسيبدو كل شيء تقريبًا في حساب التفاضل وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

كما لوحظ بالفعل ، عند إيجاد مشتق دالة معقدة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري حقافهم المرفقات. في الحالات التي توجد فيها شكوك ، أتذكر أسلوبًا مفيدًا: نأخذ القيمة التجريبية لـ "X" ، على سبيل المثال ، ونحاول (عقليًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".

1) أولاً ، نحتاج إلى حساب التعبير ، مما يعني أن المبلغ هو الاستثمار الأعمق.

2) ثم تحتاج إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم ارفع جيب التمام إلى مكعب:

5) في الخطوة الخامسة ، الفرق:

6) أخيرًا ، الوظيفة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة تفاضل دالة معقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي ، من الوظيفة الخارجية إلى الأعمق. نحن نقرر:

يبدو بدون أخطاء:

1) خذ مشتق الجذر التربيعي.

2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

3) مشتق الثلاثي هو صفر. في المصطلح الثاني ، نأخذ مشتق الدرجة (المكعب).

4) نأخذ مشتق جيب التمام.

6) وأخيرًا ، نأخذ مشتق التداخل الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبًا للغاية ، لكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ ، على سبيل المثال ، مجموعة Kuznetsov وستقدر كل سحر وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون إعطاء شيء مماثل في الامتحان للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق من وظيفة معقدة ، أو لا يفهم.

المثال التالي هو حل افعل ذلك بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتق دالة

تلميح: أولاً ، نطبق قواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتج

الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

حان الوقت الآن للانتقال إلى شيء أكثر إحكاما ولطيفا.
ليس من غير المألوف أن يعطي أحد الأمثلة منتجًا لا يتألف من وظيفتين ، بل ثلاث وظائف. كيف نوجد مشتق حاصل ضرب ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتق دالة

أولاً ، دعنا نرى ما إذا كان من الممكن تحويل حاصل ضرب دالات ثلاث إلى حاصل ضرب وظيفتين؟ على سبيل المثال ، إذا كان لدينا كثير الحدود في المنتج ، فيمكننا فك الأقواس. لكن في هذا المثال ، تختلف جميع الوظائف: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات ، من الضروري باتساقتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أنه بالنسبة لـ "y" نشير إلى ناتج وظيفتين: و "ve" - ​​اللوغاريتم :. لماذا يمكن القيام بذلك؟ فعلا - هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل ؟! لا يوجد شيء معقد:


الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية إلى الأقواس:

لا يزال بإمكانك منحرفًا ووضع شيء ما خارج الأقواس ، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل مستقل ، في العينة يتم حله بالطريقة الأولى.

لنلقِ نظرة على أمثلة متشابهة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتق دالة

هنا يمكنك الذهاب بعدة طرق:

او مثل هذا:

لكن سيتم كتابة الحل بشكل أكثر إحكاما إذا استخدمنا ، أولا وقبل كل شيء ، القاعدة لاشتقاق حاصل القسمة ، مع أخذ البسط بأكمله:

من حيث المبدأ ، يتم حل المثال ، وإذا تركته كما هو ، فلن يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت ، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة ، ولكن هل من الممكن تبسيط الإجابة؟

لنجعل التعبير عن البسط في مقام مشترك ونتخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس في العثور على المشتق ، ولكن في حالة التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى ، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "تذكر" المشتق.

مثال أبسط لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتق دالة

نواصل إتقان طرق إيجاد المشتق ، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يُقترح اللوغاريتم "الرهيب" للتفاضل

في هذا الدرس سوف نتعلم كيف نجد مشتق دالة معقدة... الدرس هو استمرار منطقي للدرس كيف أجد المشتق؟والتي قمنا بتحليل أبسط المشتقات عليها ، وتعرّفنا أيضًا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات لإيجاد المشتقات. وبالتالي ، إذا لم تكن جيدًا مع مشتقات الدوال ، أو لم تكن بعض نقاط هذه المقالة واضحة تمامًا ، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك ، استمع إلى الحالة المزاجية الجادة - المواد ليست سهلة ، لكنني سأحاول تقديمها بطريقة بسيطة وسهلة المنال.

من الناحية العملية ، عليك التعامل مع مشتق دالة معقدة في كثير من الأحيان ، حتى أنني أقول ، دائمًا تقريبًا ، عندما يتم تكليفك بمهام لإيجاد المشتقات.

ننظر في الجدول إلى القاعدة (رقم 5) لتمييز دالة معقدة:

فهم. بادئ ذي بدء ، دعنا ننتبه إلى التسجيل. هنا لدينا وظيفتان - علاوة على ذلك ، الوظيفة ، بالمعنى المجازي ، مضمنة في الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل إحدى الوظائف مع أخرى) بالدالة المعقدة.

سوف أستدعي الوظيفة وظيفة خارجيةوالوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة).

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للتخصيصات. أنا أستخدم التعبيرات غير الرسمية "وظيفة خارجية" ، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المواد.

لتوضيح الموقف ، ضع في اعتبارك:

مثال 1

أوجد مشتق دالة

تحت شرط الجيب ، ليس لدينا فقط الحرف "X" ، ولكن تعبير عدد صحيح ، لذلك لن يعمل لإيجاد المشتق مباشرة من الجدول. نلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربعة الأولى هنا ، ويبدو أن هناك اختلافًا ، لكن الحقيقة هي أنه من المستحيل "تمزيق" الجيب:

في هذا المثال ، من توضيحاتي ، من الواضح بشكل حدسي أن الوظيفة هي وظيفة معقدة ، وأن كثير الحدود هو وظيفة داخلية (تداخل) ، ووظيفة خارجية.

الخطوة الأولى، والتي يجب إجراؤها عند إيجاد مشتق دالة معقدة ، هو هذا معرفة أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

في حالة الأمثلة البسيطة ، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود متداخلة تحت الجيب. ولكن ماذا لو كان كل شيء غير واضح؟ كيف تحدد بالضبط الوظيفة الخارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك ، أقترح استخدام التقنية التالية ، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

تخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير في الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد ، يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ في البدايةسوف تحتاج إلى القيام بالإجراء التالي: وبالتالي فإن كثير الحدود سيكون وظيفة داخلية:

ثانويسوف تحتاج إلى العثور عليها ، لذا فإن الجيب سيكون وظيفة خارجية:

بعد نحن اكتشفمع الوظائف الداخلية والخارجية ، فقد حان الوقت لتطبيق قاعدة التمايز لوظيفة معقدة.

نبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيف أجد المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهنجد مشتق الوظيفة الخارجية (الجيب) ، وننظر إلى جدول مشتقات الوظائف الأولية ونلاحظ ذلك. جميع الصيغ الجدولية قابلة للتطبيق حتى إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

لاحظ أن الوظيفة الداخلية لم يتغير ، نحن لا نتطرق إليه.

حسنًا ، من الواضح تمامًا أن

تبدو نتيجة تطبيق الصيغة في التصميم النهائي كما يلي:

يوضع العامل الثابت عادة في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي لبس ، فاكتب الحل واقرأ التفسيرات مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

مثال 3

أوجد مشتق دالة

كالعادة ، نكتب:

دعنا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية ، وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك ، حاول (عقليًا أو في مسودة) لحساب قيمة التعبير في. ما الذي يجب عمله اولا؟ بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى حساب ما تساوي القاعدة: مما يعني أن كثير الحدود هو الوظيفة الداخلية:

وعندها فقط يتم تنفيذ الأس ، وبالتالي ، فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

وفقًا للصيغة ، تحتاج أولاً إلى إيجاد مشتق الدالة الخارجية ، في هذه الحالة الدرجة. نحن نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول:. نكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "x" ، ولكن أيضًا للتعبير المعقد... وبالتالي ، فإن نتيجة تطبيق قاعدة التمايز لوظيفة معقدة هي كما يلي:

أؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتق الوظيفة الخارجية ، فإن الوظيفة الداخلية لا تتغير بالنسبة لنا:

يبقى الآن العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية و "مشط" النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل "افعل ذلك بنفسك" (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).

لتوطيد فهم مشتق دالة معقدة ، سأقدم مثالًا بدون تعليقات ، أحاول اكتشافه بنفسك ، وتكهن أين هو الخارجي وأين الوظيفة الداخلية ، لماذا تم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتق الوظيفة

ب) أوجد مشتق الوظيفة

مثال 6

أوجد مشتق دالة

هنا لدينا جذر ، ولتمييز الجذر ، يجب تمثيله كدرجة. وبالتالي ، نأتي بالدالة أولاً إلى شكل مناسب للتمايز:

عند تحليل الوظيفة ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن مجموع المصطلحات الثلاثة هو وظيفة داخلية ، وأن الأس دالة خارجية. نطبق قاعدة التفريق بين دالة معقدة:

يتم تمثيل الدرجة مرة أخرى على أنها جذرية (جذر) ، وبالنسبة لمشتق الوظيفة الداخلية ، نطبق قاعدة بسيطة لتمييز المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا إحضار التعبير إلى مقام موحد بين قوسين وكتابة كل شيء في كسر واحد. جميل ، بالطبع ، ولكن عندما يتم الحصول على مشتقات طويلة مرهقة ، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل الخلط ، وارتكاب خطأ غير ضروري ، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق).

مثال 7

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل "افعل ذلك بنفسك" (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه في بعض الأحيان ، بدلاً من قاعدة التفريق بين دالة معقدة ، يمكن للمرء استخدام القاعدة للتمييز بين حاصل القسمة ، لكن مثل هذا القرار سيبدو مضحكًا باعتباره تحريفًا. إليك مثال نموذجي:

المثال 8

أوجد مشتق دالة

هنا يمكنك استخدام القاعدة لاشتقاق حاصل القسمة ، ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

نحضر دالة الاشتقاق - نحرك السالب خلف علامة المشتق ، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو دالة داخلية ، الأُس دالة خارجية.
نحن نستخدم حكمنا:

ابحث عن مشتق الوظيفة الداخلية ، وأعد ضبط جيب التمام لأسفل:

مستعد. في المثال المدروس ، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة ، حاول حلها بالقاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

المثال 9

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل "افعل ذلك بنفسك" (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).

حتى الآن ، نظرنا في الحالات التي كان لدينا فيها مرفق واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية ، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات ، حيث ، مثل الدمى المتداخلة ، واحدة في أخرى ، 3 ، أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

المثال 10

أوجد مشتق دالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. محاولة تقييم التعبير باستخدام قيمة الاختبار. كيف نعتمد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى البحث ، مما يعني أن القوس هو أعمق تداخل:

ثم يجب أن يكون قوس جيب الزاوية هذا تربيعًا:

وأخيرًا ، ارفع الرقم 7 إلى القوة:

هذا هو ، في هذا المثال ، لدينا ثلاث وظائف مختلفة ومرفقان ، في حين أن الوظيفة الأعمق هي القوس ، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

نبدأ في الحل

وفقًا للقاعدة ، عليك أولاً أن تأخذ مشتق الدالة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتق الدالة الأسية: الاختلاف الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير مركب ، والذي لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن ، نتيجة تطبيق قاعدة تفاضل دالة معقدة هي كما يلي:

تحت السكتة الدماغية ، لدينا وظيفة معقدة مرة أخرى! لكنها بالفعل أبسط. من السهل التحقق من أن الوظيفة الداخلية هي القوس ، والوظيفة الخارجية هي الدرجة. وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة ، عليك أولاً أن تأخذ مشتق الدرجة.

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا ، دعونا لا نذهب بعيدًا ، سننظر على الفور في الدالة العكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا ، الأساس هو رقم:

مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) يسمى "طبيعي" ، ومن أجله نستخدم تدوينًا خاصًا: بدلاً من الكتابة.

ما يساوي؟ بالطبع بكل تأكيد، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

  1. العثور على مشتق من وظيفة.
  2. ما هو مشتق الوظيفة؟

الإجابات: الأس واللوغاريتم الطبيعي هما دالات بسيطة بشكل فريد من وجهة نظر المشتق. سيكون للدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي قاعدة أخرى مشتق مختلف ، سنقوم بتحليله لاحقًا ، بعد أن ننتقل إلى قواعد التفاضل.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد؟! ...

التفاضلهي عملية إيجاد مشتق.

هذا كل شئ. وإلا كيف نسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليس اشتقاقًا ... يُطلق على تفاضل الرياضيات نفس الزيادة في دالة عند. يأتي هذا المصطلح من الاختلاف اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند اشتقاق كل هذه القواعد ، سنستخدم وظيفتين ، على سبيل المثال ، و. نحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتحرك الثابت خارج علامة المشتق.

إذا كان هناك رقم ثابت (ثابت) ، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا مع الاختلاف:.

دعنا نثبت ذلك. اسمحوا ، أو أسهل.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

  1. عند النقطة
  2. عند النقطة
  3. عند النقطة
  4. في هذه النقطة.

حلول:

  1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط ، لأنه دالة خطية ، تذكر؟) ؛

مشتق من العمل

كل شيء هو نفسه هنا: نقدم وظيفة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

  1. أوجد مشتقات الوظائف و ؛
  2. أوجد مشتق الدالة عند النقطة.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتق أي دالة أسية ، وليس فقط الأس (هل نسيت ما هو؟).

إذن ، أين يوجد عدد.

نحن نعلم بالفعل مشتق الوظيفة ، لذلك دعونا نحاول تحويل وظيفتنا إلى أساس جديد:

للقيام بذلك ، سنستخدم قاعدة بسيطة:. ثم:

حسنًا ، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتق ، ولا تنس أن هذه الدالة صعبة.

حدث؟

هنا ، تحقق من نفسك:

تبين أن الصيغة تشبه إلى حد كبير مشتق الأس: كما كانت ، لا تزال ، يظهر فقط المضاعف ، وهو مجرد رقم ، ولكن ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة ، أي أنه لا يمكن كتابته بشكل أبسط. لذلك ، في الإجابة نتركها على هذا النحو.

    لاحظ أن هنا حاصل قسمة وظيفتين ، لذلك نطبق قاعدة التفاضل المقابلة:

    في هذا المثال ، نتاج وظيفتين:

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتق اللوغاريتم الطبيعي:

لذلك ، للعثور على أحد اللوغاريتمات العشوائية بأساس مختلف ، على سبيل المثال:

تحتاج إلى إحضار هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف تغير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو مجرد ثابت (رقم ثابت ، بدون متغير). المشتق بسيط للغاية:

لم يتم العثور على مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية تقريبًا في الاستخدام ، ولكن لن يكون من الضروري معرفتها.

مشتق دالة معقدة.

ما هي "وظيفة معقدة"؟ لا ، هذا ليس لوغاريتمًا ، وليس قوس ظل. قد يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنه إذا كان اللوغاريتم يبدو صعبًا بالنسبة لك ، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وسيمر كل شيء) ، ولكن من وجهة نظر الرياضيات ، فإن كلمة "صعب" لا تعني "صعب".

تخيل حزام ناقل صغير: يجلس شخصان ويقومان بعمل ما مع بعض الأشياء. على سبيل المثال ، يلف الأول شريط شوكولاتة في غلاف ، والثاني يربطه بشريط. اتضح مثل هذا الكائن المركب: شريط شوكولاتة ملفوف ومربوط بشريط. لأكل لوح شوكولاتة ، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

دعنا ننشئ خط أنابيب رياضيًا مشابهًا: أولاً سنجد جيب التمام لرقم ، ثم سنقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك ، حصلنا على رقم (لوح شوكولاتة) ، أجد جيب التمام (غلاف) ، ثم قمت بتربيع ما لدي (تقوم بربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال لدالة معقدة: عندما ، للعثور على قيمتها ، نقوم بتنفيذ الإجراء الأول مباشرة مع المتغير ، ثم إجراء آخر بنتيجة الأول.

بعبارات أخرى، الوظيفة المعقدة هي وظيفة تمثل حجة دالة أخرى: .

على سبيل المثال لدينا.

قد نقوم بنفس الإجراءات بترتيب عكسي: أولاً ، تربّع ، ثم أبحث عن جيب التمام للعدد الناتج :. من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. ميزة مهمة للوظائف المعقدة: عندما تغير ترتيب الإجراءات ، تتغير الوظيفة.

المثال الثاني: (same). ...

سيتم استدعاء الإجراء الذي نقوم به في الماضي وظيفة "خارجية"، والإجراء الذي تم اتخاذه أولاً - على التوالي وظيفة "داخلية"(هذه أسماء غير رسمية ، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأيها داخلية:

الإجابات:الفصل بين الدوال الداخلية والخارجية يشبه إلى حد بعيد المتغيرات المتغيرة: على سبيل المثال ، في دالة

  1. ما هو الإجراء الأول الذي يجب اتخاذه؟ أولاً ، سنحسب الجيب ، وعندها فقط نرفعها إلى مكعب. هذا يعني أنها وظيفة داخلية ، لكنها وظيفة خارجية.
    والوظيفة الأصلية هي تكوينها:.
  2. داخلي:؛ خارجي:.
    فحص: .
  3. داخلي:؛ خارجي:.
    فحص: .
  4. داخلي:؛ خارجي:.
    فحص: .
  5. داخلي:؛ خارجي:.
    فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا ، سنستخرج قالب الشوكولاتة الخاص بنا - ابحث عن مشتق. يتم عكس الإجراء دائمًا: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية ، ثم نضرب النتيجة في مشتق الدالة الداخلية. فيما يتعلق بالمثال الأصلي ، يبدو كالتالي:

مثال آخر:

لذا ، دعونا أخيرًا نصيغ قاعدة رسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو أن كل شيء بسيط ، أليس كذلك؟

دعنا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ؛

خارجي:؛

2) داخلي: ؛

(فقط لا تحاول قصها الآن! لا يمكن إخراج أي شيء من تحت جيب التمام ، تذكر؟)

3) داخلي: ؛

خارجي:؛

من الواضح على الفور أن هناك وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات هنا: بعد كل شيء ، هذه بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها ، ونحن أيضًا نستخرج الجذر منها ، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (نضع شوكولاتة في غلاف وشريط في محفظة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: على أي حال ، سوف "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق الجذر أولاً ، ثم جيب التمام ، وبعد ذلك فقط المقدار الموجود بين قوسين. ثم نضرب كل هذا.

في مثل هذه الحالات ، من الملائم ترقيم الإجراءات. أي دعونا نتخيل ما نعرفه. في أي ترتيب سنقوم بتنفيذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنأخذ مثالا:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا ، كلما كانت الوظيفة المقابلة "خارجية". تسلسل الإجراءات - كما كان من قبل:

هنا ، يكون التداخل بشكل عام من 4 مستويات. دعنا نحدد مسار العمل.

1. تعبير جذري. ...

2. الجذر. ...

3. الجيوب الأنفية. ...

4. مربع. ...

5. تجميع كل شيء:

المشتق. باختصار حول الرئيسي

مشتق من وظيفة- نسبة الزيادة في الوظيفة إلى الزيادة في الوسيطة بزيادة صغيرة لا متناهية في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتحرك الثابت خارج علامة المشتق:

مشتق من المبلغ:

مشتق المصنف:

مشتق من حاصل القسمة:

مشتق دالة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

  1. نحدد الوظيفة "الداخلية" ، ونجد مشتقها.
  2. نحدد الوظيفة "الخارجية" ، ونجد مشتقها.
  3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

منذ أن جئت إلى هنا ، ربما تكون قد رأيت هذه الصيغة بالفعل في الكتاب المدرسي

واجعل وجه مثل هذا:

صديق لا تقلق! في الواقع ، كل شيء بسيط للعار. ستفهم بالتأكيد كل شيء. طلب واحد فقط - اقرأ المقال ببطء، حاول أن تفهم كل خطوة. لقد كتبت بأكبر قدر ممكن من البساطة والوضوح ، لكنك ما زلت بحاجة إلى فهم الفكرة. وتأكد من حل المهام من المقال.

ما هي الوظيفة المعقدة؟

تخيل أنك تنتقل إلى شقة أخرى وبالتالي تقوم بتعبئة الأشياء في صناديق كبيرة. افترض أنك بحاجة إلى جمع بعض العناصر الصغيرة ، على سبيل المثال ، مواد الكتابة المدرسية. إذا قمت برميهم في صندوق ضخم ، فسوف يضيعون من بين أشياء أخرى. لتجنب ذلك ، عليك أولاً وضعها ، على سبيل المثال ، في كيس ، ثم تضعه بعد ذلك في صندوق كبير ، وبعد ذلك تغلقه. تظهر هذه العملية "المعقدة" في الرسم البياني أدناه:

يبدو ، ما علاقة الرياضيات بها؟ علاوة على ذلك ، يتم تشكيل وظيفة معقدة بنفس الطريقة بالضبط! نحن فقط "نحزم" وليس الدفاتر والأقلام ، ولكن \ (x \) ، بينما "الحزم" و "الصناديق" مختلفة.

على سبيل المثال ، لنأخذ x و "نجمعها" في دالة:


نتيجة لذلك ، نحصل بالطبع على \ (\ cos⁡x \). هذه هي "حقيبة الأشياء" الخاصة بنا. والآن نضعها في "صندوق" - نعبئها ، على سبيل المثال ، في دالة تكعيبية.


ماذا سيحدث في النهاية؟ نعم ، هذا صحيح ، سيكون هناك "حقيبة بها أشياء في صندوق" ، أي "جيب تمام الزاوية في مكعب".

البناء الناتج هو وظيفة معقدة. إنه يختلف عن البسيط في ذلك على واحد X يتم تطبيق SEVERAL "تأثيرات" (حزم) متتاليةواتضح ، إذا جاز التعبير ، "الوظيفة من الوظيفة" - "التغليف في العبوة".

في الدورة المدرسية ، هناك أنواع قليلة جدًا من هذه "الحزم" ، أربعة فقط:

دعنا الآن "نجمع" x أولاً في دالة أسية بالأساس 7 ، ثم في دالة مثلثية. نحن نحصل:

\ (س → 7 ^ س → tg⁡ (7 ^ س) \)

والآن سنحزم x مرتين في الدوال المثلثية ، أولاً في ، ثم في:

\ (س → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x) \)

بسيط ، أليس كذلك؟

اكتب الآن الوظيفة نفسها ، حيث x:
- أولاً "معبأ" في جيب التمام ، ثم في دالة أسية مع القاعدة \ (3 \) ؛
- من الدرجة الأولى إلى الخامسة ، ثم إلى الظل ؛
- أولاً في قاعدة اللوغاريتم \ (4 \) ، ثم إلى السلطة \ (- 2 \).

انظر الإجابات على هذه المهمة في نهاية المقال.

وهل يمكننا "حزم" X ليس مرتين ، بل ثلاث مرات؟ لا مشكلة! وأربعة وخمسة وخمسة وعشرون مرة. على سبيل المثال ، هذه وظيفة يتم فيها "تعبئة" x \ (4 \) مرات:

\ (y = 5 ^ (\ log_2⁡ (\ sin⁡ (x ^ 4))) \)

لكن مثل هذه الصيغ لن يتم مواجهتها في الممارسة المدرسية (الطلاب أكثر حظًا - قد يكونون أكثر تعقيدًا).

تفريغ وظيفة معقدة

انظر إلى الوظيفة السابقة مرة أخرى. هل يمكنك معرفة تسلسل التعبئة؟ ما تم دفع X إليه أولاً ، وما بعد ذلك ، وما إلى ذلك حتى النهاية. أي وظيفة متداخلة في أي؟ خذ قطعة من الورق واكتب ما تعتقده. يمكنك القيام بذلك بسلسلة بها أسهم ، كما كتبنا أعلاه ، أو بأي طريقة أخرى.

الآن الإجابة الصحيحة: أولاً ، تم "تعبئة" x في \ (4 \) - القوة ، ثم تم تجميع النتيجة في جيب ، وتم وضعها بدورها في اللوغاريتم إلى القاعدة \ (2 \) ، وفي النهاية تم دفع هذا البناء بأكمله إلى مراكز الطاقة.

وهذا يعني أنه من الضروري فك التسلسل في الترتيب العكسي. وإليك تلميح لكيفية القيام بذلك بشكل أسهل: فقط انظر إلى X - منه وعليك أن ترقص. دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

على سبيل المثال ، إليك دالة: \ (y = tg⁡ (\ log_2⁡x) \). ننظر إلى X - ماذا يحدث له أولاً؟ مأخوذ منه. وثم؟ ظل النتيجة مأخوذة. سيكون التسلسل هو نفسه:

\ (x → \ log_2⁡x → tg⁡ (\ log_2⁡x) \)

مثال آخر: \ (y = \ cos⁡ ((x ^ 3)) \). نقوم بالتحليل - أولاً ، تم رفع x إلى مكعب ، ثم تم أخذ جيب التمام من النتيجة. وبالتالي ، سيكون التسلسل: \ (x → x ^ 3 → \ cos⁡ ((x ^ 3)) \). انتبه ، تبدو الوظيفة مشابهة للوظيفة الأولى (حيث توجد الصور). لكن هذه وظيفة مختلفة تمامًا: هنا في x cube (أي ، \ (\ cos⁡ ((xxx))) \) ، وهناك ، في المكعب ، جيب التمام \ (x \) (أي \ (\ cos⁡ x \ cos⁡x \ cos⁡x \)). ينشأ هذا الاختلاف من تسلسلات التعبئة المختلفة.

المثال الأخير (مع معلومات مهمة فيه): \ (y = \ sin⁡ ((2x + 5)) \). من الواضح أنهم هنا أجروا العمليات الحسابية أولاً باستخدام x ، ثم أخذوا الجيب من النتيجة: \ (x → 2x + 5 → \ sin⁡ ((2x + 5)) \). وهذه نقطة مهمة: على الرغم من حقيقة أن العمليات الحسابية ليست وظائف في حد ذاتها ، فإنها تعمل هنا أيضًا كطريقة "للتعبئة". دعنا نتعمق قليلاً في هذه الدقة.

كما قلت أعلاه ، في الوظائف البسيطة ، يتم "حزم" X مرة واحدة ، وفي وظائف معقدة - وظيفتان أو أكثر. علاوة على ذلك ، فإن أي مجموعة من الوظائف البسيطة (أي مجموعها أو فرقها أو ضربها أو قسمةها) هي أيضًا وظيفة بسيطة. على سبيل المثال ، \ (x ^ 7 \) دالة بسيطة و \ (ctg x \) هي أيضًا. هذا يعني أن كل مجموعاتها عبارة عن وظائف بسيطة:

\ (x ^ 7 + ctg x \) - بسيط ،
\ (x ^ 7 ctg x \) - بسيط ،
\ (\ frac (x ^ 7) (ctg x) \) - بسيط ، إلخ.

ومع ذلك ، إذا تم تطبيق وظيفة أخرى على مثل هذه المجموعة ، فستكون بالفعل وظيفة معقدة ، حيث سيكون هناك "عبوتين". انظر الرسم التخطيطي:



حسنًا ، تعال إلى نفسك الآن. اكتب سلسلة من وظائف "الالتفاف":
\ (y = cos (⁡ (sin⁡x)) \)
\ (ص = 5 ^ (س ^ 7) \)
\ (ص = arctg⁡ (11 ^ س) \)
\ (y = log_2⁡ (1 + x) \)
الإجابات مرة أخرى في نهاية المقال.

الوظائف الداخلية والخارجية

لماذا نحتاج إلى فهم تداخل الوظائف؟ ماذا يعطينا؟ الحقيقة هي أنه بدون مثل هذا التحليل لن نتمكن من العثور بشكل موثوق على مشتقات الوظائف التي تم تحليلها أعلاه.

ومن أجل المضي قدمًا ، سنحتاج إلى مفهومين آخرين: الوظائف الداخلية والخارجية. هذا شيء بسيط للغاية ، علاوة على ذلك ، في الواقع ، قمنا بالفعل بفرزها أعلاه: إذا كنت تتذكر التشبيه في البداية ، فإن الوظيفة الداخلية هي "حزمة" ، والوظيفة الخارجية هي "مربع". هؤلاء. ما هو "ملفوف" في البداية هو وظيفة داخلية ، والوظيفة الداخلية "مغلفة" هي بالفعل وظيفة خارجية. حسنًا ، من الواضح لماذا - هي في الخارج ، ثم خارجية.

في هذا المثال: \ (y = tg⁡ (log_2⁡x) \) ، الوظيفة \ (\ log_2⁡x \) داخلية ، و
- خارجي.

وفي هذا: \ (y = \ cos⁡ ((x ^ 3 + 2x + 1)) \) ، \ (x ^ 3 + 2x + 1 \) داخلي ، و
- خارجي.

اتبع الممارسة الأخيرة لتحليل الوظائف المعقدة ، وانتقل أخيرًا إلى ما كان يدور حوله - سنجد مشتقات الدوال المعقدة:

املأ الفراغات في الجدول:


مشتق دالة معقدة

برافو بالنسبة لنا ، ما زلنا نصل إلى "رئيس" هذا الموضوع - في الواقع ، مشتق دالة معقدة ، وعلى وجه التحديد ، لتلك الصيغة الرهيبة للغاية من بداية المقال.

\ ((f (g (x))) "= f" (g (x)) \ cdot g "(x) \)

تقرأ هذه الصيغة على النحو التالي:

مشتق دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتق الدالة الخارجية فيما يتعلق بالدالة الداخلية الثابتة بمشتق الوظيفة الداخلية.

وانظر على الفور إلى مخطط الإعراب "بالكلمات" لفهم ما يجب الرجوع إليه:

آمل ألا تسبب المصطلحان "مشتق" و "منتج" أية صعوبات. "وظيفة معقدة" - قمنا بتحليلها بالفعل. عقبة في "مشتق دالة خارجية فيما يتعلق بالداخلي الثابت". ما هذا؟

الإجابة: هذا هو المشتق المعتاد للوظيفة الخارجية ، حيث تتغير الوظيفة الخارجية فقط ، وتبقى الوظيفة الداخلية كما هي. أليس واضحا على أي حال؟ حسنًا ، دعنا نستخدم مثالاً.

افترض أن لدينا دالة \ (y = \ sin⁡ (x ^ 3) \). من الواضح أن الوظيفة الداخلية هنا \ (x ^ 3 \) ، والدالة الخارجية
... دعونا الآن نجد مشتق الخارجي بالنسبة للداخلية الثابتة.

لو ز(x) و F(ش) هي وظائف قابلة للتفاضل في حججهم ، على التوالي ، عند النقاط xو ش= ز(x), عندئذٍ تكون الوظيفة المعقدة قابلة للاشتقاق أيضًا عند هذه النقطة xويتم إيجاده بواسطة الصيغة

الخطأ النموذجي عند حل المشكلات المشتقة هو النقل التلقائي لقواعد التفريق بين الوظائف البسيطة والوظائف المعقدة. سوف نتعلم تجنب هذا الخطأ.

مثال 2.أوجد مشتق دالة

حل خاطئ:احسب اللوغاريتم الطبيعي لكل حد بين قوسين وابحث عن مجموع المشتقات:

القرار الصحيح:مرة أخرى نحدد مكان "تفاح" وأين "لحم مفروم". هنا ، اللوغاريتم الطبيعي للتعبير بين قوسين هو "تفاحة" ، أي دالة بواسطة وسيطة وسيطة ش، والتعبير الموجود بين قوسين هو "اللحم المفروم" ، أي وسيطة وسيطة شعلى المتغير المستقل x.

ثم (باستخدام الصيغة 14 من جدول المشتقات)

في العديد من المشاكل الحقيقية ، يكون التعبير باللوغاريتم أكثر تعقيدًا إلى حد ما ، لذلك هناك درس

مثال 3.أوجد مشتق دالة

حل خاطئ:

القرار الصحيح.مرة أخرى ، نحدد أين يوجد "تفاح" وأين يوجد "لحم مفروم". هنا ، جيب تمام التعبير بين قوسين (الصيغة 7 في جدول المشتقات) هو "تفاحة" ، ويتم تحضيره في الوضع 1 ، ويؤثر عليه فقط ، والتعبير بين قوسين (مشتق القوة هو رقم 3 في جدول المشتقات) هو "لحم مفروم" ، يتم تحضيره بالنمط 2 ، والذي يؤثر عليه فقط. وكالعادة ، نربط المشتقتين بعلامة الشغل. نتيجة:

يعد اشتقاق دالة لوغاريتمية معقدة مهمة متكررة في أوراق الاختبار ، لذلك نوصي بشدة بزيارة الدرس "مشتق دالة لوغاريتمية".

كانت الأمثلة الأولى للدوال المعقدة حيث كانت الوسيطة الوسيطة للمتغير المستقل دالة بسيطة. لكن في المهام العملية ، غالبًا ما يكون مطلوبًا العثور على مشتق دالة معقدة ، حيث تكون الوسيطة الوسيطة إما وظيفة معقدة بحد ذاتها أو تحتوي على مثل هذه الوظيفة. ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ ابحث عن مشتقات هذه الدوال باستخدام جداول وقواعد التفاضل. عندما يتم العثور على مشتق الوسيطة الوسيطة ، يتم استبدالها ببساطة في المكان المناسب في الصيغة. فيما يلي مثالان على كيفية القيام بذلك.

بالإضافة إلى ذلك ، من المفيد معرفة ما يلي. إذا كان من الممكن تمثيل دالة معقدة كسلسلة من ثلاث وظائف

ثم يجب إيجاد مشتقها كمنتج لمشتقات كل من هذه الوظائف:

قد تتطلب العديد من واجباتك المنزلية فتح دروس تعليمية في نوافذ جديدة أفعال ذات قوى وجذورو إجراءات الكسر .

مثال 4.أوجد مشتق دالة

نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة ، دون أن ننسى أنه في ناتج المشتقات الناتج ، الحجة الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل xلم يتغير:

نحضر العامل الثاني للمنتج ونطبق قاعدة التفريق بين المجموع:

وبالتالي ، فإن الحد الثاني هو جذر

وهكذا ، حصلنا على أن الوسيطة الوسيطة ، وهي مجموع ، تحتوي على دالة معقدة كأحد المصطلحات: الرفع إلى قوة هو دالة معقدة ، وما يتم رفعه إلى قوة هو حجة وسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل x.

لذلك ، نطبق مرة أخرى قاعدة التفريق بين دالة معقدة:

نحول درجة العامل الأول إلى جذر ، ونفرق العامل الثاني ، ولا ننسى أن مشتق الثابت يساوي صفرًا:

الآن يمكننا إيجاد مشتق الوسيطة المطلوبة لحساب مشتق دالة معقدة مطلوبة في حالة المشكلة ذ:

مثال 5.أوجد مشتق دالة

أولاً ، دعنا نستخدم قاعدة اشتقاق المجموع:

حصل على مجموع مشتقات وظيفتين معقدتين. نجد أولهم:

هنا يعتبر رفع الجيب إلى قوة دالة معقدة ، والجيب نفسه هو وسيط فيما يتعلق بالمتغير المستقل x... لذلك ، سنستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة على طول الطريق تحليل العامل :

الآن نجد الحد الثاني من مولدات مشتقة الدالة ذ:

هنا يعتبر رفع جيب التمام إلى قوة دالة معقدة F، وجيب التمام نفسه هو وسيط فيما يتعلق بالمتغير المستقل x... دعنا نستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة مرة أخرى:

النتيجة هي المشتق المطلوب:

جدول مشتق لبعض الوظائف المعقدة

بالنسبة للدوال المعقدة ، بناءً على قاعدة تمييز دالة معقدة ، تأخذ صيغة مشتق دالة بسيطة شكلاً مختلفًا.

1. مشتق من دالة القدرة المركبة ، حيث ش x
2. مشتق من جذر التعبير
3. مشتق من الدالة الأسية
4. حالة خاصة للدالة الأسية
5. مشتق من دالة لوغاريتمية ذات قاعدة موجبة عشوائية لكن
6. مشتق دالة لوغاريتمية معقدة حيث ش- دالة الوسيطة التفاضلية x
7. مشتق من الجيب
8. مشتق من جيب التمام
9. مشتق من الظل
10. مشتق ظل التمام
11. مشتق من القوسين
12. مشتق من arccosine
13. مشتق من قوس ظل
14. مشتق من قوس ظل التمام