trang chủ > Rèm cửa > Vectơ là gì? Các vectơ cho kỳ thi thống nhất môn toán. Hành động trên vectơ. Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian


Vectơ là gì? Các vectơ cho kỳ thi thống nhất môn toán. Hành động trên vectơ. Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian




Vectơ là một đoạn có hướng của một đường thẳng trong không gian Euclide, một đầu của nó (điểm A) được gọi là điểm bắt đầu của vectơ và đầu kia (điểm B) là điểm cuối của vectơ (Hình 1). Các vectơ được chỉ định:

Nếu phần đầu và phần cuối của vectơ trùng nhau thì vectơ đó được gọi là vectơ không và được chỉ định 0 .

Ví dụ. Cho phần đầu của vectơ trong không gian hai chiều có tọa độ MỘT(12.6) và phần cuối của vectơ là tọa độ B(12.6). Khi đó vectơ là vectơ 0.

Chiều dài phần AB gọi điện mô-đun (chiều dài, chuẩn mực) vectơ và được ký hiệu là | Một|. Một vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là đơn vị véc tơ. Ngoài mô-đun, vectơ còn được đặc trưng bởi hướng: vectơ có hướng từ MỘTĐẾN B. Một vectơ được gọi là vectơ, đối diện vectơ.

Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Trong hình. 3 vectơ màu đỏ thẳng hàng vì chúng nằm trên cùng một đường thẳng và các vectơ màu xanh thẳng hàng vì chúng nằm trên những đường thẳng song song. Hai vectơ thẳng hàng được gọi là định hướng như nhau, nếu điểm cuối của chúng nằm trên cùng một phía của đường thẳng nối điểm đầu của chúng. Hai vectơ thẳng hàng được gọi là hướng ngược lại, nếu điểm cuối của chúng nằm đối diện với đường thẳng nối điểm đầu của chúng. Nếu hai vectơ thẳng hàng cùng nằm trên một đường thẳng thì chúng được gọi là cùng hướng nếu một trong các tia tạo bởi vectơ này chứa toàn bộ tia tạo bởi vectơ kia. Ngược lại, các vectơ được cho là có hướng ngược nhau. Trong Hình 3, các vectơ màu xanh có hướng bằng nhau và các vectơ màu đỏ có hướng ngược nhau.

Hai vectơ đó được gọi là bình đẳng nếu chúng có mô-đun bằng nhau và cùng hướng. Trong Hình 2, các vectơ bằng nhau vì mô-đun của chúng bằng nhau và có cùng hướng.

Các vectơ được gọi là đồng phẳng, nếu chúng nằm trên cùng một mặt phẳng hoặc trong các mặt phẳng song song.

TRONG N Trong không gian vectơ thứ nguyên, xét tập hợp tất cả các vectơ có điểm bắt đầu trùng với gốc tọa độ. Khi đó vectơ có thể được viết dưới dạng sau:

(1)

Ở đâu x 1 , x 2 , ..., xn tọa độ điểm cuối vector x.

Một vectơ viết dưới dạng (1) được gọi là vectơ hàng, và vectơ được viết dưới dạng

(2)

gọi điện vectơ cột.

Con số N gọi điện kích thước (theo thứ tự) vectơ. Nếu như thì vectơ được gọi là vectơ không(kể từ điểm bắt đầu của vectơ ). Hai vectơ x Và y bằng nhau khi và chỉ khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.

Một khái niệm như vectơ được xem xét trong hầu hết các ngành khoa học tự nhiên và nó có thể có những ý nghĩa hoàn toàn khác nhau, vì vậy không thể đưa ra một định nghĩa rõ ràng về vectơ cho tất cả các lĩnh vực. Nhưng chúng ta hãy cố gắng tìm ra nó. Vậy vectơ là gì?

Khái niệm vectơ trong hình học cổ điển

Vectơ trong hình học là một đoạn mà nó cho biết điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối. Nghĩa là, nói một cách đơn giản, một đoạn có hướng được gọi là một vectơ.

Theo đó, một vectơ được biểu thị (nó là gì - đã thảo luận ở trên), cũng như một đoạn, nghĩa là bằng hai chữ cái viết hoa của bảng chữ cái Latinh có thêm một dòng hoặc một mũi tên chỉ về bên phải ở trên cùng. Nó cũng có thể được ký bằng một chữ cái viết thường (nhỏ) của bảng chữ cái Latinh bằng một dòng hoặc mũi tên. Mũi tên luôn hướng về bên phải và không thay đổi tùy theo vị trí của vectơ.

Do đó, một vectơ có hướng và độ dài.

Ký hiệu của một vectơ cũng chứa hướng của nó. Điều này được thể hiện như trong hình dưới đây.

Thay đổi hướng sẽ đảo ngược giá trị của vectơ.

Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn mà từ đó nó được hình thành. Nó được ký hiệu là mô đun của một vectơ. Điều này được thể hiện trong hình dưới đây.

Theo đó, một vectơ có độ dài bằng 0 thì bằng 0. Từ đó, vectơ 0 là một điểm và điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau.

Độ dài của vectơ luôn là đại lượng không âm. Nói cách khác, nếu có một đoạn thì nhất thiết nó phải có độ dài nhất định hoặc là một điểm thì độ dài của nó bằng 0.

Khái niệm về một điểm là cơ bản và không có định nghĩa.

Phép cộng vectơ

Có những công thức và quy tắc đặc biệt cho vectơ có thể được sử dụng để thực hiện phép cộng.

Quy tắc tam giác. Để thêm vectơ theo quy tắc này, chỉ cần kết hợp phần cuối của vectơ thứ nhất và phần đầu của vectơ thứ hai, sử dụng phép dịch song song và kết nối chúng. Vectơ thứ ba thu được sẽ bằng phép cộng của hai vectơ còn lại.

Quy tắc hình bình hành. Để thêm bằng quy tắc này, bạn cần vẽ cả hai vectơ từ một điểm, sau đó vẽ một vectơ khác từ cuối mỗi vectơ. Nghĩa là, vectơ thứ hai sẽ được rút ra từ vectơ đầu tiên và vectơ thứ nhất từ ​​vectơ thứ hai. Kết quả là một giao điểm mới và hình bình hành được hình thành. Nếu bạn kết hợp giao điểm của điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ thu được sẽ là kết quả của phép cộng.

Phép trừ có thể được thực hiện theo cách tương tự.

sự khác biệt vectơ

Tương tự như việc cộng các vectơ, cũng có thể trừ chúng. Nó dựa trên nguyên tắc thể hiện trong hình dưới đây.

Nghĩa là, chỉ cần biểu diễn vectơ bị trừ dưới dạng vectơ đối diện với nó là đủ và thực hiện phép tính bằng nguyên tắc cộng.

Ngoài ra, hoàn toàn bất kỳ vectơ nào khác 0 đều có thể được nhân với bất kỳ số k nào, điều này sẽ thay đổi độ dài của nó thêm k lần.

Ngoài những công thức này, còn có các công thức vectơ khác (ví dụ: để biểu thị độ dài của vectơ thông qua tọa độ của nó).

Vị trí vectơ

Chắc chắn nhiều người đã từng gặp một khái niệm như vectơ cộng tuyến. cộng tuyến là gì?

Sự cộng tuyến của các vectơ tương đương với sự song song của các đường thẳng. Nếu hai vectơ nằm trên các đường thẳng song song với nhau hoặc trên cùng một đường thẳng thì các vectơ đó được gọi là thẳng hàng.

Phương hướng. Đối với nhau, các vectơ cộng tuyến có thể cùng hướng hoặc ngược hướng, điều này được xác định bởi hướng của các vectơ. Theo đó, nếu một vectơ cùng hướng với một vectơ khác thì vectơ đối diện với nó có hướng ngược nhau.

Hình đầu tiên cho thấy hai vectơ có hướng ngược nhau và vectơ thứ ba không thẳng hàng với chúng.

Sau khi giới thiệu các thuộc tính trên, có thể xác định các vectơ bằng nhau - đây là các vectơ hướng theo một hướng và có cùng độ dài các đoạn mà từ đó chúng được hình thành.

Trong nhiều ngành khoa học, khái niệm vectơ bán kính cũng được sử dụng. Một vectơ như vậy mô tả vị trí của một điểm trên mặt phẳng so với một điểm cố định khác (thường đây là gốc tọa độ).

Vector trong vật lý

Giả sử khi giải một bài toán có một điều kiện: vật chuyển động với vận tốc 3 m/s. Điều này có nghĩa là vật chuyển động theo một hướng cụ thể dọc theo một đường thẳng, do đó biến này sẽ là đại lượng vectơ. Để giải, điều quan trọng là phải biết cả giá trị và hướng, vì tùy theo cách xem xét, tốc độ có thể là 3 m/s hoặc -3 m/s.

Nói chung, vectơ trong vật lý được sử dụng để chỉ hướng của lực tác dụng lên vật thể và để xác định hợp lực.

Khi các lực này được biểu thị trong hình, chúng được biểu thị bằng các mũi tên có nhãn vectơ phía trên nó. Về mặt cổ điển, độ dài của mũi tên cũng quan trọng không kém; nó được dùng để chỉ ra lực nào mạnh hơn, nhưng đây chỉ là đặc tính phụ và không nên dựa vào.

Vector trong đại số tuyến tính và phép tính

Các phần tử của không gian tuyến tính còn được gọi là vectơ, nhưng trong trường hợp này chúng biểu diễn một hệ thống số có thứ tự mô tả một số phần tử. Vì vậy, hướng đi trong trường hợp này không còn quan trọng nữa. Định nghĩa của vectơ trong hình học cổ điển và trong giải tích rất khác nhau.

Chiếu vectơ

Vectơ dự kiến ​​- nó là gì?

Thông thường, để tính toán chính xác và thuận tiện, cần phải mở rộng một vectơ nằm trong không gian hai chiều hoặc ba chiều dọc theo các trục tọa độ. Hoạt động này là cần thiết, ví dụ, trong cơ học khi tính toán các lực tác dụng lên vật thể. Một vectơ được sử dụng khá thường xuyên trong vật lý.

Để thực hiện phép chiếu, chỉ cần hạ các đường vuông góc từ đầu và cuối của vectơ xuống từng trục tọa độ là đủ; các đoạn thu được trên chúng sẽ được gọi là hình chiếu của vectơ lên ​​trục.

Để tính độ dài của hình chiếu, chỉ cần nhân chiều dài ban đầu của nó với một hàm lượng giác nhất định, có được bằng cách giải một bài toán nhỏ. Về cơ bản, có một tam giác vuông trong đó cạnh huyền là vectơ ban đầu, một chân là hình chiếu, còn chân kia là đường vuông góc thả rơi.

Cuối cùng, tôi đã có được chủ đề rộng lớn và được chờ đợi từ lâu này. hình học giải tích. Đầu tiên, nói một chút về phần toán cao cấp này... Chắc hẳn bây giờ bạn còn nhớ một khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Che giấu điều gì, một chủ đề không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một bộ phận đáng kể học sinh. Kỳ lạ thay, hình học giải tích lại có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ “phân tích” có nghĩa là gì? Hai cụm từ toán học sáo rỗng ngay lập tức xuất hiện trong đầu bạn: “phương pháp giải đồ họa” và “phương pháp giải phân tích”. Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng đồ thị và hình vẽ. Phân tích hoặc phương pháp liên quan đến việc giải quyết các vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về vấn đề này, thuật toán giải hầu hết các bài toán của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch, thường chỉ cần áp dụng cẩn thận các công thức cần thiết là đủ - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, chúng ta sẽ không thể làm được điều này nếu không có bản vẽ, và ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng trích dẫn chúng nếu không cần thiết.

Khóa học mới mở về hình học không có vẻ hoàn chỉnh về mặt lý thuyết mà tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Theo quan điểm của tôi, tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần trợ giúp đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu khá dễ tiếp cận sau:

1) Một điều mà không đùa được, nhiều thế hệ đã quen thuộc: Sách giáo khoa hình học phổ thông, tác giả - L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo phòng thay đồ của trường này đã trải qua 20 lần tái bản (!), Tất nhiên, đó không phải là giới hạn.

2) Hình học trong 2 tập. tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho cấp trung học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Những nhiệm vụ hiếm gặp có thể lọt khỏi tầm mắt của tôi và phần hướng dẫn sẽ mang lại sự trợ giúp vô giá.

Cả hai cuốn sách đều có thể được tải xuống miễn phí trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải các ví dụ về toán cao cấp.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa đề xuất sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm trong hình học giải tích, điều này sẽ đơn giản hóa cuộc sống rất nhiều và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả sử rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình khối, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pythagore, xin chào những người lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét tuần tự: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Tôi khuyên bạn nên đọc thêm bài viết quan trọng nhất Tích vô hướng của vectơ, và cũng Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Một nhiệm vụ cục bộ - Phân chia một phân khúc về mặt này - cũng sẽ không thừa. Dựa vào những thông tin trên, bạn có thể nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Với ví dụ đơn giản nhất về giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải các bài toán hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình mặt phẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. Vectơ miễn phí

Đầu tiên, hãy lặp lại định nghĩa trường học của một vectơ. Vectơ gọi điện Chỉ đạo một đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được chỉ định:

Trong trường hợp này, phần đầu của đoạn là điểm, phần cuối của đoạn là điểm. Bản thân vectơ được ký hiệu là . Phương hướng là điều cần thiết, nếu bạn di chuyển mũi tên đến đầu kia của đoạn thẳng, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vectơ hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của cơ thể vật lý: bạn phải đồng ý, việc bước vào cửa viện hay rời khỏi cửa viện là những chuyện hoàn toàn khác nhau.

Thật thuận tiện khi xem xét các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng hoặc không gian như được gọi là vectơ không. Đối với một vectơ như vậy, điểm cuối và điểm đầu trùng nhau.

!!! Ghi chú: Ở đây và xa hơn nữa, bạn có thể giả sử rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức nhận thấy cây gậy không có mũi tên trên nhãn và nói rằng cũng có một mũi tên ở trên cùng! Đúng, bạn có thể viết nó bằng mũi tên: , nhưng cũng có thể mục mà tôi sẽ sử dụng trong tương lai. Tại sao? Rõ ràng, thói quen này phát triển vì những lý do thực tế; những tay súng của tôi ở trường phổ thông và đại học hóa ra có kích thước quá khác biệt và bờm xờm. Trong văn học giáo dục, đôi khi họ không hề bận tâm đến việc viết chữ hình nêm mà đánh dấu các chữ in đậm: , qua đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh in hoa:
và như thế. Trong trường hợp này, chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng chữ Latinh thường:
Đặc biệt, vectơ của chúng ta có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Chiều dài hoặc mô-đun một vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu mô đun: ,

Chúng ta sẽ học cách tìm độ dài của vectơ (hoặc chúng ta sẽ lặp lại nó, tùy thuộc vào ai) sau đó một chút.

Đây là thông tin cơ bản về vectơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vectơ miễn phí.

Nói một cách đơn giản - vectơ có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta quen gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra dưới đây), nhưng theo quan điểm toán học thuần túy, chúng là CÙNG VECTOR hoặc vectơ miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải toán, bạn có thể “gắn” vectơ này hoặc vectơ kia vào BẤT KỲ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tính năng rất thú vị! Hãy tưởng tượng một vectơ có độ dài và hướng tùy ý - nó có thể được “nhân bản” vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một sinh viên nói rằng: Mọi giảng viên đều quan tâm đến vectơ. Rốt cuộc, nó không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều đúng về mặt toán học - vectơ cũng có thể được gắn vào đó. Nhưng đừng vội vui mừng, người khổ nhất chính là học sinh =))

Vì thế, vectơ miễn phí- Cái này một loạt các phân đoạn có hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường phái về vectơ, được đưa ra ở đầu đoạn văn: “Một đoạn có hướng được gọi là vectơ…” ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng được lấy từ một tập hợp nhất định, được gắn với một điểm cụ thể trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng từ quan điểm vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác và quan điểm ứng dụng của vectơ là quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc trán, đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi, sẽ gây ra những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không có tự do vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Hành động với vectơ. Sự cộng tuyến của các vectơ

Một khóa học hình học phổ thông bao gồm một số hành động và quy tắc với vectơ: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc sai phân vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v.Để bắt đầu, chúng ta hãy nhắc lại hai quy tắc đặc biệt phù hợp để giải các bài toán hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ bằng quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Bạn cần tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do nên chúng ta sẽ loại vectơ khỏi kết thúc vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy luật, nên đặt ý nghĩa vật lý vào đó: để một vật nào đó chuyển động dọc theo vectơ , rồi dọc theo vectơ . Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường đi kết quả có điểm đầu là điểm khởi hành và điểm cuối là điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như người ta nói, cơ thể có thể di chuyển rất nghiêng theo đường ngoằn ngoèo, hoặc có thể ở chế độ lái tự động - dọc theo vectơ kết quả của tổng.

Nhân tiện, nếu vectơ bị trễ từ đã bắt đầu vector, sau đó chúng ta nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.

Đầu tiên, về sự cộng tuyến của các vectơ. Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng liên quan đến họ, tính từ “cộng tuyến” luôn được sử dụng.

Cho hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này cùng hướng thì các vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn. Nếu các mũi tên hướng khác nhau thì các vectơ sẽ là hướng ngược nhau.

Chỉ định: tính cộng tuyến của các vectơ được viết bằng ký hiệu song song thông thường: , trong khi có thể chi tiết hóa: (các vectơ có hướng ngược nhau) hoặc (các vectơ có hướng ngược nhau).

Công việc một vectơ khác 0 của một số là một vectơ có độ dài bằng , và các vectơ cùng hướng và hướng ngược nhau tại .

Quy tắc nhân vectơ với một số sẽ dễ hiểu hơn khi sử dụng hình ảnh:

Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn:

1 hướng. Nếu số nhân âm thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu số nhân nằm trong hoặc , thì độ dài của vectơ giảm. Vậy độ dài của vectơ bằng một nửa độ dài của vectơ. Nếu mô đun của số nhân lớn hơn 1 thì độ dài của vectơ tăngđúng giờ.

3) Xin lưu ý rằng mọi vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu thị thông qua một vectơ khác, ví dụ: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn thông qua một vectơ khác thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ thẳng hàng(so với bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ cùng hướng. Các vectơ và cũng được đồng đạo diễn. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đều có hướng ngược chiều với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng tính đồng hướng hàm ý tính cộng tuyến của các vectơ. Định nghĩa sẽ không chính xác (dư thừa) nếu chúng ta nói: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có cùng độ dài”.

Từ quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, như đã thảo luận trong đoạn trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy mô tả một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và vẽ nó từ gốc tọa độ đơn vectơ và:

Vectơ và trực giao. Trực giao = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên làm quen dần với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng sự cộng tác Và tính trực giao.

Chỉ định: Tính trực giao của vectơ được viết bằng ký hiệu vuông góc thông thường, ví dụ: .

Các vectơ đang xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này hình thành nền tảng trên bề mặt. Tôi nghĩ cơ sở là gì thì nhiều người đã rõ ràng về trực giác; thông tin chi tiết hơn có thể tìm thấy trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và nguồn gốc của tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng tạo nên đời sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là trực giao cơ sở của mặt phẳng: “ortho” - vì các vectơ tọa độ là trực giao nên tính từ “chuẩn hóa” có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, trong đó theo trình tự chặt chẽ các vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ: . Các vectơ tọa độ nó bị cấm sắp xếp lại.

Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như sau:
, Ở đâu - con sốđược gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Và bản thân sự biểu hiện gọi điện phân rã véc tơtheo cơ sở .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: . Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân tách một vectơ thành một cơ sở, những vectơ vừa thảo luận sẽ được sử dụng:
1) quy tắc nhân vectơ với một số: và ;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác: .

Bây giờ hãy tưởng tượng vectơ từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự suy tàn của anh ta sẽ “theo anh ta không ngừng nghỉ”. Đây rồi, sự tự do của vectơ - vectơ “mang theo mọi thứ bên mình”. Tất nhiên, tính chất này đúng với mọi vectơ. Thật buồn cười là bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải được vẽ từ gốc; một cái có thể được vẽ, ví dụ, ở dưới cùng bên trái và cái kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và ghi điểm “tín dụng” cho bạn ở một nơi không ngờ tới.

Các vectơ minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ có hướng ngược với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0; bạn có thể viết nó một cách tỉ mỉ như thế này:


Và nhân tiện, các vectơ cơ sở giống như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ vectơ là gì và tại sao tôi không nói về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi đã lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Do đó, việc khai triển các vectơ “de” và “e” có thể dễ dàng viết dưới dạng tổng: , . Sắp xếp lại các số hạng và xem trong hình vẽ cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động tốt như thế nào trong những tình huống này.

Việc phân hủy được coi là của biểu mẫu đôi khi được gọi là phân rã vector trong hệ thống ort(tức là trong một hệ vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết vectơ; tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Nghĩa là tọa độ của vectơ được biểu thị trong ngoặc đơn. Trong các bài toán thực tế, cả ba phương án ký hiệu đều được sử dụng.

Tôi phân vân không biết có nên nói không, nhưng tôi vẫn nói: tọa độ vector không thể được sắp xếp lại. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đúng ở vị trí thứ hai ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy xem các vectơ trong không gian ba chiều, hầu hết mọi thứ ở đây đều giống nhau! Nó sẽ chỉ thêm một tọa độ nữa. Thật khó để tạo các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một vectơ, để đơn giản, tôi sẽ tách khỏi gốc:

Bất kì vectơ không gian 3D cách duy nhất khai triển trên cơ sở trực chuẩn:
, tọa độ của vectơ (số) trong cơ sở này ở đâu.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc vectơ hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh) và (mũi tên quả mâm xôi). Thứ hai, đây là ví dụ về việc cộng một số vectơ, trong trường hợp này là ba vectơ: . Vectơ tổng bắt đầu tại điểm khởi hành ban đầu (điểm bắt đầu của vectơ) và kết thúc tại điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).

Tất cả các vectơ của không gian ba chiều, một cách tự nhiên, cũng tự do; hãy cố gắng gạt vectơ ra khỏi bất kỳ điểm nào khác trong đầu, và bạn sẽ hiểu rằng sự phân rã của nó “sẽ vẫn ở lại với nó”.

Tương tự như trường hợp phẳng, ngoài chức năng viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: .

Nếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ bị thiếu trong khai triển thì các số 0 sẽ được đặt vào vị trí của chúng. Ví dụ:
vectơ (một cách tỉ mỉ ) - cùng viết nào ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) - cùng viết nào ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) - cùng viết nào .

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Có lẽ đây là tất cả những kiến ​​thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán hình học giải tích. Có thể có rất nhiều thuật ngữ và định nghĩa nên tôi khuyên các ấm trà nên đọc lại và hiểu kỹ lại những thông tin này. Và sẽ rất hữu ích cho bất kỳ độc giả nào thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để tiếp thu tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực giao, phân rã vectơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong tương lai. Tôi lưu ý rằng tài liệu trên trang web không đủ để vượt qua bài kiểm tra lý thuyết hoặc hội thảo về hình học, vì tôi mã hóa cẩn thận tất cả các định lý (và không có bằng chứng) - gây bất lợi cho phong cách trình bày khoa học, nhưng là một điểm cộng cho sự hiểu biết của bạn về chủ đề. Để nhận được thông tin lý thuyết chi tiết, xin vui lòng cúi chào Giáo sư Atanasyan.

Và chúng ta chuyển sang phần thực hành:

Những bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Hành động với vectơ trong tọa độ

Rất nên học cách giải quyết các nhiệm vụ sẽ được coi là hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, bạn thậm chí không cần phải cố ý nhớ nó, họ sẽ tự nhớ nó =) Điều này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên những ví dụ cơ bản đơn giản nhất và sẽ rất khó chịu khi dành thêm thời gian để ăn những con tốt . Không cần phải cài cúc trên cùng của áo sơ mi, nhiều thứ bạn đã quen thuộc từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ tuân theo một tiến trình song song - cả về mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức... bạn sẽ tự mình thấy.

Làm thế nào để tìm một vectơ từ hai điểm?

Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau:

Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:

Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.

Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.

ví dụ 1

Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ

Giải pháp: theo công thức tương ứng:

Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:

Thẩm mỹ sẽ quyết định điều này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.

Trả lời:

Theo điều kiện thì không nhất thiết phải xây dựng một bản vẽ (điển hình cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho người giả, tôi sẽ không lười biếng:

Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ mọi người đều biết cách vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.

Tọa độ của vectơ– đây là sự khai triển của nó theo cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí, vì vậy nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn không cần phải xây dựng trục hoặc hệ tọa độ hình chữ nhật; bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.

Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm được cho Và . Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ .

Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ để bạn tự quyết định, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ mang lại kết quả ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))

Làm thế nào để tìm thấy độ dài của một đoạn?

Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.

Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu đổi chỗ tọa độ tương ứng: và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Giải pháp: theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ

Đoạn đường - đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.

Đúng, giải pháp rất ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng hơn mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimét, mét hoặc kilômét. Do đó, giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức chung: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, chúng ta hãy nhắc lại tài liệu học tập, tài liệu này không chỉ hữu ích cho nhiệm vụ đang xem xét:

chú ý đến kỹ thuật quan trọng – loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Chi tiết hơn, quá trình này trông như thế này: . Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận nặng nề cho việc ngụy biện từ phía giáo viên.

Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác:

Thường thì gốc cho ra số lượng khá lớn, ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: . Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.

Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số đó khỏi gốc - bằng máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.

Khi giải các bài toán khác nhau, thường gặp phải gốc rễ, hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm kém và những vấn đề không cần thiết khi hoàn thiện lời giải dựa trên nhận xét của giáo viên.

Chúng ta cũng hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác:

Các quy tắc hoạt động với lũy thừa ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa đại số ở trường, nhưng tôi nghĩ từ các ví dụ đã cho, mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn đó.

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức .

Phần này rất dễ sử dụng. Chỉ cần nhập từ mong muốn vào trường được cung cấp và chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn danh sách nghĩa của nó. Tôi muốn lưu ý rằng trang web của chúng tôi cung cấp dữ liệu từ nhiều nguồn khác nhau - từ điển bách khoa, giải thích, hình thành từ. Tại đây bạn cũng có thể xem ví dụ về cách sử dụng từ bạn đã nhập.

Ý nghĩa của từ vectơ

vector trong từ điển ô chữ

Từ điển thuật ngữ y khoa

Từ điển giải thích của tiếng Nga. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.

vectơ

A, m.(đặc biệt). Một đại lượng toán học được biểu diễn bằng một đoạn thẳng, được đặc trưng bởi giá trị số và hướng của nó.

tính từ. vectơ, -aya, -oe. Phép tính véc tơ (môn toán).

Từ điển giải thích mới về tiếng Nga, T. F. Efremova.

vectơ

m) Đoạn thẳng được đặc trưng bởi một giá trị số và một hướng nhất định.

Từ điển bách khoa, 1998

vectơ

VECTOR (từ vectơ Latin - sóng mang) một đoạn có độ dài và hướng nhất định. Thông thường vectơ được ký hiệu bằng chữ a hoặc (chữ cái đầu tiên là đầu, chữ thứ hai là cuối đoạn); giá trị tuyệt đối (độ dài) của vectơ được viết |a| hoặc. Hai vectơ chỉ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng (nghĩa là chúng song song và có hướng bằng nhau). Với sự thay đổi hướng, dấu của vectơ thay đổi. Các vectơ mô tả cái gọi là. các đại lượng vectơ: lực, tốc độ, gia tốc, v.v. Các hành động trên một vectơ được nghiên cứu trong phép tính vectơ.

vectơ

VECTOR trong di truyền phân tử là một phân tử DNA tự sao chép có khả năng kết hợp DNA (gen) ngoại lai và chuyển nó vào các tế bào có đặc tính di truyền mong muốn được thay đổi. Thông thường, một vectơ được tạo ra dựa trên DNA của plasmid và vi rút (bao gồm cả vi khuẩn). Vector được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật di truyền để nhân giống (nhân bản) các gen được đưa vào hoặc để thu được các sản phẩm protein được mã hóa bởi các gen này.

Vectơ

(từ vectơ Latin, nghĩa đen là ≈ chuyên chở, vận chuyển), theo nghĩa hình học ≈ một đoạn có hướng, tức là một đoạn có phần đầu (còn gọi là điểm ứng dụng V.) và phần cuối. Để chỉ định V., người ta sử dụng chữ Latin đậm a , b , hoặc các chữ cái trong bảng chữ cái thông thường có dấu gạch ngang hoặc mũi tên ở trên cùng:

V., bắt đầu tại điểm A và kết thúc tại điểm B, được chỉ định. Đường thẳng chứa chữ V được gọi là đường tác dụng của chữ V này.

Khái niệm vận tốc nảy sinh liên quan đến việc nghiên cứu các đại lượng được đặc trưng bởi giá trị số và hướng (ví dụ: độ dịch chuyển, tốc độ và gia tốc của một điểm vật chất chuyển động, lực tác dụng lên nó, v.v.). Trong cơ học và vật lý, các vectơ tự do, trượt và ràng buộc được xem xét, một vectơ được gọi là tự do nếu giá trị của nó không thay đổi khi dịch song song tùy ý. Ví dụ, vận tốc tự do là tốc độ chuyển động của một điểm vật chất. Một sóng được gọi là trượt nếu giá trị của nó không thay đổi theo bất kỳ sự dịch chuyển song song nào dọc theo đường tác dụng của nó. Một ví dụ về lực trượt là lực tác dụng lên một vật rắn tuyệt đối (hai lực bằng nhau nằm trên cùng một đường thẳng đều tác dụng như nhau lên một vật rắn tuyệt đối). Một sóng được gọi là kết nối nếu điểm bắt đầu của nó là cố định. Ví dụ, một lực tác dụng lên một điểm nhất định của vật đàn hồi biểu thị một sóng liên kết.Các tính chất của sóng tự do được nghiên cứu bằng đại số vectơ (xem phép tính vectơ). Khái niệm chung về vectơ như một phần tử của không gian vectơ được định nghĩa một cách tiên đề.

Lít.: Ilyin V. A., Poznyak E. G., Hình học phân tích, M., 1968.

E. G. Poznyak.

Wikipedia

Vectơ

Vectơ .

Vectơ (toán học)

Vectơ- trong trường hợp đơn giản nhất, một đối tượng toán học được đặc trưng bởi độ lớn và hướng. Ví dụ, trong hình học và khoa học tự nhiên, vectơ là một đoạn thẳng có hướng trong không gian Euclide.

Ví dụ: vectơ bán kính, tốc độ, mô men lực. Nếu một hệ tọa độ được cho trong không gian thì vectơ được xác định duy nhất bởi một tập hợp tọa độ của nó. Vì vậy, trong toán học, khoa học máy tính và các ngành khoa học khác, một tập hợp số có thứ tự thường được gọi là vectơ. Theo nghĩa tổng quát hơn, vectơ trong toán học được coi là một phần tử của một không gian vectơ nào đó.

Đây là một trong những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính. Khi sử dụng định nghĩa tổng quát nhất, hầu hết các đối tượng nghiên cứu trong đại số tuyến tính, kể cả ma trận và tensor, đều là vectơ; tuy nhiên, nếu các đối tượng này có mặt trong bối cảnh xung quanh thì vectơ được hiểu tương ứng là vectơ hàng hoặc vectơ cột. , một tenxơ hạng nhất. Tính chất của các phép toán trên vectơ được nghiên cứu trong phép tính vectơ.

Vectơ (hình học)

vectơ- một đoạn đường có hướng, nghĩa là một đoạn được chỉ định điểm nào trong ranh giới của nó là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối.

Vector bắt đầu từ một điểm MỘT và kết thúc tại một điểm B thường được ký hiệu là $\overrightarrow(AB)$. Ví dụ, các vectơ cũng có thể được biểu thị bằng các chữ cái nhỏ có mũi tên phía trên chúng một⃗. Một cách viết phổ biến khác là làm nổi bật biểu tượng vector bằng chữ in đậm: Một.

Một vectơ trong hình học được liên kết một cách tự nhiên với phép dịch (dịch song song), điều này rõ ràng làm rõ nguồn gốc tên của nó (, vận chuyển). Thật vậy, mỗi đoạn có hướng xác định duy nhất một số phép tịnh tiến song song của mặt phẳng hoặc không gian: giả sử, vectơ $\overrightarrow(AB)$ xác định một cách tự nhiên phép tịnh tiến tại đó điểm MỘT sẽ đi đến điểm B, cũng ngược lại, truyền song song, trong đó MỘTđi vào B, xác định một đoạn có hướng $\overrightarrow(AB)$ (đoạn duy nhất - nếu chúng ta coi tất cả các đoạn có hướng có cùng hướng và độ dài là bằng nhau - nghĩa là coi chúng là các vectơ tự do; thật vậy, với bản dịch song song, tất cả các điểm được dịch chuyển theo cùng một hướng với cùng một khoảng cách, do đó, theo cách hiểu này $\overrightarrow(A_1B_1) = \overrightarrow(A_2B_2) = \overrightarrow(A_3B_3) =\dots$).

Việc giải thích vectơ là một phép truyền cho phép chúng ta giới thiệu thao tác cộng vectơ theo cách tự nhiên và rõ ràng bằng trực giác - như một thành phần của các phép truyền; điều tương tự cũng áp dụng cho phép nhân một vectơ với một số.

Vector (sinh học phân tử)

Vectơ (trong di truyền học) là một phân tử axit nucleic, thường là DNA, được sử dụng trong kỹ thuật di truyền để chuyển vật liệu di truyền sang tế bào khác.

Các vectơ hiện có:

  • phasmid
  • vectơ dựa trên virus SV40
  • vectơ dựa trên adenovirus
  • vectơ dựa trên virus herpes
  • vectơ dựa trên retrovirus
  • vectơ virus liên quan đến adeno

Vector (nhà máy)

Công ty cổ phần "Xí nghiệp sản xuất Ural" Vector "- một doanh nghiệp quân sự chuyên sản xuất thiết bị thông tin liên lạc, hàng tiêu dùng và các mục đích công nghiệp và kỹ thuật. Nằm ở Yekaterinburg. Đây là một phần trong mối quan tâm phòng không của Almaz-Antey.

Được tổ chức vào năm 1941 trên cơ sở nhà máy Trắc địa Moscow sơ tán đến Sverdlovsk.

Lúc đầu nó được gọi là Nhà máy số 356, năm 1966-1992 - Nhà máy Điện tự động Sverdlovsk.

Năm 2002, doanh nghiệp đơn nhất nhà nước liên bang Vector, theo Nghị định của Tổng thống Liên bang Nga và quyết định của Bộ Quản lý tài sản nhà nước vùng Sverdlovsk, đã được chuyển đổi thành Vector doanh nghiệp sản xuất Ural OJSC, 100% cổ phần trong đó vẫn thuộc sở hữu nhà nước.

“Vector” trong 15 năm là nhà độc quyền sản xuất nhạc cụ điện gia dụng và thiết bị khuếch đại âm thanh. 1.

Doanh nghiệp được tặng Huân chương Cờ đỏ Lao động năm 1966 vì đã hoàn thành tốt nhiệm vụ kế hoạch 7 năm.

Vector (trung tâm nghiên cứu)

SSC VB "Vector"- một trong những trung tâm khoa học về virus và công nghệ sinh học lớn nhất ở Nga, nằm ở thành phố khoa học Koltsovo, vùng Novosibirsk, cách Novosibirsk vài km. Doanh nghiệp hình thành thành phố nơi xuất hiện Thành phố Khoa học hiện tại. Koltsovo.

Tên đầy đủ của trung tâm là Viện Khoa học Ngân sách Liên bang “Trung tâm Khoa học Nhà nước về Virus học và Công nghệ sinh học” Vector “” của Cơ quan Giám sát Liên bang về Bảo vệ Quyền lợi Người tiêu dùng và Phúc lợi Con người.

Sứ mệnh của Trung tâm được tuyên bố là “ hỗ trợ khoa học và thực tế để chống lại các mối đe dọa truyền nhiễm toàn cầu" Trung tâm Khoa học Nhà nước về Virus và Công nghệ sinh học "Vector" tiến hành nghiên cứu cơ bản trong lĩnh vực dịch tễ học, sinh học phân tử, virus học, vi khuẩn học, kỹ thuật di truyền, công nghệ sinh học, sinh thái và an toàn sinh học.

Trung tâm bao gồm một chi nhánh - Viện Công nghệ sinh học y tế, đặt tại Berdsk.

Ví dụ về việc sử dụng từ vector trong văn học.

Tất cả các dân tộc đều có ý thức sinh học về sự đầy đủ của khu vực, điều này thể hiện ở mỗi cá nhân của dân tộc, và do đó chúng ta có thể nói về giới tính sinh học của dân tộc, và do đó về vectơ của lĩnh vực này - tương ứng ở mỗi cá nhân.

Tất nhiên, tôi thừa nhận khả năng xảy ra một sự thay đổi vectơ Sibur đang yêu, nhưng thật không may, điều này sẽ không xảy ra vào lần sau.

Nhưng - chỉ với điều kiện đường trượt nằm ở tâm, nghĩa là mặt phẳng đang chuyển động dọc theo cạnh huyền, và tất cả các định luật cộng vectơ hành động.

Cái gì vectơ Hàm của số nguyên tố sẽ là hàm cá nhân hóa của trường số phức, các giá trị của nó sẽ là dạng bất biến, bất biến, tham chiếu, tích, chia, lũy thừa của số phức, phần tư, logic của nó là bất biến của các hành động tương tự đối với số phức, cũng như khả năng xảy ra các hành động với số phức, một phương thức có đối tượng là lượng tử, khái niệm về nó là điều kiện để dòng một phần tư bằng 0.

Trước đây, nhục đậu khấu được dùng cho những phụ nữ mắc chứng cuồng loạn và các xét nghiệm đã xác nhận một cách đáng ngạc nhiên. vectơ hành động của phương thuốc này.

Bạn thấy đấy, theo tính toán của tôi thì vị trí của sợi dây này trong không gian tại mỗi thời điểm là vectơ, thẳng hàng với tiếp tuyến với đường cong chuyển động của khối tâm tôi dọc hành lang phòng 1B.

Tôi đang rơi tự do hay tôi đang bị buộc phải leo lên độ cao - nơi tôi thực sự được hướng dẫn? vectơ hoạt động chuyển đổi của tôi?

Bộ não của Libby gần như tự động bắt đầu làm việc với vấn đề cực kỳ phức tạp về mối quan hệ giữa gia tốc, khoảng thời gian, vectơ sự di chuyển.

Điều này có nghĩa là sau khi xác định tọa độ địa lý của đá đang nghiên cứu và hướng vectơ từ hóa, bạn có thể tìm ra cực từ của Trái đất ở đâu vào thời điểm đá đông cứng lại.

Sở chỉ huy dã chiến của Đội cận vệ thứ ba, Hoàng tử Davion, Trung đoàn Dunkeld Sân bay vũ trụ Glengarry, Tuyến đường vectơ Khối thịnh vượng chung Liên bang Skye Thời gian dự kiến ​​1314 Ngày 13 tháng 5 năm 3057 Bên trong chiếc xe đi bộ lớn trên mọi địa hình, nơi đặt trụ sở dã chiến của Trung đoàn Cận vệ số 3, vẫn như mọi khi, ảm đạm và yên tĩnh, ngoại trừ tiếng kêu ríu rít của các thiết bị liên lạc, tiếng bíp và tiếng vo ve của các thiết bị điện tử, ánh sáng yếu ớt của màn hình, tín hiệu cuộc gọi và vâng, những giọng nói nhỏ phát ra từ loa đóng vai trò như một loại nền, trên đó có thể nghe thấy tiếng gầm của một trận cận chiến một cách đặc biệt rõ ràng.

Trước mắt Janelle, một tên lửa được vẽ ra vectơ, chỉ điểm ngắm, hướng chính xác về phía tàu địch.

Và một số học giả hoặc nghệ sĩ giác ngộ vectơ sự chiếm đoạt trong sự thận trọng của cuộc sống lại hướng ngược lại - quay trở lại, vào bóng tối đỏ thẫm quen thuộc của nửa thế kỷ này.

Suy cho cùng, thứ gì cung cấp lực nâng và năng lượng truyền đi không cuốn theo gió, không có gì bí mật cả. vectơ thổi bay, theo như người ta có thể đánh giá từ số liệu thống kê được đưa vào muộn màng, chưa bao giờ hướng vào trong nước, và do đó một số nhà tư tưởng đã đưa ra bằng chứng rõ ràng rằng người Slav cuối cùng đã tạo ra một loại năng suất sinh học thanh lọc nén đặc biệt nào đó, thúc đẩy tất cả những người được nuông chiều, da mỏng và hay lo lắng bị đẩy ra rìa của giống chó lai trên thế giới.

Như bạn hiểu, ý tôi là giá trị vô hướng của tốc độ, vì khi chạy theo vòng tròn vectơ thay đổi liên tục.

Sau đó, bạn nên đặt địa chỉ của byte dữ liệu đầu tiên vào vectơ sự gián đoạn.

Vectơ
Trong vật lý và toán học, vectơ là một đại lượng được đặc trưng bởi giá trị số và hướng của nó. Trong vật lý, có nhiều đại lượng quan trọng là vectơ, ví dụ như lực, vị trí, tốc độ, gia tốc, mô men xoắn, động lượng, cường độ điện trường và từ trường. Chúng có thể được đối chiếu với các đại lượng khác như khối lượng, thể tích, áp suất, nhiệt độ và mật độ, những đại lượng này có thể được mô tả bằng một số thông thường và được gọi là "đại số vô hướng". Ký hiệu vectơ được sử dụng khi làm việc với các đại lượng không thể xác định hoàn toàn bằng số thông thường. Ví dụ: chúng ta muốn mô tả vị trí của một vật thể so với một điểm nào đó. Chúng ta có thể biết một vật cách một điểm bao nhiêu km, nhưng chúng ta không thể xác định đầy đủ vị trí của nó cho đến khi chúng ta biết hướng của nó. Do đó, vị trí của một vật thể được đặc trưng bởi một giá trị số (khoảng cách tính bằng km) và hướng. Về mặt đồ họa, các vectơ được mô tả dưới dạng các đoạn thẳng có hướng có độ dài nhất định, như trong Hình 2. 1. Ví dụ, để biểu thị bằng đồ họa một lực 5 kg, bạn cần vẽ một đoạn thẳng dài 5 đơn vị theo hướng của lực. Mũi tên chỉ lực tác dụng từ A đến B; nếu lực tác dụng từ B đến A thì chúng ta sẽ viết hoặc Để thuận tiện, vectơ thường được ký hiệu bằng chữ in hoa đậm (A, B, C, v.v.); vectơ A và -A có giá trị bằng nhau nhưng ngược hướng. Giá trị số của vectơ A được gọi là mô đun hoặc độ dài và được ký hiệu là A hoặc |A|. Tất nhiên, đại lượng này là đại lượng vô hướng. Một vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là 0 và ký hiệu là O.

Hai vectơ được gọi là bằng nhau (hoặc tự do) nếu độ lớn và hướng của chúng trùng nhau. Tuy nhiên, trong cơ học và vật lý, định nghĩa này phải được sử dụng một cách thận trọng, vì hai lực bằng nhau tác dụng lên các điểm khác nhau của vật thường sẽ dẫn đến những kết quả khác nhau. Về vấn đề này, các vectơ được chia thành “được kết nối” hoặc “trượt”, như sau: Các vectơ được kết nối có các điểm ứng dụng cố định. Ví dụ, vectơ bán kính biểu thị vị trí của một điểm so với một điểm gốc cố định nào đó. Các vectơ kết nối được coi là bằng nhau nếu chúng không chỉ có cùng mô-đun và hướng mà còn có một điểm ứng dụng chung. Các vectơ trượt là các vectơ bằng nhau và nằm trên cùng một đường thẳng.
Phép cộng vectơ.Ý tưởng về phép cộng vectơ xuất phát từ ý tưởng rằng chúng ta có thể tìm thấy một vectơ duy nhất có tác dụng tương tự như hai vectơ khác cộng lại. Nếu để đến một điểm nhất định, trước tiên chúng ta cần đi bộ A km theo một hướng và sau đó là B km theo hướng ngược lại, thì chúng ta có thể đến điểm cuối cùng bằng cách đi bộ C km theo hướng thứ ba (Hình 2) . Theo nghĩa này có thể nói rằng



A + B = C.
Vectơ C được gọi là "vectơ kết quả" của A và B, và được cho bởi cấu trúc như trên hình; một hình bình hành được dựng trên các vectơ A và B là các cạnh và C là đường chéo nối điểm đầu của A và điểm cuối của B. Từ Hình 2. 2 rõ ràng rằng phép cộng các vectơ là “giao hoán”, tức là A + B = B + A. Theo cách tương tự, bạn có thể thêm một số vectơ, kết nối chúng một cách tuần tự thành một “chuỗi liên tục”, như trong Hình 2. 3 cho ba vectơ D, E và F. Từ hình. 3 điều đó cũng rõ ràng rồi



(D + E) + F = D + (E + F), tức là phép cộng các vectơ có tính chất kết hợp. Bất kỳ số vectơ nào cũng có thể được tính tổng và các vectơ không nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng. Phép trừ vectơ được biểu diễn dưới dạng phép cộng với vectơ âm. Ví dụ: A - B = A + (-B), trong đó, như được định nghĩa trước đó, -B là một vectơ có độ lớn bằng B nhưng ngược hướng. Quy tắc cộng này bây giờ có thể được sử dụng như một tiêu chí thực sự để kiểm tra xem một đại lượng nào đó có phải là vectơ hay không. Các chuyển động thường phải tuân theo các điều kiện của quy tắc này; điều tương tự cũng có thể nói về tốc độ; các lực cộng lại theo cách giống như có thể thấy từ “tam giác lực”. Tuy nhiên, một số đại lượng vừa có giá trị số vừa có hướng không tuân theo quy tắc này và do đó không thể coi là vectơ. Một ví dụ là phép quay hữu hạn.
Nhân một vectơ với một số vô hướng. Tích mA hoặc Am, trong đó m (m # 0) là vô hướng và A là vectơ khác 0, được định nghĩa là một vectơ khác dài hơn A m lần và có cùng hướng với A nếu m dương và ngược lại hướng nếu m âm, như thể hiện trong hình. 4, trong đó m lần lượt là 2 và -1/2. Ngoài ra, 1A = A, tức là Khi nhân với 1, vectơ không thay đổi. Đại lượng -1A là một vectơ có chiều dài bằng A nhưng ngược hướng, thường được viết là -A. Nếu A là vectơ 0 và/hoặc m = 0 thì mA là vectơ 0. Phép nhân có tính phân phối, tức là




Chúng ta có thể thêm bất kỳ số lượng vectơ nào và thứ tự của các số hạng không ảnh hưởng đến kết quả. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ vectơ nào cũng có thể được phân tách thành hai hoặc nhiều “thành phần”, tức là thành hai hoặc nhiều vectơ, khi thêm vào sẽ cho kết quả là vectơ ban đầu. Ví dụ, trong hình. 2, A và B là thành phần của C. Nhiều phép toán với vectơ được đơn giản hóa nếu vectơ được phân tách thành ba thành phần dọc theo ba hướng vuông góc với nhau. Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ Descartes thuận tay phải với các trục Ox, Oy và Oz như hình vẽ. 5. Theo hệ tọa độ dành cho người thuận tay phải, chúng tôi muốn nói rằng các trục x, y và z được định vị lần lượt là ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay phải. Từ một hệ tọa độ thuận tay phải, luôn có thể thu được một hệ tọa độ thuận tay phải khác bằng cách xoay thích hợp. Trong bộ lễ phục. 5, sự phân tách vectơ A thành ba thành phần được hiển thị và chúng cộng lại thành vectơ A, vì




Kể từ đây,


Đầu tiên người ta cũng có thể cộng và nhận rồi cộng vào nó. Các hình chiếu của vectơ A lên ba trục tọa độ được ký hiệu là Ax, Ay và Az được gọi là “thành phần vô hướng” của vectơ A:


trong đó a, b và g là các góc giữa A và ba trục tọa độ. Bây giờ chúng tôi giới thiệu ba vectơ có độ dài đơn vị i, j và k (vectơ đơn vị) có cùng hướng với các trục x, y và z tương ứng. Khi đó, nếu nhân Ax với i thì tích thu được là một vectơ bằng và

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần vô hướng tương ứng của chúng bằng nhau. Như vậy, A = B khi và chỉ khi Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Hai vectơ có thể được thêm bằng cách thêm các thành phần của chúng:


Ngoài ra, theo định lý Pythagore:


Hàm tuyến tính. Biểu thức aA + bB, trong đó a và b là các đại lượng vô hướng, được gọi là hàm tuyến tính của vectơ A và B. Nó là vectơ trong cùng mặt phẳng với A và B; nếu A và B không song song thì khi a và b thay đổi thì vectơ aA + bB sẽ di chuyển trên toàn bộ mặt phẳng (Hình 6). Nếu A, B và C không nằm trong cùng một mặt phẳng thì vectơ aA + bB + cC (a, b và c thay đổi) di chuyển trong không gian. Giả sử A, B và C là các vectơ đơn vị của i, j và k. Vector ai nằm trên trục x; vectơ ai + bj có thể di chuyển trong mặt phẳng xy; vectơ ai + bj + ck có thể di chuyển trong không gian.



Người ta có thể chọn bốn vectơ vuông góc lẫn nhau i, j, k và l và định nghĩa vectơ bốn chiều là đại lượng A = Axi + Ayj + Azk + Awl
với chiều dài


và người ta có thể tiếp tục đến năm, sáu hoặc bất kỳ số chiều nào. Mặc dù không thể biểu diễn trực quan một vectơ như vậy nhưng không có khó khăn toán học nào nảy sinh ở đây. Bản ghi như vậy thường hữu ích; ví dụ, trạng thái của một hạt chuyển động được mô tả bằng vectơ sáu chiều P (x, y, z, px, py, pz), các thành phần của nó là vị trí của nó trong không gian (x, y, z) và động lượng (px, py, pz). Không gian như vậy được gọi là "không gian pha"; nếu chúng ta xem xét hai hạt thì không gian pha là 12 chiều, nếu có ba hạt thì không gian pha là 18 chiều, v.v. Số lượng kích thước có thể tăng lên không giới hạn; Hơn nữa, các đại lượng mà chúng ta sẽ xử lý sẽ hành xử gần giống như những đại lượng mà chúng ta sẽ xem xét trong phần còn lại của bài viết này, đó là các vectơ ba chiều.
Nhân hai vectơ. Quy tắc cộng vectơ được rút ra bằng cách nghiên cứu hành vi của các đại lượng được biểu thị bằng vectơ. Không có lý do rõ ràng tại sao hai vectơ không thể được nhân theo một cách nào đó, nhưng phép nhân này sẽ chỉ có ý nghĩa nếu nó có thể được chứng minh là có giá trị về mặt toán học; Ngoài ra, điều mong muốn là tác phẩm phải có ý nghĩa vật chất nhất định. Có hai cách nhân vectơ thỏa mãn các điều kiện này. Kết quả của một trong số chúng là đại lượng vô hướng, tích như vậy được gọi là “tích vô hướng” hoặc “tích trong” của hai vectơ và được viết là AÇB hoặc (A, B). Kết quả của một phép nhân khác là một vectơ được gọi là "tích chéo" hoặc "tích ngoài" và được viết là A*B hoặc []. Tích số chấm có ý nghĩa vật lý đối với một, hai hoặc ba chiều, trong khi tích chéo chỉ được xác định cho ba chiều.
Sản phẩm chấm. Nếu, dưới tác dụng của một lực F nào đó, điểm mà nó tác dụng di chuyển một khoảng r, thì công thực hiện bằng tích của r và thành phần của F theo hướng r. Thành phần này bằng F cos bF, rc, trong đó bF, rc là góc giữa F và r, tức là. Công việc đã thực hiện = Fr cos bF, rs. Đây là một ví dụ về sự chứng minh vật lý của tích vô hướng được xác định cho hai vectơ A, B bất kỳ bằng công thức
A*B = AB cos bA, Bс.
Vì tất cả các đại lượng ở vế phải của phương trình đều là đại lượng vô hướng nên A*B = B*A; do đó, phép nhân vô hướng có tính chất giao hoán. Phép nhân vô hướng cũng có tính chất phân phối: A*(B + C) = A*B + A*C. Nếu vectơ A và B vuông góc thì cos bA, Bc bằng 0 và do đó A*B = 0, ngay cả khi cả A và B đều không bằng 0. Đây là lý do tại sao chúng ta không thể chia cho một vectơ. Giả sử chúng ta chia cả hai vế của phương trình A*B = A*C cho A. Điều này sẽ cho B = C, và nếu có thể thực hiện phép chia thì đẳng thức này sẽ là kết quả duy nhất có thể xảy ra. Tuy nhiên, nếu chúng ta viết lại phương trình A*B = A*C thành A*(B - C) = 0 và nhớ rằng (B - C) là một vectơ thì rõ ràng (B - C) không nhất thiết phải bằng 0 và do đó, B không được bằng C. Những kết quả mâu thuẫn này cho thấy rằng không thể phân chia vectơ. Tích vô hướng cung cấp một cách khác để viết giá trị số (mô đun) của vectơ: A*A = AA*cos 0° = A2;
Đó là lý do tại sao

Tích vô hướng có thể được viết theo cách khác. Để làm điều này, hãy nhớ rằng: A = Ax i + Ayj + Azk. thông báo rằng


Sau đó,


Vì phương trình cuối cùng chứa x, y và z làm chỉ số dưới nên phương trình dường như phụ thuộc vào hệ tọa độ cụ thể được chọn. Tuy nhiên, đây không phải là trường hợp, như có thể thấy từ định nghĩa, nó không phụ thuộc vào các trục tọa độ đã chọn.
Vector hoạt động. Vectơ hoặc tích ngoài của vectơ là vectơ có mô đun có mô đun bằng tích các mô đun của chúng với sin của góc vuông góc với vectơ ban đầu và cùng với chúng tạo thành bộ ba bên phải. Sản phẩm này được giới thiệu dễ dàng nhất bằng cách xem xét mối quan hệ giữa vận tốc và vận tốc góc. Đầu tiên là một vectơ; bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng cái sau cũng có thể được hiểu là một vectơ. Vận tốc góc của một vật đang quay được xác định như sau: chọn một điểm bất kỳ trên vật và vẽ đường vuông góc từ điểm này đến trục quay. Khi đó vận tốc góc của vật là số radian mà đường này quay trong một đơn vị thời gian. Nếu vận tốc góc là một vectơ thì nó phải có giá trị số và hướng. Giá trị số được biểu thị bằng radian trên giây, hướng có thể được chọn dọc theo trục quay, có thể xác định bằng cách hướng vectơ theo hướng mà cánh quạt bên phải sẽ chuyển động khi quay cùng vật. Xét chuyển động quay của vật quanh một trục cố định. Nếu chúng ta lắp trục này bên trong một vòng, vòng này được gắn vào một trục được lắp bên trong một vòng khác, chúng ta có thể quay vật thể bên trong vòng thứ nhất với vận tốc góc w1 và sau đó làm cho vòng trong (và vật thể) quay với vận tốc góc w2. Hình 7 giải thích điểm này; mũi tên tròn chỉ chiều quay. Vật này là một hình cầu đặc có tâm O và bán kính r.


Cơm. 7. Quả cầu có tâm O quay với vận tốc góc w1 bên trong vòng BC, quả cầu này quay bên trong vòng DE với vận tốc góc w2. Quả cầu quay với vận tốc góc bằng tổng vận tốc góc và mọi điểm trên đường thẳng POP” đều ở trạng thái đứng yên tức thời.


Chúng ta hãy cho vật này một chuyển động bằng tổng của hai vận tốc góc khác nhau. Chuyển động này khá khó hình dung, nhưng khá rõ ràng là vật không còn quay quanh một trục cố định nữa. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể nói rằng nó quay. Để chỉ ra điều này, chúng ta hãy chọn một điểm P nhất định trên bề mặt vật thể, tại thời điểm chúng ta đang xem xét, điểm này nằm trên một đường tròn lớn nối các điểm mà tại đó hai trục cắt nhau trên bề mặt của hình cầu. Chúng ta vẽ các đường vuông góc từ P đến trục. Các đường vuông góc này sẽ lần lượt trở thành bán kính PJ và PK của các đường tròn PQRS và PTUW. Hãy vẽ một đường thẳng POPў đi qua tâm hình cầu. Bây giờ điểm P, tại thời điểm đang xét, đồng thời di chuyển dọc theo các đường tròn tiếp xúc với điểm P. Trong một khoảng thời gian ngắn Dt, P di chuyển một khoảng cách

Khoảng cách này bằng 0 nếu


Trong trường hợp này, điểm P ở trạng thái đứng yên tức thời, và tương tự như vậy, tất cả các điểm trên đường thẳng POP.Phần còn lại của hình cầu sẽ chuyển động (các đường tròn mà các điểm khác chuyển động dọc theo đó không chạm nhau mà cắt nhau). Do đó POPў là trục quay tức thời của quả cầu, giống như một bánh xe lăn trên đường tại mỗi thời điểm và quay quanh điểm thấp nhất của nó. Vận tốc góc của quả cầu là bao nhiêu? Để đơn giản, ta chọn điểm A tại đó trục w1 cắt mặt phẳng, tại thời điểm ta đang xét, nó chuyển động trong thời gian Dt một đoạn

Trong đường tròn bán kính r sin w1. Theo định nghĩa, vận tốc góc


Từ công thức này và mối quan hệ (1) chúng ta có được

Nói cách khác, nếu bạn viết ra một giá trị số và chọn hướng của vận tốc góc như mô tả ở trên, thì các đại lượng này cộng lại dưới dạng vectơ và có thể được coi như vậy. Bây giờ bạn có thể nhập tích chéo; Xét một vật quay với vận tốc góc w. Chúng ta hãy chọn điểm P bất kỳ trên vật và điểm gốc O bất kỳ nằm trên trục quay. Cho r là một vectơ hướng từ O đến P. Điểm P chuyển động theo đường tròn với vận tốc V = wr sin(w,r). Vectơ vận tốc V tiếp tuyến với đường tròn và hướng theo hướng như hình vẽ. số 8.



Phương trình này cho biết sự phụ thuộc của vận tốc V của một điểm vào sự kết hợp của hai vectơ w và r. Chúng ta sử dụng mối quan hệ này để xác định loại sản phẩm mới và viết: V = w * r. Vì kết quả của phép nhân như vậy là một vectơ nên tích này được gọi là tích vectơ. Với hai vectơ A và B bất kỳ, nếu A * B = C thì C = AB sin bA, Bc và hướng của vectơ C sao cho vuông góc với mặt phẳng đi qua A và B và hướng theo các hướng trùng nhau với hướng chuyển động của vít thuận nếu nó song song với C và quay từ A đến B. Nói cách khác, ta có thể nói rằng A, B và C sắp xếp theo thứ tự này tạo thành một tập hợp các vít thuận tay phải. trục tọa độ. Tích chéo có tính phản giao hoán; vectơ B * A có cùng mô đun với A * B, nhưng hướng theo hướng ngược lại: A * B = -B * A. Sản phẩm này có tính chất phân phối, nhưng không có tính kết hợp; nó có thể được chứng minh rằng


Chúng ta hãy xem tích vectơ được viết dưới dạng vectơ thành phần và vectơ đơn vị. Trước hết, với mọi vectơ A, A * A = AA sin 0 = 0.
Do đó, trong trường hợp vectơ đơn vị, i * i = j * j = k * k = 0 và i * j = k, j * k = i, k * i = j. Sau đó,

Đẳng thức này cũng có thể được viết dưới dạng định thức:


Nếu A * B = 0 thì A hoặc B bằng 0 hoặc A và B thẳng hàng. Vì vậy, giống như tích vô hướng, việc chia cho một vectơ là không thể. Giá trị A * B bằng diện tích của hình bình hành có cạnh A và B. Điều này dễ dàng nhận thấy, vì B sin bA, Bс là chiều cao và A là đáy của nó. Có nhiều đại lượng vật lý khác là tích chéo. Một trong những tích chéo quan trọng nhất xuất hiện trong lý thuyết điện từ và được gọi là vectơ chỉ P. Vectơ này được cho bởi: P = E * H, trong đó E và H lần lượt là các vectơ điện trường và từ trường. Vector P có thể được coi là một dòng năng lượng nhất định tính bằng watt trên mét vuông tại bất kỳ điểm nào. Hãy lấy thêm một vài ví dụ: mômen của lực F (mô men xoắn) so với gốc tọa độ tác dụng lên một điểm có vectơ bán kính r được xác định là r * F; một hạt đặt tại điểm r, có khối lượng m, vận tốc V, có động lượng góc mr * V so với gốc tọa độ; lực tác dụng lên một hạt mang điện tích q qua từ trường B với tốc độ V là qV * B.
Ba tác phẩm. Từ ba vectơ chúng ta có thể tạo thành bộ ba tích sau: vectơ (A*B) * C; vectơ (A * B) * C; vô hướng (A * B)*C. Loại đầu tiên là tích của vectơ C và đại lượng vô hướng A*B; Chúng tôi đã nói về những công việc như vậy. Loại thứ hai được gọi là tích chéo kép; vectơ A * B vuông góc với mặt phẳng chứa A và B, và do đó (A * B) * C là vectơ nằm trong mặt phẳng của A và B và vuông góc với C. Do đó, nói chung, (A * B ) * C không bằng A * (B * C). Bằng cách viết A, B và C theo tọa độ (thành phần) của chúng dọc theo các trục x, y và z rồi nhân lên, chúng ta có thể chỉ ra rằng A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A *B). Loại sản phẩm thứ ba, xuất hiện trong các phép tính mạng trong vật lý chất rắn, về mặt số lượng bằng thể tích của một hình bình hành có các cạnh A, B, C. Vì (A * B)*C = A*(B * C), dấu của phép nhân vô hướng và vectơ có thể hoán đổi vị trí cho nhau và đoạn đó thường được viết là (A B C). Tích này bằng định thức


Lưu ý rằng (A B C) = 0 nếu cả ba vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc nếu A = 0 hoặc (và) B = 0 hoặc (và) C = 0.
PHÂN BIỆT Vectơ
Giả sử vectơ U là hàm của một biến vô hướng t. Ví dụ: U có thể là vectơ bán kính được vẽ từ điểm gốc đến điểm chuyển động và t có thể là thời gian. Giả sử t thay đổi một lượng nhỏ Dt, điều này sẽ dẫn đến thay đổi U một lượng DU. Điều này được thể hiện trong hình. 9. Tỷ số DU/Dt là một vectơ cùng hướng với DU. Chúng ta có thể định nghĩa đạo hàm của U theo t là




miễn là có giới hạn đó. Mặt khác, chúng ta có thể biểu diễn U dưới dạng tổng các thành phần dọc theo ba trục và viết


Nếu U là vectơ bán kính r thì dr/dt là tốc độ của điểm được biểu thị dưới dạng hàm của thời gian. Vi phân theo thời gian một lần nữa, chúng ta nhận được gia tốc. Giả sử rằng điểm di chuyển dọc theo đường cong như trong Hình. 10. Gọi s là quãng đường mà một điểm đi được dọc theo một đường cong. Trong khoảng thời gian nhỏ Dt, điểm sẽ di chuyển một đoạn D dọc theo đường cong; vị trí của vectơ bán kính sẽ thay đổi thành Dr. Do đó Dr/Ds là một vectơ có hướng giống như Dr. Hơn nữa



Vector Dr - thay đổi vectơ bán kính.


là vectơ đơn vị tiếp tuyến của đường cong. Điều này có thể thấy từ thực tế là khi điểm Q tiến đến điểm P, PQ tiến đến tiếp tuyến và Dr tiến đến Ds. Các công thức đạo hàm tích tương tự như các công thức đạo hàm tích của hàm số vô hướng; tuy nhiên, vì tích chéo có tính phản giao hoán nên thứ tự nhân phải được giữ nguyên. Đó là lý do tại sao,


Vì vậy, chúng ta thấy rằng nếu một vectơ là hàm của một biến vô hướng thì chúng ta có thể biểu diễn đạo hàm theo cách tương tự như trong trường hợp hàm vô hướng.
Trường vectơ và trường vô hướng. Dốc. Trong vật lý, bạn thường phải xử lý các đại lượng vectơ hoặc đại lượng vô hướng thay đổi theo từng điểm trong một vùng nhất định. Những khu vực như vậy được gọi là "cánh đồng". Ví dụ, đại lượng vô hướng có thể là nhiệt độ hoặc áp suất; vectơ có thể là tốc độ của chất lỏng chuyển động hoặc trường tĩnh điện của hệ điện tích. Nếu chúng ta đã chọn một hệ tọa độ nhất định thì bất kỳ điểm P (x, y, z) nào trong một diện tích nhất định đều tương ứng với một vectơ bán kính r (= xi + yj + zk) và giá trị của đại lượng vectơ U (r ) hoặc vô hướng f(r) liên kết với nó. Giả sử U và f được xác định duy nhất trong miền; những thứ kia. Mỗi điểm tương ứng với một và chỉ một giá trị U hoặc f, mặc dù các điểm khác nhau tất nhiên có thể có các giá trị khác nhau. Giả sử chúng ta muốn mô tả tốc độ thay đổi của U và f khi chúng ta di chuyển qua khu vực này. Đạo hàm riêng đơn giản, chẳng hạn như dU/dx và df/dy, không phù hợp với chúng ta, vì chúng phụ thuộc vào các trục tọa độ được chọn cụ thể. Tuy nhiên, có thể đưa ra toán tử vi phân vectơ độc lập với việc chọn trục tọa độ; toán tử này được gọi là "gradient". Chúng ta hãy giải quyết một trường vô hướng f. Đầu tiên, làm ví dụ, hãy xem xét bản đồ đường viền của một vùng của đất nước. Trong trường hợp này, f là độ cao so với mực nước biển; các đường đồng mức kết nối các điểm có cùng giá trị f. Khi di chuyển dọc theo bất kỳ đường nào trong số này, f không thay đổi; nếu bạn di chuyển vuông góc với những đường thẳng này thì tốc độ thay đổi của f sẽ là lớn nhất. Chúng ta có thể liên kết với mỗi điểm một vectơ biểu thị độ lớn và hướng của sự thay đổi cực đại của tốc độ f; một bản đồ như vậy và một số vectơ này được hiển thị trong Hình. 11. Nếu chúng ta làm điều này với mỗi điểm trong trường, chúng ta sẽ nhận được một trường vectơ liên kết với trường vô hướng f. Đây là trường của vectơ có tên là "gradient" f, được viết là grad f hoặc Cf (ký hiệu C còn được gọi là "nabla").



Trong trường hợp ba chiều, các đường đồng mức trở thành bề mặt. Một sự dịch chuyển nhỏ Dr (= iDx + jDy + kDz) dẫn đến sự thay đổi của f, được viết là


trong đó các dấu chấm biểu thị các điều khoản của đơn hàng cao hơn. Biểu thức này có thể được viết dưới dạng tích vô hướng


Chúng ta hãy chia vế phải và vế trái của đẳng thức này cho Ds, và để Ds có xu hướng bằng 0; Sau đó


trong đó dr/ds là vectơ đơn vị theo hướng đã chọn. Biểu thức trong ngoặc là một vectơ tùy thuộc vào điểm đã chọn. Do đó df/ds có giá trị tối đa khi dr/ds chỉ cùng hướng, biểu thức trong ngoặc đơn là gradient. Như vậy,


- một vectơ có độ lớn bằng nhau và cùng hướng với tốc độ thay đổi f cực đại so với tọa độ. Độ dốc f thường được viết là


Điều này có nghĩa là toán tử C tồn tại độc lập. Trong nhiều trường hợp, nó hoạt động giống như một vectơ và trên thực tế là một "toán tử vi phân vectơ" - một trong những toán tử vi phân quan trọng nhất trong vật lý. Mặc dù thực tế là C chứa các vectơ đơn vị i, j và k nhưng ý nghĩa vật lý của nó không phụ thuộc vào hệ tọa độ đã chọn. Mối quan hệ giữa Cf và f là gì? Trước hết, giả sử rằng f xác định thế tại bất kỳ điểm nào. Đối với mọi chuyển vị nhỏ Dr, giá trị của f sẽ thay đổi một cách


Nếu q là một đại lượng (ví dụ, khối lượng, điện tích) do Dr chuyển động thì công thực hiện khi Dr chuyển q bằng Dr là


Vì Dr là độ dịch chuyển nên qСf là lực; -Cf là lực căng (lực trên một đơn vị đại lượng) gắn với f. Ví dụ, gọi U là thế tĩnh điện; thì E là cường độ điện trường, tính theo công thức E = -CU. Giả sử U được tạo ra bởi một điện tích điểm q coulomb đặt tại gốc tọa độ. Giá trị của U tại điểm P (x, y, z) có vectơ bán kính r được cho bởi

Trong đó e0 là hằng số điện môi của không gian trống. Đó là lý do tại sao


từ đó suy ra rằng E tác dụng theo hướng r và độ lớn của nó bằng q/(4pe0r3). Biết trường vô hướng, chúng ta có thể xác định trường vectơ liên kết với nó. Điều ngược lại cũng có thể xảy ra. Từ quan điểm xử lý toán học, trường vô hướng dễ vận hành hơn trường vectơ vì chúng được xác định bởi một hàm tọa độ duy nhất, trong khi trường vectơ yêu cầu ba hàm tương ứng với các thành phần vectơ theo ba hướng. Vì vậy, câu hỏi đặt ra: với một trường vectơ, liệu chúng ta có thể viết ra trường vô hướng liên quan không?
Sự phân kỳ và rôto. Chúng ta đã thấy kết quả của C tác động lên hàm vô hướng. Điều gì xảy ra khi C được áp dụng cho một vectơ? Có hai khả năng: cho U(x, y, z) là một vectơ; thì chúng ta có thể tạo thành tích chéo và tích vô hướng như sau:



Biểu thức đầu tiên trong số này là biểu thức vô hướng được gọi là phân kỳ của U (ký hiệu là divU); thứ hai là một vectơ gọi là rôto U (ký hiệu là rotU). Các hàm vi phân, phân kỳ và độ cong này được sử dụng rộng rãi trong vật lý toán học. Hãy tưởng tượng rằng U là một vectơ nào đó và nó cùng các đạo hàm cấp một của nó liên tục trong một vùng nào đó. Gọi P là một điểm trong vùng này được bao quanh bởi một mặt kín nhỏ S giới hạn thể tích DV. Cho n là vectơ đơn vị vuông góc với bề mặt này tại mọi điểm (n thay đổi hướng khi nó di chuyển quanh bề mặt, nhưng luôn có độ dài đơn vị); hãy để n chỉ ra bên ngoài. Hãy thể hiện điều đó

Ở đây S chỉ ra rằng các tích phân này được lấy trên toàn bộ mặt, da là một phần tử của mặt S. Để đơn giản, chúng ta sẽ chọn hình dạng thuận tiện của S là dạng hình bình hành nhỏ (như hình 12) có các cạnh Dx, Dy và Dz; điểm P là tâm của hình bình hành. Trước tiên, chúng ta hãy tính tích phân từ phương trình (4) trên một mặt của hình bình hành. Đối với mặt trước n = i (vectơ đơn vị song song với trục x); Da = DyDz. Phần đóng góp vào tích phân từ mặt trước bằng



Ở phía đối diện n = -i; khuôn mặt này góp phần vào tích phân


Sử dụng định lý Taylor, ta thu được tổng đóng góp của hai mặt

Lưu ý rằng DxDyDz = DV. Theo cách tương tự, bạn có thể tính toán sự đóng góp của hai cặp mặt còn lại. Tổng tích phân bằng


và nếu chúng ta đặt DV(r) 0 thì các số hạng bậc cao hơn sẽ biến mất. Theo công thức (2), biểu thức trong ngoặc là divU, chứng tỏ đẳng thức (4). Đẳng thức (5) có thể được chứng minh theo cách tương tự. Hãy sử dụng lại hình. 12; thì sự đóng góp từ mặt trước vào tích phân sẽ bằng

Và, sử dụng định lý Taylor, chúng ta thấy rằng phần đóng góp tổng cộng của tích phân từ hai mặt có dạng


những thứ kia. đây là hai số hạng trong biểu thức của rotU trong phương trình (3). Bốn số hạng còn lại có được sau khi tính đến sự đóng góp của bốn mặt còn lại. Những tỷ lệ này thực sự có ý nghĩa gì? Hãy xét đẳng thức (4). Giả sử U là tốc độ (của chất lỏng chẳng hạn). Khi đó nНU da = Un da, trong đó Un là thành phần pháp tuyến của vectơ U đối với bề mặt. Do đó, Un da ​​là thể tích chất lỏng chảy qua da trên một đơn vị thời gian và là thể tích chất lỏng chảy qua S trên một đơn vị thời gian. Kể từ đây,

Tốc độ giãn nở của một đơn vị thể tích xung quanh điểm P. Đây là nơi mà sự phân kỳ có tên; nó cho thấy tốc độ mà chất lỏng giãn nở ra khỏi (tức là phân kỳ từ) P. Để giải thích ý nghĩa vật lý của rôto U, hãy xét một tích phân bề mặt khác trên một thể tích hình trụ nhỏ có chiều cao h bao quanh điểm P; các bề mặt phẳng song song có thể được định hướng theo bất kỳ hướng nào chúng ta chọn. Gọi k là vectơ đơn vị vuông góc với mỗi bề mặt và gọi diện tích mỗi bề mặt là DA; thì tổng thể tích DV = hDA (Hình 13). Bây giờ chúng ta xét tích phân




Tích phân là tích ba vô hướng đã đề cập trước đó. Tích này sẽ bằng 0 trên các bề mặt phẳng trong đó k và n song song. Trên bề mặt cong

Trong đó ds là phần tử của đường cong như trong hình. 13. So sánh các đẳng thức này với hệ thức (5), ta thu được

Chúng tôi vẫn cho rằng U là tốc độ. Trong trường hợp này, vận tốc góc trung bình của chất lỏng quanh k sẽ là bao nhiêu? Hiển nhiên là


nếu DA khác 0. Biểu thức này đạt giá trị lớn nhất khi k và rotU hướng cùng hướng; điều này có nghĩa là rotU là một vectơ bằng hai lần vận tốc góc của chất lỏng tại điểm P. Nếu chất lỏng quay tương đối với P thì rotU #0, và các vectơ U sẽ quay quanh P. Đây là nơi có tên rôto từ. Định lý phân kỳ (định lý Ostrogradsky-Gauss) là dạng tổng quát hóa của công thức (4) cho thể tích hữu hạn. Nó phát biểu rằng đối với một thể tích V nào đó được giới hạn bởi một bề mặt kín S,

Và nó đúng với mọi hàm vectơ liên tục U có đạo hàm bậc nhất liên tục ở mọi nơi trong V và trên S. Chúng tôi sẽ không đưa ra chứng minh cho định lý này ở đây, nhưng tính đúng đắn của nó có thể được hiểu bằng trực giác bằng cách tưởng tượng thể tích V được chia thành các ô. Thông lượng U qua một bề mặt chung cho hai ô biến mất và chỉ các ô nằm trên ranh giới S mới đóng góp vào tích phân bề mặt. Định lý Stokes là dạng tổng quát hóa của phương trình (6) cho các bề mặt hữu hạn. Cô ấy tuyên bố rằng