Funkcja wybrzuszenia. Wypukłość funkcji. Kierunek wybrzuszenia. Punkty przegięcia. Warunki wypukłości i przegięcia. Asymptoty wykresu funkcji
Wypukłość funkcji
Rozważmy funkcję \ (y = f \ left (x \ right), \), która z założenia jest ciągła na odcinku \ (\ left [(a, b) \ right]. \) Funkcja \ (y = f \ left (x \ right ) \) nazywa się wypukły w dół (lub po prostu wypukły) jeśli dla dowolnych punktów \ ((x_1) \) i \ ((x_2) \) z \ (\ left [(a, b) \ right] \) \ Jeśli ta nierówność jest ścisła dla dowolnego \ ((x_1), (x_2) \ in \ left [(a, b) \ right], \) takie, że \ ((x_1) \ ne (x_2), \) to funkcje \ (f \ left (x \ right) \) są zwany ściśle wypukły w dół
Podobnie zdefiniowana jest funkcja wypukła skierowana w górę. Funkcja \ (f \ lewo (x \ prawo) \) jest wywoływana wypukły w górę (lub wklęsły) jeśli dla dowolnych punktów \ ((x_1) \) i \ ((x_2) \) odcinka \ (\ left [(a, b) \ right] \) nierówność \ Jeśli ta nierówność jest ścisła dla dowolnego \ ( ( x_1), (x_2) \ in \ left [(a, b) \ right], \) takie, że \ ((x_1) \ ne (x_2), \) następnie funkcja \ (f \ left (x \ right ) \) są nazywane ściśle wypukła w górę na segmencie \ (\ lewo [(a, b) \ prawo]. \)
Interpretacja geometryczna wypukłości funkcji
Wprowadzone definicje funkcji wypukłej mają prostą interpretację geometryczną.
Dla funkcji, wypukły w dół (figura \ (1 \)), środek \ (B \) dowolnego cięciwy \ ((A_1) (A_2) \) leży wyższy
Podobnie dla funkcji wypukły w górę (figura \ (2 \)), środek \ (B \) dowolnego cięciwy \ ((A_1) (A_2) \) leży poniżej odpowiedni punkt \ ((A_0) \) wykresu funkcji lub pokrywa się z tym punktem.
Funkcje wypukłe mają inną właściwość wizualną związaną z lokalizacją tangens do wykresu funkcji. Funkcja \ (f \ lewo (x \ prawo) \) to wypukły w dół na odcinku \ (\ lewo [(a, b) \ prawo] \) wtedy i tylko wtedy, gdy jego wykres leży nie niżej niż styczna narysowana do niego w dowolnym punkcie \ ((x_0) \) odcinka \ (\ lewo [(a , b) \ prawy] \) (obraz \ (3 \)).
W związku z tym funkcja \ (f \ left (x \ right) \) to wypukły w górę na odcinku \ (\ lewo [(a, b) \ prawo] \) wtedy i tylko wtedy, gdy jego wykres nie leży wyżej niż styczna narysowana do niego w dowolnym punkcie \ ((x_0) \) odcinka \ (\ lewo [(a , b) \ prawo] \) (rysunek \ (4 \)). Własności te reprezentują twierdzenie i można je udowodnić za pomocą definicji wypukłości funkcji.
Wystarczające warunki dla wypukłości
Niech dla funkcji \ (f \ left (x \ right) \) pierwsza pochodna \ (f "\ left (x \ right) \) istnieje na odcinku \ (\ left [(a, b) \ right], \) i druga pochodna \ (f "" \ left (x \ right) \) - na przedziale \ (\ left ((a, b) \ right). \) Wtedy spełnione są następujące wystarczające kryteria wypukłości:
Jeśli \ (f "" \ lewo (x \ prawo) \ ge 0 \) dla wszystkich \ (x \ in \ lewo ((a, b) \ prawo), \) to funkcja \ (f \ lewo (x \ prawo ) \) wypukły w dół na segmencie \ (\ lewo [(a, b) \ prawo]; \)
Jeśli \ (f "" \ lewo (x \ prawo) \ le 0 \) dla wszystkich \ (x \ in \ lewo ((a, b) \ prawo), \) to funkcja \ (f \ lewo (x \ prawo ) \) wypukły w górę na segmencie \ (\ lewy [(a, b) \ prawy]. \)
Udowodnijmy powyższe twierdzenie dla przypadku funkcji wypukłej skierowanej w dół. Niech funkcja \ (f \ left (x \ right) \) ma nieujemną drugą pochodną na przedziale \ (\ left ((a, b) \ right): \) \ (f "" \ left (x \ right) ) \ ge 0. \) Niech \ ((x_0) \) oznaczają środek odcinka \ (\ lewo [((x_1), (x_2)) \ prawo]. \) Załóżmy, że długość tego odcinka wynosi \ (2h. \) Wtedy współrzędne \ ((x_1) \) i \ ((x_2) \) można zapisać jako: \ [(x_1) = (x_0) - h, \; \; (x_2) = (x_0 ) + h. \] Rozwiń funkcję \ (f \ left (x \ right) \) w punkcie \ ((x_0) \) w szeregu Taylora z resztą Lagrange'a. Otrzymujemy następujące wyrażenia: \ [(f \ left (((x_1)) \ right) = f \ left (((x_0) - h) \ right)) = (f \ left (((x_0)) \ right ) - f "\ lewo (((x_0)) \ prawo) h + \ frac ((f" "\ lewo (((\ xi _1)) \ prawo) (h ^ 2))) ((2},}
\]
\[
{f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) }
= {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}
\]
где \({x_0} - h !}
Dodaj obie równości: \ [(f \ left (((x_1)) \ right) + f \ left (((x_2)) \ right)) = (2f \ left (((x_0)) \ right) + \ frac (((h ^ 2))) (2) \ lewo [(f "" \ lewo (((\ xi _1)) \ prawo) + f "" \ lewo (((\ xi _2)) \ prawo)) \ right].) \] Ponieważ \ ((\ xi _1), (\ xi _2) \ in \ left ((a, b) \ right), \) drugie pochodne po prawej stronie są nieujemne. Dlatego \ lub \ czyli zgodnie z definicją funkcja \ (f \ left (x \ right) \) wypukły w dół
.
Zauważ, że warunek konieczny wypukłości funkcji (czyli twierdzenie bezpośrednie, w którym na przykład z warunku wypukłości w dół wynika, że \ (f "" \ left (x \ right) \ ge 0 \ )) jest spełniony tylko w przypadku nierówności nieścisłych. W przypadku wypukłości ścisłej warunek konieczny na ogół nie jest spełniony. Na przykład funkcja \ (f \ left (x \ right) = (x ^ 4) \) jest ściśle wypukła w dół. Jednak w punkcie \ (x = 0 \) jego druga pochodna jest równa zero, tj. ścisła nierówność \ (f "" \ left (x \ right) \ gt 0 \) nie ma w tym przypadku zastosowania.
Własności funkcji wypukłych
Podajemy niektóre właściwości funkcji wypukłych, zakładając, że wszystkie funkcje są zdefiniowane i ciągłe na odcinku \ (\ lewo [(a, b) \ prawo]. \)
Jeśli funkcje \ (f \) i \ (g \) są wypukłe w dół (w górę), to każda z nich kombinacja liniowa \ (af + bg, \) gdzie \ (a \), \ (b \) są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, również wypukłymi w dół (w górę).
Jeśli funkcja \ (u = g \ left (x \ right) \) jest wypukła w dół, a funkcja \ (y = f \ left (u \ right) \) jest wypukła w dół i nie malejąca, to złożona funkcja \ (y = f \ left ((g \ left (x \ right)) \ right) \) również będzie wypukłe w dół.
Jeśli funkcja \ (u = g \ left (x \ right) \) jest wypukła w górę, a funkcja \ (y = f \ left (u \ right) \) jest wypukła w dół i nie rośnie, to złożona funkcja \ (y = f \ left ((g \ left (x \ right)) \ right) \) będzie wypukłe w dół.
Lokalne maksimum funkcja wypukła w górę zdefiniowana na odcinku \ (\ lewo [(a, b) \ prawo], \) jest jednocześnie jej największa wartość na tym segmencie.
Lokalne minimum funkcja wypukła skierowana w dół zdefiniowana na odcinku \ (\ lewo [(a, b) \ prawo], \) jest jednocześnie jej najmniejsza wartość na tym segmencie.
Kiedy rysujemy wykres funkcji, ważne jest, aby określić przedziały wypukłości i punkty przegięcia. Wraz z interwałami malejącymi i rosnącymi są nam niezbędne do jasnego przedstawienia funkcji w formie graficznej.
Zrozumienie tego tematu wymaga wiedzy, czym jest pochodna funkcji i jak ją obliczyć do pewnego rzędu, a także umiejętności rozwiązywania różnego rodzaju nierówności.
Na początku artykułu zdefiniowano podstawowe pojęcia. Następnie pokażemy, jaki związek istnieje między kierunkiem wypukłości a wartością drugiej pochodnej na pewnym przedziale. Następnie wskażemy warunki, w jakich można określić punkty przegięcia wykresu. Całość rozumowania zostanie zilustrowana przykładami rozwiązań problemów.
Definicja 1W dół na pewnym przedziale w przypadku, gdy jego wykres znajduje się nie niżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie tego przedziału.
Definicja 2
Funkcja do zróżnicowania jest wypukła w górę na pewnym przedziale, jeśli wykres tej funkcji znajduje się nie wyżej niż styczna do niej w dowolnym punkcie tego przedziału.
Funkcję wypukłą skierowaną w dół można również nazwać wklęsłą. Obie definicje są wyraźnie pokazane na poniższym wykresie:
Definicja 3
Punkt przegięcia funkcji Czy punkt M (x 0; f (x 0)), w którym znajduje się styczna do wykresu funkcji, pod warunkiem, że pochodna istnieje w pobliżu punktu x 0, gdzie wykres funkcji przyjmuje różne kierunki wypukłości po lewej i prawej stronie.
Mówiąc najprościej, punkt przegięcia to miejsce na wykresie, które ma styczną, a kierunek wypukłości krzywej zmieni kierunek wypukłości, gdy przechodzi ona przez to miejsce. Jeśli nie pamiętasz, w jakich warunkach możliwe jest istnienie stycznej pionowej i niepionowej, zalecamy powtórzenie sekcji dotyczącej stycznej wykresu funkcji w punkcie.
Poniżej znajduje się wykres funkcji, która ma kilka punktów przegięcia, które są podświetlone na czerwono. Wyjaśnijmy, że obecność punktów przegięcia jest opcjonalna. Na wykresie jednej funkcji może być jedna, dwie, kilka, nieskończenie wiele lub żadna.
W tej sekcji porozmawiamy o twierdzeniu, za pomocą którego można określić przedziały wypukłości na wykresie określonej funkcji.
Definicja 4
Wykres funkcji będzie miał wypukłość w dół lub w górę, jeśli odpowiadająca mu funkcja y = f (x) ma drugą skończoną pochodną na wskazanym przedziale x, pod warunkiem, że nierówność f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) będzie prawdziwe.
Korzystając z tego twierdzenia, można znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości na dowolnym wykresie funkcji. Aby to zrobić, wystarczy rozwiązać nierówności f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 w dziedzinie odpowiedniej funkcji.
Wyjaśnijmy, że te punkty, w których nie istnieje druga pochodna, ale zdefiniowana jest funkcja y = f(x), będą zawarte w przedziałach wypukłości i wklęsłości.
Spójrzmy na przykład konkretnego problemu, jak poprawnie zastosować to twierdzenie.
Przykład 1
Stan: podana jest funkcja y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1. Określ, w jakich odstępach jego wykres będzie miał wybrzuszenia i wklęsłości.
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zacznijmy od obliczenia drugiej pochodnej.
y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
Widzimy, że dziedzina drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną samej funkcji, więc aby zidentyfikować przedziały wypukłości, musimy rozwiązać nierówności f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 .
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
Otrzymaliśmy, że wykres danej funkcji będzie miał wklęsłość na odcinku [2; + ∞) oraz wypukłość na odcinku (- ∞; 2).
Dla jasności przedstawimy wykres funkcji i zaznaczymy na nim część wypukłą na niebiesko, a część wklęsłą na czerwono.
Odpowiadać: wykres danej funkcji będzie miał wklęsłość na odcinku [2; + ∞) oraz wypukłość na odcinku (- ∞; 2).
Ale co zrobić, jeśli dziedzina drugiej pochodnej nie pokrywa się z dziedziną funkcji? Przydatna jest tu uwaga poczyniona powyżej: te punkty, w których nie ma końcowej drugiej pochodnej, uwzględnimy również w odcinkach wklęsłości i wypukłości.
Przykład 2
Stan: podana jest funkcja y = 8 x x - 1. Określ, w jakich odstępach jego wykres będzie miał wklęsłość, a w których - wypukłość.
Rozwiązanie
Najpierw poznajmy zakres funkcji.
x ≥ 0 x - 1 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [0; 1) (1; + ∞)
Teraz obliczamy drugą pochodną:
y "= 8 xx - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 xx - 1 2 - (x + 1) xx - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 xx - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) xx - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3
Dziedziną drugiej pochodnej jest zbiór x ∈ (0; 1) ∪ (1; + ∞). Widzimy, że x równe zero będzie należało do dziedziny funkcji pierwotnej, ale nie do dziedziny drugiej pochodnej. Ten punkt musi być zawarty w segmencie wklęsłości lub wypukłości.
Następnie musimy rozwiązać nierówności f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 w dziedzinie danej funkcji. Używamy do tego metody przedziałów: dla x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 lub x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 licznik 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 staje się 0, a mianownik wynosi 0, gdy x wynosi zero lub jeden.
Umieśćmy wynikowe punkty na wykresie i wyznaczmy znak wyrażenia na wszystkich przedziałach, które będą zawarte w dziedzinie pierwotnej funkcji. Obszar ten jest zaznaczony kreskowaniem na wykresie. Jeśli wartość jest dodatnia, zaznacz przedział plusem, jeśli jest ujemna, to minus.
W konsekwencji,
f "" (x) ≥ 0 x ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞) ⇔ x ∈ 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞), oraz f "" (x) ≤ 0 x ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞) ⇔ x ∈ [- 1 + 2 3 3; jeden)
Włącz wcześniej zaznaczony punkt x = 0 i uzyskaj żądaną odpowiedź. Oryginalny wykres funkcji będzie miał wybrzuszenie w dół przy 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) i w górę - dla x ∈ [- 1 + 2 3 3; jeden) .
Narysujmy wykres, zaznaczając na nim część wypukłą na niebiesko, a część wklęsłą na czerwono. Asymptota pionowa jest zaznaczona czarną przerywaną linią.
Odpowiadać: Oryginalny wykres funkcji będzie miał wybrzuszenie w dół przy 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) i w górę - dla x ∈ [- 1 + 2 3 3; jeden) .
Warunki przegięcia wykresu funkcji
Zacznijmy od sformułowania warunku koniecznego do przegięcia wykresu jakiejś funkcji.
Definicja 5
Powiedzmy, że mamy funkcję y = f (x), której wykres ma punkt przegięcia. Dla x = x 0 ma ciągłą drugą pochodną, zatem zachowana będzie równość f "" (x 0) = 0.
Biorąc pod uwagę ten warunek, powinniśmy szukać punktów przegięcia wśród tych, w których zniknie druga pochodna. Ten warunek nie będzie wystarczający: nie wszystkie takie punkty będą nam odpowiadać.
Zauważ też, że zgodnie z ogólną definicją potrzebna będzie linia styczna, pionowa lub niepionowa. W praktyce oznacza to, że aby znaleźć punkty przegięcia, należy wziąć te, w których zanika druga pochodna tej funkcji. Dlatego, aby znaleźć odcięte punkty przegięcia, musimy wziąć wszystkie x 0 z dziedziny funkcji, gdzie lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 f" (x) = . Najczęściej są to punkty, w których mianownik pierwszej pochodnej zmienia się na 0.
Pierwszy wystarczający warunek istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji
Znaleźliśmy wszystkie wartości x 0, które można przyjąć jako odcięte punkty przegięcia. Następnie musimy zastosować pierwszy wystarczający warunek przegięcia.
Definicja 6
Załóżmy, że mamy funkcję y = f (x), która jest ciągła w punkcie M (x 0; f (x 0)). Co więcej, ma w tym punkcie prostą styczną, a sama funkcja ma drugą pochodną w pobliżu tego punktu x 0. W takim przypadku, jeśli po lewej i prawej stronie druga pochodna uzyskuje przeciwne znaki, to ten punkt można uznać za punkt przegięcia.
Widzimy, że warunek ten nie wymaga, aby druga pochodna z pewnością istniała w tym punkcie, wystarczy mieć ją w pobliżu punktu x 0.
Wszystko to jest wygodnie przedstawione w formie sekwencji działań.
- Najpierw musisz znaleźć wszystkie odcięte x 0 możliwych punktów przegięcia, gdzie f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f" (x) = .
- Dowiedzmy się, w jakich punktach pochodna zmieni znak. Wartości te są odciętymi punktów przegięcia, a odpowiadające im punkty M (x 0; f (x 0)) są samymi punktami przegięcia.
Dla jasności przeanalizujemy dwa zadania.
Przykład 3
Stan: dana funkcja y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Określ, gdzie wykres tej funkcji będzie miał punkty przegięcia i wybrzuszenia.
Rozwiązanie
Podana funkcja jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczamy pierwszą pochodną:
y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2
Teraz znajdźmy dziedzinę pierwszej pochodnej. Jest to również zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Stąd równości lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ nie mogą być spełnione dla żadnej wartości x 0.
Obliczamy drugą pochodną:
y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 "= 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3
Znaleźliśmy odcięte dwa prawdopodobne punkty przegięcia - 2 i 3. Pozostaje nam tylko sprawdzić, w którym momencie pochodna zmieni swój znak. Narysujmy oś liczbową i narysujmy na niej te punkty, po czym na otrzymanych przedziałach umieszczamy znaki drugiej pochodnej.
Łuki pokazują kierunek wypukłości wykresu w każdym przedziale.
Druga pochodna odwraca znak (od plusa do minusa) w punkcie z odciętą 3, przechodząc przez nią od lewej do prawej, a także robi to (od minusa do plusa) w punkcie z odciętą 3. Stąd możemy wnioskować, że x = - 2 i x = 3 to odcięte punkty przegięcia wykresu funkcji. Będą odpowiadać punktom wykresu - 2; - 4 3 i 3; - 15 8.
Przyjrzyjmy się jeszcze raz obrazowi osi liczb i wynikowym znakom na odstępach, aby wyciągnąć wnioski dotyczące miejsc wklęsłości i wypukłości. Okazuje się, że wybrzuszenie będzie znajdować się na segmencie - 2; 3 oraz wklęsłość na segmentach (- ∞; - 2] i [3; + ∞).
Na wykresie wyraźnie widać rozwiązanie problemu: kolor niebieski – wypukłość, czerwony – wklęsłość, kolor czarny oznacza punkty przegięcia.
Odpowiadać: wybrzuszenie będzie znajdować się na segmencie - 2; 3 oraz wklęsłość na segmentach (- ∞; - 2] i [3; + ∞).
Przykład 4
Stan: obliczyć odcięte wszystkie punkty przegięcia wykresu funkcji y = 1 8 x 2 + 3 x + 2 x - 3 3 5.
Rozwiązanie
Dziedziną danej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Obliczamy pochodną:
y "= 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " + 2) x - 3 3 5 "= = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5
W przeciwieństwie do funkcji, jej pierwsza pochodna nie zostanie zdefiniowana, gdy x wynosi 3, ale:
lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y" (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞
Oznacza to, że przez ten punkt przechodzi pionowa styczna do wykresu. Dlatego 3 może być odciętą punktu przegięcia.
Obliczamy drugą pochodną. Znajdujemy również dziedzinę jego definicji i punkty, w których zwraca się do 0:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 "= = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39" 39 x - 3 2 5 "(x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5, x ∈ (- ∞; 3) ∪ (3; + ∞ ) y "" (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 3,4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675
Mamy jeszcze dwa możliwe punkty przegięcia. Umieśćmy je wszystkie na osi liczbowej i oznaczmy otrzymane odstępy znakami:
Odwrócenie znaku nastąpi przy przejściu przez każdy określony punkt, co oznacza, że wszystkie są punktami przegięcia.
Odpowiadać: Wykreślmy funkcję, zaznaczając wklęsłości na czerwono, wybrzuszenia na niebiesko, a punkty przegięcia na czarno:
Znając pierwszy wystarczający warunek przegięcia, możemy określić wymagane punkty, w których obecność drugiej pochodnej nie jest konieczna. Na tej podstawie pierwszy warunek można uznać za najbardziej uniwersalny i odpowiedni do rozwiązywania różnego rodzaju problemów.
Zauważ, że istnieją jeszcze dwa warunki przegięcia, ale można je zastosować tylko wtedy, gdy we wskazanym punkcie istnieje skończona pochodna.
Jeśli mamy f "" (x 0) = 0 i f "" "(x 0) ≠ 0, to x 0 będzie odciętą punktu przegięcia wykresu y = f (x).
Przykład 5
Stan: funkcja y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 jest podana. Określ, czy wykres funkcji będzie miał przegięcie w punkcie 3; 4 5.
Rozwiązanie
Pierwszą rzeczą do zrobienia jest upewnienie się, że dany punkt w ogóle będzie należał do wykresu tej funkcji.
y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
Podana funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich argumentów będących liczbami rzeczywistymi. Obliczmy pierwszą i drugą pochodną:
y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 "= 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)
Otrzymaliśmy, że druga pochodna zniknie, jeśli x równa się 0. Oznacza to, że konieczny warunek przegięcia dla tego punktu zostanie spełniony. Teraz korzystamy z drugiego warunku: znajdź trzecią pochodną i dowiedz się, czy zniknie o 3:
y "" "= 1 10 (x - 3)" = 1 10
Trzecia pochodna nie zniknie dla żadnej wartości x. Dlatego możemy stwierdzić, że ten punkt będzie punktem przegięcia wykresu funkcji.
Odpowiadać: Pokażmy rozwiązanie na ilustracji:
Załóżmy, że f "(x 0) = 0, f" "(x 0) = 0,..., F (n) (x 0) = 0 i f (n + 1) (x 0) ≠ 0. In w tym przypadku, nawet dla n, otrzymujemy, że x 0 jest odciętą punktu przegięcia wykresu y = f (x).
Przykład 6
Stan: podana jest funkcja y = (x - 3) 5 + 1. Oblicz punkty przegięcia jej wykresu.
Rozwiązanie
Ta funkcja jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Oblicz pochodną: y "= ((x - 3) 5 + 1)" = 5 · x - 3 4. Ponieważ zostanie on również zdefiniowany dla wszystkich prawidłowych wartości argumentu, styczna niepionowa będzie istniała w dowolnym punkcie jego wykresu.
Teraz obliczmy, przy jakich wartościach zniknie druga pochodna:
y "" = 5 (x - 3) 4 "= 20 x - 3 3 y" "= 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
Otrzymaliśmy, że przy x = 3 wykres funkcji może mieć punkt przegięcia. Użyjmy trzeciego warunku, aby to potwierdzić:
y "" "= 20 · (x - 3) 3" = 60 · x - 3 2, y "" "(3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 "= 120 (x - 3), y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3)" = 120, y (5) (3 ) = 120 0
Mamy n = 4 przy trzecim warunku wystarczającym. Jest to liczba parzysta, co oznacza, że x = 3 będzie odciętą punktu przegięcia i odpowiada jej punkt na wykresie funkcji (3; 1).
Odpowiadać: Oto wykres tej funkcji, z zaznaczonymi wypukłościami, wklęsłościami i punktami przegięcia:
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter
Wykres funkcji tak=f (x) zwany wypukły na interwale (a; b) jeśli znajduje się poniżej którejkolwiek z jej stycznych w tym przedziale.
Wykres funkcji tak=f (x) zwany wklęsły na interwale (a; b) jeśli znajduje się powyżej którejkolwiek z jego stycznych na tym przedziale.
Rysunek przedstawia krzywą wypukłą do (a; b) i wklęsły na (pne).
Przykłady.
Rozważmy wystarczającą cechę, która pozwoli nam ustalić, czy wykres funkcji w danym przedziale będzie wypukły czy wklęsły.
Twierdzenie... Zostawiać tak=f (x) różniczkowalny przez (a; b)... Jeśli we wszystkich punktach przedziału (a; b) druga pochodna funkcji tak = f (x) negatywny, tj. F ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(x)> 0 - wklęsły.
Dowód... Dla pewności załóżmy, że… F""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Weźmy na wykresie funkcje y = f (x) arbitralny punkt M 0 z odciętymi x 0 Î ( a; b) i przeciągnij przez punkt M 0 tangens. Jej równanie. Musimy pokazać, że wykres funkcji on (a; b) leży poniżej tej stycznej, tj. o tej samej wartości x rzędna krzywej y = f (x) będzie mniejsza niż rzędna stycznej.
Zatem równanie krzywej ma postać y = f (x)... Oznaczamy rzędną stycznej odpowiadającej odciętej x... Następnie . W konsekwencji różnica między rzędnymi krzywej i stycznej o tej samej wartości x będzie .
Różnica f (x) - f (x 0) przekształcić według twierdzenia Lagrange'a, gdzie C pomiędzy x oraz x 0.
Zatem,
Ponownie stosujemy twierdzenie Lagrange'a do wyrażenia w nawiasach kwadratowych:, gdzie c 1 pomiędzy c 0 oraz x 0... Według hipotezy twierdzenia F ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Zatem każdy punkt na krzywej leży poniżej stycznej do krzywej dla wszystkich wartości x oraz x 0 Î ( a; b), co oznacza, że krzywa jest wypukła. W podobny sposób dowodzi się drugiej części twierdzenia.
Przykłady.
Punkt na wykresie funkcji ciągłej oddzielający jej część wypukłą od części wklęsłej nazywamy punkt przegięcia.
Oczywiście w punkcie przegięcia styczna, jeśli istnieje, przecina krzywą, ponieważ z jednej strony tego punktu krzywa leży pod styczną, az drugiej nad nią.
Określmy warunki wystarczające, aby dany punkt krzywej był punktem przegięcia.
Twierdzenie... Niech krzywa będzie określona równaniem y = f (x)... Jeśli F ""(x 0) = 0 lub F ""(x 0) nie istnieje i przy przejściu przez wartość x = x 0 pochodna F ""(x) zmienia znak, następnie punkt wykresu funkcji z odciętą x = x 0 jest punkt przegięcia.
Dowód... Zostawiać F ""(x) < 0 при x < x 0 oraz F ""(x)> 0 dla x > x 0... Następnie w x < x 0 krzywa jest wypukła, a przy x > x 0- wklęsły. Stąd punkt A na krzywej z odciętą x 0 jest punkt przegięcia. Podobnie można rozpatrywać drugi przypadek, gdy F ""(x)> 0 dla x < x 0 oraz F ""(x) < 0 при x > x 0.
Zatem punktów przegięcia należy szukać tylko wśród tych punktów, w których druga pochodna zanika lub nie istnieje.
Przykłady. Znajdź punkty przegięcia i zdefiniuj przedziały wypukłości i wklęsłości krzywych.
ASYMPTOTY FUNKCJE GRAFICZNE
Przy badaniu funkcji ważne jest ustalenie kształtu jej wykresu w nieograniczonej odległości od początku punktu wykresu.
Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy wykres funkcji, przesuwając swój punkt zmiennej w nieskończoność, zbliża się do pewnej linii prostej bez ograniczeń.
Linia prosta nazywa się asymptota grafika funkcji tak = f (x) jeśli odległość od punktu zmiennej m wykres do tej linii podczas usuwania punktu m dąży do zera do nieskończoności, tj. punkt wykresu funkcji, dążąc do nieskończoności, musi zbliżać się do asymptoty w nieskończoność.
Krzywa może zbliżać się do swojej asymptoty, pozostając po jednej jej stronie lub z różnych stron, przechodząc przez asymptotę nieskończenie wiele razy i przechodząc z jednej strony na drugą.
Jeśli oznaczymy przez d odległość od punktu m krzywej do asymptoty, to jest jasne, że d dąży do zera jako punkt m w nieskończoność.
Będziemy dalej rozróżniać asymptoty pionowe i ukośne.
ASYMPTOTY PIONOWE
Niech w x→ x 0 z obu stron funkcja tak = f (x) wzrasta w nieskończoność w wartości bezwzględnej, tj. albo albo 
... Wtedy z definicji asymptoty wynika, że prosta x = x 0 jest asymptotą. Odwrotność jest również oczywista, jeśli linia prosta x = x 0 jest asymptotą, tj. ...
Zatem pionowa asymptota wykresu funkcji y = f (x) nazywa się linią prostą, jeśli f (x)→ ∞ przynajmniej pod jednym z warunków x→ x 0- 0 lub x → x 0 + 0, x = x 0
Dlatego, aby znaleźć pionowe asymptoty wykresu funkcji tak = f (x) trzeba znaleźć te wartości x = x 0 w którym funkcja zmierza do nieskończoności (cierpi nieskończoną nieciągłość). Wtedy pionowa asymptota ma równanie x = x 0.
Przykłady.
POCHYLONE ASYMPTOTY
Ponieważ asymptota jest linią prostą, to jeśli krzywa tak = f (x) ma asymptotę ukośną, to jej równanie będzie tak = kx + b... Naszym zadaniem jest znalezienie współczynników k oraz b.
Twierdzenie... Prosty tak = kx + b służy jako ukośna asymptota at x→ + ∞ dla wykresu funkcji tak
= f (x) wtedy i tylko wtedy gdy 
... Podobne stwierdzenie odnosi się również do x → –∞.
Dowód... Zostawiać poseł- długość odcinka równa odległości od punktu m do asymptoty. Według warunku. Niech φ oznacza kąt nachylenia asymptoty do osi Wół... Następnie od MNP wynika z tego. Ponieważ φ jest stałym kątem (φ ≠ π / 2), ale
Badając funkcję i kreśląc jej wykres na jednym z etapów, wyznaczamy punkty przegięcia i przedziały wypukłości. Dane te wraz z interwałami narastania i malenia pozwalają na schematyczne przedstawienie wykresu badanej funkcji.
Dalsza prezentacja zakłada, że jesteś w stanie wykonać jakiś porządek i różne typy.
Badanie materiału rozpoczniemy od niezbędnych definicji i pojęć. Następnie zbadamy związek między wartością drugiej pochodnej funkcji na pewnym przedziale a kierunkiem jej wypukłości. Następnie przejdźmy do warunków, które pozwalają nam wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji. W całym tekście podamy typowe przykłady ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Nawigacja po stronach.
Wypukłość, wklęsłość funkcji, punkt przegięcia.
Definicja.
wypukły w dół na przedziale X, jeśli jego wykres znajduje się nie niżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.
Definicja.
Funkcja do zróżnicowania nazywa się wypukły w górę na przedziale X, jeśli jego wykres znajduje się nie wyżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.
Funkcja wypukła skierowana ku górze jest często nazywana wypukły, a wypukły ku dołowi - wklęsły.
Spójrz na rysunek ilustrujący te definicje.
Definicja.
Punkt nazywa się punkt przegięcia wykresu funkcji y = f (x), jeśli w danym punkcie jest styczna do wykresu funkcji (może być równoległa do osi Oy) i istnieje takie sąsiedztwo punktu, w obrębie którego wykres funkcji ma różne kierunki wypukłości na lewo i prawo od punktu M.
Innymi słowy, punkt M nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji, jeśli w tym punkcie znajduje się styczna, a wykres funkcji zmienia kierunek wypukłości przechodząc przez nią.
W razie potrzeby zapoznaj się z sekcją, aby przypomnieć warunki istnienia stycznych pionowych i pionowych.
Poniższy rysunek przedstawia kilka przykładów punktów przegięcia (oznaczonych czerwonymi kropkami). Zauważ, że niektóre funkcje mogą nie mieć punktów przegięcia, podczas gdy inne mogą mieć jeden, kilka lub nieskończenie wiele punktów przegięcia.
Znajdowanie przedziałów wypukłości funkcji.
Sformułujmy twierdzenie, które pozwala wyznaczyć przedziały wypukłości funkcji.
Twierdzenie.
Jeśli funkcja y = f (x) ma skończoną drugą pochodną na przedziale X i jeśli nierówność 
(), to wykres funkcji ma wybrzuszenie skierowane w dół (w górę) na X.
Twierdzenie to pozwala znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji, wystarczy tylko rozwiązać nierówności i odpowiednio w dziedzinie definicji funkcji pierwotnej.
Należy zauważyć, że punkty, w których funkcja y = f(x) jest zdefiniowana, a druga pochodna nie istnieje, będą zawarte w przedziałach wklęsłości i wypukłości.
Spójrzmy na to na przykładzie.
Przykład.
Znajdź przedziały, w których wykres funkcji 
ma wybrzuszenie w górę i wybrzuszenie w dół.
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy drugą pochodną. 
Dziedzina definicji drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną definicji funkcji pierwotnej, dlatego aby znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości wystarczy rozwiązać odpowiednio i odpowiednio. 
Dlatego funkcja jest wypukła w dół na przedziale i wypukła w górę na przedziale.
Graficzna ilustracja.
Część wykresu funkcji na przedziale wypukłości jest pokazana na niebiesko, na przedziale wklęsłości - na czerwono.
Rozważmy teraz przykład, w którym dziedzina drugiej pochodnej nie pokrywa się z dziedziną funkcji. W tym przypadku, jak już zauważyliśmy, punkty dziedziny, w których nie istnieje skończona druga pochodna, powinny być zawarte w przedziałach wypukłości i (lub) wklęsłości.
Przykład.
Znajdź przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji.
Rozwiązanie.
Zacznijmy od zakresu funkcji:
Znajdźmy drugą pochodną: 
Dziedziną drugiej pochodnej jest zbiór 
... Jak widać, x = 0 należy do dziedziny funkcji pierwotnej, ale nie należy do dziedziny drugiej pochodnej. Nie zapomnij o tym punkcie, będzie musiał być uwzględniony w przedziale wypukłości i (lub) wklęsłości.
Teraz rozwiązujemy również nierówności w dziedzinie pierwotnej funkcji. Zastosujmy. Licznik wyrażeń 
znika o 
lub 
, mianownik to x = 0 lub x = 1. Schematycznie wykreślamy te punkty na osi liczbowej i znajdujemy znak wyrażenia w każdym z przedziałów zawartych w dziedzinie pierwotnej funkcji (pokazuje to zacieniony obszar na dolnej osi liczbowej). Przy wartości dodatniej stawiamy znak plus, przy wartości ujemnej - znak minus. 
Zatem,
oraz 
W związku z tym, dołączając punkt x = 0, otrzymujemy odpowiedź.
Na 
wykres funkcji ma wypukłość w dół, at 
- wybrzuszenie w górę.
Graficzna ilustracja.
Część wykresu funkcji na przedziale wypukłości jest pokazana na niebiesko, na przedziałach wklęsłości - na czerwono, pionową asymptotą jest czarna kropkowana linia.
Niezbędne i wystarczające warunki przegięcia.
Niezbędny warunek przegięcia.
Sformułujmy warunek zgięcia grafika funkcji.
Niech wykres funkcji y = f (x) ma przegięcie w punkcie i ciągłą drugą pochodną w, to równość jest zachowana.
Z tego warunku wynika, że odciętych punktów przegięcia należy szukać wśród tych, w których zanika druga pochodna funkcji. ALE ten warunek nie jest wystarczający, to znaczy nie wszystkie wartości, w których druga pochodna jest równa zero, są odciętymi punktów przegięcia.
Należy również zauważyć, że zgodnie z definicją punktu przegięcia wymagane jest istnienie linii stycznej, możliwa jest również linia pionowa. Co to znaczy? A to oznacza: odciętymi punktów przegięcia może być wszystko z dziedziny funkcji, dla której 
oraz 
... Są to zwykle punkty, w których znika mianownik pierwszej pochodnej.
Pierwszy wystarczający warunek przegięcia.
Po znalezieniu wszystkiego, co może być odciętymi punktami przegięcia, powinieneś użyć pierwszy wystarczający warunek zgięcia grafika funkcji.
Załóżmy, że funkcja y = f (x) jest ciągła w punkcie, ma w nim styczną (może być pionowa) i ta funkcja ma drugą pochodną w pewnym sąsiedztwie punktu. Wtedy, jeśli w obrębie tego sąsiedztwa na lewo i na prawo druga pochodna ma różne znaki, to jest to punkt przegięcia wykresu funkcji.
Jak widać, pierwszy warunek wystarczający nie wymaga istnienia drugiej pochodnej w samym punkcie, ale wymaga jej istnienia w pobliżu punktu.
Podsumujmy teraz wszystkie informacje w postaci algorytmu.
Algorytm znajdowania punktów przegięcia funkcji.
Znajdź wszystkie odcięte możliwe punkty przegięcia wykresu funkcji (lub oraz ) i dowiedz się, przechodząc przez którą drugą pochodną zmienia znak. Takimi wartościami będą odcięte punkty przegięcia, a odpowiadające im punkty będą punktami przegięcia wykresu funkcji.
Przyjrzyjmy się dwóm przykładom znajdowania punktów przegięcia w celu wyjaśnienia.
Przykład.
Znajdź punkty przegięcia i przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji.
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy pierwszą pochodną:
Dziedziną pierwszej pochodnej jest również cały zbiór liczb rzeczywistych, a więc równości oraz nie jest wykonywany dla żadnego.
Znajdźmy drugą pochodną:
Dowiedzmy się, dla jakich wartości argumentu x znika druga pochodna: 
Zatem odcięte możliwych punktów przegięcia to x = -2 i x = 3.
Pozostaje teraz sprawdzić, za pomocą dostatecznego kryterium przegięcia, w którym z tych punktów druga pochodna zmienia znak. Aby to zrobić, narysuj punkty x = -2 i x = 3 na osi liczbowej i, jak w uogólniona metoda przedziałowa, umieść znaki drugiej pochodnej na każdym przedziale. Pod każdym przedziałem kierunek wypukłości wykresu funkcji jest schematycznie przedstawiony łukami. 
Druga pochodna zmienia znak z plusa na minus przechodząc przez punkt x = -2 od lewej do prawej i zmienia znak z minus na plus przechodząc przez x = 3. Zatem zarówno x = -2 jak i x = 3 są odciętymi punktów przegięcia wykresu funkcji. Odpowiadają one punktom wykresu i.
Patrząc ponownie na oś liczbową i znaki drugiej pochodnej na jej przedziałach, można wyciągnąć wniosek o przedziałach wypukłości i wklęsłości. Wykres funkcji jest wypukły na przedziale i wklęsły na przedziałach i.
Graficzna ilustracja.
Część wykresu funkcji na przedziale wypukłości jest pokazana na niebiesko, na przedziałach wklęsłości - na czerwono, punkty przegięcia zaznaczone są czarnymi kropkami.
Przykład.
Znajdź odcięte wszystkich punktów przegięcia wykresu funkcji 
.
Rozwiązanie.
Dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy pochodną. 
Pierwsza pochodna, w przeciwieństwie do pierwotnej funkcji, nie jest zdefiniowana dla x = 3. Jednak 
oraz 
... Dlatego w punkcie o odciętej x = 3 istnieje pionowa styczna do wykresu funkcji pierwotnej. Zatem x = 3 może być odciętą punktu przegięcia wykresu funkcji.
Znajdujemy drugą pochodną, jej dziedzinę definicji i punkty, w których zanika: 
Otrzymano jeszcze dwie możliwe odcięte punkty przegięcia. Zaznaczamy wszystkie trzy punkty na osi liczbowej i wyznaczamy znak drugiej pochodnej w każdym z otrzymanych przedziałów. 
Druga pochodna zmienia znak, przechodząc przez każdy z punktów, dlatego wszystkie są odciętymi punktów przegięcia.
Graficzna ilustracja.
Fragmenty wykresu funkcji na przedziałach wypukłości są pokazane na niebiesko, na przedziałach wklęsłości - na czerwono, punkty przegięcia są zaznaczone czarnymi kropkami.
Pierwszy warunek wystarczający dla przegięcia wykresu funkcji umożliwia wyznaczenie punktów przegięcia i nie wymaga istnienia w nich drugiej pochodnej. Dlatego pierwszy wystarczający warunek można uznać za uniwersalny i najczęściej używany.
Teraz sformułujemy jeszcze dwa wystarczające warunki przegięcia, ale mają one zastosowanie tylko wtedy, gdy w punkcie przegięcia istnieje skończona pochodna do pewnego rzędu.
Drugi wystarczający warunek przegięcia.
Jeżeli a, to odcięta punktu przegięcia wykresu funkcji y = f (x) x = 3 jest niezerowa. 
Oczywiście wartość trzeciej pochodnej jest niezerowa dla dowolnego x, w tym x = 3. Zatem, zgodnie z drugim warunkiem wystarczającym przegięcia wykresu funkcji, punkt jest punktem przegięcia.
Graficzna ilustracja.
Trzeci wystarczający warunek przegięcia.
Niech a, to jeśli n jest liczbą parzystą, to jest odciętą punktu przegięcia wykresu funkcji y = f (x).
Przykład.
Znajdź punkty przegięcia wykresu funkcji 
.
Rozwiązanie.
Funkcja jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Znajdźmy jego pochodną: 
... Oczywiście jest on również zdefiniowany dla wszystkich rzeczywistych x, dlatego w dowolnym punkcie jego wykresu znajduje się niepionowa linia styczna.
Określmy wartości x, przy których znika druga pochodna. 
Zatem w punkcie o odciętej x = 3 może wystąpić przegięcie na wykresie funkcji. Aby upewnić się, że x = 3 jest rzeczywiście odciętą punktu przegięcia, stosujemy trzeci warunek wystarczający. 
Zgodnie z trzecim warunkiem wystarczającym dla przegięcia wykresu funkcji mamy n = 4 (znika piąta pochodna) - parzyste, więc x = 3 jest odciętą punktu przegięcia i odpowiada punktowi na wykresie funkcji (3; 1).
Graficzna ilustracja.
Część wykresu funkcji na przedziale wypukłości jest pokazana na niebiesko, na przedziale wklęsłości - na czerwono punkt przegięcia jest zaznaczony czarnym punktem.
Pozostaje do rozważenia wypukłość, wklęsłość i zagięcia krzywizny... Zacznijmy od ćwiczenia, które odwiedzający tak bardzo kochają. Proszę wstań i pochyl się do przodu lub do tyłu. To jest wybrzuszenie. Teraz wyciągnij ręce przed siebie, dłońmi do góry i wyobraź sobie, że trzymasz dużą kłodę na klatce piersiowej ... ... cóż, jeśli nie podoba ci się ta kłoda, niech to będzie coś innego / ktoś = ) To jest wklęsłość. Wiele źródeł zawiera synonimy terminów wybrzuszać się oraz wybrzuszać się ale jestem zwolennikiem krótkich nazw.
! Uwaga
: niektórzy autorzy zdefiniować wypukłość i wklęsłość dokładnie odwrotnie... Jest to również poprawne matematycznie i logicznie, ale często zupełnie niepoprawne z merytorycznego punktu widzenia, w tym na poziomie naszego filisterskiego rozumienia pojęć. Na przykład soczewka dwuwypukła nazywana jest soczewką z „guzkami”, ale nie z „depresją” (dwuklęsłość).
I, powiedzmy, łóżko „wklęsłe” - nadal wyraźnie nie „wystaje” =) (jednak jeśli się pod nim czołgasz, porozmawiamy o wybrzuszeniu; =)) Stosuję podejście, które odpowiada naturalnemu stowarzyszenia ludzkie.
Formalna definicja wypukłości i wklęsłości wykresu jest dla czajnika dość trudna, więc ograniczamy się do geometrycznej interpretacji tego pojęcia na konkretnych przykładach. Rozważ wykres funkcji, która ciągły na całej linii liczbowej: 
Łatwo zbudować z przekształcenia geometryczne, i prawdopodobnie wielu czytelników zdaje sobie sprawę z tego, jak wywodzi się z paraboli sześciennej.
Zadzwońmy akord segment łączący dwa różne punkty grafika.
Wykres funkcji to wypukły w pewnym przedziale, jeśli się znajduje nie mniej dowolny akord danego interwału. Linia testowa jest wypukła i oczywiście tutaj jakakolwiek część wykresu znajduje się POWYŻEJ jej akord... Aby zilustrować definicję, narysowałem trzy czarne linie.
Funkcje wykresu to wklęsły na interwale, jeśli się znajduje nie wyżej dowolny akord tego interwału. W tym przykładzie pacjent jest wklęsły pomiędzy. Para brązowych segmentów przekonująco pokazuje, że tutaj każdy fragment wykresu znajduje się POD jego akord.
Punkt na wykresie, w którym zmienia się z wypukłości na wklęsłość lub wklęsłość do wypukłości nazywa się punkt przegięcia... Mamy go w jednym egzemplarzu (przypadek pierwszy), a w praktyce punkt przegięcia może oznaczać zarówno zielony punkt należący do samej prostej, jak i wartość „x”.
WAŻNY! Nadmierne przerwy na wykresie należy starannie rysować i bardzo gładko... Wszelkiego rodzaju „nieregularności” i „szorstkość” są niedopuszczalne. To tylko mały trening.
Drugie podejście do definiowania wypukłości/wklęsłości w teorii podane jest w kategoriach stycznych:
Wypukły na przedziale, na którym znajduje się wykres nie wyżej styczna przyciągnięta do niego w dowolnym punkcie tego przedziału. Wklęsły ale na interwale wykres - nie mniej dowolna styczna w tym przedziale.
Hiperbola jest wklęsła na przedziale i wypukła na: 
Przechodząc przez początek, wklęsłość zmienia się we wypukłość, ale punkt NIE LICZ punkt przegięcia, ponieważ funkcja niezdeterminowany w tym.
Bardziej rygorystyczne stwierdzenia i twierdzenia na ten temat można znaleźć w podręczniku, a my przechodzimy do bogatej części praktycznej:
Jak znaleźć interwały wypukłe, interwały wklęsłości
i punkty przegięcia wykresu?
Materiał jest prosty, szablonowy i strukturalnie powtarza się badanie funkcji ekstremalnych.
Charakteryzuje się wypukłość/wklęsłość wykresu druga pochodna funkcjonować.
Niech funkcja będzie dwukrotnie różniczkowalna na pewnym przedziale. Następnie:
- jeżeli druga pochodna leży na przedziale, to wykres funkcji jest na tym przedziale wypukły;
- jeżeli druga pochodna leży na przedziale, to wykres funkcji jest na tym przedziale wklęsły.
Kosztem znaków drugiej pochodnej w otwartych przestrzeniach instytucji edukacyjnych spaceruje prehistoryczne skojarzenie: „-” pokazuje, że „woda nie może być wlana do wykresu funkcji” (wybrzuszenie),
a „+” – „daje taką możliwość” (wklęsłość).
Wymóg zgięcia
Jeśli w punkcie występuje przegięcie na wykresie funkcji, następnie:
lub wartość nie istnieje(rozbierajmy, czytaj!).
To zdanie sugeruje, że funkcja ciągły w pewnym momencie i, w przypadku, jest dwukrotnie różniczkowalny w pewnym jego sąsiedztwie.
Konieczność warunku sugeruje, że nie zawsze jest odwrotnie. To znaczy z równości (lub nieistnienia wartości) jeszcze nie istnienie przegięcia wykresu funkcji w punkcie. Ale w obu sytuacjach dzwonią punkt krytyczny drugiej pochodnej.
Wystarczający stan załamania
Jeżeli druga pochodna zmienia znak przy przejściu przez punkt, to w tym miejscu na wykresie funkcji występuje przegięcie.
Punkty przegięcia (przykład został już spełniony) mogą w ogóle nie być iw tym sensie niektóre próbki elementarne mają charakter orientacyjny. Przeanalizujmy drugą pochodną funkcji: 
Uzyskuje się dodatnią funkcję stałą, czyli dla dowolnej wartości „x”... Fakty dotyczące powierzchni: parabola jest wklęsła na całej powierzchni obszary definicji, nie ma punktów przegięcia. Łatwo zauważyć, że ujemny współczynnik „odwraca” parabolę i czyni ją wypukłą (jak powie nam druga pochodna - stała ujemna funkcja).
Funkcja wykładnicza jest również wklęsła do: 
dla dowolnej wartości „x”.
Oczywiście na wykresie nie ma punktów przegięcia.
Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji logarytmicznej dla wypukłości / wklęsłości:
Tak więc gałąź logarytmu jest wypukła na przedziale. Druga pochodna jest również zdefiniowana na przedziale, ale rozważ to TO JEST ZABRONIONE ponieważ ten przedział nie jest uwzględniony w domena Funkcje. Wymóg jest oczywisty – dopóki nie ma wykresu logarytmu, to oczywiście nie ma mowy o jakiejkolwiek wypukłości / wklęsłości / fleksji mowy.
Jak widać, wszystko naprawdę bardzo przypomina historię z wzrost, spadek i ekstrema funkcji... Wygląda jak ja algorytm badania wykresu funkcjina wypukłość, wklęsłość i obecność załamań:
2) Poszukiwanie wartości krytycznych. Aby to zrobić, bierzemy drugą pochodną i rozwiązujemy równanie. Punkty, w których nie istnieje druga pochodna, ale które są zawarte w dziedzinie samej funkcji, są również uważane za krytyczne!
3) Zaznaczamy na osi liczbowej wszystkie znalezione punkty nieciągłości i punkty krytyczne ( ani jedno, ani drugie nie może się pojawić - wtedy nie trzeba niczego rysować (jak w zbyt prostym przypadku), wystarczy ograniczyć się do pisemnego komentarza). Metodą interwałów określamy znaki na uzyskanych interwałach. Jak właśnie wyjaśniono, należy rozważyć tylko te luki mieszczące się w zakresie funkcji. Wyciągamy wnioski dotyczące wypukłości/wklęsłości i punktów przegięcia wykresu funkcji. Dajemy odpowiedź.
Spróbuj werbalnie zastosować algorytm do funkcji 
... W drugim przypadku, nawiasem mówiąc, jest przykład, w którym nie ma przegięcia na wykresie w punkcie krytycznym. Zacznijmy jednak od nieco trudniejszych zadań:
Przykład 1
Rozwiązanie:
1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej. Bardzo dobrze.
2) Znajdź drugą pochodną. Możliwe jest wstępne kostkowanie, ale jest o wiele bardziej opłacalne w użyciu reguła różniczkowania złożonej funkcji:
Zauważ, że 
, co oznacza, że funkcja to niezmniejszające się... Chociaż nie dotyczy to zadania, zawsze warto zwracać uwagę na takie fakty.
Znajdźmy punkty krytyczne drugiej pochodnej:
- punkt krytyczny
3) Sprawdźmy spełnienie warunku dostatecznej przegięcia. Wyznaczmy znaki drugiej pochodnej na otrzymanych przedziałach.
Uwaga! Teraz pracujemy z drugą pochodną (a nie z funkcją!)
W rezultacie uzyskuje się jeden punkt krytyczny:.
3) Zaznaczamy na osi liczbowej dwa punkty nieciągłości, punkt krytyczny i wyznaczamy znaki drugiej pochodnej na uzyskanych przedziałach:
Przypominam ważną sztuczkę metoda interwałowa, co pozwala znacznie przyspieszyć rozwiązanie. Druga pochodna 
okazał się bardzo kłopotliwy, więc nie trzeba obliczać jego wartości, wystarczy wykonać „oszacowanie” na każdym przedziale. Wybierzmy np. punkt należący do lewego interwału,
i dokonaj zamiany: 
Przeanalizujmy teraz czynniki: 
Dwa „minusy” i „plus” dają zatem „plus”, co oznacza, że druga pochodna jest dodatnia w całym przedziale.
Skomentowane akcje są łatwe do wykonania werbalnie. Ponadto korzystne jest całkowite zignorowanie współczynnika - jest dodatni dla każdego "x" i nie wpływa na znaki naszej drugiej pochodnej.
Jakie informacje nam przekazałeś?
Odpowiadać: wykres funkcji jest wklęsły przy 
i wypukłe na 
... Na początku (jest oczywiste, że ) w harmonogramie jest przegięcie.
Podczas przechodzenia przez punkty druga pochodna również zmienia znak, ale nie są one uważane za punkty przegięcia, ponieważ cierpi w nich funkcja niekończące się przerwy.
W zdemontowanym przykładzie pierwsza pochodna 
mówi nam o rozwoju funkcji przez cały czas obszary definicji... Zawsze byłby taki freebie =) Poza tym oczywiste jest, że są trzy asymptoty... Uzyskano wiele danych, co pozwala nam na reprezentowanie wyglądu wykresu z wysokim stopniem rzetelności. Do kupy funkcja jest również nieparzysta. Opierając się na ustalonych faktach, spróbuj szkicować na szkicu. Zdjęcie na końcu lekcji.
Przypisanie do samodzielnego rozwiązania:
Przykład 6
Zbadaj wykres funkcji pod kątem wypukłości, wklęsłości i znajdź punkty przegięcia wykresu, jeśli istnieją.
W próbce nie ma rysunku, ale nie jest zabronione stawianie hipotezy ;)
Szlifujemy materiał bez numerowania punktów algorytmu:
Przykład 7
Zbadaj wykres funkcji pod kątem wypukłości, wklęsłości i znajdź punkty przegięcia, jeśli istnieją.
Rozwiązanie: funkcja trwa niekończąca się przerwa w punkcie.
Jak zwykle u nas wszystko jest w porządku: 
Pochodne nie są najtrudniejsze, najważniejsze jest, aby uważać na ich „włosy”.
W indukowanej marafie znajdują się dwa punkty krytyczne drugiej pochodnej: 
Określmy znaki na uzyskanych interwałach:
W punkcie, w którym na wykresie jest przegięcie, znajdujemy rzędną punktu: 
Przy przejściu przez punkt druga pochodna nie zmienia znaku, dlatego na wykresie NIE ma przegięcia.
Odpowiadać: wypukłe odstępy: 
; przedział wklęsłości:; punkt przegięcia:.
Rzućmy okiem na ostatnie przykłady z dodatkowymi dzwonkami i gwizdkami:
Przykład 8
Znajdź przedziały wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia grafu
Rozwiązanie: ze znalezieniem obszary definicji nie ma specjalnych problemów:
, podczas gdy funkcja ma nieciągłości w punktach.
Idziemy utartą ścieżką: 
- punkt krytyczny.
Zdefiniujmy znaki, biorąc pod uwagę odstępy tylko z zakresu funkcji:
W punkcie na wykresie jest przegięcie, oblicz rzędną: 
