Przykłady znajdowania wartości funkcji złożonej. Pochodna funkcji zespolonej. Bardziej złożone przykłady
Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji wykładniczej
Nieustannie doskonalimy naszą technikę różnicowania. W tej lekcji skonsolidujemy omówiony materiał, rozważymy bardziej złożone pochodne, a także zapoznamy się z nowymi technikami i sztuczkami do znajdowania pochodnej, w szczególności z pochodną logarytmiczną.
Ci czytelnicy o niskim poziomie wyszkolenia powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, który pozwoli Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozum i rozwiąż wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest trzymanie się stanowiska „Gdzie jeszcze? I to wystarczy! ”, Ponieważ wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z prawdziwych testów i często znajdują zastosowanie w praktyce.
Zacznijmy od powtórzeń. W klasie Pochodna funkcji zespolonej przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych działów analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często różnicować i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) pisanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego przećwiczymy słowne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:
Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej 
:
Przy studiowaniu innych tematów matan w przyszłości taka szczegółowa notatka często nie jest wymagana, zakłada się, że uczeń jest w stanie znaleźć podobne pochodne na automatycznym autopilocie. Wyobraź sobie, że o 3 nad ranem zadzwonił telefon i przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch iksów?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: 
.
Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.
Przykład 1
Znajdź ustnie następujące pochodne w jednym kroku, na przykład:. Aby wykonać zadanie, musisz użyć tylko tabela pochodnych funkcji elementarnych(jeśli nie jest jeszcze pamiętany). Jeśli masz jakiekolwiek trudności, polecam ponownie przeczytać lekcję. Pochodna funkcji zespolonej.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Odpowiedzi na koniec lekcji
Złożone pochodne
Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim egzemplarze z dodatkami funkcyjnymi 3-4-5 będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym trudnym, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś będzie cierpieć), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji 
Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej przede wszystkim konieczne jest dobrze ZROZUMIEĆ załączniki. W przypadkach, w których pojawiają się wątpliwości, przywołuję użyteczną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „X” i próbujemy (w myślach lub szkicu) zastąpić tę wartość w „strasznym wyrażeniu”.
1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że kwota jest najgłębszą inwestycją.
2) Następnie musisz obliczyć logarytm:
4) Następnie podnieś cosinus do sześcianu:
5) W piątym kroku różnica:
6) Wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy: 
Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonych 
są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:
Wydaje się bez błędów….
(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.
(2) Bierzemy pochodną różnicy stosując regułę 
(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim członie bierzemy pochodną stopnia (sześcian).
(4) Bierzemy pochodną cosinusa.
(5) Weź pochodną logarytmu.
(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego zagnieżdżenia.
Może to zabrzmieć zbyt trudne, ale nie jest to jeszcze najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz cały urok i prostotę analizowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubią dawać podobne rzeczy na egzaminie, aby sprawdzić, czy uczeń rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.
Następny przykład dotyczy rozwiązania typu „zrób to sam”.
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Podpowiedź: Najpierw stosujemy zasady liniowości oraz zasadę różnicowania produktów
Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka.
Teraz nadszedł czas, aby przejść do czegoś bardziej kompaktowego i uroczego.
Nie jest niczym niezwykłym, że przykład daje produkt o nie dwóch, ale trzech funkcjach. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji 
Najpierw zobaczmy, czy możliwe jest przekształcenie iloczynu trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w produkcie dwa wielomiany, moglibyśmy rozszerzyć nawiasy. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wykładnik i logarytm.
W takich przypadkach jest to konieczne konsekwentnie zastosować zasadę różnicowania produktów 
dwa razy
Sztuczka polega na tym, że dla "y" oznaczamy iloczyn dwóch funkcji:, a dla "ve" - logarytm:. Dlaczego można to zrobić? Czy to jest? 
- to nie jest iloczyn dwóch czynników i zasada nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:
Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi 
do nawiasu:
Nadal można być zboczonym i umieścić coś poza nawiasami, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź w tej formie – łatwiej będzie to sprawdzić.
Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób: 
Oba rozwiązania są absolutnie równoważne.
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
Jest to przykład samodzielnego rozwiązania, w próbce jest ono rozwiązane w pierwszy sposób.
Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami.
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Tutaj możesz przejść na kilka sposobów:
Lub tak:
Ale rozwiązanie zostanie napisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw użyjemy reguły różniczkowania ilorazu 
, biorąc za cały licznik:
W zasadzie przykład jest rozwiązany, a jeśli zostawisz go tak, jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić szkic, ale czy można uprościć odpowiedź? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbyć się trzypiętrowej frakcji:
Wadą dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko pomyłki nie w znalezieniu pochodnej, ale w przypadku banalnych przekształceń szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.
Prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, w którym do różnicowania proponuje się „straszny” logarytm
Przykład 8
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj możesz przejść długą drogę, stosując zasadę różnicowania funkcji złożonej:
Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną z potęgi ułamkowej, a potem także z ułamka.
W związku z tym przed jak wziąć pochodną logarytmu „fantazyjnego”, to wstępnie uproszczono za pomocą znanych właściwości szkolnych:
! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, skopiuj te formuły właśnie tam. Jeśli nie masz zeszytu, przerysuj je na kartce papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą krążyć wokół tych wzorów.
Samo rozwiązanie może mieć następującą strukturę:
Przekształćmy funkcję:
Znajdź pochodną: 
Wstępna konfiguracja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Tak więc, gdy do zróżnicowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest jego „rozbicie”.
A teraz kilka prostych przykładów samodzielnego rozwiązania:
Przykład 9
Znajdź pochodną funkcji 
Przykład 10
Znajdź pochodną funkcji
Wszystkie przemiany i odpowiedzi na koniec lekcji.
Pochodna logarytmiczna
Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, to pojawia się pytanie, czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Mogą! A nawet konieczne.
Przykład 11
Znajdź pochodną funkcji 
Ostatnio przyjrzeliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Możesz konsekwentnie stosować zasadę różnicowania ilorazu, a następnie zasadę różnicowania pracy. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.
Ale w teorii i praktyce istnieje tak wspaniała rzecz jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można sztucznie zorganizować, „zawieszając” je po obu stronach:
Notatka
: od funkcja może przyjmować wartości ujemne, wtedy generalnie trzeba użyć modułów: 
które znikną w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, w którym brane są pod uwagę wartości domyślne kompleks wartości. Ale jeśli z całą surowością, to w obu przypadkach należy zastrzec, że.
Teraz musisz maksymalnie „zniszczyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:
Właściwie przechodzimy do różnicowania.
Obie części zamykamy pod kreską:
Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę tego komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, to śmiało musisz sobie z tym poradzić.
A co z lewą stroną?
Po lewej mamy złożona funkcja... Przewiduję pytanie: "Dlaczego pod logarytmem jest też jedna litera" ygrek "?
Faktem jest, że ten „jeden list igrek” - SAMO JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to bardzo jasne, zapoznaj się z artykułem Pochodne z funkcji niejawnej). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „gra” jest funkcją wewnętrzną. I stosujemy zasadę różniczkowania funkcji złożonej 
:
Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki, pojawiła się pochodna. Dalej, zgodnie z zasadą proporcji, rzucamy „grę” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:
A teraz przypomnimy sobie, jaki rodzaj funkcji „gry” omawialiśmy w zróżnicowaniu? Patrzymy na stan: 
Ostatnia odpowiedź: 
Przykład 12
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. Próbka projektu przykładu tego typu na końcu lekcji.
Za pomocą pochodnej logarytmicznej można było rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje są tam prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.
Pochodna funkcji wykładniczej
Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja wykładnicza to funkcja, w której a stopień i podstawa zależą od „x”... Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub w dowolnym wykładzie:
Jak znaleźć pochodną funkcji wykładniczej?
Konieczne jest zastosowanie właśnie rozważanej techniki - pochodnej logarytmicznej. Po obu stronach zawieszamy logarytmy:
Z reguły stopień wyjmuje się spod logarytmu po prawej stronie:
W rezultacie po prawej stronie otrzymaliśmy iloczyn dwóch funkcji, który będzie różnicowany według standardowego wzoru 
.
Znajdujemy pochodną, w tym celu umieszczamy obie części pod kreskami:
Dalsze działania są proste:
Wreszcie: 
Jeśli jakakolwiek transformacja nie jest całkowicie jasna, przeczytaj uważnie ponownie wyjaśnienia w Przykładzie nr 11.
W zadaniach praktycznych funkcja wykładnicza będzie zawsze bardziej skomplikowana niż rozważany przykład wykładowy.
Przykład 13
Znajdź pochodną funkcji
Używamy pochodnej logarytmicznej. 
Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - "x" i "logarytmu logarytmu x" (inny logarytm jest osadzony pod logarytmem). Przy różnicowaniu stałej, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć znak pochodnej, aby nie przeszkadzał nam pod stopami; i oczywiście stosujemy znaną regułę 
:
Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim egzemplarze z dodatkami funkcyjnymi 3-4-5 będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym trudnym, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś będzie cierpieć), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej przede wszystkim konieczne jest dobrze ZROZUMIEĆ załączniki. W przypadkach, w których pojawiają się wątpliwości, przywołuję użyteczną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „X” i próbujemy (w myślach lub szkicu) zastąpić tę wartość w „strasznym wyrażeniu”.
1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że kwota jest najgłębszą inwestycją.
2) Następnie musisz obliczyć logarytm:
4) Następnie podnieś cosinus do sześcianu:
5) W piątym kroku różnica:
6) Wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy: 
Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonych 
są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:
Wydaje się bez błędów:
1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.
2) Bierzemy pochodną różnicy stosując regułę 
3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim członie bierzemy pochodną stopnia (sześcian).
4) Bierzemy pochodną cosinusa.
6) I na koniec bierzemy pochodną najgłębszego zagnieżdżenia.
Może to zabrzmieć zbyt trudne, ale nie jest to jeszcze najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz cały urok i prostotę analizowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubią dawać podobne rzeczy na egzaminie, aby sprawdzić, czy uczeń rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.
Następny przykład dotyczy rozwiązania typu „zrób to sam”.
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Podpowiedź: Najpierw stosujemy zasady liniowości oraz zasadę różnicowania produktów
Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka.
Teraz nadszedł czas, aby przejść do czegoś bardziej kompaktowego i uroczego.
Nie jest niczym niezwykłym, że przykład daje produkt o nie dwóch, ale trzech funkcjach. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji 
Najpierw zobaczmy, czy możliwe jest przekształcenie iloczynu trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w produkcie dwa wielomiany, moglibyśmy rozszerzyć nawiasy. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wykładnik i logarytm.
W takich przypadkach jest to konieczne konsekwentnie zastosować zasadę różnicowania produktów 
dwa razy
Sztuczka polega na tym, że dla "y" oznaczamy iloczyn dwóch funkcji:, a dla "ve" - logarytm:. Dlaczego można to zrobić? Czy to jest? 
- to nie jest iloczyn dwóch czynników i zasada nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:
Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:
Nadal można być zboczonym i wstawić coś poza nawiasy, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź w tej formie – łatwiej będzie to sprawdzić.
Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:
Oba rozwiązania są absolutnie równoważne.
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
Jest to przykład samodzielnego rozwiązania, w próbce jest ono rozwiązane w pierwszy sposób.
Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami.
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Tutaj możesz przejść na kilka sposobów:
Lub tak:
Ale rozwiązanie zostanie napisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw użyjemy reguły różniczkowania ilorazu 
, biorąc za cały licznik:
W zasadzie przykład jest rozwiązany, a jeśli zostawisz go tak, jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić szkic, ale czy można uprościć odpowiedź?
Doprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:
Wadą dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko pomyłki nie w znalezieniu pochodnej, ale w przypadku banalnych przekształceń szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.
Prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, w którym do różnicowania proponuje się „straszny” logarytm
Na której przeanalizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z regułami różniczkowania i niektórymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry z pochodnymi funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastawić się na poważny nastrój - materiał nie jest łatwy, ale postaram się go przedstawić prosto i łatwo.
W praktyce bardzo często masz do czynienia z pochodną funkcji złożonej, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnych.
W tabeli przyglądamy się regule (nr 5) różniczkowania funkcji złożonej:
Zrozumienie. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na nagranie. Tutaj mamy dwie funkcje - a ponadto funkcja, mówiąc w przenośni, jest wbudowana w funkcję. Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.
Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja - funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona).
! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Ci zrozumienie materiału.
Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji
Pod sinusem mamy nie tylko literę „X”, ale wyrażenie całkowite, więc nie będzie można znaleźć pochodnej bezpośrednio z tabeli. Zauważamy również, że nie można tutaj zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:
W tym przykładzie, już z moich wyjaśnień, jest intuicyjnie jasne, że funkcja jest funkcją złożoną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (zagnieżdżanie) i funkcją zewnętrzną.
Pierwszy krok, które należy wykonać przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej, jest to, że dowiedzieć się, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna?.
W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. A jeśli wszystko nie jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.
Wyobraź sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia na kalkulatorze (zamiast jedynki może być dowolna).
Co najpierw obliczymy? Po pierwsze będziesz musiał wykonać następującą czynność: dlatego wielomian będzie funkcją wewnętrzną: 
Wtórny trzeba będzie znaleźć, więc sinus będzie funkcją zewnętrzną: 
Po tym, jak my Pojąć przy funkcjach wewnętrznych i zewnętrznych czas zastosować zasadę różniczkowania funkcji złożonej 
.
Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się tak - zamykamy wyrażenie w nawiasach i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:
Najpierw znajdź pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), spójrz na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważ to. Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:
Zauważ, że wewnętrzna funkcja nie zmienił się, nie dotykamy tego.
Cóż, to dość oczywiste
Wynik zastosowania formuły 
w ostatecznym projekcie wygląda to tak:
Współczynnik stały jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:
Jeśli jest jakieś zamieszanie, zapisz rozwiązanie i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Jak zawsze piszemy: 
Zastanówmy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, spróbuj (mentalnie lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia na. Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, jaka jest podstawa: co oznacza, że wielomian jest funkcją wewnętrzną: 
I dopiero wtedy następuje potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną: 
Zgodnie ze wzorem 
, najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku od stopnia. Poszukujemy wymaganej formuły w tabeli:. Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego... Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej 
Następny:
Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna nie zmieni się dla nas: 
Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład rozwiązania „zrób to sam” (odpowiedź na końcu samouczka).
Aby utrwalić rozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuję rozgryźć go samodzielnie, spekuluję, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania zostały rozwiązane w ten sposób?
Przykład 5
a) Znajdź pochodną funkcji
b) Znajdź pochodną funkcji
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Tutaj mamy rdzeń i aby go odróżnić, należy go przedstawić jako stopień. Zatem najpierw sprowadzamy funkcję do postaci odpowiedniej do różniczkowania:
Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej 
:
Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:
Gotowy. Możesz także sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko w jednym ułamku. Fajnie, oczywiście, ale gdy uzyska się uciążliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład rozwiązania „zrób to sam” (odpowiedź na końcu samouczka).
Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu 
, ale takie rozwiązanie będzie wyglądało nietypowo jako perwersja. Oto typowy przykład:
Przykład 8
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj możesz użyć reguły do różnicowania ilorazu 
, ale o wiele bardziej opłaca się znaleźć pochodną przez zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - wysuwamy minus poza znak pochodnej, a cosinus podnosimy do licznika:
Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Stosujemy naszą zasadę 
:
Znajdź pochodną funkcji wewnętrznej, zresetuj cosinus w dół:
Gotowy. W tym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Przy okazji spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły 
, odpowiedzi muszą się zgadzać.
Przykład 9
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład rozwiązania „zrób to sam” (odpowiedź na końcu samouczka).
Do tej pory przyjrzeliśmy się przypadkom, w których mieliśmy tylko jeden załącznik w złożonej funkcji. W praktycznych zadaniach często można znaleźć pochodne, w których, jak zagnieżdżanie lalek, jedna w drugą, zagnieżdżone są 3, a nawet 4-5 funkcji na raz.
Przykład 10
Znajdź pochodną funkcji
Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próba oceny wyrażenia przy użyciu wartości testowej. Jak mielibyśmy liczyć na kalkulator?
Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że łuk jest najgłębszym zagnieżdżeniem:
Wtedy ten arcus sinus należy do kwadratu:
I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi: 
Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa załączniki, podczas gdy najbardziej wewnętrzna funkcja jest arcus sinus, a najbardziej zewnętrzna funkcja to funkcja wykładnicza.
Zaczynamy rozwiązywać
Zgodnie z regułą 
najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, które nie neguje ważności tego wzoru. Czyli wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej 
Następny.
Absolutnie niemożliwe jest rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów w matematyce bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Dzisiejszy artykuł postanowiliśmy poświęcić temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej fizyczne i geometryczne znaczenie, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?
Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej
Niech będzie funkcja f (x) podane w pewnym przedziale (a, b) ... Punkty х i х0 należą do tego przedziału. Gdy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica między jego wartościami x-x0 ... Ta różnica jest zapisana jako delta x i nazywa się przyrostem argumentów. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica wartości funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:
Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.
W przeciwnym razie można to napisać tak:
Jaki jest sens w znajdowaniu takiej granicy? A oto co:
pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta między osią OX i stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.
Fizyczne znaczenie pochodnej: pochodna toru względem czasu jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.
Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x = f (t) i czas T ... Średnia prędkość w okresie:
Aby dowiedzieć się, jaka jest prędkość ruchu na raz t0 musisz obliczyć limit:
Zasada pierwsza: usuń stałą
Stałą można przesunąć poza znak pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady w matematyce, przyjmuj jako zasadę - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu .
Przykład. Obliczmy pochodną:
Zasada druga: pochodna sumy funkcji
Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.
Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.
Znajdź pochodną funkcji:
Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji
Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:
Przykład: znajdź pochodną funkcji:
Rozwiązanie: 
Ważne jest, aby powiedzieć tutaj o obliczaniu pochodnych funkcji zespolonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.
W powyższym przykładzie spotykamy wyrażenie:
W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną bezpośredniego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.
Zasada czwarta: pochodna ilorazowa dwóch funkcji
Wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji:
O derywatach dla manekinów staraliśmy się opowiedzieć od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często pojawiają się pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu instrumentów pochodnych.
W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów możesz skontaktować się z obsługą studentów. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i uporać się z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie robiłeś obliczeń pochodnych.
Podano przykłady obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną funkcji zespolonej.
TreśćZobacz też: Dowód wzoru na pochodną funkcji zespolonej
Podstawowe formuły
Tutaj podajemy przykłady obliczania pochodnych następujących funkcji:
;
;
;
;
.
Jeśli funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną w następującej postaci:
,
wówczas jego pochodną określa wzór:
.
W poniższych przykładach zapiszemy tę formułę w następujący sposób:
.
gdzie .
W tym przypadku indeksy dolne lub poniżej znaku pochodnej wskazują zmienne, nad którymi dokonywane jest różnicowanie.
Zwykle w tablicach pochodnych podaje się pochodne funkcji zmiennej x. Jednak x jest parametrem formalnym. Zmienną x można zastąpić dowolną inną zmienną. Dlatego rozróżniając funkcję od zmiennej, po prostu zamieniamy w tabeli pochodnych zmienną x na zmienną u.
Proste przykłady
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji zespolonej
.
Zapiszmy daną funkcję w postaci równoważnej:
.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.
Ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej mamy:
.
Tutaj .
Przykład 2
Znajdź pochodną
.
Wyciągamy stałą 5 poza znakiem pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
.
.
Tutaj .
Przykład 3
Znajdź pochodną
.
Wyciągamy stałą -1
za znakiem pochodnej i z tablicy pochodnych znajdujemy:
;
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Tutaj .
Bardziej złożone przykłady
W bardziej złożonych przykładach wielokrotnie stosujemy zasadę różnicowania funkcji złożonych. W ten sposób obliczamy pochodną od końca. Oznacza to, że dzielimy funkcję na jej części składowe i znajdujemy pochodne najprostszych części za pomocą tabela instrumentów pochodnych... Używamy również zasady różnicowania kwot, produkty i frakcje. Następnie dokonujemy podstawień i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
Przykład 4
Znajdź pochodną
.
Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jego pochodną. ...
.
Tutaj użyliśmy notacji
.
Znajdź pochodną następnej części oryginalnej funkcji, stosując otrzymane wyniki. Stosujemy zasadę różnicowania kwoty:
.
Po raz kolejny stosujemy zasadę różniczkowania funkcji złożonej.
.
Tutaj .
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
.
Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jego pochodną z tablicy pochodnych. ...
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej.
.
Tutaj
.
Na podstawie uzyskanych wyników różnicujemy kolejną część.
.
Tutaj
.
Rozróżniamy następną część.
.
Tutaj
.
Teraz znajdujemy pochodną wymaganej funkcji.
.
Tutaj
.
