główny > Przeszklenia > Wyznaczanie oczekiwań matematycznych. Średnia populacji jest. Algorytm obliczania wartości oczekiwanej


Wyznaczanie oczekiwań matematycznych. Średnia populacji jest. Algorytm obliczania wartości oczekiwanej




Oczekiwanie matematyczne to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Oczekiwanie, definicja, oczekiwanie matematyczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, próba, oczekiwanie warunkowe, obliczenia, właściwości, zadania, estymacja oczekiwań, wariancja, dystrybuant, wzory, przykłady obliczeń

Rozwiń zawartość

Zwiń zawartość

Oczekiwanie matematyczne to definicja

Jedno z najważniejszych pojęć w statystyce matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, które charakteryzuje rozkład wartości lub prawdopodobieństw zmiennej losowej. Zwykle wyrażany jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Jest szeroko stosowany w analizie technicznej, badaniu szeregów numerycznych, badaniu procesów ciągłych i długotrwałych. Jest ważna w ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cenowych podczas handlu na rynkach finansowych oraz jest wykorzystywana w opracowywaniu strategii i metod taktyki gry w teorii hazardu.

Matematyczne oczekiwanie tośrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest rozważany w teorii prawdopodobieństwa.

Matematyczne oczekiwanie to miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej x oznaczone M(x).

Matematyczne oczekiwanie to


Matematyczne oczekiwanie to w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć ta zmienna losowa.


Matematyczne oczekiwanie to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej przez prawdopodobieństwa tych wartości.

Matematyczne oczekiwanie tośrednia korzyść z takiego czy innego rozwiązania, pod warunkiem, że takie rozwiązanie można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużej odległości.


Matematyczne oczekiwanie to w teorii hazardu jest to kwota wygranych, które gracz może średnio zarobić lub przegrać za każdy zakład. W języku hazardzistów jest to czasami nazywane „przewagą gracza” (jeśli jest pozytywna dla gracza) lub „przewagą kasyna” (jeśli jest negatywna dla gracza).

Matematyczne oczekiwanie to procent zysku z wygranych pomnożony przez średni zysk, minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.


Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teorii matematycznej

Jedną z ważnych cech liczbowych zmiennej losowej jest oczekiwanie matematyczne. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważ zbiór zmiennych losowych, które są wynikiem tego samego eksperymentu losowego. Jeśli - jedna z możliwych wartości systemu, to zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest łącznym prawem rozkładu. Ta funkcja pozwala obliczyć prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń. W szczególności łączne prawo rozkładu zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest podane przez prawdopodobieństwa.


Termin „matematyczne oczekiwanie” został wprowadzony przez Pierre'a Simona markiza de Laplace (1795) i wywodzi się z pojęcia „oczekiwanej wartości wypłaty”, które po raz pierwszy pojawiło się w XVII wieku w teorii hazardu w pracach Blaise'a Pascala i Christiana Huygensa. Jednak pierwsze pełne teoretyczne zrozumienie i ocenę tej koncepcji dał Pafnutii Lvovich Czebyszew (połowa XIX wieku).


Prawo rozkładu losowych wartości liczbowych (funkcja rozkładu i szereg rozkładów lub gęstość prawdopodobieństwa) w pełni opisuje zachowanie zmiennej losowej. Jednak w wielu problemach wystarczy znać niektóre cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej wartość średnią i ewentualne odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Główne cechy liczbowe zmiennych losowych to oczekiwanie matematyczne, wariancja, moda i mediana.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej to suma iloczynów jej możliwych wartości przez odpowiednie prawdopodobieństwa. Czasami oczekiwanie matematyczne nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej dla dużej liczby eksperymentów. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że ​​jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest wartością nielosową (stałą).


Oczekiwanie matematyczne ma proste znaczenie fizyczne: jeśli masa jednostkowa zostanie umieszczona na linii prostej poprzez umieszczenie pewnej masy w niektórych punktach (dla rozkładu dyskretnego) lub „rozmazanie” jej określoną gęstością (dla rozkładu absolutnie ciągłego), wtedy punkt odpowiadający matematycznemu oczekiwaniu będzie współrzędną „Środek ciężkości” jest prosty.


Średnia wartość zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „reprezentatywna” i zastępuje ją w przybliżonych przybliżonych obliczeniach. Kiedy mówimy: „średni czas pracy lampy to 100 godzin” lub „środek uderzenia jest przesunięty w stosunku do celu o 2 m w prawo”, wskazujemy na pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej, która opisuje jego położenie na osi liczbowej, tj. „Charakterystyka stanowiska”.

Z charakterystyki pozycji w teorii prawdopodobieństwa najważniejszą rolę odgrywa matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, zwane niekiedy po prostu wartością średnią zmiennej losowej.


Rozważ zmienną losową NS z możliwymi wartościami x1, x2, ..., xn z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., pn... Musimy scharakteryzować pewną liczbą położenie wartości zmiennej losowej na osi odciętej, biorąc pod uwagę fakt, że wartości te mają różne prawdopodobieństwa. W tym celu naturalne jest wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każda wartość xi podczas uśredniania powinna być brana pod uwagę z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej x co będziemy oznaczać M | X |:


Ta średnia ważona nazywana jest matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej. W ten sposób wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć teorii prawdopodobieństwa - pojęcie oczekiwania matematycznego. Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej przez prawdopodobieństwa tych wartości.

NS związane z osobliwym związkiem ze średnią arytmetyczną obserwowanych wartości zmiennej losowej przy dużej liczbie eksperymentów. Ta zależność jest tego samego typu, co zależność między częstością a prawdopodobieństwem, a mianowicie: przy dużej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej zbliża się (zbiega prawdopodobieństwem) do jej matematycznego oczekiwania. Z obecności związku między częstością a prawdopodobieństwem można w konsekwencji wywnioskować istnienie podobnego związku między średnią arytmetyczną a oczekiwaniem matematycznym. Rzeczywiście, rozważ zmienną losową NS charakteryzuje się serią dystrybucyjną:


Niech się wyprodukuje n niezależne eksperymenty, w każdym z których wartość x nabiera pewnego znaczenia. Załóżmy, że wartość x1 pojawił się m1 razy, wartość x2 pojawił się m2 razy, ogólnie znaczy xi pojawił się mi razy. Obliczmy średnią arytmetyczną obserwowanych wartości wielkości X, która w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M | X | wyznaczymy M * | X |:

Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów n częstotliwość Liczba Pi zbliży się (zbiegnie się w prawdopodobieństwie) do odpowiednich prawdopodobieństw. W konsekwencji średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej M | X | wraz ze wzrostem liczby eksperymentów zbliży się (prawdopodobnie zbiegnie) do swoich matematycznych oczekiwań. Powyższy związek między średnią arytmetyczną a oczekiwaniem matematycznym jest treścią jednej z postaci prawa wielkich liczb.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że pewne średnie są stabilne dla dużej liczby eksperymentów. Tutaj mówimy o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji o tej samej wielkości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie losowy” i stabilizując się, zbliża się do stałej wartości - matematycznego oczekiwania.


Właściwość stabilności średnich przy dużej liczbie eksperymentów można łatwo zweryfikować eksperymentalnie. Np. ważenie ciała w laboratorium na dokładnej wadze, w wyniku ważenia za każdym razem otrzymujemy nową wartość; aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilkakrotnie i korzystamy ze średniej arytmetycznej uzyskanych wartości. Łatwo się przekonać, że przy dalszym wzroście liczby eksperymentów (ważeń) średnia arytmetyczna w coraz mniejszym stopniu reaguje na ten wzrost, a przy dostatecznie dużej liczbie eksperymentów praktycznie przestaje się zmieniać.

Należy zauważyć, że najważniejsza cecha położenia zmiennej losowej – oczekiwanie matematyczne – nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Można skomponować przykłady takich zmiennych losowych, dla których nie istnieje oczekiwanie matematyczne, ponieważ odpowiadająca im suma lub całka jest rozbieżna. Jednak w praktyce takie przypadki nie cieszą się dużym zainteresowaniem. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matematyczne oczekiwanie.


Poza najważniejszą z cech pozycji zmiennej losowej – oczekiwaniem matematycznym – w praktyce czasami wykorzystywane są inne cechy pozycji, w szczególności tryb i mediana zmiennej losowej.


Mod zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobną wartością. Termin „wartość najbardziej prawdopodobna”, ściśle mówiąc, odnosi się tylko do ilości nieciągłych; dla wielkości ciągłej trybem jest wartość, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Na rysunkach pokazano tryb odpowiednio dla nieciągłych i ciągłych zmiennych losowych.


Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, rozkład nazywa się „polimodalnym”.



Czasami są dystrybucje, które mają pośrodku minimum, a nie maksimum. Takie rozkłady są nazywane „antymodalnymi”.


W ogólnym przypadku tryb i matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tzn. ma modę) i istnieje oczekiwanie matematyczne, to pokrywa się on z modą i środkiem symetrii rozkładu.

Często wykorzystywana jest inna cecha stanowiska – tzw. mediana zmiennej losowej. Ta cecha jest zwykle używana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż formalnie można ją określić dla zmiennej nieciągłej. Geometrycznie mediana jest odciętą punktu, w którym obszar ograniczony krzywą rozkładu jest zmniejszony o połowę.


W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się z oczekiwaniem matematycznym i modą.

Oczekiwanie matematyczne jest wartością średnią, a zmiennej losowej - liczbową charakterystyką rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najogólniej rzecz ujmując, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w) jest definiowana jako całka Lebesgue'a w odniesieniu do miary prawdopodobieństwa r w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:


Oczekiwanie matematyczne można obliczyć jako całkę Lebesgue'a z NS przez rozkład prawdopodobieństwa px wielkości x:


W naturalny sposób można zdefiniować pojęcie zmiennej losowej z nieskończonym matematycznym oczekiwaniem. Czasy powrotu w niektórych przypadkowych spacerach są typowymi przykładami.

Wykorzystując oczekiwanie matematyczne wyznacza się wiele cech liczbowych i funkcjonalnych rozkładu (jako matematyczne oczekiwanie odpowiednich funkcji zmiennej losowej), np. funkcję tworzącą, funkcję charakterystyczną, momenty dowolnego rzędu, w szczególności wariancję, kowariancja.

Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średnia wartość jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne pełni rolę pewnego „typowego” parametru rozkładu, a jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnych środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Oczekiwanie matematyczne różni się od innych charakterystyk lokalizacji, za pomocą których rozkład jest opisywany w terminach ogólnych, mediany, mody, większą wartością, jaką ma on i odpowiadająca mu charakterystyka rozpraszania - dyspersja - w twierdzeniach granicznych rachunku prawdopodobieństwa. Z największą kompletnością sens matematycznego oczekiwania ukazuje prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) oraz wzmocnione prawo wielkich liczb.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów przy rzucaniu kostką może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). W praktyce dla takiej wartości często pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni dochód (lub strata) z każdej z ryzykownych operacji?


Powiedzmy, że istnieje jakaś loteria. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się brać w nim udział (a nawet brać udział wielokrotnie, regularnie). Załóżmy, że co czwarty zwycięski bilet, nagroda wynosi 300 rubli, a cena każdego losu to 100 rubli. Przy nieskończenie dużej liczbie uczestników tak się dzieje. W trzech czwartych przypadków przegramy, co trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery udziały tracimy średnio 100 rubli, za jeden - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka za naszą ruinę wyniesie 25 rubli za bilet.

Rzucamy kostką. Jeśli nie jest to oszustwo (brak przesunięcia środka ciężkości itp.), to ile punktów będziemy mieć średnio jednorazowo? Ponieważ każda opcja jest jednakowo prawdopodobna, bierzemy głupią średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, nie ma co się oburzać, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma krawędzi o takiej liczbie!

Podsumujmy teraz nasze przykłady:


Spójrzmy na pokazane właśnie zdjęcie. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (pokazanych w górnym wierszu). Nie może być innych wartości. Każda możliwa wartość poniżej jest oznaczona swoim prawdopodobieństwem. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M (X) nazywa się oczekiwaniem matematycznym. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie testów (na dużej próbie) średnia wartość będzie dążyć do tego bardzo matematycznego oczekiwania.

Wróćmy do tej samej kostki do gry. Matematyczne oczekiwanie liczby punktów przy rzucie wynosi 3,5 (oblicz się za pomocą wzoru, jeśli nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś to kilka razy. Spadli 4 i 6. Średnio wyszło 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili to jeszcze raz, spadły 3, czyli średnio (4+6+3)/3=4.3333... Jakoś daleko od matematycznych oczekiwań. Teraz zrób ten szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! A jeśli średnia nie wynosi dokładnie 3,5, to będzie jej bliska.

Obliczmy matematyczne oczekiwanie dla opisanej powyżej loterii. Tabliczka będzie wyglądać tak:


Wtedy matematyczne oczekiwanie będzie, jak ustaliliśmy powyżej.:


Inna sprawa, że ​​trudno byłoby używać tego samego „na palcach”, bez formuły, gdyby było więcej opcji. Cóż, powiedzmy, że byłoby 75% przegranych biletów, 20% zwycięskich biletów i 5% dodatkowych zwycięskich biletów.

Teraz kilka własności matematycznego oczekiwania.

Udowodnienie tego jest proste:


Ze znaku matematycznego oczekiwania można wyprowadzić stały czynnik, to znaczy:


Jest to szczególny przypadek własności liniowości matematycznego oczekiwania.

Kolejna konsekwencja liniowości oczekiwań matematycznych:

to znaczy, matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, następnie:

Łatwo to również udowodnić) XY sama w sobie jest zmienną losową, natomiast jeśli początkowe wartości mogłyby przyjąć n oraz m wartości odpowiednio więc XY może przyjmować wartości nm. Prawdopodobieństwo każdej z wartości jest obliczane na podstawie mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych. W rezultacie otrzymujemy to:


Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

Ciągłe zmienne losowe mają taką charakterystykę jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). W rzeczywistości charakteryzuje to sytuację, w której zmienna losowa częściej przyjmuje pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych, inne rzadziej. Rozważmy na przykład następujący wykres:


Tutaj x sama jest zmienną losową, f (x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, w eksperymentach wartość x często będzie liczbą bliską zeru. Szanse na przekroczenie 3 lub być mniej -3 raczej czysto teoretyczne.


Załóżmy na przykład, że istnieje rozkład równomierny:



Jest to całkiem zgodne z intuicyjnym zrozumieniem. Powiedzmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o jednostajnym rozkładzie, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Własności oczekiwania matematycznego - liniowość itp., mające zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych, mają tu również zastosowanie.

Związek między oczekiwaniem matematycznym a innymi wskaźnikami statystycznymi

W analizie statystycznej wraz z oczekiwaniem matematycznym istnieje system współzależnych wskaźników odzwierciedlających jednorodność zjawisk i stabilność procesów. Wskaźniki zmienności często nie mają niezależnego znaczenia i są wykorzystywane do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność danych, co jest cenną statystyką.


Stopień zmienności lub stabilności procesów w naukach statystycznych można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Najważniejszym wskaźnikiem charakteryzującym zmienność zmiennej losowej jest Dyspersja, co jest ściśle i bezpośrednio związane z oczekiwaniem matematycznym. Ten parametr jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnia liniowa, wariancja odzwierciedla również miarę rozrzutu danych wokół średniej.


Przydatne jest przetłumaczenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że wariancja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że najpierw oblicza się średnią, a następnie bierze się różnicę między każdym oryginałem a średnią, podwaja do kwadratu, dodaje, a następnie dzieli przez liczbę wartości w populacji. Różnica między wartością indywidualną a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Podnosi się ją do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby uniknąć wzajemnego zniszczenia odchyleń dodatnich i ujemnych podczas ich sumowania. Następnie z kwadratów odchyleń po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia - kwadrat - odchylenia. Odchylenia są podnoszone do kwadratu i uwzględniana jest średnia. Rozwiązanie magicznego słowa „wariancja” kryje się w zaledwie trzech słowach.

Jednak w czystej postaci, takiej jak średnia arytmetyczna lub indeks, wariancja nie jest używana. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc ze wzoru, jest to kwadrat jednostki miary oryginalnych danych.

Zmierzmy zmienną losową n razy, na przykład, mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć średnią wartość. Jak średnia ma się do funkcji rozkładu?

Lub będziemy rzucać kostką wiele razy. Liczba punktów, które wypadną na kostce przy każdym rzucie, jest zmienną losową i może przyjmować dowolne wartości naturalne od 1 do 6. Średnia arytmetyczna odrzuconych punktów obliczona dla wszystkich rzutów kostką również jest wartością losową, ale dla dużych n ma tendencję do bardzo określonej liczby - matematycznego oczekiwania Mx... W tym przypadku Mx = 3,5.

Jak powstała ta wartość? Wpuść n próby n1 raz spadła o 1 punkt, n2 razy - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, na które spadł jeden punkt:


Podobnie dla wyników, gdy padnie 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.


Załóżmy teraz, że znamy prawo rozkładu zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2, ..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., pk.

Matematyczne oczekiwanie Mx zmiennej losowej x wynosi:


Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Tak więc do oszacowania przeciętnego wynagrodzenia rozsądniej jest użyć pojęcia mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób otrzymujących mniej niż mediana i więcej była taka sama.

Prawdopodobieństwo p1, że zmienna losowa x będzie mniejsza niż x1/2, oraz prawdopodobieństwo p2, że zmienna losowa x będzie większa niż x1/2 są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest określona jednoznacznie dla wszystkich rozkładów.


Odchylenie standardowe lub standardowe w statystyce to stopień, w jakim dane lub zbiory obserwacyjne odbiegają od średniej. Jest oznaczony literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane są skupione wokół średniej, podczas gdy duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe są od niej dalekie. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wielkości zwanej wariancją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych odbiegających od średniej. Odchylenie średniej kwadratowej zmiennej losowej nazywamy pierwiastkiem kwadratowym wariancji:


Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu obliczyć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej:


Zmiana- zmienność, zmienność wartości cechy w jednostkach populacji. Poszczególne wartości liczbowe cechy występujące w badanej populacji nazywane są opcjami wartości. Niewystarczalność wartości średniej dla pełnej charakterystyki populacji powoduje konieczność uzupełnienia wartości średnich o wskaźniki umożliwiające ocenę typowości tych średnich poprzez pomiar zmienności (zmienności) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się według wzoru:


Odmiana machnięcia(R) to różnica między maksymalnymi i minimalnymi wartościami cechy w badanej populacji. Wskaźnik ten daje najbardziej ogólne pojęcie o zmienności badanej cechy, ponieważ pokazuje różnicę tylko między wartościami granicznymi opcji. Zależność od skrajnych wartości cechy nadaje zakresowi zmienności niestabilny, losowy charakter.


Średnie odchylenie liniowe jest średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:


Oczekiwana wartość w teorii hazardu

Matematyczne oczekiwanie tośrednia kwota, jaką gracz może wygrać lub przegrać na danym zakładzie. To bardzo ważna koncepcja dla gracza, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grze. Oczekiwanie jest również optymalnym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grze.

Załóżmy, że grasz monetą z przyjacielem, za każdym razem po równo obstawiając 1 $, niezależnie od tego, co się wydarzy. Ogon - wygrywasz, orła - przegrywasz. Szanse na resztki są jeden do jednego i stawiasz od 1 do 1 dolara. Zatem twoje matematyczne oczekiwanie wynosi zero, ponieważ z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach czy po 200 będziesz prowadzić, czy przegrać.


Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wygrana godzinowa to kwota, którą spodziewasz się wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ twoje szanse nie są ani pozytywne, ani negatywne. Z punktu widzenia poważnego gracza taki system obstawiania nie jest zły. Ale to po prostu strata czasu.

Załóżmy jednak, że ktoś w tej samej grze chce postawić 2 dolary przeciwko twojemu 1 dolarowi. Wtedy natychmiast oczekujesz 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centów? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszego dolara i przegraj 1 dolar, postaw drugi i wygraj 2 dolary. Obstawiasz 1 $ dwa razy i masz 1 $ do przodu. Więc każdy z twoich jednodolarowych zakładów dawał ci 50 centów.


Jeśli moneta wypadnie 500 razy w ciągu godziny, Twoja godzinowa wygrana wyniesie już 250 $, ponieważ średnio przegrałeś 1 250 $, a wygrałeś 2 250 $. 500 $ minus 250 $ równa się 250 $, czyli całkowita wygrana. Pamiętaj, że oczekiwana wartość, czyli kwota, którą średnio wygrałeś na jednym zakładzie, to 50 centów. Wygrałeś 250 $, obstawiając 500 razy zakład dolara, co równa się 50 centom od stawki.

Oczekiwanie nie ma nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić przeciwko tobie 2 dolary, mógł cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale ty, mając przewagę w obstawianiu 2:1, przy wszystkich innych warunkach równych, w każdych okolicznościach, zarabiasz 50 centów z każdego 1 dolar zakład. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład, czy kilka zakładów, ale tylko wtedy, gdy masz wystarczająco dużo gotówki, aby spokojnie zrekompensować koszty. Jeśli nadal będziesz obstawiać w ten sam sposób, po dłuższym czasie Twoje wygrane zrównają się z Twoimi oczekiwaniami w poszczególnych rzutach.


Za każdym razem, gdy stawiasz zakład z najlepszym wynikiem (zakład, który może okazać się opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na Twoją korzyść, na pewno coś na tym wygrasz i nie ma znaczenia, czy przegrasz czy nie w tej ręce. I odwrotnie, jeśli postawisz zakład z najgorszym wynikiem (zakład, który nie jest opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse nie są na twoją korzyść, tracisz coś niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz w danym rozdaniu.

Obstawiasz zakład z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, a jest to pozytywne, jeśli szanse są po Twojej stronie. Obstawiając zakład z najgorszym wynikiem, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni gracze obstawiają tylko z najlepszym wynikiem, w najgorszym przypadku pasują. Co oznacza kurs na twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż przynoszą prawdziwe szanse. Prawdziwe szanse na resztki wynoszą 1 do 1, ale otrzymujesz 2 do 1 ze względu na stosunek zakładów. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Na pewno uzyskasz najlepszy wynik z pozytywnym oczekiwaniem 50 centów za zakład.


Oto bardziej złożony przykład oczekiwanej wartości. Twój kumpel zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 $ przeciwko Twojemu 1 $, że nie określisz ukrytej liczby. Czy powinieneś zgodzić się na taki zakład? Jakie są tutaj oczekiwania?

Pomylisz się średnio cztery razy. Na tej podstawie szanse na odgadnięcie liczby wynoszą 4 do 1. Szanse są takie, że stracisz dolara za jednym podejściem. Jednak wygrywasz 5 do 1, jeśli możesz przegrać 4 do 1. Więc szanse są na twoją korzyść, możesz wziąć zakład i mieć nadzieję na lepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, przegrasz średnio cztery razy 1 dolar, a raz wygrasz 5 dolarów. Na tej podstawie, za wszystkie pięć prób, zarobisz 1 $ z dodatnią oczekiwaną wartością 20 centów na zakład.


Gracz, który wygra więcej niż postawi, jak w powyższym przykładzie, łapie szanse. I odwrotnie, rujnuje szanse, gdy spodziewa się, że wygra mniej niż obstawia. Gracz dokonujący zakładu może mieć pozytywne lub negatywne oczekiwania, w zależności od tego, czy złapie, czy zrujnuje szanse.

Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $ z prawdopodobieństwem wygranej 4 do 1, otrzymasz ujemne oczekiwanie 2 $, ponieważ średnio wygrywasz cztery razy 10 $ i raz przegrywasz 50 $, co pokazuje, że przegrana na jeden zakład wynosi 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, z tymi samymi szansami na wygraną 4 do 1, to w tym przypadku masz pozytywne oczekiwanie 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz cztery razy za 10 USD i raz przegrywasz 30 USD, a zysk w wysokości 10 USD Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.


Oczekiwanie jest centrum każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca fanów piłki nożnej do obstawiania 11 dolarów, aby wygrać 10 dolarów, spodziewają się 50 centów za każde 10 dolarów. Jeśli kasyno wypłaca równe pieniądze z linii przechodzącej w kościach, to pozytywne oczekiwanie kasyna wynosi około 1,40 USD na każde 100 USD, ponieważ Ta gra jest skonstruowana w taki sposób, że każdy, kto postawi na tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% całkowitego czasu. Niewątpliwie to właśnie to pozornie minimalne pozytywne oczekiwanie przynosi kolosalne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył właściciel kasyna Vegas World, Bob Stupak, „jedna tysięczna procenta ujemnego prawdopodobieństwa na wystarczająco dużej odległości zrujnuje najbogatszego człowieka na świecie”.


Oczekiwania matematyczne podczas gry w pokera

Gra w pokera jest najbardziej obrazowym i ilustracyjnym przykładem wykorzystania teorii i właściwości matematycznych oczekiwań.


Wartość oczekiwana w pokerze to średnia korzyść z danego rozwiązania, pod warunkiem, że takie rozwiązanie można rozpatrywać w ramach teorii dużych liczb i długich dystansów. Udana gra w pokera polega na tym, że zawsze akceptujesz ruchy z pozytywnym oczekiwaniem.

Matematyczne znaczenie matematycznych oczekiwań podczas gry w pokera polega na tym, że przy podejmowaniu decyzji często napotykamy zmienne losowe (nie wiemy, które karty są w rękach przeciwnika, które karty pojawią się w kolejnych rundach licytacji). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która mówi, że przy odpowiednio dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie dążyć do jej matematycznego oczekiwania.


Wśród konkretnych wzorów do obliczania matematycznych oczekiwań, w pokerze najbardziej stosuje się następujące:

Podczas gry w pokera oczekiwaną wartość można obliczyć zarówno dla zakładów, jak i wejść. W pierwszym przypadku należy brać pod uwagę fold equity, w drugim - własne oddsy puli. Oceniając matematyczne oczekiwanie ruchu, należy pamiętać, że fold zawsze ma zerowe oczekiwanie. Dlatego odrzucanie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.

Oczekiwanie mówi Ci, czego możesz się spodziewać (zysku lub straty) za każdą zaryzykowaną złotówkę. Kasyna zarabiają pieniądze, ponieważ oczekiwania wszystkich gier, które są w nich praktykowane, są na korzyść kasyna. Przy odpowiednio długiej serii gier można się spodziewać, że klient straci pieniądze, ponieważ „prawdopodobieństwo” jest na korzyść kasyna. Jednak profesjonalni gracze kasyna ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo dotyczy inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Oczekiwanie to procent zysku na wygranej pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.


Poker można również postrzegać w kategoriach matematycznych oczekiwań. Można założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może okazać się daleki od najlepszego, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Powiedzmy, że trafiłeś fula w pięciokartowym pokerze dobieranym. Twój przeciwnik stawia. Wiesz, że jeśli podniesiesz swoją ofertę, on odpowie. Dlatego podbijanie wydaje się najlepszą taktyką. Ale jeśli podbijesz zakład, pozostali dwaj gracze na pewno spasują. Ale jeśli zadzwonisz, będziesz całkowicie pewien, że dwóch innych graczy po tobie zrobi to samo. Kiedy podbijasz stawkę, dostajesz jedną jednostkę, ale po prostu sprawdzając - dwie. Zatem wyrównywanie daje wyższe pozytywne oczekiwania matematyczne i jest najlepszą taktyką.

Oczekiwania matematyczne mogą również dać wyobrażenie o tym, które taktyki są mniej opłacalne w pokerze, a które bardziej. Na przykład, grając określone rozdanie uważasz, że Twoje straty wyniosą średnio 75 centów, wliczając w to ante, wtedy ta ręka powinna zostać rozegrana, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1 $.


Innym ważnym powodem zrozumienia istoty matematycznych oczekiwań jest to, że daje poczucie spokoju, niezależnie od tego, czy wygrałeś zakład, czy nie: jeśli zrobiłeś dobry zakład lub spasowałeś na czas, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub zaoszczędziłeś określoną kwotę pieniędzy, których słabszy gracz nie mógł zaoszczędzić. Dużo trudniej jest spasować, jeśli jesteś zdenerwowany, że twój przeciwnik ma silniejszą rękę na wymianie. Dzięki temu pieniądze, które zaoszczędziłeś bez grania, zamiast obstawiania, są dodawane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.

Pamiętaj tylko, że jeśli zmienisz karty, przeciwnik cię sprawdzi, a jak zobaczysz w artykule „The Fundamental Theorem of Poker” to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś być szczęśliwy, kiedy to się stanie. Możesz nawet nauczyć się cieszyć przegraną ręką, ponieważ wiesz, że inni gracze na twoim miejscu straciliby dużo więcej.


Jak wspomniano w przykładzie gry w monety na początku, godzinowa stopa zwrotu jest powiązana z oczekiwaną wartością, a ta koncepcja jest szczególnie ważna dla profesjonalnych graczy. Kiedy zamierzasz grać w pokera, musisz mentalnie oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też skorzystać z matematyki. Na przykład grasz w draw lowball i widzisz trzech graczy, którzy stawiają 10 $, a następnie wymieniają dwie karty, co jest bardzo złą taktyką, możesz pomyśleć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 $, tracą około 2 $. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że ​​wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech graczy, którzy są w przybliżeniu równi, więc ci czterej gracze (i ty wśród nich) muszą podzielić 48 dolarów, a zysk każdego z nich wyniesie 12 dolarów na godzinę. Twoja stawka godzinowa w tym przypadku jest po prostu częścią pieniędzy straconych przez trzech złych graczy w ciągu godziny.

Przez długi czas całkowita wypłata gracza jest sumą jego matematycznych oczekiwań w poszczególnych rozdaniach. Im więcej grasz z pozytywnymi oczekiwaniami, tym więcej wygrywasz i odwrotnie, im więcej rąk z negatywnymi oczekiwaniami grasz, tym więcej tracisz. W konsekwencji powinieneś wybrać grę, która może zmaksymalizować twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować negatywne, abyś mógł zmaksymalizować swoje godzinowe wygrane.


Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gry

Jeśli wiesz, jak liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, jeśli tego nie zobaczą i cię wyrzucą. Kasyna kochają pijanych hazardzistów i nie znoszą liczników kart. Przewaga pozwoli ci wygrać więcej razy w czasie niż przegrać. Dobre zarządzanie pieniędzmi przy użyciu matematycznych obliczeń oczekiwań może pomóc Ci lepiej wykorzystać swoją przewagę i zmniejszyć straty. Bez przewagi lepiej jest przekazać pieniądze na cele charytatywne. W handlu na giełdzie przewagę daje system gier, który generuje więcej zysków niż strat, różnic cenowych i prowizji. Żadne zarządzanie pieniędzmi nie uratuje złego systemu gier.

Pozytywne oczekiwanie jest definiowane przez wartość większą od zera. Im większa ta liczba, tym silniejsze oczekiwania statystyczne. Jeśli wartość jest mniejsza od zera, oczekiwanie matematyczne również będzie ujemne. Im większy moduł wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik wynosi zero, to oczekiwanie jest progiem rentowności. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne, rozsądny system gry. Gra intuicyjna prowadzi do katastrofy.


Oczekiwania i handel na giełdzie

Oczekiwanie matematyczne jest dość powszechnie poszukiwanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym we wdrażaniu obrotu giełdowego na rynkach finansowych. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu transakcji. Nietrudno się domyślić, że im wyższa podana wartość, tym więcej powodów, by uznać badaną branżę za udaną. Oczywiście analiza pracy tradera nie może być wykonana tylko za pomocą tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości pracy może znacząco poprawić dokładność analizy.


Oczekiwania matematyczne są często obliczane w usługach monitorowania kont handlowych, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną na wpłacie. Jako wyjątki można przytoczyć strategie, które wykorzystują „przesiadywanie” nierentownych transakcji. Trader może mieć szczęście przez pewien czas, a zatem w jego pracy może nie być żadnych strat. W takim przypadku nie będzie możliwe nawigowanie wyłącznie w oczekiwaniu, ponieważ ryzyko zastosowane w pracy nie będzie brane pod uwagę.

W handlu na rynku oczekiwanie jest najczęściej używane przy przewidywaniu rentowności strategii handlowej lub przy przewidywaniu dochodu tradera na podstawie danych statystycznych jego poprzednich transakcji.

Jeśli chodzi o zarządzanie pieniędzmi, bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że podczas dokonywania transakcji z negatywnymi oczekiwaniami nie ma schematu zarządzania pieniędzmi, który z pewnością może przynieść wysokie zyski. Jeśli nadal będziesz grać na giełdzie w tych warunkach, to bez względu na to, jak zarządzasz swoimi pieniędzmi, stracisz całe konto, bez względu na to, jak duże było na początku.

Ten aksjomat sprawdza się nie tylko w grach lub transakcjach z negatywnymi oczekiwaniami, ale także w grach o równych szansach. Dlatego jedynym przypadkiem, w którym masz szansę na długoterminowe korzyści, jest zawieranie transakcji o dodatniej wartości oczekiwanej.


Różnica między oczekiwaniem negatywnym a oczekiwaniem pozytywnym to różnica między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; liczy się to, czy jest pozytywny, czy negatywny. Dlatego zanim rozważysz kwestie związane z zarządzaniem pieniędzmi, musisz znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.

Jeśli nie masz takiej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie nie uratuje Cię. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz, poprzez dobre zarządzanie pieniędzmi, przekształcić je w funkcję wykładniczego wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe jest to pozytywne oczekiwanie! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system handlu z jednym kontraktem. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD na kontrakt w pojedynczej transakcji (po odliczeniu prowizji i poślizgu), możesz użyć technik zarządzania pieniędzmi, aby uczynić go bardziej opłacalnym niż system, który pokazuje średni zysk w wysokości 1000 USD na transakcję (po odliczeniu prowizji i poślizgu).


Liczy się nie to, jak opłacalny był system, ale na ile można powiedzieć, że w przyszłości system wykaże przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie może poczynić trader, jest upewnienie się, że system wykaże pozytywne oczekiwania matematyczne w przyszłości.

Aby w przyszłości mieć pozytywne oczekiwania matematyczne, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody swojego systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub zmniejszenie liczby parametrów do optymalizacji, ale także poprzez zredukowanie jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana, którą wprowadzisz w systemie, zmniejsza liczbę stopni swobody. Najlepiej byłoby zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie konsekwentnie generował niewielkie zyski na prawie każdym rynku. Ponownie, ważne jest, aby zrozumieć, że nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, o ile jest opłacalny. Pieniądze, które zarobisz w handlu, zostaną zarobione dzięki efektywnemu zarządzaniu pieniędzmi.

System transakcyjny to po prostu narzędzie, które daje pozytywne oczekiwania matematyczne, dzięki czemu można wykorzystać zarządzanie pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalny zysk) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać wystarczająco długo w czasie rzeczywistym. Problem z większością doświadczonych technologicznie traderów polega na tym, że poświęcają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizację różnych reguł i wartości parametrów systemu handlowego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast tracić energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skup swoją energię na zwiększeniu poziomu niezawodności osiągania minimalnego zysku.

Wiedząc, że zarządzanie pieniędzmi to tylko gra liczbowa, która wymaga wykorzystania pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” handlu akcjami. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlową, dowiedzieć się, jak logicznie jest ta metoda, czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi zastosowane do dowolnych, nawet przeciętnych metod handlu, wykonają resztę pracy samodzielnie.


Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, konieczne jest rozwiązanie trzech najważniejszych zadań:. Upewnij się, że liczba udanych transakcji przekracza nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, aby możliwość zarabiania pieniędzy była jak najczęściej; Aby osiągnąć stabilność pozytywnego wyniku Twoich działań.

I tutaj nam, pracującym traderom, może pomóc matematyczne oczekiwanie. Ten termin w teorii prawdopodobieństwa jest jednym z kluczowych. Za jego pomocą możesz podać średni szacunek pewnej losowej wartości. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrazimy sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.


W przypadku strategii handlowej, aby ocenić jej skuteczność, najczęściej stosuje się matematyczne oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiowany jest jako suma iloczynów danych poziomów zysku i straty oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że ​​37% wszystkich transakcji przyniesie zysk, a reszta – 63% – będzie nieopłacalna. W tym samym czasie średni dochód z udanej transakcji wyniesie 7 USD, a średnia strata wyniesie 1,4 USD. Obliczmy matematyczne oczekiwanie handlu za pomocą następującego systemu:

Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu, średnio otrzymamy 1,708 $ z każdej zamkniętej transakcji. Ponieważ uzyskana ocena wydajności jest większa od zera, to taki system można z powodzeniem wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczeń matematyczne oczekiwanie okaże się ujemne, to już mówi o średniej stracie i taki handel doprowadzi do ruiny.

Kwota zysku na transakcję może być również wyrażona jako wartość względna w postaci%. Na przykład:

- procent przychodu na 1 transakcję - 5%;

- procent udanych operacji handlowych - 62%;

- procent straty na 1 transakcję - 3%;

- odsetek transakcji nieudanych - 38%;

Oznacza to, że średni handel wygeneruje 1,96%.

Możliwe jest opracowanie systemu, który pomimo dominacji nierentownych transakcji da wynik pozytywny, gdyż jego MO>0.

Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać pieniądze, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W takim przypadku jego rentowność będzie porównywalna z oprocentowaniem banku. Niech każda transakcja da średnio tylko 0,50$, ale co jeśli system zakłada 1000 transakcji rocznie? Będzie to bardzo poważna kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że kolejną cechą wyróżniającą dobry system transakcyjny można uznać za krótki okres utrzymywania pozycji.


Źródła i linki

dic.academic.ru - Akademicki słownik internetowy

matematyka.ru - strona edukacyjna z matematyki

nsu.ru - edukacyjna strona Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego

webmath.ru to portal edukacyjny dla studentów, kandydatów i uczniów.

exponenta.ru edukacyjna strona matematyczna

ru.tradimo.com - darmowa szkoła handlu online

crypto.hut2.ru - multidyscyplinarny zasób informacji

poker-wiki.ru - darmowa encyklopedia pokera

sernam.ru - Biblioteka naukowa wybranych publikacji przyrodniczych

reshim.su - strona ROZWIĄZUJMY zadania kontrolne kursu

unfx.ru - Forex w UNFX: szkolenia, sygnały transakcyjne, zarządzanie zaufaniem

slovopedia.com - Wielki słownik encyklopedyczny Slovopedii

pokermansion.3dn.ru - Twój przewodnik po pokerowym świecie

statanaliz.info - blog informacyjny "Statystyczna analiza danych"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - aktualna analityka Forex

fx-by.com - wszystko dla tradera

Teoria prawdopodobieństwa to specjalna gałąź matematyki, którą studiują tylko studenci. Lubisz obliczenia i formuły? Nie boisz się perspektywy znajomości rozkładu normalnego, entropii zespołowej, oczekiwań matematycznych i wariancji dyskretnej zmiennej losowej? Wtedy ten temat będzie dla Ciebie bardzo interesujący. Zapoznajmy się z niektórymi z najważniejszych podstawowych pojęć w tej dziedzinie nauki.

Pamiętajmy o podstawach

Nawet jeśli pamiętasz najprostsze pojęcia teorii prawdopodobieństwa, nie zaniedbuj pierwszych akapitów artykułu. Faktem jest, że bez jasnego zrozumienia podstaw nie będziesz w stanie pracować z omówionymi poniżej formułami.

Tak więc zdarza się jakieś przypadkowe zdarzenie, jakiś eksperyment. W wyniku wykonanych czynności możemy uzyskać kilka wyników – niektóre z nich są bardziej powszechne, inne rzadziej. Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby faktycznie uzyskanych wyników jednego typu do łącznej liczby możliwych wyników. Dopiero znając klasyczną definicję tego pojęcia, można zacząć badać matematyczne oczekiwanie i wariancję ciągłych zmiennych losowych.

Przeciętny

W szkole, na lekcjach matematyki, zacząłeś pracować ze średnią arytmetyczną. Pojęcie to jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa, dlatego nie można go ignorować. Najważniejsze dla nas w tej chwili jest to, że spotkamy się z nim we wzorach na matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej.

Mamy ciąg liczb i chcemy znaleźć średnią arytmetyczną. Wystarczy zsumować wszystko, co jest dostępne i podzielić przez liczbę elementów w sekwencji. Załóżmy, że mamy liczby od 1 do 9. Suma elementów wyniesie 45 i podzielimy tę wartość przez 9. Odpowiedź: - 5.

Dyspersja

Mówiąc naukowo, wariancja to średni kwadrat odchyleń uzyskanych wartości cechy od średniej arytmetycznej. Jeden jest oznaczony wielką łacińską literą D. Czego potrzebujesz, aby to obliczyć? Dla każdego elementu ciągu oblicz różnicę między dostępną liczbą a średnią arytmetyczną i podnieś ją do kwadratu. Będzie dokładnie tyle wartości, ile może być wyników dla wydarzenia, które rozważamy. Następnie podsumowujemy wszystkie otrzymane i dzielimy przez liczbę elementów w sekwencji. Jeśli mamy pięć możliwych wyników, dzielimy przez pięć.

Wariancja ma również właściwości, o których należy pamiętać, aby zastosować je przy rozwiązywaniu problemów. Na przykład, jeśli zmienna losowa zostanie zwiększona X razy, wariancja zostanie zwiększona X razy do kwadratu (tzn. X * X). Nigdy nie jest mniejsza od zera i nie zależy od przesunięcia wartości o równą wartość w górę lub w dół. Ponadto w przypadku testów niezależnych wariancja sumy jest równa sumie wariancji.

Teraz zdecydowanie musimy rozważyć przykłady wariancji dyskretnej zmiennej losowej i oczekiwania matematycznego.

Załóżmy, że przeprowadziliśmy 21 eksperymentów i uzyskaliśmy 7 różnych wyników. Każdego z nich obserwowaliśmy odpowiednio 1,2,2,3,4,4 i 5 razy. Jaka jest wariancja?

Najpierw obliczmy średnią arytmetyczną: suma elementów jest oczywiście równa 21. Podziel ją przez 7, otrzymując 3. Teraz od każdej liczby w pierwotnym ciągu odejmij 3, podnieś do kwadratu każdą wartość i dodaj wyniki razem. Okaże się 12. Teraz wystarczy podzielić liczbę przez liczbę elementów i wydaje się, że to wszystko. Ale jest w tym haczyk! Porozmawiajmy o tym.

Zależność od liczby eksperymentów

Okazuje się, że przy obliczaniu wariancji mianownikiem może być jedna z dwóch liczb: N lub N-1. Tutaj N to liczba przeprowadzonych eksperymentów lub liczba elementów w sekwencji (które są zasadniczo takie same). Od czego to zależy?

Jeśli liczba testów jest mierzona w setkach, to w mianowniku wstawiamy N. Jeśli w jednostkach, to N-1. Naukowcy postanowili narysować granicę dość symbolicznie: dziś biegnie ona pod liczbą 30. Jeśli przeprowadziliśmy mniej niż 30 eksperymentów, to podzielimy sumę przez N-1, a jeśli więcej, to przez N.

Zadanie

Wróćmy do naszego przykładu rozwiązywania problemu wariancji i oczekiwań. Otrzymaliśmy pośrednią liczbę 12, którą należało podzielić przez N lub N-1. Ponieważ przeprowadziliśmy 21 eksperymentów, czyli mniej niż 30, wybierzemy drugą opcję. Odpowiedź brzmi: wariancja wynosi 12/2 = 2.

Wartość oczekiwana

Przejdźmy do drugiej koncepcji, którą zdecydowanie musimy rozważyć w tym artykule. Oczekiwana wartość to suma wszystkich możliwych wyników pomnożona przez odpowiadające prawdopodobieństwa. Ważne jest, aby zrozumieć, że uzyskaną wartość, a także wynik obliczenia wariancji, uzyskuje się tylko raz dla całego problemu, bez względu na to, ile wyników jest w nim uwzględnionych.

Wzór na oczekiwanie matematyczne jest dość prosty: bierzemy wynik, mnożymy przez jego prawdopodobieństwo, dodajemy to samo dla drugiego, trzeciego wyniku itd. Wszystko, co dotyczy tego pojęcia, jest łatwe do obliczenia. Na przykład suma oczekiwań jest równa oczekiwaniom sumy. To samo dotyczy dzieła. Nie każda wartość w teorii prawdopodobieństwa pozwala na wykonanie tak prostych operacji z samą sobą. Rozwiążmy problem i obliczmy znaczenie dwóch pojęć, które badaliśmy jednocześnie. Dodatkowo rozpraszała nas teoria – nadszedł czas na praktykę.

Jeszcze jeden przykład

Przeprowadziliśmy 50 prób i uzyskaliśmy 10 rodzajów wyników – liczby od 0 do 9 – występujących w różnych odsetkach. Są to odpowiednio: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Przypomnijmy, że aby uzyskać prawdopodobieństwa, należy podzielić wartości w procentach przez 100. W ten sposób otrzymujemy 0,02; 0,1 itd. Przedstawimy przykład rozwiązania problemu wariancji zmiennej losowej i oczekiwania matematycznego.

Średnią arytmetyczną obliczamy ze wzoru, który pamiętamy ze szkoły podstawowej: 50/10 = 5.

Teraz przekształćmy prawdopodobieństwa na liczbę wyników „w kawałkach”, aby łatwiej było je policzyć. Otrzymujemy 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od każdej otrzymanej wartości odejmujemy średnią arytmetyczną, po czym każdy z otrzymanych wyników podliczamy do kwadratu. Zobacz, jak to zrobić na przykładzie pierwszego elementu: 1 - 5 = (-4). Dalej: (-4) * (-4) = 16. Dla pozostałych wartości wykonaj te operacje samodzielnie. Jeśli zrobiłeś wszystko dobrze, to po dodaniu wszystkich dostajesz 90.

Kontynuujmy obliczanie wariancji i średniej dzieląc 90 przez N. Dlaczego wybieramy N, a nie N-1? Zgadza się, ponieważ liczba wykonanych eksperymentów przekracza 30. Czyli: 90/10 = 9. Otrzymaliśmy wariancję. Jeśli dostaniesz inny numer, nie rozpaczaj. Najprawdopodobniej popełniłeś częsty błąd w obliczeniach. Sprawdź ponownie, co napisałeś, a na pewno wszystko się ułoży.

Na koniec przypomnijmy wzór na oczekiwanie matematyczne. Nie podamy wszystkich obliczeń, napiszemy tylko odpowiedź, z którą możesz sprawdzić po wykonaniu wszystkich wymaganych procedur. Oczekiwane będzie 5,48. Przypomnijmy tylko, jak wykonać operacje, na przykładzie pierwszych elementów: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... i tak dalej. Jak widać, po prostu mnożymy wartość wyniku przez jego prawdopodobieństwo.

Odchylenie

Innym pojęciem ściśle związanym z wariancją i oczekiwaniem matematycznym jest odchylenie standardowe. Jest oznaczony albo łacińskimi literami sd, albo grecką małą literą „sigma”. Ta koncepcja pokazuje, jak bardzo średnio wartości odbiegają od centralnej cechy. Aby znaleźć jego wartość, musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Jeśli wykreślisz rozkład normalny i chcesz bezpośrednio na nim zobaczyć kwadrat odchylenia, można to zrobić w kilku krokach. Weź połowę obrazu po lewej lub prawej stronie trybu (wartość środkowa), narysuj prostopadle do osi poziomej, tak aby obszary wynikowych kształtów były równe. Wartość odcinka między środkiem rozkładu a wynikowym rzutem na oś poziomą będzie odpowiadać odchyleniu standardowemu.

Oprogramowanie

Jak widać z opisów wzorów i przedstawionych przykładów, obliczenie wariancji i oczekiwań matematycznych nie jest najprostszą procedurą z arytmetycznego punktu widzenia. Aby nie tracić czasu, warto skorzystać z programu stosowanego w szkolnictwie wyższym – nazywa się „R”. Posiada funkcje pozwalające na obliczanie wartości dla wielu pojęć ze statystyki i teorii prawdopodobieństwa.

Na przykład definiujesz wektor wartości. Odbywa się to w następujący sposób: wektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Wreszcie

Rozproszenie i matematyczne oczekiwanie - bez którego trudno cokolwiek policzyć w przyszłości. W głównym toku wykładów na uczelniach uwzględniane są już w pierwszych miesiącach studiowania przedmiotu. To właśnie z powodu niezrozumienia tych prostych pojęć i niemożności ich obliczenia, wielu studentów od razu zaczyna pozostawać w tyle w programie, a później otrzymuje słabe oceny na podstawie wyników sesji, co pozbawia ich stypendium.

Ćwicz przez co najmniej tydzień, pół godziny dziennie, rozwiązując zadania podobne do przedstawionych w tym artykule. Następnie na dowolnym teście z teorii prawdopodobieństwa poradzisz sobie z przykładami bez zbędnych wskazówek i ściągawek.

Charakterystyki DSV i ich właściwości. Oczekiwanie matematyczne, wariancja, odchylenie standardowe

Prawo rozkładu całkowicie charakteryzuje zmienną losową. Gdy jednak nie da się znaleźć prawa rozkładu lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości, zwanych liczbowymi cechami zmiennej losowej. Wartości te określają pewną średnią wartość, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej oraz stopień ich rozrzutu wokół tej średniej wartości.

Matematyczne oczekiwanie Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej według ich prawdopodobieństw.

Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny absolutnie.

Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź oczekiwaną wartość.

x
P 0.2 0.3 0.1 0.4

Rozwiązanie:

9.2 Własności oczekiwań matematycznych

1. Matematyczne oczekiwanie stałej jest równe najbardziej stałej.

2. Czynnik stały może zostać usunięty poza znak matematycznego oczekiwania.

3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.

Ta właściwość obowiązuje dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych terminów.

Ta właściwość obowiązuje również dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

Niech zostanie wykonanych n niezależnych testów, których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest równe p.

Twierdzenie. Matematyczne oczekiwanie M (X) liczby wystąpienia zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli matematyczne oczekiwania X i Y są znane: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.

Rozwiązanie:

9.3 Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej

Jednak matematyczne oczekiwanie nie może w pełni scharakteryzować procesu losowego. Oprócz oczekiwania matematycznego konieczne jest wprowadzenie wartości charakteryzującej odchylenie wartości zmiennej losowej od oczekiwania matematycznego.

Odchylenie to jest równe różnicy między zmienną losową a jej matematycznym oczekiwaniem. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wynika to z faktu, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, a w wyniku ich wzajemnej spłaty uzyskuje się zero.



Dyspersja (dyspersja) dyskretna zmienna losowa to matematyczne oczekiwanie kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania.

W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennej losowej.

Dlatego stosuje się inną metodę.

Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między oczekiwaniem matematycznym kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej oczekiwań matematycznych.

Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M (X) i kwadrat oczekiwania matematycznego M 2 (X) są wartościami stałymi, możemy napisać:

Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo rozkładu.

NS
X 2
r 0.2 0.3 0.1 0.4

Rozwiązanie: .

9.4 Właściwości dyspersji

1. Wariancja stałej wynosi zero. ...

2. Współczynnik stały można usunąć ze znaku dyspersji przez podniesienie go do kwadratu. ...

3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych wartości. ...

4. Wariancja różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych wartości. ...

Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w każdej z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia p jest stałe, jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństw wystąpienia wystąpienie zdarzenia w każdej próbie.

9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej

Średniokwadratowe odchylenie zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończonej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych wartości.

Przez losową wartość nazywana jest zmienną, która w wyniku każdego testu przyjmuje jedną nieznaną wcześniej wartość, w zależności od przyczyn losowych. Zmienne losowe są oznaczane wielkimi literami łacińskimi: $ X, \ Y, \ Z, \ \ kropki $ Według typu zmienne losowe mogą być oddzielny oraz ciągły.

Dyskretna zmienna losowa jest zmienną losową, której wartości nie mogą być więcej niż policzalne, czyli skończone lub policzalne. Policzalność oznacza, że ​​wartości zmiennej losowej można ponumerować.

Przykład 1 ... Oto kilka przykładów dyskretnych zmiennych losowych:

a) liczba trafień w cel przy strzałach $ n $, tutaj możliwe wartości to 0 $, \ 1, \ \ kropki, \ n $.

b) liczba herbów upuszczonych podczas rzutu monetą, tutaj możliwe wartości to 0 $, \ 1, \ \ kropki, \ n $.

c) liczba statków wchodzących na pokład (przeliczalny zbiór wartości).

d) ilość połączeń przychodzących do centrali (przeliczalny zbiór wartości).

1. Prawo rozkładu prawdopodobieństwa dla dyskretnej zmiennej losowej.

Dyskretna zmienna losowa $ X $ może przyjmować wartości $ x_1, \ kropki, \ x_n $ z prawdopodobieństwami $ p \ left (x_1 \ right), \ \ dots, \ p \ left (x_n \ right) $. Korespondencja między tymi wartościami a ich prawdopodobieństwami nazywa się prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej... Z reguły ta korespondencja jest ustalana za pomocą tabeli, w której w pierwszym wierszu wskazane są wartości $ x_1, \ kropki, \ x_n $, aw drugim wierszu prawdopodobieństwa $ p_1, \ kropki, \ p_n $ odpowiadające tym wartościom.

$ \ początek (tablica) (| c | c |)
\hlinia
X_i & x_1 & x_2 & \ kropki & x_n \\
\hlinia
p_i & p_1 & p_2 & \ kropki & p_n \\
\hlinia
\ koniec (tablica) $

Przykład 2 ... Niech zmienna losowa $ X $ będzie liczbą punktów upuszczonych podczas rzutu kostką. Taka zmienna losowa $ X $ może przyjmować następujące wartości 1 $, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 $. Prawdopodobieństwo wszystkich tych wartości wynosi 1/6 $. Następnie prawo rozkładu prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej $ X $:

$ \ początek (tablica) (| c | c |)
\hlinia
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hlinia

\hlinia
\ koniec (tablica) $

Komentarz... Ponieważ w prawie rozkładu dyskretnej zmiennej losowej $ X $ zdarzenia $ 1, \ 2, \ \ kropki, \ 6 $ tworzą kompletną grupę zdarzeń, całkowite prawdopodobieństwa muszą być równe jedności, czyli $ \ suma (p_i) = 1 zł.

2. Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej ustala swoje „centralne” znaczenie. Dla dyskretnej zmiennej losowej oczekiwanie oblicza się jako sumę iloczynów wartości $ x_1, \ kropki, \ x_n $ przez odpowiednie prawdopodobieństwa $ p_1, \ kropki, \ p_n $, czyli: $ M \ lewo (X \ prawo) = \ suma ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. W literaturze anglojęzycznej używana jest inna notacja $ E \ left (X \ right) $.

Matematyczne właściwości oczekiwań$ M \ lewy (X \ prawy) $:

  1. $ M \ left (X \ right) $ jest zawarte między najmniejszą a największą wartością zmiennej losowej $ X $.
  2. Matematyczne oczekiwanie stałej jest równe samej stałej, tj. $ M \ lewy (C \ prawy) = C $.
  3. Współczynnik stały można przyjąć poza matematycznym znakiem oczekiwania: $ M \ lewy (CX \ prawy) = CM \ lewy (X \ prawy) $.
  4. Matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
  5. Matematyczne oczekiwanie iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Przykład 3 ... Znajdźmy matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej $ X $ z przykładu $ 2 $.

$$ M \ left (X \ right) = \ suma ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) = 1 \ cdot ((1) \ ponad (6)) + 2 \ cdot ((1) \ ponad (6) ) +3 \ cdot ((1) \ ponad (6)) + 4 \ cdot ((1) \ ponad (6)) + 5 \ cdot ((1) \ ponad (6)) + 6 \ cdot ((1 ) \ powyżej (6)) = 3,5. $$

Możemy zauważyć, że $ M \ left (X \ right) $ jest zawarte między najmniejszą (1 $ 1 $) a największą (6 $ $) wartością zmiennej losowej $ X $.

Przykład 4 ... Wiadomo, że matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej $ X $ jest równe $ M \ left (X \ right) = 2 $. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej 3X + 5 zł.

Korzystając z powyższych właściwości, otrzymujemy $ M \ left (3X + 5 \ right) = M \ left (3X \ right) + M \ left (5 \ right) = 3M \ left (X \ right) + 5 = 3 \ cdot 2 + 5 = 11 $.

Przykład 5 ... Wiadomo, że matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej $ X $ jest równe $ M \ left (X \ right) = 4 $. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej 2X-9 $.

Korzystając z powyższych właściwości otrzymujemy $ M \ left (2X-9 \ right) = M \ left (2X \ right) -M \ left (9 \ right) = 2M \ left (X \ right) -9 = 2 \ cdot 4 -9 = -1 $.

3. Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej.

Możliwe wartości zmiennych losowych o równych oczekiwaniach matematycznych mogą w różny sposób rozpraszać się wokół ich wartości średnich. Np. w dwóch grupach studenckich średni wynik egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa wyniósł 4, ale w jednej grupie wszyscy okazali się dobrzy, a w drugiej tylko C i A. W związku z tym istnieje potrzeba takiej charakterystyki liczbowej zmiennej losowej, która pokazywałaby rozkład wartości zmiennej losowej wokół jej matematycznego oczekiwania. Ta cecha to wariancja.

Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej$ X $ jest równe:

$$ D \ lewo (X \ prawo) = \ suma ^ n_ (i = 1) (p_i (\ lewo (x_i-M \ lewo (X \ prawo) \ prawo)) ^ 2)). \ $$

W literaturze anglojęzycznej używa się notacji $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Bardzo często wariancję $ D \ left (X \ right) $ oblicza się według wzoru $ D \ left (X \ right) = \ suma ^ n_ (i = 1) (p_ix ^ 2_i) - (\ left (M \ lewy (X \ prawy) \ prawy)) ^ 2 $.

Właściwości dyspersji$ D \ lewy (X \ prawy) $:

  1. Wariancja jest zawsze większa lub równa zero, tj. $ D \ lewy (X \ prawy) \ ge 0 $.
  2. Wariancja stałej jest równa zeru, tj. $ D \ lewy (C \ prawy) = 0 $.
  3. Ze znaku wariancji można wyprowadzić czynnik stały pod warunkiem, że jest on podniesiony do kwadratu, tj. $ D \ lewy (CX \ prawy) = C ^ 2D \ lewy (X \ prawy) $.
  4. Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji, tj. $ D \ lewy (X + Y \ prawy) = D \ lewy (X \ prawy) + D \ lewy (Y \ prawy) $.
  5. Wariancja różnicy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji, tj. $ D \ lewy (X-Y \ prawy) = D \ lewy (X \ prawy) + D \ lewy (Y \ prawy) $.

Przykład 6 ... Obliczmy wariancję zmiennej losowej $ X $ z przykładu $ 2 $.

$$ D \ left (X \ right) = \ suma ^ n_ (i = 1) (p_i (\ left (x_i-M \ left (X \ right) \ right)) ^ 2) = ((1) \ over (6)) \ cdot (\ lewo (1-3,5 \ prawo)) ^ 2 + ((1) \ ponad (6)) \ cdot (\ lewo (2-3,5 \ prawo)) ^ 2+ \ kropki + ( (1) \ ponad (6)) \ cdot (\ lewo (6-3,5 \ prawo)) ^ 2 = ((35) \ ponad (12)) \ ok 2,92. $$

Przykład 7 ... Wiadomo, że wariancja zmiennej losowej $ X $ jest równa $ D \ left (X \ right) = 2 $. Znajdź wariancję zmiennej losowej $ 4X + 1 $.

Korzystając z powyższych właściwości, znajdujemy $ D \ left (4X + 1 \ right) = D \ left (4X \ right) + D \ left (1 \ right) = 4 ^ 2D \ left (X \ right) + 0 = 16D \ lewo (X \ prawo) = 16 \ cdot 2 = 32 $.

Przykład 8 ... Wiadomo, że wariancja zmiennej losowej $ X $ jest równa $ D \ left (X \ right) = 3 $. Znajdź wariancję zmiennej losowej $ 3-2X $.

Korzystając z powyższych właściwości, znajdujemy $ D \ left (3-2X \ right) = D \ left (3 \ right) + D \ left (2X \ right) = 0 + 2 ^ 2D \ left (X \ right) = 4D \ lewo (X \ prawo) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Dystrybucja zmiennej losowej dyskretnej.

Sposób przedstawienia dyskretnej zmiennej losowej w postaci szeregu rozkładów nie jest jedyny, a co najważniejsze nie jest uniwersalny, ponieważ ciągłej zmiennej losowej nie można określić za pomocą szeregu rozkładów. Istnieje inny sposób reprezentowania zmiennej losowej - funkcja dystrybucji.

Funkcja dystrybucyjna zmiennej losowej $ X $ nazywamy funkcją $ F \ left (x \ right) $, która określa prawdopodobieństwo, że zmienna losowa $ X $ przyjmie wartość mniejszą niż pewna stała wartość $ x $, czyli $ F \ lewo (x \ prawo ) = P \ lewo (X< x\right)$

Właściwości funkcji dystrybucji:

  1. $ 0 \ le F \ lewy (x \ prawy) \ le 1 $.
  2. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa $ X $ przyjmie wartości z przedziału $ \ lewo (\ alfa; \ \ beta \ prawo) $ jest równe różnicy między wartościami funkcji rozkładu na końcach tego przedział: $ P \ lewo (\ alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
  3. $ F \ lewy (x \ prawy) $ - niemalejący.
  4. $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ prawo) = 1 \) $.

Przykład 9 ... Znajdźmy funkcję rozkładu $ F \ left (x \ right) $ dla prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej $ X $ z przykładu $ 2 $.

$ \ początek (tablica) (| c | c |)
\hlinia
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hlinia
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hlinia
\ koniec (tablica) $

Jeśli $ x \ le 1 $, to oczywiście $ F \ left (x \ right) = 0 $ (w tym dla $ x = 1 $ $ F \ left (1 \ right) = P \ left (X< 1\right)=0$).

Jeśli $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jeśli $ 2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jeśli $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jeśli $ 4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jeśli $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jeśli $ x> 6 $, to $ F \ lewy (x \ prawy) = P \ lewy (X = 1 \ prawy) + P \ lewy (X = 2 \ prawy) + P \ lewy (X = 3 \ prawy) + P \ lewy (X = 4 \ prawy) + P \ lewy (X = 5 \ prawy) + P \ lewy (X = 6 \ prawy) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 $.

Więc $ F (x) = \ lewo \ (\ początek (macierz)
0, \ dla \ x \ le 1, \\
1/6, dla \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ dla \ 2< x\le 3,\\
1/2, dla \ 3< x\le 4,\\
2/3, \ dla \ 4< x\le 5,\\
5/6, \ za \ 4< x\le 5,\\
1, \ dla \ x> 6.
\ koniec (matryca) \ prawo. $

2. Podstawy teorii prawdopodobieństwa

Wartość oczekiwana

Rozważ zmienną losową z wartościami liczbowymi. Często przydaje się skojarzenie z tą funkcją liczby - jej „wartości średniej” lub, jak mówią, „wartości średniej”, „wskaźnika tendencji centralnej”. Z wielu powodów, z których niektóre będą jasne w dalszej części, matematyczne oczekiwanie jest zwykle używane jako „wartość średnia”.

Definicja 3. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej NS zadzwonił pod numer

te. matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej to ważona suma wartości zmiennej losowej o wagach równych prawdopodobieństwu odpowiednich zdarzeń elementarnych.

Przykład 6. Obliczmy matematyczne oczekiwanie liczby upuszczonej na górną powierzchnię kostki. Od razu z definicji 3 wynika, że

Oświadczenie 2. Niech zmienna losowa NS przyjmuje wartości x 1, x 2, ..., xm... Wtedy równość

(5)

te. matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej to ważona suma wartości zmiennej losowej o wagach równych prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmie określone wartości.

W przeciwieństwie do (4), gdzie sumowanie odbywa się bezpośrednio nad zdarzeniami elementarnymi, zdarzenie losowe może składać się z kilku zdarzeń elementarnych.

Niekiedy za definicję oczekiwań matematycznych przyjmuje się relację (5). Jednak korzystając z Definicji 3, jak pokazano poniżej, łatwiej jest ustalić właściwości matematycznego oczekiwania wymaganego do konstruowania modeli probabilistycznych zjawisk rzeczywistych niż za pomocą zależności (5).

Aby udowodnić zależność (5), grupujemy w (4) terminy o tych samych wartościach zmiennej losowej:

Ponieważ stały czynnik można wyprowadzić poza znak sumy, to

Określając prawdopodobieństwo zdarzenia

Za pomocą dwóch ostatnich relacji uzyskujemy wymagane:

Pojęcie matematycznego oczekiwania w teorii probabilistyczno-statystycznej odpowiada pojęciu środka ciężkości w mechanice. Wkładamy punkty x 1, x 2, ..., xm na numerycznej osi masy P(x= x 1 ), P(x= x 2 ),…, P(x= x m) odpowiednio. Wtedy równość (5) pokazuje, że środek ciężkości tego układu punktów materialnych pokrywa się z oczekiwaniem matematycznym, co wskazuje na naturalność definicji 3.

Oświadczenie 3. Zostawiać NS- wartość losowa, M (X)- jego matematyczne oczekiwanie, ale- jakaś liczba. Następnie

1) M(a) = a; 2) M(X-M(X)) = 0; 3M[(x- a) 2 ]= m[(x- m(x)) 2 ]+(a- m(x)) 2 .

Jako dowód rozważmy najpierw zmienną losową, która jest stała, tj. funkcja odwzorowuje przestrzeń zdarzeń elementarnych w jednym punkcie ale... Ponieważ stały czynnik można wyprowadzić poza znak sumy, to

Jeśli każdy składnik sumy jest podzielony na dwa terminy, wówczas cała suma jest dzielona na dwie sumy, z których pierwsza składa się z pierwszych, a druga składa się z drugiego. Dlatego matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych X + Y zdefiniowana na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych jest równa sumie matematycznych oczekiwań M (X) oraz M (U) te zmienne losowe:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

I dlatego M (X-M (X)) = M (X) - M (M (X)). Jak pokazane powyżej, M (M (X)) = M (X). W konsekwencji, M (X-M (X)) = M (X) - M (X) = 0.

Ponieważ (X - a) 2 = ((x – m(x)) + (m(x) - a)} 2 = (x - m(x)) 2 + 2(x - m(x))(m(x) - a) + (m(x) – a) 2 , następnie m[(X - a) 2] =m(x - m(x)) 2 + m{2(x - m(x))(m(x) - a)} + m[(m(x) – a) 2 ]. Uprośćmy ostatnią równość. Jak pokazano na początku dowodu Stwierdzenia 3, matematyczne oczekiwanie stałej jest samą tą stałą, a zatem m[(m(x) – a) 2 ] = (m(x) – a) 2 . Ponieważ stały czynnik można wyprowadzić poza znak sumy, to m{2(x - m(x))(m(x) - a)} = 2(m(x) - a) M (x - m(x)). Prawa strona ostatniej równości to 0, ponieważ, jak pokazano powyżej, M (X-M (X)) = 0. W konsekwencji, M [(x- a) 2 ]= m[(x- m(x)) 2 ]+(a- m(x)) 2 , jako wymagane.

Z tego, co zostało powiedziane wynika, że M [(x- a) 2 ] osiąga minimum w ale równy m[(x- m(x)) 2 ], w a = M (X), ponieważ drugi wyraz w równości 3) jest zawsze nieujemny i równy 0 tylko dla wskazanej wartości ale.

Oświadczenie 4. Niech zmienna losowa NS przyjmuje wartości x 1, x 2, ..., xm, a f jest funkcją argumentu liczbowego. Następnie

Jako dowód grupujemy po prawej stronie równości (4), określającej oczekiwanie matematyczne, terminy o tych samych wartościach:

Wykorzystując fakt, że czynnik stały można przesunąć poza znak sumy i określając prawdopodobieństwo zdarzenia losowego (2) otrzymujemy

co było do okazania

Oświadczenie 5. Zostawiać NS oraz Posiadać- zmienne losowe zdefiniowane na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, ale oraz b- kilka liczb. Następnie m(topór+ za pomocą)= jestem(x)+ bM(Tak).

Definiując matematyczne oczekiwanie i właściwości symbolu sumowania, otrzymujemy łańcuch równości:

Wymagane jest udowodnione.

Powyższe pokazuje, w jaki sposób oczekiwanie matematyczne zależy od przejścia do innego pochodzenia i do innej jednostki miary (przejście Tak=topór+b), a także funkcji zmiennych losowych. Uzyskane wyniki są stale wykorzystywane w analizie technicznej i ekonomicznej, w ocenie działalności finansowej i gospodarczej przedsiębiorstwa, w przejściu z jednej waluty na drugą w zagranicznych obliczeniach ekonomicznych, w dokumentacji normatywnej i technicznej itp. Rozważane wyniki sprawiają, że jest to możliwość zastosowania tych samych wzorów obliczeniowych dla różnych parametrów skala i przesunięcie.

Poprzedni