główny > Projekt > Obliczanie matematyki oczekiwań. Oczekiwanie matematyczne to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej


Obliczanie matematyki oczekiwań. Oczekiwanie matematyczne to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej




2. Podstawy teorii prawdopodobieństwa

Wartość oczekiwana

Rozważ zmienną losową z wartościami liczbowymi. Często przydaje się skojarzenie z tą funkcją liczby - jej „wartości średniej” lub, jak mówią, „wartości średniej”, „wskaźnika tendencji centralnej”. Z wielu powodów, z których niektóre będą jasne w dalszej części, matematyczne oczekiwanie jest zwykle używane jako „wartość średnia”.

Definicja 3. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej NS zadzwonił pod numer

te. matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej to ważona suma wartości zmiennej losowej o wagach równych prawdopodobieństwu odpowiednich zdarzeń elementarnych.

Przykład 6. Obliczmy matematyczne oczekiwanie liczby upuszczonej na górną powierzchnię kostki. Od razu z definicji 3 wynika, że

Oświadczenie 2. Niech zmienna losowa NS przyjmuje wartości x 1, x 2, ..., xm... Wtedy równość

(5)

te. matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej to ważona suma wartości zmiennej losowej o wagach równych prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmie określone wartości.

W przeciwieństwie do (4), gdzie sumowanie odbywa się bezpośrednio nad zdarzeniami elementarnymi, zdarzenie losowe może składać się z kilku zdarzeń elementarnych.

Niekiedy za definicję oczekiwań matematycznych przyjmuje się relację (5). Jednak korzystając z Definicji 3, jak pokazano poniżej, łatwiej jest ustalić właściwości matematycznego oczekiwania wymaganego do konstruowania modeli probabilistycznych zjawisk rzeczywistych niż za pomocą zależności (5).

Aby udowodnić zależność (5), grupujemy w (4) wyrazy o tych samych wartościach zmiennej losowej:

Ponieważ stały czynnik można wyprowadzić poza znak sumy, to

Określając prawdopodobieństwo zdarzenia

Za pomocą dwóch ostatnich relacji uzyskujemy wymagane:

Pojęcie matematycznego oczekiwania w teorii probabilistyczno-statystycznej odpowiada pojęciu środka ciężkości w mechanice. Wkładamy punkty x 1, x 2, ..., xm na liczbowej osi masy P(x= x 1 ), P(x= x 2 ),…, P(x= x m) odpowiednio. Wtedy równość (5) pokazuje, że środek ciężkości tego układu punktów materialnych pokrywa się z oczekiwaniem matematycznym, co wskazuje na naturalność definicji 3.

Oświadczenie 3. Zostawiać NS- wartość losowa, M (X)- jego matematyczne oczekiwanie, ale- jakaś liczba. Następnie

1) M(a) = a; 2) M(X-M(X)) = 0; 3M[(x- a) 2 ]= m[(x- m(x)) 2 ]+(a- m(x)) 2 .

Jako dowód rozważmy najpierw zmienną losową, która jest stała, tj. funkcja odwzorowuje przestrzeń zdarzeń elementarnych w jednym punkcie ale... Ponieważ stały czynnik można wyprowadzić poza znak sumy, to

Jeśli każdy składnik sumy jest podzielony na dwa składniki, wówczas cała suma jest dzielona na dwie sumy, z których pierwsza składa się z pierwszych, a druga składa się z drugiego. Dlatego matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych X + Y zdefiniowana na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych jest równa sumie matematycznych oczekiwań M (X) oraz M (U) te zmienne losowe:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

I dlatego M (X-M (X)) = M (X) - M (M (X)). Jak pokazane powyżej, M (M (X)) = M (X). W konsekwencji, M (X-M (X)) = M (X) - M (X) = 0.

Ponieważ (X - a) 2 = ((x – m(x)) + (m(x) - a)} 2 = (x - m(x)) 2 + 2(x - m(x))(m(x) - a) + (m(x) – a) 2 , następnie m[(X - a) 2] =m(x - m(x)) 2 + m{2(x - m(x))(m(x) - a)} + m[(m(x) – a) 2 ]. Uprośćmy ostatnią równość. Jak pokazano na początku dowodu Stwierdzenia 3, matematyczne oczekiwanie stałej jest samą tą stałą, a zatem m[(m(x) – a) 2 ] = (m(x) – a) 2 . Ponieważ stały czynnik można wyprowadzić poza znak sumy, to m{2(x - m(x))(m(x) - a)} = 2(m(x) - a) M (x - m(x)). Prawa strona ostatniej równości to 0, ponieważ, jak pokazano powyżej, M (X-M (X)) = 0. W konsekwencji, M [(x- a) 2 ]= m[(x- m(x)) 2 ]+(a- m(x)) 2 , jako wymagane.

Z tego, co zostało powiedziane wynika, że M [(x- a) 2 ] osiąga minimum w ale równy m[(x- m(x)) 2 ], w a = M (X), ponieważ drugi wyraz w równości 3) jest zawsze nieujemny i równy 0 tylko dla wskazanej wartości ale.

Oświadczenie 4. Niech zmienna losowa NS przyjmuje wartości x 1, x 2, ..., xm, a f jest funkcją argumentu liczbowego. Następnie

Jako dowód grupujemy po prawej stronie równości (4), która określa oczekiwanie matematyczne, terminy o tych samych wartościach:

Wykorzystując fakt, że czynnik stały można przesunąć poza znak sumy i określając prawdopodobieństwo zdarzenia losowego (2) otrzymujemy

co było do okazania

Oświadczenie 5. Zostawiać NS oraz Posiadać- zmienne losowe zdefiniowane na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, ale oraz b- kilka liczb. Następnie m(topór+ za pomocą)= jestem(x)+ bM(Tak).

Definiując matematyczne oczekiwanie i właściwości symbolu sumowania, otrzymujemy łańcuch równości:

Wymagane jest udowodnione.

Powyższe pokazuje, w jaki sposób oczekiwanie matematyczne zależy od przejścia do innego źródła i do innej jednostki miary (przejście Tak=topór+b), a także funkcji zmiennych losowych. Uzyskane wyniki są stale wykorzystywane w analizach techniczno-ekonomicznych, w ocenie działalności finansowej i gospodarczej przedsiębiorstwa, przy przejściu z jednej waluty na drugą w zagranicznych kalkulacjach ekonomicznych, w dokumentacji regulacyjnej i technicznej itp. Analizowane wyniki pozwalają na wykorzystanie te same formuły obliczeniowe dla różnych parametrów skala i przesunięcie.

Poprzedni

Prawo rozkładu całkowicie charakteryzuje zmienną losową. Jednak prawo dystrybucji jest często nieznane i trzeba ograniczyć się do mniejszej ilości informacji. Czasami nawet bardziej opłaca się użyć liczb, które w sumie opisują zmienną losową, takie liczby nazywamy cechy liczbowe zmienna losowa. Oczekiwanie matematyczne jest jedną z ważnych cech liczbowych.

Oczekiwanie matematyczne, jak zostanie pokazane poniżej, jest w przybliżeniu równe średniej wartości zmiennej losowej. Aby rozwiązać wiele problemów, wystarczy znać oczekiwanie matematyczne. Na przykład, jeśli wiadomo, że matematyczne oczekiwanie liczby punktów wytraconych przez pierwszego strzelca jest większe niż drugiego, to przeciętnie pierwszy strzelec wybija więcej punktów niż drugi, a zatem strzela lepiej niż drugi.

Definicja 4.1: Matematyczne oczekiwanie dyskretna zmienna losowa nazywana jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości według ich prawdopodobieństw.

Niech zmienna losowa x może przyjmować tylko wartości x 1, x 2, ... x n, których prawdopodobieństwa są odpowiednio równe s. 1, s. 2, ... s. n. Wtedy oczekiwanie M (X) zmiennej losowej x jest określony przez równość

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n.

Jeśli dyskretna zmienna losowa x przyjmuje policzalny zestaw możliwych wartości, a następnie

,

ponadto oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny absolutnie.

Przykład. Znajdź oczekiwaną liczbę wystąpień zdarzenia A w jednej próbie, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P.

Rozwiązanie: Wartość losowa x- liczba wystąpień zdarzenia A ma rozkład Bernoulliego, dlatego

Zatem, matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w jednej próbie jest równe prawdopodobieństwu tego zdarzenia.

Probabilistyczne znaczenie oczekiwań matematycznych

Niech się wyprodukuje n testy, w których zmienna losowa x przyjęty m 1 razy wartość x 1, m 2 razy wartość x 2 ,…, mk razy wartość x k, oraz m 1 + m 2 +… + m k = n... Następnie suma wszystkich przyjętych wartości x, jest równe x 1 m 1 + x 2 m 2 +… + x k m k .

Średnia arytmetyczna wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną losową będzie

Nastawienie ja / n- częstotliwość względna W i oznaczający x ja w przybliżeniu równe prawdopodobieństwu wystąpienia zdarzenia Liczba Pi, gdzie , więc

Znaczenie probabilistyczne otrzymanego wyniku jest następujące: matematyczne oczekiwanie jest w przybliżeniu równe(im dokładniejsze, tym większa liczba testów) średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Matematyczne właściwości oczekiwania

Właściwość1:Matematyczne oczekiwanie stałej jest równe najbardziej stałej

Właściwość2:Stały czynnik można wyciągnąć ze znaku matematycznego oczekiwania

Definicja 4.2: Dwie zmienne losowe są nazywane niezależny, jeśli prawo rozkładu jednego z nich nie zależy od tego, jakie możliwe wartości przyjęła druga wartość. W przeciwnym razie zmienne losowe są zależne.

Definicja 4.3: Kilka zmiennych losowych są nazywane wzajemnie niezależne, jeśli prawa dystrybucji dowolnej ich liczby nie zależą od możliwych wartości przyjętych przez inne wielkości.

Właściwość3:Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Następstwo:Matematyczne oczekiwanie iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Właściwość4:Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych.

Następstwo:Oczekiwanie matematyczne sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych.

Przykład. Obliczamy matematyczne oczekiwanie dwumianowej zmiennej losowej X - data wydarzenia A w n eksperymenty.

Rozwiązanie:Łączna x występy na imprezach A w tych próbach jest sumą liczby wystąpień zdarzenia w poszczególnych próbach. Wprowadzamy zmienne losowe Xi- liczba wystąpień zdarzenia w i test, które są zmiennymi losowymi Bernoulliego z oczekiwaniem matematycznym, gdzie ... Z właściwości matematycznego oczekiwania mamy

Zatem, matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego o parametrach n i p jest równe iloczynowi np.

Przykład. Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzelania z pistoletu p = 0,6. Znajdź matematyczne oczekiwanie całkowitej liczby trafień po oddaniu 10 strzałów.

Rozwiązanie: Trafienie każdym strzałem nie zależy od wyników innych strzałów, dlatego zdarzenia, o których mowa, są niezależne, a zatem pożądane oczekiwanie matematyczne

Matematyczne oczekiwanie (wartość średnia) zmiennej losowej X, podane na dyskretnej przestrzeni prawdopodobieństwa, to liczba m = M [X] = ∑x i p i, jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie.

Cel usługi... Korzystanie z usługi online obliczane są matematyczne oczekiwanie, wariancja i odchylenie standardowe(patrz przykład). Dodatkowo wykreślany jest wykres funkcji rozkładu F(X).

Własności matematycznego oczekiwania zmiennej losowej

  1. Matematyczne oczekiwanie stałej jest sobie równe: M [C] = C, C jest stałą;
  2. M = C M [X]
  3. Oczekiwanie matematyczne sumy zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych: M = M [X] + M [Y]
  4. Matematyczne oczekiwanie iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań: M = M [X] M [Y], jeśli X i Y są niezależne.

Właściwości dyspersji

  1. Wariancja stałej wynosi zero: D (c) = 0.
  2. Stały czynnik można wyciągnąć ze znaku wariancji podnosząc go do kwadratu: D (k * X) = k 2 D (X).
  3. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to wariancja sumy jest równa sumie wariancji: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
  4. Jeśli zmienne losowe X i Y są zależne: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
  5. Wzór obliczeniowy obowiązuje dla wariancji:
    D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

Przykład. Znane są matematyczne oczekiwania i wariancje dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej Z = 9X-8Y + 7.
Rozwiązanie. Na podstawie właściwości matematycznego oczekiwania: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
Na podstawie właściwości dyspersji: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Algorytm obliczania wartości oczekiwanej

Własności dyskretnych zmiennych losowych: wszystkie ich wartości można przenumerować liczbami naturalnymi; każdej wartości przypisz niezerowe prawdopodobieństwo.
  1. Pary mnożymy kolejno: x i przez p i.
  2. Dodaj iloczyn każdej pary x i p i.
    Na przykład dla n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Rozkład funkcji dyskretnej zmiennej losowej stopniowo wzrasta gwałtownie w tych punktach, których prawdopodobieństwo jest dodatnie.

Przykład 1.

x ja 1 3 4 7 9
Liczba Pi 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3

Oczekiwanie matematyczne znajdujemy ze wzoru m = ∑x i p i.
Oczekiwanie matematyczne M [X].
M [x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Znajdujemy wariancję według wzoru d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
Dyspersja D [X].
D [X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Odchylenie standardowe σ (x).
σ = sqrt (D [X]) = sqrt (7,69) = 2,78

Przykład nr 2. Dyskretna zmienna losowa ma następujący szereg rozkładów:

NS -10 -5 0 5 10
r ale 0,32 2a 0,41 0,03
Znajdź wartość a, oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.

Rozwiązanie. Wartość a znajdujemy z zależności: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 lub 0,24 = 3 a, skąd a = 0,08

Przykład nr 3. Wyznacz prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej, jeśli znana jest jej wariancja oraz x 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d(x) = 12,96

Rozwiązanie.
Tutaj musisz skomponować wzór na znalezienie wariancji d (x):
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
gdzie oczekiwanie m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Dla naszych danych
m(x) = 6 * 0,3 + 9 * 0,3 + x 3 * 0,1 + 15 * 0,3 = 9 + 0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3- (9 + 0,1x 3) 2
lub -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
W związku z tym konieczne jest znalezienie pierwiastków równania, a będą ich dwa.
x 3 = 8, x 3 = 12
Wybieramy ten, który spełnia warunek x 1 x 3 = 12

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3

Teoria prawdopodobieństwa jest specjalną gałęzią matematyki, którą studiują tylko studenci. Lubisz obliczenia i formuły? Nie boisz się perspektywy znajomości rozkładu normalnego, entropii zespołowej, matematycznych oczekiwań i wariancji dyskretnej zmiennej losowej? Wtedy ten temat będzie dla Ciebie bardzo interesujący. Zapoznajmy się z niektórymi z najważniejszych podstawowych pojęć w tej dziedzinie nauki.

Pamiętajmy o podstawach

Nawet jeśli pamiętasz najprostsze pojęcia teorii prawdopodobieństwa, nie zaniedbuj pierwszych akapitów artykułu. Faktem jest, że bez jasnego zrozumienia podstaw nie będziesz w stanie pracować z omówionymi poniżej formułami.

Tak więc zdarza się jakieś przypadkowe zdarzenie, jakiś eksperyment. W wyniku wykonanych czynności możemy uzyskać kilka wyników – niektóre z nich są bardziej powszechne, inne rzadziej. Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby faktycznie uzyskanych wyników jednego typu do łącznej liczby możliwych wyników. Dopiero znając klasyczną definicję tego pojęcia, można zacząć badać matematyczne oczekiwanie i wariancję ciągłych zmiennych losowych.

Przeciętny

W szkole, na lekcjach matematyki, zacząłeś pracować ze średnią arytmetyczną. Pojęcie to jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa, dlatego nie można go ignorować. Najważniejsze dla nas w tej chwili jest to, że spotkamy się z nim we wzorach na matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej.

Mamy ciąg liczb i chcemy znaleźć średnią arytmetyczną. Wystarczy zsumować wszystko, co jest dostępne i podzielić przez liczbę elementów w sekwencji. Załóżmy, że mamy liczby od 1 do 9. Suma elementów wyniesie 45 i podzielimy tę wartość przez 9. Odpowiedź: - 5.

Dyspersja

Z naukowego punktu widzenia wariancja to średni kwadrat odchyleń uzyskanych wartości cechy od średniej arytmetycznej. Jeden jest oznaczony wielką łacińską literą D. Czego potrzebujesz, aby to obliczyć? Dla każdego elementu ciągu oblicz różnicę między dostępną liczbą a średnią arytmetyczną i podnieś ją do kwadratu. Będzie dokładnie tyle wartości, ile może być wyników dla wydarzenia, które rozważamy. Następnie podsumowujemy wszystkie otrzymane i dzielimy przez liczbę elementów w sekwencji. Jeśli mamy pięć możliwych wyników, dzielimy przez pięć.

Wariancja ma również właściwości, o których należy pamiętać, aby zastosować je przy rozwiązywaniu problemów. Na przykład, gdy zmienna losowa jest zwiększana X razy, wariancja jest zwiększana X razy do kwadratu (tzn. X * X). Nigdy nie jest mniejsza od zera i nie zależy od przesunięcia wartości o równą wartość w górę lub w dół. Ponadto w przypadku testów niezależnych wariancja sumy jest równa sumie wariancji.

Teraz zdecydowanie musimy rozważyć przykłady wariancji dyskretnej zmiennej losowej i oczekiwania matematycznego.

Załóżmy, że przeprowadziliśmy 21 eksperymentów i uzyskaliśmy 7 różnych wyników. Każdego z nich obserwowaliśmy odpowiednio 1,2,2,3,4,4 i 5 razy. Jaka jest wariancja?

Najpierw obliczmy średnią arytmetyczną: suma elementów jest oczywiście równa 21. Podziel ją przez 7, otrzymując 3. Teraz od każdej liczby w pierwotnym ciągu odejmij 3, podnieś do kwadratu każdą wartość i dodaj wyniki razem. Okaże się 12. Teraz wystarczy podzielić liczbę przez liczbę elementów i wydaje się, że to wszystko. Ale jest w tym haczyk! Porozmawiajmy o tym.

Zależność od liczby eksperymentów

Okazuje się, że przy obliczaniu wariancji mianownikiem może być jedna z dwóch liczb: N lub N-1. Tutaj N to liczba przeprowadzonych eksperymentów lub liczba elementów w sekwencji (które są zasadniczo takie same). Od czego to zależy?

Jeśli liczba testów jest mierzona w setkach, to w mianowniku wstawiamy N. Jeśli w jednostkach, to N-1. Naukowcy postanowili narysować granicę dość symbolicznie: dziś biegnie ona pod liczbą 30. Jeśli przeprowadziliśmy mniej niż 30 eksperymentów, to podzielimy sumę przez N-1, a jeśli więcej, to przez N.

Zadanie

Wróćmy do naszego przykładu rozwiązywania problemu wariancji i oczekiwań. Otrzymaliśmy pośrednią liczbę 12, którą należało podzielić przez N lub N-1. Ponieważ przeprowadziliśmy 21 eksperymentów, czyli mniej niż 30, wybierzemy drugą opcję. Tak więc odpowiedź brzmi: wariancja wynosi 12/2 = 2.

Wartość oczekiwana

Przejdźmy do drugiej koncepcji, którą zdecydowanie musimy rozważyć w tym artykule. Oczekiwana wartość to suma wszystkich możliwych wyników pomnożona przez odpowiadające prawdopodobieństwa. Ważne jest, aby zrozumieć, że uzyskaną wartość, a także wynik obliczenia wariancji, uzyskuje się tylko raz dla całego problemu, bez względu na to, ile wyników jest w nim uwzględnionych.

Matematyczna formuła oczekiwania jest dość prosta: bierzemy wynik, mnożymy przez jego prawdopodobieństwo, dodajemy to samo dla drugiego, trzeciego wyniku itd. Wszystko, co jest związane z tą koncepcją, jest łatwe do obliczenia. Na przykład suma oczekiwań jest równa oczekiwaniom sumy. To samo dotyczy dzieła. Nie każda wartość w teorii prawdopodobieństwa pozwala na wykonanie tak prostych operacji z samą sobą. Rozwiążmy problem i obliczmy znaczenie dwóch pojęć, które badaliśmy jednocześnie. Dodatkowo rozpraszała nas teoria – nadszedł czas na praktykę.

Jeszcze jeden przykład

Przeprowadziliśmy 50 prób i uzyskaliśmy 10 rodzajów wyników – liczby od 0 do 9 – występujących w różnych odsetkach. Są to odpowiednio: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Przypomnijmy, że aby uzyskać prawdopodobieństwa, należy podzielić wartości w procentach przez 100. W ten sposób otrzymujemy 0,02; 0,1 itd. Przedstawimy przykład rozwiązania problemu wariancji zmiennej losowej i oczekiwania matematycznego.

Średnią arytmetyczną obliczamy ze wzoru, który pamiętamy ze szkoły podstawowej: 50/10 = 5.

Teraz przekształćmy prawdopodobieństwa na liczbę wyników „w kawałkach”, aby łatwiej było je policzyć. Otrzymujemy 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od każdej otrzymanej wartości odejmujemy średnią arytmetyczną, po czym każdy z otrzymanych wyników podliczamy do kwadratu. Zobacz, jak to zrobić na przykładzie pierwszego elementu: 1 - 5 = (-4). Dalej: (-4) * (-4) = 16. Dla pozostałych wartości wykonaj te operacje samodzielnie. Jeśli zrobiłeś wszystko dobrze, to po dodaniu wszystkich dostajesz 90.

Kontynuujmy obliczanie wariancji i średniej dzieląc 90 przez N. Dlaczego wybieramy N, a nie N-1? Zgadza się, ponieważ liczba wykonanych eksperymentów przekracza 30. Czyli: 90/10 = 9. Otrzymaliśmy wariancję. Jeśli dostaniesz inny numer, nie rozpaczaj. Najprawdopodobniej popełniłeś częsty błąd w obliczeniach. Sprawdź ponownie, co napisałeś, a na pewno wszystko się ułoży.

Na koniec przypomnijmy wzór na oczekiwanie matematyczne. Nie podamy wszystkich obliczeń, napiszemy tylko odpowiedź, z którą możesz sprawdzić po wykonaniu wszystkich wymaganych procedur. Oczekiwane będzie 5,48. Przypomnijmy tylko, jak wykonać operacje, na przykładzie pierwszych elementów: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... i tak dalej. Jak widać, po prostu mnożymy wartość wyniku przez jego prawdopodobieństwo.

Odchylenie

Innym pojęciem ściśle związanym z wariancją i oczekiwaniem matematycznym jest odchylenie standardowe. Jest oznaczony albo łacińskimi literami sd, albo grecką małą literą „sigma”. Ta koncepcja pokazuje, jak bardzo średnio wartości odbiegają od centralnej cechy. Aby znaleźć jego wartość, musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Jeśli wykreślisz rozkład normalny i chcesz bezpośrednio na nim zobaczyć kwadratowe odchylenie, można to zrobić w kilku krokach. Weź połowę obrazu po lewej lub prawej stronie trybu (wartość środkowa), narysuj prostopadle do osi poziomej, tak aby obszary wynikowych kształtów były równe. Wartość odcinka między środkiem rozkładu a wynikowym rzutem na oś poziomą będzie odpowiadać odchyleniu standardowemu.

Oprogramowanie

Jak widać z opisów wzorów i przedstawionych przykładów, obliczenie wariancji i oczekiwań matematycznych nie jest najprostszą procedurą z arytmetycznego punktu widzenia. Aby nie tracić czasu, warto skorzystać z programu stosowanego w uczelniach – nazywa się „R”. Posiada funkcje pozwalające na obliczanie wartości dla wielu pojęć ze statystyki i teorii prawdopodobieństwa.

Na przykład definiujesz wektor wartości. Odbywa się to w następujący sposób: wektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Wreszcie

Rozproszenie i matematyczne oczekiwanie - bez którego trudno cokolwiek policzyć w przyszłości. W głównym toku wykładów na uczelniach uwzględniane są już w pierwszych miesiącach studiowania przedmiotu. To właśnie z powodu niezrozumienia tych prostych pojęć i nieumiejętności ich obliczenia, wielu studentów od razu zaczyna pozostawać w tyle w programie, a później otrzymuje słabe oceny na podstawie wyników sesji, co pozbawia ich stypendium.

Ćwicz przez co najmniej tydzień, pół godziny dziennie, rozwiązując zadania podobne do przedstawionych w tym artykule. Następnie na dowolnym teście z teorii prawdopodobieństwa poradzisz sobie z przykładami bez zbędnych wskazówek i ściągawek.

Każda osobno pobrana wartość jest całkowicie określona przez jej dystrybuantę. Również do rozwiązania praktycznych problemów wystarczy znajomość kilku charakterystyk liczbowych, dzięki którym możliwe jest przedstawienie w krótkiej formie głównych cech zmiennej losowej.

Te wartości obejmują przede wszystkim wartość oczekiwana oraz dyspersja .

Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Jest oznaczony jako.

W najprostszy sposób matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w) znajdź jako całkaLebesgue w odniesieniu do miary probabilistycznej r oryginał przestrzeń prawdopodobieństwa

Możesz również znaleźć matematyczne oczekiwanie wartości jako Całka Lebesgue'a z NS przez rozkład prawdopodobieństwa P X wielkości x:

gdzie jest zbiór wszystkich możliwych wartości x.

Matematyczne oczekiwanie funkcji zmiennej losowej x jest poprzez dystrybucję P X. Na przykład, Jeśli x- zmienna losowa z wartościami w i f (x)- jednoznaczny Borelfunkcjonować NS , następnie:

Jeśli F (x)- funkcja dystrybucyjna x, wtedy oczekiwanie matematyczne jest reprezentowalne całkaLebesgue - Stieltjes (lub Riemann - Stieltjes):

ponadto integrowalność x w jakim sensie ( * ) odpowiada skończoności całki

W szczególnych przypadkach, jeśli x ma rozkład dyskretny o prawdopodobnych wartościach x k, k = 1, 2,. , a prawdopodobieństwa, to

Jeśli x ma rozkład absolutnie ciągły z gęstością prawdopodobieństwa p (x), następnie

w tym przypadku istnienie matematycznego oczekiwania jest równoważne absolutnej zbieżności odpowiedniego szeregu lub całki.

Własności matematycznego oczekiwania zmiennej losowej.

  • Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe tej wartości:

C- stała;

  • M = CM [X]
  • Matematyczne oczekiwanie sumy losowo wybranych wartości jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań:

  • Matematyczne oczekiwanie iloczynu niezależnych losowo wybranych wielkości = iloczyn ich matematycznych oczekiwań:

M = M [X] + M [Y]

Jeśli x oraz Tak niezależny.

jeśli szereg jest zbieżny:

Algorytm obliczania oczekiwań matematycznych.

Własności dyskretnych zmiennych losowych: wszystkie ich wartości można przenumerować liczbami naturalnymi; przyrównaj każdą wartość z niezerowym prawdopodobieństwem.

1. Pomnóż kolejno pary: x ja na Liczba Pi.

2. Dodaj produkt każdej pary x ja p ja.

Na przykład, dla n = 4 :

Rozkład funkcji dyskretnej zmiennej losowej stopniowo wzrasta gwałtownie w tych punktach, których prawdopodobieństwo ma znak dodatni.

Przykład: Znajdź oczekiwaną wartość według wzoru.