Giải phương trình bậc cao hơn bằng nhiều phương pháp khác nhau. Phát triển phương pháp luận đại số (lớp 10) về chủ đề: Phương trình bậc cao
Nói chung, một phương trình bậc lớn hơn 4 không thể giải được bằng căn thức. Nhưng đôi khi chúng ta vẫn có thể tìm thấy nghiệm của đa thức bên trái trong phương trình bậc cao nhất nếu chúng ta biểu diễn nó dưới dạng tích của các đa thức có bậc không quá 4. Việc giải các phương trình như vậy dựa trên việc phân tích thành nhân tử của đa thức, vì vậy chúng tôi khuyên bạn nên xem lại chủ đề này trước khi nghiên cứu bài viết này.
Thông thường chúng ta phải giải quyết các phương trình bằng cấp cao hơn với hệ số nguyên. Trong những trường hợp này, chúng ta có thể cố gắng tìm các nghiệm hữu tỷ và sau đó phân tích đa thức để sau đó có thể chuyển nó thành một phương trình bậc thấp hơn dễ giải. Trong tài liệu này chúng ta sẽ chỉ xem xét những ví dụ như vậy.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Phương trình bậc cao hơn với hệ số nguyên
Tất cả các phương trình có dạng a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , chúng ta có thể tạo ra một phương trình cùng bậc bằng cách nhân cả hai vế với a n n - 1 và thực hiện một phép biến đổi có dạng y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Các hệ số kết quả cũng sẽ là số nguyên. Vì vậy, chúng ta sẽ cần giải phương trình rút gọn bậc n với hệ số nguyên, có dạng x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Chúng tôi tính toán các nghiệm nguyên của phương trình. Nếu phương trình có nghiệm nguyên, bạn cần tìm chúng trong số các ước của số hạng tự do a 0 . Hãy viết chúng ra và thay thế từng cái một vào đẳng thức ban đầu, kiểm tra kết quả. Khi đã thu được đẳng thức và tìm được một trong các nghiệm của phương trình, chúng ta có thể viết nó dưới dạng x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Ở đây x 1 là nghiệm của phương trình, và P n - 1 (x) là thương của x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 chia cho x - x 1 .
Chúng ta thay thế các ước còn lại được viết thành P n - 1 (x) = 0, bắt đầu bằng x 1, vì các nghiệm có thể được lặp lại. Sau khi nhận dạng, nghiệm x 2 coi như đã tìm thấy và phương trình có thể viết dưới dạng (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Ở đây P n - 2 (x) sẽ là thương số chia P n - 1 (x) cho x - x 2.
Chúng tôi tiếp tục sắp xếp thông qua các ước số. Hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên và biểu thị số của chúng là m. Sau đó, phương trình ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Ở đây P n - m (x) là đa thức bậc n - m. Để tính toán, thuận tiện nhất là sử dụng sơ đồ Horner.
Nếu phương trình ban đầu của chúng ta có hệ số nguyên thì cuối cùng chúng ta không thể thu được nghiệm phân số.
Chúng ta đã thu được phương trình P n - m (x) = 0, nghiệm của nó có thể tìm được bằng bất kỳ phương trình nào. một cách thuận tiện. Chúng có thể không hợp lý hoặc phức tạp.
Chúng tôi sẽ cho bạn thấy trên ví dụ cụ thể, cách áp dụng sơ đồ giải pháp như vậy.
ví dụ 1
Tình trạng: tìm nghiệm của phương trình x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.
Giải pháp
Hãy bắt đầu bằng cách tìm toàn bộ rễ.
Chúng ta có thời hạn tự do bằng âm ba. Nó có các ước số bằng 1, - 1, 3 và - 3. Hãy thay thế chúng vào phương trình ban đầu và xem cái nào trong số chúng cho kết quả đồng nhất.
Với x bằng một, ta được 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, nghĩa là một sẽ là nghiệm của phương trình này.
Bây giờ hãy chia đa thức x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 cho (x - 1) trong một cột:
Vậy x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0
Chúng ta đã có đẳng thức, nghĩa là chúng ta đã tìm được một nghiệm khác của phương trình, bằng - 1.
Chia đa thức x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 cho (x + 1) trong một cột:
Chúng tôi hiểu điều đó
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Chúng ta thay ước số tiếp theo vào đẳng thức x 2 + x + 3 = 0, bắt đầu từ - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Các đẳng thức thu được sẽ không chính xác, có nghĩa là phương trình không còn nghiệm nguyên.
Các nghiệm còn lại sẽ là nghiệm của biểu thức x 2 + x + 3.
D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0
Từ đó, tam thức bậc hai này không có nghiệm thực mà có các nghiệm liên hợp phức: x = - 1 2 ± i 11 2.
Hãy để chúng tôi làm rõ rằng thay vì chia thành một cột, có thể sử dụng sơ đồ Horner. Việc này được thực hiện như sau: sau khi xác định được nghiệm đầu tiên của phương trình, chúng ta điền vào bảng.
Trong bảng hệ số ta thấy ngay hệ số thương của phép chia đa thức, tức là x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
Sau khi tìm được gốc tiếp theo là -1, chúng ta thu được kết quả sau:
Trả lời: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.
Ví dụ 2
Tình trạng: giải phương trình x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.
Giải pháp
Số hạng tự do có các ước số 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.
Hãy kiểm tra chúng theo thứ tự:
1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0
Điều này có nghĩa là x = 2 sẽ là nghiệm của phương trình. Chia x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 cho x - 2 bằng sơ đồ Horner:
Kết quả là ta được x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0
Điều này có nghĩa là 2 sẽ lại là gốc. Chia x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 cho x - 2:
Kết quả là ta được (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.
Việc kiểm tra các ước còn lại không có ý nghĩa gì, vì đẳng thức x 2 + 3 x + 3 = 0 sẽ nhanh hơn và thuận tiện hơn khi giải bằng cách sử dụng phân biệt.
Hãy giải phương trình bậc hai:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0
Ta thu được một cặp nghiệm phức liên hợp: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Trả lời: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Ví dụ 3
Tình trạng: Tìm nghiệm thực của phương trình x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.
Giải pháp
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Chúng ta nhân 2 3 ở cả hai vế của phương trình:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0
Thay biến y = 2 x:
2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
Kết quả là chúng ta thu được một phương trình chuẩn bậc 4, có thể giải bằng sơ đồ tiêu chuẩn. Hãy kiểm tra các ước số, chia và cuối cùng nhận được rằng nó có 2 nghiệm thực y = - 2, y = 3 và hai nghiệm phức. Chúng tôi sẽ không đưa ra toàn bộ giải pháp ở đây. Do sự thay thế, nghiệm thực của phương trình này sẽ là x = y 2 = - 2 2 = - 1 và x = y 2 = 3 2.
Trả lời: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Các phương pháp giải phương trình: n n n Thay phương trình h(f(x)) = h(g(x)) bằng phương trình f(x) = g(x) Phân tích nhân tử. Giới thiệu một biến mới. Về mặt chức năng – phương pháp đồ họa. Lựa chọn rễ. Ứng dụng công thức Vieta
Thay phương trình h(f(x)) = h(g(x)) bằng phương trình f(x) = g(x). Phương pháp này chỉ có thể được sử dụng trong trường hợp y = h(x) là hàm đơn điệu nhận mỗi giá trị một lần. Nếu hàm số không đơn điệu thì có thể mất gốc.
Giải phương trình (3 x + 2)2³ = (5 x – 9)2³ y = x 2³ là hàm số tăng, nên từ phương trình (3 x + 2)2³ = (5 x – 9)2³ bạn có thể đi đến phương trình 3 x + 2 = 5 x – 9 từ đó tìm được x = 5, 5. Đáp án: 5, 5.
Nhân tố hóa. Phương trình f(x)g(x)h(x) = 0 có thể được thay thế bằng một tập hợp các phương trình f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Sau khi giải các phương trình của tập hợp này, bạn cần lấy các nghiệm thuộc miền định nghĩa của phương trình ban đầu và loại bỏ phần còn lại là không liên quan.
Giải phương trình x³ – 7 x + 6 = 0 Biểu diễn số hạng 7 x dưới dạng x + 6 x, ta lần lượt thu được: x³ – x – 6 x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1 ) = 0 x (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Bây giờ bài toán được quy về việc giải một tập phương trình x – 1 = 0; x² + x – 6 = 0. Đáp án: 1, 2, – 3.
Giới thiệu một biến mới. Nếu phương trình y(x) = 0 có thể chuyển về dạng p(g(x)) = 0, thì bạn cần đưa vào một biến mới u = g(x), giải phương trình p(u) = 0, rồi giải tập phương trình g(x) = u 1; g(x) = u 2; ... ; g(x) = un, trong đó u 1, u 2, …, un là nghiệm của phương trình p(u) = 0.
Giải phương trình Điểm đặc biệt của phương trình này là sự bằng nhau của các hệ số ở vế trái, cách đều hai đầu của nó. Các phương trình như vậy được gọi là nghịch đảo. Vì 0 không phải là nghiệm của phương trình này nên chia cho x^2 ta có
Hãy giới thiệu một biến mới. Sau đó, chúng ta nhận được một phương trình bậc hai nên có thể bỏ qua nghiệm y 1 = – 1. Chúng tôi nhận được Câu trả lời: 2, 0, 5.
Giải phương trình 6(x2 – 4)2 + 5(x2 – 4)(x2 – 7 x +12) + (x2 – 7 x + 12)2 = 0 phương trình này có thể được giải quyết một cách đồng nhất. Hãy chia cả hai vế của phương trình cho (x² – 7 x +12)² (rõ ràng các giá trị của x sao cho x² – 7 x +12=0 không phải là nghiệm). Bây giờ chúng tôi biểu thị Chúng tôi có câu trả lời từ đây:
Phương pháp chức năng - đồ họa. Nếu một trong các hàm y = f(x), y = g(x) tăng và hàm kia giảm, thì phương trình f(x) = g(x) hoặc không có nghiệm hoặc có một nghiệm.
Giải phương trình Rõ ràng x = 2 là nghiệm của phương trình. Hãy chứng minh rằng đây là nghiệm duy nhất. Hãy chuyển phương trình về dạng. Ta nhận thấy hàm số tăng, hàm số giảm. Điều này có nghĩa là phương trình chỉ có một nghiệm. Trả lời: 2.
Chọn nghiệm n n n Định lý 1: Nếu số nguyên m là nghiệm của một đa thức có hệ số nguyên thì số hạng tự do của đa thức đó chia hết cho m. Định lý 2: Đa thức rút gọn có hệ số nguyên không có nghiệm phân số. Định lý 3: – phương trình có hệ số Let nguyên. Nếu một số và một phân số trong đó p và q là số nguyên tối giản là nghiệm của một phương trình thì p là ước của số hạng tự do an, và q là ước số của hệ số của số hạng dẫn đầu a 0.
Định lý Bezout. Số dư khi chia đa thức bất kỳ cho nhị thức (x – a) bằng giá trị của đa thức bị chia tại x = a. Hệ quả của định lý Bezout n n n n Hiệu các lũy thừa giống nhau của hai số được chia không có số dư cho hiệu của hai số đó; Hiệu giữa các lũy thừa chẵn giống hệt nhau của hai số được chia không có số dư cho cả hiệu của các số này và tổng của chúng; Hiệu số lẻ giống nhau của hai số không chia hết cho tổng của các số này; Tổng lũy thừa bằng nhau của hai số không phải số được chia cho hiệu của các số này; Tổng các lũy thừa lẻ giống nhau của hai số được chia không dư cho tổng của các số này; Tổng các lũy thừa chẵn giống nhau của hai số không chia hết cho hiệu hoặc tổng của chúng; Một đa thức chia hết cho một nhị thức (x – a) khi và chỉ khi số a là nghiệm của đa thức đã cho; Số nghiệm phân biệt của một đa thức khác 0 không lớn hơn bậc của nó.
Giải phương trình x³ – 5 x 2 – x + 21 = 0 Đa thức x³ – 5 x 2 – x + 21 có hệ số nguyên. Theo Định lý 1, các nghiệm nguyên của nó, nếu có, nằm trong số các ước của số hạng tự do: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Bằng cách kiểm tra, chúng ta tin rằng số 3 là một nghiệm. Theo hệ quả tất yếu của định lý Bezout, đa thức chia hết cho (x – 3). Do đó, x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2 x – 7). Trả lời:
Giải phương trình 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 Theo Định lý 1, chỉ các số ± 1 mới có thể là nghiệm nguyên của phương trình. Vì phương trình không rút gọn nên nó có thể có nghiệm hữu tỷ phân số. Hãy tìm chúng. Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình với 4: 8 x³ – 20 x² – 4 x + 4 = 0 Thay 2 x = t, ta được t³ – 5 t² – 2 t + 4 = 0. Theo Định lý 2, tất cả nghiệm hữu tỉ của phương trình đã cho này phải được giữ nguyên. Chúng có thể được tìm thấy trong số các ước của số hạng tự do: ± 1, ± 2, ± 4. V trong trường hợp này t = – 1 là phù hợp. Do đó, theo định lý Bezout, đa thức 2 x³ – 5 x² – x + 1 chia hết cho (x + 0, 5): 2 x³ – 5 x² – x + 1 = (x + 0, 5)( 2 x 2 – 6 x + 2) Giải phương trình bậc hai 2 x 2 – 6 x + 2 = 0, ta tìm được các nghiệm còn lại: Trả lời:
Giải phương trình 6 x³ + x² – 11 x – 6 = 0 Theo Định lý 3, cần tìm các nghiệm hữu tỉ của phương trình này giữa các số. Thay chúng lần lượt vào phương trình, ta thấy chúng thỏa mãn phương trình. Họ cạn kiệt tất cả các gốc của phương trình. Trả lời:
Tìm tổng các căn bậc hai của phương trình x³ + 3 x² – 7 x +1 = 0 Theo định lý Vieta Lưu ý rằng ở đâu
Hãy chỉ ra cách giải từng phương trình này. Giải các phương trình số 1, 4, 15, 17.
Đáp án và hướng dẫn: 1. Giới thiệu biến mới. 2. Phương pháp chức năng - đồ họa. 3. Thay phương trình h(f(x)) = h(g(x)) bằng phương trình f(x) = g(x). 4. Nhân tố hóa. 5. Lựa chọn rễ. 6 Phương pháp chức năng - đồ họa. 7. Áp dụng công thức Vieta. 8. Lựa chọn rễ. 9. Thay phương trình h(f(x)) = h(g(x)) bằng phương trình f(x) = g(x). 10. Giới thiệu một biến mới. 11. Phân tích nhân tố. 12. Giới thiệu một biến mới. 13. Lựa chọn rễ. 14. Áp dụng công thức Vieta. 15. Phương pháp chức năng - đồ họa. 16. Phân tích nhân tử. 17. Giới thiệu một biến mới. 18. Phân tích nhân tử.
1. Hướng dẫn. Viết phương trình là 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², Chia cả hai vế cho x². Nhập biến Đáp án: x 1 = – 8; x 2 = – 7,5 4. Hướng dẫn. Thêm 6 y và – 6 y vào vế trái của phương trình và viết nó thành (y³ – 2 y²) + (– 3 y² + 6 y) + (– 8 y + 16) = (y – 2)(y² – 3 năm - 8). Trả lời:
14. Hướng dẫn. Theo định lý Vieta Vì là số nguyên nên nghiệm của phương trình chỉ có thể là các số – 1, – 2, – 3. Đáp án: 15. Đáp án: – 1. 17. Hướng dẫn. Chia cả hai vế của phương trình cho x² và viết thành Nhập một biến Trả lời: 1; 15; 2; 3.
Thư mục. n n n Kolmogorov A. N. “Đại số và sự khởi đầu của phân tích, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 2003). Bashmkov M. I. “Đại số và sự khởi đầu của phân tích, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 1993). Mordkovich A. G. “Đại số và nguyên tắc phân tích, 10 – 11” (M.: Mnemosyna, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. và cộng sự “Đại số và sự khởi đầu của phân tích, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. “Tập hợp các bài toán đại số, 8 – 9” (M.: Prosveshchenie, 1997). Karp A. P. “Tuyển tập các bài toán đại số và nguyên lý giải tích, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 1999). Sharygin I. F. “Khóa học tùy chọn về toán học, giải quyết vấn đề, 10” (M.: Education. 1989). Skopets Z. A. “Các chương bổ sung về tiến trình toán học, 10” (M.: Prosveshchenie, 1974). Litinsky G.I. “Bài học toán học” (Moscow: Aslan, 1994). Muravin G.K. “Các phương trình, bất đẳng thức và hệ thống của chúng” (Toán học, phụ lục báo “Ngày 1 tháng 9”, số 2, 3, 2003). Kolyagin Yu. M. “Đa thức và phương trình bậc cao” (Toán học, phụ lục trên báo “Ngày 1 tháng 9”, số 3, 2005).
Trifanova Marina Anatolyevna
giáo viên toán, cơ sở giáo dục thành phố "Nhà thi đấu số 48 (đa ngành)", Talnakh
Mục đích ba của bài học:
giáo dục:
hệ thống hóa, khái quát hóa kiến thức về giải phương trình bậc cao.
Phát triển:
thúc đẩy phát triển suy nghĩ logic, khả năng làm việc độc lập, kỹ năng kiểm soát và tự chủ lẫn nhau, kỹ năng nói và nghe.
Giáo dục:
phát triển thói quen làm việc thường xuyên, bồi dưỡng khả năng phản ứng nhanh, chăm chỉ và chính xác.
Loại bài học:
một bài học về việc vận dụng tích hợp kiến thức, kỹ năng và khả năng.
Hình thức bài học:
thông gió, tập thể dục, các hình thức làm việc khác nhau.
Thiết bị:
hỗ trợ ghi chú, thẻ nhiệm vụ, ma trận theo dõi bài học.
TRONG LỚP HỌC
I. Thời điểm tổ chức
- Truyền đạt mục đích bài học cho học sinh.
- Bài kiểm tra bài tập về nhà(Phụ lục 1). Làm việc với các ghi chú hỗ trợ (Phụ lục 2).
Các phương trình và câu trả lời cho mỗi phương trình được viết trên bảng. Học sinh nhận xét câu trả lời của mình và đưa ra phân tích ngắn gọn giải từng phương trình hoặc trả lời câu hỏi của giáo viên (khảo sát trực tiếp). Tự chủ - học sinh tự chấm điểm và nộp vở cho giáo viên để sửa điểm hoặc phê duyệt. Điểm của trường được viết trên bảng:
“5+” - 6 phương trình;
“5” - 5 phương trình;
“4” - 4 phương trình;
“3” - 3 phương trình.
Câu hỏi của giáo viên về bài tập về nhà:
1 phương trình
- Sự thay đổi nào của các biến được thực hiện trong phương trình?
- Phương trình nào thu được sau khi thay đổi biến?
2 phương trình
- Đa thức nào đã được sử dụng để chia cả hai vế của phương trình?
- Sự thay đổi của các biến đã thu được?
3 phương trình
- Những đa thức nào cần được nhân để đơn giản hóa việc giải phương trình này?
4 phương trình
- Đặt tên cho hàm f(x).
- Những rễ còn lại được tìm thấy như thế nào?
5 phương trình
- Có bao nhiêu khoảng để giải phương trình?
6 phương trình
- Làm thế nào phương trình này có thể được giải quyết?
- Giải pháp nào hợp lý hơn?
II. Hoạt động nhóm là phần chính của bài học.
Lớp được chia thành 4 nhóm. Mỗi nhóm được phát một thẻ với các câu hỏi lý thuyết và thực tiễn (Phụ lục 3): “Xem xét phương pháp giải phương trình được đề xuất và giải thích bằng ví dụ này”.
- Làm việc nhóm 15 phút.
- Ví dụ được viết trên bảng (bảng được chia thành 4 phần).
- Báo cáo nhóm mất 2–3 phút.
- Giáo viên sửa lỗi báo cáo của nhóm và giúp đỡ những khó khăn.
Hoạt động nhóm tiếp tục trên các thẻ số 5 – 8. Với mỗi phương trình, có 5 phút để thảo luận nhóm. Sau đó hội đồng đưa ra một báo cáo về phương trình này - một phân tích ngắn gọn về lời giải. Phương trình có thể không được giải hoàn toàn - nó đang được hoàn thiện ở nhà, nhưng trình tự giải của nó sẽ được thảo luận trên lớp.
III. Làm việc độc lập. Phụ lục 4.
- Mỗi học sinh nhận được một bài tập riêng.
- Công việc mất 20 phút.
- Trước khi kết thúc bài học 5 phút, giáo viên đưa ra đáp án mở cho từng phương trình.
- Học sinh đổi vở theo vòng tròn và kiểm tra câu trả lời của mình với một người bạn. Họ cho điểm.
- Vở được giao cho giáo viên để kiểm tra và chấm điểm.
IV. Tom tăt bai học.
Bài tập về nhà.
Xây dựng giải pháp cho các phương trình còn dang dở. Chuẩn bị cho việc cắt kiểm soát.
Chấm điểm.
Khi giải các phương trình đại số, bạn thường phải phân tích một đa thức. Phân tích một đa thức có nghĩa là biểu diễn nó dưới dạng tích của hai hoặc nhiều đa thức. Chúng ta khá thường xuyên sử dụng một số phương pháp phân tích đa thức: lấy nhân tử chung, sử dụng công thức nhân rút gọn, cô lập một bình phương hoàn chỉnh, nhóm. Hãy xem xét một số phương pháp khác.
Đôi khi các phát biểu sau đây rất hữu ích khi phân tích một đa thức:
1) nếu đa thức có hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ (trong đó là phân số tối giản thì là ước số của số hạng tự do và ước số của hệ số dẫn đầu:
2) Nếu bằng cách nào đó bạn chọn được nghiệm của một đa thức bậc thì đa thức đó có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức bậc
Một đa thức có thể được tìm thấy bằng cách chia đa thức thành nhị thức trong một "cột", hoặc bằng cách nhóm các số hạng của đa thức một cách thích hợp và tách số nhân ra khỏi chúng hoặc bằng phương pháp hệ số không xác định.
Ví dụ. Thừa số một đa thức
Giải pháp. Vì hệ số của x4 bằng 1 nên các nghiệm hữu tỉ của đa thức này tồn tại và là ước của số 6, tức là chúng có thể là số nguyên ±1, ±2, ±3, ±6. Chúng ta hãy biểu thị đa thức này bằng P4(x). Vì P P4 (1) = 4 và P4(-4) = 23 nên các số 1 và -1 không phải là nghiệm của đa thức PA(x). Vì P4(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của đa thức P4(x), và do đó, đa thức này chia hết cho nhị thức x - 2. Do đó x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3
3x3 +7x2 -5x +6
3x3 +6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x
Do đó, P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3). Vì xz - 3x2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x2 + 1), nên x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3)(x2 + 1).
Phương thức nhập thông số
Đôi khi, khi phân tích một đa thức, phương pháp đưa tham số vào sẽ giúp ích. Bản chất của phương pháp này sẽ được giải thích bằng ví dụ sau.
Ví dụ. x3 –(√3 + 1) x2 + 3.
Giải pháp. Xét một đa thức có tham số a: x3 - (a + 1)x2 + a2, tại a = √3 trở thành một đa thức cho trước. Chúng ta hãy viết đa thức này dưới dạng tam thức bình phương cho a: ag - ax2 + (x3 - x2).
Vì các nghiệm của tam thức này bình phương đối với a là a1 = x và a2 = x2 - x, nên đẳng thức a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x)(a - x2 + x) là đúng. Do đó, đa thức x3 - (√3 + 1)x2 + 3 bị phân hủy thành các thừa số √3 – x và √3 - x2 + x, tức là.
x3 – (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).
Phương pháp giới thiệu một ẩn số mới
Trong một số trường hợp, bằng cách thay thế biểu thức f(x) có trong đa thức Pn(x), thông qua y người ta có thể thu được một đa thức đối với y, có thể dễ dàng phân tích thành nhân tử. Sau đó, sau khi thay y bằng f(x), chúng ta thu được phân tích nhân tử của đa thức Pn(x).
Ví dụ. Phân tích nhân tử của đa thức x(x+1)(x+2)(x+3)-15.
Giải pháp. Hãy biến đổi đa thức này như sau: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 =( x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) - 15.
Hãy biểu thị x2 + 3x bằng y. Khi đó ta có y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= ( y+ 5)(y - 3).
Do đó x(x + 1)(x+ 2)(x + 3) - 15 = (x2+ 3x + 5)(x2 + 3x - 3).
Ví dụ. Phân tích nhân tử đa thức (x-4)4+(x+2)4
Giải pháp. Hãy biểu thị x- 4+x+2 = x - 1 bằng y.
(x - 4)4 + (x + 2)2= (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 +54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =
2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(yg + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=
2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).
Kết hợp các phương pháp khác nhau
Thông thường, khi phân tích nhân tử của một đa thức, cần phải áp dụng liên tiếp một số phương pháp đã thảo luận ở trên.
Ví dụ. Phân tích đa thức x4 - 3x2 + 4x-3 thành nhân tử.
Giải pháp. Bằng cách nhóm, chúng ta viết lại đa thức ở dạng x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 – 2x2) – (x2 -4x + 3).
Áp dụng phương pháp cô lập một hình vuông đầy đủ vào dấu ngoặc đầu tiên, ta có x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).
Sử dụng công thức bình phương hoàn hảo, bây giờ chúng ta có thể viết x4 – 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.
Cuối cùng, áp dụng công thức hiệu bình phương, ta được x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2)(x2 - 1 - x + 2) = (x2+x-3)(x2 -x + 1 ).
§ 2. Phương trình đối xứng
1. Phương trình đối xứng bậc ba
Các phương trình có dạng ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ≠ 0 (1) được gọi là phương trình đối xứng bậc ba. Vì ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx (x + 1) = (x+1)(ax2+(b-a)x+a), nên phương trình (1) tương đương với tập phương trình x + 1 = 0 và ax2 + (b-a)x + a = 0, điều này không khó giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình
3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)
Giải pháp. Phương trình (2) là phương trình đối xứng bậc ba.
Vì 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x+ 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , thì phương trình (2) tương đương với tập phương trình x + 1 = 0 và 3x3 + x +3=0.
Nghiệm của phương trình thứ nhất là x = -1, phương trình thứ hai vô nghiệm.
Đáp án: x = -1.
2. Phương trình đối xứng bậc bốn
Phương trình của dạng
(3) được gọi là phương trình đối xứng bậc bốn.
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (3), nên bằng cách chia cả hai vế của phương trình (3) cho x2, chúng ta thu được phương trình tương đương với phương trình ban đầu (3):
Chúng ta hãy viết lại phương trình (4) thành:
Hãy thay thế phương trình này, chúng ta sẽ có được phương trình bậc hai
Nếu phương trình (5) có 2 nghiệm y1 và y2 thì phương trình ban đầu tương đương với một tập phương trình
Nếu phương trình (5) có một nghiệm y0 thì phương trình ban đầu tương đương với phương trình
Cuối cùng, nếu phương trình (5) không có nghiệm thì phương trình ban đầu cũng không có nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải pháp. Phương trình này là phương trình đối xứng bậc bốn. Vì x = 0 không phải là nghiệm của nó nên bằng cách chia phương trình (6) cho x2, chúng ta thu được phương trình tương đương:
Sau khi nhóm các thuật ngữ, chúng ta viết lại phương trình (7) ở dạng hoặc dạng
Nói cách khác, chúng ta thu được một phương trình có hai nghiệm y1 = 2 và y2 = 3. Do đó, phương trình ban đầu tương đương với một tập hợp các phương trình
Nghiệm của phương trình thứ nhất của tập hợp này là x1 = 1, và nghiệm của phương trình thứ hai là u.
Do đó, phương trình ban đầu có ba nghiệm: x1, x2 và x3.
Đáp án: x1=1.
§3. phương trình đại số
1. Rút gọn bậc của phương trình
Một số phương trình đại số, bằng cách thay thế một đa thức nhất định trong chúng bằng một chữ cái, có thể được rút gọn thành các phương trình đại số có bậc nhỏ hơn bậc của phương trình ban đầu và có nghiệm đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải pháp. Ta ký hiệu bằng, khi đó phương trình (1) có thể viết lại thành Phương trình cuối cùng có nghiệm và Do đó, phương trình (1) tương đương với tập phương trình và. Nghiệm của phương trình thứ nhất của tập hợp này là và nghiệm của phương trình thứ hai là
Các nghiệm của phương trình (1) là
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải pháp. Nhân cả hai vế của phương trình với 12 và ký hiệu là,
Chúng tôi thu được phương trình. Chúng tôi viết lại phương trình này dưới dạng.
(3) và ký hiệu bằng cách chúng ta viết lại phương trình (3) dưới dạng Phương trình cuối cùng có nghiệm và do đó, ta thu được phương trình (3) tương đương với một tập hợp hai phương trình và Có nghiệm của tập phương trình này và tức là phương trình (2) tương đương với một tập hợp các phương trình và (4)
Các nghiệm của tập hợp (4) là và, và chúng là nghiệm của phương trình (2).
2. Phương trình dạng
phương trình
(5) trong đó - các số đã cho có thể rút gọn thành phương trình hai bậc hai bằng cách thay thế số chưa biết, tức là thay thế
Ví dụ 3: Giải phương trình
Giải pháp. Hãy để chúng tôi ký hiệu bởi, t. e. chúng ta thực hiện thay đổi các biến hoặc Sau đó phương trình (6) có thể được viết lại dưới dạng hoặc sử dụng công thức ở dạng
Bởi vì rễ phương trình bậc hai tồn tại và khi đó nghiệm của phương trình (7) là nghiệm của tập phương trình và. Tập hợp phương trình này có hai nghiệm và Do đó, nghiệm của phương trình (6) là và
3. Phương trình dạng
phương trình
(8) trong đó các số α, β, γ, δ và Α sao cho α
Ví dụ 4: Giải phương trình
Giải pháp. Hãy thực hiện một phép đổi ẩn số, tức là y=x+3 hoặc x = y – 3. Khi đó phương trình (9) có thể được viết lại thành
(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, tức là ở dạng
(y2- 4)(y2-1)=10(10)
Phương trình hai phương trình (10) có hai nghiệm. Do đó, phương trình (9) cũng có hai nghiệm:
4. Phương trình dạng
Phương trình, (11)
Trong đó x = 0 không có nghiệm nên chia phương trình (11) cho x2, ta thu được phương trình tương đương
Mà sau khi thay thế ẩn số sẽ được viết lại dưới dạng phương trình bậc hai, việc giải phương trình này không khó.
Ví dụ 5: Giải phương trình
Giải pháp. Vì h = 0 không phải là nghiệm của phương trình (12) nên chia nó cho x2, ta thu được phương trình tương đương
Làm cho phép thay thế không xác định, chúng ta thu được phương trình (y+1)(y+2)=2, có hai nghiệm: y1 = 0 và y1 = -3. Do đó, phương trình ban đầu (12) tương đương với tập phương trình
Tập hợp này có hai nghiệm: x1= -1 và x2 = -2.
Đáp án: x1= -1, x2 = -2.
Bình luận. Phương trình của dạng
Điều này luôn có thể được rút gọn về dạng (11) và hơn nữa, xem xét α > 0 và λ > 0 về dạng.
5. Phương trình dạng
phương trình
,(13) trong đó các số α, β, γ, δ và Α sao cho αβ = γδ ≠ 0, có thể được viết lại bằng cách nhân dấu ngoặc đầu tiên với dấu ngoặc thứ hai và dấu ngoặc thứ ba với dấu ngoặc thứ tư, dưới dạng tức là. phương trình (13) bây giờ được viết dưới dạng (11) và việc giải nó có thể được thực hiện giống như cách giải phương trình (11).
Ví dụ 6: Giải phương trình
Giải pháp. Phương trình (14) có dạng (13) nên ta viết lại dưới dạng
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình này nên bằng cách chia cả hai vế cho x2, chúng ta thu được phương trình ban đầu tương đương. Bằng cách thay đổi các biến, chúng ta thu được một phương trình bậc hai có nghiệm là và. Do đó, phương trình ban đầu (14) tương đương với tập phương trình và.
Giải phương trình đầu tiên của tập hợp này là
Phương trình thứ hai của tập hợp nghiệm này không có nghiệm. Vì vậy, phương trình ban đầu có nghiệm x1 và x2.
6. Phương trình dạng
phương trình
(15) trong đó các số a, b, c, q, A sao cho x = 0 không có nghiệm nên chia phương trình (15) cho x2. chúng ta thu được một phương trình tương đương với nó, phương trình này sau khi thay thế ẩn số sẽ được viết lại dưới dạng phương trình bậc hai, việc giải phương trình này không khó.
Ví dụ 7. Giải phương trình
Giải pháp. Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (16) nên chia cả hai vế cho x2, ta thu được phương trình
, (17) tương đương với phương trình (16). Sau khi thay thế bằng ẩn số, ta viết lại phương trình (17) dưới dạng
Phương trình bậc hai (18) có 2 nghiệm: y1 = 1 và y2 = -1. Do đó, phương trình (17) tương đương với tập phương trình và (19)
Tập hợp các phương trình (19) có 4 nghiệm: ,.
Chúng sẽ là nghiệm của phương trình (16).
§4. phương trình hữu tỉ
Các phương trình có dạng = 0, trong đó H(x) và Q(x) là các đa thức, được gọi là hữu tỉ.
Sau khi tìm được nghiệm của phương trình H(x) = 0, bạn cần kiểm tra xem chúng nào không phải là nghiệm của phương trình Q(x) = 0. Những nghiệm này và chỉ chúng mới là nghiệm của phương trình.
Xét một số phương pháp giải phương trình dạng = 0.
1. Phương trình dạng
phương trình
(1) trong những điều kiện nhất định về các số có thể được giải như sau. Bằng cách nhóm các số hạng của phương trình (1) thành hai và tính tổng từng cặp, cần thu được các đa thức tử số bậc một hoặc bậc 0, chỉ khác nhau về các thừa số và về mẫu số - tam thức có cùng hai số hạng chứa x thì sau khi thay thế nhận các biến phương trình cũng sẽ có dạng (1), nhưng với số lượng số hạng nhỏ hơn, hoặc sẽ tương đương với một tập hợp hai phương trình, một phương trình bậc một và phương trình thứ hai sẽ là phương trình của dạng (1), nhưng với số lượng số hạng nhỏ hơn.
Ví dụ. Giải phương trình
Giải pháp. Sau khi nhóm vế trái của phương trình (2) số hạng đầu tiên với số hạng cuối cùng và số hạng thứ hai với số áp chót, chúng ta viết lại phương trình (2) dưới dạng
Tổng hợp các số hạng trong mỗi ngoặc, ta viết lại phương trình (3) dưới dạng
Vì không có nghiệm của phương trình (4) nên chia phương trình này cho ta thu được phương trình
, (5) tương đương với phương trình (4). Thay số chưa biết thì phương trình (5) sẽ được viết lại dưới dạng
Do đó, nghiệm của phương trình (2) với năm số hạng ở vế trái được rút gọn thành nghiệm của phương trình (6) có cùng dạng, nhưng có ba số hạng ở vế trái. Tổng hợp tất cả các số hạng ở vế trái của phương trình (6), ta viết lại dưới dạng
Có giải pháp cho phương trình. Không có con số nào trong số này làm cho mẫu số biến mất. hàm hợp lýở vế trái của phương trình (7). Do đó, phương trình (7) có hai nghiệm này và do đó phương trình ban đầu (2) tương đương với tập phương trình
Các nghiệm của phương trình đầu tiên của tập hợp này là
Các nghiệm của phương trình thứ hai từ tập hợp này là
Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm
2. Phương trình dạng
phương trình
(8) trong những điều kiện nhất định về số có thể được giải như sau: cần chọn phần nguyên trong mỗi phân số của phương trình, tức là thay phương trình (8) bằng phương trình
Rút gọn nó về dạng (1) và sau đó giải nó theo cách được mô tả ở đoạn trước.
Ví dụ. Giải phương trình
Giải pháp. Chúng ta hãy viết phương trình (9) dưới dạng hoặc dưới dạng
Tổng hợp các số hạng trong ngoặc, ta viết lại phương trình (10) dưới dạng
Bằng cách thay thế ẩn số, chúng ta viết lại phương trình (11) dưới dạng
Tổng hợp các số hạng ở vế trái của phương trình (12), ta viết lại dưới dạng
Dễ dàng nhận thấy phương trình (13) có hai nghiệm: và. Do đó, phương trình ban đầu (9) có bốn nghiệm:
3) Các phương trình dạng.
Một phương trình có dạng (14), dưới những điều kiện nhất định đối với các số, có thể được giải như sau: bằng cách khai triển (tất nhiên nếu điều này là có thể) mỗi phân số ở vế trái của phương trình (14) thành tổng của phân số đơn giản
Rút gọn phương trình (14) thành dạng (1), sau đó, tiến hành sắp xếp lại các số hạng của phương trình thu được một cách thuận tiện, giải nó bằng phương pháp được mô tả trong đoạn 1).
Ví dụ. Giải phương trình
Giải pháp. Vì và, sau đó bằng cách nhân tử số của mỗi phân số trong phương trình (15) với 2 và lưu ý rằng phương trình (15) có thể được viết là
Phương trình (16) có dạng (7). Sau khi sắp xếp lại các số hạng trong phương trình này, chúng ta viết lại nó dưới dạng hoặc dưới dạng
Phương trình (17) tương đương với tập phương trình và
Để giải phương trình thứ hai của tập hợp (18), ta thay thế cho ẩn số rồi viết lại dưới dạng hoặc dưới dạng.
Tổng hợp tất cả các số hạng ở vế trái của phương trình (19), viết lại dưới dạng
Vì phương trình không có nghiệm nên phương trình (20) cũng không có nghiệm.
Phương trình đầu tiên của tập hợp (18) có một nghiệm duy nhất Vì nghiệm này được bao gồm trong ODZ của phương trình thứ hai của tập hợp (18), nên nó là nghiệm duy nhất của tập hợp (18), và do đó của phương trình ban đầu. phương trình.
4. Phương trình dạng
phương trình
(21) với những điều kiện nhất định về số và A sau khi biểu diễn từng số hạng ở vế trái trong biểu mẫu có thể rút gọn về dạng (1).
Ví dụ. Giải phương trình
Giải pháp. Chúng ta hãy viết lại phương trình (22) ở dạng hoặc dạng
Do đó, phương trình (23) được rút gọn về dạng (1). Bây giờ, nhóm số hạng đầu tiên với số hạng cuối cùng và số hạng thứ hai với số hạng thứ ba, chúng ta viết lại phương trình (23) dưới dạng
Phương trình này tương đương với tập hợp các phương trình và . (24)
Phương trình cuối cùng của tập hợp (24) có thể được viết lại thành
Có các nghiệm của phương trình này và vì nó nằm trong ODZ của phương trình thứ hai của tập hợp (30), nên tập hợp (24) có ba nghiệm:. Tất cả đều là nghiệm của phương trình ban đầu.
5. Phương trình dạng.
Phương trình dạng (25)
Dưới những điều kiện nhất định về số, bằng cách thay thế ẩn số, chúng ta có thể rút gọn về một phương trình có dạng
Ví dụ. Giải phương trình
Giải pháp. Vì nó không phải là nghiệm của phương trình (26) nên chia tử số và mẫu số của mỗi phân số ở vế trái cho, ta viết lại dưới dạng
Sau khi thay đổi các biến, chúng ta viết lại phương trình (27) ở dạng
Giải phương trình (28) có và. Do đó, phương trình (27) tương đương với tập phương trình và. (29)
“Phương pháp giải phương trình bậc cao”
( Bài đọc Kiselev)
Giáo viên toán Afanasyeva L.A.
Trường trung học MKOU Verkhnekarachskaya
Quận Gribanovsky, vùng Voronezh
2015
Giáo dục toán học được tiếp nhận trong Trường cấp hai, là thành phần quan trọng nhất giáo dục phổ thông và văn hóa chung của con người hiện đại.
Nhà toán học nổi tiếng người Đức Courant đã viết: “Trong hơn hai thiên niên kỷ, việc sở hữu một số kiến thức, không quá hời hợt, trong lĩnh vực toán học là cần thiết. một phần không thể thiếu vào kho trí tuệ của mỗi người có học thức." Và trong số những kiến thức này, không ít vị trí nhất thuộc về khả năng giải phương trình.
Ngay từ thời xa xưa, con người đã nhận ra tầm quan trọng của việc học cách giải các phương trình đại số. Khoảng 4000 năm trước, các nhà khoa học Babylon đã biết cách giải phương trình bậc hai và giải hệ hai phương trình, một trong số đó là phương trình bậc hai. Với sự trợ giúp của các phương trình, nhiều vấn đề khác nhau về khảo sát đất đai, kiến trúc và quân sự đã được giải quyết; nhiều câu hỏi đa dạng về thực tiễn và khoa học tự nhiên đã được giải quyết, vì ngôn ngữ chính xác của toán học cho phép người ta diễn đạt một cách đơn giản các sự kiện và mối quan hệ mà khi nào được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, có vẻ khó hiểu và phức tạp. Phương trình là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong toán học. Sự phát triển của các phương pháp giải phương trình, bắt đầu từ sự ra đời của toán học như một môn khoa học, trong một khoảng thời gian dài là chủ đề chính của đại số. Và ngày nay trong các bài học toán, bắt đầu từ bậc học đầu tiên, việc giải phương trình nhiều loại khác nhauđược chú trọng nhiều.
Công thức phổ quát để tìm rễ phương trình đại số Không có bậc thứ n. Tất nhiên, nhiều người có ý tưởng hấp dẫn là tìm kiếm bất kỳ bằng cấp nào N các công thức biểu thị nghiệm của phương trình thông qua các hệ số của nó, nghĩa là sẽ giải phương trình theo căn thức. Tuy nhiên, “Thời Trung cổ đen tối” hóa ra lại càng u ám nhất có thể liên quan đến vấn đề đang được thảo luận - trong suốt bảy thế kỷ không ai tìm ra được các công thức cần thiết! Chỉ đến thế kỷ 16 các nhà toán học Ý mới có thể tiến xa hơn - tìm ra các công thức cho N =3 Và N =4 . Đồng thời, câu hỏi về nghiệm tổng quát của phương trình bậc 3 đã được nghiên cứu bởi Scipio Dal Ferro, học trò của ông là Fiori và Tartaglia. Năm 1545, cuốn sách “Nghệ thuật vĩ đại hay về các quy tắc của đại số” của nhà toán học người Ý D Cardano được xuất bản, trong đó, cùng với các câu hỏi khác về đại số, phương pháp chung giải phương trình bậc ba, cũng như phương pháp giải phương trình bậc 4 do học trò của ông là L. Ferrari phát hiện. F. Việt đã trình bày đầy đủ các vấn đề liên quan đến việc giải phương trình bậc 3 đến bậc 4. Và vào những năm 20 của thế kỷ 19, nhà toán học người Na Uy N. Abel đã chứng minh rằng gốc của phương trình bậc 5 trở lên không thể biểu diễn dưới dạng căn thức.
Quá trình tìm nghiệm của một phương trình thường bao gồm việc thay thế phương trình đó bằng một phương trình tương đương. Việc thay thế phương trình bằng một phương trình tương đương dựa trên việc sử dụng bốn tiên đề:
1. Nếu các giá trị bằng nhau tăng lên cùng một số thì kết quả sẽ bằng nhau.
2. Nếu bạn trừ cùng một số từ những số lượng bằng nhau thì kết quả sẽ bằng nhau.
3. Nếu nhân các giá trị bằng nhau với cùng một số thì kết quả sẽ bằng nhau.
4. Nếu chia những số bằng nhau cho cùng một số thì kết quả bằng nhau.
Vì vế trái của phương trình P(x) = 0 là đa thức bậc thứ n, thì sẽ rất hữu ích khi nhớ lại các phát biểu sau:
Phát biểu về nghiệm của một đa thức và các ước của nó:
1. Đa thức thứ nđộ có số nghiệm không vượt quá n, và nghiệm bội m xuất hiện đúng m lần.
2. Một đa thức bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực.
3. Nếu α là nghiệm của P(x), thì P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), trong đó Q n - 1 (x) là đa thức bậc (n - 1).
4. Mọi căn nguyên của một đa thức có hệ số nguyên là ước số của số hạng tự do.
5. Đa thức rút gọn có hệ số nguyên không thể có nghiệm hữu tỉ phân số.
6. Đối với đa thức bậc ba
P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có thể xảy ra một trong hai trường hợp: hoặc là nó bị phân hủy thành tích của ba nhị thức
P 3 (x) = a (x - α)(x - β)(x - γ), hoặc phân tích thành tích của một nhị thức và một tam thức bình phương P 3 (x) = a(x - α)(x 2 + βx + γ ).
7. Bất kỳ đa thức bậc bốn nào cũng có thể được khai triển thành tích của hai tam thức chính phương.
8. Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) không có số dư nếu tồn tại đa thức q(x) sao cho f(x) = g(x) q(x). Để chia đa thức người ta sử dụng quy tắc chia góc.
9. Để đa thức P(x) chia hết cho nhị thức (x – c), điều cần và đủ là c là nghiệm của P(x) (Hệ quả của định lý Bezout).
10. Định lý Vieta: Nếu x 1, x 2, ..., x n là nghiệm thực của đa thức
P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, khi đó các đẳng thức sau đúng:
x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 /a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 /a 0,
x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n /a 0 .
Giải ví dụ
ví dụ 1 . Tìm số dư của phép chia P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 cho (x – 1/3).
Giải pháp. Theo hệ quả tất yếu của định lý Bezout: “Phần dư của đa thức chia cho nhị thức (x - c) bằng giá trị đa thức của c”. Hãy tìm P(1/3) = 0. Do đó số dư bằng 0 và số 1/3 là nghiệm của đa thức.
Trả lời: R = 0.
Ví dụ 2 . Chia một “góc” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 cho (x + 2). Tìm số dư và thương không đầy đủ.
Giải pháp:
2x3 + 3x2 – 2x + 3| x + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 – x
X 2 – 2x
X 2 – 2x
Đáp án: R = 3; thương: 2x2 – x.
Các phương pháp cơ bản để giải phương trình bậc cao
1. Giới thiệu biến mới
Phương pháp đưa vào một biến mới là để giải phương trình f(x) = 0, một biến mới (thay thế) t = x n hoặc t = g(x) được đưa vào và f(x) được biểu thị thông qua t, thu được a phương trình mới r(t) . Khi đó giải phương trình r(t) tìm được nghiệm: (t 1, t 2, ..., t n). Sau đó, thu được một tập hợp n phương trình q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, từ đó tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ;(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.
Giải: (x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Thay thế (x 2 + x + 1) = t.
t2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Thay thế ngược:
x 2 + x + 1 = 2 hoặc x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 hoặc x 2 + x = 0;
Từ phương trình đầu tiên: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, từ phương trình thứ hai: 0 và -1.
Phương pháp đưa biến mới được sử dụng để giải có thể trả lại phương trình, tức là phương trình có dạng a 0 x n + a 1 x n – 1 + .. + a n – 1 x + a n = 0, trong đó các hệ số của các số hạng của phương trình cách đều nhau từ đầu đến cuối, đều bình đẳng.
2. Phân tích nhân tử bằng cách nhóm và công thức nhân rút gọn
Điều cơ bản phương pháp này bao gồm việc nhóm các số hạng sao cho mỗi nhóm chứa một thừa số chung. Để làm được điều này, đôi khi cần phải sử dụng một số kỹ thuật nhân tạo.
Ví dụ: x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.
Giải pháp. Hãy tưởng tượng - 3x 2 = -2x 2 – x 2 và nhóm:
(x 4 - 2x 2) – (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.
(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x – 2) = 0.
(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.
x 2 – x + 1 = 0 hoặc x 2 + x – 3 = 0.
Không có nghiệm nào trong phương trình thứ nhất, nhưng từ phương trình thứ hai: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Phân tích nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
Bản chất của phương pháp này là đa thức ban đầu được phân tích nhân tử với các hệ số chưa biết. Sử dụng tính chất các đa thức bằng nhau nếu các hệ số của chúng bằng nhau với cùng lũy thừa, ta tìm được các hệ số khai triển chưa biết.
Ví dụ: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Giải pháp. Một đa thức bậc 3 có thể được mở rộng thành tích của thừa số tuyến tính và thừa số bậc hai.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a)(x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (c – ab)x – ac.
Đã giải hệ phương trình:
chúng tôi nhận được
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).
Các nghiệm của phương trình (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 rất dễ tìm thấy.
Trả lời 1; -2.
4. Phương pháp chọn gốc bằng hệ số tự do và cao nhất
Phương pháp này dựa trên việc áp dụng các định lý:
1) Mọi căn nguyên của một đa thức có hệ số nguyên là ước số của số hạng tự do.
2) Để phân số tối giản p/q (p - số nguyên, q - tự nhiên) là nghiệm của một phương trình có hệ số nguyên thì số p cần phải là ước số nguyên của số hạng tự do a 0, và q - ước số tự nhiên của hệ số cao nhất.
Ví dụ: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.
Giải pháp:
2: p = ±1, ±2
6: q = 1, 2, 3, 6.
Do đó, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Sau khi tìm thấy một nghiệm, chẳng hạn – 2, chúng ta sẽ tìm các nghiệm khác bằng cách sử dụng phép chia góc, phương pháp hệ số không xác định hoặc sơ đồ Horner.
Trả lời: -2; 1/2; 1/3.
5. Phương pháp đồ họa.
Phương pháp này bao gồm việc xây dựng đồ thị và sử dụng các thuộc tính của hàm.
Ví dụ: x 5 + x – 2 = 0
Hãy tưởng tượng phương trình có dạng x 5 = - x + 2. Hàm y = x 5 đang tăng và hàm y = - x + 2 đang giảm. Điều này có nghĩa là phương trình x 5 + x – 2 = 0 có một nghiệm duy nhất -1.
6. Nhân phương trình với hàm số.
Đôi khi việc giải một phương trình đại số sẽ dễ dàng hơn đáng kể nếu bạn nhân cả hai vế với một hàm số nhất định - một đa thức chưa biết. Đồng thời, chúng ta phải nhớ rằng có thể xuất hiện các nghiệm bổ sung—các nghiệm của đa thức mà phương trình được nhân. Do đó, bạn phải nhân với một đa thức không có nghiệm và nhận được phương trình tương đương, hoặc nhân với một đa thức có nghiệm, sau đó thay từng nghiệm này vào phương trình ban đầu và xác định xem số này có phải là nghiệm của nó hay không.
Ví dụ. Giải phương trình:
X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)
Giải pháp: Nhân cả hai vế của phương trình với đa thức X 2 + 1 không có nghiệm, ta thu được phương trình:
(X 2 +1) (X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1) = 0 (2)
tương đương với phương trình (1). Phương trình (2) có thể được viết là:
X 10 + 1= 0 (3)
Rõ ràng là phương trình (3) không có nghiệm thực nên phương trình (1) không có chúng.
Trả lời: không có giải pháp.
Ngoài các phương pháp trên để giải phương trình bậc cao hơn, còn có các phương pháp khác. Ví dụ: làm nổi bật một hình vuông hoàn chỉnh, sơ đồ Horner, biểu diễn một phân số thành hai phân số. Trong số các phương pháp chung để giải phương trình bậc cao thường được sử dụng nhất, người ta sử dụng: phương pháp phân tích vế trái của phương trình;
phương pháp thay thế biến (phương pháp đưa biến mới); phương pháp đồ họa. Chúng tôi giới thiệu các phương pháp này cho học sinh lớp 9 khi học chủ đề “Phương trình toàn phần và nghiệm của nó”. Trong sách giáo khoa Đại số 9 (tác giả Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. và những người khác) những năm gần đâyẤn phẩm thảo luận đầy đủ chi tiết về các phương pháp cơ bản để giải phương trình bậc cao hơn. Ngoài ra, trong phần “Dành cho những ai muốn biết thêm”, theo tôi, tài liệu về ứng dụng các định lý về nghiệm của đa thức và nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình khi giải phương trình bậc cao hơn được trình bày dưới dạng dễ tiếp cận. thái độ. Những học sinh có sự chuẩn bị tốt sẽ nghiên cứu tài liệu này một cách hứng thú và sau đó trình bày các phương trình đã giải cho các bạn cùng lớp.
Hầu hết mọi thứ xung quanh chúng ta đều được kết nối ở mức độ này hay mức độ khác với toán học. Và những thành tựu về vật lý, công nghệ, công nghệ thông tin chỉ khẳng định điều này. Và điều rất quan trọng là việc giải nhiều bài toán thực tế liên quan đến việc giải các loại phương trình khác nhau mà bạn cần học để giải.
