Sự khác nhau giữa hình bình hành và hình bình hành. Hình chữ nhật song song
Sự định nghĩa
đa diện chúng ta sẽ gọi một bề mặt khép kín bao gồm các đa giác và giới hạn một phần không gian nhất định.
Các đoạn là các cạnh của đa giác này được gọi là xương sườn khối đa diện, và bản thân các đa giác đó là các cạnh. Các đỉnh của đa giác gọi là đỉnh đa diện.
Chúng ta sẽ chỉ xem xét các khối đa diện lồi (đây là một khối đa diện nằm ở một phía của mỗi mặt phẳng chứa mặt của nó).
Các đa giác tạo nên một khối đa diện tạo thành bề mặt của nó. Phần không gian được giới hạn bởi một khối đa diện nhất định được gọi là phần bên trong của nó.
định nghĩa: lăng kính
Xét hai đa giác bằng nhau \(A_1A_2A_3...A_n\) và \(B_1B_2B_3...B_n\) nằm trong các mặt phẳng song song sao cho các đoạn thẳng \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) song song. Một khối đa diện được hình thành bởi các đa giác \(A_1A_2A_3...A_n\) và \(B_1B_2B_3...B_n\) , cũng như các hình bình hành \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), được gọi là (\(n\)-gonal) lăng kính.
Đa giác \(A_1A_2A_3...A_n\) và \(B_1B_2B_3...B_n\) được gọi là đáy lăng trụ, hình bình hành \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– các mặt bên, các đoạn \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- sườn bên.
Do đó, các cạnh bên của lăng kính song song và bằng nhau.
Hãy xem một ví dụ - một lăng kính \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), ở đáy có một hình ngũ giác lồi.
Chiều cao lăng kính là đường vuông góc thả từ một điểm bất kỳ của đáy này xuống mặt phẳng của đáy khác.
Nếu các cạnh bên không vuông góc với đáy thì lăng kính đó được gọi là nghiêng(Hình 1), nếu không thì – thẳng. Trong lăng kính thẳng, các cạnh bên có chiều cao và các mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau.
Nếu đáy của lăng trụ thẳng nằm đa giác đều, khi đó lăng kính được gọi là Chính xác.
định nghĩa: khái niệm khối lượng
Đơn vị đo thể tích là một khối lập phương đơn vị (khối có kích thước \(1\times1\times1\) đơn vị\(^3\), trong đó đơn vị là một đơn vị đo lường nhất định).
Chúng ta có thể nói rằng thể tích của khối đa diện là lượng không gian mà khối đa diện này giới hạn. Ngược lại: đây là số lượng giá trị số cho biết số lần một khối đơn vị và các phần của nó vừa với một khối đa diện nhất định.
Thể tích có các tính chất giống như diện tích:
1. Thể tích của các hình bằng nhau thì bằng nhau.
2. Nếu một khối đa diện gồm nhiều khối đa diện không giao nhau thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện đó.
3. Khối lượng là đại lượng không âm.
4. Thể tích được đo bằng cm\(^3\) (cm khối), m\(^3\) ( Mét khối) vân vân.
Định lý
1. Diện tích bề mặt bên của lăng kính bằng tích của chu vi đáy và chiều cao của lăng kính.
Diện tích xung quanh bằng tổng diện tích các mặt bên của lăng kính.
2. Thể tích lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ: \
định nghĩa: song song
song song là một lăng kính có đáy là hình bình hành.
Tất cả các mặt của hình bình hành (có \(6\) : \(4\) mặt bên và \(2\) đáy) là hình bình hành và các mặt đối diện (song song với nhau) là hình bình hành bằng nhau (Hình 2) .
Đường chéo của một hình bình hành là đoạn nối hai đỉnh của một hình bình hành không nằm trên cùng một mặt (có \(8\) trong số chúng: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) vân vân.).
Hình chữ nhật song song là một hình bình hành bên phải có hình chữ nhật ở đáy.
Bởi vì Vì đây là hình bình hành bên phải nên các mặt bên là hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là nói chung tất cả các mặt của hình bình hành hình chữ nhật đều là hình chữ nhật.
Tất cả các đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật đều bằng nhau (điều này suy ra từ sự bằng nhau của các hình tam giác) \(\tam giác ACC_1=\tam giác AA_1C=\tam giác BDD_1=\tam giác BB_1D\) vân vân.).
Bình luận
Vì vậy, một hình bình hành có tất cả các tính chất của lăng kính.
Định lý
Diện tích xung quanh của hình bình hành hình chữ nhật là \
Quảng trường toàn bộ bề mặt hình chữ nhật song song thì bằng \
Định lý
Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng tích ba cạnh của nó nhô ra từ một đỉnh (ba chiều của hình hộp chữ nhật): \
Bằng chứng
Bởi vì Trong một hình bình hành hình chữ nhật, các cạnh bên vuông góc với đáy thì chúng cũng là chiều cao của nó, tức là \(h=AA_1=c\) Bởi vì thì đáy là hình chữ nhật \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Đây là nơi mà công thức này đến từ.
Định lý
Đường chéo \(d\) của một hình bình hành hình chữ nhật được tìm thấy bằng công thức (trong đó \(a,b,c\) là kích thước của hình bình hành) \
Bằng chứng
Chúng ta hãy nhìn vào hình. 3. Bởi vì đáy là hình chữ nhật, do đó \(\tam giác ABD\) là hình chữ nhật, do đó, theo định lý Pythagore \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Bởi vì tất cả các cạnh bên vuông góc với các đáy thì \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng này, tức là \(BB_1\perp BD\) . Điều này có nghĩa là \(\tam giác BB_1D\) là hình chữ nhật. Khi đó, theo định lý Pytago \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
định nghĩa: hình khối
khối lập phương là hình chữ nhật song song, tất cả các mặt đều là hình vuông bằng nhau.
Do đó, ba chiều bằng nhau: \(a=b=c\) . Vậy những điều sau đây là đúng
Định lý
1. Thể tích của hình lập phương có cạnh \(a\) bằng \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. Đường chéo của hình lập phương được tìm bằng công thức \(d=a\sqrt3\) .
3. Tổng diện tích bề mặt của hình lập phương \(S_(\text(toàn khối))=6a^2\).
Hình bình hành là một lăng kính có đáy là hình bình hành. Trong trường hợp này, tất cả các cạnh sẽ hình bình hành.
Mỗi hình bình hành có thể được coi như một lăng kính có ba những cách khác, vì hai mặt đối diện có thể được lấy làm đáy (trong Hình 5, các mặt ABCD và A"B"C"D", hoặc ABA"B" và CDC"D", hoặc VSV"C" và ADA"D") .
Cơ thể được đề cập có mười hai cạnh, bốn cạnh bằng nhau và song song với nhau.
Định lý 3
. Các đường chéo của một hình song song giao nhau tại một điểm, trùng với điểm giữa của mỗi đường chéo.
ABCDA"B"C"D" hình song song (Hình 5) có bốn đường chéo AC", BD", CA", DB". Chúng ta phải chứng minh rằng trung điểm của hai điểm bất kỳ trong số chúng, ví dụ AC và BD", trùng nhau. Điều này suy ra từ thực tế là hình ABC"D", có các cạnh AB và C"D bằng nhau và song song", là hình bình hành.
Định nghĩa 7
. Một hình bình hành bên phải là một hình bình hành cũng là một hình lăng trụ thẳng, nghĩa là một hình bình hành có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng của đáy.
Định nghĩa 8
. Một hình bình hành hình chữ nhật là một hình bình hành bên phải có đáy là hình chữ nhật. Trong trường hợp này, tất cả các mặt của nó sẽ là hình chữ nhật.
Một hình bình hành hình chữ nhật là một lăng kính vuông, bất kể mặt nào của nó được chúng ta lấy làm đáy, vì mỗi cạnh của nó vuông góc với các cạnh đi ra từ cùng một đỉnh và do đó sẽ vuông góc với các mặt phẳng được xác định. bởi các cạnh này. Ngược lại, một hình song song, chứ không phải hình chữ nhật, có thể được xem như một lăng kính vuông chỉ theo một cách.
Định nghĩa 9
. Độ dài của ba cạnh của một hình bình hành hình chữ nhật, trong đó không có hai cạnh nào song song với nhau (ví dụ: ba cạnh cùng xuất hiện từ một đỉnh), được gọi là kích thước của nó. Hai hình bình hành hình chữ nhật có kích thước tương ứng bằng nhau hiển nhiên bằng nhau.
Định nghĩa 10
.Hình lập phương là một hình chữ nhật có hình song song, cả ba chiều đều bằng nhau nên tất cả các mặt của nó đều là hình vuông. Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. 
Định nghĩa 11
. Một hình song song nghiêng trong đó tất cả các cạnh bằng nhau và các góc của tất cả các mặt bằng nhau hoặc bổ sung được gọi là hình thoi.
Tất cả các mặt của hình thoi đều là hình thoi bằng nhau. (Một số tinh thể có hình thoi, có tầm quan trọng lớn, ví dụ: tinh thể thạch anh Iceland.) Trong một hình thoi bạn có thể tìm thấy một đỉnh (và thậm chí hai đỉnh đối diện nhau) sao cho tất cả các góc liền kề với nó đều bằng nhau.
Định lý 4
. Các đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật bằng nhau. Bình phương của đường chéo bằng tổng các bình phương của ba chiều.
Trong hình chữ nhật song song ABCDA"B"C"D" (Hình 6), các đường chéo AC" và BD" bằng nhau, vì tứ giác ABC"D" là hình chữ nhật (đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng ECB" C”, BC nằm trong đó”).
Ngoài ra, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 dựa trên định lý về bình phương cạnh huyền. Nhưng cũng dựa trên định lý tương tự AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; do đó chúng ta có:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
Trong bài này mọi người sẽ được học chủ đề “Hình chữ nhật song song”. Mở đầu bài học, chúng ta sẽ nhắc lại thế nào là hình bình hành thẳng và tùy ý, nhớ tính chất các mặt đối diện và đường chéo của hình bình hành. Sau đó chúng ta sẽ xem hình khối là gì và thảo luận về các tính chất cơ bản của nó.
Đề tài: Độ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Bài học: Hình khối
Một mặt gồm hai hình bình hành bằng nhau ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 và bốn hình bình hành ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 được gọi là song song(Hình 1).
Cơm. 1 đường song song
Nghĩa là: Ta có hai hình bình hành bằng nhau ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 (đáy), chúng nằm trong các mặt phẳng song song sao cho các cạnh AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 song song. Vì vậy, một mặt gồm các hình bình hành được gọi là song song.
Vì vậy, bề mặt của một hình bình hành là tổng của tất cả các hình bình hành tạo nên hình bình hành đó.
1. Các mặt đối diện của hình bình hành thì song song và bằng nhau.
(các hình bằng nhau, nghĩa là chúng có thể được kết hợp bằng cách chồng lên nhau)
Ví dụ:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (định nghĩa các hình bình hành bằng nhau),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (vì AA 1 B 1 B và DD 1 C 1 C là các mặt đối diện của hình bình hành),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (vì AA 1 D 1 D và BB 1 C 1 C là các mặt đối diện của hình bình hành).
2. Các đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại một điểm và bị chia đôi bởi điểm này.
Các đường chéo của các hình song song AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B cắt nhau tại một điểm O và mỗi đường chéo được chia đôi cho điểm này (Hình 2).
Cơm. 2 Các đường chéo của một hình song song giao nhau và được chia làm đôi bởi điểm giao nhau.
3. Có ba bộ tứ cạnh bằng nhau và song song của một hình bình hành: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Sự định nghĩa. Một hình bình hành được gọi là thẳng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các đáy.
Đặt cạnh bên AA 1 vuông góc với đáy (Hình 3). Điều này có nghĩa là đường thẳng AA 1 vuông góc với các đường thẳng AD và AB nằm trong mặt phẳng đáy. Điều này có nghĩa là các mặt bên chứa hình chữ nhật. Và các đáy chứa các hình bình hành tùy ý. Hãy ký hiệu ∠BAD = φ, góc φ có thể là bất kỳ.
Cơm. 3 Đường song song bên phải
Vì vậy, một hình bình hành bên phải là một hình bình hành trong đó các cạnh bên vuông góc với các đáy của hình bình hành.
Sự định nghĩa. Hình bình hành gọi là hình chữ nhật, nếu các cạnh bên của nó vuông góc với đáy. Các đế là hình chữ nhật.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 hình song song là hình chữ nhật (Hình 4), nếu:
1. AA 1 ⊥ ABCD (cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, tức là một đường thẳng song song).
2. ∠BAD = 90°, tức là đáy là hình chữ nhật.
Cơm. 4 Hình chữ nhật song song
Một hình bình hành hình chữ nhật có tất cả các đặc tính của một hình bình hành tùy ý. Nhưng có thuộc tính bổ sung, được suy ra từ định nghĩa của hình bình hành hình chữ nhật.
Vì thế, hình khối là một hình bình hành có các cạnh bên vuông góc với đáy. Đáy của hình bình hành hình chữ nhật là hình chữ nhật.
1. Trong một hình bình hành hình chữ nhật, tất cả sáu mặt đều là hình chữ nhật.
ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 theo định nghĩa là hình chữ nhật.
2. Các gân bên vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là tất cả các mặt bên của hình bình hành hình chữ nhật đều là hình chữ nhật.
3. Tất cả các góc nhị diện của hình bình hành hình chữ nhật đều vuông.
Ví dụ, chúng ta hãy xem xét góc nhị diện của một hình chữ nhật song song có cạnh AB, tức là góc nhị diện giữa các mặt phẳng ABC 1 và ABC.
AB là một cạnh, điểm A 1 nằm trên một mặt phẳng - trong mặt phẳng ABB 1 và điểm D nằm trong mặt phẳng kia - trong mặt phẳng A 1 B 1 C 1 D 1. Khi đó góc nhị diện đang xét cũng có thể được ký hiệu như sau: ∠A 1 ABD.
Lấy điểm A trên cạnh AB. AA 1 vuông góc với cạnh AB trong mặt phẳng АВВ-1, AD vuông góc với cạnh AB trong mặt phẳng ABC. Vì vậy, ∠A 1 AD - góc tuyến tính góc nhị diện đã cho. ∠A 1 AD = 90°, nghĩa là góc nhị diện ở cạnh AB là 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Tương tự, người ta chứng minh rằng mọi góc nhị diện của một hình bình hành hình chữ nhật đều đúng.
Bình phương đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật bằng tổng các bình phương ba chiều của nó.
Ghi chú. Độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình lập phương là số đo của hình lập phương đó. Chúng đôi khi được gọi là chiều dài, chiều rộng, chiều cao.
Cho: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - hình chữ nhật song song (Hình 5).
Chứng minh: .
Cơm. 5 Hình chữ nhật song song
Bằng chứng:
Đường thẳng CC1 vuông góc với mặt phẳng ABC và vuông góc với đường thẳng AC. Điều này có nghĩa là tam giác CC 1 A là vuông góc. Theo định lý Pythagore:
Hãy xem xét tam giác vuông ABC. Theo định lý Pythagore:
Nhưng BC và AD là hai cạnh đối diện của hình chữ nhật. Vậy BC = AD. Sau đó:
Bởi vì , MỘT , Cái đó. Vì CC 1 = AA 1 nên đây là điều cần chứng minh.
Các đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật bằng nhau.
Chúng ta hãy ký hiệu các kích thước của hình bình hành ABC là a, b, c (xem Hình 6), khi đó AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
