Главная > Утепление > Натуральные числа. Сравнение натуральных чисел. Сравнить два различных натуральных числа – это значит определить, какое из них больше, а какое - меньше. Что значит сравнить 2 натуральных числа


Натуральные числа. Сравнение натуральных чисел. Сравнить два различных натуральных числа – это значит определить, какое из них больше, а какое - меньше. Что значит сравнить 2 натуральных числа




Навигация по странице:

Определение. Натуральные числа - это числа, которые используются для счета: 1 , 2 , 3 , …, n , …

Множество натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis - естественный).

Натуральные числа в десятичной системе счисления записываются с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Множество натуральных чисел - является упорядоченным множеством , т.е. для любых натуральных чисел m и n справедливо одно из соотношений:

  • либо m = n (m равно n ),
  • либо m > n (m больше n ),
  • либо m < n (m меньше n ).
  • Наименьшее натурально число - единица (1 )
  • Наибольшего натурального числа не существует .
  • Нуль (0 ) не является натуральным числом.
Множество натуральных чисел бесконечно , так как для любого числа n всегда найдется число m , которое больше n

Из соседних натуральных чисел, число, которое стоит левее числа n называется предыдущим числу n , а число, которое стоит правее называется следующим за n .

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям над натуральными числами (операциям в результате, которых получается натуральных чисел) относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение
  • Умножение
  • Возведение в степень a b , где a - основание степени и b - показатель степени. Если основание и показатель - натуральные числа, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как их результат не всегда будет натуральным числом.

  • Вычитание (При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого)
  • Деление

Классы и разряды

Разряд - положение (позиция) цифры в записи числа.

Низший разряд - самый правый. Старший разряд - самый левый.

Пример:

5 - единиц, 0 - десятков, 7 - сотен,
2 - тысячи, 4 - десятков тысяч, 8 - сотен тысяч,
3 - миллиона, 5 - десятков миллионов, 1 - сотня миллионов

Для удобства чтения, натуральных числа разбивают, на группы по три цифры в каждой начиная справа.

Класс - группа из трех цифр, на который разбито число, начиная справа. Последний класс может состоять из трех, двух или одной цифры.

  • Первый класс - класс единиц;
  • Второй класс - класс тысяч;
  • Третий класс - класс миллионов;
  • Четвертый класс - класс миллиардов;
  • Пятый класс - класс триллионов;
  • Шестой класс - класс квадрильонов (квадриллионов);
  • Седьмой класс - класс квинтильонов (квинтиллионов);
  • Восьмой класс - класс секстильонов;
  • Девятый класс - класс септильонов;

Пример:

34 - миллиарда 456 миллионов 196 тысяч 45

Сравнение натуральных чисел

  1. Сравнение натуральных чисел с разным количеством цифр

    Среди натуральных чисел больше то, у которого больше цифр

  2. Сравнение натуральных чисел с равным количеством цифр

    Сравнить числа поразрядно, начиная со старшего разряда. Больше то, у которого больше единиц в наивысшем одноименном разряде

Пример:

3466 > 346 - так как число 3466 состоит из 4 цифр, а число 346 из 3 цифр.

34666 < 245784 - так как число 34666 состоит из 5 цифр, а число 245784 из 6 цифр.

Пример:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Второе из натуральных чисел с равным количеством цифр больше, так как 6 > 2.

5 класс

Цель :

        • Ознакомление учащихся с понятием неравенства и решением неравенства , выполнение упражнений на нахождение решений простейших неравенств .
          Развитие логического мышления учащихся .

          Воспитание аккуратности в работе .

Ход урока

I . Актуализация опорных знаний

Математический диктант

Ответы на вопросы учащиеся записывают в тетрадях.

    Какие из чисел 3; 12; 14 являются корнями уравнения?

    • Х+21=24

      49-х=47

      2х-10=18

    Составьте уравнение к задаче, приняв неизвестное число за х. Найдите это число. (Можно найти устно, записав только ответ.)

Ваня задумал число. Если к этому числу при бавить 12, а из полученной суммы вычесть 19, получится 31. Какое число задумал Ваня ?

II . Изучение нового материала

Относительно двух различных натуральных чисел всегда можно сказать, какое из них больше, а какое меньше. Это значит, что натуральные числа можно сравнивать.

Результат сравнения записывается в виде неравенств помощью знаков <; (меньше) и > (больше). Напр. 2<5 (читаем: два меньше пяти) или 5>2 (читаем: пять больше двух).

Правила:

    Если два натуральных числа имеют различное число знаков (цифр), то больше число, в котором знаков больше.

Например,

3421 >803; 5703<21844.

2. Если два натуральных числа имеют одинаковое число знаков, то большим является число, в котором больше единиц в наивысшем разряде. Если же число единиц в этом разряде одинаково, то сравниваются разряды на одну ступень ниже и т. д.

Наименьшее натуральное число - единица (1).

Наибольшего натурального числа не существует: для любо го данного натурального числа можно назвать натуральное число, которое больше данного. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел 1, 2, 3, ... неограничен.

Число 0 меньше любого натурального числа. Любое натуральное число больше числа 0.

Свойство координатного луча:

На координатном луче большее число расположено правее, а меньшее – левее.

А В

0 1 2 3 4 5 6 7 8 потам собирает для проверки тетради с домашним заданием.

VI . Домашнее задание


При счете натуральные числа называют по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... .

Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое при счете называют позже. Единица – самое маленькое натуральное число. Число 4 меньше, чем. 7, а число 8 больше, чем 7.

Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

Например, точка А(4) лежит левее точки В(7) (рис. 16). Нуль меньше любого натурального числа.

Рис. 16. Координатный луч

Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства , применяя знаки < (меньше) и > (больше). Например, 4 < 7, 8 > 7. Число 3 меньше, чем 6, и больше, чем 2. Это записывают в виде двойного неравенства 2 < 3 < 6. Так как нуль меньше, чем единица, то записывают 0 < 1.

Многозначные числа сравнивают так. Число 2305 больше, чем 984, потому что 2305 – четырехзначное число, а 984 – трехзначное. Числа 2305 и 1178 – четырехзначные, но 2305>1178, потому что в первом числе больше тысяч, чем во втором. В четырехзначных числах 2305 и 2186 поровну тысяч, но сотен в первом числе больше, и потому 2305 > 2186.

Знаками < и > обозначают также результат сравнения отрезков. Если отрезок АВ короче отрезка CD, то пишут:

Если же отрезок АВ длиннее отрезка CD, то пишут:

Неравенства читают так: левую часть в именительном падеже, а правую – в родительном падеже.

Например: 55<128 – пятьдесят пять меньше ста двадцати восьми.

Немало различных способов записи, чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком «~» (титло), который писали над буквой (рис. 17).

Рис. 17. Запись чисел в Древней Руси

Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв – десятки, а последние девять букв – сотни. Число десять тысяч называли словом «тьма» (и теперь мы говорим: «народу – тьма тъмущая»).

Современная достаточно простая и удобная десятичная система записи чисел была заимствована европейцами у арабов, которые в свою очередь переняли ее у индусов. Поэтому цифры, которыми мы сейчас пользуемся, европейцы называют «арабскими», а арабы – «индийскими». Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году английским ученым-путешественником Аделардом . К 1600 году она была принята в большинстве стран мира.

Русские названия чисел тесно связаны с десятичной системой счисления. Например, семнадцать означает «семь на десять», семьдесят – «семь десятков», а семьсот – «семь сотен».

До сих пор используются и римские цифры, которые употреблялись в Древнем Риме уже около 2600 лет тому назад.

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, С - 100, D - 500, М - 1000.

Остальные числа записываются этими цифрами с применением сложения и вычитания. Так, например, число XXVII означает 27, так как

10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27.

Если меньшая по значению цифра (I, X, С) стоит перед большей, то ее значение вычитается.

Например, IV означает 4(5 - 1 = 4), IX означает 9(10 – 1 = 9), ХС означает 90. Таким образом, число MCMLXXXIX означает 1989. так как:

1000 + (1000 - 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 - 1) = 1989.

В настоящее время римские цифры обычно применяются при нумерации глав и разделов книг, месяцев года, для обозначений дат значительных событий, годовщин.

Для вычислений запись чисел с помощью римских цифр неудобна. В этом вы можете убедиться сами, если попробуете выполнить, например, сложение чисел CCXCVII и ХLIХ или деление числа CCXCVII на число IX.

Сравнение в жизни мы используем постоянно. Например, длинная дорога или короткая, высокий или низкий человек, много игрушек или мало, большая емкость или маленькая. Так, что же такое сравнение натуральных чисел?

Сравнение натуральных чисел – это определение какое из больше, а какое меньше.

Способы сравнения натуральных чисел.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 ,10, 11, 12, 13, 14, 15, …

1) Всегда числа, стоящие справа в больше чисел, стоящих слева.
Например, сравним числа 7 и 9. Число 9 стоит правее числа 7, следовательно, число 9 больше 7.

Единица, является самым маленьким натуральным числом.

Любое натуральное число больше нуля.

2) Всегда больше то натуральное число, у которого больше.

Сравним два числа 45 и 190. Сразу понятно, что число 190 больше числа 45. Мы сделали такой вывод потому, что число 190 является трехзначным числом, а 45 – двухзначным числом. У числа 190 есть разряд сотен, десятков и единиц, а у числа 45 только разряд десятков и единиц.

3) Если количество разрядов одинаково, то мы будем сравнивать величины цифр разрядов, начиная с (слева направо).
Например, сравним числа 478 и 399. Оба числа являются трехзначными, поэтому подробно рассмотрим сотен. У первого числа 478 разряд сотен равен 4, а у второго числа 399 разряд сотен равен 3. Следовательно, первое число 478 больше второго числа 399, потому что 4 больше 3.

Если одинаковые мы сравниваем следующий меньший разряд цифр.
Сравним числа 7890 и 7860. Начинаем сравнивать высший разряд единиц тысяч он у обоих чисел равен 7. Следующий разряд сотен, также равен у обоих чисел 8. А вот разряд десятков различен. У первого числа 7890 разряд десятков равен 9, а у второго числа 7860 равен 6. Далее делаем вывод, первое число 7890 больше 7860, потому что разряд десятков у первого числа больше чем у второго. Проще сказать, 9 больше 6.

\(\left(\begin{array}{c}78 \color{blue} {9}0\\ 78\color{red} {6}0\end{array}\right)\)

4) Если при сравнении все цифры разрядов двух натуральных чисел одинаковы, значит числа равны.
Например, сравним числа 4890765 и 4890765. Видно, что у обоих чисел все цифры разрядов одинаковы, следовательно, они равны.

\(\left(\begin{array}{c}4890765\\ 4890765\end{array}\right)\)

Неравенство и знаки неравенства.

Чтобы не писать словами больше, меньше или равно в математике придумали обозначения. Больше (>), меньше (<), равно (=) . Например, 3 больше 2 математическая запись будет выглядеть так 3>2. Или 6 меньше 10, мы запишем как 6<10. 8 равно 8, запишем 8=8.

Выражения 3>2, 6<10 и 8=8 называются в математики неравенствами.

Такая запись 2<3<4 называется двойным неравенством .

Вопросы к теме:
Назовите наименьшее натуральное число?
Ответ: единица.

Назовите наибольшее натуральное число?
Ответ: натуральный ряд чисел бесконечен, поэтому наибольшего натурального числа не существует.

Какое из чисел больше шестизначное или семизначное число?
Ответ: семизначное число больше шестизначного.

Разобраны примеры с ответами на типичные задания темы.
Пример №1:
Прочитайте неравенство: а) 5<12 б) 6>1 в) 7=7
Ответ: а) пять меньше двенадцати б) шесть больше одного в) семь равено семи.

Пример №2:
Запишите неравенство: а) 4 меньше 8 б) 10 больше 9 в) 11 равно 11.
Ответ: а) 4<8 б) 10>9 в) 11=11.

Пример №3:
Верны ли неравенства? Проверьте знаки сравнения: а) 5<6 б) 7<3 в) 22>23 г) 5=55
Ответ: а) верно б) неверно в) неверно г) неверно.

Пример №4:
Сравните числа, поставьте правильно знаки неравенства (<, >, =): а)3 и 3 б)4 и 9 в)8 и 3
Ответ: а) 3=3 б) 4<9 в) 8>3

Пример №5:

Посмотрите на рисунок и составьте неравенство.