У дома > Дизайн > Решения! Експоненциални уравнения. По-сложни случаи


Решения! Експоненциални уравнения. По-сложни случаи




Първо ниво

Експоненциални уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

Хей! Днес ще обсъдим с вас как да решаваме уравнения, които могат да бъдат както елементарни (и се надявам, че след като прочетете тази статия, почти всички ще са за вас), така и тези, които обикновено се дават „за попълване“. Явно, за да заспя напълно. Но ще се опитам да направя всичко възможно, така че сега да не се прецакате, когато се сблъсквате с този тип уравнения. Повече няма да блъскам около храста, но веднага ще отворя малка тайна: днес ще се сгодим експоненциални уравнения.

Преди да пристъпя към анализа на начините за решаването им, веднага ще очертая пред вас кръг от въпроси (доста малък), които трябва да повторите, преди да се втурнете да щурмувате тази тема. Така че, за да получите най-добър резултат, Моля те, повторете:

  1. Свойства и
  2. Решение и уравнения

Повторено? Чудесен! Тогава няма да ви е трудно да забележите, че коренът на уравнението е число. Разбираш ли как точно го направих? Истина? Тогава да продължим. А сега ми отговори на въпроса какво е трета степен? Ти си абсолютно прав: . И каква степен на две е осем? Точно така – третото! Защото. Е, сега нека се опитаме да решим следния проблем: Нека умножа числото по себе си веднъж и да получа резултата. Въпросът е колко пъти съм умножил по себе си? Разбира се, можете да проверите това директно:

\ начало (подравняване) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ край ( подравнявам)

Тогава можете да заключите, че сам по себе си съм умножил пъти. Как иначе можеш да провериш? И ето как: директно по дефиниция на степента:. Но, признайте, ако попитах колко пъти трябва да се умножи две само по себе си, за да се получи, да речем, щеше да ми кажеш: Няма да се самозалъгвам и да се умножа сам до синьо в лицето. И би бил абсолютно прав. Защото как можеш запишете накратко всички действия(а краткостта е сестрата на таланта)

къде - тези са едни и същи "Times"когато умножаваш сам.

Мисля, че знаете (а ако не знаете, спешно, много спешно повторете степени!), че тогава моят проблем ще бъде написан във формата:

Откъде можете да направите напълно обосновано заключение, че:

Така неусетно записах най-простото експоненциално уравнение:

И дори го намери корен... Не мислите ли, че всичко е съвсем тривиално? Така че аз мисля абсолютно същото. Ето още един пример за вас:

Но какво трябва да се направи? Не можете да го запишете като степен на (разумно) число. Нека не се отчайваме и да отбележим, че и двете от тези числа са перфектно изразени от гледна точка на силата на едно и също число. Кое? Вдясно: . След това оригиналното уравнение се трансформира във вида:

Къде, както вече разбрахте,. Да не дърпаме повече и да пишем определение:

В нашия случай с вас:.

Тези уравнения се решават чрез свеждането им до вида:

с последващото решение на уравнението

Ние всъщност направихме това в предишния пример: получихме това. И ние с вас решихме най-простото уравнение.

Изглежда, че не е нищо сложно, нали? Нека първо практикуваме най-простите. примери:

Отново виждаме, че дясната и лявата част на уравнението трябва да бъдат представени като степен на едно число. Вярно, това вече е направено отляво, но вдясно има номер. Но всичко е наред, защото моето уравнение по чудо ще се трансформира в това:

Какво трябваше да използвам тук? Какво е правилото? Правило от степен до степенкойто гласи:

Какво ако:

Преди да отговорим на този въпрос, нека попълним следната табела:

Не ни е трудно да забележим, че колкото по-малко, толкова по-малка стойностно въпреки това всички тези стойности са по-големи от нула. И ТОВА ЩЕ БЪДЕ ВИНАГИ!!! Същото свойство важи ЗА ВСЯКА БАЗА С ВСЯКАКЪВ ИНДИКАТОР !! (за всяко и). Тогава какво можем да заключим за уравнението? И ето какво: то няма корени! Нито едно уравнение няма корени. Сега нека тренираме и Нека решим прости примери:

Да проверим:

1. Тук от вас не се изисква нищо, освен познаването на свойствата на степените (което, между другото, ви помолих да повторите!) Като правило всичко води до най-малката причина:,. Тогава оригиналното уравнение е еквивалентно на следното: Всичко, от което се нуждая, е да използвам свойствата на градусите: при умножение на числа с еднакви основи степените се събират, а при деление се изваждат.Тогава получавам: Е, сега, с чиста съвест, ще премина от експоненциално уравнение към линейно: \ begin (подравняване)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& x = 0. \\
\ край (подравняване)

2. Във втория пример трябва да бъдете по-внимателни: проблемът е, че от лявата страна няма да можем да го представим под формата на степен от същото число. В този случай понякога е полезно представят числата като произведение на градуси с различни основи, но едни и същи показатели:

Лявата страна на уравнението ще приеме формата: Какво ни даде това? Ето какво: Числа с различни основи, но едни и същи показатели могат да се умножават.В този случай базите се умножават и индикаторът не се променя:

Приложено към моята ситуация, това ще даде:

\ започвам (подравнявам)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400, \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400, \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\ край (подравняване)

Не е лошо, нали?

3. Не ми харесва, когато излишно от едната страна на уравнението има два члена, а от другата - нито един (понякога, разбира се, това е оправдано, но сега не е така). Преместете минус члена надясно:

Сега, както и преди, ще напиша всичко по отношение на степените на тройка:

Добавете степените вляво и получете еквивалентното уравнение

Можете лесно да намерите корена му:

4. Както в пример трети, терминът с минус е място от дясната страна!

Отляво съм почти добре, освен какво? Да, "грешната степен" в двойката ме притеснява. Но мога лесно да го поправя, като напиша:. Еврика - вляво всички основи са различни, но всички степени са еднакви! Умножете се спешно!

Тук отново всичко е ясно: (ако не сте разбрали колко магически получих последното равенство, направете почивка за минута, направете почивка и прочетете отново свойствата на степента много внимателно. Кой каза, че можете да пропуснете степен с отрицателен степен? Е, тук съм за същия, че никой). Сега ще получа:

\ започвам (подравнявам)
& ((2) ^ (4 \ вляво ((x) -9 \ надясно))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((x) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
\ край (подравняване)

Ето няколко задачи, които да тренирате, на които ще дам само отговорите (но в "смесен" вид). Нарежете ги, проверете ги и ние с вас ще продължим нашето изследване!

Готов? Отговорикато тези:

  1. произволно число

Добре, добре, пошегувах се! Ето описание на решенията (някои са много кратки!)

Не мислите ли, че не е случайно, че една фракция вляво е „обърната” друга? Би било грях да не се възползвате от това:

Това правило се използва много често при вземане на решение експоненциални уравнения, запомни го добре!

Тогава първоначалното уравнение ще бъде така:

Чрез решаването на това квадратно уравнение получавате следните корени:

2. Друго решение: разделяне на двете страни на уравнението на израза отляво (или отдясно). Разделям на това, което е вдясно, след което получавам:

Къде (защо?!)

3. Дори не искам да се повтарям, всичко вече е толкова "сдъвкано".

4.равно на квадратно уравнение, корени

5. Трябва да използвате формулата, дадена в първия проблем, след което получавате това:

Уравнението се превърна в тривиална идентичност, което е вярно за всеки. Тогава отговорът е всяко реално число.

Е, значи сте се упражнявали в решаването най-простите експоненциални уравнения.Сега искам да ви дам няколко примера от живота, които ще ви помогнат да разберете защо са необходими по принцип. Тук ще дам два примера. Единият от тях е доста ежедневен, но другият е по-скоро от научен, отколкото от практически интерес.

Пример 1 (търговски)Да предположим, че имате рубли и искате да ги превърнете в рубли. Банката ви предлага да вземете тези пари от вас на годишна лихва с месечна капитализация на лихвата (месечно начисляване). Въпросът е за колко месеца трябва да отворите депозит, за да съберете необходимата крайна сума? Доста обикновена задача, нали? Независимо от това, неговото решение е свързано с изграждането на съответното експоненциално уравнение: Нека - началната сума, - крайната сума, - лихвеният процент за периода, - броят на периодите. Тогава:

В нашия случай (ако процентът е годишен, тогава се начислява на месец). Защо е разделено на? Ако не знаете отговора на този въпрос, запомнете темата ""! Тогава получаваме следното уравнение:

Това експоненциално уравнение вече може да бъде решено само с помощта на калкулатор (неговото външен виднамеква за това, а това изисква познаване на логаритмите, с които ще се запознаем малко по-късно), което ще направя: ... По този начин, за да получим милион, трябва да направим вноска за един месец (не много бързо, Така ли?).

Пример 2 (по-научен).Въпреки неговата, известна "изолация", препоръчвам да му обърнете внимание: той редовно "се подхлъзва на изпита !! (проблемът е взет от "реалната" версия) По време на разпадането на радиоактивния изотоп неговата маса намалява по закон, където (mg) е началната маса на изотопа, (мин.) е времето, изминало от изотопа. начален момент, (мин.) е времето на полуразпад. В началния момент от време масата на изотопа е mg. Неговият полуживот е мин. След колко минути масата на изотопа ще бъде равна на mg? Всичко е наред: просто вземаме и заменяме всички данни във формулата, предложена ни:

Нека разделим и двете части на "с надеждата" отляво да получим нещо смилаемо:

Е, ние сме много късметлии! То стои отляво, след което се обръщаме към еквивалентното уравнение:

Къде е мин.

Както можете да видите, експоненциалните уравнения имат много реално приложение на практика. Сега искам да обсъдя с вас друг (прост) начин за решаване на експоненциални уравнения, който се основава на изваждането на общия множител от скобите, последвано от групиране на термините. Не се плашете от думите ми, вече сте се сблъсквали с този метод в 7 клас, когато изучавахте полиноми. Например, ако трябва да факторизирате израза:

Нека групираме: първия и третия член, както и втория и четвъртия. Ясно е, че първото и третото са разликата на квадратите:

а вторият и четвъртият имат общ фактор три:

Тогава оригиналният израз е еквивалентен на това:

Къде да извадите общия фактор вече не е трудно:

следователно,

Приблизително така ще действаме при решаването на експоненциални уравнения: потърсете "общност" сред термините и го поставете извън скобите, добре тогава - каквото и да е, вярвам, че ще имаме късмет =)) Например:

Вдясно е далеч от степен на седем (проверих го!) А отляво - малко по-добре, можете, разбира се, да "отрежете" фактора a от втория от първия член и след това да се справите с резултата, но нека го направим по-разумно с вас. Не искам да се занимавам с дроби, които неизбежно идват от „осветяване“, така че не би ли било по-добре да издържа? Тогава няма да имам дроби: както се казва, вълците са нахранени и овцете са в безопасност:

Пребройте израза в скоби. По магически, магически начин се оказва, че (изненадващо, макар че какво друго можем да очакваме?).

Тогава ще отменим и двете страни на уравнението с този фактор. Получаваме:, откъде.

Ето един по-сложен пример (доста, наистина):

Каква беда! Тук нямаме една обща точка! Не е съвсем ясно какво да правим сега. Нека направим каквото можем: първо, нека преместим „четворките“ от едната страна, а „петиците“ от другата:

Сега нека преместим "общото" наляво и надясно:

И сега какво? Каква е ползата от такава глупава група? На пръв поглед изобщо не се вижда, но нека погледнем по-задълбочено:

Е, сега нека направим така, че отляво да имаме само израза с, а отдясно - всичко останало. Как да направим това? И ето как: Разделете двете страни на уравнението първо на (по този начин се отърваваме от степента вдясно) и след това разделете двете страни на (по този начин се отърваваме от числовия фактор вляво). Най-накрая получаваме:

Невероятен! Отляво имаме израз, а отдясно имаме прост. Тогава веднага заключаваме това

Ето още един пример, който да консолидирате:

Ще дам неговото кратко решение (без да се занимавам много с обяснения), опитайте се сами да разберете всички "тънкости" на решението.

Сега окончателното консолидиране на предадения материал. Опитайте се сами да решите следните проблеми. Ще дам само кратки препоръки и съвети за решаването им:

  1. Нека извадим общия множител от скобите:
  2. Представяме първия израз във формата:, разделяме двете части и получаваме това
  3. , след това оригиналното уравнение се трансформира във вида: Е, сега един намек - вижте къде вие ​​и аз вече сме решили това уравнение!
  4. Представете си как, как и, добре, след това разделете двете части на, така че да получите най-простото експоненциално уравнение.
  5. Извадете от скобите.
  6. Извадете от скобите.

ИЗСЛЕДВАЩИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Предполагам, че след като прочетох първата статия, която разказа какво представляват експоненциалните уравнения и как да ги решавамеовладял си необходимия минимумзнания, необходими за решаване на най-простите примери.

Сега ще анализирам друг метод за решаване на експоненциални уравнения, това е

„Метод за въвеждане на нова променлива“ (или замяна).Той решава повечето от "трудните" задачи по темата за експоненциалните уравнения (и не само уравненията). Този метод е един от най-често използваните в практиката. Първо, препоръчвам ви да се запознаете с темата.

Както вече разбрахте от името, същността на този метод е да въведе такава промяна на променливата, че вашето експоненциално уравнение по чудо да се трансформира в такова, което вече можете лесно да решите. Всичко, което ви остава след решаването на това много „опростено уравнение“, е да направите „обратна замяна“: тоест да се върнете от подмененото към замененото. Нека илюстрираме това, което току-що казахме с много прост пример:

Пример 1:

Това уравнение се решава с помощта на „просто заместване“, както го наричат ​​пренебрежително математиците. Всъщност замяната тук е най-очевидната. Човек трябва само да види това

Тогава първоначалното уравнение се превръща в това:

Ако допълнително представим как, тогава е съвсем ясно какво трябва да бъде заменено: разбира се,. В какво тогава ще се превърне първоначалното уравнение? И ето какво:

Можете лесно да откриете корените му сами:. Какво да правим сега? Време е да се върнем към оригиналната променлива. Какво забравих да посоча? А именно: когато заменя определена степен с нова променлива (тоест при промяна на изглед), ще се интересувам от само положителни корени!Вие сами лесно можете да отговорите защо. По този начин ние с вас не се интересуваме, но вторият корен е доста подходящ за нас:

Тогава къде.

Отговор:

Както можете да видите, в предишния пример заместникът иска нашите ръце. За съжаление това не винаги е така. Нека обаче не отиваме направо към тъжното, а се упражняваме с още един пример с доста проста замяна

Пример 2.

Ясно е, че най-вероятно ще е необходимо да се замени (това е най-малката от степените, включени в нашето уравнение), но преди да въведем замяната, нашето уравнение трябва да бъде "подготвено" за него, а именно:,. След това можете да замените, в резултат на което получавам следния израз:

О, ужас: кубично уравнение с напълно страховити формули за неговото решение (е, ако говорим в общ изглед). Но нека не се отчайваме веднага, а да помислим какво да правим. Ще предложа да изневеря: знаем, че за да получим „хубав“ отговор, трябва да го получим под формата на някаква степен на тройка (защо би било това, а?). Нека се опитаме да отгатнем поне един корен от нашето уравнение (ще започна да гадая със степени на три).

Първо предположение. Не е корен. Уви и ах...

.
Лявата страна е равна.
Дясната част: !
Има! Познахте първия корен. Сега нещата ще станат по-лесни!

Знаете ли за схемата за разделяне на „ъгъла“? Разбира се, знаете, че го използвате, когато разделите едно число на друго. Но малко хора знаят, че същото може да се направи и с полиноми. Има една страхотна теорема:

Приложено към моята ситуация, това ми казва на какво се дели. Как се извършва разделянето? Ето как:

Гледам кой моном трябва да умножа, за да получа. Ясно е, че на, тогава:

Извадете получения израз от, вземете:

Сега по какво трябва да умножа, за да получа? Ясно е, че на, тогава ще получа:

и отново извадете получения израз от останалия:

Е, последната стъпка, ще умножа по и ще извадя от останалия израз:

Ура, разделението свърши! Какво сме спестили насаме? От само себе си: .

Тогава получихме следното разлагане на оригиналния полином:

Нека решим второто уравнение:

Има корени:

Тогава оригиналното уравнение:

има три корена:

Ние, разбира се, ще изхвърлим последния корен, тъй като той по-малко от нула... И първите две след обратната замяна ще ни дадат два корена:

Отговор: ..

С този пример изобщо не исках да ви плаша, по-скоро си поставих за цел да покажа, че поне имаме достатъчно проста подмяна, въпреки това доведе до по-скоро сложно уравнение, чието решение изискваше някои специални умения от нас. Е, никой не е имунизиран от това. Но замяната в в такъв случайбеше доста очевидно.

Ето пример с малко по-малко очевидна замяна:

Изобщо не е ясно какво трябва да правим: проблемът е, че в нашето уравнение има две различни причинии една основа не се получава от друга чрез повишаване до каквато и да е (разумна, естествено) степен. Какво обаче виждаме? И двете основи се различават само по знак, а произведението им е разликата на квадратите, равна на едно:

определение:

По този начин числата, които са основите в нашия пример, са спрегнати.

В този случай интелигентен ход би бил умножете двете страни на уравнението по спряганото число.

Например, на, тогава лявата страна на уравнението става равна, а дясната страна. Ако направим заместване, тогава нашето първоначално уравнение ще стане така:

нейните корени, тогава и като си спомним това, получаваме това.

Отговор: , .

Като правило методът на заместване е достатъчен за решаване на повечето от "училищните" експоненциални уравнения. Следните задачи са взети от изпит C1 ( повишено нивотрудности). Вече сте достатъчно компетентни, за да решите самостоятелно тези примери. Ще дам само необходимата замяна.

  1. Решете уравнението:
  2. Намерете корените на уравнението:
  3. Решете уравнението:. Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента:

А сега кратки обяснения и отговори:

  1. Тук е достатъчно да отбележим, че и. Тогава първоначалното уравнение ще бъде еквивалентно на това: Това уравнениерешава се чрез замяна. Допълнителни изчисления направете го сами. В крайна сметка вашата задача ще се сведе до решаване на най-простия тригонометричен (в зависимост от синуса или косинуса). Ще анализираме решението на подобни примери в други раздели.
  2. Тук можете дори да направите без замяна: просто преместете извадените надясно и представете двете бази чрез степени на две: и след това преминете директно към квадратното уравнение.
  3. Третото уравнение също се решава по доста стандартен начин: нека си представим как. След това, замествайки, получаваме квадратно уравнение: тогава,

    Знаете ли вече какво е логаритъм? Не? Тогава прочети темата спешно!

    Първият корен, очевидно, не принадлежи на сегмента, а вторият е неразбираем! Но много скоро ще разберем! Тъй като тогава (това е свойство на логаритъма!) Сравнете:

    Извадете от двете части, тогава получаваме:

    Лявата страна може да бъде представена като:

    умножете двете части по:

    може да се умножи по, тогава

    Тогава нека сравним:

    от тогава:

    Тогава вторият корен принадлежи на необходимия интервал

    Отговор:

Както виждаш, подборът на корени на експоненциални уравнения изисква достатъчно задълбочени познания за свойствата на логаритмитезатова ви съветвам да бъдете максимално внимателни при решаването на експоненциалните уравнения. Както можете да си представите, в математиката всичко е взаимосвързано! Както казваше моят учител по математика: „математика, като историята, не можеш да четеш за една нощ“.

По правило всички трудността при решаването на задачи C1 е именно изборът на корените на уравнението.Нека се упражняваме с още един пример:

Ясно е, че самото уравнение е доста лесно за решаване. Като направим заместването, ще намалим нашето първоначално уравнение до следното:

Първо, нека разгледаме първия корен. Сравнете и: от тогава. (свойство на логаритмичната функция, at). Тогава е ясно, че първият корен също не принадлежи на нашия интервал. Сега вторият корен:. Ясно е, че (тъй като функцията at се увеличава). Остава да сравним и.

тъй като тогава, по същото време. По този начин мога да "забивам колче" между и. Това колче е число. Първият израз е по-малък, а вторият е по-голям. Тогава вторият израз е по-голям от първия и коренът принадлежи на интервала.

Отговор: .

За да приключим, нека разгледаме друг пример за уравнение, където замяната е доста нестандартна:

Нека започнем веднага с това какво можете да направите и какво - по принцип можете, но е по-добре да не го правите. Можете да представите всичко чрез степени на три, две и шест. Накъде води? Да, това няма да доведе до нищо: купчина от градуси и от някои от тях ще бъде доста трудно да се отървете. Какво тогава е необходимо? Нека забележим това И какво ще ни даде? И фактът, че можем да сведем решението на този пример до решението на доста просто експоненциално уравнение! Първо, нека пренапишем нашето уравнение като:

Сега разделяме двете страни на полученото уравнение на:

Еврика! Сега можем да заменим, получаваме:

Е, сега е ваш ред да решавате проблеми с демонстрационни цели и аз ще дам само кратки коментари към тях, за да не се изгубите с правилния път! Късмет!

1. Най-трудният! Тук не е лесно да се намери заместник! Но въпреки това този пример може да бъде напълно решен с помощта избор на пълен квадрат... За да го разрешите, достатъчно е да отбележим, че:

Тогава ето ви заместител:

(Моля, имайте предвид, че тук, по време на нашата подмяна, не можем да пуснем отрицателния корен !!! И защо мислите?)

Сега, за да решите примера, трябва да решите две уравнения:

И двете се решават чрез "стандартната замяна" (но втората в един пример!)

2. Забележете това и направете подмяна.

3. Разложете числото на взаимно прости фактори и опростете получения израз.

4. Разделете числителя и знаменателя на дроба на (или, ако предпочитате) и заменете или.

5. Обърнете внимание, че числата и са спрегнати.

ИЗСЛЕДВАЩИ УРАВНЕНИЯ. НАПРЕДНАЛО НИВО

Освен това, нека разгледаме друг начин - решение на експоненциални уравнения по логаритъмния метод... Не мога да кажа, че решаването на експоненциални уравнения по този метод е много популярно, но в някои случаи само то може да ни доведе до правилно решениенашето уравнение. Особено често се използва за решаване на т.нар. смесени уравнения": Тоест тези, където се срещат функции от различни типове.

Например, уравнение от вида:

в общия случай може да се реши само като се вземе логаритъмът на двете страни (например по основата), в който оригиналното уравнение се превръща в следното:

Нека да разгледаме следния пример:

Ясно е, че според ОДЗ на логаритмичната функция ни интересува само. Това обаче следва не само от ОДЗ на логаритъма, а по друга причина. Мисля, че няма да ви е трудно да отгатнете коя.

Нека запишем двете страни на нашето уравнение в основата:

Както можете да видите, вземането на логаритъма на нашето първоначално уравнение достатъчно бързо ни доведе до правилния (и красив!) отговор. Нека се упражняваме с още един пример:

Тук също няма за какво да се притеснявате: логаритъмваме двете страни на уравнението по основата, след което получаваме:

Нека направим замяна:

Все пак нещо ни липсва! Забелязахте ли къде сбърках? В крайна сметка, тогава:

което не отговаря на изискването (помислете откъде идва!)

Отговор:

Опитайте се сами да запишете решението на експоненциалните уравнения, дадени по-долу:

Сега проверете решението си с това:

1. Логаритъм от двете страни на основата, като се има предвид, че:

(вторият корен не ни подхожда поради подмяната)

2. Логаритъмираме към основата:

Нека трансформираме получения израз в следната форма:

ИЗСЛЕДВАЩИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ОПИСАНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Експоненциално уравнение

Уравнение на формата:

Наречен най-простото експоненциално уравнение.

Силови свойства

Подходи към решението

  • Принуда към същата база
  • Преобразуване в същия степен
  • Заместване на променлива
  • Опростяване на изразяване и прилагане на едно от горните.

Експоненциални уравнения. Както знаете, USE включва прости уравнения. Вече разгледахме някои от тях - това са логаритмични, тригонометрични, рационални. Ето примерни уравнения.

В една скорошна статия работихме с експоненциални изрази, ще бъде полезно. Самите уравнения са прости и бързи за решаване. Просто трябва да знаете свойствата на експонентите и ... За товаПо-нататък.

Нека изброим свойствата на експонентите:

Нулевата степен на всяко число е равна на единица.

Последица от това свойство:

Още малко теория.

Експоненциалното уравнение е уравнение, съдържащо променлива в индикатор, тоест това уравнение от вида:

е(х) израз, който съдържа променлива

Методи за решаване на експоненциални уравнения

1. В резултат на трансформации уравнението може да се сведе до вида:

След това прилагаме свойството:

2. При получаване на уравнение от вида а е (х) = бизползва се дефиницията на логаритъма, получаваме:

3. В резултат на трансформации може да се получи уравнение от вида:

Логаритъмът се прилага:

Изразяваме и намираме x.

В задачите опции за изпитаще бъде достатъчно да използвате първия метод.

Тоест, необходимо е да представим лявата и дясната част под формата на градуси със същата основа, след което приравняваме показателите и решаваме обичайното линейно уравнение.

Помислете за уравненията:

Намерете корена на уравнение 4 1–2x = 64.

Необходимо е да се уверите, че от лявата и дясната страна има указателни изрази с една основа. 64 можем да представим като 4 на степен 3. Получаваме:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

- 2x = 2

х = - 1

Преглед:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Отговор: -1

Намерете корена на уравнение 3 x – 18 = 1/9.

Известно е, че

Така че 3 x-18 = 3 -2

Основите са равни, можем да приравним показателите:

х - 18 = - 2

х = 16

Преглед:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Отговор: 16

Намерете корена на уравнението:

Представяме дроб 1/64 като една четвърт на трета степен:

2x - 19 = 3

2x = 22

х = 11

Преглед:

Отговор: 11

Намерете корена на уравнението:

Нека представим 1/3 като 3 –1, а 9 като 3 на квадрат, получаваме:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 -1 ∙ (8-2x) = 3 2

3 –8 + 2x = 3 2

Сега можем да приравним индикаторите:

- 8 + 2x = 2

2x = 10

х = 5

Преглед:

Отговор: 5

26654. Намерете корена на уравнението:

Решение:


Отговор: 8,75

Наистина, до каквато и степен да издигнем положително числоа, по никакъв начин не можем да получим отрицателно число.

Всяко експоненциално уравнение след подходящи трансформации се свежда до решение на едно или повече от най-простите.В този раздел ще разгледаме и решението на някои уравнения, не го пропускайте!Това е всичко. Успех на вас!

С най-добри пожелания, Александър Крутицки.

P.S: Ще ви бъда благодарен, ако ни разкажете за сайта в социалните мрежи.

На този урокще разгледаме решението на по-сложни експоненциални уравнения, припомним основните теоретични положения относно експоненциална функция.

1. Дефиниция и свойства на експоненциалната функция, техника за решаване на най-простите експоненциални уравнения

Нека си припомним определението и основните свойства на експоненциалната функция. Именно върху свойствата се основава решението на всички експоненциални уравнения и неравенства.

Експоненциална функция- е функция на формата, където основата на степента и Тук x е независима променлива, аргумент; y - зависима променлива, функция.

Ориз. 1. Графика на експоненциална функция

Графиката показва нарастващи и намаляващи експоненти, илюстриращи експоненциалната функция, когато основата е съответно по-голяма от единица и по-малка от единица, но по-голяма от нула.

И двете криви преминават през точката (0; 1)

Свойства на експоненциална функция:

Домейн: ;

Обхват от стойности:;

Функцията е монотонна, с увеличаване, с намаляване.

Монотонната функция приема всяка от нейните стойности за една стойност на аргумента.

Когато аргументът се увеличава от минус до плюс безкрайност, функцията нараства от нула, не включваща, до плюс безкрайност. Напротив, когато аргументът се увеличава от минус до плюс безкрайност, функцията намалява от безкрайност до нула, не включително.

2. Решение на типични експоненциални уравнения

Нека си припомним как да решаваме най-простите експоненциални уравнения. Тяхното решение се основава на монотонността на експоненциалната функция. Почти всички сложни експоненциални уравнения се свеждат до такива уравнения.

Равенство на степените за на равна основапоради свойството на експоненциалната функция, а именно нейната монотонност.

Метод на решение:

Изравняване на основите на степените;

Приравнете експонентите.

Нека да преминем към разглеждането на по-сложни експоненциални уравнения, нашата цел е да сведем всяко от тях до най-простото.

Нека се освободим от корена от лявата страна и да доведем градусите до същата основа:

За да се намали сложното експоненциално уравнение до най-простото, често се използват променливи промени.

Нека използваме свойството на степента:

Представяме подмяна. Нека тогава. При такава подмяна е очевидно, че y приема стриктно положителни стойности... Получаваме:

Умножаваме полученото уравнение по две и прехвърляме всички членове в лявата страна:

Първият корен не удовлетворява диапазона от стойности на y, затова го изхвърляме. Получаваме:

Нека приведем градусите до същия индикатор:

Представяме подмяна:

Нека тогава ... При такава замяна е очевидно, че y приема строго положителни стойности. Получаваме:

Ние знаем как да решаваме такива квадратни уравнения, ще напишем отговора:

За да сте сигурни, че корените са намерени правилно, можете да проверите според теоремата на Vieta, тоест да намерите сумата от корените и техния продукт и да проверите със съответните коефициенти на уравнението.

Получаваме:

3. Техника за решаване на хомогенни експоненциални уравнения от втора степен

Нека разгледаме следното важен типекспоненциални уравнения:

Уравненията от този тип се наричат ​​хомогенни от втора степен по отношение на функциите f и g. От лявата му страна има квадратен тричлен по отношение на f с параметър g или квадратен трином по отношение на g с параметър f.

Метод на решение:

Това уравнение може да се реши като квадратно, но е по-лесно да се направи по различен начин. Има два случая за разглеждане:

В първия случай получаваме

Във втория случай имаме право да разделим на най-висока степен и получаваме:

Трябва да се въведе промяна на променливите, получаваме квадратно уравнение за y:

Забележете, че функциите f и g могат да бъдат всякакви, но ни интересува случаят, когато това са експоненциални функции.

4. Примери за решаване на хомогенни уравнения

Преместете всички членове в лявата част на уравнението:

Тъй като експоненциалните функции придобиват строго положителни стойности, имаме право незабавно да разделим уравнението на, без да разглеждаме случая, когато:

Получаваме:

Представяме подмяна: (според свойствата на експоненциалната функция)

Получаваме квадратно уравнение:

Определете корените по теоремата на Виета:

Първият корен не удовлетворява диапазона от стойности на y, ние го изхвърляме, получаваме:

Ще използваме свойствата на степента и ще намалим всички степени до прости бази:

Лесно е да се видят функциите f и g:

Тъй като експоненциалните функции придобиват строго положителни стойности, имаме право незабавно да разделим уравнението на, без да разглеждаме случая кога.

Решение на експоненциални уравнения. Примери.


Внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които са "много равномерни ...")

Какво експоненциално уравнение? Това е уравнение, в което са неизвестните (x) и изразите с тях индикаторинякои степени. И само там! Важно е.

Ето къде си примери за експоненциални уравнения:

3 x 2 x = 8 x + 3

Забележка! В основите на градусите (по-долу) - само числа... V индикаториградуси (по-горе) - голямо разнообразие от изрази с x. Ако изведнъж в уравнението се появи x някъде, различно от индикатор, например:

това вече ще бъде уравнение от смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаване. Засега няма да ги разглеждаме. Тук ще се справим с чрез решаване на експоненциалните уравненияв най-чистата си форма.

Всъщност дори чистите експоненциални уравнения не винаги са ясно решени. Но има определени видове експоненциални уравнения, които могат и трябва да бъдат решени. Ще разгледаме тези видове.

Решение на най-простите експоненциални уравнения.

Нека започнем с нещо много основно. Например:

Дори и без каквито и да било теории, от проста селекция става ясно, че x = 2. Няма повече, нали!? Няма други хвърлини стойности. Сега нека да разгледаме записа на решението на това хитро експоненциално уравнение:

какво сме направили? Всъщност току-що изхвърлихме идентични основания(тризнаци). Изхвърлиха го напълно. И това, което радва, уцели целта!

Наистина, ако експоненциалното уравнение отляво и отдясно съдържа същоточисла във всякакви степени, тези числа могат да бъдат премахнати и степените да бъдат приравнени. Математиката позволява. Остава да се реши много по-просто уравнение. Страхотно, нали?)

Все пак нека си го припомним иронично: можете да премахнете базите само когато базовите номера отляво и отдясно са в страхотна изолация!Без никакви съседи и коефициенти. Да кажем в уравненията:

2 x +2 x + 1 = 2 3, или

двойки не могат да бъдат премахнати!

Е, усвоихме най-важното. Как да преминем от лоши експоненциални изрази към по-прости уравнения.

— Това са времената! - ти каза. "Кой ще даде такъв примитивен на тестове и изпити!?"

трябва да се съглася. Никой няма да даде. Но сега знаете накъде да се стремите, когато решавате объркващи примери. Необходимо е да го приведете във формата, когато едно и също базово число е отляво - отдясно. Тогава всичко ще бъде по-лесно. Всъщност това е класиката на математиката. Вземаме оригиналния пример и го трансформираме в желания. НАСум. По правилата на математиката, разбира се.

Нека разгледаме примери, които изискват допълнителни усилия, за да ги сведем до най-простите. Да им се обадим прости експоненциални уравнения.

Лекция: "Методи за решаване на експоненциални уравнения."

1 . Експоненциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни в степента, се наричат ​​експоненциални уравнения. Най-простото от тях е уравнението ax = b, където a> 0 и ≠ 1.

1) За б< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) За b> 0, използвайки монотонността на функцията и коренната теорема, уравнението има един корен. За да го намерим, b трябва да бъде представено във формата b = ac, ax = bc ó x = c или x = logab.

Експоненциалните уравнения чрез алгебрични трансформации водят до стандартни уравнения, които се решават по следните методи:

1) методът на свеждане до една основа;

2) метод на оценка;

3) графичен метод;

4) методът за въвеждане на нови променливи;

5) метод на факторизация;

6) експоненциални - степенни уравнения;

7) индикативен с параметър.

2 . Метод на принуда към една основа.

Методът се основава на следното свойство на степените: ако две степени са равни и техните основи са равни, тогава техните индекси също са равни, тоест уравнението трябва да се опита да се сведе до вида

Примери. Решете уравнението:

1 ... 3x = 81;

Пренапишете дясната страна на уравнението като 81 = 34 и пренапишете уравнението, което е еквивалентно на първоначалното 3 x = 34; x = 4. Отговор: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width =" 52 "height =" 49 "> и преминете към уравнението за експоненти 3x + 1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0,5 Отговор: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "width =" 105 "height =" 47 ">

Обърнете внимание, че числата 0,2, 0,04, √5 и 25 са степени на 5. Нека използваме това, за да трансформираме оригиналното уравнение, както следва:

, откъдето 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, от което намираме решението x = -1. Отговор: -1.

5. 3x = 5. По дефиницията на логаритъма x = log35. Отговор: log35.

6. 62x + 4 = 33x. 2x + 8.

Нека пренапишем уравнението като 32x + 4.22x + 4 = 32x.2x + 8, т.е..png "width =" 181 "height =" 49 src = "> Оттук x - 4 = 0, x = 4. Отговор: 4 .

7 ... 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x = 9. Използвайки свойствата на степените, записваме уравнението във вида 6 ∙ 3x - 2 ∙ 3x - 3x = 9, след което 3 ∙ 3x = 9, 3x + 1 = 32, т.е. x + 1 = 2, x = 1. Отговор: 1.

Банка от задачи №1.

Решете уравнението:

Тест номер 1.

1) 0 2) 4 3) -2 4) -4

A2 32x-8 = √3.

1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4

A3

1) 3; 1 2) -3; -1 3) 0; 2 4) без корени

1) 7; 1 2) без корени 3) -7; 1 4) -1; -7

A5

1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0

A6

1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест номер 2

A1

1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1

A2

1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11

A3

1) 2; -1 2) няма корени 3) 0 4) -2; 1

A4

1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2

A5

1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Метод за оценка.

Теорема за корена: ако функцията f (x) се увеличава (намалява) на интервала I, числото a е всяка стойност, взета от f на този интервал, тогава уравнението f (x) = a има един корен на интервала I.

При решаване на уравнения по метода на оценка се използва тази теорема и свойствата на монотонност на функцията.

Примери. Решете уравнения: 1. 4x = 5 - x.

Решение. Препишете уравнението като 4x + x = 5.

1. ако x = 1, тогава 41 + 1 = 5, 5 = 5 е вярно, така че 1 е коренът на уравнението.

Функцията f (x) = 4x - нараства на R, а g (x) = x - нараства на R => h (x) = f (x) + g (x) се увеличава на R, като сумата от нарастващи функции , така че x = 1 е единственият корен на уравнението 4x = 5 - x. Отговор: 1.

2.

Решение. Пренаписваме уравнението като .

1. ако x = -1, тогава , 3 = 3-вярно, така че x = -1 е коренът на уравнението.

2. Нека докажем, че е единственият.

3. Функцията f (x) = - намалява на R, а g (x) = - x - намалява на R => h (x) = f (x) + g (x) - намалява на R, като сумата на намаляващи функции... Следователно, според коренната теорема, x = -1 е единственият корен на уравнението. Отговор: -1.

Банка от задачи №2. Решете уравнението

а) 4x + 1 = 6 - x;

б)

в) 2x - 2 = 1 - x;

4. Метод за въвеждане на нови променливи.

Методът е описан в точка 2.1. Въвеждането на нова променлива (заместване) обикновено се извършва след трансформации (опростяване) на членовете на уравнението. Нека разгледаме някои примери.

Примери. РРешете уравнението: 1. .

Нека пренапишем уравнението по различен начин: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width =" 128 "height =" 48 src = "> ie..png" ширина = "210" височина = "45">

Решение. Нека пренапишем уравнението по различен начин:

Нека обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width =" 245 "height =" 57 "> - не пасва.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width =" 268 "height =" 51 "> - ирационално уравнение... Отбележи, че

Решението на уравнението е x = 2,5 ≤ 4, което означава, че 2,5 е коренът на уравнението. Отговор: 2.5.

Решение. Пренапишете уравнението, както следва и разделете двете страни на 56x + 6 ≠ 0. Получаваме уравнението

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1, t..png "ширина =" 118 "височина =" 56 ">

Квадратни корени - t1 = 1 и t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Решение . Пренаписваме уравнението като

и имайте предвид, че това е хомогенно уравнение от втора степен.

Разделяме уравнението на 42x, получаваме

Нека заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width =" 16 "height =" 41 src = ">.

Отговор: 0; 0,5

Банка от задачи номер 3. Решете уравнението

б)

ж)

Тест номер 3 с избор на отговор. Минималното ниво.

A1

1) -0,2; 2 2) log52 3) –log52 4) 2

A2 0,52x - 3 0,5x +2 = 0.

1) 2; 1 2) -1; 0 3) няма корени 4) 0

1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5

A4 52x-5x - 600 = 0.

1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2

1) няма корени 2) 2; 4 3) 3 4) -1; 2

Тест номер 4 с избор на отговор. Общо ниво.

A1

1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0

A2 2x - (0,5) 2x - (0,5) x + 1 = 0

1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1

1) 64 2) -14 3) 3 4) 8

1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0

A5

1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) без корени

5. Метод на факторизация.

1. Решете уравнението: 5x + 1 - 5x-1 = 24.

Решение..png "width =" 169 "height =" 69 ">, откъдето

2. 6x + 6x + 1 = 2x + 2x + 1 + 2x + 2.

Решение. Разбийте 6x отляво и 2x отдясно. Получаваме уравнението 6x (1 + 6) = 2x (1 + 2 + 4) ó 6x = 2x.

Тъй като 2x>0 за всички x, двете страни на това уравнение могат да бъдат разделени на 2x без страх от загуба на решения. Получаваме 3x = 1ó x = 0.

3.

Решение. Нека решим уравнението по метода на факторизация.

Изберете квадрата на бинома

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "width =" 500 "height =" 181 ">

x = -2 е коренът на уравнението.

Уравнение x + 1 = 0 "стил =" граница-свиване: свиване; граница: няма ">

A1 5x-1 + 5x -5x + 1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x + 1 + 3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1 -108 = 0.x = 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x = 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест номер 6 Общо ниво.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) = 7.

1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2

A2

1) 2,5 2) 3; 4 3) log43 / 2 4) 0

A3 2x-1-3x = 3x-1-2x + 2.

1) 2 2) -1 3) 3 4) -3

A4

1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4

A5

1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Ориентировъчно - степенни уравнения.

Експоненциалните уравнения са съседни на така наречените експоненциални - степенни уравнения, т.е. уравнения от вида (f (x)) g (x) = (f (x)) h (x).

Ако е известно, че f (x)> 0 и f (x) ≠ 1, то уравнението, както и експоненциалното, се решава чрез приравняване на експонентите g (x) = f (x).

Ако условието не изключва възможността f (x) = 0 и f (x) = 1, тогава трябва да вземем предвид тези случаи при решаването на експоненциално - степенно уравнение.

1..png "width =" 182 "height =" 116 src = ">

2.

Решение. x2 + 2x-8 - има смисъл за всяко x, тъй като е полином, така че уравнението е еквивалентно на множество

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "width =" 137 "height =" 35 ">

б)

7. Експоненциални уравнения с параметри.

1. За какви стойности на параметъра p уравнение 4 (5 - 3) • 2 + 4p2–3p = 0 (1) има уникално решение?

Решение. Въвеждаме заместването 2x = t, t> 0, след което уравнението (1) приема формата t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)

Дискриминантът на уравнение (2) D = (5p - 3) 2 - 4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.

Уравнение (1) има уникално решение, ако уравнение (2) има един положителен корен. Това е възможно в следните случаи.

1. Ако D = 0, тоест p = 1, тогава уравнение (2) приема формата t2 - 2t + 1 = 0, следователно t = 1, следователно, уравнение (1) има единствено решение x = 0.

2. Ако p1, тогава 9 (p - 1) 2> 0, тогава уравнение (2) има два различни корена t1 = p, t2 = 4p - 3. Условието на задачата е изпълнено от множеството системи

Замествайки t1 и t2 в системите, имаме

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt =" (! LANG: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Решение. Нека бъде тогава уравнението (3) приема формата t2 - 6t - a = 0. (4)

Нека намерим стойностите на параметъра a, за които поне един корен от уравнение (4) удовлетворява условието t> 0.

Нека представим функцията f (t) = t2 - 6t - a. Възможни са следните случаи.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Случай 2. Уравнение (4) има уникално положително решение, ако

D = 0, ако a = - 9, тогава уравнение (4) приема формата (t - 3) 2 = 0, t = 3, x = - 1.

Случай 3. Уравнение (4) има два корена, но единият от тях не отговаря на неравенството t> 0. Това е възможно, ако

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt =" (! LANG: no35_17" width="267" height="63">!}

Така за a 0 уравнение (4) има уникален положителен корен ... Тогава уравнение (3) има уникално решение

За< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ако< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ако a = - 9, тогава x = - 1;

ако a  0, тогава

Нека сравним методите за решаване на уравнения (1) и (3). Забележете, че при решаването на уравнение (1) е сведено до квадратно уравнение, чийто дискриминант е пълен квадрат; по този начин корените на уравнение (2) бяха незабавно изчислени по формулата за корените на квадратното уравнение и след това бяха направени заключения за тези корени. Уравнение (3) е сведено до квадратно уравнение (4), чийто дискриминант не е перфектен квадрат, следователно при решаване на уравнение (3) е препоръчително да се използват теореми за местоположението на корените на квадратен тричлен и графичен модел. Забележете, че уравнение (4) може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета.

Нека решаваме по-сложни уравнения.

Задача 3. Решете уравнението

Решение. ODZ: x1, x2.

Нека представим заместител. Нека 2x = t, t> 0, тогава в резултат на трансформациите уравнението ще приеме формата t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) Намерете стойностите на a, за които поне един корен от уравнението (*) удовлетворява условието t> 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Отговор: ако a> - 13, a  11, a  5, тогава ако a - 13,

a = 11, a = 5, тогава няма корени.

Библиография.

1. Гузеев основи на образователната технология.

2. Технология на Гузеев: от рецепция до философия.

М. „Директор на училище” No4, 1996г

3. Гузеев и организационни формиизучаване на.

4. Гузеев и практиката на интегралната образователна технология.

М." Народно образование“, 2001 г

5. Гузеев от формите на урок - семинар.

Математика в училище № 2, 1987 г. стр. 9 - 11.

6. Селевко образователни технологии.

М. "Народно образование", 1998г

7. Учениците на Епишива учат математика.

М. "Образование", 1990г

8. Иванов да подготви уроци – работилници.

Математика в училище номер 6, 1990 г. стр. 37 - 40.

9. Моделът на Смирнов за обучение по математика.

Математика в училище номер 1, 1997 г. стр. 32 - 36.

10. Тарасенко начини за организиране на практическа работа.

Математика в училище номер 1, 1993 г. стр. 27 - 28.

11. За един от видовете индивидуална работа.

Математика в училище № 2, 1994 г. стр.63 - 64.

12. Хазанкин творчески способности на учениците.

Математика в училище номер 2, 1989 г. стр. десет.

13. Сканави. Издател, 1997 г

14. и др. Алгебра и началото на анализа. Дидактически материали за

15. Кривоногов задачи по математика.

М. "1-ви септември", 2002г

16. Черкасов. Наръчник за гимназисти и

влизане в университети. "АС Т - пресшкола", 2002г

17. Дъвки за абитуриенти.

Минск и RF "Преглед", 1996 г

18. Писмено Г. Подготовка за изпита по математика. М. Ролф, 1999 г

19. и др.Учене за решаване на уравнения и неравенства.

М. "Интелект - център", 2003г

20. и др. Образователни - материали за обучениеза подготовка за ЕГ Е.

М. "Интелект - център", 2003 и 2004г

21 и др. Опции на CMM. Изпитателен център на Министерството на отбраната на Руската федерация, 2002, 2003 г.

22. Уравнения на Голдберг. „Квант” No3, 1971г

23. Волович М. Как успешно се преподава математика.

Математика, 1997 No3.

24 Окунев за урок, деца! М. Просвещение, 1988

25. Якиманска - ориентирано преподаване в училище.

26. Liimets работа в класната стая. М. Знание, 1975