trang chủ > Thực vật > Đặc điểm nổi bật của dấu hiệu là phép cộng và phép trừ. Cộng số nguyên: trình bày chung, quy tắc, ví dụ


Đặc điểm nổi bật của dấu hiệu là phép cộng và phép trừ. Cộng số nguyên: trình bày chung, quy tắc, ví dụ




Hướng dẫn

Có bốn loại phép toán: cộng, trừ, nhân và chia. Vì vậy sẽ có bốn loại ví dụ. Các số âm trong ví dụ được đánh dấu để không gây nhầm lẫn cho phép toán. Ví dụ: 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) hoặc 34:(-17).

Phép cộng. Hành động này có thể trông giống như: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Hành động thay thế: đầu tiên, dấu ngoặc đơn được mở, dấu “+” được thay đổi thành ngược lại, sau đó từ số lớn hơn (modulo) “6” số nhỏ hơn, “3,” được trừ đi, sau đó câu trả lời được gán dấu lớn hơn, tức là “-”.
2) -3+6=3. Điều này có thể được viết theo nguyên tắc ("6-3") hoặc theo nguyên tắc "trừ số nhỏ hơn cho số lớn hơn và gán dấu của số lớn hơn cho câu trả lời."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Khi mở, hành động cộng được thay thế bằng phép trừ, sau đó các mô-đun được cộng lại và kết quả là dấu trừ.

Phép trừ.1) 8-(-5)=8+5=13. Các dấu ngoặc đơn được mở ra, dấu hiệu của hành động được đảo ngược và thu được một ví dụ về phép cộng.
2) -9-3=-12. Các phần tử của ví dụ được thêm vào và nhận được dấu hiệu chung "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Khi mở ngoặc, dấu lại đổi thành “+”, khi đó số lớn hơn sẽ bị trừ đi dấu của số lớn hơn và câu trả lời sẽ lấy đi dấu của số lớn hơn.

Phép nhân và chia: Khi thực hiện phép nhân hoặc phép chia, dấu không ảnh hưởng đến bản thân phép toán. Khi nhân hoặc chia các số với, đáp án được gán dấu trừ nếu các số có dấu hiệu giống hệt nhau- kết quả luôn có dấu cộng.1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Nguồn:

  • bảng có nhược điểm

Làm thế nào để quyết định ví dụ? Trẻ em thường hỏi cha mẹ câu hỏi này nếu cần làm bài tập ở nhà. Làm thế nào để giải thích chính xác cho trẻ cách giải các ví dụ về cộng và trừ các số có nhiều chữ số? Hãy thử tìm hiểu điều này.

Bạn sẽ cần

  • 1. Sách giáo khoa toán.
  • 2. Giấy.
  • 3. Xử lý.

Hướng dẫn

Hãy đọc ví dụ đi. Để làm điều này, hãy chia từng giá trị đa thành các lớp. Bắt đầu từ cuối số, đếm ba chữ số một lần và đặt dấu chấm (23.867.567). Chúng ta hãy nhớ lại rằng ba chữ số đầu tiên từ cuối số là đơn vị, ba chữ số tiếp theo là lớp, sau đó là hàng triệu. Chúng ta đọc số: hai mươi ba tám trăm sáu mươi bảy nghìn sáu mươi bảy.

Viết ra một ví dụ. Xin lưu ý rằng đơn vị của mỗi chữ số được viết ngay bên dưới nhau: đơn vị dưới đơn vị, hàng chục dưới hàng chục, hàng trăm dưới hàng trăm, v.v.

Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ. Bắt đầu thực hiện hành động với các đơn vị. Viết kết quả theo danh mục mà bạn đã thực hiện hành động. Nếu kết quả là số() thì chúng ta viết đơn vị thay cho đáp án và cộng số chục vào đơn vị của chữ số. Nếu số đơn vị của chữ số bất kỳ ở số bị trừ ít hơn ở số bị trừ, chúng ta lấy 10 đơn vị của chữ số tiếp theo và thực hiện hành động.

Đọc câu trả lời.

Video về chủ đề

ghi chú

Cấm con bạn sử dụng máy tính ngay cả để kiểm tra lời giải của một ví dụ. Phép cộng được kiểm tra bằng phép trừ và phép trừ được kiểm tra bằng phép cộng.

Lời khuyên hữu ích

Nếu trẻ nắm vững kỹ thuật viết trong phạm vi 1000 thì các thao tác với số có nhiều chữ số được thực hiện theo cách tương tự sẽ không gây khó khăn gì.
Hãy cho con bạn một cuộc thi để xem con bạn có thể giải được bao nhiêu ví dụ trong 10 phút. Việc đào tạo như vậy sẽ giúp tự động hóa các kỹ thuật tính toán.

Phép nhân là một trong bốn phép toán cơ bản làm nền tảng cho nhiều phép toán khác hàm phức tạp. Trên thực tế, phép nhân dựa trên hoạt động của phép cộng: kiến ​​thức về điều này cho phép bạn giải chính xác bất kỳ ví dụ nào.

Để hiểu bản chất của phép nhân, cần phải tính đến ba thành phần chính liên quan đến nó. Một trong số chúng được gọi là thừa số thứ nhất và là số chịu phép tính nhân. Vì lý do này, nó có tên thứ hai, ít phổ biến hơn - "có thể nhân lên". Thành phần thứ hai của phép nhân thường được gọi là thừa số thứ hai: nó biểu thị số mà số bị nhân được nhân. Do đó, cả hai thành phần này đều được gọi là số nhân, trong đó nhấn mạnh trạng thái bằng nhau của chúng cũng như thực tế là chúng có thể hoán đổi cho nhau: kết quả của phép nhân sẽ không thay đổi. Cuối cùng, thành phần thứ ba của phép nhân, thu được từ kết quả của nó, được gọi là tích.

Thứ tự thực hiện phép nhân

Bản chất của phép nhân dựa trên phép toán số học đơn giản hơn -. Trong thực tế, phép nhân là tổng của thừa số thứ nhất, hay số nhân, một số lần tương ứng với thừa số thứ hai. Ví dụ: để nhân 8 với 4, bạn cần cộng số 8 4 lần để được 32. Phương pháp này ngoài việc cung cấp sự hiểu biết về bản chất của phép nhân, còn có thể được sử dụng để kiểm tra kết quả thu được khi tính toán sản phẩm mong muốn. Cần lưu ý rằng việc xác minh nhất thiết phải giả định rằng các thuật ngữ liên quan đến phép tính tổng là giống hệt nhau và tương ứng với yếu tố đầu tiên.

Giải các ví dụ về phép nhân

Vì vậy, để giải quyết vấn đề liên quan đến nhu cầu thực hiện phép nhân, có thể chỉ cần cộng số thừa số đầu tiên cần thiết với một số lần nhất định. Phương pháp này có thể thuận tiện cho việc thực hiện hầu hết mọi phép tính liên quan đến thao tác này. Đồng thời, trong toán học thường có những số tiêu chuẩn liên quan đến các số nguyên có một chữ số tiêu chuẩn. Để thuận tiện cho việc tính toán của họ, cái gọi là phép nhân đã được tạo ra, bao gồm danh sách đầy đủ tích các số nguyên dương số có một chữ số, tức là các số từ 1 đến 9. Do đó, khi bạn đã học được , bạn có thể tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho quá trình giải các ví dụ về phép nhân dựa trên việc sử dụng các số đó. Tuy nhiên, để biết thêm tùy chọn phức tạp Bạn sẽ cần phải tự mình thực hiện phép toán này.

Video về chủ đề

Nguồn:

  • Phép nhân năm 2019

Phép nhân là một trong bốn phép tính số học cơ bản, thường được sử dụng cả trong trường học và trong Cuộc sống hàng ngày. Làm thế nào bạn có thể nhân nhanh hai số?

Cơ sở phức tạp nhất Tính toán toán học Có bốn phép tính số học cơ bản: trừ, cộng, nhân và chia. Hơn nữa, mặc dù độc lập nhưng các hoạt động này, khi xem xét kỹ hơn, hóa ra lại có mối liên hệ với nhau. Ví dụ, một kết nối như vậy tồn tại giữa phép cộng và phép nhân.

Phép nhân số

Có ba yếu tố chính liên quan đến phép tính nhân. Số đầu tiên trong số này, thường được gọi là thừa số thứ nhất hoặc số nhân, là số sẽ chịu phép toán nhân. Số thứ hai, được gọi là thừa số thứ hai, là số mà thừa số thứ nhất sẽ được nhân với nhau. Cuối cùng, kết quả của phép nhân được thực hiện thường được gọi là tích.

Cần nhớ rằng bản chất của phép nhân thực sự dựa trên phép cộng: để thực hiện nó, cần phải cộng một số nhất định các thừa số đầu tiên lại với nhau và số số hạng của tổng này phải bằng số hạng thứ hai. nhân tố. Ngoài việc tính tích của hai thừa số được đề cập, thuật toán này cũng có thể được sử dụng để kiểm tra kết quả thu được.

Một ví dụ về giải bài toán nhân

Chúng ta hãy xem xét các giải pháp cho các vấn đề nhân. Giả sử, theo điều kiện của nhiệm vụ, cần tính tích của hai số, trong đó thừa số thứ nhất là 8 và thừa số thứ hai là 4. Theo định nghĩa của phép nhân, điều này thực chất có nghĩa là bạn cần cộng số 8 4 lần Kết quả là 32 - đây là tích của các số đang tìm, tức là kết quả của phép nhân của chúng.

Ngoài ra, phải nhớ rằng cái gọi là luật giao hoán áp dụng cho phép nhân, trong đó nêu rõ rằng việc thay đổi vị trí của các thừa số trong ví dụ ban đầu sẽ không làm thay đổi kết quả của nó. Do đó, bạn có thể cộng số 4 8 lần để có cùng một kết quả - 32.

Bảng cửu chương

Rõ ràng là để giải quyết theo cách này một số lượng lớn vẽ các ví dụ cùng loại là một công việc khá tẻ nhạt. Để tạo điều kiện thuận lợi cho nhiệm vụ này, cái gọi là phép nhân đã được phát minh. Trên thực tế, nó là danh sách các tích của các số nguyên dương có một chữ số. Nói một cách đơn giản, bảng nhân là tập hợp các kết quả của các phép nhân với nhau từ 1 đến 9. Khi đã học bảng này, bạn không còn phải dùng đến phép nhân mỗi khi cần giải một ví dụ như vậy nữa. số nguyên tố, nhưng chỉ cần nhớ kết quả của nó.

Video về chủ đề

Trong bài học này chúng ta sẽ học cộng và trừ các số nguyên, cũng như các quy tắc cộng và trừ của chúng.

Hãy nhớ rằng các số nguyên đều dương và số âm, cũng như số 0. Ví dụ: những con số sau đây là số nguyên:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Số dương là dễ dàng, và. Thật không may, điều tương tự không thể xảy ra với các số âm, điều này khiến nhiều người mới bắt đầu nhầm lẫn với các dấu trừ của họ trước mỗi số. Thực tế cho thấy, những lỗi mắc phải do số âm khiến học sinh nản lòng nhất.

Nội dung bài học

Ví dụ về cộng và trừ số nguyên

Điều đầu tiên bạn nên học là cộng và trừ các số nguyên bằng đường tọa độ. Hoàn toàn không cần thiết phải vẽ đường tọa độ. Chỉ cần tưởng tượng nó trong suy nghĩ của bạn và xem vị trí của số âm và số dương ở đâu là đủ.

Hãy xem xét biểu thức đơn giản nhất: 1 + 3. Giá trị của biểu thức này là 4:

Ví dụ này có thể được hiểu bằng cách sử dụng một đường tọa độ. Để làm điều này, từ vị trí số 1, bạn cần di chuyển ba bước sang phải. Kết quả là chúng ta sẽ thấy mình đang ở vị trí của số 4. Trong hình, bạn có thể thấy điều này xảy ra như thế nào:

Dấu cộng trong biểu thức 1 + 3 cho chúng ta biết nên di chuyển sang phải theo chiều tăng dần của các số.

Ví dụ 2. Hãy tìm giá trị của biểu thức 1 − 3.

Giá trị của biểu thức này là −2

Ví dụ này một lần nữa có thể được hiểu bằng cách sử dụng đường tọa độ. Để làm điều này, từ vị trí số 1, bạn cần di chuyển sang trái ba bước. Kết quả là chúng ta sẽ thấy mình đang ở điểm chứa số âm −2. Trong hình bạn có thể thấy điều này xảy ra như thế nào:

Dấu trừ trong biểu thức 1 − 3 cho chúng ta biết rằng chúng ta nên di chuyển sang trái theo hướng các số giảm dần.

Nói chung, bạn cần nhớ rằng nếu phép cộng được thực hiện thì bạn cần di chuyển sang bên phải theo hướng tăng. Nếu phép trừ được thực hiện thì bạn cần di chuyển sang trái theo hướng giảm.

Ví dụ 3. Tìm giá trị của biểu thức −2 + 4

Giá trị của biểu thức này là 2

Ví dụ này một lần nữa có thể được hiểu bằng cách sử dụng đường tọa độ. Để làm điều này, từ điểm có số âm −2, bạn cần di chuyển bốn bước sang phải. Kết quả là chúng ta sẽ thấy mình đang ở điểm có số dương 2.

Có thể thấy rằng chúng ta đã di chuyển từ điểm có số âm −2 sang bên phải bốn bước và kết thúc ở điểm có số dương 2.

Dấu cộng trong biểu thức −2 + 4 cho chúng ta biết rằng chúng ta nên di chuyển sang phải đối với các số lớn hơn.

Ví dụ 4. Tìm giá trị của biểu thức −1 − 3

Giá trị của biểu thức này là −4

Ví dụ này một lần nữa có thể được giải bằng cách sử dụng đường tọa độ. Để làm điều này, từ điểm có số âm −1, bạn cần di chuyển sang trái ba bước. Kết quả là chúng ta sẽ thấy mình đang ở điểm có số âm −4

Có thể thấy rằng chúng ta đã di chuyển từ điểm có số âm −1 sang bên trái ba bước và kết thúc ở điểm có số âm −4.

Dấu trừ trong biểu thức −1 − 3 cho chúng ta biết rằng chúng ta nên di chuyển sang trái theo hướng các số giảm dần.

Ví dụ 5. Tìm giá trị của biểu thức −2 + 2

Giá trị của biểu thức này là 0

Ví dụ này có thể được giải bằng cách sử dụng đường tọa độ. Để làm điều này, từ điểm có số âm −2, bạn cần di chuyển sang phải hai bước. Kết quả là chúng ta sẽ thấy mình đang ở điểm có số 0

Có thể thấy rằng chúng ta đã di chuyển từ điểm có số âm −2 sang bên phải hai bước và kết thúc ở điểm có số 0.

Dấu cộng trong biểu thức −2 + 2 cho chúng ta biết rằng chúng ta nên di chuyển sang phải theo chiều tăng dần của các số.

Quy tắc cộng và trừ các số nguyên

Để cộng hoặc trừ các số nguyên, không nhất thiết phải tưởng tượng một đường tọa độ mỗi lần, chứ đừng nói đến việc vẽ nó. Sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng các quy tắc làm sẵn.

Khi áp dụng quy tắc, các em cần chú ý đến dấu của phép tính và dấu của các số cần cộng, trừ. Điều này sẽ xác định quy tắc nào sẽ được áp dụng.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của biểu thức −2 + 5

Ở đây một số dương được thêm vào một số âm. Nói cách khác, các số được thêm vào bằng dấu hiệu khác nhau. −2 là số âm và 5 là số dương. Đối với những trường hợp như vậy, quy tắc sau được áp dụng:

Để cộng các số có dấu khác nhau, bạn cần trừ mô-đun nhỏ hơn khỏi mô-đun lớn hơn và trước câu trả lời thu được, hãy đặt dấu của số có mô-đun lớn hơn.

Vì vậy, hãy xem mô-đun nào lớn hơn:

Mô đun của số 5 lớn hơn mô đun của số −2. Quy tắc yêu cầu trừ mô-đun nhỏ hơn khỏi mô-đun lớn hơn. Do đó, chúng ta phải trừ 2 từ 5 và trước câu trả lời thu được hãy đặt dấu của số có mô đun lớn hơn.

Số 5 có mô đun lớn hơn nên dấu của số này sẽ có trong đáp án. Nghĩa là, câu trả lời sẽ là tích cực:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Thường được viết ngắn hơn: −2 + 5 = 3

Ví dụ 2. Tìm giá trị của biểu thức 3 + (−2)

Ở đây, như trong ví dụ trước, các số có dấu khác nhau được thêm vào. 3 là số dương và −2 là số âm. Lưu ý rằng −2 được đặt trong ngoặc đơn để làm cho biểu thức rõ ràng hơn. Biểu thức này dễ hiểu hơn nhiều so với biểu thức 3+−2.

Vì vậy, hãy áp dụng quy tắc cộng các số khác dấu. Như trong ví dụ trước, trừ mô-đun nhỏ hơn khỏi mô-đun lớn hơn và trước câu trả lời, chúng ta đặt dấu của số có mô-đun lớn hơn:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Mô đun của số 3 lớn hơn mô đun của số −2, vì vậy chúng tôi trừ 2 từ 3 và trước câu trả lời kết quả, chúng tôi đặt dấu của số có mô đun lớn hơn. Số 3 có mô đun lớn hơn, đó là lý do tại sao dấu của số này được đưa vào đáp án. Đó là, câu trả lời là tích cực.

Thường được viết ngắn hơn 3 + (−2) = 1

Ví dụ 3. Tìm giá trị của biểu thức 3 − 7

Trong biểu thức này, số lớn hơn được trừ từ số nhỏ hơn. Trong trường hợp như vậy, quy tắc sau được áp dụng:

Để trừ số lớn hơn cho số nhỏ hơn, bạn cần trừ số nhỏ hơn cho số lớn hơn và đặt dấu trừ trước câu trả lời thu được.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Có một chút lưu ý đối với biểu hiện này. Chúng ta hãy nhớ rằng dấu bằng (=) được đặt giữa các đại lượng và biểu thức khi chúng bằng nhau.

Giá trị của biểu thức 3 − 7, như chúng ta đã học, là −4. Điều này có nghĩa là mọi phép biến đổi mà chúng ta thực hiện trong biểu thức này phải bằng −4

Nhưng chúng ta thấy rằng ở giai đoạn thứ hai có biểu thức 7 − 3, không bằng −4.

Để khắc phục tình trạng này, bạn cần đặt biểu thức 7 − 3 trong ngoặc và đặt dấu trừ trước dấu ngoặc này:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

Trong trường hợp này, sự bình đẳng sẽ được tuân thủ ở từng giai đoạn:

Sau khi biểu thức được tính toán, các dấu ngoặc đơn có thể được loại bỏ, đó là những gì chúng ta đã làm.

Vì vậy, để chính xác hơn, giải pháp sẽ như thế này:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Quy tắc này có thể được viết bằng cách sử dụng các biến. Nó sẽ trông giống thế này:

a − b = − (b − a)

Một số lượng lớn dấu ngoặc đơn và dấu hiệu phép toán có thể làm phức tạp việc giải một bài toán tưởng chừng đơn giản, vì vậy tốt hơn nên học cách viết các ví dụ đó một cách ngắn gọn, ví dụ 3 − 7 = − 4.

Trong thực tế, việc cộng và trừ các số nguyên không gì khác hơn là phép cộng. Điều này có nghĩa là nếu bạn cần trừ các số, thao tác này có thể được thay thế bằng phép cộng.

Vì vậy, hãy làm quen với quy tắc mới:

Trừ một số cho một số khác có nghĩa là cộng vào số trừ một số đối diện với số bị trừ.

Ví dụ, hãy xem xét biểu thức đơn giản nhất 5 − 3. Trên giai đoạn đầuđang học toán, chúng ta đặt dấu bằng và ghi đáp án:

Nhưng hiện tại chúng tôi đang tiến bộ trong quá trình học tập nên chúng tôi cần phải thích ứng với các quy định mới. Quy tắc mới nói rằng trừ một số với một số khác có nghĩa là cộng vào số trừ cùng một số với số bị trừ.

Hãy thử hiểu quy tắc này bằng ví dụ về biểu thức 5 − 3. Số trừ trong biểu thức này là 5 và số trừ là 3. Quy tắc nói rằng để trừ 3 từ 5, bạn cần cộng với 5 một số đối diện với 3. Số đối của số 3 là −3 . Hãy viết một biểu thức mới:

Và chúng ta đã biết cách tìm ra ý nghĩa của những cách diễn đạt như vậy. Đây là phép cộng các số có dấu khác nhau mà chúng ta đã xem xét trước đó. Để cộng các số có dấu khác nhau, chúng ta trừ mô-đun nhỏ hơn khỏi mô-đun lớn hơn và trước câu trả lời thu được, chúng ta đặt dấu của số có mô-đun lớn hơn:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Mô đun của số 5 lớn hơn mô đun của số −3. Do đó, chúng tôi trừ 3 từ 5 và nhận được 2. Số 5 có mô đun lớn hơn nên chúng tôi đặt dấu của số này vào đáp án. Đó là, câu trả lời là tích cực.

Lúc đầu, không phải ai cũng có thể nhanh chóng thay thế phép trừ bằng phép cộng. Điều này là do thực tế là số dương viết không có dấu cộng.

Ví dụ, trong biểu thức 3 − 1, dấu trừ biểu thị phép trừ là dấu phép toán và không đề cập đến phép trừ. Đơn vị trong trong trường hợp này là một số dương và nó có dấu cộng riêng, nhưng chúng ta không nhìn thấy nó vì dấu cộng không được viết trước số dương.

Do đó, để rõ ràng, biểu thức này có thể được viết như sau:

(+3) − (+1)

Để thuận tiện, các số có ký hiệu riêng được đặt trong ngoặc. Trong trường hợp này, việc thay thế phép trừ bằng phép cộng sẽ dễ dàng hơn nhiều.

Trong biểu thức (+3) − (+1), số bị trừ là (+1) và số đối diện là (−1).

Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng và thay vì phép trừ (+1), chúng ta viết số đối diện (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Tính toán thêm sẽ không khó khăn.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Thoạt nhìn, có vẻ như những chuyển động bổ sung này sẽ chẳng có ý nghĩa gì nếu bạn có thể sử dụng phương pháp cũ tốt để đặt dấu bằng và viết ngay câu trả lời 2. Trên thực tế, quy tắc này sẽ giúp ích cho chúng ta nhiều lần.

Hãy giải ví dụ 3 − 7 trước đó bằng quy tắc trừ. Trước tiên, hãy đưa biểu thức về dạng rõ ràng, gán cho mỗi số các ký hiệu riêng.

Số ba có dấu cộng vì nó là số dương. Dấu trừ biểu thị phép trừ không áp dụng cho số bảy. Số bảy có dấu cộng vì nó là số dương:

Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Tính toán thêm không khó:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Ví dụ 7. Tìm giá trị của biểu thức −4 − 5

Một lần nữa chúng ta có một phép trừ. Hoạt động này phải được thay thế bằng phép cộng. Với số bị trừ (−4), chúng ta cộng số đối diện với số bị trừ (+5). Số đối diện của số trừ (+5) là số (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Chúng ta đã đi đến tình huống cần cộng các số âm. Đối với những trường hợp như vậy, quy tắc sau được áp dụng:

Để cộng các số âm, bạn cần cộng các mô-đun của chúng và đặt dấu trừ trước câu trả lời thu được.

Vì vậy, hãy cộng các mô-đun số theo quy tắc yêu cầu chúng ta thực hiện và đặt dấu trừ trước câu trả lời thu được:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Mục có mô-đun phải được đặt trong ngoặc và phải đặt dấu trừ trước các dấu ngoặc này. Bằng cách này, chúng tôi sẽ đưa ra một điểm trừ sẽ xuất hiện trước câu trả lời:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Giải pháp cho ví dụ này có thể được viết ngắn gọn:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

hoặc thậm chí ngắn hơn:

−4 − 5 = −9

Ví dụ 8. Tìm giá trị của biểu thức −3 − 5 − 7 − 9

Hãy đưa biểu thức về một dạng rõ ràng. Ở đây, tất cả các số ngoại trừ −3 đều dương nên chúng sẽ có dấu cộng:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng. Tất cả các số trừ, ngoại trừ số trừ đứng trước ba số đó, sẽ đổi thành số dương, và tất cả các số dương sẽ đổi thành số ngược lại:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng quy tắc cộng số âm. Để cộng các số âm, bạn cần cộng các mô-đun của chúng và đặt dấu trừ trước câu trả lời thu được:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Giải pháp cho ví dụ này có thể được viết ngắn gọn:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

hoặc thậm chí ngắn hơn:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Ví dụ 9. Tìm giá trị của biểu thức −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Hãy đưa biểu thức về dạng rõ ràng:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Có hai phép toán ở đây: cộng và trừ. Chúng ta giữ nguyên phép cộng và thay phép trừ bằng phép cộng:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Quan sát, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng động tác, dựa trên các quy tắc đã học trước đó. Các mục có mô-đun có thể được bỏ qua:

Hành động đầu tiên:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Hành động thứ hai:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Hành động thứ ba:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Hành động thứ tư:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Do đó, giá trị của biểu thức −10 + 6 − 15 + 11 − 7 là −15

Ghi chú. Hoàn toàn không cần thiết phải đưa biểu thức sang dạng dễ hiểu bằng cách đặt các số trong ngoặc đơn. Khi quen với số âm, bạn có thể bỏ qua bước này vì nó tốn thời gian và có thể gây nhầm lẫn.

Vì vậy, để cộng và trừ các số nguyên, bạn cần nhớ các quy tắc sau:

Tham gia nhóm VKontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới

Phép cộng số âm.

Tổng các số âm là một số âm. Mô đun của tổng bằng tổng mô đun của các số hạng.

Hãy tìm hiểu tại sao tổng các số âm cũng sẽ là số âm. Đường tọa độ sẽ giúp chúng ta điều này, trên đó chúng ta sẽ thêm các số -3 và -5. Chúng ta đánh dấu một điểm trên đường tọa độ tương ứng với số -3.

Với số -3 chúng ta cần thêm số -5. Chúng ta đi đâu từ điểm tương ứng với số -3? Đúng, trái! Đối với 5 phân đoạn đơn vị. Chúng tôi đánh dấu một điểm và viết số tương ứng với nó. Con số này là -8.

Như vậy, khi cộng số âm bằng đường tọa độ, chúng ta luôn ở bên trái gốc tọa độ, do đó rõ ràng kết quả của việc cộng số âm cũng là số âm.

Ghi chú. Chúng tôi đã thêm các số -3 và -5, tức là. đã tìm thấy giá trị của biểu thức -3+(-5). Thông thường khi thêm số hữu tỉ họ chỉ đơn giản viết ra những con số này cùng với dấu hiệu của chúng, như thể liệt kê tất cả những con số cần cộng vào. Ký hiệu này được gọi là tổng đại số. Áp dụng (trong ví dụ của chúng tôi) mục nhập: -3-5=-8.

Ví dụ. Tìm tổng các số âm: -23-42-54. (Bạn có đồng ý rằng mục này ngắn hơn và tiện lợi hơn như sau: -23+(-42)+(-54)) không?

Hãy quyết định theo quy tắc cộng số âm: ta cộng mô đun của các số hạng: 23+42+54=119. Kết quả sẽ có dấu trừ.

Họ thường viết nó như thế này: -23-42-54=-119.

Phép cộng các số có dấu khác nhau.

Tổng của hai số khác dấu là dấu của số hạng có giá trị tuyệt đối lớn. Để tìm mô đun của một tổng, bạn cần trừ mô đun nhỏ hơn khỏi mô đun lớn hơn..

Hãy cộng các số có dấu khác nhau bằng đường tọa độ.

1) -4+6. Bạn cần cộng số 6 vào số -4. Hãy đánh dấu số -4 bằng dấu chấm trên đường tọa độ. Số 6 là số dương nghĩa là từ điểm có tọa độ -4 chúng ta cần sang phải 6 đoạn đơn vị. Chúng tôi thấy mình ở bên phải điểm tham chiếu (từ 0) 2 đoạn đơn vị.

Kết quả của tổng các số -4 và 6 là số dương 2:

- 4+6=2. Làm thế nào bạn có thể có được số 2? Trừ 4 từ 6, tức là trừ cái nhỏ hơn khỏi mô-đun lớn hơn. Kết quả có cùng dấu với số hạng có mô đun lớn.

2) Hãy tính: -7+3 bằng đường tọa độ. Đánh dấu điểm tương ứng với số -7. Chúng ta sang bên phải 3 đoạn đơn vị và nhận được điểm có tọa độ -4. Chúng ta đã và đang ở bên trái gốc tọa độ: đáp án là số âm.

— 7+3=-4. Chúng ta có thể nhận được kết quả này theo cách này: trừ mô-đun nhỏ hơn khỏi mô-đun lớn hơn, tức là 7-3=4. Kết quả là chúng ta đặt dấu của số hạng với mô đun lớn hơn: |-7|>|3|.

Ví dụ. Tính toán: MỘT) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.


Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét chi tiết cách thực hiện phép cộng số nguyên. Đầu tiên chúng ta sẽ hình thành ý tưởng chung về phép cộng các số nguyên và hãy xem phép cộng các số nguyên trên một đường tọa độ là gì. Kiến thức này sẽ giúp chúng ta hình thành các quy tắc cộng các số dương, số âm và số nguyên có dấu khác nhau. Ở đây chúng ta sẽ xem xét chi tiết việc áp dụng các quy tắc cộng khi giải các ví dụ và tìm hiểu cách kiểm tra kết quả thu được. Ở cuối bài viết chúng ta sẽ nói về việc bổ sung ba và hơn số nguyên.

Điều hướng trang.

Hiểu phép cộng số nguyên

Dưới đây là ví dụ về cách cộng các số nguyên đối diện. Tổng của các số −5 và 5 bằng 0, tổng của 901+(−901) bằng 0 và kết quả của việc cộng các số nguyên đối diện 1,567,893 và −1,567,893 cũng bằng 0.

Phép cộng một số nguyên tùy ý và số 0

Chúng ta hãy sử dụng đường tọa độ để hiểu kết quả của việc cộng hai số nguyên, một trong số đó bằng 0, là gì.

Việc thêm một số nguyên tùy ý a vào 0 có nghĩa là di chuyển các đoạn đơn vị từ gốc đến khoảng cách a. Vì vậy, chúng ta thấy mình đang ở điểm có tọa độ a. Do đó, kết quả của việc cộng số 0 và một số nguyên tùy ý là số nguyên được thêm vào.

Mặt khác, việc thêm số 0 vào một số nguyên tùy ý có nghĩa là di chuyển từ điểm có tọa độ được chỉ định bởi một số nguyên đã cho đến khoảng cách bằng 0. Nói cách khác, chúng ta sẽ vẫn ở điểm xuất phát. Do đó, kết quả của việc cộng một số nguyên tùy ý và số 0 là số nguyên đã cho.

Vì thế, tổng của hai số nguyên, một số bằng 0, bằng số nguyên kia. Đặc biệt, 0 cộng 0 bằng 0.

Hãy đưa ra một vài ví dụ. Tổng của các số nguyên 78 và 0 là 78; kết quả của việc cộng số 0 và −903 là −903 ; cũng 0+0=0 .

Kiểm tra kết quả phép cộng

Sau khi cộng hai số nguyên, việc kiểm tra kết quả là rất hữu ích. Chúng ta đã biết rằng để kiểm tra kết quả của phép cộng hai số tự nhiên, chúng ta cần trừ bất kỳ số hạng nào khỏi tổng kết quả và điều này sẽ dẫn đến một số hạng khác. Kiểm tra kết quả cộng số nguyênđược thực hiện tương tự. Nhưng phép trừ các số nguyên có nghĩa là cộng vào số trừ số đối diện của số bị trừ. Vì vậy, để kiểm tra kết quả của việc cộng hai số nguyên, bạn cần cộng vào tổng kết quả số đối diện với bất kỳ số hạng nào, kết quả sẽ tạo ra một số hạng khác.

Hãy xem các ví dụ về kiểm tra kết quả của phép cộng hai số nguyên.

Ví dụ.

Khi cộng hai số nguyên 13 và −9 thu được số 4, kiểm tra kết quả.

Giải pháp.

Hãy cộng vào tổng 4 số −13, đối diện với số hạng 13, và xem liệu chúng ta có nhận được một số hạng khác −9 hay không.

Vì vậy, hãy tính tổng 4+(−13) . Đây là tổng của các số nguyên trái dấu. Các mô-đun của các thuật ngữ lần lượt là 4 và 13. Số hạng có mô đun lớn hơn có dấu trừ mà chúng ta ghi nhớ. Bây giờ hãy trừ mô-đun lớn hơn và trừ mô-đun nhỏ hơn: 13−4=9. Tất cả những gì còn lại là đặt dấu trừ đã nhớ trước số kết quả, chúng ta có −9.

Khi kiểm tra, chúng tôi nhận được một số bằng một số hạng khác nên tổng ban đầu được tính đúng.−19. Vì chúng tôi nhận được một số bằng một số hạng khác nên phép cộng các số −35 và −19 đã được thực hiện chính xác.

Cộng ba số nguyên trở lên

Cho đến thời điểm này chúng ta đã nói về việc cộng hai số nguyên. Nói cách khác, chúng ta đã xét tổng gồm hai số hạng. Tuy nhiên, tính chất kết hợp của phép cộng các số nguyên cho phép chúng ta xác định duy nhất tổng của ba, bốn hoặc nhiều số nguyên.

Dựa trên tính chất của phép cộng các số nguyên, chúng ta có thể khẳng định rằng tổng của ba, bốn, v.v. của các số không phụ thuộc vào cách đặt dấu ngoặc đơn biểu thị thứ tự thực hiện các hành động, cũng như thứ tự của các phép cộng. các số hạng trong tổng. Chúng tôi đã chứng minh những tuyên bố này khi nói về phép cộng ba số tự nhiên trở lên. Đối với số nguyên, mọi lý do đều hoàn toàn giống nhau và chúng ta sẽ không lặp lại.0+(−101) +(−17)+5 . Sau đó, đặt dấu ngoặc đơn theo bất kỳ cách nào có thể chấp nhận được, chúng ta vẫn sẽ nhận được số −113.

Trả lời:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Thư mục.

  • Vilenkin N.Ya. và những môn Toán khác. Lớp 6: Sách giáo khoa tổng quát cơ sở giáo dục.

Trong bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu số âm là gì và số nào được gọi là số đối. Chúng ta cũng sẽ học cách cộng các số âm và số dương (các số có dấu khác nhau) và xem một số ví dụ về cách cộng các số có dấu khác nhau.

Hãy nhìn vào thiết bị này (xem Hình 1).

Cơm. 1. Bánh răng đồng hồ

Đây không phải là kim trực tiếp hiển thị thời gian và không phải là mặt số (xem Hình 2). Nhưng không có phần này thì đồng hồ sẽ không hoạt động.

Cơm. 2. Bánh răng bên trong đồng hồ

Chữ Y có nghĩa là gì? Không có gì ngoài âm thanh Y. Nhưng không có nó thì nhiều từ sẽ không “có tác dụng”. Ví dụ: từ "chuột". Số âm cũng vậy: chúng không hiển thị bất kỳ số lượng nào, nhưng nếu không có chúng thì cơ chế tính toán sẽ khó khăn hơn nhiều.

Chúng ta biết rằng phép cộng và phép trừ là các phép toán tương đương và có thể được thực hiện theo bất kỳ thứ tự nào. Trong mục nhập đặt hàng trực tiếp chúng ta có thể tính: , nhưng chúng ta không thể bắt đầu bằng phép trừ, vì chúng ta chưa thống nhất được .

Rõ ràng là tăng số lượng lên rồi giảm dần có nghĩa là cuối cùng giảm đi ba. Tại sao không chỉ rõ đối tượng này và đếm như thế: cộng tức là trừ. Sau đó .

Ví dụ, con số có thể có nghĩa là một quả táo. Số mới không đại diện cho bất kỳ số lượng thực nào. Bản thân nó không có ý nghĩa gì giống như chữ Y. Thật đơn giản công cụ mớiđể đơn giản hóa việc tính toán.

Hãy đặt tên cho những con số mới tiêu cực. Bây giờ chúng ta có thể trừ số lớn hơn từ số nhỏ hơn. Về mặt kỹ thuật, bạn vẫn cần trừ số nhỏ hơn cho số lớn hơn, nhưng hãy đặt dấu trừ vào câu trả lời của bạn: .

Hãy xem một ví dụ khác: . Bạn có thể thực hiện tất cả các hành động liên tiếp: .

Tuy nhiên, việc trừ số thứ ba từ số đầu tiên rồi cộng số thứ hai sẽ dễ dàng hơn:

Số âm có thể được định nghĩa theo cách khác.

Ví dụ: đối với mỗi số tự nhiên, chúng tôi giới thiệu một số mới mà chúng tôi biểu thị và xác định rằng số đó có thuộc tính sau: tổng của số đó và bằng : .

Chúng ta sẽ gọi số âm, còn số và - số ngược. Vì vậy, chúng ta có vô số số mới, ví dụ:

Ngược lại với số;

Ngược lại với số;

Ngược lại với số;

Ngược lại với số;

Trừ số lớn hơn cho số nhỏ: . Hãy thêm vào biểu thức này: . Chúng tôi không có. Tuy nhiên, theo tính chất: số cộng từ 0 đến 5 được ký hiệu là trừ 5: . Do đó, biểu thức có thể được ký hiệu là .

Mỗi số dương đều có một số sinh đôi, chỉ khác ở chỗ nó đứng trước dấu trừ. Những số như vậy được gọi là. đối diện(xem hình 3).

Cơm. 3. Ví dụ về số đối nhau

Tính chất của các số đối nhau

1. Tổng các số đối bằng 0: .

2. Nếu trừ một số dương cho số 0 thì kết quả sẽ là số âm đối diện: .

1. Cả hai số đều có thể dương và chúng ta đã biết cách cộng chúng: .

2. Cả hai số đều có thể âm.

Chúng ta đã đề cập đến việc cộng các số như thế này trong bài học trước, nhưng hãy đảm bảo rằng chúng ta hiểu phải làm gì với chúng. Ví dụ: .

Để tìm tổng này, hãy cộng các số dương đối diện và đặt dấu trừ.

3. Một số có thể dương và số kia có thể âm.

Nếu thuận tiện, chúng ta có thể thay thế phép cộng số âm bằng phép trừ số dương: .

Một ví dụ nữa: . Một lần nữa chúng ta viết số tiền là chênh lệch. Trừ từ ít hơn số lớn hơn Bạn có thể trừ số nhỏ hơn cho số lớn hơn nhưng hãy đặt dấu trừ.

Chúng ta có thể hoán đổi các điều khoản: .

Một ví dụ tương tự khác: .

Trong mọi trường hợp, kết quả là một phép trừ.

Để xây dựng ngắn gọn các quy tắc này, chúng ta hãy nhớ lại một thuật ngữ nữa. Các số đối nhau tất nhiên không bằng nhau. Nhưng sẽ thật kỳ lạ nếu không chú ý đến những điểm chung giữa họ. Chúng tôi gọi đây là điều chung số modulo. Mô đun của các số đối diện là như nhau: đối với số dương, nó bằng chính số đó và đối với số âm, nó bằng số đối diện, dương. Ví dụ: , .

Để cộng hai số âm, bạn cần cộng các mô đun của chúng và đặt dấu trừ:

Để cộng số âm và số dương, bạn cần trừ mô-đun nhỏ hơn khỏi mô-đun lớn hơn và đặt dấu của số đó vào mô-đun lớn hơn:

Cả hai số đều âm, do đó, chúng tôi thêm các mô-đun của chúng và đặt dấu trừ:

Do đó, hai số có mô đun khác nhau, từ mô đun của số (mô đun lớn hơn), chúng ta trừ mô đun của số đó và đặt dấu trừ (dấu của số có mô đun lớn hơn):

Do đó, hai số có mô đun khác nhau, từ mô đun của số (hệ số lớn hơn), ta trừ mô đun của số đó và đặt dấu trừ (dấu của số có mô đun lớn hơn): .

Do đó, hai số khác dấu, từ mô đun của số (hệ số lớn hơn), ta trừ mô đun của số đó và đặt dấu cộng (dấu của số có mô đun lớn hơn): .

Số dương và số âm trong lịch sử có vai trò khác nhau.

Đầu tiên chúng tôi bước vào số nguyênđể đếm các mặt hàng:

Sau đó, chúng tôi giới thiệu các số dương khác - phân số, để đếm số lượng không nguyên, phần: .

Số âm xuất hiện như một công cụ giúp đơn giản hóa các phép tính. Không phải có số lượng nào trong cuộc sống mà chúng ta không thể đếm được và chúng ta đã phát minh ra số âm.

Tức là số âm không bắt nguồn từ thế giới thực. Hóa ra chúng tiện lợi đến mức ở một số nơi họ đã tìm thấy ứng dụng trong cuộc sống. Ví dụ, chúng ta thường nghe về nhiệt độ âm. Tuy nhiên, chúng ta không bao giờ gặp phải số lượng táo âm. Có gì khác biệt?

Sự khác biệt là trong cuộc sống, số lượng âm chỉ được dùng để so sánh chứ không dùng để dùng cho số lượng. Nếu khách sạn có tầng hầm và thang máy được lắp đặt ở đó, thì để duy trì cách đánh số tầng thông thường, tầng một có thể bị trừ. Điểm trừ đầu tiên này có nghĩa là chỉ có một tầng dưới mặt đất (xem Hình 1).

Cơm. 4. Trừ tầng một và trừ tầng hai

Nhiệt độ âm chỉ là âm so với 0, được chọn bởi tác giả của thang đo, Anders độ C. Có những thang đo khác, và nhiệt độ tương tự có thể không còn âm ở đó nữa.

Đồng thời, chúng tôi hiểu rằng không thể thay đổi điểm xuất phát để không có năm quả táo mà có sáu quả. Vì vậy, trong cuộc sống người ta dùng số dương để xác định số lượng (táo, bánh).

Chúng tôi cũng sử dụng chúng thay vì tên. Mỗi điện thoại có thể được đặt tên riêng nhưng số lượng tên có hạn và không có số. Đó là lý do tại sao chúng tôi sử dụng số điện thoại. Ngoài ra để đặt hàng (thế kỷ sau thế kỷ).

Số âm trong cuộc sống được dùng với nghĩa sau (trừ tầng 1 dưới số 0 và tầng 1)

  1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Toán 6. M.: Mnemosyne, 2012.
  2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Toán lớp 6. "Nhà thi đấu", 2006.
  3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Đằng sau những trang sách giáo khoa toán học M.: Giáo dục, 1989.
  4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Bài tập môn toán lớp 5-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
  5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Toán 5-6. Sách hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS MEPhI. M.: ZSh MEPhI, 2011.
  6. Shevrin L.N., Gein A.G., Korykov I.O., Volkov M.V. Toán: Sách giáo khoa-người đối thoại lớp 5-6 Trung học phổ thông. M.: Giáo dục, Thư viện giáo viên toán, 1989.
  1. Math-prosto.ru ().
  2. Youtube().
  3. Trợ lý trường học.ru ().
  4. Allforchildren.ru ().

Bài tập về nhà