дома > Застаклување > Логаритмите се логаритамски равенки. Учење да решаваат едноставни логаритамски равенки


Логаритмите се логаритамски равенки. Учење да решаваат едноставни логаритамски равенки




Логаритамски равенки. Продолжуваме да ги разгледуваме проблемите од Дел Б од Единствениот државен испит по математика. Веќе испитавме решенија за некои равенки во написите „“, „“. Во оваа статија ќе ги разгледаме логаритамските равенки. Веднаш ќе кажам дека нема да има сложени трансформации при решавање на вакви равенки на Единствениот државен испит. Тие се едноставни.

Доволно е да се знае и разбере основниот логаритамски идентитет, да се знаат својствата на логаритамот. Ве молиме имајте предвид дека откако ќе го решите, МОРА да направите проверка - заменете ја добиената вредност во оригиналната равенка и пресметајте, на крајот треба да ја добиете точната еднаквост.

Дефиниција:

Логаритмот на број до основата b е експонент.на кој b мора да се подигне за да се добие a.


На пример:

Дневник 3 9 = 2, бидејќи 3 2 = 9

Својства на логаритмите:

Посебни случаи на логаритми:

Да ги решиме проблемите. Во првиот пример ќе направиме проверка. Направете ја следната проверка сами.

Најдете го коренот на равенката: log 3 (4–x) = 4

Бидејќи log b a = x b x = a, тогаш

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Испитување:

дневник 3 (4–(–77)) = 4

дневник 3 81 = 4

3 4 = 81 Точно.

Одговор: – 77

Одлучете сами:

Најдете го коренот на равенката: log 2 (4 – x) = 7

Најдете го коренот на равенката дневник 5(4 + x) = 2

Го користиме основниот логаритамски идентитет.

Бидејќи log a b = x b x = a, тогаш

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Испитување:

дневник 5 (4 + 21) = 2

дневник 5 25 = 2

5 2 = 25 Точно.

Одговор: 21

Најдете го коренот на равенката log 3 (14 – x) = log 3 5.

Следното својство важи, неговото значење е следново: ако на левата и десната страна од равенката имаме логаритми со истата основа, тогаш можеме да ги изедначиме изразите под знаците на логаритми.

14 – x = 5

x=9

Направете проверка.

Одговор: 9

Одлучете сами:

Најдете го коренот на равенката log 5 (5 – x) = log 5 3.

Најдете го коренот на равенката: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Ако log c a = log c b, тогаш a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Направете проверка.

Одговор: 6

Најдете го коренот на равенката лог 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 - 64

x = – 51

Направете проверка.

Мал додаток - имотот се користи овде

степени ().

Одговор: – 51

Одлучете сами:

Најдете го коренот на равенката: log 1/7 (7 – x) = – 2

Најдете го коренот на равенката log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Ајде да ја трансформираме десната страна. Да го искористиме имотот:

log a b m = m∙log a b

дневник 2 (4 – x) = дневник 2 5 2

Ако log c a = log c b, тогаш a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Направете проверка.

Одговор: – 21

Одлучете сами:

Најдете го коренот на равенката: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Решете ја равенката log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Ако log c a = log c b, тогаш a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Направете проверка.

Одговор: 2,75

Одлучете сами:

Најдете го коренот на равенката log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Решете ја равенката log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Потребно е да се добие израз на формата од десната страна на равенката:

дневник 2 (......)

Ние го претставуваме 1 како основен 2 логаритам:

1 = дневник 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

дневник 2 (2 – x) = дневник 2 (2 – 3x) + дневник 2 2

Добиваме:

дневник 2 (2 – x) = дневник 2 2 (2 – 3x)

Ако log c a = log c b, тогаш a = b, тогаш

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Направете проверка.

Одговор: 0,4

Одлучете сами: Следно треба да одлучите квадратна равенка. Патем,

корените се 6 и – 4.

Корен "-4" не е решение, бидејќи основата на логаритамот мора да биде поголема од нула, а со "– 4" тоа е еднакво на " – 5". Решението е корен 6.Направете проверка.

Одговор: 6.

Р јадете сами:

Решете ја равенката log x –5 49 = 2. Ако равенката има повеќе од еден корен, одговорете со помалиот.

Како што видовте, нема комплицирани трансформации со логаритамски равенкибр. Доволно е да ги знаете својствата на логаритмот и да можете да ги примените. Во USE проблемите поврзани со трансформација на логаритамски изрази, се вршат посериозни трансформации и се потребни повеќе продлабочени вештини за решавање. Ќе разгледаме такви примери, не ги пропуштајте!Ти посакувам успех!!!

Со почит, Александар Крутицких.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Логаритамски равенки. Од едноставни до сложени.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Што е логаритамска равенка?

Ова е равенка со логаритми. Јас сум изненаден, нели?) Потоа ќе објаснам. Ова е равенка во која се наоѓаат непознатите (x) и изразите со нив внатре во логаритми.И само таму! Тоа е важно.

Еве неколку примери логаритамски равенки :

дневник 3 x = дневник 3 9

дневник 3 (x 2 -3) = дневник 3 (2x)

дневник x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

Па разбираш... )

Забелешка! Лоцирани се најразновидните изрази со X исклучиво во рамките на логаритми.Ако некаде во равенката одеднаш се појави X надвор, На пример:

дневник 2 x = 3 + x,

ова веќе ќе биде равенка од мешан тип. Ваквите равенки немаат јасни правила за нивно решавање. Засега нема да ги разгледуваме. Патем, постојат равенки каде што внатре во логаритмите само бројки. На пример:

Што да кажам? Имате среќа ако наидете на ова! Логаритам со броеви е некој број.Тоа е се. Доволно е да се знаат својствата на логаритмите за да се реши таквата равенка. Познавање на посебни правила, техники прилагодени специјално за решавање логаритамски равенки,не се бара овде.

Значи, што е логаритамска равенка- сфатив.

Како да се решат логаритамските равенки?

Решение логаритамски равенки- Работата всушност не е многу едноставна. Значи, нашиот дел е четири... Потребна е пристојна количина на знаење за сите видови поврзани теми. Покрај тоа, постои посебна карактеристика во овие равенки. И оваа карактеристика е толку важна што може безбедно да се нарече главен проблем во решавањето на логаритамските равенки. Детално ќе се справиме со овој проблем во следната лекција.

Засега, не грижете се. Ќе одиме по вистинскиот пат од едноставни до сложени.На конкретни примери. Главната работа е да истражувате во едноставни работи и да не бидете мрзливи да ги следите врските, ги ставив таму со причина ... И сè ќе ви успее. Задолжително.

Да почнеме со најелементарните, наједноставните равенки. За да ги решите, препорачливо е да имате идеја за логаритам, но ништо повеќе. Само нема идеја логаритам,донесе одлука логаритамскиравенки - некако дури и незгодно... Многу храбро, би рекол).

Наједноставните логаритамски равенки.

Ова се равенки на формата:

1. дневник 3 x = дневник 3 9

2. дневник 7 (2x-3) = дневник 7 x

3. дневник 7 (50x-1) = 2

Процес на решение која било логаритамска равенкасе состои во премин од равенка со логаритми во равенка без нив. Во наједноставните равенки оваа транзиција се изведува во еден чекор. Затоа тие се наједноставни.)

И таквите логаритамски равенки се изненадувачки лесни за решавање. Види и самиот.

Да го решиме првиот пример:

дневник 3 x = дневник 3 9

За да го решите овој пример, не треба да знаете речиси ништо, да... Чисто интуиција!) Што ни треба особеноне ви се допаѓа овој пример? Што-што... не сакам логаритми! Во право. Па да се ослободиме од нив. Внимателно го разгледуваме примерот и кај нас се јавува природна желба... Сосема неодолива! Земете и исфрлете ги логаритмите целосно. И она што е добро е тоа Моженаправи! Математиката дозволува. Логаритмите исчезнуваатодговорот е:

Одлично, нели? Ова може (и треба) секогаш да се прави. Елиминирањето на логаритмите на овој начин е еден од главните начини за решавање на логаритамските равенки и неравенки. Во математиката оваа операција се нарекува потенцирање.Секако дека има правила за ваква ликвидација, но тие се малку. Запомнете:

Можете да ги елиминирате логаритмите без никаков страв ако имаат:

а) исти нумерички основи

в) логаритмите од лево кон десно се чисти (без никакви коефициенти) и се во одлична изолација.

Дозволете ми да ја појаснам последната точка. Во равенката, да речеме

дневник 3 x = 2 дневник 3 (3x-1)

Логаритмите не можат да се отстранат. Двајцата десно не дозволуваат. Коефициентот, знаете... Во примерот

дневник 3 x+log 3 (x+1) = дневник 3 (3+x)

Исто така е невозможно да се потенцира равенката. На левата страна нема осамен логаритам. Има два од нив.

Накратко, можете да ги отстраните логаритмите ако равенката изгледа вака и само вака:

log a (.....) = log a (.....)

Во загради, каде што има елипса, може да има какви било изрази.Едноставно, супер сложено, секакви. Како и да е. Важно е дека по елиминирањето на логаритмите ни останува поедноставна равенка.Се разбира, се претпоставува дека веќе знаете како да решавате линеарни, квадратни, фракциони, експоненцијални и други равенки без логаритми.)

Сега можете лесно да го решите вториот пример:

дневник 7 (2x-3) = дневник 7 x

Всушност, тоа е решено во умот. Ние потенцираме, добиваме:

Па, дали е многу тешко?) Како што можете да видите, логаритамскидел од решението на равенката е само при елиминирање на логаритми...А потоа доаѓа решението на преостанатата равенка без нив. Тривијална работа.

Да го решиме третиот пример:

дневник 7 (50x-1) = 2

Гледаме дека има логаритам лево:

Да се ​​потсетиме дека овој логаритам е некој број до кој треба да се подигне основата (т.е. седум) за да се добие сублогаритамски израз, т.е. (50x-1).

Но, овој број е два! Според равенката. Тоа е:

Тоа е во основа сè. Логаритам исчезна,Она што останува е безопасна равенка:

Оваа логаритамска равенка ја решивме само врз основа на значењето на логаритамот. Дали е сепак полесно да се елиминираат логаритмите?) Се согласувам. Патем, ако направите логаритам од два, овој пример можете да го решите преку елиминација. Секој број може да се направи во логаритам. Згора на тоа, начинот на кој ни треба. Многу корисен трикпри решавање на логаритамски равенки и (особено!) неравенки.

Не знаете како да направите логаритам од број!? Во ред е. Дел 555 детално ја опишува оваа техника. Можете да го совладате и да го користите максимално! Во голема мера го намалува бројот на грешки.

Четвртата равенка е решена на сосема сличен начин (по дефиниција):

Тоа е тоа.

Ајде да ја сумираме оваа лекција. Го разгледавме решението на наједноставните логаритамски равенки користејќи примери. Тоа е многу важно. И не само затоа што таквите равенки се појавуваат на тестови и испити. Факт е дека и најзлобните и најкомплицираните равенки нужно се сведени на наједноставните!

Всушност, наједноставните равенки се последниот дел од решението било којравенки. И овој последен дел мора строго да се разбере! И понатаму. Задолжително прочитајте ја оваа страница до крај. Има изненадување...)

Сега сами одлучуваме. Ајде да се подобриме, така да се каже...)

Најдете го коренот (или збирот на корените, ако има неколку) од равенките:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

дневник 2 (x 2 +32) = дневник 2 (12x)

дневник 16 (0,5x-1,5) = 0,25

дневник 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

дневник 2 (14x) = дневник 2 7 + 2

Одговори (во неред, се разбира): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Што, не функционира сè? Се случува. Не грижете се! Дел 555 го објаснува решението за сите овие примери на јасен и детален начин. Дефинитивно ќе го сфатите таму. И исто така корисни практични техникисовладете го.

Се успеа!? Сите примери на „еден остана“?) Честитки!

Време е да ви ја откриеме горчливата вистина. Успешното решавање на овие примери не гарантира успех во решавањето на сите други логаритамски равенки. Дури и наједноставните како овие. За жал.

Факт е дека решението на која било логаритамска равенка (дури и најелементарната!) се состои од два еднакви делови.Решавање на равенката и работа со ОДЗ. Еден дел го совладавме - решавање на самата равенка. Не е толку тешконели?

За оваа лекција, специјално избрав примери во кои DL не влијае на одговорот на кој било начин. Но, не се сите љубезни како мене, нели?...)

Затоа, императив е да се совлада другиот дел. ОДЗ. Ова е главниот проблем во решавањето на логаритамските равенки. И не затоа што е тешко - овој дел е уште полесен од првиот. Но затоа што едноставно забораваат на ОДЗ. Или не знаат. Или двете). И тие паѓаат од ведро небо...

Во следната лекција ќе се занимаваме со овој проблем. Потоа можете да одлучите со доверба било коједноставни логаритамски равенки и пристап до доста солидни задачи.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Подготовката за последниот тест по математика вклучува важен дел - „Логаритми“. Задачите од оваа тема се нужно содржани во Единствениот државен испит. Искуството од минатите години покажува дека логаритамските равенки предизвикале потешкотии за многу ученици. Затоа, учениците со различни нивоа на обука мора да разберат како да го најдат точниот одговор и брзо да се справат со нив.

Успешно поминете го тестот за сертификација користејќи го едукативниот портал Школково!

Кога се подготвуваат за обединет државен испит, на матурантите им треба сигурен извор кој дава најцелосни и точни информации за успешно решавање на проблемите со тестовите. Сепак, учебникот не е секогаш при рака, и бара неопходни правилаи формулите на Интернет често бараат време.

Едукативниот портал „Школково“ ви овозможува да се подготвите за Единствениот државен испит каде било и во секое време. Нашата веб-страница го нуди најзгодниот пристап за повторување и асимилирање на голема количина на информации за логаритми, како и со една и неколку непознати. Започнете со лесни равенки. Ако се справувате со нив без тешкотии, преминете на посложени. Ако имате проблем да решите одредена нееднаквост, можете да ја додадете во вашите Омилени за да може да се вратите на неа подоцна.

Можете да ги најдете потребните формули за да ја завршите задачата, да повторите специјални случаи и методи за пресметување на коренот на стандардна логаритамска равенка гледајќи во делот „Теоретска помош“. Школковските наставници ги собраа, систематизираа и ги презентираа сите материјали потребни за успешно полагање во наједноставна и најразбирлива форма.

Со цел лесно да се справите со задачи од секаква сложеност, на нашиот портал можете да се запознаете со решението на некои стандардни логаритамски равенки. За да го направите ова, одете во делот „Каталози“. Ви претставуваме голем број напримери, вклучувајќи равенки на профили Ниво на унифициран државен испитматематика.

Учениците од училиштата низ Русија можат да го користат нашиот портал. За да започнете часови, едноставно регистрирајте се во системот и започнете со решавање на равенките. За да се консолидираат резултатите, ве советуваме секојдневно да се враќате на веб-страницата на Школково.

Вовед

Логаритмите се измислени за да се забрзаат и поедностават пресметките. Идејата за логаритам, односно идејата за изразување на броевите како моќи од иста основа, му припаѓа на Михаил Штифел. Но, во времето на Штифел, математиката не беше толку развиена и идејата за логаритам не беше развиена. Логаритмите подоцна биле измислени истовремено и независно еден од друг од шкотскиот научник Џон Напиер (1550-1617) и Швајцарецот Џобст Бурги (1552-1632) бил првиот што го објавил делото во 1614 година. со наслов „Опис на неверојатната табела на логаритми“, теоријата на Напиер за логаритми беше дадена доволно во целост, методот за пресметување на логаритми е даден наједноставен, затоа заслугите на Напиер во пронаоѓањето на логаритми се поголеми од оние на Бурги. Бурги работеше на масите во исто време со Напиер, но за долго времеги чувал во тајност и ги објавил дури во 1620 година. Напиер ја совладал идејата за логаритам околу 1594 година. иако табелите беа објавени 20 години подоцна. Најпрво тој ги нарече своите логаритми „вештачки броеви“ и дури потоа предложи да ги нарече „вештачки броеви“ со еден збор „логаритам“, што во превод од грчки значи „поврзани броеви“, земен еден од аритметичка прогресија, а другиот од геометриска прогресија специјално избрана за него. Првите табели на руски беа објавени во 1703 година. со учество на прекрасен учител од 18 век. Л.Ф. Магнитски. Во развојот на теоријата на логаритми големо значењеимаше дела од Санктпетербуршкиот академик Леонхард Ојлер. Тој беше првиот што ги сметаше логаритмите како инверзна на подигање на моќност. поедноставен од оној на Напиеровите логаритми. Затоа децимални логаритмипонекогаш наречени бриги. Терминот „карактеризација“ беше воведен од Бригс.

Во тие далечни времиња, кога мудреците првпат почнале да размислуваат за еднаквоста што содржи непознати количини, веројатно немало парички или паричници. Но, имаше купишта, како и тенџериња и корпи, кои беа совршени за улогата на кешови за складирање во кои можеше да се собере непознат број предмети. Во древните математички проблеми на Месопотамија, Индија, Кина, Грција, непознати количини го изразувале бројот на пауни во градината, бројот на бикови во стадото и севкупноста на нештата што се земале предвид при поделбата на имотот. Книжници, службеници и иницијатори добро обучени во науката за сметките тајно знаењеСвештениците доста успешно се справија со таквите задачи.

Изворите што стигнаа до нас покажуваат дека античките научници поседувале некои општи техникирешавање проблеми со непознати големини. Сепак, ниту една таблета од папирус или глина не содржи опис на овие техники. Авторите само повремено ги снабдувале своите нумерички пресметки со оскудни коментари како што се: „Гледај!“, „Направи го ова!“, „Го најдовте вистинскиот“. Во оваа смисла, исклучок е „Аритметиката“ на грчкиот математичар Диофант Александриски (III век) - збирка проблеми за составување равенки со систематско прикажување на нивните решенија.

Сепак, првиот прирачник за решавање проблеми што стана широко познат е работата на научникот од Багдад од 9 век. Мухамед бин Муса ал-Хваризми. Зборот „ал-џабр“ од арапското име на овој трактат - „Китаб ал-џабер вал-мукабала“ („Книга за реставрација и спротивставување“) - со текот на времето се претвори во добро познатиот збор „алгебра“, а ал- Самата работа на Хваризми послужи како почетна точка во развојот на науката за решавање равенки.

Логаритамски равенки и неравенки

1. Логаритамски равенки

Равенката што содржи непозната под знакот на логаритам или во неговата основа се нарекува логаритамска равенка.

Наједноставната логаритамска равенка е равенка на формата

дневник а x = б . (1)

Изјава 1. Ако а > 0, а≠ 1, равенка (1) за која било реална бима уникатно решение x = а б .

Пример 1. Решете ги равенките:

а) дневник 2 x= 3, б) дневник 3 x= -1, в)

Решение. Користејќи ја изјавата 1, добиваме а) x= 2 3 или x= 8; б) x= 3 -1 или x= 1/3; в)

или x = 1.

Да ги претставиме основните својства на логаритмот.

П1. Основен логаритамски идентитет:

Каде а > 0, а≠ 1 и б > 0.

P2. Логаритмот на производот на позитивните фактори е еднаков на збирот на логаритмите на овие фактори:

дневник а Н 1 · Н 2 = дневник а Н 1 + дневник а Н 2 (а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).


Коментар. Ако Н 1 · Н 2 > 0, тогаш својството P2 добива форма

дневник а Н 1 · Н 2 = дневник а |Н 1 | + дневник а |Н 2 | (а > 0, а ≠ 1, Н 1 · Н 2 > 0).

P3. Логаритмот на количникот на два позитивни броја е еднаков на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот

(а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).

Коментар. Ако

, (што е еквивалентно Н 1 Н 2 > 0) тогаш својството P3 добива форма (а > 0, а ≠ 1, Н 1 Н 2 > 0).

P4. Логаритам на степен позитивен броје еднаков на производот на експонентот и логаритамот на овој број:

дневник а Н к = кдневник а Н (а > 0, а ≠ 1, Н > 0).

Коментар. Ако к- парен број ( к = 2с), Тоа

дневник а Н 2с = 2сдневник а |Н | (а > 0, а ≠ 1, Н ≠ 0).

P5. Формула за преместување во друга база:

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, б ≠ 1, Н > 0),

особено ако Н = б, добиваме

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, б ≠ 1). (2)

Користејќи ги својствата P4 и P5, лесно е да се добијат следните својства

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (3) (а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (4) (а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (5)

и, ако во (5) в- парен број ( в = 2n), се јавува

(б > 0, а ≠ 0, |а | ≠ 1). (6)

Да ги наведеме главните својства на логаритамската функција ѓ (x) = дневник а x :

1. Областа на дефиниција на логаритамска функција е множество од позитивни броеви.

2. Опсегот на вредности на логаритамската функција е збир на реални броеви.

3. Кога а> 1 логаритамска функција строго се зголемува (0< x 1 < x 2 лог а x 1 < logа x 2), и на 0< а < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 лог а x 1 > дневник а x 2).

4.лог а 1 = 0 и лог а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Ако а> 1, тогаш логаритамската функција е негативна кога x(0;1) и позитивен на x(1;+∞), и ако 0< а < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) и негативен во x (1;+∞).

6. Ако а> 1, тогаш логаритамската функција е конвексна нагоре, и ако а(0;1) - конвексен надолу.

Следниве изјави (види, на пример,) се користат при решавање на логаритамски равенки.

Како што знаете, кога се множат изразите со моќи, нивните експоненти секогаш се собираат (a b *a c = a b+c). Овој математички закон бил изведен од Архимед, а подоцна, во 8 век, математичарот Вирасен создал табела со цели броеви експоненти. Токму тие служеа за понатамошно откривање на логаритми. Примери за користење на оваа функција може да се најдат речиси насекаде каде што треба да го поедноставите незгодното множење со едноставно собирање. Ако потрошите 10 минути читајќи ја оваа статија, ќе ви објасниме што се логаритми и како да работите со нив. На едноставен и достапен јазик.

Дефиниција во математиката

Логаритам е израз на следнава форма: log a b=c, односно логаритам на кој било ненегативен број (т.е. кој било позитивен) „b“ до неговата основа „a“ се смета за моќност „c “ на која основата „а“ мора да се подигне за на крајот да се добие вредноста „б“. Да го анализираме логаритамот користејќи примери, да речеме дека има израз log 2 8. Како да го најдеме одговорот? Многу е едноставно, треба да најдете моќност таква што од 2 до потребната моќност ќе добиете 8. Откако ќе направите некои пресметки во вашата глава, го добиваме бројот 3! И тоа е точно, бидејќи 2 на сила од 3 го дава одговорот како 8.

Видови логаритми

За многу ученици и студенти, оваа тема изгледа комплицирана и неразбирлива, но всушност логаритмите не се толку страшни, главната работа е да се разбере нивното општо значење и да се запамети нивните својства и некои правила. Има три одделни видовилогаритамски изрази:

  1. Природен логаритам ln a, каде што основата е Ојлеровиот број (e = 2,7).
  2. Децимална а, каде што основата е 10.
  3. Логаритам од кој било број b до основата a>1.

Секој од нив е решен на стандарден начин, вклучувајќи поедноставување, намалување и последователно намалување на еден логаритам користејќи логаритамски теореми. За да ги добиете точните вредности на логаритмите, треба да ги запомните нивните својства и редоследот на дејства кога ги решавате.

Правила и некои ограничувања

Во математиката има неколку правила-ограничувања кои се прифаќаат како аксиома, односно не се предмет на дискусија и се вистина. На пример, невозможно е да се делат броевите со нула, а исто така е невозможно да се извлече парен корен од негативни броеви. Логаритмите исто така имаат свои правила, според кои можете лесно да научите да работите дури и со долги и обемни логаритамски изрази:

  • Основата „а“ мора секогаш да биде поголема од нула, а не еднаква на 1, во спротивно изразот ќе го изгуби своето значење, бидејќи „1“ и „0“ во кој било степен се секогаш еднакви на нивните вредности;
  • ако a > 0, тогаш a b >0, излегува дека „c“ исто така мора да биде поголемо од нула.

Како да се решат логаритми?

На пример, задачата е да се најде одговорот на равенката 10 x = 100. Ова е многу лесно, треба да изберете моќност со подигање на бројот десет до кој добиваме 100. Ова, се разбира, е 10 2 = 100.

Сега да замислиме овој изразво логаритамска форма. Добиваме лог 10 100 = 2. При решавање на логаритми, сите дејства практично се спојуваат за да се најде моќта до која е потребно да се внесе основата на логаритмот за да се добие даден број.

За точно да ја одредите вредноста на непознат степен, треба да научите како да работите со табела со степени. Изгледа вака:

Како што можете да видите, некои експоненти може да се погодат интуитивно ако имате технички ум и познавање на табелата за множење. Сепак, за поголеми вредности ќе ви треба маса за напојување. Може да се користи дури и од оние кои воопшто не знаат ништо за сложени математички теми. Левата колона содржи броеви (основа а), горниот ред на броеви е вредноста на моќта c до која е подигнат бројот a. На пресекот, ќелиите ги содржат нумеричките вредности кои се одговорот (a c =b). Да ја земеме, на пример, првата ќелија со бројот 10 и да ја квадратиме, ја добиваме вредноста 100, што е означено на пресекот на нашите две ќелии. Сè е толку едноставно и лесно што и највистинскиот хуманист ќе разбере!

Равенки и неравенки

Излегува дека под одредени услови експонентот е логаритам. Затоа, секој математички нумерички израз може да се запише како логаритамска еднаквост. На пример, 3 4 = 81 може да се запише како основен 3 логаритам од 81 еднаков на четири (лог 3 81 = 4). За негативни моќиправилата се исти: 2 -5 = 1/32 го пишуваме како логаритам, добиваме лог 2 (1/32) = -5. Еден од најфасцинантните делови од математиката е темата „логаритми“. Ќе разгледаме примери и решенија на равенки подолу, веднаш по проучувањето на нивните својства. Сега да погледнеме како изгледаат неравенките и како да ги разликуваме од равенките.

Даден е израз на следната форма: log 2 (x-1) > 3 - тоа е логаритамска нееднаквост, бидејќи непознатата вредност „x“ е под знакот на логаритамот. И, исто така, во изразот се споредуваат две величини: логаритамот на саканиот број до основата два е поголем од бројот три.

Најважната разлика помеѓу логаритамските равенки и неравенките е тоа што равенките со логаритми (на пример, логаритамот 2 x = √9) подразбираат еден или повеќе конкретни одговори. нумерички вредности, додека при решавањето неравенките се дефинираат како регион прифатливи вредности, и точките на прекин на оваа функција. Како последица на тоа, одговорот не е едноставно збир на поединечни броеви, како во одговорот на равенката, туку континуирана серија или збир на броеви.

Основни теореми за логаритми

При решавање на примитивни задачи за пронаоѓање на вредностите на логаритамот, неговите својства можеби не се познати. Меѓутоа, кога станува збор за логаритамски равенки или неравенки, пред сè, потребно е јасно да се разберат и да се применат во пракса сите основни својства на логаритмите. Подоцна ќе разгледаме примери на равенки, ајде прво да го разгледаме секое својство подетално.

  1. Главниот идентитет изгледа вака: a logaB =B. Се применува само кога a е поголемо од 0, не е еднакво на еден, а B е поголемо од нула.
  2. Логаритмот на производот може да се претстави во следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Во овој случај, задолжителен услов е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказ за оваа логаритамска формула, со примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, потоа a f1 = s 1, a f2 = s 2. Добиваме дека s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (својства на степени ), а потоа по дефиниција: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, што требаше да се докаже.
  3. Логаритмот на количникот изгледа вака: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Теоремата во форма на формула зазема следен поглед: log a q b n = n/q log a b.

Оваа формула се нарекува „својство на степенот на логаритам“. Наликува на својствата на обичните степени и не е изненадувачки, бидејќи целата математика се заснова на природни постулати. Да го погледнеме доказот.

Нека log a b = t, излегува a t =b. Ако двата дела ги подигнеме до моќноста m: a tn = b n ;

но бидејќи a tn = (a q) nt/q = b n, затоа log a q b n = (n*t)/t, тогаш log a q b n = n/q log a b. Теоремата е докажана.

Примери на проблеми и нееднаквости

Најчестите типови на проблеми на логаритми се примери на равенки и неравенки. Ги има во речиси сите проблематични книги, а се задолжителен дел и од испитите по математика. За да влезете на универзитет или да положите приемни испити по математика, треба да знаете како правилно да ги решите таквите задачи.

За жал, не постои единствен план или шема за решавање и утврдување непозната вредностНе постои такво нешто како логаритам, но одредени правила може да се применат на секоја математичка неравенка или логаритамска равенка. Пред сè, треба да откриете дали изразот може да се поедностави или да доведе до општ изглед. Поедноставете ги долгите логаритамски изразиможно ако правилно ги користите нивните својства. Ајде брзо да ги запознаеме.

Кога решаваме логаритамски равенки, мора да одредиме каков тип на логаритам имаме: примерен израз може да содржи природен логаритам или децимален.

Еве примери ln100, ln1026. Нивното решение се сведува на фактот дека тие треба да ја одредат моќноста на која основата 10 ќе биде еднаква на 100 и 1026, соодветно. За решенија природни логаритмитреба да аплицирате логаритамски идентитетиили нивните својства. Ајде да погледнеме примери за решавање на логаритамски проблеми од различни типови.

Како да користите логаритамски формули: со примери и решенија

Значи, ајде да погледнеме примери за користење на основните теореми за логаритми.

  1. Својството на логаритмот на производот може да се користи во задачи каде што е потребно да се разложи голема вредност на бројот b на поедноставни фактори. На пример, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Одговорот е 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - како што можете да видите, користејќи го четвртото својство на логаритамската моќ, успеавме да решиме навидум сложен и нерешлив израз. Треба само да ја факторингирате основата и потоа да ги извадите вредностите на експонентот од знакот на логаритамот.

Задачи од Единствен државен испит

Логаритмите често се среќаваат на приемните испити, особено многу логаритамски проблеми на Единствениот државен испит (државен испит за сите матуранти). Вообичаено, овие задачи се присутни не само во делот А (најлесниот тест дел од испитот), туку и во делот В (најсложените и најобемните задачи). Испитот бара точни и совршено знаењетеми „Природни логаритми“.

Примери и решенија за проблемите се земени од официјални Опции за обединет државен испит. Ајде да видиме како се решаваат ваквите задачи.

Даден е лог 2 (2x-1) = 4. Решение:
ајде да го преработиме изразот, поедноставувајќи го малку log 2 (2x-1) = 2 2, со дефиниција на логаритамот добиваме дека 2x-1 = 2 4, значи 2x = 17; x = 8,5.

  • Најдобро е да ги намалите сите логаритми на иста основа за решението да не биде гломазно и збунувачки.
  • Сите изрази под знакот логаритам се означени како позитивни, затоа, кога експонентот на изразот што е под знакот логаритам и како негова основа се извади како множител, изразот што останува под логаритам мора да биде позитивен.