главниот > Растенија > Како да се одреди најголемата и најмалата вредност на функцијата. Најголема и најмала вредност на функцијата


Како да се одреди најголемата и најмалата вредност на функцијата. Најголема и најмала вредност на функцијата




Во оваа статија, јас ќе ви кажам како да ја применам способноста да пронајдете функции: да ја пронајдете својата најголема или најмала вредност. И тогаш ќе решиме неколку задачи од задачата Q15 од отворената банка на задачи.

Како и обично, прво се сеќавам на теоријата.

На почетокот на секое истражување, го наоѓате

За да ја пронајдете најголемата или најмалата вредност на функцијата, треба да истражите, во кои периоди функцијата се зголемува, а во што се намалува.

За да го направите ова, неопходно е да се најде деривативна функција и да се истражат нејзините интервали на усогласувањето, односно празнините на кои дериватот заштедува знак.

Пробрзото на кое деривативната функција е позитивна, се празнини на зголемување на функцијата.

Распоредите на кои деривативната функција е негативна, се празнини на намалување на функцијата.

еден. Јас ќе ја реши задачата B15 (№ 245184)

За да го решиме, ќе го следиме алгоритмот:

а) Најдете ја областа за дефинирање на полето

б) Најдете деривативна функција.

в) изедначувајте го на нула.

г) ги наоѓаме интервалите на функциите на функцијата.

д) Ќе најдеме точка во која функцијата ја зема најголемата вредност.

д) ја наоѓаме вредноста на функцијата во овој момент.

Јас кажувам детално решение за оваа задача на видео јазикот:

Веројатно вашиот прелистувач не е поддржан. За да го користите симулаторот за вежбање, обидете се да го преземете
Firefox.

2. Јас ќе ја реши задачата B15 (№282862)

Најди ја најголемата вредност на функцијата На намалување

Очигледно, најголема вредност на сегментот Функцијата трае во максимална точка на x \u003d 2. Пронајдете ја функцијата на функцијата во овој момент:

Одговор: 5.

3. Јас ќе ја реши задачата B15 (№245180):

Најди ја најголемата вредност на функцијата

1. Наслов \u003d "(! Ланг: ln5\u003e 0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Бидејќи на дефиницијата област на оригиналната функција наслов \u003d "(! Ланг: 4-2x-x ^ 2\u003e 0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Бројот е нула. Проверете дали спаѓаат функциите на OTZ. За да го направите ова, проверете дали состојбата е наслов \u003d "(! Ланг: 4-2x-x ^ 2\u003e 0"> при .!}

Наслов \u003d "4-2 (-1) - ((- 1)) ^ 2\u003e 0"\u003e

тоа значи дека поентата му припаѓа ...

Истражете го знакот на дериватот на десната страна и лево од точката:

Гледаме дека најголемата вредност ја зема функцијата во точка. Сега најдете вредност на функцијата на:

Забелешка 1. Забележете дека во овој проблем не ја пронајдовме областа за дефинирање на полето: Ние само ги утврдивме ограничувањата и проверивме дали поентата во која дериватот е еднаква на областите за дефинирање на нулта функција. Оваа задача беше доволна. Сепак, тоа не се случува не секогаш. Тоа зависи од задачата.

Забелешка 2. Во проучувањето на однесувањето на комплексната функција, можете да го користите таквото правило:

  • ако надворешната функција на сложената функција се зголемува, функцијата ја зема највисоката вредност во иста точка во која внатрешната функција ја зема најголемата вредност. Ова произлегува од дефинирањето на функцијата за зголемување: функцијата се зголемува во интервалот I, ако поголемата вредност на аргументот од овој јаз одговара на поголемата вредност на функцијата.
  • ако надворешната функција на сложената функција се намалува, тогаш функцијата ја зема највисоката вредност во иста точка во која внатрешната функција ја зема најмалата вредност . Ова произлегува од определувањето на функцијата за намалување: функцијата се намалува во интервалот I, ако поголемата вредност на аргументот од овој јаз кореспондира со помалата вредност на функцијата

Во нашиот пример, надворешната функција - се зголемува во текот на одредената дефиниција. Под знакот на логаритмот постои израз - квадратни тријл, кој со негативен висок коефициент, ја зема најголемата вредност во точка . Следно, ја заменуваме оваа вредност X во функционалната равенка И ние ја наоѓаме најголемата вредност.

Нека функцијата y \u003d.ф. (x) Континуирано на сегментот [ а, Б.]. Како што е познато, оваа функција на овој сегмент достигнува најголеми и најмали вредности. Овие вредности функција може да се земе или во внатрешната точка на сегментот [ а, Б.], било на границата на сегментот.

За да ги пронајдете најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегментот [ а, Б.] Потребно:

1) Најди ги функциите на критичните точки во интервалот ( а, Б.);

2) пресметајте ги вредностите на функцијата во пронајдените критични точки;

3) Пресметајте ги вредностите на функцијата на краевите на сегментот, тоа е, кога x.= Но, и x \u003d Б.;

4) од сите пресметани вредности на функцијата за избор на најголеми и најмали.

Пример. Најди ги најголемите и најмалите вредности на функцијата

на сегментот.

Ние наоѓаме критични точки:

Овие точки лежат во сегментот; y.(1) = ‒ 3; y.(2) = ‒ 4; y.(0) = ‒ 8; y.(3) = 1;

во точка x.\u003d 3 и во моментот x.= 0.

Истражување на функцијата на Purge и флексија точка.

Функција y. = ф. (x.) повикан зграда Во интервалот (a., б.) Ако нејзиниот распоред лежи под тангента, потрошени во било која точка на овој јаз, и се нарекува конвексен надолу (конкавна)Ако нејзиниот распоред лежи на тангента.

Поентата кога се префрла преку која булбус се заменува со конкретноста или обратно, наречен точка на флексија.

Алгоритам за истражување на POURGE и INFLACTION POINT:

1. Најди ги критичните точки од вториот вид, односно поени во кои вториот дериват е нула или не постои.

2. Нанесете критични точки на нумеричкото право, кршејќи го во празнините. Најдете знак на вториот дериват во секој интервал; Ако функцијата е конвексна, ако функцијата е конвексна надолу.

3. Ако при префрлувањето на критичната точка од вториот вид ќе го промените знакот и во овој момент вториот дериват е нула, тогаш оваа точка е абсциса на точка на флексија. Најдете ја координат.

Графичка графичка графика. Функција за истражување на асимптоти.

Дефиниција.Асимптотата графичка функција се нарекува директно, Имајќи го имотот дека растојанието од било која точка на распоред на ова директно се стреми кон нула со неограничено отстранување на точка на распоред од потеклото.

Постојат три вида на асимптоти: вертикална, хоризонтална и склона.

Дефиниција. Директно повикано вертикална Asimptota.функција графика y \u003d f (x)Ако барем еден од едностраните граници на функцијата во овој момент е бесконечност, тоа е

каде е точката за кршење на функцијата, односно припаѓа на одредената дефиниција.

Пример.

D ( y.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x.\u003d 2 - точка на јазот.

Дефиниција.Директно y \u003d.A. Повикан хоризонтална асимптота Функција графика y \u003d f (x) Кога, ако

Пример.

x.

y.

Дефиниција.Директно y \u003d.к.x +.б. (к.≠ 0) наречен склони Asymptoto. Функција графика y \u003d f (x) каде

Општа шема за истражување на функции и градење на графикони.

Функција истражувачки алгоритамy \u003d f (x) :

1. Најдете ја областа за дефинирање на полето Д. (y.).

2. Најдете (ако е можно) точка на пресек на графикот со оските на координатите (кога x. \u003d 0 и. y. = 0).

3. Истражете ја паритетот и чудноста на функцијата ( y. (‒ x.) = y. (x.) ‒ паритет; y.(‒ x.) = ‒ y. (x.) ‒ точност).

4. Најди ги асимптоти на функцијата графика.

5. Најди ги мононичките интервали на функцијата.

6. Најдете екстремни функции.

7. Најдете интервали на конвексност (конкретна) и точки на флексија на графика на функцијата.

8. Врз основа на студиите спроведени за изградба на распоред на функцијата.

Пример.Истражете ја функцијата и изградете го распоредот.

1) Д. (y.) =

x. \u003d 4 - јаз точка.

2) за x. = 0,

(0; - 5) - точка на пресек со ој..

Зашто y. = 0,

3) y.(‒ x.)= Функцијата на општата форма (ниту ниту непарлива).

4) Истражување на асимптоти.

а) вертикална

б) хоризонтално

в) наоѓаме склони асимптоти каде

-Безацијата на наклонети асимптоти

5) Оваа равенка не бара интервал на монони.

6)

Овие критични точки го поделија целото поле за одредување на функцијата во интервалот (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; + ∞). Добиените резултати се погодно поднесени во форма на следната табела.

И за решавање на тоа ќе бара минимално познавање на темата. Друга академска година завршува, секој сака да се скрши на одмор, и да го доведе овој момент да го донесе овој момент, веднаш се сврти кон случајот:

Да почнеме со областа. Чија површина е потрошена во состојбата е ограничено затворено Многу точки на авионот. На пример, збир на точки ограничени со триаголник, вклучувајќи го и целиот триаголник (Ако затоа што граници "Да се \u200b\u200bкупи" најмалку една точка, регионот ќе престане да биде затворен). Во пракса, постојат и области на правоаголни, кружни и малку посложени форми. Треба да се напомене дека постојат строги дефиниции во теоријата на математичката анализа. ограничувања, спојувања, граници, итн.Но, мислам дека секој е свесен за овие концепти на интуитивно ниво, и повеќе и сега не.

Рамен простор е стандардно означен со писмото, а по правило, е поставено аналитички - неколку равенки (не е задолжително линеарно); Помалку често нееднаквости. Типичен вербален промет: "Затворена површина ограничена од линии".

Интегрален дел од задачата што се разгледува е да се изгради областа во цртежот. Како да го направите тоа? Треба да ги исцртате сите наведени линии (во овој случај 3 директно) И анализирајте што се случило. Посакуваната област обично е малку галерија, а нејзината граница се одликува со задебелени букви:


Истата област може да се постави и линеарни нееднаквости: дека поради некоја причина почесто пишуваат со листа на транзиција, а не систем.
Бидејќи границата му припаѓа на регионот, тогаш сите нееднаквости, се разбира, neztreat..

И сега суштината на задачата. Замислете дека од почетокот на координатите, оската оди директно. Размислете за функцијата континуирано во секое Точка на регионот. Распоредот на оваа функција е некои површинаИ малку среќа е дека за решавање на денешната задача, воопшто не треба да знаеме како изгледа оваа површина. Може да се стави погоре, подолу, преминете го авионот - сето ова не е важно. И следново е: според weierstrass теореми, континуирано внатре ограничен затворенобласти на функцијата достигнува најголема ("Висока") И најмалиот ("Низок") Вредностите кои се потребни за да се најдат. Таквите вредности се постигнуваат или внатре стационарни поени, во сопственост на областиД. , иливо точки кои лежат на границата на оваа област. Што следи едноставен и транспарентен алгоритам за решение:

Пример 1.

Во ограничена затворена област

Одлука: Прво, треба да ја прикажете областа во цртежот. За жал, технички е тешко за мене да направам интерактивен модел на задачата, и затоа веднаш ќе ја дадам конечната илустрација, што ги покажува сите "сомнителни" поени пронајдени за време на студијата. Обично тие се ставени еден од другиот, бидејќи тие се откриени:

Врз основа на преамбулата, решението е погодно да се пресече две точки:

I) Најдете стационарни поени. Ова е стандардно дејство кое постојано го изведовме на лекцијата. за крајности на неколку променливи:

Пронајдена стационарна точка припаѓа Области: (Го прославуваме во цртежот)Значи, треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во овој момент:

- Како и во статијата Најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегментотВажни резултати Јас ќе го нагласам задебелен фонт. Во лаптопот тие се погодни за заокружување на молив.

Обрнете внимание на нашата втора среќа - не постои точка во проверка доволна состојба на екстремниот. Зошто? Дури и ако функцијата достигне функција, на пример, локален минимумТогаш тоа не значи дека добиената вредност ќе биде минимално Во целата област (види го почетокот на лекцијата на безусловни екстреми) .

Што ако стационарната точка не припаѓа на регионот? Речиси ништо! Треба да се напомене дека и да оди на следната ставка.

(Ii) Истражувајте ја границата на регионот.

Бидејќи границата се состои од страните на триаголникот, тогаш студијата е погодна за поделба на 3 потставови. Но, подобро е да се направи тоа не ababa како. Од моја гледна точка, прво е поповолна да се разгледаат паралелите паралелно со координатните оски, а пред сè - лежат на самите оски. За да се фати целата секвенца и логика на дејства, обидете се да го научите крај "во еден здив":

1) Ние ќе се занимаваме со долната страна на триаголникот. За да го направите ова, ние ќе го замениме директно на функцијата:

Алтернативно, можете да организирате и така:

Геометриски, ова значи дека координатната рамнина (кој исто така е поставен со равенката) "Крви" од површина "Просторна" парабола, чија темето веднаш паѓа под сомнение. Пронајди каде што се наоѓа:

- Резултирачката вредност "хит" во областа, и можеби е тоа што во точка (слави во цртежот) Функцијата достигнува најголема или најмала вредност во целата област. Како и да е, изврши пресметка:

Другите "кандидати" се, се разбира, краевите на сегментот. Пресметајте ги вредностите на функцијата на точки (слави во цртежот):

Овде, патем, можете да извршите орална мини-проверка на верзијата "скратена":

2) За изучување на десната страна на триаголникот, ја заменуваме функцијата и "нарачате таму":

Тука веднаш изврши нацрт проверка, "прекарот" на крајот на сегментот е веќе третиран:
, Па.

Геометриската ситуација е поврзана со претходната ставка:

- Резултирачката вредност "влезе во сферата на нашите интереси", што значи дека е неопходно да се пресмета она што е еднакво на функцијата во точката што се појавува:

Ние го истражуваме вториот крај на сегментот:

Користејќи функција , Изврши проверка:

3) Веројатно сите се погодуваат како да го истражат останатите. Ние ја заменуваме функцијата и правиме поедноставувања:

Краеви на сече веќе истражени, но на нацртот сеуште проверува дали ја пронајдовме функцијата правилно :
- се совпадна со резултат на 1-виот потстав;
- се совпадна со резултатот од вториот потстав.

Останува да дознаете дали има нешто интересно во сегментот:

- ете го! Замена на линијата на равенката, ние го добиваме коранот на овој "интерес":

Ние ја одбележуваме точката во цртежот и ја наоѓаме соодветната вредност на функцијата:

Проверете ги пресметките за верзијата "Буџет" :
, со цел.

И последниот чекор: Внимателно погледнете ги сите "масни" броеви, кои почнуваат да препорачуваат дури и за да компајлираат една листа:

Од кои избираме најголеми и најмали значења. Одговор Ние пишуваме во стилот на задачата да останеме најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегментот:

Само во случај, уште еднаш коментира за геометриското значење на резултатот:
- Еве ја највисоката површина во областа;
- Тука е најниската точка на површината во областа.

Во расклопната задача, веќе откривме 7 "сомнителни" поени, но од задачата на задачата, нивниот број варира. За триаголната област, минимум "истражувачки сет" се состои од три точки. Ова се случува кога функцијата, на пример, прашува рамнина - Апсолутно е јасно дека стационарните поени се отсутни, а функцијата може да ги постигне најголемите / најмалите вредности само во темињата на триаголникот. Но, таквите примери еднаш, два и се свртеа - обично треба да се справат со некои површината на вториот ред.

Ако направите такви задачи малку, тогаш од триаголниците главата може да оди наоколу, и затоа јас сум подготвен за вас необични примери, така што станува квадратни :))

Пример 2.

Најди ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворени површини ограничени линии

Пример 3.

Најди ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во ограничена затворена површина.

Обрнете посебно внимание на рационалниот редослед и техника на проучување на границите на регионот, како и на синџирот на средни проверки, што речиси апсолутно ќе овозможи да се избегнат грешките на компјутерите. Општо земено, можете да ги решите како што сакате, но во некои задачи, на пример, во истиот пример 2, постојат сите шанси за значително да го комплицираат вашиот живот. Пример примерок од завршни задачи на крајот на лекцијата.

Ние систематизираат алгоритам на решението, а потоа со мојата трудољубивост на пајакот, тој некако се изгуби во долгите коменти на 1-виот пример:

- Во првиот чекор градиме област, пожелно е да се тресат, а границата е да ја нагласи задебелената линија. За време на решението, поени ќе се инсталираат во цртежот.

- Најдете стационарни поени и пресметајте ги вредностите на функцијата само во оние од нивкои припаѓаат на областа. Добиените вредности се одделени во текстот (на пример, снабдување со молив). Ако стационарната точка не припаѓа на регионот, тогаш го славиме овој факт или вербално. Ако воопшто нема стационарни поени, тогаш правиме писмен заклучок дека тие недостасуваат. Во секој случај, оваа ставка не може да се прескокне!

- Истражете ја границата на регионот. Прво, тоа е поволно да се справи со право, кои се паралелни со координатните оски (Ако има). Вредностите на функцијата пресметана во "сомнителните" поени исто така издвојуваат. За техниката на решенија е многу кажано погоре и нешто друго ќе се каже подолу - Прочитајте, повторно прочитајте го!

- Од избраните броеви, одберете ги најголемите и најмалите вредности и дајте одговор. Понекогаш се случува таквите вредности функција да стигнат до неколку точки - во овој случај сите овие точки треба да се рефлектираат во одговорот. Нека, на пример, И се покажа дека ова е најмалото значење. Потоа запишете го тоа

Конечните примери се посветени на други корисни идеи кои ќе бидат корисни во пракса:

Пример 4.

Најди ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворена област .

Ја задржав формулацијата на авторските права во кои е поставен регионот во форма на двојна нееднаквост. Оваа состојба може да се сними со еквивалентен систем или во повеќе традиционална форма за оваа задача:

Ве потсетувам дека со нелинеарни Нееднаквости на кои наидовме, и ако не го разбирате геометриското значење на евиденцијата, тогаш ве молиме не го одложувајте и разјаснете ја ситуацијата во моментов ;-)

ОдлукаКако и секогаш, започнува со изградбата на регионот, што е еден вид "единствен":

Хм, понекогаш мора да грицкам не само гранит наука ....

I) Најди ги стационарни точки:

Систем сон на идиот :)

Стационарната точка припаѓа на регионот, имено, лежи на нејзината граница.

И така, тоа, ништо ... лекцијата отиде да оди - тоа е она што значи да се пие вистинскиот чај \u003d)

(Ii) Истражувајте ја границата на регионот. Без каустав, започнуваме со Abscissa Axis:

1) Ако, тогаш

Ќе најдеме каде што е врвот на Парабола:
- Цени ги таквите моменти - "доби" директно до точка со која сè е веќе јасно. Но, сеуште не заборавајте за проверка:

Ги пресметуваме вредностите на функцијата на краевите на сегментот:

2) Со дното на "стапалата" ќе се разбере "за една седница" - без никакви комплекси што ги заменуваме за да функционираме, и ние само ќе бидеме заинтересирани за сегментот:

Контрола:

Ова веќе придонесува за некое преродба во монотоно возење во валаната рутина. Најдете критични точки:

Одлучи квадратна равенка, се сеќавам за такви? ... Сепак, се сеќавам, се разбира, во спротивно тие не би ги прочитале овие линии \u003d) ако во двата претходни примери имало погодни пресметки во децималните фракции (кои, патем, реткост), тука ќе го чекаме вообичаеното обични фракции. Ние ги наоѓаме корените "ICX" и со равенката, ги дефинираме соодветните "игнорирани" координати на точките "кандидати":


Пресметајте ги функциите на функцијата на пронајдени точки:

Наведете ја функцијата сами.

Сега внимателно ги проучувајте освоените трофеи и запишете одговор:

Ова се "кандидати", па "кандидати"!

За самоуправување:

Пример 5.

Најди ги најмалите и најголемите вредности на функцијата Во затворена област

Снимањето со фигурирани загради се чита вака: "Многу поени, како што се".

Понекогаш во такви примери користат lagrange Multiplier методНо, вистинската потреба да се примени е малку веројатно да се појави. На пример, ако функцијата е дадена со истата област "де", а потоа по замена во него - со дериват на какви било тешкотии; И тоа е изготвено со "една линија" (со знаци), без потреба да се разгледа горниот и долниот дел на полукругот одделно. Но, се разбира, постојат потешки случаи каде без функцијата Lagrange (Каде, на пример, истата равенка на обемот) Тешко е да се направи без него - колку е тешко да се направи без добар одмор!

Секој е добро да ја помине сесијата наскоро состаноците следната сезона!

Решенија и одговори:

Пример 2: Одлука: Прикажи област во цртежот:

Ајде да видиме како да ја истражиме функцијата користејќи го графиконот. Излезе дека го погледна распоредот, можете да дознаете сè што нè интересира, имено:

  • област за дефинирање на функцијата
  • функција вредности област
  • нулта функција
  • празнини на зголемување и опаѓање
  • максимални и минимални поени
  • најголемата и најмала вредност на функцијата на сегментот.

Појаснување на терминологијата:

Абсциса - Ова е координатот на хоризонталната точка.
Ордирај - Вертикална координација.
Axis Abscissa. - Хоризонтална оска, најчесто наречена оската.
Оска ордирај - Вертикална оска, или оска.

Аргумент - независна променлива на која зависи вредностите на функцијата. Најчесто е наведено.
Со други зборови, ние самите избираме, ја заменуваме функцијата во формулата и добивам.

Домен Функциите се збир на оние (и само оние) на вредностите на аргументот, во кои функцијата постои.
Назначен: или.

Во нашата фигура, областа за дефинирање на поле е сегмент. Во овој сегмент е нацртана функција. Само тука оваа функција постои.

Функција вредности област - Ова е збир на вредности кои ја земаат променливата. Во нашата фигура тоа е сегмент - од најниската до највисока вредност.

Нулта функција - точки каде вредноста на функцијата е нула, тоа е. На нашиот цртеж е поени и.

Вредностите на функцијата се позитивни каде. Во нашиот цртеж, ова се празнини и.
Вредностите на функцијата се негативни каде. Ние го имаме овој јаз (или интервал) од до.

Најважните концепти - растечки и намалување на функцијата Во некои сетови. Можете да земете сегмент, интервал, интеграција на празнините или целиот нумерички директно.

Функција се зголемува

Со други зборови, толку повеќе, колку е, распоредот оди на десно и нагоре.

Функција намалување На собата, ако за било кој и во сопственост на сетот, нееднаквоста ја следи нееднаквоста.

За намалување на функцијата, поголема вредност одговара на помала вредност. Распоредот оди на десно и надолу.

Во нашата фигура, функцијата се зголемува на интервалот и се намалува во интервали и.

Ние дефинираме што ( максимална точка и минимална функција.

Максимална точка - Ова е внатрешната точка на областа за дефинирање, така што вредноста на функцијата во него е поголема отколку во сите точки блиску до него.
Со други зборови, максималната точка е таква точка, вредноста на функцијата во која повеќеотколку во соседот. Ова е локален "Холмик" на табелата.

Во нашиот цртеж - точка на максимум.

Точка на минимум - Внатрешната точка на областа за дефинирање, така што вредноста на функцијата во неа е помала отколку во сите точки блиску до него.
Тоа е, минимална точка е таква што вредноста на функцијата во неа е помалку отколку во соседните. На распоредот тоа е локална "Fossa".

Во нашиот цртеж - минимална точка.

Точката е граница. Тоа не е внатрешна точка на дефиницијата област и затоа не одговара на дефиницијата за максимална точка. Впрочем, таа нема соседи од лево. Слично на тоа, на нашиот распоред не може да има точка на минимум.

Се нарекуваат максимални и минимални точки точки на екстремната функција. Во нашиот случај, тоа е.

И што да правам ако треба да најдете, на пример, минимална функција На сегментот? Во овој случај, одговорот :. Затоа што минимална функција - Ова е неговата вредност во минимална точка.

Слично на тоа, максимумот од нашата функција е еднаков. Таа се постигнува во моментот.

Може да се каже дека екстремитетите на функцијата се еднакви и.

Понекогаш во задачи што треба да ги најдете најголемите и најмалите вредности на функцијата На одреден сегмент. Тие не мора да се совпаѓаат со крајности.

Во нашиот случај најмалото значење на функцијата На сегментот е еднакво и се совпаѓа со минималната функција. Но, нејзината најголема вредност на овој сегмент е еднаква. Таа се постигнува во левиот крај на сегментот.

Во секој случај, најголемите и најмалите вредности на континуираната функција на сегментот се постигнуваат или во екстремитети точки, или на краевите на сегментот.


Изјава за проблем 2:

Дана функција, дефинирана и континуирана во некои интервал. Потребно е да се најде најголема (најмала) вредност на функцијата во овој интервал.

Теоретска основа.
Теорема (втор теорема на weiersstrass):

Ако функцијата е одредена и континуирана во затворен јаз, тогаш ги достигнува своите најголеми и најмали вредности.

Функцијата може да ги достигне своите најголеми и најмали вредности или на внатрешните точки на јазот, или на нејзините граници. Ние ќе ги илустрираме сите можни опции.

Објаснување:
1) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност на левата граница на јазот во моментот, а нејзината најмала вредност на десната граница на јазот во точка.
2) Функцијата достигнува највисока вредност во точка (ова е максимална точка), а нејзината најмала вредност на вистинската граница на јазот во точка.
3) Функцијата достигнува највисока вредност на левата граница на јазот во моментот, а нејзината најмала вредност во точка (ова е минимална точка).
4) Функцијата е константна во интервалот, т.е. Таа достигнува минимална и максимална вредност во која било точка на јазот, а минималните и максималните вредности се еднакви на едни со други.
5) Функцијата достигнува највисока вредност во точка и нејзината најмала точка вредност (и покрај фактот дека функцијата ја има во овој јаз максимум и барем).
6) Функцијата достигнува највисока вредност во точка (ова е максимална точка), а нејзината најмала вредност во точка (ова е минимална точка).
Коментар:

"Максимум" и "максимално значење" - различни работи. Ова произлегува од утврдувањето на максималното и интуитивното разбирање на фразата "максимално значење".

Алгоритам за решавање на проблемите 2.



4) Изберете од повеќето вредности на најголемите (најмали) и запишете го одговорот.

Пример 4:

Определете ја најголемата и најмала функција На сегментот.
Одлука:
1) Најдете изведена функција.

2) Најдете стационарни поени (и поени, сомнителни за екстремниот), решавање на равенката. Обрнете внимание на поени во кои не постои двострани конечни деривати.

3) Пресметајте ги вредностите на функцијата во стационарни точки и на интервалните граници.



4) Изберете од повеќето вредности на најголемите (најмали) и запишете го одговорот.

Функцијата на овој сегмент достигнува највисока вредност во точка со координати.

Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата најмала вредност во моментот со координатите.

Во точноста на пресметките, можете да бидете сигурни дека ќе го разгледате распоредот на функцијата во студијата.


Коментар: Најголемата вредност достигнува максимум во точка, а најмалата е на намалената граница.

Приватен случај.

Да претпоставиме дека треба да ја пронајдете најмногу и минималната вредност на некоја функција на сегментот. По првата точка на алгоритмот, јас.e. Пресметката на дериватот станува јасно дека, на пример, потребни се само негативни вредности на целиот сегмент. Запомнете дека ако дериватот е негативен, тогаш функцијата се намалува. Добиле дека функцијата се намалува на целиот сегмент. Оваа ситуација се прикажува во графиконот број 1 на почетокот на статијата.

На сегментот, функцијата се намалува, т.е. Таа нема никакви крајности. Од сликата можете да видите дека најмалата вредност на функцијата ќе ја преземе вистинската граница на сегментот, а најголемата вредност е лево. Ако дериватот на сегментот е позитивен насекаде, тогаш функцијата се зголемува. Најмалото значење е на левата граница на сегментот, најголем - на десната страна.