§2. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.
Тип задания: 18
Условие
При каких значениях параметра a неравенство
\log_{5}(4+a+(1+5a^{2}-\cos^{2}x) \cdot \sin x - a \cos 2x) \leq 1 выполняется при всех значениях x ?
Показать решениеРешение
Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^{2}x-1) \leq 5 .
Пусть \sin x=t , тогда получим неравенство:
4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , которое должно выполняться при всех значениях -1 \leq t \leq 1 . Если a=0 , то неравенство (*) выполняется для любого t\in [-1;1] .
Пусть a \neq 0 . Функция f(t)=t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t возрастает на промежутке [-1;1] , так как производная f"(t)=3t^{2}+4at+5a^{2} > 0 при всех значениях t \in \mathbb{R} и a \neq 0 (дискриминант D < 0 и старший коэффициент больше нуля).
Неравенство (*) будет выполняться для t \in [-1;1] при условиях
\begin{cases} f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} -1+2a-5a^{2} > -4, \\ 1+2a+5a^{2} \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} 5a^{2}-2a-3 < 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac{2}{5} \leq a < 0 .
Итак, условие выполняется при -\frac{2}{5} \leq a \leq 0 .
Ответ
\left [ -\frac{2}{5}; 0 \right ]
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 18
Тема:
Неравенства с параметром
Условие
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство
x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a
имеет единственное решение.
Показать решениеРешение
Неравенство равносильно совокупности систем неравенств
\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x
В системе координат Oxa построим графики функций a=x, a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x.
Полученной совокупности удовлетворяют точки, заключенные между графиками функций a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x на промежутке x\in (заштрихованная область).
По графику определяем: исходное неравенство имеет единственное решение при a=-4 и a=5 , так как в заштрихованной области будет единственная точка с ординатой a , равной -4 и равной 5.
Предварительный просмотр:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОУ НПО профессиональное училище № 37
ПРОЕКТ:
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»
Выполнила –
Мацук Галина Николаевна,
Преподаватель математики ГОУ НПО
профессионального училища № 37 МО.
Г.Ногинск, 2011
1. Введение
4. Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами в общем виде.
7. Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.
8.Заключение.
9.Литература.
- Введение.
Основная задача обучения математике в профессиональном училище заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточной высокой математической культуры.
Профилированное обучение математике осуществляется через решение задач прикладного характера, связанных с профессиями по металлообработке, электромонтажным работам, деревообработке. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля общения, проявляющегося в определенных умственных навыках. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью. С их помощью можно проверить знания основных разделов элементарной математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской работы.
Обучение задачам с параметрами требует от обучающихся больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд. Задачи с параметрами ориентированы для изучения во время обобщающего повторения на 2 курсе в период подготовки к итоговой государственной аттестации и на 3 курсе на дополнительных занятиях при подготовке обучающихся, изъявивших желание сдавать выпускные экзамены в форме ЕГЭ.
Основным направлением модернизации математического образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение ЕГЭ. В заданиях по математике в последние годы вводятся задачи с параметрами. Обязательны такие задания на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких задач очень актуально, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления абитуриента. Анализ предыдущих результатов ЕГЭ за несколько предыдущих лет показывает, что выпускники с большим трудом решают такие задания, а многие даже не приступают к ним. Большинство либо вовсе не справляются с такими заданиями, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в проведении в выпускных группах при подготовке к экзаменам специальных тем по решению задач с параметрами и задач прикладного характера, связанных с профессиональной направленностью.
Изучение данных тем предназначено для обучающихся 3 курса, которые хотят научиться способам решения задач повышенного уровня сложности по алгебре и началам анализа. Решение таких задач вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
В процессе решения задач с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Так как в учебном плане в профессиональных училищах предусмотрено проведение консультаций по математике, которые имеются в расписании учебных занятий, то для обучающихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью поступление в вуз, целесообразно использовать указанные часы для решения задач с параметрами для подготовки к олимпиадам, математическим конкурсам, различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Особенно актуально решение таких задач для прикладного и практического характера, которое поможет при проведении различных исследований.
2. Цели, основные задачи, методы, технологии, требования к знаниям.
Цели проекта:
- Формирование умений и навыков по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратных уравнений и неравенств.
- Формирование интереса к предмету, развитие математических способностей, подготовка к ЕГЭ.
- Расширение математических представлений о приемах и методах решения уравнений и неравенств.
- Развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности.
- Приобщение к творческой, исследовательской и познавательной деятельности.
- Обеспечение условий для самостоятельной творческой работы.
- Воспитание у обучающихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, активности, творческой инициативы, умений коллективно-познавательного труда.
Основные задачи проекта:
- Предоставить обучающимся возможность реализовать свой интерес к математике и индивидуальные возможности для его освоения.
- Способствовать усвоению фактических знаний и умений.
- Показать практическую значимость задач с параметрами в сфере прикладного исследования.
- Научить способам решения стандартных и нестандартных уравнений и неравенств.
- Углубить знания по математике, предусматривающие формирование устойчивого интереса к предмету.
- Выявить и развить математические способности обучающихся.
- Обеспечить подготовку к поступлению в вузы.
- Обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
- Организовать исследовательскую и проектную деятельность, способствующую развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств.
Методы, используемые при проведении занятий:
- Лекция – для передачи теоретического материала, сопровождающаяся беседой с обучающимися.
- Семинары – для закрепления материла по обсуждению теории.
- Практикумы – для решения математических задач.
- Дискуссии – для аргументации вариантов своих решений.
- Различные формы групповой и индивидуальной деятельности.
- Исследовательская деятельность, которая организуется через: работу с дидактическим материалом, подготовку сообщений, защиту рефератов и творческих работ.
- Лекции – презентации с использованием компьютера и проектора.
Используемые технологии:
- Лекционно-семинарская система обучения.
- Информационно-коммуникационные технологии.
- Исследовательский метод в обучении, направленный на развитие мыслительных способностей.
- Проблемное обучение, предусматривающую мотивацию к исследованию путем постановки проблемы, обсуждение различных вариантов проблемы.
- Технология деятельностного метода, помогающая вывить познавательные интересы обучающихся.
Требования к знаниям обучающихся.
В результате изучения различных способов решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами обучающиеся должны приобрести умения:
- Прочно усвоить понятие параметра в квадратном уравнении и квадратном неравенстве;
- Уметь решать квадратные уравнения с параметрами.
- Уметь решать квадратные неравенства с параметрами.
- Находить корни квадратичной функции.
- Строить графики квадратичных функций.
- Исследовать квадратичный трехчлен.
- Применять рациональные приемы тождественных преобразований.
- Использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.
- Уметь применять полученные знания при работе на персональном компьютере.
Формы контроля.
- Уроки – самооценки и оценки товарищей.
- Презентация учебных проектов.
- Тестирование.
- Рейтинг – таблица.
- Домашние задачи из сборников по ЕГЭ прошлых лет.
- Контрольные работы.
3. Методика решения квадратных уравнений с параметрами в общем виде.
Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего при решении уравнений и неравенств с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения и неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, сократить, вынести множитель за скобки и т.д. Встречаются задачи, которые можно разделить на два больших класса.
В первый класс можно отнести примеры, в которых надо решить уравнение или неравенство при всех возможных значениях параметра.
Ко второму классу отнесем примеры, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Класс таких задач неисчерпаем.
Наиболее понятный для обучающихся способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.
При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в обычной плоскости (х,у), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,а), где х – независимая переменная, а «а» – параметр. Это прежде всего возможно в задаче, где приходится строить знакомые элементарные графики: прямые, параболы, окружности и т.д. Кроме того эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения.
При решении уравнений f (х,а) = 0 и неравенств f (х,а) › 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f (х,а), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А(а) х 2 + В(а) х + С(а) = 0 при А(а) = 0 превращается в линейное, если при этом В(а) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.
Вспомним основные формулы для работы с квадратными уравнениями.
Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х R – неизвестные, а, в, с – выражения, зависящие только от параметров, причем а ≠ 0, называется квадратным уравнением, а D = b 2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Если D
Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня
х 1 = , х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) (х – х 2 ).
Эти корни через коэффициенты уравнения связаны формулами Виета
Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х 1 = х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) 2 . В этом случае говорят, что уравнение имеет одно решение.
Когда , т.е. = 2к, корни квадратного уравнения определяются по формуле х 1,2 = ,
Для решения приведенного квадратного уравнения х 2 + pх + q = 0
Используется формула х 1,2 = - , а также формулы Виета
Примеры. Решить уравнения:
Пример 1. + =
Решение:
При а ≠ - 1, х ≠ 2 получаем х 2 + 2ах – 3в + 4 = 0 и корни
х 1 = - а - , х 2 = -а + , существующие при
А 2 + 2а – 4 0, т.е. при
Теперь проверим, нет ли таких а, при которых либо х 1 , либо х 2 равен 2. Подставим в квадратное уравнение х = 2, при этом получим а = - 8.
Второй корень в таком случае равен (по теореме Виета) и при а = - 8 равен 14.
Ответ: при а = - 8 единственное решение х = 14;
Если а (- ∞; - 8) (- 8; - 4) (1; + ∞) – два корня х 1 и х 2 ;
Если а = - единственное решение х = соответственно;
Если а (- 4; 1), то х .
Иногда уравнения с дробными членами приводятся к квадратным. Рассмотрим следующее уравнение.
Пример 2. - =
Решение: При а = 0 оно не имеет смысла, значение х должно удовлетворять условиям: х -1, х -2. Умножив все члены уравнения на а (х + 1) (х +2) 0,
Получим х 2 – 2(а – 1)х + а 2 – 2а – 3 = 0, равносильное данному. Его корни:
х 1 = а + 1, х 2 = - 3. Выделим из этих корней посторонние, т.е. те, которые равны – 1 и – 2:
Х 1 = а + 1 = - 1, а = - 2, но при а = - 2 х 2 = - 5;
Х 1 = а + 1 = - 2, а = - 3, но при а = - 3 х 2 = - 6;
Х 2 = а - 3 = - 1, а = 2, но при а = 2 х 1 = 3;
Х 2 = а - 3 = - 2, а = 1, но при а = 1 х 1 = 2.
Ответ: при а ≠ 0, а ≠ 2, а ≠ - 3, а ≠ 1 х 1 = а + 1, х 2 = а – 3;
При а = - 2 х = - 5; при а = - 3 х = - 6.
4.Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, нужно найти значение параметра при котором корни: положительны, отрицательны, имеют разные знаки, больше или меньше какого-либо числа и т.д. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Если D > 0, а > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с > 0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с
Если D = 0, а > 0, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которого противоположен знаку коэффициента в.
Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно установить свойства корней квадратного уравнения и для а
- Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.
- Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента в, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.
- Если в квадратном уравнении коэффициенты а и с имеют разные знаки, то оно имеет действительные корни.
- Если а > 0 и D = 0, то левая часть квадратного уравнения – есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то а > 0 и D = 0.
- Если все коэффициенты уравнения рациональны и дискриминант выражает полный квадрат, то корни уравнения рациональны.
- Если рассматривается расположение корней относительно нуля, то применяем теорему Виета.
Отбор корней квадратного трехчлена по условиям и расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой.
Пусть f (х) = ах 2 + вх + с, а 0, корни х 1 ˂ х 2 , ˂ .
Расположение корней на числовой прямой. | Необходимое и достаточное условие. |
|
х 1 , х 2 | а f ( ) > 0, D 0, х 0 |
|
х 1 , х 2 > | а f ( ) > 0, D 0, х 0 > |
|
х 1 2 | а f ( ) |
|
1 ,х 2 . | а f ( ) > 0, D 0, а f ( ) > 0 0 . |
|
1 2 | а f ( ) > 0, а f ( ) |
|
х 1 2 | а f ( ) ) > 0 |
|
х 1 2 | а f ( ) ) |
Пример 3. Установить, при каких значениях а уравнение
х 2 – 2 (а – 1) х + 2а + 1 = 0
- не имеет корней:
необходимое и достаточное условие D
D = (а – 1) 2 – 2а – 1 = а 2 – 4а
- имеет корни:
D 0, D = (а – 1) 2 – 2а – 1 0, а
- имеет один корень:
- имеет два корня:
D > 0, т.е. а
- имеет положительные корни:
2(а – 1) > 0 а 4
Если вопрос будет «имеет два положительных корня», то в системе следует заменить D > 0;
- имеет отрицательные корни:
2(а – 1)
- имеет корни разного знака, т.е. один положительный, а другой отрицательный:
а ;
Условие
использовать не обязательно, достаточно х
1
х
2
- имеет один из корней, равный 0:
необходимое достаточное условие – равенство нулю свободного члена уравнения, т.е. 2а + 1 = 0, а = -1/2.
Знак второго корня определяется или подстановкой в исходное уравнение а = -1/2, или, проще, по теореме Виета х 1 + х 2 = 2 (а – 1), и после подстановки а = -1/2 получаем х 2 = - 3, т.е. при а = -1/2 два корня: х 1 = 0, х 2 = - 3.
Пример 4 . При каких значениях параметра а уравнение
(а – 2) х 2 – 4ах +3 -2а = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее неравенству х
Решение.
Дискриминант 2 – (а – 2)(3 – 2а)
4а 2 – 3а + 6 + 2а 2 – 4а = 6а 2 – 7а + 6
Так как 49 – 144 = - 95 и первый коэффициент 6 то 6а 2 – 7а + 6 при всех х R.
Тогда х 1,2 = .
По условию задачи х 2, тогда получим неравенство
Имеем:
верно при всех а R.
6а 2 – 7а + 6 6а 2 – 7а - 10 2
А 1,2 = 1/12 (7 17), а 1 = 2, а 2 = - 5/6.
Следовательно, -5/6
Ответ: -
5. Параметр как равноправная переменная.
Во всех разобранных задачах параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере. К примеру, при таком взгляде на параметр формы f (х; а) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно формирует еще один тип (а точнее метод решения, определяющий этот тип) задач с параметрами. Покажем аналитическое решение такого типа.
Пример 5. На плоскости ху укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства у = х 2 – 4рх + 2р 2 – 3, где р – параметр.
Решение: Если (х 0 ;у 0 ) – точка, через которую не проходит ни одна из кривых заданного семейства, то координаты этой точки не удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, задача свелась к тому, чтобы найти зависимость между х и у, при которой данное в условии уравнение не имело бы решений. Нужную зависимость несложно получить, сосредоточив внимание не на переменных х и у, а на параметре р. В этом случае возникает продуктивная идея: рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно р. Имеем
2р 2 – 4рх+ х 2 – у – 3 = 0. Дискриминант = 8х 2 + 8у + 24 должен быть отрицательным. Отсюда получаем у ˂ - х 2 – 3, следовательно, искомое множество – это все точки координатной плоскости, лежащие «под» параболой у = - х 2 – 3.
Ответ : у 2 – 3
6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами
В общем виде.
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
Допустимыми являются те значения параметров, при которых а,в,с – действительны. Квадратные неравенства удобно решать либо аналитическим способом, либо графическим. Так как графиком квадратичной функции является парабола, то при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а
Различное положение параболы f (х) = ах 2 + вх + с, а 0 при а > 0 показано на рис.1
А) в) с)
а) Если f (х) > 0 и D R;
б) Если f (х) > 0 и D = 0, то х ;
в) Если f (х) > 0 и D > 0, то х (- ; х 1 ) (х 2 ; + ).
Аналогично рассматриваются положения параболы при а
Например, один из трех случаев, когда
при а 0 и f (х) > 0 х (х 1 ; х 2 );
при а 0 и f (х) (- ; х 1 ) (х 2 ; + ).
В качестве примера рассмотрим решение неравенства.
Пример 6. Решить неравенство х 2 + 2х + а > 0.
Пусть D – дискриминант трехчлена х 2 + 2х + а > 0. При D = 0, при а = 1, неравенство примет вид:
(х + 1) 2 > 0
Оно верно при любых действительных значениях х, кроме х = - 1.
При D > 0, т.е. при х , трехчлен х 2 + 2х + а имеет два корня: - 1 – и
1 + и решением неравенства служит промежуток
(- ; - 1 – ) (- 1 + ; + )
Это неравенство легко решить графически. Для этого представим его в виде
Х 2 + 2х > - а
и построим график функции у = х 2 + 2х
Абсциссы точек пересечения этого графика с прямой у = - а и являются корнями уравнения х 2 + 2х = - а.
Ответ:
при –а > - 1, т.е. при а , х (- ; х 1 ) (х 2 ;+ );
при – а = - 1, т.е. при а = 1, х – любое действительное число, кроме - 1;
при – а , т.е при а > 1, х – любое действительное число.
Пример 7 . Решить неравенство сх 2 – 2 (с – 1)х + (с + 2)
При с = 0 оно принимает вид: 2х + 2 решением будет х
Введем обозначение f (х) = сх 2 – 2 (с – 1)х + (с + 2) где с ≠ 0.
В этом случае неравенство f (х)
Пусть и D – дискриминант f (х). 0,25 D = 1 – 4с.
Если D > 0, т.е. если с > 0,25, то знак f (х) совпадает со знаком с при любых действительных значениях х, т.е. f (х) > 0 при любых х R, значит, при с > 0,25 неравенство f (х)
Если D = 0, т.е. с = 0,25, то f (х) = (0,25 х + 1,5) 2 , т.е. f (х) 0 при любом
Х R. Следовательно, при с = 0,25 неравенство f (х)
Рассмотрим случай D 0). f (х) = 0 при двух действительных значениях х:
х 1 = (с – 1 – ) и х 2 = (с – 1 + ).
Здесь могут представиться два случая:
Решить неравенство f (х)
f (х) совпадает со знаком с. Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что – , т.е. с – 1 – ˂ с – 1 + ,но так как с (с – 1 – ) (с – 1 + ) и поэтому решением неравенства будет:
(- ; (с – 1 – )) ( (с – 1 + ); + ).
Теперь для решения неравенства достаточно указать те значения с, при которых знак f (х) противоположен знаку с. Так как при 0 1 2 , то х (х 1 ; х 2 ).
Ответ: при с = 0 х R;
При с (- ; х 2 ) (х 1 ; + );
При 0 (х 1 ; х 2 );
При с 0,25 решений нет.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах решения и квадратных неравенств. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом возникает координатная плоскость (х; а). Такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из самых эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Удобно, когда в задаче фигурирует один параметр а и одна переменная х. Сам процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.
Отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – «метод областей»
- Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.
Рассмотрим аналитическое решение квадратного неравенства с параметрами, результаты решения которого рассматриваются на числовой прямой.
Пример 8.
Найдите все значения х, для каждого из которых неравенство
(2-х)а 2 +(х 2 -2х+3)а-3х≥0
выполняется для любого значения а, принадлежащего промежутку [-3;0].
Решение. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:
(2-x)а 2 + (x 2 -2x+3)а-3х=ах 2 - а 2 х - 2ах + 2а 2 + 3а - 3x =
Ах (х - а)-2а(х - а)- 3(х-а) = (x - а)(аx- 2а - 3).
Данное неравенство примет вид: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.
Если а = 0, получаем - Зх ≥ 0 x ≤ 0.
Если а ≠ 0, то -3 а
Так как а 0, то решением этого неравенства будет промежуток числовой оси, расположенный между корнями соответствующего неравенству уравнения.
Выясним взаимное расположение чисел а и , учитывая при этом условие - 3 ≤ а
3 ≤a
A = -1.
Представим во всех рассмотренных случаях решения данного неравенства в зависимости от значений параметра:
Получим, что только х = -1 является решением данного неравенства при любом значении параметра а .
Ответ: -1
- Заключение.
Почему мной был выбран проект по теме «Разработка методических рекомендаций решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами»? Так как при решении любых тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, неравенств, систем мы чаще всего приходим к рассмотрению иногда линейных, а чаще всего квадратных уравнений и неравенств. При решении сложнейших задач с параметрами большинство заданий сводится с помощью равносильных преобразований к выбору решений типа: а (х – а) (х – с) > 0 (
Мы рассмотрели теоретические основы для решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Вспомнили необходимые формулы и преобразования, рассмотрели различные расположения графиков квадратичной функции в зависимости от значения дискриминанта, от знака при старшем коэффициенте, от расположения корней, вершины параболы. Выявили схему решения и выбора результатов, составили таблицу.
В проекте показаны аналитические и графические методы решения квадратных уравнений и неравенств. Обучающимся в профессиональном училище необходимо зрительное восприятие материала для лучшего усвоения материала. Показано, как можно поменять переменную х и принять параметр как равноправную величину.
Для наглядного усвоения данной темы рассмотрено решение 8 задач с параметрами, по 1 – 2 для каждого раздела. В примере № 1 рассмотрено количество решений при различных значениях параметра, в примере № 3 проводится разбор решения квадратного уравнения при самых различных начальных условиях. Для решения квадратных неравенств сделана графическая иллюстрация. В примере № 5 применяется метод замены параметра как равноправной величины. В проект включено рассмотрение примера № 8 из заданий, включенных в раздел С, для интенсивной подготовки к сдаче ЕГЭ.
Для качественной подготовки обучающихся решению задач с параметрами рекомендуется в полном объеме использовать мультимедийные технологии, а именно: использовать для лекций презентации, электронные учебники и книги, собственные разработки из медиатеки. Очень эффективны бинарные уроки математика + информатика. Незаменимым помощником преподавателю и учащемуся является Интернет. В презентации необходимы импортированные объекты из существующих образовательных ресурсов. Наиболее удобным и приемлемым в работе является ЦОР «Использование Microsoft Office в школе».
Разработка методических рекомендаций по данной тематике облегчит работу молодых преподавателей, пришедших работать в училище, пополнит портфолио преподавателя, послужит образцом для специальных предметов, образцы решений помогут обучающимся справиться со сложными заданиями.
- Литература.
1.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.
2.Балаян Э.Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. 9-11 классы. «Феникс», Ростов-на Дону, 2010.
3.Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., «Просвещение», 1986.
4.Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. М. «АЙРИС – пресс», 2005.
5.Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2004.
6. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн.1, М., 2009.
Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.
I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.
При каких значениях параметра a a множество решений неравенства $$x^2+ax-1
Поскольку коэффициент при x 2 x^2 положителен, решением неравенства является интервал между корнями в случае $$D > 0$$ и пустое множество, если D ≤ 0 D \leq 0 .
Находим дискриминант: D = a 2 + 4 D = a^2+4 ($$D>0$$ при всех a a). Тогда множество решений есть промежуток
x ∈ (- a - a 2 + 4 2 ; - a + a 2 + 4 2) x \in (\dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}; \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}) . Требуется, чтобы длина этого промежутка была равна 5, т. е.
A + a 2 + 4 2 = - a - a 2 + 4 2 + 5 ⇔ a 2 + 4 = 5 ⇔ a = ± 21 \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2} = \dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2} + 5 \Leftrightarrow \sqrt{a^2+4}=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{21} .
ОТВЕТ
A = ± 21 a = \pm \sqrt{21}
При каких значениях параметра p p уравнение x 2 + p 2 + 4 p · x + p - 1 x^2+\sqrt{p^2+4p}\cdot x +p-1 имеет корни, а сумма квадратов корней минимальна?
Сумму квадратов корней уравнения удобно выразить с помощью теоремы Виета:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = (- p 2 + 4 p) 2 - 2 (p - 1) = p 2 + 2 p + 2 x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt{p^2+4p})^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2 .
Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант: D = p 2 + 4 p - 4 (p - 1) = p 2 + 4 D = p^2+4p-4(p-1) = p^2+4 . Видим, что дискриминант положителен при любых допустимых значениях p p , т. е. при
p ∈ (- ∞ ; - 4 ] ∪ [ 0 ; + ∞) (5) p \in (-\infty; -4]\bigcup и пр.), в которых надо самостоятельно нарисовать чертёж и сделать соответствующие выводы.
Замечания. 1. Для уравнений и неравенств вида
$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0, \: ax^2 + bx + c надо отдельно рассматривать случай a = 0 a =0 . Тогда получится линейное уравнение (неравенство).
2. В большинстве задач важно учесть знак числа a a - от этого зависит направление ветвей параболы.
3. Заметим, что совокупность двух систем
$$\begin{cases} a > 0, \\ f(a) > 0 \end{cases} и \begin{cases} a
равносильна неравенству $$a f(a) > 0$$. Поэтому в условии 1 ° 1^{\circ} можно записать одну систему $$\begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}}
Аналогично можно упростить и другие условия:
$$2^{\circ} \Leftrightarrow \begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}} > A .\end{cases} \:\:\: 3^{\circ} \Leftrightarrow a f(A) 0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A
Перейдём к примерам.
При каких a a уравнение (2 a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 (2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0 имеет корни, и все они принадлежат интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) ?
1) Если 2 a - 2 = 0 (a = 1) 2a-2=0\:(a=1) , то уравнение принимает вид 2 x + 1 = 0 2x+1=0 . Это уравнение имеет единственный корень x = - 0,5 x=-0,5 , который принадлежит интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) . Значит, a = 1 a =1 удовлетворяет условию задачи.
2) Если 2 a - 2 ≠ 0 2a-2 \neq 0 , то уравнение квадратное. Находим дискриминант:
D = (a + 1) 2 - 4 (2 a - 2) = a 2 - 6 a + 9 = (a - 3) 2 D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2 .
Поскольку дискриминант является полным квадратом, находим корни(как правило, вышеописанные приёмы с расположением корней удобно использовать, если формулы для корней громоздкие. Если дискриминант является полным квадратом и корни получаются “хорошими”, то проще решить задачу напрямую):
Для выполнения условий задачи требуется, чтобы выполнялось неравенство $$-2 \dfrac{3}{2}$$.
ОТВЕТ
A ∈ { 1 } ∪ (3 2 ; + ∞) a \in \{1\}\bigcup (\dfrac{3}{2}; +\infty) .
При каких значениях a a неравенство $$4^{\textrm{sin}\:x}-2\cdot (a-3) \cdot 2^{\textrm{sin}\:x} + a+3 > 0$$ выполняется для всех x x ?
Обозначим 2 sin x = y 2^{\textrm{sin}\:x}=y . Поскольку - 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \leq \textrm{sin}\:x \leq 1 , получаем, что 1 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 \dfrac{1}{2} \leq 2^{\textrm{sin}\:x} \leq 2 . Исходное неравенство принимает вид
$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$
Данная задача эквивалентна следующей: «при каких a a неравенство $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ выполнено для всех y ∈ [ 1 2 ; 2 ] y \in [\dfrac{1}{2};2] ?»
График левой части этого неравенства - парабола с ветвями вверх. Требования задачи будут выполнены в двух случаях. 1) $$D
а) Это расположение параболы (корни находятся слева от отрезка [ 1 2 ; 2 ] [\dfrac{1}{2};2]) задаётся условиями (записываем и решаем систему):
$$\begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \leq 1 $$.
б) Этот случай задаётся условием $$D
в) Аналогично случаю а) получаем систему:
$$\!\!\!\! \begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} > 2,\\ f(2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in (-\infty; 1]\bigcup ?
1) Рассматриваем случай a = 0 a = 0 (тогда уравнение не квадратное). Уравнение принимает вид - 5 x - 6 = 0 -5x-6=0 . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, поэтому a = 0 a = 0 не подходит.
2) Уравнение квадратное. Обозначим левую часть уравнения через f (x) f(x) . Уравнение имеет на отрезке [ 0 ; 2 ] ровно один корень в двух случаях.
А) Уравнение имеет единственный корень, и он принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] . Это возможно при D = 0 D = 0 . Вычисляем дискриминант:
D = (2 a - 5) 2 - 4 a (a - 6) = 4 a + 25 D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25 .
Дискриминант обращается в ноль при a = - 25 4 a=-\dfrac{25}{4} . При этом исходное уравнение принимает вид - 25 4 x 2 - 35 2 x - 49 4 = 0 -\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{35}{2}x - \dfrac{49}{4} = 0 , откуда x = - 7 5 x = -\dfrac{7}{5} . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, значит, этот случай не реализуется ни при каких значениях параметра a a .
Б) Уравнение имеет два корня ($$D>0 \Leftrightarrow a>-\dfrac{25}{4}$$), один из которых принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] , а другой - нет. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы либо (а) функция f (x) f(x) принимала на концах отрезка [ 0 ; 2 ] значения разных знаков - тогда корень лежит в интервале (0 ; 2) (0;2) (в качестве примера(можете самостоятельно рассмотреть и другие возможные расположения параболы) см. рис. 7), либо (б) в одном из концов отрезка обращалась в ноль - тогда корень лежит на одном из концов отрезка.
(а) Условие “числа f (0) f(0) и f (2) f(2) имеют разные знаки” равносильно неравенству $$f(0)\cdot f(2)
$$\left(a-6\right)\left(4a+2\left(2a-5\right)+\left(a-6\right)\right)
(б) Если f (0) = 0 f(0) = 0 , то a = 6 a=6 . Тогда уравнение принимает вид 6 x 2 + 7 x = 0 6x^2+7x=0 . Его корнями являются числа x = 0 x=0 и x = - 7 6 x=-\dfrac{7}{6} , т. е. на отрезке [ 0 ; 2 ] оно имеет ровно один корень.
Если f (2) = 0 f(2) = 0 , то a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} . Тогда получаем 16 9 x 2 - 13 9 x - 38 9 = 0 \dfrac{16}{9}x^2 - \dfrac{13}{9}x - \dfrac{38}{9} = 0 , откуда x = 2 x=2 или x = - 19 16 x=-\dfrac{19}{16} , т. е. опять из двух корней только один принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] .
Значит, оба значения a = 6 a=6 и a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} и удовлетворяют условию задачи(при f (2) = 0 f(2) = 0 или f (0) = 0 f(0) = 0 обязательно надо найти второй корень и посмотреть, находится ли он на отрезке [ 0 ; 2 ] ).
Объединяя результаты, получаем a ∈ [ 16 9 ; 6 ] a\in [\dfrac{16}{9}; 6] .
ОТВЕТ
16 9 ≤ a ≤ 6 \dfrac{16}{9} \leq a \leq 6
При каких значениях параметра a a уравнение | x 2 - 4 | x | + 3 | = a |x^2-4|x|+3| = a имеет ровно 8 решений?
Изобразим графики левой и правой частей на плоскости xOy.
Чтобы построить график левой части, сначала изображаем параболу y = x 2 - 4 x + 3 y = x^2-4x+3 . Затем отражаем все точки этой параболы, лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси и получаем график функции y = | x 2 - 4 x + 3 | y=|x^2-4x+3| (рис. 8а). Далее отбрасываем все точки, лежащие слева от оси абсцисс, а оставшиеся точки отражаем относительно этой оси - получаем график функции y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| .
График правой части - это горизонтальная прямая y = a y=a . Уравнение имеет 8 решений, когда эта прямая пересекает график y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| в восьми точках. Несложно видеть, что это происходит при $$0ОТВЕТ
A ∈ (0 ; 1) a\in (0;1)
Найдите все значения параметра p p , при которых уравнение 4 x + 2 x + 2 + 7 = p - 4 - x - 2 · 2 1 - x 4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет хотя бы одно решение.
Перепишем уравнение в виде (4 x + 4 - x) + 4 · (2 x + 2 - x) = p - 7 (4^x+4^{-x})+4\cdot (2^x+2^{-x})=p-7 и сделаем замену 2 x + 2 - x = t 2^x+2^{-x}=t . Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получаем, что t 2 = (2 x + 2 - x) 2 = 4 x + 2 + 4 - x t^2=(2^x+2^{-x})^2=4^x+2+4^{-x} , откуда 4 x + 4 - x = t 2 - 2 4^x+4^{-x} = t^2-2 . Уравнение принимает вид t 2 - 2 + 4 t = p - 7 ⇔ (t + 2) 2 = p - 1 t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1 .
Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку(используем, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше двух: a + 1 a ≥ 2 a+\dfrac{1}{a} \geq 2 при $$a>0$$ 0 (равенство возможно только при a = 1 a = 1). Это можно доказать, например, с помощью неравенства Коши: для положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического (a 1 + a 2 + . . . + a k k ≥ a 1 · a 2 · . . · a k k) (\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k}) , причём равенство достигается только в случае a 1 = a 2 = . . . = a k a_1=a_2=...=a_k . Для двух положительных чисел это неравенство принимает вид a + b 2 ≥ a b \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} . Если сюда подставить b = 1 a b = \dfrac{1}{a} , то получится требуемое неравенство.) t ≥ 2 t \geq 2 , получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка [ 16 ; + ∞) при а € (0; 1);
х € R при а = 0.
Пример 3.
Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.
Решение.
Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство
Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:
{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.
Преобразуем к виду:
{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.
Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :
При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].
При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
При а = 0 x = -1.
При 0 < а ≤ 1 решений нет.
Графический метод решения неравенств
Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.
Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).
Пример 1.
Решить неравенство |x + 5| < bx.
Решение.
Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2)
. Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.
На рисунке видно:
1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.
2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.
Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.
Пример 2.
Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).
Решение.
1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).
a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;
b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;
c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;
e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.
Пример 3.
Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.
Решение.
Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3)
и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.
Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.
При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.
Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
