Изјава за вториот извод на сложена функција. Правило за диференцирање сложена функција
Откако дојдовте овде, веројатно веќе сте ја виделе оваа формула во учебникот
и направи вака лице:
Пријател, не грижи се! Всушност, сè е едноставно срамота. Дефинитивно ќе разберете сè. Само едно барање - прочитајте ја статијата полека, обидете се да го разберете секој чекор. Напишав што е можно поедноставно и јасно, но сепак треба да ја разберете идејата. И не заборавајте да ги решите задачите од статијата.
Што е сложена функција?
Замислете дека се преселувате во друг стан и затоа ги пакувате работите во големи кутии. Да претпоставиме дека треба да соберете некои мали предмети, на пример, училишни материјали за пишување. Ако само ги фрлите во огромна кутија, тие ќе се изгубат меѓу другото. За да го избегнете ова, прво ги ставате, на пример, во кеса, која потоа ја ставате во голема кутија, по што ја затворате. Овој „комплексен“ процес е претставен на дијаграмот подолу:
Се чини, каква врска има математиката со тоа? Да, и покрај фактот што комплексна функција се формира ТОЧНО НА ИСТ начин! Само ние „спакуваме“ не тетратки и пенкала, туку \(x\), додека „пакетите“ и „кутиите“ се различни.
На пример, да земеме x и да го „спакуваме“ во функција:
Како резултат на тоа, добиваме, се разбира, \(\cosx\). Ова е нашата „торба со работи“. Сега да го ставиме во „кутија“ - да го спакуваме, на пример, во кубна функција.
Што ќе се случи на крајот? Да, тоа е точно, ќе има „торба со работи во кутија“, односно „косинус од коцки X“.
Добиениот дизајн е сложена функција. По тоа се разликува од едноставниот НЕКОЛКУ „влијанија“ (пакети) се применуваат на еден X по реди излегува дека е „функција од функција“ - „пакување во пакување“.
Во училишниот курс има многу малку видови на овие „пакети“, само четири:
Ајде сега да го „спакуваме“ X прво експоненцијална функцијасо основа 7, а потоа во тригонометриска функција. Добиваме:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Сега ајде да го „спакуваме“ X двапати тригонометриски функции, прво во , а потоа во:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Едноставно, нели?
Сега напишете ги самите функции, каде x:
- прво се „спакува“ во косинус, а потоа во експоненцијална функција со основа \(3\);
- прво до петтиот степен, а потоа до тангентата;
- прво до логаритам до основата \(4\)
, потоа на моќта \(-2\).
Најдете ги одговорите на оваа задача на крајот од статијата.
Можеме ли да го „спакуваме“ X не два, туку три пати? Нема проблем! И четири, и пет, и дваесет и пет пати. Еве, на пример, функција во која x е „спакувана“ \(4\) пати:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Но, таквите формули нема да се најдат во училишната практика (учениците имаат повеќе среќа - нивната може да биде посложена☺).
„Отпакување“ сложена функција
Повторно погледнете ја претходната функција. Можете ли да ја сфатите низата „пакување“? Во што прво се напика Х, што потоа и така до самиот крај. Односно, која функција е вгнездена во која? Земете парче хартија и запишете што мислите. Можете да го направите ова со синџир со стрелки како што напишавме погоре или на кој било друг начин.
Сега точниот одговор е: прво, x беше „спакуван“ во \(4\)-та моќност, потоа резултатот беше спакуван во синус, тој, пак, беше ставен во логаритам до основата \(2\) , и на крајот целата оваа конструкција беше набиена во моќни петки.
Односно, треба да ја одвиткате низата ПО ОБРАТЕН РЕД. И еве совет како да го направите тоа полесно: веднаш погледнете го X - треба да танцувате од него. Ајде да погледнеме неколку примери.
На пример, тука е следнава функција: \(y=tg(\log_2x)\). Гледаме во X - што се случува прво со него? Земено од него. И потоа? Се зема тангентата на резултатот. Редоследот ќе биде ист:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Друг пример: \(y=\cos((x^3))\). Ајде да анализираме - прво го коцкавме X, а потоа го зедовме косинусот на резултатот. Ова значи дека низата ќе биде: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Обрнете внимание, функцијата изгледа како да е слична на првата (каде што има слики). Но, ова е сосема друга функција: овде во коцката е x (т.е. \(\cos((x·x·x)))\), а таму во коцката е косинусот \(x\) ( односно \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Оваа разлика произлегува од различни секвенци на „пакување“.
Последниот пример (со важни информации во него): \(y=\sin((2x+5))\). Јасно е дека овде прво правеле аритметички операции со x, а потоа го земале синусот на резултатот: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). И ова важна точка: и покрај фактот што аритметичките операции сами по себе не се функции, овде тие исто така делуваат како начин на „пакување“. Ајде да навлеземе малку подлабоко во оваа суптилност.
Како што реков погоре, во едноставни функции x се „спакува“ еднаш, а во сложени функции - две или повеќе. Покрај тоа, секоја комбинација на едноставни функции (односно нивниот збир, разлика, множење или делење) е исто така едноставна функција. На пример, \(x^7\) е едноставна функција, а истото е и \(ctg x\). Ова значи дека сите нивни комбинации се едноставни функции:
\(x^7+ ctg x\) - едноставно,
\(x^7· креветче x\) - едноставно,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – едноставно, итн.
Меѓутоа, ако се примени уште една функција на таква комбинација, таа ќе стане сложена функција, бидејќи ќе има два „пакети“. Види дијаграм:
Добро, продолжи сега. Напишете ја низата од функциите „завиткување“:
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Одговорите се повторно на крајот од статијата.
Внатрешни и надворешни функции
Зошто треба да го разбереме вгнездувањето на функциите? Што ни дава ова? Факт е дека без таква анализа нема да можеме со сигурност да најдеме деривати на функциите дискутирани погоре.
А за да продолжиме понатаму, ќе ни требаат уште два концепта: внатрешни и надворешни функции. Ова е многу едноставна работа, згора на тоа, всушност, веќе ги анализиравме погоре: ако се сеќаваме на нашата аналогија на самиот почеток, тогаш внатрешната функција е „пакет“, а надворешната функција е „кутија“. Оние. она во што X е „завиткано“ прво е внатрешна функција, а она во што е „завиткано“ внатрешната функција е веќе надворешно. Па, јасно е зошто - таа е надвор, тоа значи надворешна.
Во овој пример: \(y=tg(log_2x)\), функцијата \(\log_2x\) е внатрешна, и 
- надворешен.
И во ова: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) е внатрешно, и 
- надворешен.
Завршете ја последната практика на анализа на сложени функции и конечно да преминеме на она за што сите почнавме - ќе најдеме деривати на сложени функции:
Пополнете ги празните места во табелата:
Извод на сложена функција
Браво за нас, конечно стигнавме до „газдата“ на темава - всушност, дериват комплексна функција, и конкретно, на таа многу страшна формула од почетокот на статијата.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cточка g"(x)\)
Оваа формула гласи вака:
Изводот на сложена функција е еднаков на производот на изводот на надворешната функција во однос на константна внатрешна функција и изводот на внатрешната функција.
И веднаш погледнете го дијаграмот за парсирање, според зборовите, за да разберете што да правите со што:
Се надевам дека термините „дериват“ и „производ“ не предизвикуваат никакви тешкотии. „Комплексна функција“ - веќе ја средиме. Уловот е во „дериват на надворешна функција во однос на постојана внатрешна функција“. Што е тоа?
Одговор: Ова е вообичаен извод на надворешна функција, во која се менува само надворешната функција, а внатрешната останува иста. Сè уште не е јасно? Добро, ајде да користиме пример.
Дозволете ни да имаме функција \(y=\sin(x^3)\). Јасно е дека внатрешната функција овде е \(x^3\), а надворешната 
. Сега да го најдеме дериватот на надворешноста во однос на константната внатрешност.
Дадени се примери за пресметување на деривати со помош на формулата за извод на сложена функција.
Овде даваме примери за пресметување на деривати на следните функции:
;
;
;
;
.
Ако функцијата може да се претстави како сложена функција во следната форма:
,
тогаш неговиот дериват се одредува со формулата:
.
Во примерите подолу, оваа формула ќе ја напишеме на следниов начин:
.
Каде.
Овде, ознаките или , кои се наоѓаат под знакот за извод, ги означуваат променливите со кои се врши диференцијацијата.
Вообичаено, во табелите на изводи се дадени изводи на функции од променливата x. Сепак, x е формален параметар. Променливата x може да се замени со која било друга променлива. Затоа, при диференцирање на функција од променлива, едноставно ја менуваме, во табелата на изводи, променливата x во променливата u.
Едноставни примери
Пример 1
Најдете го изводот на сложена функција
.
Решение
Ајде да го запишеме дадена функцијаво еквивалентна форма:
.
Во табелата со деривати наоѓаме:
;
.
Според формулата за извод на сложена функција, имаме:
.
Еве .
Одговори
Пример 2
Најдете го изводот
.
Решение
Ја вадиме константата 5 од дериватниот знак и од табелата со деривати наоѓаме:
.
.
Еве .
Одговори
Пример 3
Најдете го изводот
.
Решение
Извадиме константа -1
за знакот на дериватот и од табелата на изводи наоѓаме:
;
Од табелата на деривати наоѓаме:
.
Ја применуваме формулата за извод на сложена функција:
.
Еве .
Одговори
Покомплексни примери
Во повеќе сложени примеринеколку пати го применуваме правилото за диференцирање на сложена функција. Во овој случај, ние го пресметуваме дериватот од крајот. Односно, ја разложуваме функцијата на нејзините составни делови и ги наоѓаме дериватите на наједноставните делови користејќи табела на деривати. Ние исто така користиме правила за разграничување на сумите, производи и фракции. Потоа правиме замени и ја применуваме формулата за извод на сложена функција.
Пример 4
Најдете го изводот
.
Решение
Да истакнеме најмногу едноставен делформула и пронајдете го неговиот дериват. .
.
Овде ја користевме ознаката
.
Го наоѓаме изводот на следниот дел од оригиналната функција користејќи ги добиените резултати. Го применуваме правилото за диференцирање на збирот:
.
Уште еднаш го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.
.
Еве .
Одговори
Пример 5
Најдете го изводот на функцијата
.
Решение
Ајде да го избереме наједноставниот дел од формулата и да го најдеме неговиот дериват од табелата со деривати. .
Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.
.
Еве
.
И теоремата за изводот на сложена функција, чија формулација е како што следува:
Нека 1) функцијата $u=\varphi (x)$ има во одреден момент $x_0$ изводот $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) функцијата $y=f(u)$ имаат во соодветната во точката $u_0=\varphi (x_0)$ изводот $y_(u)"=f"(u)$. Тогаш сложената функција $y=f\left(\varphi (x) \right)$ во споменатата точка ќе има и извод еднаков на производот од изводите на функциите $f(u)$ и $\varphi ( x) $:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \десно)\cdot \varphi"(x_0) $$
или, пократко: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Во примерите во овој дел, сите функции имаат форма $y=f(x)$ (т.е., сметаме само функции на една променлива $x$). Според тоа, во сите примери се зема изводот $y"$ во однос на променливата $x$. За да се нагласи дека изводот се зема во однос на променливата $x$, $y"_x$ често се пишува наместо $y „$.
Примери бр. 1, бр. 2 и бр. 3 преглед детален процеснаоѓање на изводот на сложените функции. Примерот бр. 4 е наменет за поцелосно разбирање на табелата со деривати и има смисла да се запознаете со неа.
Препорачливо е по проучувањето на материјалот во примерите бр. 1-3 да се продолжи независна одлукапримери бр.5, бр.6 и бр.7. Примерите #5, #6 и #7 содржат кратко решение за да може читателот да ја провери точноста на неговиот резултат.
Пример бр. 1
Најдете го изводот на функцијата $y=e^(\cos x)$.
Треба да го најдеме изводот на сложена функција $y"$. Бидејќи $y=e^(\cos x)$, тогаш $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. најдете го изводот $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ја користиме формулата бр. 6 од табелата со деривати. За да ја искористиме формулата бр. 6, треба да земеме предвид дека во нашиот случај $u=\cos x$. Понатамошното решение се состои во едноставно замена на изразот $\cos x$ наместо $u$ во формула бр. 6:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ознака (1.1)$$
Сега треба да ја најдеме вредноста на изразот $(\cos x)"$. Повторно се свртуваме кон табелата со деривати, избирајќи ја формулата бр. 10 од неа. Заменувајќи ја $u=x$ во формулата бр. 10, имаме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Сега да продолжиме со еднаквоста (1.1), дополнувајќи ја со пронајдениот резултат:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ознака (1.2) $$
Бидејќи $x"=1$, продолжуваме со еднаквоста (1.2):
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ознака (1.3) $$
Значи, од еднаквоста (1.3) имаме: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Нормално, објаснувањата и средните еднаквости обично се прескокнуваат, запишувајќи го наодот на изводот во една линија. како во еднаквоста ( 1.3. Значи, изводот на сложената функција е најден, останува само да се запише одговорот).
Одговори: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Пример бр. 2
Најдете го изводот на функцијата $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Треба да го пресметаме изводот $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За почеток, забележуваме дека константата (т.е. бројот 9) може да се извади од дериватниот знак:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)" \ознака (2.1) $$
Сега да се свртиме кон изразот $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За полесно да ја изберете саканата формула од табелата со деривати, ќе го претставам изразот во прашање во оваа форма: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е јасно дека е неопходно да се користи формула бр.2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Да ги замениме $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$ во оваа формула:
Дополнувајќи ја еднаквоста (2.1) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ознака (2,2) $$
Во оваа ситуација, често се прави грешка кога решавачот на првиот чекор ја избира формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ наместо формулата $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Поентата е дека изводот на надворешната функција мора да биде на прво место. За да разберете која функција ќе биде надворешна на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, замислете дека ја пресметувате вредноста на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ по некоја вредност $x$. Прво ќе ја пресметате вредноста на $5^x$, а потоа ќе го помножите резултатот со 4, добивајќи $4\cdot 5^x$. Сега ја земаме арктангентата од овој резултат, добивајќи $\arctg(4\cdot 5^x)$. Потоа го подигаме добиениот број до дванаесеттата моќност, добивајќи $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Последната акција, т.е. подигањето на моќноста од 12 ќе биде надворешна функција. И токму од ова мора да започнеме да го наоѓаме изводот, што беше направено во еднаквост (2.2).
Сега треба да најдеме $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ја користиме формулата бр. 19 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=4\cdot \ln x$ во неа:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Ајде малку да го поедноставиме добиениот израз, земајќи го предвид $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Еднаквоста (2.2) сега ќе стане:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ознака (2,3) $$
Останува да се најде $(4\cdot \ln x)"$. Да ја извадиме константата (т.е. 4) од знакот за извод: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ For За да најдеме $(\ln x)"$ ја користиме формулата бр. 8, заменувајќи ја $u=x$ во неа: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. „$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Заменувајќи го добиениот резултат во формулата (2.3), добиваме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).
Да ве потсетам дека изводот на сложена функција најчесто се наоѓа во една линија, како што е напишано во последната еднаквост. Затоа, при подготовка на стандардни пресметки или тестовиВоопшто не е неопходно толку детално да се опише решението.
Одговори: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Пример бр. 3
Најдете $y"$ од функцијата $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Прво, малку да ја трансформираме функцијата $y$, изразувајќи го радикалот (root) како моќност: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \десно)^(\frac(3)(7))$. Сега да почнеме да го наоѓаме дериватот. Бидејќи $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, тогаш:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\десно)" \ознака (3.1) $$
Да ја користиме формулата бр. 2 од табелата со деривати, заменувајќи ги $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$ во неа:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Да продолжиме со еднаквоста (3.1) користејќи го добиениот резултат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ознака (3.2) $$
Сега треба да најдеме $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За ова ја користиме формулата бр. 9 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=5\cdot 9^x$ во неа:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Откако ја дополнивме еднаквоста (3.2) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ознака (3.3) $$
Останува да се најде $(5\cdot 9^x)"$. Прво, да ја земеме константата (бројот $5$) надвор од знакот за извод, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. За да го пронајдете дериватот $(9^x)"$, примени ја формулата бр. 5 од табелата со деривати, заменувајќи ги $a=9$ и $u=x$ во неа: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можеме да продолжиме со еднаквоста (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можеме повторно да се вратиме од моќ до радикали (т.е. корени), пишувајќи $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ во форма $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Тогаш дериватот ќе биде напишан во оваа форма:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Одговори: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
Пример бр. 4
Покажете дека формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се посебен случај на формулата бр. 2 од оваа табела.
Формулата бр. 2 од табелата со деривати го содржи изводот на функцијата $u^\alpha$. Заменувајќи го $\alpha=-1$ во формула бр. 2, добиваме:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\таг (4.1)$$
Бидејќи $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогаш еднаквоста (4.1) може да се препише на следниов начин: $ \left(\frac(1)(u) \десно)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ова е формула бр. 3 од табелата со деривати.
Да се свртиме повторно кон формулата бр. 2 од табелата со деривати. Ајде да го замениме $\alpha=\frac(1)(2)$ во него:
$$\лево(u^(\frac(1)(2))\десно)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\ознака (4.2) $$
Бидејќи $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогаш еднаквоста (4.2) може да се препише на следниов начин:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Добиената еднаквост $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ е формула бр. 4 од табелата со деривати. Како што можете да видите, формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се добиени од формулата бр. 2 со замена на соодветната вредност $\alpha$.
Во оваа статија ќе зборуваме за толку важен математички концепт како сложена функција и ќе научиме како да го најдеме изводот на сложена функција.
Пред да научиме да наоѓаме извод на сложена функција, да го разбереме концептот на сложена функција, што е тоа, „со што се јаде“ и „како правилно да се готви“.
Размислете за произволна функција, на пример, оваа:
Забележете дека аргументот на десната и левата страна на функциската равенка е ист број или израз.
Наместо променлива, можеме да го ставиме, на пример, следниот израз: . И тогаш ја добиваме функцијата
Да го наречеме изразот среден аргумент, а функцијата надворешна функција. Ова не се строги математички концепти, но помагаат да се разбере значењето на концептот на сложена функција.
Строгата дефиниција на концептот на сложена функција звучи вака:
Нека е дефинирана функција на множество и нека биде множеството вредности на оваа функција. Нека множеството (или неговото подмножество) е доменот на дефинирање на функцијата. Ајде да доделиме број на секој од нив. Така, функцијата ќе биде дефинирана на сетот. Се нарекува функционален состав или сложена функција.
Во оваа дефиниција, ако ја користиме нашата терминологија, надворешната функција е среден аргумент.
Изводот на сложена функција се наоѓа според следново правило:
За да биде појасно, сакам да го напишам ова правило на следниов начин:
Во овој израз, користењето означува средна функција.
Значи. За да го пронајдете изводот на сложена функција, ви треба
1. Определи која функција е надворешна и најди го соодветниот извод од табелата со изводи.
2. Дефинирајте среден аргумент.
Во оваа постапка, најголема тешкотија е да се најде надворешната функција. За ова се користи едноставен алгоритам:
А. Запишете ја равенката на функцијата.
б. Замислете дека треба да ја пресметате вредноста на функцијата за некоја вредност на x. За да го направите ова, ја заменувате оваа x вредност во равенката на функцијата и вршите аритметика. Последното дејство што го правите е надворешната функција.
На пример, во функцијата
Последната акција е експоненцијација.
Ајде да го најдеме изводот на оваа функција. За да го направите ова, пишуваме среден аргумент
Даден е доказ за формулата за извод на сложена функција. Детално се разгледуваат случаите кога сложената функција зависи од една или две променливи. Се прави генерализација на случајот на произволен број на променливи.
Овде даваме изведување на следните формули за извод на сложена функција.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Извод на сложена функција од една променлива
Нека функцијата од променливата x е претставена како сложена функција во следнава форма:
,
каде што има некои функции. Функцијата е диференцијабилна за некоја вредност на променливата x. Функцијата е диференцијабилна по вредноста на променливата.
Тогаш сложената (композитна) функција е диференцијабилна во точката x и нејзиниот извод се одредува со формулата:
(1)
.
Формулата (1) може да се запише и на следниов начин:
;
.
Доказ
Да ја воведеме следната нотација.
;
.
Овде постои функција на променливите и , постои функција на променливите и . Но, ќе ги испуштиме аргументите на овие функции за да не ги натрупуваме пресметките.
Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точките x и , соодветно, тогаш во овие точки постојат изводи на овие функции, кои се следните граници:
;
.
Размислете за следнава функција:
.
За фиксна вредност на променливата u, е функција од . Очигледно е дека
.
Потоа
.
Бидејќи функцијата е диференцијабилна функција во точката, таа е континуирана во таа точка. Затоа
.
Потоа
.
Сега го наоѓаме дериватот.
.
Формулата е докажана.
Последица
Ако функција од променлива x може да се претстави како сложена функција од сложена функција
,
тогаш неговиот дериват се одредува со формулата
.
Еве , и има некои диференцијабилни функции.
За да ја докажеме оваа формула, последователно го пресметуваме изводот користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција.
Размислете за сложената функција
.
Неговиот дериват
.
Размислете за оригиналната функција
.
Неговиот дериват
.
Извод на сложена функција од две променливи
Сега нека комплексната функција зависи од неколку променливи. Прво да погледнеме случај на сложена функција од две променливи.
Нека функцијата во зависност од променливата x биде претставена како сложена функција од две променливи во следнава форма:
,
Каде
и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- функција од две променливи, диференцијабилни во точката , . Тогаш комплексната функција е дефинирана во одредено соседство на точката и има извод, кој се одредува со формулата:
(2)
.
Доказ
Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точката, тие се дефинирани во одредено соседство на оваа точка, се континуирани во точката, а нивните изводи постојат во точката, што се следните граници:
;
.
Еве
;
.
Поради континуитетот на овие функции во една точка, имаме:
;
.
Бидејќи функцијата е диференцијабилна во точката, таа е дефинирана во одредено соседство на оваа точка, е континуирана во оваа точка, а нејзиното зголемување може да се запише во следната форма:
(3)
.
Еве
- зголемување на функцијата кога нејзините аргументи се зголемуваат со вредности и ;
;
- парцијални изводи на функцијата во однос на променливите и .
За фиксни вредности на и и се функции на променливите и . Тие имаат тенденција на нула на и:
;
.
Оттогаш и тогаш
;
.
Зголемување на функцијата:
.
:
.
Да го замениме (3):
.
Формулата е докажана.
Извод на сложена функција од неколку променливи
Горенаведениот заклучок лесно може да се генерализира во случај кога бројот на променливи на сложена функција е повеќе од две.
На пример, ако f е функција од три променливи, Тоа
,
Каде
, и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција од три променливи во точка , , .
Потоа, од дефиницијата за диференцијабилност на функцијата, имаме:
(4)
.
Бидејќи, поради континуитет,
;
;
,
Тоа
;
;
.
Поделувајќи го (4) со и преминувајќи до границата, добиваме:
.
И, конечно, да размислиме најопшт случај.
Нека функција од променлива x е претставена како сложена функција од n променливи во следнава форма:
,
Каде
има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција на n променливи во точка
,
,
... , .
Потоа
.
