Како да се најде дериват на сложени функции примери. Деривативно решение за кукли: одредување како да се најдат, примери на решенија. Деривати на елементарни функции
По прелиминарната артилериска подготовка, примерите со 3-4-5 прилози за функции ќе бидат помалку страшни. Можеби следните два примери ќе им изгледаат тешко на некои, но ако ги разберете (некој ќе страда), тогаш скоро с else друго во диференцијалната пресметка ќе изгледа како детска шега.
Пример 2
Најдете го изводот на функција
Како што веќе беше забележано, пред да се најде дериват на сложена функција, потребно е правоРАЗБИРАЈТЕ ги прилозите. Во случаи кога има сомнежи, се сеќавам на корисна техника: ја земаме експерименталната вредност на „Х“, на пример, и се обидуваме (ментално или на нацрт) да ја замениме оваа вредност во „страшниот израз“.
1) Прво, треба да го пресметаме изразот, што значи дека износот е најдлабоката инвестиција.
2) Потоа треба да го пресметате логаритамот:
4) Потоа подигнете го косинусот на коцка:
5) На петтиот чекор, разликата:
6) Конечно, најоддалечената функција е квадратен корен: 
Комплексна формула за диференцијација на функции 
се применуваат во обратен редослед, од најоддалечената функција до највнатрешната. Ние одлучуваме:
Изгледа без грешки:
1) Земете го изводот од квадратниот корен.
2) Го земаме дериватот на разликата користејќи го правилото 
3) Изводот на тројката е нула. Во вториот мандат, го земаме дериватот на степенот (коцка).
4) Го земаме дериватот на косинус.
6) И, конечно, го земаме дериватот од најдлабокото гнездење.
Можеби звучи премногу тешко, но ова с yet уште не е најбруталниот пример. Земете, на пример, колекцијата на Кузнецов и ќе го цените целиот шарм и едноставност на анализираниот дериват. Забележав дека тие сакаат да дадат слично нешто на испитот за да проверат дали ученикот разбира како да најде дериват на сложена функција или не разбира.
Следниот пример е за решение што го правите сами.
Пример 3
Најдете го изводот на функција
Совет: Прво, ние ги применуваме правилата за линеарност и правилото за диференцијација на производи
Целосно решение и одговор на крајот од упатството.
Сега е време да преминете на нешто покомпактно и слатко.
Не е невообичаено еден пример да даде производ од не две, туку три функции. Како да се најде дериват на производот од три фактори?
Пример 4
Најдете го изводот на функција 
Прво, да видиме дали е можно производот од три функции да се претвори во производ на две функции? На пример, ако имавме два полиноми во производот, тогаш би можеле да ги прошириме заградите. Но, во овој пример, сите функции се различни: степен, експонент и логаритам.
Во такви случаи, потребно е доследноприменуваат правило за диференцијација на производи 
двапати
Трикот е во тоа што за „y“ означуваме производ од две функции: и за „ve“ - логаритам :. Зошто може да се направи ова? Дали е тоа 
- ова не е производ на два фактора и правилото не функционира?! Нема ништо комплицирано:
Сега останува да се примени правилото по втор пат до заграда:
С still уште можете да бидете изопачени и да ставите нешто надвор од заградите, но во овој случај подобро е да го оставите одговорот во оваа форма - ќе биде полесно да се провери.
Разгледаниот пример може да се реши на втор начин:
И двете решенија се апсолутно еквивалентни.
Пример 5
Најдете го изводот на функција
Ова е пример за независно решение, во примерокот се решава на прв начин.
Ајде да погледнеме слични примери со дропки.
Пример 6
Најдете го изводот на функција 
Овде можете да одите на неколку начини:
Или вака:
Но, решението ќе се напише покомпактно ако, пред с, го користиме правилото за разликување на количникот 
, земајќи го целиот броител:
Во принцип, примерот е решен, и ако го оставите како што е, тоа нема да биде грешка. Но, ако имате време, секогаш е препорачливо да проверите нацрт, но дали е можно да го поедноставите одговорот?
Ајде да го доведеме изразот на броителот во заеднички именител и да се ослободиме од трикратната дропка:
Недостаток на дополнителните поедноставувања е дека постои ризик да се направи грешка не во пронаоѓањето на дериватот, туку во баналните училишни трансформации. Од друга страна, наставниците често ја отфрлаат задачата и бараат да се „донесе на ум“ изводот.
Поедноставен пример за решение направено сами:
Пример 7
Најдете го изводот на функција
Продолжуваме да ги совладуваме методите за пронаоѓање на дериватот, и сега ќе разгледаме типичен случај кога „страшниот“ логаритам е предложен за диференцијација
Во оваа лекција ќе научиме како да најдеме дериват на сложена функција... Лекцијата е логично продолжение на лекцијата Како да го најдам изводот?, на кои ги анализиравме наједноставните деривати, а исто така се запознавме со правилата за диференцијација и некои техники за наоѓање деривати. Така, ако не сте многу добри со дериватите на функциите, или некои точки од овој напис не се целосно јасни, тогаш прво прочитајте ја горната лекција. Ве молиме, прилагодете се на сериозно расположение - материјалот не е лесен, но ќе се обидам да го претставам едноставно и лесно.
Во пракса, треба многу често да се занимавате со дериватот на сложена функција, дури и би рекол, скоро секогаш, кога ви се дадени задачи да пронајдете деривати.
Ние гледаме во табелата правило (бр. 5) за разликување на сложена функција:
Разбирање. Пред с,, да обрнеме внимание на снимањето. Тука имаме две функции - и, згора на тоа, функцијата, фигуративно кажано, е вградена во функцијата. Функција од овој вид (кога една функција е вгнездена во друга) се нарекува комплексна функција.
Willе ја повикам функцијата надворешна функцијаи функцијата - внатрешна (или вгнездена) функција.
! Овие дефиниции не се теоретски и не треба да се појавуваат во конечниот дизајн на задачите. Користам неформални изрази „надворешна функција“, „внатрешна“ функција само за да ви го олеснам разбирањето на материјалот.
За да ја разјасните ситуацијата, размислете:
Пример 1
Најдете го изводот на функција
Под синусот, ја немаме само буквата „Х“, туку цел израз, така што нема да работи да го најдеме изводот веднаш од табелата. Исто така, забележуваме дека е невозможно да се применат првите четири правила овде, се чини дека има разлика, но факт е дека не можете да „разделите“ синус:
Во овој пример, веќе од моите објаснувања, интуитивно е јасно дека функцијата е комплексна функција, а полиномот е внатрешна функција (гнездење) и надворешна функција.
Првиот чекор, што мора да се изврши при наоѓање на дериват на сложена функција, е тоа дознајте која функција е внатрешна, а која надворешна.
Во случај на едноставни примери, се чини дека е полином вгнезден под синусот. Но, што ако с everything не е очигледно? Како точно да се одреди која функција е надворешна, а која внатрешна? За да го направите ова, предлагам да ја користите следната техника, која може да се направи ментално или на нацрт.
Замислете дека треба да ја пресметаме вредноста на изразот на калкулатор (наместо еден, може да има кој било број).
Што ќе пресметаме прво? Најпрвоќе треба да ја извршите следната акција: така, полиномот ќе биде внатрешна функција: 
Средноќе треба да се најде, така што синусот ќе биде надворешна функција: 
Откако ние Сфатисо внатрешни и надворешни функции, крајно време е да се примени правилото за диференцијација на сложена функција.
Почнуваме да одлучуваме. Од лекцијата Како да го најдам изводот?се сеќаваме дека дизајнот на решението на кој било дериват започнува вака - го затвораме изразот во загради и ставаме удар во горниот десен агол:
Првого наоѓаме изводот на надворешната функција (синус), погледнете ја табелата со деривати на елементарни функции и забележете дека. Сите табеларни формули се применливи дури и ако "x" се замени со сложен израз, во овој случај:
Забележете дека внатрешната функција не се промени, ние не го допираме.
Па, сосема е очигледно дека
Резултатот од примената на формулата во конечниот дизајн изгледа вака:
Константниот фактор обично се става на почетокот на изразот:
Ако има забуна, запишете го решението и повторно прочитајте ги објаснувањата.
Пример 2
Најдете го изводот на функција
Пример 3
Најдете го изводот на функција
Како и секогаш, ние запишуваме: 
Ајде да разбереме каде имаме надворешна функција, а каде внатрешна. За да го направите ова, обидете се (ментално или на нацрт) да ја пресметате вредноста на изразот на. Што треба да се направи прво? Пред с, треба да пресметате на што е еднаква основата: што значи дека полиномот е внатрешна функција: 
И, само тогаш се врши експоненцијација, затоа, функцијата за напојување е надворешна функција: 
Според формулата, прво треба да го пронајдете изводот на надворешната функција, во овој случај, степенот. Ние ја бараме потребната формула во табелата:. Повторуваме повторно: секоја табеларна формула важи не само за "x", туку и за комплексен израз... Така, резултатот од примената на правилото за диференцијација на комплексна функција е како што следува:
Повторно нагласувам дека кога го земаме дериватот на надворешната функција, внатрешната функција не се менува за нас: 
Сега останува да најдеме многу едноставен дериват на внатрешната функција и малку да го „чешламе“ резултатот:
Пример 4
Најдете го изводот на функција
Ова е пример за решение направено сами (одговорете на крајот од упатството).
За да се консолидира разбирањето на дериватот на сложена функција, ќе дадам пример без коментари, обидете се сами да го сфатите, шпекулирате каде е надворешната, а каде внатрешната, зошто задачите беа решени на тој начин?
Пример 5
а) Најди го изводот на функцијата
б) Најди го изводот на функцијата
Пример 6
Најдете го изводот на функција 
Тука имаме корен, и за да го разликуваме коренот, тој мора да биде претставен како степен. Така, прво ја доведуваме функцијата во форма соодветна за диференцијација:
Анализирајќи ја функцијата, доаѓаме до заклучок дека збирот од трите поими е внатрешна функција, а експоненцијацијата е надворешна функција. Ние го применуваме правилото за диференцијација на сложена функција:
Степенот повторно е претставен како радикал (корен), а за дериватот на внатрешната функција применуваме едноставно правило за диференцирање на збирот:
Подготвен. Можете исто така да го доведете изразот до заеднички именител во загради и да запишете с everything во една фракција. Се разбира, убаво, но кога ќе се добијат тешки долги деривати, подобро е да не го направите ова (лесно е да се збуните, да направите непотребна грешка и ќе биде незгодно за наставникот да провери).
Пример 7
Најдете го изводот на функција
Ова е пример за решение направено сами (одговорете на крајот од упатството).
Интересно е да се напомене дека понекогаш, наместо правилото за диференцијација на сложена функција, може да се користи правило за диференцијација на количникот 
, но таквата одлука ќе изгледа смешно како перверзија. Еве типичен пример:
Пример 8
Најдете го изводот на функција
Овде можете да го користите правилото за диференцијација на количникот , но многу попрофитабилно е да се најде дериват преку правилото за диференцијација на комплексна функција:
Ја подготвуваме функцијата за диференцијација - го поместуваме минусот зад знакот на изводот и го креваме косинусот до броителот:
Косинусот е внатрешна функција, експоненцијацијата е надворешна функција.
Ние го користиме нашето правило:
Најдете го дериватот на внатрешната функција, вратете го косинусот назад:
Подготвен. Во овој пример, важно е да не се мешате во знаците. Патем, обидете се да го решите со правило , одговорите мора да се совпаѓаат.
Пример 9
Најдете го изводот на функција
Ова е пример за решение направено сами (одговорете на крајот од упатството).
Досега, разгледавме случаи кога имавме само една приврзаност во сложена функција. Во практични задачи, често можете да најдете деривати, каде што, како кукли за гнездење, една во друга, 3, па дури и 4-5 функции се вгнездени одеднаш.
Пример 10
Најдете го изводот на функција
Ајде да ги разбереме прилозите на оваа функција. Обидувајќи се да го оцените изразот користејќи ја вредноста на тестот. Како би сметале на калкулатор?
Прво треба да пронајдете, што значи дека лакот е најдлабокото гнездење:
Тогаш овој аркин на еден треба да се квадрира:
И, конечно, ние ги креваме седумте на моќ: 
Односно, во овој пример, имаме три различни функции и две прилози, додека внатрешната функција е аркин, а најоддалечената е експоненцијалната функција.
Почнуваме да решаваме
Според правилото, прво треба да го земете дериватот на надворешната функција. Ја гледаме табелата на деривати и го наоѓаме дериватот на експоненцијалната функција: Единствената разлика е во тоа што наместо „х“ имаме сложен израз, што не ја негира валидноста на оваа формула. Значи, резултатот од примената на правилото за диференцијација на комплексна функција е како што следува:
Под удар, повторно имаме комплексна функција! Но, тоа е веќе поедноставно. Лесно е да се потврди дека внатрешната функција е аркин, надворешната функција е степенот. Според правилото за диференцирање на сложена функција, прво треба да земете дериват на степенот.
Многу е лесно да се запамети.
Па, да не одиме далеку, веднаш ќе ја разгледаме обратната функција. Која функција е обратна од експоненцијалната функција? Логаритам:
Во нашиот случај, основата е број:
Таков логаритам (односно логаритам со основа) се нарекува „природен“, и за него користиме специјална нотација: пишуваме наместо тоа.
На што е еднакво? Секако, .
Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:
Примери:
- Најдете го изводот на функцијата.
- Кој е изводот на функцијата?
Одговори: Експонентен и природен логаритам се уникатно едноставни функции од гледна точка на дериватот. Експоненцијалните и логаритамските функции со која било друга основа ќе имаат различен дериват, што ќе го анализираме подоцна, откако ќе ги поминеме правилата за диференцијација.
Правила за диференцијација
Правилата за што? Повторно нов термин, повторно?! ...
Диференцијацијае процес на наоѓање дериват.
Тоа е се. Како инаку да се нарече овој процес со еден збор? Не е изведување ... Диференцијалот на математиката се нарекува исто зголемување на функцијата кај. Овој термин доаѓа од латинската диференција - разлика. Еве.
При изведување на сите овие правила, ќе користиме две функции, на пример, и. Исто така, ни требаат формули за нивните зголемувања:
Има вкупно 5 правила.
Константата се поместува надвор од деривативниот знак.
Ако е некој константен број (константа), тогаш.
Очигледно, ова правило работи и за разликата:.
Ајде да докажеме. Дозволете, или полесно.
Примери.
Најдете ги дериватите на функциите:
- на местото;
- на местото;
- на местото;
- на точката.
Решенија:
- (изводот е ист во сите точки, бидејќи е линеарна функција, се сеќавате?);
Дериват на делото
С Everything е исто овде: воведуваме нова функција и го наоѓаме нејзиниот прираст:
Дериват:
Примери:
- Најди ги дериватите на функциите и;
- Најдете го изводот на функцијата во точката.
Решенија:
Дериват на експоненцијалната функција
Сега вашето знаење е доволно за да научите како да го пронајдете изводот на која било експоненцијална функција, а не само на експонентот (дали сте заборавиле што е тоа?).
Значи, каде е одреден број.
Ние веќе го знаеме дериватот на функцијата, па затоа да се обидеме да ја фрлиме нашата функција на нов радикс:
За да го направите ова, ние ќе користиме едноставно правило:. Потоа:
Па, тоа функционираше. Сега обидете се да го пронајдете изводот и не заборавајте дека оваа функција е незгодна.
Се случи?
Еве, проверете сами:
Формулата се покажа многу слична со дериватот на експонентот: како што беше, останува, се појави само множител, што е само број, но не и променлива.
Примери:
Најдете ги дериватите на функциите:
Одговори:
Ова е само број што не може да се пресмета без калкулатор, односно не може да се запише во поедноставна форма. Затоа, во одговорот го оставаме во оваа форма.
Забележете дека тука е количникот на две функции, затоа го применуваме соодветното правило за диференцијација:
Во овој пример, производ на две функции:
Дериват на логаритамска функција
Тука е слично: веќе го знаете дериватот на природниот логаритам:
Затоа, за да пронајдете произволен логаритам со различна основа, на пример:
Треба да го доведете овој логаритам до основата. Како ја менувате основата на логаритамот? Се надевам дека се сеќавате на оваа формула:
Само сега ќе напишеме наместо тоа:
Именувачот е само константа (константен број, без променлива). Дериватот е многу едноставен:
Дериватите на експоненцијални и логаритамски функции речиси никогаш не се наоѓаат во УПОТРЕБАТА, но нема да биде излишно да се знаат.
Дериват на сложена функција.
Што е „сложена функција“? Не, ова не е логаритам и не е арктиангенс. Овие функции може да бидат тешко разбирливи (иако ако логаритамот ви изгледа тежок, прочитајте ја темата „Логаритами“ и с everything ќе помине), но од гледна точка на математиката, зборот „тешко“ не значи „тешко“.
Замислете мала подвижна лента: двајца седат и прават некаква акција со некои предмети. На пример, првиот го обвиткува чоколадото во обвивка, а второто го врзува со лента. Излегува таков композитен објект: чоколадна лента завиткана и врзана со лента. За да јадете чоколадо, треба да ги направите обратните чекори во обратен редослед.
Ајде да создадеме сличен математички гасовод: прво ќе го најдеме косинусот на број, а потоа ќе го квадрираме добиениот број. Значи, ни е даден број (чоколадо), го наоѓам неговиот косинус (обвивка), а вие потоа квадрирајте го она што го добив (врзете го со лента). Што се случи? Функција. Ова е пример за сложена функција: кога, за да ја пронајдеме неговата вредност, го правиме првото дејство директно со променливата, а потоа уште едно второ дејство со резултатот од првото.
Со други зборови, комплексна функција е функција чиј аргумент е друга функција: .
За нашиот пример ,.
Можеби ќе ги правиме истите дејства во обратен редослед: прво извади квадрат, а потоа јас го барам косинусот од добиениот број: Лесно е да се погоди дека резултатот скоро секогаш ќе биде различен. Важна карактеристика на сложените функции: кога го менувате редоследот на дејствата, функцијата се менува.
Втор пример: (исто). ...
Акцијата што ја правиме последна ќе се вика „Надворешна“ функција, и дејството преземено прво - соодветно "Внатрешна" функција(ова се неформални имиња, ги користам само за да го објаснам материјалот на едноставен јазик).
Обидете се сами да одредите која функција е надворешна, а која внатрешна:
Одговори:Одвојувањето внатрешни и надворешни функции е многу слично со промената на променливите: на пример, во функција
- Која е првата акција што треба да се преземе? Прво, ќе го пресметаме синусот, и само тогаш ќе го подигнеме на коцка. Ова значи дека тоа е внатрешна функција, но надворешна.
И оригиналната функција е нивниот состав:. - Внатрешно :; надворешно :.
Испитување: . - Внатрешно :; надворешно :.
Испитување: . - Внатрешно :; надворешно :.
Испитување: . - Внатрешно :; надворешно :.
Испитување: .
менуваме променливи и добиваме функција.
Па, сега ќе ја извадиме нашата чоколадна лента - барајте дериват. Постапката е секогаш спротивна: прво го бараме изводот на надворешната функција, потоа го множиме резултатот со дериватот на внатрешната функција. Во однос на оригиналниот пример, изгледа вака:
Друг пример:
Значи, конечно да формулираме официјално правило:
Алгоритам за пронаоѓање на дериват на сложена функција:
Се чини дека с be е едноставно, нели?
Ајде да провериме со примери:
Решенија:
1) Внатрешно :;
Надворешно :;
2) Внатрешно :;
(само не обидувајте се да намалите до сега! Ништо не може да се извади од под косинусот, се сеќавате?)
3) Внатрешно :;
Надворешно :;
Веднаш е јасно дека тука има комплексна функција на три нивоа: на крајот на краиштата, ова е веќе комплексна функција само по себе, а ние исто така го извлекуваме коренот од него, односно го изведуваме третото дејство (ставаме чоколадо во обвивка и со лента во портфолио). Но, нема причина да се плашиме: во секој случај, ќе ја „отпакуваме“ оваа функција во истиот редослед како и обично: од крајот.
Односно, прво го разликуваме коренот, потоа косинусот и само тогаш изразот во загради. И тогаш го множиме сето ова.
Во такви случаи, погодно е да се нумерираат дејствата. Тоа е, да замислиме што знаеме. По кој редослед ќе извршиме дејствија за пресметување на вредноста на овој израз? Да земеме пример:
Колку подоцна се изврши дејството, толку „надворешна“ ќе биде соодветната функција. Редоследот на дејствата - како и досега:
Тука, гнездото е генерално на 4 нивоа. Ајде да дефинираме курс на дејствување.
1. Радикален израз. ...
2. Корен. ...
3. Синус. ...
4. Плоштад. ...
5. Склопување на с everything заедно:
ДЕРИВАТИВА. КРАТКО ЗА ГЛАВНАТА
Дериват на функција- односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот со бесконечно мал прираст на аргументот:
Основни деривати:
Правила за диференцијација:
Константата се поместува надвор од деривативниот знак:
Дериват на износот:
Дериват на делото:
Дериват на количникот:
Дериват на сложена функција:
Алгоритам за пронаоѓање на дериват на сложена функција:
- Ја дефинираме "внатрешната" функција, го наоѓаме неговиот дериват.
- Ја дефинираме "надворешната" функција, го наоѓаме неговиот дериват.
- Ги множиме резултатите од првата и втората точка.
Откако дојдовте овде, веројатно веќе сте ја виделе оваа формула во учебникот
и направи лице вака:
Пријателе, не грижи се! Всушност, с everything е едноставно за срам. Дефинитивно ќе разберете с. Само едно барање - прочитајте ја статијата полека, обидете се да го разберете секој чекор. Пишував што е можно поедноставно и појасно, но сепак треба да ја сфатите идејата. И не заборавајте да ги решите задачите од статијата.
Што е комплексна функција?
Замислете дека се преселувате во друг стан и затоа ги пакувате работите во големи кутии. Да претпоставиме дека треба да соберете некои мали предмети, на пример, училишни материјали за пишување. Ако само ги фрлите во огромна кутија, тогаш тие ќе се изгубат меѓу другото. За да го избегнете ова, прво ги ставате, на пример, во торба, која потоа ја ставате во голема кутија, по што ја запечатувате. Овој „сложен“ процес е прикажан на дијаграмот подолу:
Се чини, каква врска има математиката со тоа? Покрај тоа, комплексна функција се формира ТОЧНО на ист начин! Само ние „пакуваме“ не тетратки и пенкала, туку \ (x \), додека „пакетите“ и „кутиите“ се различни.
На пример, да земеме x и да го „спакуваме“ во функција:
Како резултат на тоа, добиваме, се разбира, \ (\ cosx \). Ова е нашата „торба со нешта“. И сега го ставивме во "кутија" - го спакуваме, на пример, во кубна функција.
Што ќе се случи на крајот? Да, точно е, ќе има „торба со работи во кутија“, односно „косинус од х во коцка“.
Резултирачката конструкција е комплексна функција. Се разликува од едноставниот по тоа на едно X се применува НЕКОЛКУ „влијанија“ (пакети) по реди излегува, како што беше, „функција од функција“ - „пакување во пакување“.
Во училишниот курс, има многу малку типови на исти „пакети“, само четири:
Ајде сега да го „спакуваме“ x прво во експоненцијална функција со база 7, а потоа во тригонометриска функција. Добиваме:
\ (x → 7 ^ x → tg (7 ^ x) \)
И сега ќе „спакуваме“ x двапати во тригонометриски функции, прво во, а потоа во:
\ (x → sinx → ctg (sinx) \)
Едноставно, нели?
Сега напишете ја самата функција, каде што x:
- прво „спакувано“ во косинус, а потоа во експоненцијална функција со основата \ (3 \);
- прво до петти степен, а потоа до тангента;
- прво во логаритам до основата \ (4 \)
, потоа до моќта \ (- 2 \).
Погледнете ги одговорите на оваа задача на крајот од статијата.
И дали можеме да го „спакуваме“ Х не два, туку три пати? Нема проблем! И четири, и пет, и дваесет и пет пати. На пример, тука е функција во која x е „спакуван“ \ (4 \) пати:
\ (y = 5 ^ (\ log_2 (\ sin (x ^ 4))) \)
Но, таквите формули нема да се сретнат во училишната пракса (учениците се посреќни - можеби се посложени).
Отпакување комплексна функција
Погледнете ја претходната функција повторно. Можете ли да ја откриете секвенцата за пакување? Во она што X беше вметнато прво, во што потоа, и така натаму до самиот крај. Односно, во која функција е вгнездена? Земете парче хартија и запишете што мислите. Можете да го направите ова со ланец со стрели, како што напишавме погоре, или на кој било друг начин.
Сега точниот одговор: прво, x беше „спакуван“ во \ (4 \) - тата моќност, потоа резултатот беше спакуван во синус, тој пак беше ставен во логаритам до основата \ (2 \), и на крајот целата оваа конструкција беше втурната во моќните петорки.
Односно, неопходно е да се разоткрие секвенцата ВО ОБРАЗНА РЕД. И тука е навестување како да го направите тоа полесно: само погледнете во Х - од него и мора да танцувате. Ајде да погледнеме неколку примери.
На пример, еве една функција: \ (y = tg (\ log_2x) \). Гледаме во Х - што се случува со него прво? Одземено е од него. И потоа? Се зема тангента на резултатот. Редоследот ќе биде ист:
\ (x → \ log_2x → tg (\ log_2x) \)
Друг пример: \ (y = \ cos ((x ^ 3)) \). Ние анализираме - прво, x беше подигнат на коцка, а потоа косинусот беше земен од резултатот. Оттука, низата ќе биде: \ (x → x ^ 3 → \ cos ((x ^ 3)) \). Обрнете внимание, се чини дека функцијата е слична на првата (каде што има слики). Но, ова е сосема поинаква функција: овде во x коцката (односно, \ (\ cos ((xxx))) \), и таму, во коцката, косинусот \ (x \) (односно, \ (\ cos x \ cosx \ cosx \)). Оваа разлика произлегува од различни секвенци на пакување.
Последниот пример (со важни информации во него): \ (y = \ sin ((2x + 5)) \). Јасно е дека овде прво правеа аритметички операции со x, потоа го земаа синусот од резултатот: \ (x → 2x + 5 → \ sin ((2x + 5)) \). И ова е важна точка: и покрај фактот дека аритметичките операции сами по себе не се функции, тука тие исто така дејствуваат како начин на "пакување". Ајде да одиме малку подлабоко во оваа суптилност.
Како што реков погоре, во едноставни функции, x е „спакуван“ еднаш, а во сложени функции - две или повеќе. Покрај тоа, секоја комбинација на едноставни функции (односно нивната сума, разлика, множење или делење) е исто така едноставна функција. На пример, \ (x ^ 7 \) е едноставна функција и \ (ctg x \) исто така. Ова значи дека сите нивни комбинации се едноставни функции:
\ (x ^ 7 + ctg x \) - едноставно,
\ (x ^ 7 ctg x \) - едноставно,
\ (\ frac (x ^ 7) (ctg x) \) - едноставно, итн.
Меѓутоа, ако се примени уште една функција на таква комбинација, таа веќе ќе биде сложена функција, бидејќи ќе има две „пакувања“. Погледнете го дијаграмот:
Добро, ајде сега. Напишете низа функции за „завиткување“:
\ (y = cos ( (sinx)) \)
\ (y = 5 ^ (x ^ 7) \)
\ (y = arctg (11 ^ x) \)
\ (y = log_2 (1 + x) \)
Одговорите се повторно на крајот од статијата.
Внатрешни и надворешни функции
Зошто треба да разбереме вгнездување на функцијата? Што ни дава? Факт е дека без таква анализа нема да можеме сигурно да ги најдеме дериватите на функциите анализирани погоре.
И за да продолжиме понатаму, ќе ни требаат уште два концепта: внатрешни и надворешни функции. Ова е многу едноставна работа, згора на тоа, всушност, ние веќе ги средивме погоре: ако се сеќавате на нашата аналогија на самиот почеток, тогаш внатрешната функција е „пакет“, а надворешната е „кутија“. Оние она што Х е „завиткано“ на почетокот е внатрешна функција, а она во што е „завиткана“ внатрешната функција е веќе надворешна. Па, јасно е зошто - таа е надвор, а потоа надворешна.
Во овој пример: \ (y = tg (log_2x) \), функцијата \ (\ log_2x \) е внатрешна, и 
- надворешно.
И во ова: \ (y = \ cos ((x ^ 3 + 2x + 1)) \), \ (x ^ 3 + 2x + 1 \) е внатрешно, и 
- надворешно.
Следете ја последната практика за анализа на сложени функции и конечно преминете на она за што се работеше - ќе ги најдеме дериватите на сложените функции:
Пополнете ги празните места во табелата:
Дериват на сложена функција
Браво за нас, сепак стигнавме до „шефот“ на оваа тема - всушност, дериват на сложена функција, и конкретно, на таа многу страшна формула од почетокот на статијата.
\ ((f (g (x))) "= f" (g (x)) \ cdot g "(x) \)
Оваа формула гласи вака:
Дериватот на комплексна функција е еднаков на производот на дериватот на надворешната функција во однос на постојаната внатрешна функција со дериватот на внатрешната функција.
И веднаш погледнете ја шемата за анализирање „по зборови“ за да разберете на што да се однесувате:
Се надевам дека термините "дериват" и "производ" не предизвикуваат никакви тешкотии. „Комплексна функција“ - ние веќе ја анализиравме. Замка во „дериват на надворешна функција во однос на непроменлива внатрешна“. Што е тоа?
Одговор: ова е вообичаен дериват на надворешната функција, во која се менува само надворешната функција, а внатрешната останува иста. Зарем не е јасно во секој случај? Добро, ајде да користиме пример.
Да претпоставиме дека имаме функција \ (y = \ sin (x ^ 3) \). Јасно е дека внатрешната функција тука \ (x ^ 3 \), а надворешната 
... Ајде сега да го најдеме дериватот на надворешното во однос на непроменливото внатрешно.
Ако е(x) и ѓ(u) Дали се разликуваат функциите на нивните аргументи, соодветно, во точките xи u= е(x), тогаш сложената функција е исто така диференцијабилна во точката xи се наоѓа по формулата
Типична грешка при решавање на деривативните проблеми е автоматскиот пренос на правилата за диференцирање на едноставните функции на сложени функции. Willе научиме да ја избегнуваме оваа грешка.
Пример 2.Најдете го изводот на функција
Погрешно решение:пресметај го природниот логаритам на секој член во заграда и барај го збирот на дериватите:
Правилна одлука:повторно дефинираме каде е „јаболко“, а каде „мелено месо“. Тука, природниот логаритам на изразот во загради е „јаболко“, односно функција со среден аргумент u, а изразот во заградата е „критикувам“, односно среден аргумент uна независната променлива x.
Потоа (користејќи ја формулата 14 од табелата на деривати)
Во многу реални проблеми, изразот со логаритам е нешто покомплициран, така што има лекција
Пример 3.Најдете го изводот на функција
Погрешно решение:
Правилната одлука.Уште еднаш, одредуваме каде е „јаболко“, а каде „мелено месо“. Тука, косинусот на изразот во загради (формула 7 во табелата на деривати) е „јаболко“, се подготвува во режим 1, влијае само на него, и изразот во загради (дериватот на моќноста е број 3 во табела на деривати) е "мелено месо", се подготвува со режим 2, што влијае само на него. И, како и секогаш, ги поврзуваме двата деривати со работен знак. Резултат:
Дериватот на сложена логаритамска функција е честа задача во тест -трудовите, затоа силно препорачуваме да ја посетите лекцијата „Дериват на логаритамска функција“.
Првите примери беа за сложени функции во кои средниот аргумент за независната променлива беше едноставна функција. Но, во практични задачи често се бара да се најде дериват на сложена функција, каде што средниот аргумент или сам по себе е комплексна функција или содржи таква функција. Што да направите во такви случаи? Најдете деривати на такви функции користејќи табели и правила за диференцијација. Кога ќе се најде дериватот на средниот аргумент, тој едноставно се заменува на вистинското место во формулата. Подолу се дадени два примери како се прави ова.
Исто така е корисно да се знае следново. Ако сложената функција може да се претстави како синџир од три функции
тогаш неговиот дериват треба да се најде како производ на дериватите на секоја од овие функции:
Многу од вашите домашни задачи може да бараат отворање упатства во нови прозорци Дејства со моќ и корении Дејства на дропки .
Пример 4.Најдете го изводот на функција
Го применуваме правилото за диференцијација на комплексна функција, не заборавајќи дека во добиениот производ на деривати, средниот аргумент во однос на независната променлива xне се менува:
Ние го подготвуваме вториот фактор на производот и го применуваме правилото за диференцирање на збирот:
Вториот термин е корен, затоа
Така, добивме дека средниот аргумент, кој е збир, содржи комплексна функција како еден од термините: издигнувањето на моќта е сложена функција, а она што се издигнува до моќност е среден аргумент во однос на независната променлива x.
Затоа, повторно го применуваме правилото за диференцирање на сложена функција:
Ние го трансформираме степенот на првиот фактор во корен, и разликувајќи го вториот фактор, не заборавајте дека дериватот на константа е еднаков на нула:
Сега можеме да го најдеме дериватот на средниот аргумент потребен за пресметување на дериватот на сложена функција потребна во проблематичната состојба y:
Пример 5.Најдете го изводот на функција
Прво, да го искористиме правилото за диференцијација на збирот:
Доби збир од деривати на две сложени функции. Го наоѓаме првиот од нив:
Тука подигнувањето на синусот до моќност е сложена функција, а самиот синус е среден аргумент во однос на независната променлива x... Затоа, ние ќе го користиме правилото за диференцијација на комплексна функција, попатно факторирање на факторот :
Сега го наоѓаме вториот поим од генераторите на дериватот на функцијата y:
Тука подигнувањето на косинусот до моќ е комплексна функција ѓ, а самиот косинус е среден аргумент во однос на независната променлива x... Ајде повторно да го искористиме правилото за диференцијација на сложена функција:
Резултатот е потребниот дериват:
Изводна табела на некои сложени функции
За комплексни функции, врз основа на правилото за диференцијација на сложена функција, формулата за дериват на едноставна функција има поинаква форма.
| 1. Дериват на сложена моќна функција, каде u x |  |
| 2. Извод од коренот на изразот | |
| 3. Дериват на експоненцијалната функција |  |
| 4. Посебен случај на експоненцијална функција | |
| 5. Дериват на логаритамска функција со произволна позитивна основа но |  |
| 6. Дериват на сложена логаритамска функција, каде u- диференцијабилна функција на аргументи x | |
| 7. Дериват на синус |  |
| 8. Дериват на косинус |  |
| 9. Дериват на тангентата |  |
| 10. Извод од котангенс |  |
| 11. Дериват на аркин |  |
| 12. Дериват на аркозин |  |
| 13. Дериват на арктангенсот |  |
| 14. Дериват на лак котангенс |  |
