дома > Идеи > Последици од симетралите на слични триаголници. Симетрала на триаголник. Детална теорија со примери (2019)


Последици од симетралите на слични триаголници. Симетрала на триаголник. Детална теорија со примери (2019)




Геометријата е една од најкомплексните и најзбунувачките науки. Во него, она што на прв поглед изгледа очигледно многу ретко излегува дека е точно. Симетрали, височини, медијани, проекции, тангенти - огромен број навистина тешки поими, кои многу лесно се мешаат.

Всушност, со соодветна желба, можете да разберете теорија на секаква сложеност. Кога станува збор за симетрали, медијана и надморска височина, треба да разберете дека тие не се единствени само за триаголниците. На прв поглед, ова се едноставни линии, но секоја од нив има свои својства и функции, чие знаење во голема мера го поедноставува решавањето на геометриските проблеми. Значи, која е симетралата на триаголникот?

Дефиниција

Самиот термин „симетрала“ доаѓа од комбинацијата Латински зборови„два“ и „сече“, „сече“, што веќе индиректно ги означува неговите својства. Обично, кога децата се запознаваат со овој зрак, им се дава кратка фраза за паметење: „Симетралата е стаорец што трча по аглите и го дели аголот на половина“. Природно, таквото објаснување не е погодно за постарите ученици, а освен тоа, тие обично не се прашуваат за агол, туку за геометриска фигура. Значи симетралата на триаголникот е зрак што го поврзува темето на триаголникот со спротивната страна, додека го дели аголот на два еднакви дела. Точката на спротивната страна на која доаѓа симетралата е избрана случајно за произволен триаголник.

Основни функции и својства

Овој зрак има неколку основни својства. Прво, бидејќи симетралата на триаголникот го преполовува аголот, секоја точка што лежи на него ќе биде на еднакво растојаниеод страните што го формираат врвот. Второ, во секој триаголник можете да нацртате три симетрали, според бројот на достапни агли (оттука, во истиот четириаголник веќе ќе има четири и така натаму). Точката во која се сечат сите три зраци е центарот на кругот впишан во триаголникот.

Својствата стануваат посложени

Ајде малку да ја искомплицираме теоријата. Друго интересно својство: симетралата на аголот на триаголникот ја дели спротивната страна на сегменти, чиј однос е еднаков на односот на страните што го формираат темето. На прв поглед, ова е комплицирано, но всушност сè е едноставно: на предложената слика, RL: LQ = PR: PK. Патем, ова својство беше наречено „Теорема на бисектори“ и за прв пат се појави во делата на античкиот грчки математичар Евклид. Во еден од руските учебници беше запаметен само во првата четвртина на XVII век.

Малку е покомплицирано. Во четириаголник, симетралата отсекува рамнокрак триаголник. Оваа слика ги прикажува сите еднакви агли за средната AF.

И во четириаголници и трапезоиди, симетралите на едностраните агли се нормални едни на други. На прикажаниот цртеж, аголот APB е 90 степени.

Во рамнокрак триаголник

Симетралата на рамнокрак триаголник е многу покорисен зрак. Во исто време не е само делител на агол на половина, туку и средна и надморска височина.

Медијаната е отсечка што доаѓа од некој агол и паѓа на средината на спротивната страна, со што ја дели на еднакви делови. Висината е нормална спуштена од темето на спротивната страна, со негова помош секој проблем може да се сведе на едноставна и примитивна Питагорова теорема. Во оваа ситуација, симетралата на триаголникот е еднаква на коренот на разликата помеѓу квадратот на хипотенузата и другата катета. Патем, овој имот најчесто се среќава во геометриски проблеми.

Да се ​​консолидира: во овој триаголник, симетралата FB е медијана (AB = BC) и висина (аглите FBC и FBA се 90 степени).

Во преглед

Значи, што треба да запомните? Симетралата на триаголникот е зракот што го преполовува неговото теме. На пресекот на трите зраци се наоѓа центарот на кругот впишан во овој триаголник (единствениот недостаток на ова својство е што нема практична вредност и служи само за компетентно извршување на цртежот). Исто така, ја дели спротивната страна на сегменти, чиј однос е еднаков на односот на страните меѓу кои поминал овој зрак. Во четириаголник, својствата стануваат малку покомплицирани, но, мора да се признае, тие практично никогаш не се појавуваат во проблеми на ниво на училиште, па затоа обично не се допираат во програмата.

Симетралата на рамнокрак триаголник е крајниот сон на секој ученик. Тоа е и средна (односно, ја дели спротивната страна на половина) и надморска височина (нормална на таа страна). Решавањето проблеми со таква симетрала се сведува на Питагоровата теорема.

Познавањето на основните функции на симетралата, како и неговите основни својства е неопходно за решавање на геометриски задачи и на просечна и на високо нивотешкотии. Всушност, овој зрак се наоѓа само во планиметријата, така што не може да се каже дека меморирањето информации за него ќе ви овозможи да се справите со сите видови задачи.

Триаголник е многуаголник со три страни, или затворена скршена линија со три врски, или фигура формирана од три отсечки што поврзуваат три точки кои не лежат на иста права линија (види слика 1).

Основни елементи на триаголникот abc

Врвови – точки А, Б и В;

Забави – отсечки a = BC, b = AC и c = AB што ги поврзуваат темињата;

Агли – α, β, γ формирани од три пара страни. Аглите често се означени на ист начин како темињата, со буквите A, B и C.

Аголот што го формираат страните на триаголникот и лежи во неговата внатрешна област се нарекува внатрешен агол, а оној што е во непосредна близина на него е соседниот агол на триаголникот (2, стр. 534).

Висини, медијанини, симетрали и средни линии на триаголник

Покрај главните елементи во триаголникот, се разгледуваат и други сегменти со интересни својства: висини, медијани, симетрали и средни линии.

Висина

Висини на триаголници- ова се перпендикулари испуштени од темињата на триаголникот на спротивните страни.

За да ја нацртате висината, мора да ги извршите следните чекори:

1) нацртајте права линија што содржи една од страните на триаголникот (ако висината е извлечена од темето на остар агол во тап триаголник);

2) од темето што лежи спроти нацртаната линија, повлечете отсечка од точката до оваа права, правејќи агол од 90 степени со неа.

Точката каде што висината ја пресекува страната на триаголникот се нарекува висинска основа (види Сл. 2).

Својства на височините на триаголниците

    Во правоаголен триаголник, висината извлечена од темето прав агол, го дели на два триаголници слични на оригиналниот триаголник.

    Во акутен триаголник, неговите две височини отсекуваат слични триаголници од него.

    Ако триаголникот е остар, тогаш сите основи на височините припаѓаат на страните на триаголникот, а во тап триаголник, две височини паѓаат на продолжението на страните.

    Три височини во остар триаголник се сечат во една точка и оваа точка се нарекува ортоцентар тријаголник.

Медијана

Медијани(од латински mediana - „средина“) - ова се отсечки што ги поврзуваат темињата на триаголникот со средните точки на спротивните страни (види слика 3).

За да ја конструирате медијаната, мора да ги извршите следните чекори:

1) пронајдете ја средината на страната;

2) точката што е средината на страната на триаголникот со спротивното теме поврзете ја со отсечка.

Својства на медијана на триаголник

    Средината го дели триаголникот на два триаголници со еднаква површина.

    Средините на триаголникот се сечат во една точка, што го дели секој од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Оваа точка се нарекува Центар на гравитација тријаголник.

Целиот триаголник е поделен со неговите средни на шест еднакви триаголници.

Симетрала

Симетрали(од латински bis - двапати и seko - cut) се правилните отсечки затворени во триаголник што ги преполовуваат неговите агли (види слика 4).

За да изградите симетрала, мора да ги извршите следните чекори:

1) конструирај зрак што излегува од темето на аголот и го дели на два еднакви дела (симетрала на аголот);

2) најдете ја точката на пресек на симетралата на аголот на триаголникот со спротивната страна;

3) изберете отсечка што го поврзува темето на триаголникот со пресечната точка на спротивната страна.

Својства на симетралите на триаголниците

    Симетралата на аголот на триаголникот ја дели спротивната страна во однос еднаков на односот на двете соседни страни.

    Симетралите на внатрешните агли на триаголникот се сечат во една точка. Оваа точка се нарекува центар на впишаниот круг.

    Симетралите на внатрешните и надворешните агли се нормални.

    Ако симетралата на надворешен агол на триаголник го пресекува продолжувањето на спротивната страна, тогаш ADBD=ACBC.

    Симетралите на еден внатрешен и два надворешни агли на триаголник се сечат во една точка. Оваа точка е центар на една од трите кругови на овој триаголник.

    Основите на симетралите на два внатрешни и еден надворешен агол на триаголникот лежат на иста права линија ако симетралата на надворешниот агол не е паралелна со спротивната страна на триаголникот.

    Ако симетралите на надворешните агли на триаголникот не се паралелни со спротивните страни, тогаш нивните основи лежат на истата права линија.

Симетралата на триаголникот е отсечка која го дели аголот на триаголникот на два еднакви агли. На пример, ако аголот на триаголникот е 120 0, тогаш со цртање симетрала, ќе конструираме два агли од по 60 0.

И бидејќи има три агли во триаголникот, може да се нацртаат три симетрали. Сите тие имаат една точка на пресек. Оваа точка е центарот на кругот впишан во триаголникот. На друг начин, оваа пресечна точка се нарекува центар на триаголникот.

Кога се сечат две симетрали на внатрешен и надворешен агол, се добива агол од 90 0. Надворешен аголво триаголник аголот во непосредна близина на внатрешен аголтријаголник.

Ориз. 1. Триаголник кој содржи 3 симетрали

Симетралата ја дели спротивната страна на два сегменти кои се поврзани со страните:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Симетралните точки се еднакво оддалечени од страните на аголот, што значи дека се на исто растојание од страните на аголот. Односно, ако од која било точка на симетралата паднеме нормални на секоја од страните на аголот на триаголникот, тогаш овие нормални ќе бидат еднакви.

Ако нацртате средина, симетрала и висина од едно теме, тогаш средната ќе биде најдолгата отсечка, а висината најкратката.

Некои својства на симетралата

ВО одредени видовитриаголници, симетралата има посебни својства. Ова првенствено се однесува на рамнокрак триаголник. Оваа бројка има две идентични страни, а третата се нарекува основа.

Ако нацртате симетрала од темето на аголот на рамнокрак триаголник до основата, тогаш таа ќе ги има својствата и на висината и на средината. Според тоа, должината на симетралата се совпаѓа со должината на средната и висината.

Дефиниции:

  • Висина- нормална извлечена од темето на триаголникот на спротивната страна.
  • Медијана– отсечка што ги поврзува темето на триаголникот и средината на спротивната страна.

Ориз. 2. Симетрала во рамнокрак триаголник

Ова исто така важи и за рамностран триаголник, односно за триаголник во кој сите три страни се еднакви.

Пример за задача

Во триаголникот ABC: BR е симетралата, со AB = 6 cm, BC = 4 cm и RC = 2 cm.

Ориз. 3. Симетрала во триаголник

Решение:

Симетралата ја дели страната на триаголникот во одредена пропорција. Да ја искористиме оваа пропорција и да изразиме AR. Тогаш ќе ја најдеме должината на третата страна како збир на отсечките на кои оваа страна е поделена со симетралата.

  • $(AB\над(BC)) = (AR\над(RC))$
  • $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Тогаш целиот сегмент AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Вкупно добиени оценки: 107.

Инструкции

Ако даден триаголник е рамнокрак или правилен, тогаш има
две или три страни, потоа неговата симетрала, според имотот тријаголник, исто така ќе биде медијана. И, според тоа, спротивната ќе биде поделена на половина со симетралата.

Измерете ја спротивната страна со линијар тријаголник, каде што ќе тежи симетралата. Поделете ја оваа страна на половина и ставете точка на средината на страната.

Нацртајте права линија што минува низ конструираната точка и спротивното теме. Ова ќе биде симетралата тријаголник.

Извори:

  • Медијани, симетрали и височини на триаголник

Поделувањето на аголот на половина и пресметувањето на должината на линијата повлечена од нејзиниот врв до спротивната страна е нешто што треба да го прават секачите, геодетите, монтери и луѓето од некои други професии.

Ќе ви треба

  • Алатки Молив линијар транспортер Синус и косинус табели Математички формулии концепти: Дефиниција на симетрала Теореми на синуси и косинуси Теорема симетрала

Инструкции

Конструирај триаголник со потребната големина, во зависност од тоа што ти е дадено? dfe страни и аголот меѓу нив, три страни или два агли и страната што се наоѓа меѓу нив.

Обележете ги темињата на аглите и страните со традиционалните латински букви A, B и C. Темите на аглите се означени со , а спротивните страни со мали букви. Обележете ги аглите Грчки букви?,? И?

Користејќи ги теоремите на синусите и косинусите, пресметајте ги аглите и страните тријаголник.

Запомнете симетрали. Симетрала - делење агол на половина. Симетрала на агол тријаголникго дели спротивното на два сегменти, кои се еднакви на односот на двете соседни страни тријаголник.

Нацртајте ги симетралите на аглите. Обележете ги добиените отсечки со напишани имињата на аглите мали букви, со претплата l. Страната c е поделена на отсечки a и b со индекси l.

Пресметајте ги должините на добиените отсечки користејќи го законот за синуси.

Видео на темата

Забелешка

Должината на отсечката, која истовремено е страната на триаголникот формирана од една од страните на првобитниот триаголник, симетралата и самата отсечка, се пресметува со помош на законот на синусите. За да се пресмета должината на друг сегмент од истата страна, користете го односот на добиените сегменти и соседните страни на оригиналниот триаголник.

Корисен совет

За да избегнете забуна, нацртајте симетрали различни агли различни бои.

Симетрала аголнаречен зрак кој започнува на темето аголи го дели на два еднакви дела. Оние. да потроши симетрала, треба да ја пронајдете средината агол. Најлесен начин да го направите ова е со компас. Во овој случај, не треба да правите никакви пресметки, а резултатот нема да зависи од тоа дали количината е аголцел број.

Ќе ви треба

  • компас, молив, владетел.

Инструкции

Оставајќи ја ширината на отворот на компасот исто, ставете ја иглата на крајот од сегментот на една од страните и нацртајте дел од кругот така што ќе се наоѓа внатре агол. Направете го истото со вториот. Ќе завршите со два дела од кругови кои ќе се сечат внатре агол- приближно во средината. Делови од кругови може да се сечат на една или две точки.

Видео на темата

Корисен совет

За да ја конструирате симетралата на аголот, можете да користите транспортер, но овој метод бара поголема точност. Покрај тоа, ако вредноста на аголот не е цел број, веројатноста за грешки при конструирањето на симетралата се зголемува.

Кога се градат или развиваат проекти за дизајн на домови, често е неопходно да се изгради агол, еднакво на она што е веќе достапно. На помош доаѓаат шаблоните и училишното познавање на геометријата.

Инструкции

Агол е формиран од две прави линии што произлегуваат од една точка. Оваа точка ќе се нарекува теме на аголот, а линиите ќе бидат страни на аголот.

Користете три за да ги означите аглите: еден на врвот, два на страните. Се јави агол, почнувајќи од буквата што стои на едната страна, потоа се нарекува буквата што стои на врвот, а потоа буквата од другата страна. Користете други за да означите агли ако сакате поинаку. Понекогаш се именува само една буква, која е на врвот. И можете да означите агли со грчки букви, на пример, α, β, γ.

Има ситуации кога тоа е потребно агол, така што е потесен од дадениот агол. Ако не е можно да се користи транспортер при конструирање, можете да поминете само со линијар и компас. Да претпоставиме дека на права линија означена со буквите MN, треба да конструирате аголво точката К, така што е еднаков на аголот B. Односно, од точката K потребно е да се повлече права линија со права MN агол, кој ќе биде еднаков на аголот Б.

Започнете со означување на точка на секоја страна. даден агол, на пример, точките A и C, а потоа поврзете ги точките C и A со права линија. Земете тре аголник ABC.

Сега изградете ја истата трева на права линија MN аголтака што неговото теме B е на правата во точката K. Користете го правилото за конструирање на триаголник агол nnik во три. Отфрлете го сегментот KL од точката К. Таа мора да биде еднаква на отсечката BC. Добијте ја точката L.

Од точката К нацртајте круг со радиус еднаков на отсечката BA. Од L нацртајте круг со радиус CA. Поврзете ја добиената точка (P) на пресек на два круга со К. Добијте три аголКПЛ, што ќе биде еднакво на три аголАБЦ книга. Вака добивате аголК. Ќе биде еднаков на аголот Б. За да го направите ова поудобно и побрзо, тргнете го настрана темето Б еднакви сегменти, користејќи еден отвор на компасот, без поместување на нозете, опишете круг со ист радиус од точката К.

Видео на темата

Совет 5: Како да се конструира триаголник користејќи две страни и средина

Триаголникот е наједноставен геометриска фигура, имајќи три темиња поврзани во парови со отсечки кои ги формираат страните на овој многуаголник. Сегментот што го поврзува темето со средината на спротивната страна се нарекува медијана. Знаејќи ги должините на двете страни и медијаната што се поврзува на едно од темињата, можете да конструирате триаголник без да имате информации за должината на третата страна или големината на аглите.

Инструкции

Нацртај отсечка од точката А чија должина е една од познатите страни на триаголникот (а). Обележете ја крајната точка на овој сегмент со буквата B. По ова, една од страните (AB) на саканиот триаголник веќе може да се смета за изградена.

Со помош на компас, нацртајте круг со радиус еднаков на двапати поголем од должината на средната (2∗m) и со центар во точката А.

Со помош на компас, нацртајте втор круг со радиус еднаква на должината позната партија(б), а со центарот во точката Б. Оставете го компасот малку настрана, но измерениот оставете го на него - ќе ви треба повторно малку подоцна.

Конструирај отсечка што ја поврзува точката А со пресечната точка на двете што ги нацртавте. Половина од овој сегмент ќе биде оној што го градите - измерете ја оваа половина и ставете точка M. Во овој момент ја имате едната страна од саканиот триаголник (AB) и неговата средина (AM).

Со помош на компас, нацртајте круг со радиус еднаков на должината на втората позната страна (б) и центриран во точката А.

Нацртајте отсечка што треба да започне од точката B, да помине низ точката M и да заврши на местото на пресекот на правата линија со кругот што сте го нацртале во претходниот чекор. Означете ја точката на вкрстување со буквата C. Сега страната BC, непозната според условите на проблемот, е изградена во саканата.

Способноста да се подели кој било агол со симетрала е потребна не само за да се добие „А“ во математиката. Ова знаење ќе биде многу корисно за градители, дизајнери, геодети и шивачи. Во животот треба да можете да поделите многу работи на половина.

Сите на училиште научија шега за стаорец кој трча по аглите и го дели аголот на половина. Името на овој пргав и интелигентен глодар беше бисектор. Не е познато како стаорецот го подели аголот, но следните методи може да им се предложат на математичарите во училишниот учебник „Геометрија“.

Користење на транспортер

Најлесен начин да се спроведе симетрала е користење на уред за. Треба да го прикачите транспортерот на едната страна од аголот, порамнувајќи ја референтната точка со нејзиниот врв О. Потоа измерете го аголот во степени или радијани и поделете го со два. Со истиот транспортер, тргнете ги настрана добиените степени од едната страна и повлечете права линија, која ќе стане симетрала, до почетната точка на аголот О.

Користење на компас

Треба да земете компас и да го преместите на кој било прилагодена големина(во рамките на цртежот). Откако ќе го поставите врвот на почетната точка од аголот О, нацртајте лак што ги пресекува зраците, означувајќи две точки на нив. Тие се означени како А1 и А2. Потоа, ставајќи го компасот наизменично на овие точки, треба да нацртате два круга со ист произволен дијаметар (на скалата на цртежот). Нивните пресечни точки се означени C и B. Следно, треба да нацртате права линија низ точките O, C и B, што ќе биде саканата симетрала.

Користење на линијар

За да ја нацртате симетралата на аголот со помош на линијар, треба да отфрлите сегменти со иста должина од точката О на зраците (страните) и да ги означите како точки А и Б. Потоа треба да ги поврзете со права линија и, со помош на линијар, поделете го добиениот сегмент на половина, означувајќи ја точката C. Симетрала ќе се добие ако повлечете права линија низ точките C и O.

Нема алатки

Ако не мерни инструменти, можете да ја искористите вашата генијалност. Доволно е едноставно да нацртате агол на хартија за трасирање или обична тенка хартија и внимателно да го свиткате парчето хартија така што зраците на аголот се усогласат. Линијата за преклопување на цртежот ќе биде саканата симетрала.

Прав агол

Агол поголем од 180 степени може да се подели со симетрала користејќи ги истите методи. Само ќе биде неопходно да се подели не тоа, туку акутниот агол во непосредна близина на него, останувајќи од кругот. Продолжението на пронајдената симетрала ќе стане посакуваната права линија, делејќи го расклопениот агол на половина.

Агли во триаголник

Треба да се запомни дека во рамностран триаголник симетралата е исто така средина и надморска височина. Затоа, симетралата во неа може да се најде со едноставно спуштање на нормалната на страната спротивна на аголот (висина) или делење на оваа страна на половина и поврзување на средната точка со спротивниот агол (средна).

Видео на темата

Мнемоничкото правило „симетрала е стаорец што трча по аглите и ги дели на половина“ ја опишува суштината на концептот, но не дава препораки за конструирање симетрала. За да го нацртате, покрај правилото, ќе ви требаат и компас и линијар.

Инструкции

Да речеме дека треба да изградите симетралаагол A. Земете компас, поставете го неговиот врв во точката А (агол) и нацртајте круг од кој било . Онаму каде што ги пресекува страните на аголот, поставете ги точките B и C.

Измерете го радиусот на првиот круг. Нацртајте уште еден со ист радиус, ставајќи компас во точката Б.

Нацртајте го следниот круг (еднаков по големина на претходните) со неговиот центар во точката В.

Сите три кругови мора да се сечат во една точка - да ја наречеме F. Со помош на линијар, нацртајте зрак што минува низ точките A и F. Ова ќе биде саканата симетрала на аголот A.

Постојат неколку правила кои ќе ви помогнат да ги најдете. На пример, тој е спротивен во , еднаков на односот на две соседни страни. Во рамнокрак

Сорокина Вика

Дадени се докази за својствата на симетралата на триаголник и се разгледува примената на теоријата за решавање проблеми

Преземи:

Преглед:

Комитет за образование на администрацијата на Саратов, Општинска автономна област Октјабрски образовна институцијаЛицеј бр.3 на име. А.С. Пушкин.

Општински научно-практични

конференција

„Први чекори“

Предмет: Симетрала и неговите својства.

Завршена работа од: ученик од 8 одделение

Сорокина ВикторијаНаучен раководител: Наставник по математика од највисока категоријаПопова Нина Федоровна.

Саратов 2011 година

  1. Насловната страница……………………………………………………………………………………………………………
  2. Содржина………………………………………………………2
  3. Вовед и цели……………………………………………………………………………………………………………………………
  4. Разгледување на својствата на симетралата
  • Трет локус на точки…………………………………….3
  • Теорема 1………………………………………………………………...4
  • Теорема 2………………………………………………………………… 4
  • Главното својство на симетралата на триаголникот:
  1. Теорема 3………………………………………………………………...4
  2. Задача 1……………………………………………………………….7
  3. Задача 2………………………………………………………………….8
  4. Задача 3……………………………………………………………………………………………………
  5. Задача 4………………………………………………………….9-10
  • Теорема 4…………………………………………………… 10-11
  • Формули за наоѓање симетрала:
  1. Теорема 5……………………………………………………………….11
  2. Теорема 6……………………………………………………………….11
  3. Теорема 7………………………………………………………………….12
  4. Задача 5……………………………………………………...12-13
  • Теорема 8………………………………………………………………….13
  • Задача 6……………………………………………………………….14
  • Задача 7…………………………………………………………… 14-15
  • Одредување на кардинални насоки со помош на симетралата…………………15
  1. Заклучок и заклучок………………………………………………………………..15
  2. Список на референци………………………………………..16

Симетрала

На часот по геометрија, додека ја проучував темата за слични триаголници, наидов на проблем за теоремата за односот на симетралата со спротивните страни. Се чини дека може да има нешто интересно во темата симетрала, но оваа тема ме интересираше и сакав да ја проучам подлабоко. На крајот на краиштата, симетралата е многу богата со неа неверојатни својства, помагајќи да се решат разни проблеми.

Кога ја разгледувате оваа тема, ќе забележите дека учебниците по геометрија многу малку кажуваат за својствата на симетралата, но на испитите, познавајќи ги, можете многу полесно и побрзо да ги решавате проблемите. Покрај тоа, за да ги положат ГИА и обединетите државни испити, современите студенти треба сами да учат Дополнителни материјалиДо училишна наставна програма. Затоа решив подетално да ја проучам темата на симетралата.

Симетрала (од латински bi- „двојно“ и sectio „сечење“) на агол е зрак со почеток на темето на аголот, што го дели аголот на два еднакви дела. Симетралата на аголот (заедно со неговото проширување) е локус на точки што се еднакво оддалечени од страните на аголот (или нивните проширувања)

Трет локус на поени

Слика Ф е локус на точки (множество точки) што има некакво својствоА, ако се исполнети два услови:

  1. од фактот дека точката припаѓа на фигурата F, произлегува дека го има имототА;
  2. од тоа што точката го задоволува имототА, произлегува дека и припаѓа на фигуратаФ.

Првиот локус на точки што се разгледуваат во геометријата е круг, т.е. локусот на точки што се подеднакво оддалечени од една фиксна точка. Втората е нормална симетрала на отсечката, т.е. локусот на точки што се еднакво оддалечени од крајот на сегментот. И, конечно, третата - симетрала - геометрискиот локус на точки еднакво оддалечени од страните на аголот

Теорема 1:

Симетралите се подеднакво оддалечени од странитетој е аголот.

Доказ:

Нека Р - симетрална точкаА. Да отфрлиме од поентатаP перпендикулариРВ и Компјутер на страните на аголот. Потоа VAR = SAR со хипотенуза и акутен агол. Оттука, PB = PC

Теорема 2:

Ако точката P е подеднакво оддалечена од страните на аголот А, тогаш таа лежи на симетралата.

Доказ: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR е симетрала.

Меѓу основните геометриски факти е и теоремата дека симетралата ја дели спротивната страна во однос на спротивните страни. Овој факт остана во сенка долго време, но насекаде има проблеми кои се многу полесно да се решат ако ги знаете овие и други факти за симетралата. Се заинтересирав и решив понатаму да го истражам ова својство на симетралата.

Главното својство на симетралата на аголот на триаголникот

Теорема 3. Симетрала ја дели спротивната страна на триаголникот во однос на соседните страни.

Доказ 1:

Дадено: АЛ - симетрала на триаголникот ABC

Доказ:

Доказ: Нека е F точка на пресек на праватаАЛ и линија што минува низ точкатаВО паралелно со страната наизменична струја.

Тогаш BFA = FAC = BAF. Затоа, Б.А.Ф. рамнокрак и AB = BF. Од сличноста на триаголниците ALC и FLB ги имаме

сооднос

каде

Доказ 2

Нека F е точката пресечена со правата AL и правата што минува низ точката C паралелна со основата AB. Потоа можете да го повторите расудувањето.

Доказ 3

Нека K и M се основите на перпендикуларите спуштени на праватаАЛ од точките Б и В соодветно. Триаголниците ABL и ACL се слични под два агли. Затоа
. И од сличноста на BKL и CML имаме

Од тука

Доказ 4

Ајде да го користиме методот на површина. Да ги пресметаме плоштините на триаголниците ABL и ACL два начина.

Од тука.

Доказ 5

Нека α= ТИ,φ= БЛА. Со теоремата на синусите во триаголникот ABL

И во триаголникот ACL.

Бидејќи,

Потоа, делејќи ги двете страни на еднаквоста на соодветните делови од другата, добиваме.

Проблем 1


Со оглед на: Во триаголникот ABC, VC е симетрала, BC = 2, KS = 1,

Решение:

Проблем 2

Со оглед на:

Најдете ги симетралите остри агли правоаголен триаголниксо нозете 24 и 18

Решение:

Нека страна AC = 18, страна BC = 24,

А.М. - симетрала на триаголник.

Користејќи ја Питагоровата теорема наоѓаме,

дека AB = 30.

Од тогаш

Слично да ја најдеме втората симетрала.

Одговор:

Проблем 3

Во правоаголен триаголник ABC со прав агол B симетрала на аголотА ја преминува странатап.н.е.

Во точката Д. Познато е дека BD = 4, DC = 6.

Најдете ја плоштината на триаголникот ADC

Решение:

Со својство на симетрала на триаголник

Да означиме AB = 2 x, AC = 3 x. По теорема

Питагора п.н.е. 2 + AB 2 = AC 2, или 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Од тука го откриваме тоа x = Тогаш AB = , S ABC=

Оттука,

Проблем 4

Со оглед на:

Во рамнокрак триаголник ABC странаАБ еднаква на 10, основа AC е 12.

Симетрали на аглитеА и В се сечат во точкаД. Најдете BD.

Решение:

Бидејќи симетралите на триаголникот се сечат на

Една точка, тогаш БД е симетрала на Б. Да продолжиме со БД до раскрсницата со AC во точката М. Тогаш M е средната точка на AC, BM AC. Затоа

Од ЦД - симетрала на триаголник BMC тогаш

Оттука,.

Одговор:

Теорема 4. Трите симетрали на триаголникот се сечат во една точка.

Навистина, прво да ја разгледаме точката P на пресекот на две симетрали, на пример АК 1 и VK 2 . Оваа точка е подеднакво оддалечена од страните AB и AC, бидејќи лежи на симетралатаА, и е подеднакво оддалечен од страните AB и BC, бидејќи припаѓаат на симетралатаB. Тоа значи дека е подеднакво оддалечено од страните AC и BC и затоа припаѓа на третата симетрала SC 3 , односно во точката P се сечат сите три симетрали.


Формули за наоѓање симетрала
Теорема 5: (првата формула за симетралата): Ако во триаголникот ABC отсечката AL е симетрала A, потоа AL² = AB·AC - LB·LC.

Доказ: Нека M е точката на пресек на правата AL со кругот опфатен околу триаголникот ABC (сл. 41). Аголот BAM е еднаков на аголот MAC по конвенција. Аглите BMA и BCA се складни како впишани агли подредени од истата акорд. Ова значи дека триаголниците BAM и LAC се слични во два агли. Затоа, AL: AC = AB: AM. Ова значи AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Теорема6: . (втора формула за симетралата): Во триаголник ABC со страни AB=a, AC=b иЕднакво на 2α и симетрала l, важи еднаквоста:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Доказ : Нека ABC е дадениот триаголник, AL неговата симетрала, a=AB, b=AC, l=AL. Потоа С ABC = S ALB + S ALC . Затоа, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Теоремата е докажана.

Теорема 7: Ако a, b се страните на триаголникот, Y е аголот меѓу нив,е симетралата на овој агол. Потоа.