дома > Завеси > Природниот логаритам на x е еднаков на. Логаритам. Дефиниција на бинарен логаритам, природен логаритам, децимален логаритам; експоненцијална функција exp(x), број e. Дневник, Ln. Формули на моќи и логаритми. Користење на логаритам, децибели


Природниот логаритам на x е еднаков на. Логаритам. Дефиниција на бинарен логаритам, природен логаритам, децимален логаритам; експоненцијална функција exp(x), број e. Дневник, Ln. Формули на моќи и логаритми. Користење на логаритам, децибели




Како што знаете, кога се множат изразите со моќи, нивните експоненти секогаш се собираат (a b *a c = a b+c). Овој математички закон бил изведен од Архимед, а подоцна, во 8 век, математичарот Вирасен создал табела со цели броеви експоненти. Токму тие служеа за понатамошно откривање на логаритми. Примери за користење на оваа функција може да се најдат речиси насекаде каде што треба да го поедноставите незгодното множење со едноставно собирање. Ако потрошите 10 минути читајќи ја оваа статија, ќе ви објасниме што се логаритми и како да работите со нив. На едноставен и достапен јазик.

Дефиниција во математиката

Логаритам е израз на следнава форма: log a b=c, односно логаритам на кој било ненегативен број (т.е. кој било позитивен) „b“ до неговата основа „a“ се смета за моќност „c “ на кој мора да се подигне основата „а“ за на крај да се добие вредноста „б“. Да го анализираме логаритамот користејќи примери, да речеме дека има израз log 2 8. Како да го најдеме одговорот? Многу е едноставно, треба да најдете моќност таква што од 2 до потребната моќност ќе добиете 8. Откако ќе направите некои пресметки во вашата глава, го добиваме бројот 3! И тоа е точно, бидејќи 2 на сила од 3 го дава одговорот како 8.

Видови логаритми

За многу студенти оваа тема изгледа комплицирана и неразбирлива, но всушност логаритмите не се толку страшни, главната работа е да се разбере нивното општо значење и да се запамети нивните својства и некои правила. Има три одделни видовилогаритамски изрази:

  1. Природен логаритам ln a, каде што основата е Ојлеровиот број (e = 2,7).
  2. Децимална а, каде што основата е 10.
  3. Логаритам на кој било број b до основа a>1.

Секој од нив е решен на стандарден начин, вклучувајќи поедноставување, намалување и последователно намалување на еден логаритам користејќи логаритамски теореми. За да ги добиете точните вредности на логаритмите, треба да ги запомните нивните својства и редоследот на дејства кога ги решавате.

Правила и некои ограничувања

Во математиката има неколку правила-ограничувања кои се прифаќаат како аксиома, односно не се предмет на дискусија и се вистина. На пример, невозможно е да се делат броевите со нула, а исто така е невозможно да се извлече парниот корен на негативните броеви. Логаритмите исто така имаат свои правила, според кои можете лесно да научите да работите дури и со долги и обемни логаритамски изрази:

  • Основата „а“ мора секогаш да биде поголема од нула, а не еднаква на 1, во спротивно изразот ќе го изгуби своето значење, бидејќи „1“ и „0“ во кој било степен се секогаш еднакви на нивните вредности;
  • ако a > 0, тогаш a b >0, излегува дека „c“ исто така мора да биде поголемо од нула.

Како да се решат логаритми?

На пример, задачата е да се најде одговорот на равенката 10 x = 100. Ова е многу лесно, треба да изберете моќ со подигање на бројот десет до кој добиваме 100. Ова, се разбира, е 10 2 = 100.

Сега да замислиме овој изразво логаритамска форма. Добиваме лог 10 100 = 2. При решавање на логаритми, сите дејства практично се спојуваат за да се најде моќта до која е потребно да се внесе основата на логаритмот за да се добие даден број.

За точно да ја одредите вредноста на непознат степен, треба да научите како да работите со табела со степени. Изгледа вака:

Како што можете да видите, некои експоненти може да се погодат интуитивно ако имате технички ум и познавање на табелата за множење. Сепак, за поголеми вредности ќе ви треба маса за напојување. Може да се користи дури и од оние кои воопшто не знаат ништо за сложени математички теми. Левата колона содржи броеви (основа а), горниот ред на броеви е вредноста на моќта c до која е подигнат бројот a. На пресекот, ќелиите ги содржат нумеричките вредности кои се одговорот (a c =b). Да ја земеме, на пример, првата ќелија со бројот 10 и да ја квадратиме, ја добиваме вредноста 100, што е означено на пресекот на нашите две ќелии. Сè е толку едноставно и лесно што и највистинскиот хуманист ќе разбере!

Равенки и неравенки

Излегува дека под одредени услови експонентот е логаритам. Затоа, секој математички нумерички израз може да се запише како логаритамска еднаквост. На пример, 3 4 = 81 може да се запише како основен 3 логаритам од 81 еднаков на четири (лог 3 81 = 4). За негативни моќиправилата се исти: 2 -5 = 1/32 го пишуваме како логаритам, добиваме лог 2 (1/32) = -5. Еден од најфасцинантните делови од математиката е темата „логаритми“. Ќе разгледаме примери и решенија на равенки подолу, веднаш по проучувањето на нивните својства. Сега да погледнеме како изгледаат неравенките и како да ги разликуваме од равенките.

Даден е израз на следната форма: log 2 (x-1) > 3 - тоа е логаритамска нееднаквост, бидејќи непознатата вредност „x“ е под знакот на логаритамот. И, исто така, во изразот се споредуваат две величини: логаритамот на саканиот број до основата два е поголем од бројот три.

Најважната разлика помеѓу логаритамските равенки и неравенките е тоа што равенките со логаритми (на пример, логаритамот 2 x = √9) подразбираат еден или повеќе конкретни одговори. нумерички вредности, додека при решавањето неравенките се дефинираат како регион прифатливи вредности, и точките на прекин на оваа функција. Како последица на тоа, одговорот не е едноставно збир на поединечни броеви, како во одговорот на равенката, туку континуирана серија или збир на броеви.

Основни теореми за логаритми

При решавање на примитивни задачи за пронаоѓање на вредностите на логаритамот, неговите својства можеби не се познати. Меѓутоа, кога станува збор за логаритамски равенки или неравенки, пред сè, потребно е јасно да се разберат и да се применат во пракса сите основни својства на логаритмите. Подоцна ќе разгледаме примери на равенки, ајде прво да го разгледаме секое својство подетално.

  1. Главниот идентитет изгледа вака: a logaB =B. Се применува само кога a е поголемо од 0, не е еднакво на еден, а B е поголемо од нула.
  2. Логаритмот на производот може да се претстави во следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Во овој случај, задолжителниот услов е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказ за оваа логаритамска формула, со примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, потоа a f1 = s 1, a f2 = s 2. Добиваме дека s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (својства на степени ), а потоа по дефиниција: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, што требаше да се докаже.
  3. Логаритмот на количникот изгледа вака: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Теоремата во форма на формула зазема следен поглед: log a q b n = n/q log a b.

Оваа формула се нарекува „својство на степенот на логаритам“. Наликува на својствата на обичните степени и не е изненадувачки, бидејќи целата математика се заснова на природни постулати. Да го погледнеме доказот.

Нека log a b = t, излегува a t =b. Ако двата дела ги подигнеме до моќноста m: a tn = b n ;

но бидејќи a tn = (a q) nt/q = b n, затоа log a q b n = (n*t)/t, тогаш log a q b n = n/q log a b. Теоремата е докажана.

Примери на проблеми и нееднаквости

Најчестите типови на проблеми на логаритми се примери на равенки и неравенки. Ги има во речиси сите проблематични книги, а се задолжителен дел и од испитите по математика. За да влезете на универзитет или да положите приемни испити по математика, треба да знаете како правилно да ги решите таквите задачи.

За жал, не постои единствен план или шема за решавање и утврдување непозната вредностНе постои такво нешто како логаритам, но одредени правила може да се применат на секоја математичка неравенка или логаритамска равенка. Пред сè, треба да откриете дали изразот може да се поедностави или сведе на општа форма. Поедноставете ги долгите логаритамски изразиможно ако правилно ги користите нивните својства. Ајде брзо да ги запознаеме.

При одлучувањето логаритамски равенки, треба да одредиме каков тип на логаритам имаме: примерен израз може да содржи природен логаритам или децимален.

Еве примери ln100, ln1026. Нивното решение се сведува на фактот дека тие треба да ја одредат моќноста на која основата 10 ќе биде еднаква на 100 и 1026, соодветно. За решенија на природни логаритми, треба да аплицирате логаритамски идентитетиили нивните својства. Ајде да погледнеме примери за решавање на логаритамски проблеми од различни типови.

Како да користите логаритамски формули: со примери и решенија

Значи, ајде да погледнеме примери за користење на основните теореми за логаритми.

  1. Својството на логаритмот на производот може да се користи во задачи каде што е неопходно да се прошири големо значењеброевите b во поедноставни фактори. На пример, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Одговорот е 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - како што можете да видите, користејќи го четвртото својство на логаритамската моќ, успеавме да решиме навидум сложен и нерешлив израз. Треба само да ја факторингирате основата и потоа да ги извадите вредностите на експонентот од знакот на логаритамот.

Задачи од Единствениот државен испит

Логаритмите често се среќаваат на приемните испити, особено многу логаритамски проблеми на Единствениот државен испит (државен испит за сите матуранти). Вообичаено, овие задачи се присутни не само во делот А (најлесниот тест дел од испитот), туку и во делот В (најсложените и најобемните задачи). Испитот бара точни и совршено знаењетеми „Природни логаритми“.

Примери и решенија за проблемите се земени од официјални Опции за обединет државен испит. Ајде да видиме како се решаваат ваквите задачи.

Даден е лог 2 (2x-1) = 4. Решение:
ајде да го преработиме изразот, поедноставувајќи го малку log 2 (2x-1) = 2 2, со дефиниција на логаритамот добиваме дека 2x-1 = 2 4, значи 2x = 17; x = 8,5.

  • Најдобро е да ги намалите сите логаритми на иста основа за решението да не биде гломазно и збунувачки.
  • Сите изрази под знакот логаритам се означени како позитивни, затоа, кога експонентот на изразот што е под знакот логаритам и како негова основа се извади како множител, изразот што останува под логаритам мора да биде позитивен.

Што е логаритам?

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Што е логаритам? Како да се решат логаритми? Овие прашања збунуваат многу дипломци. Традиционално, темата логаритми се смета за сложена, неразбирлива и страшна. Особено равенки со логаритми.

Ова апсолутно не е точно. Апсолутно! Не ми веруваш? Добро. Сега, за само 10-20 минути:

1. Разберете што е логаритам.

2. Научете да решавате цел клас експоненцијални равенки. Дури и ако не сте слушнале ништо за нив.

3. Научете да пресметувате едноставни логаритми.

Згора на тоа, за ова ќе треба само да ја знаете табелата за множење и како да подигнете број на јачина...

Се чувствувам како да се сомневате... Па, во ред, означете го времето! Оди!

Прво, решете ја оваа равенка во вашата глава:

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Час и презентација на теми: „Природни логаритми. Основа на природниот логаритам. Логаритм на природен број“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Наставни средства и симулатори во онлајн продавницата Integral за 11 одделение
Интерактивен прирачник за 9-11 одделение „Тригонометрија“
Интерактивен прирачник за 10-11 одделение „Логаритми“

Што е природен логаритам

Момци, во последната лекција научивме нов, посебен број - Денес ќе продолжиме да работиме со овој број.
Ги проучувавме логаритмите и знаеме дека основата на еден логаритам може да биде многу броеви кои се поголеми од 0. Денес ќе разгледаме и логаритам чија основа е бројот e. Тој има сопствена снимка: $\ln(n)$ - природен логаритам. Овој запис е еквивалентен на записот: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Експоненцијалните и логаритамските функции се инверзни, тогаш природниот логаритам е инверзна на функцијата: $y=e^x$.
Инверзните функции се симетрични во однос на правата линија $y=x$.
Ајде да направиме графикон природен логаритам, отсликувајќи ја експоненцијалната функција во однос на правата линија $y=x$.

Вреди да се напомене дека аголот на наклонетост на тангентата на графикот на функцијата $y=e^x$ во точката (0;1) е 45°. Тогаш аголот на наклонетост на тангентата на графикот на природниот логаритам во точката (1;0) исто така ќе биде еднаков на 45&степени. И двете од овие тангенти ќе бидат паралелни со правата $y=x$. Да ги дијаграмираме тангентите:

Својства на функцијата $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Не е ниту парен ниту непарен.
3. Се зголемува низ целиот домен на дефиниција.
4. Не е ограничено одозгора, не е ограничено одоздола.
5. Најголема вредностНе, најниска вредностБр.
6. Континуирано.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Конвексен нагоре.
9. Секаде се разликува.

Знам виша математикатоа е докажано изводот на инверзна функција е инверзен на изводот на дадена функција.
Нема многу смисла да навлегуваме во доказот, само да ја напишеме формулата: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Пример.
Пресметај ја вредноста на изводот на функцијата: $y=\ln(2x-7)$ во точката $x=4$.
Решение.
ВО општ погледнашата функција е претставена со функцијата $y=f(kx+m)$, можеме да ги пресметаме изводите на таквите функции.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Да ја пресметаме вредноста на изводот во бараната точка: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Одговор: 2.

Пример.
Нацртајте тангента на графикот на функцијата $y=ln(x)$ во точката $х=е$.
Решение.
Добро се сеќаваме на равенката на тангентата на графикот на функцијата во точката $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Ние секвенцијално ги пресметуваме бараните вредности.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Тангентата равенка во точката $x=e$ е функцијата $y=\frac(x)(e)$.
Да ги нацртаме природниот логаритам и тангентата линија.

Пример.
Испитај ја функцијата за монотоност и екстреми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Решение.
Доменот на дефиниција на функцијата $D(y)=(0;+∞)$.
Да го најдеме изводот на дадената функција:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Изводот постои за сите x од доменот на дефиниција, тогаш нема критични точки. Ајде да најдеме неподвижни точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точката $x=-1$ не припаѓа на доменот на дефиниција. Тогаш имаме една неподвижна точка $x=1$. Ајде да ги најдеме интервалите на зголемување и намалување:

Точката $x=1$ е минималната точка, потоа $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Одговор: Функцијата се намалува на сегментот (0;1], функцијата се зголемува на зракот $ 2 .

Англо-американски систем

Математичарите, статистичарите и некои инженери обично користат за означување на природниот логаритам или „log( x)" или "ln( x)“, а за означување на логаритамот на основата 10 - „log 10 ( x)».

Некои инженери, биолози и други специјалисти секогаш пишуваат „ln( x)" (или повремено "log e ( x)") кога значат природниот логаритам и ознаката "log( x)" тие значат дневник 10 ( x).

дневник де „природен“ логаритам бидејќи се јавува автоматски и се појавува многу често во математиката. На пример, разгледајте го проблемот со изводот на логаритамска функција:

Доколку основата беднакви д, тогаш дериватот е едноставно 1/ x, и кога x= 1 овој извод е еднаков на 1. Друга причина зошто основата дНајприродното нешто во врска со логаритмот е тоа што може да се дефинира прилично едноставно во однос на едноставна интегрална или Тејлоровата серија, што не може да се каже за другите логаритми.

Понатамошните оправдувања за природноста не се поврзани со нотација. На пример, постојат неколку едноставни серии со природни логаритми. Им се јавија Пјетро Менголи и Николас Меркатор логаритам натуралиснеколку децении додека Њутн и Лајбниц не развија диференцијална и интегрална пресметка.

Дефиниција

Формално на ( а) може да се дефинира како површина под кривата на графиконот 1/ xод 1 до а, т.е. како интеграл:

Тој е навистина логаритам бидејќи го задоволува основното својство на логаритамот:

Ова може да се докаже со претпоставка како што следува:

Нумеричка вредност

За да ја пресметате нумеричката вредност на природниот логаритам на некој број, можете да го користите проширувањето на неговата Тејлор серија во форма:

За да добиете подобра стапка на конвергенција, можете да го користите следниов идентитет:

под услов да y = (x−1)/(x+1) и x > 0.

За ln( x), Каде x> 1, толку е поблиску вредноста xдо 1, толку е побрза стапката на конвергенција. Идентитетите поврзани со логаритмот може да се користат за да се постигне целта:

Овие методи се користеа дури и пред појавата на калкулаторите, за кои беа користени нумерички табели и беа извршени манипулации слични на оние опишани погоре.

Висока точност

Да се ​​пресмета природниот логаритам со голема сумабројки за точност, серијата Тејлор не е ефикасна бидејќи нејзината конвергенција е бавна. Алтернатива е да се користи методот на Њутн за да се преврти во експоненцијална функција чија серија побрзо се конвергира.

Алтернатива за многу висока прецизностпресметката е формулата:

Каде Мозначува аритметичко-геометриски просек од 1 и 4/s, и

мизбран така што стрсе постигнуваат знаци на точност. (Во повеќето случаи, вредноста од 8 за m е доволна.) Навистина, ако се користи овој метод, Њутновата инверзна на природниот логаритам може да се примени на ефикасно пресметување експоненцијална функција. (Константите ln 2 и pi може однапред да се пресметаат до саканата точност користејќи која било од познатите брзо конвергентни серии.)

Комплексност на пресметување

Пресметковната сложеност на природните логаритми (со користење на аритметичко-геометриската средина) е O( М(n) н n). Еве nе бројот на цифри со прецизност за кои мора да се оцени природниот логаритам, и М(n) е пресметковна сложеност на множење два n-цифрени броеви.

Продолжени дропки

Иако не постојат едноставни продолжени дропки за претставување на логаритам, може да се користат неколку генерализирани продолжени дропки, вклучувајќи:

Сложени логаритми

Експоненцијалната функција може да се прошири на функција која дава комплексен број на формата д xза кој било произволен комплексен број x, во овој случај бесконечна серија со комплекс x. Ова експоненцијална функцијаможе да се преврти за да се формира сложен логаритам, кој ќе ги има повеќето својства на обичните логаритми. Сепак, има две тешкотии: нема x, за што д x= 0, и излегува дека д 2πi = 1 = д 0 . Бидејќи својството на мултипликативност важи за сложена експоненцијална функција, тогаш д z = д z+2nπiза сите сложени zи целина n.

Логаритмот не може да се дефинира на целата сложена рамнина, па дури и затоа е повеќевреднос - секој сложен логаритам може да се замени со „еквивалентен“ логаритам со додавање на кој било цел број повеќекратен од 2. πi. Сложениот логаритам може да се вреднува само на парче од сложената рамнина. На пример, ln јас = 1/2 πiили 5/2 πiили −3/2 πiитн., и иако јас 4 = 1,4 лог јасможе да се дефинира како 2 πi, или 10 πiили −6 πi, и така натаму.

исто така види

  • Џон Непиер - пронаоѓач на логаритми

Белешки

  1. Математика за физичка хемија. - 3. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5Извадок од страница 9
  2. J J O"Connor и E F RobertsonБројот е. Архивата MacTutor History of Mathematics (септември 2001 година). Архивирана
  3. Кајори ФлоријанИсторија на математиката, 5-то издание. - Книжарница AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
  4. Флешмен, МартинПроценка на интеграли со помош на полиноми. Архивирано од оригиналот на 12 февруари 2012 година.