Дополнителни својства на логаритмите. Дефиниција на логаритам, основен логаритамски идентитет

Логаритам на бројот b (b > 0) до основата a (a > 0, a ≠ 1)– експонент на кој бројот a мора да се подигне за да се добие b.

Основниот 10 логаритам на b може да се запише како дневник (б), а логаритамот до основата e (природен логаритам) е ln(b).

Често се користи при решавање проблеми со логаритми:

Својства на логаритмите

Постојат четири главни својства на логаритми.

Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Својство 1. Логаритам на производот

Логаритам на производотеднаков на збирот на логаритми:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Својство 2. Логаритам на количникот

Логаритам на количникотеднаква на разликата на логаритми:

log a (x / y) = log a x – log a y

Својство 3. Логаритам на моќност

Логаритам на степенеднаков на производот на моќноста и логаритамот:

Ако основата на логаритмот е во моќност, тогаш се применува друга формула:

Својство 4. Логаритам на коренот

Ова својство може да се добие од својството на логаритмот на моќта, бидејќи n-тиот корен на моќноста е еднаков на моќноста од 1/n:

Формула за претворање од логаритам во една база во логаритам во друга основа

Оваа формула често се користи и при решавање на различни задачи на логаритми:

Посебен случај:

Споредување логаритми (неравенки)

Да имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми со по истите основиа меѓу нив има знак за нееднаквост:

За да ги споредите, прво треба да ја погледнете основата на логаритмите:

Ако a > 0, тогаш f(x) > g(x) > 0
Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Како да се решаваат проблеми со логаритми: примери

Проблеми со логаритмивклучени во Единствениот државен испит по математика за одделение 11 во задача 5 и задача 7, можете да најдете задачи со решенија на нашата веб-страница во соодветните делови. Исто така, задачите со логаритми се наоѓаат во банката за задачи по математика. Можете да ги најдете сите примери со пребарување на страницата.

Што е логаритам

Логаритмите отсекогаш се сметале за тешка тема во училишните курсеви по математика. Постојат многу различни дефиниции за логаритам, но поради некоја причина повеќето учебници ги користат најсложените и најнеуспешните од нив.

Ќе го дефинираме логаритамот едноставно и јасно. За да го направите ова, ајде да создадеме табела:

Значи, имаме моќ од два.

Логаритми - својства, формули, како да се реши

Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.

И сега - всушност, дефиницијата за логаритам:

основата a на аргументот x е моќта до која бројот a мора да се подигне за да се добие бројот x.

Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.

На пример, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот успех, лог 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.

Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
дневник 2 2 = 1	дневник 2 4 = 2	дневник 2 8 = 3	дневник 2 16 = 4	дневник 2 32 = 5	дневник 2 64 = 6

За жал, не се пресметуваат сите логаритми толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 не е во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на интервалот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем повеќе степендва, толку е поголем бројот.

Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.

Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да се избегне досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:

Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.

Како да се бројат логаритми

Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:

Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата за степенот рационален индикатор, на што се сведува дефиницијата за логаритам.
Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!

Таквите ограничувања се нарекуваат регион прифатливи вредности (ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.

Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае VA на логаритмот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на задачите. Но, кога ќе влезат во игра логаритамските равенки и неравенки, барањата за DL ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.

Сега да размислиме општа шемапресметување на логаритми. Се состои од три чекори:

Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.

Тоа е се! Ако логаритамот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде поголема од една е многу важна: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Истото е и со децималните дропки: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.

Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:

Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25

Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Го добивме одговорот: 2.

Задача. Пресметајте го логаритамот:

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64

Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Го добивме одговорот: 3.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1

Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Го добивме одговорот: 0.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14

Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како моќ од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
Од претходниот став следува дека логаритмот не се брои;
Одговорот е без промена: дневник 7 14.

Мала забелешка за последниот пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само вклучете го во основни фактори. Ако проширувањето има најмалку два различни фактори, бројот не е точна моќност.

Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;

Да забележиме и дека ние самите примарни броевисе секогаш точни степени за себе.

Децимален логаритам

Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.

од аргументот x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.

На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.

Отсега, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x

Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.

Природен логаритам

Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Зборуваме за природниот логаритам.

од аргументот x е логаритам за основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.

Многу луѓе ќе прашаат: кој е бројот e? Ова е ирационален број, неговата точна вредност не може да се најде и да се запише. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459…

Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x

Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Во принцип, природниот логаритам на кој било рационален бројирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.

За природни логаритмиважат сите правила кои се точни за обичните логаритми.

Исто така види:

Логаритам. Својства на логаритмот (моќ на логаритам).

Како да се претстави број како логаритам?

Ја користиме дефиницијата за логаритам.

Логаритам е експонент на кој основата мора да се подигне за да се добие бројот под знакот логаритам.

Така, за да се претстави одреден број c како логаритам на основата a, треба да ставите моќ со иста основа како основата на логаритамот под знакот на логаритамот и да го напишете овој број c како експонент:

Апсолутно секој број може да се претстави како логаритам - позитивен, негативен, цел број, фракционо, рационално, ирационално:

За да не се мешаат a и c во стресни услови на тест или испит, можете да го користите следново правило за меморирање:

она што е долу оди надолу, она што е горе оди нагоре.

На пример, треба да го претставите бројот 2 како логаритам на основата 3.

Имаме два броја - 2 и 3. Овие броеви се основата и експонентот, кои ќе ги запишеме под знакот на логаритамот. Останува да се утврди кој од овие броеви треба да се запише, до основата на степенот, а кој - нагоре, до експонентот.

Основата 3 во ознаката на логаритам е на дното, што значи дека кога ќе претставиме два како логаритам на основата 3, ќе запишеме и 3 до основата.

2 е повисоко од три. И како означување на степенот два пишуваме над трите, односно како експонент:

Логаритми. Прво ниво.

Логаритми

Логаритампозитивен број ббазирано на а, Каде a > 0, a ≠ 1, се нарекува експонент на кој бројот мора да се подигне а, За да се добие б.

Дефиниција на логаритамможе накратко да се напише вака:

Оваа еднаквост важи за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Обично се нарекува логаритамски идентитет.
Дејството на наоѓање на логаритам на број се нарекува по логаритам.

Својства на логаритмите:

Логаритам на производот:

Логаритам на количникот:

Замена на логаритамската основа:

Логаритм на степен:

Логаритам на коренот:

Логаритам со база на моќност:

Децимални и природни логаритми.

Децимален логаритамброевите го повикуваат логаритамот на овој број на основата 10 и пишуваат lg б
Природен логаритамброевите се нарекуваат логаритам на тој број до основата д, Каде д- ирационален број приближно еднаков на 2,7. Во исто време тие пишуваат ln б.

Други белешки за алгебра и геометрија

Основни својства на логаритмите

Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: log a x и log a y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Забелешка: клучен моментЕве - идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израздури и кога неговите поединечни делови не се бројат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Дневник 6 4 + дневник 6 9.

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на Обединетиот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам.

Како да се решат логаритми

Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е и направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот лог a x. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.

Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се оцени колку се погодни само со одлучување логаритамски равенкии нееднаквости.

Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.

Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Бидејќи производот не се менува при преуредување на факторите, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа.

Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Како формулите за транзиција кон нова база, главната логаритамски идентитетпонекогаш тоа е единственото можно решение.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.

log a a = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a на самата основа е еднаков на еден.
log a 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.

Дефиниција на логаритам

Логаритмот од b до основата a е експонентот до кој мора да се подигне a за да се добие b.

Број дво математиката вообичаено е да се означи границата до која се стреми изразот

Број де ирационален број - број неспоредлив со еден, не може точно да се изрази ниту како цел број, ниту како дропка рационаленброј.

Писмо д- прва буква Латински збор изложувач- да се покаже, па оттука и името во математиката експоненцијален- експоненцијална функција.

Број дшироко користен во математиката, и во сите науки кои на еден или друг начин користат математички пресметки за своите потреби.

Логаритми. Својства на логаритмите

Дефиниција: Логаритмот на позитивен број b на неговата основа е експонентот c на кој мора да се подигне бројот a за да се добие бројот b.

Основен логаритамски идентитет:

7) Формула за преселба во нова база:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Задачи и тестови на тема „Логаритми. Својства на логаритмите“

Логаритми - Важни теми за прегледување на Единствениот државен испит по математика

За успешно завршување на задачите на оваа тема, мора да ја знаете дефиницијата за логаритам, својствата на логаритмите, основниот логаритамски идентитет, дефинициите за децимални и природни логаритми. Главните типови на проблеми на оваа тема се проблеми кои вклучуваат пресметување и трансформација на логаритамски изрази. Да го разгледаме нивното решение користејќи ги следните примери.

Решение:Користејќи ги својствата на логаритмите, добиваме

Решение:Користејќи ги својствата на степените, добиваме

1) (2 2) дневник 2 5 =(2 дневник 2 5) 2 =5 2 =25

Својства на логаритми, формулации и докази.

Логаритмите имаат голем број на карактеристични својства. Во оваа статија ќе ги разгледаме главните својства на логаритми. Овде ќе ги дадеме нивните формулации, ќе ги запишеме својствата на логаритмите во форма на формули, ќе покажеме примери за нивната примена, а исто така ќе обезбедиме доказ за својствата на логаритмите.

Навигација на страница.

Основни својства на логаритмите, формули

За полесно запомнување и користење, ајде да замислиме основни својства на логаритмитево форма на листа на формули. Во следниот пасус ќе ги дадеме нивните формулации, докази, примери за употреба и потребни објаснувања.

Својство на логаритамот на единство: log a 1=0 за кое било a>0, a≠1.

Логаритам на број еднаков на основата: log a a=1 за a>0, a≠1.

Својство на логаритамот на моќноста на основата: log a a p =p, каде што a>0, a≠1 и p е секој реален број.

Логаритам на производот од два позитивни броја: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
и својството на логаритамот на производот од n позитивни броеви: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, ..., x n >0.

Својство на логаритам на количник:

, каде што a>0, a≠1, x>0, y>0.

Логаритам на моќноста на број: log a b p =p·log a |b| , каде што a>0, a≠1, b и p се броеви такви што степенот b p има смисла и b p >0.

Последица:

, каде a>0, a≠1, n - природен број, поголемо од еден, b>0.

Заклучок 1:

, a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Заклучок 2:

, a>0 , a≠1 , b>0 , p и q се реални броеви, q≠0 , особено за b=a имаме

Формулации и докази за својства

Продолжуваме со формулација и докажување на пишаните својства на логаритмите. Сите својства на логаритмите се докажани врз основа на дефиницијата на логаритамот и основниот логаритамски идентитет што произлегува од него, како и својствата на степенот.

Да почнеме со својства на логаритмот на еден. Неговата формулација е како што следува: логаритамот на единство е еднаков на нула, односно, најавите 1=0за кое било a>0, a≠1. Доказот не е тежок: бидејќи a 0 =1 за кој било a ги задоволува горенаведените услови a>0 и a≠1, тогаш логот за еднаквост a 1=0 што треба да се докаже следи веднаш од дефиницијата на логаритамот.

Да дадеме примери за примена на разгледуваното својство: log 3 1=0, log1=0 и .

Ајде да преминеме на следниот имот: логаритамот на број еднаков на основата е еднаков, тоа е, log a a=1за a>0, a≠1. Навистина, бидејќи a 1 =a за кое било a, тогаш по дефиниција на логаритамот log a a=1.

Примери за користење на ова својство на логаритми се равенките log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.

Логаритмот на моќта на број еднаков на основата на логаритамот е еднаков на експонентот. Ова својство на логаритмот одговара на формулата на формата log a a p =p, каде што a>0, a≠1 и p – кој било реален број. Ова својство произлегува директно од дефиницијата на логаритамот. Забележете дека ви овозможува веднаш да ја означите вредноста на логаритмот, ако е можно да се претстави бројот под знакот за логаритам како моќност на основата, ќе зборуваме повеќе за ова во написот за пресметување логаритми.

На пример, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .

Логаритам на производот од два позитивни броја x и y е еднаков на производот од логаритмите на овие броеви: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Да го докажеме својството на логаритмот на производот. Поради својствата на степенот a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и бидејќи според главниот логаритамски идентитет log a x =x и лог a y =y, тогаш лог a x ·a log a y =x· y. Така, лог a x+log a y =x·y, од кој, според дефиницијата на логаритам, следи еднаквоста што се докажува.

Да покажеме примери за користење на својството на логаритам на производ: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Својството на логаритамот на производот може да се генерализира на производот на конечен број n од позитивни броеви x 1 , x 2 , …, x n како log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Оваа еднаквост може да се докаже без проблеми со користење на методот на математичка индукција.

На пример, природниот логаритам на производот може да се замени со збир од три природни логаритми од броевите 4, e и.

Логаритам на количник на два позитивни броја x и y е еднаква на разликата помеѓу логаритмите на овие броеви. Својството на логаритамот на количник одговара на формулата на формата , каде што a>0, a≠1, x и y се некои позитивни броеви. Се докажува валидноста на оваа формула како и формулата за логаритам на производ: бидејќи , потоа по дефиниција на логаритам .

Еве пример за користење на ова својство на логаритмот: .

Ајде да продолжиме на својство на логаритмот на моќноста. Логаритмот на степен е еднаков на производот на експонентот и логаритамот на модулот на основата на овој степен. Да го напишеме ова својство на логаритмот на моќта како формула: log a b p =p·log a |b|, каде што a>0, a≠1, b и p се броеви такви што степенот b p има смисла и b p >0.

Прво го докажуваме ова својство за позитивно б. Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа b p =(a log a b) p , а добиениот израз, поради својството на моќ, е еднаков на p·log a b . Значи, доаѓаме до еднаквоста b p =a p·log a b, од која, според дефиницијата за логаритам, заклучуваме дека log a b p =p·log a b.

Останува да се докаже ова својство за негативно б. Овде забележуваме дека изразот log a b p за негативно b има смисла само за парни експоненти p (бидејќи вредноста на степенот b p мора да биде поголема од нула, во спротивно логаритамот нема да има смисла), а во овој случај b p =|b| стр. Тогаш b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , од каде log a b p =p·log a |b| .

На пример, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Тоа произлегува од претходниот имот својство на логаритмот од коренот: логаритамот на n-тиот корен е еднаков на производот на дропот 1/n со логаритамот на радикалниот израз, односно каде a>0, a≠1, n е природен број поголем од еден, b>0 .

Доказот се заснова на еднаквоста (види дефиниција за експонент со фракционо експонент), која важи за секој позитивен b, и својството на логаритамот на експонентот: .

Еве пример за користење на ова својство: .

Сега да докажеме формула за преминување во нова логаритамска основаљубезен . За да го направите ова, доволно е да се докаже валидноста на логот за еднаквост c b=log a b·log c a. Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа log c b=log c a log a b . Останува да се користи својството на логаритамот на степенот: log c a log a b =log a b·log c a . Ова ја докажува еднаквоста log c b=log a b·log c a, што значи дека е докажана и формулата за премин кон нова основа на логаритамот .

Да покажеме неколку примери за користење на ова својство на логаритми: и .

Формулата за преместување во нова база ви овозможува да продолжите да работите со логаритми кои имаат „погодна“ основа. На пример, со негова помош можете да се префрлите на природно или децимални логаритми, за да можете да ја пресметате вредноста на логаритмот од табелата со логаритми. Формулата за преместување во нова логаритамска основа, исто така, овозможува, во некои случаи, да се најде вредноста на даден логаритам кога се познати вредностите на некои логаритми со други основи.

Често се користи посебен случај на формулата за премин кон нова логаритамска основа за c=b од формата. Ова покажува дека log a b и log b a се меѓусебно инверзни броеви. На пр. .

Често се користи и формулата, што е погодно за пронаоѓање на вредностите на логаритмите. За да ги потврдиме нашите зборови, ќе покажеме како може да се користи за пресметување на вредноста на логаритам на формата. Ние имаме . За да се докаже формулата, доволно е да се користи формулата за преместување во нова основа на логаритмот a: .

Останува да се докажат својствата на споредување на логаритмите.

Ајде да го користиме спротивниот метод. Да претпоставиме дека за 1 >1, a 2 >1 и a 1 2 и за 0 1, log a 1 b≤log a 2 b е точно. Врз основа на својствата на логаритмите, овие неравенки може да се препишат како И соодветно, и од нив следува дека log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2, соодветно. Потоа, според својствата на силите со исти основи, мора да важат еднаквостите b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, односно a 1 ≥a 2 . Така, дојдовме до контрадикција со условот a 1 2. Ова го комплетира доказот.

Основни својства на логаритмите

Материјали за лекцијата
Преземете ги сите формули

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: log a x и log a y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 6 4 + log 6 9.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на Обединетиот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

log a x n = n · log a x ;

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

[Наслов за сликата]

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

[Наслов за сликата]

Транзиција кон нова основа

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот лог a x. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

[Наслов за сликата]

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

[Наслов за сликата]

Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

[Наслов за сликата]

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.

[Наслов за сликата]

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

[Наслов за сликата]

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

n = log a a n
Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се нарекува: основен логаритамски идентитет.

Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.

[Наслов за сликата]

Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зедовме квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

[Наслов за сликата]

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
1. log a a = 1 е логаритамска единица. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a на самата основа е еднаков на еден.
2. log a 1 = 0 е логаритамска нула. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.

Логаритам. Својства на логаритмот (собирање и одземање).

Својства на логаритмотследи од неговата дефиниција. И така логаритамот на бројот ббазирано на Асе дефинира како експонент до кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).

Од оваа формулација произлегува дека пресметката x=log a b, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.На пример, дневник 2 8 = 3бидејќи 8 = 2 3 . Формулирањето на логаритамот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата за логаритми е тесно поврзана со темата за моќи.

Со логаритми, како и со сите броеви, можете да направите операции собирање, одземањеи се трансформираат на секој можен начин. Но, поради фактот што логаритмите не се сосема обични броеви, овде важат нивните посебни правила, кои се нарекуваат главните својства.

Собирање и одземање логаритми.

Да земеме два логаритами со исти основи: логирајте xИ најавите y. Тогаш е можно да се извршат операции за собирање и одземање:

Како што гледаме, збир на логаритмие еднаков на логаритмот на производот, и разлика логаритми- логаритам на количник. Покрај тоа, ова е точно ако бројките А, ХИ напозитивни и a ≠ 1.

Важно е да се напомене дека главниот аспект во овие формули се истите основи. Ако основите се различни, овие правила не важат!

Правилата за собирање и одземање логаритми со исти основи се читаат не само од лево кон десно, туку и обратно. Како резултат на тоа, ги имаме теоремите за логаритам на производот и логаритам на количникот.

Логаритам на производотдва позитивни броја е еднаква на збирот на нивните логаритми ; преформулирајќи ја оваа теорема го добиваме следново ако броевите А, xИ напозитивни и a ≠ 1, Тоа:

Логаритам на количникотдва позитивни броја е еднаква на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот. Поинаку кажано, ако бројките А, XИ напозитивни и a ≠ 1, Тоа:

Да ги примениме горенаведените теореми за решавање примери:

Доколку бројките xИ натогаш се негативни формула за логаритам на производотстанува бесмислено. Така, забрането е да се напише:

бидејќи изразите log 2 (-8) и log 2 (-4) воопшто не се дефинирани (логаритамска функција на= дневник 2 Xдефинирани само за позитивни вредностиаргумент X).

Теорема на производотприменливо не само за два, туку и за неограничен број фактори. Тоа значи дека за секој природен ки сите позитивни бројки x 1 , x 2 , . . . ,x nима идентитет:

Од Теорема на логаритамски количникМоже да се добие уште едно својство на логаритмот. Општо познато е дека дневникот а 1 = 0, значи

Ова значи дека постои еднаквост:

Логаритми од два реципрочни бројаод истата причина ќе се разликуваат едни од други исклучиво по знак. Значи:

Логаритам. Својства на логаритмите

Логаритам. Својства на логаритмите

Ајде да размислиме за еднаквоста. Дозволете ни да ги знаеме вредностите на и и сакаме да ја најдеме вредноста на.

Односно, ние го бараме експонентот со кој треба да го затегнеме за да го добиеме.

Нека променливата може да земе која било вистинска вредност, тогаш на променливите им се наметнуваат следните ограничувања: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

Ако ги знаеме вредностите на и, а сме соочени со задача да го најдеме непознатото, тогаш за таа цел се воведува математичка операција, која се нарекува. логаритам.

За да ја најдеме вредноста што ја земаме логаритам на бројОд страна на основа :

Логаритмот на еден број до неговата основа е експонентот до кој мора да се подигне за да се добие .

Тоа е основен логаритамски идентитет:

o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

е во суштина математичка нотација дефиниции на логаритам.

Математичката операција на логаритам е инверзна на операцијата на степенување, т.н својства на логаритмисе тесно поврзани со својствата на степенот.

Да ги наведеме главните својства на логаритми:

(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

d>0″/>, 1″ наслов=”d1″/>

4.

5.

Следната група својства ви овозможува да го претставите експонентот на изразот под знакот на логаритам или да стои на основата на логаритамот во форма на коефициент пред знакот на логаритамот:

6.

7.

8.

9.

Следната група формули ви овозможува да преминете од логаритам со дадена основа во логаритам со произволна основа, и се нарекува формули за премин кон нова основа:

10.

12. (заклучок од имотот 11)

Следниве три својства не се добро познати, но тие често се користат при решавање на логаритамски равенки или при поедноставување на изрази што содржат логаритми:

13.

14.

15.

Посебни случаи:

— децимален логаритам

— природен логаритам

При поедноставување на изрази кои содржат логаритми, се користи општ пристап:

1. Воведување децималиво форма на обични.

2. Мешани броевипретставени како неправилни дропки.

3. Броевите во основата на логаритамот и под знакот на логаритамот ги разложуваме на едноставни фактори.

4. Се обидуваме да ги намалиме сите логаритми на иста основа.

5. Примени ги својствата на логаритмите.

Ајде да погледнеме примери за поедноставување на изрази кои содржат логаритми.

Пример 1.

Пресметајте:

Ајде да ги поедноставиме сите експоненти: нашата задача е да ги сведеме на логаритми, чија основа е ист број како и основата на експонентот.

==(по својство 7)=(по својство 6) =

Ајде да ги замениме индикаторите што ги најдовме во оригиналниот израз. Добиваме:

Одговор: 5.25

Пример 2. Пресметајте:

Ајде да ги намалиме сите логаритми на основата 6 (во овој случај, логаритмите од именителот на дропката ќе „мигрираат“ до броителот):

Ајде да ги разложиме броевите под знакот за логаритам на едноставни фактори:

Да ги примениме својствата 4 и 6:

Ајде да ја претставиме замената

Добиваме:

Одговор: 1

Логаритам . Основен логаритамски идентитет.

Својства на логаритмите. Децимален логаритам. Природен логаритам.

Логаритам позитивен број N до основата (б > 0, б 1) е експонентот x до кој b мора да се подигне за да се добие N .

Овој запис е еквивалентен на следново: b x = N .

Примери: дневник 3 81 = 4, бидејќи 3 4 = 81;

дневник 1/3 27 = – 3, бидејќи (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Горенаведената дефиниција за логаритам може да се напише како идентитет:

Основни својства на логаритмите.

2) дневник 1 = 0, бидејќи б 0 = 1 .

3) Логаритмот на производот е еднаков на збирот на логаритмите на факторите:

4) Логаритмот на количникот е еднаков на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот:

5) Логаритмот на моќта е еднаков на производот на експонентот и логаритамот на неговата основа:

Последица на ова својство е следново: логаритам на коренот еднаков на логаритамрадикален број поделен со моќта на коренот:

6) Ако основата на логаритмот е степен, тогаш вредноста инверзната на експонентот може да се извади како дневничка рима:

Последните две својства може да се комбинираат во едно:

7) Формула за преодниот модул (т.е. премин од една логаритамска основа во друга база):

Во посебниот случај кога N=aние имаме:

Децимален логаритам повикани основен логаритам 10. Се означува lg, т.е. дневник 10 Н= дневник Н. Логаритми на броеви 10, 100, 1000, . стр се 1, 2, 3, ..., соодветно, т.е. има толку многу позитивни

единици, колку нули има во логаритамски број после една. Логаритми на броеви 0,1, 0,01, 0,001, . p се соодветно –1, –2, –3, …, т.е. имаат толку негативни колку што има нули во логаритамскиот број пред еден (вклучувајќи нула цели броеви). Логаритмите на другите броеви имаат фракционен дел наречен мантиса. Цел делсе нарекува логаритам карактеристика. За практична употреба, децималните логаритми се најпогодни.

Природен логаритам повикани основен логаритам д. Се означува со ln, т.е. дневник д Н= дневник Н. Број де ирационален, неговата приближна вредност е 2,718281828. Тоа е границата кон која бројот се стреми (1 + 1 / n) nсо неограничено зголемување n(цм. првата прекрасна границана страницата „Граници“. секвенци на броеви»).
Колку и да изгледа чудно, природните логаритми се покажаа како многу погодни при извршување на разни видови операции поврзани со анализа на функции. Пресметување логаритми до база дсе спроведува многу побрзо отколку поради која било друга причина.

Што е потребно денес за посвојување дете во Русија? Усвојувањето во Русија, покрај одговорната лична одлука, вклучува и голем број процедури за државна верификација на кандидатите. Тешка селекција за подготвителна фазапридонесува за повеќе […]
Бесплатни информации за TIN или OGRN од даночниот регистар низ Русија - онлајн На порталот за унифицирани даночни услуги можете да добиете информации за државна регистрација правни лица, индивидуални претприемачи, […]
Казна за возење без документи (возачка дозвола, осигурување, СТС) Понекогаш, поради заборав, возачите седнуваат зад воланот без дозвола и добиваат казна за возење без документи. Сакаме да ве потсетиме дека автомобил ентузијаст е потребно да има […]
Цвеќиња за мажи. Какви цвеќиња можете да му дадете на маж? Какви цвеќиња можете да му дадете на маж? Нема многу „машки“ цвеќиња, но има и такви што им се даваат на мажите. Мала цветна листа пред вас: Хризантеми. Рози. Каранфили. […]
Меморандум за услугае посебен облик на документ кој се користи во внатрешното опкружување на едно претпријатие и служи за да брзо решениетековни проблеми со производството. Обично овој документ се составува со цел да се воведат некои […]
Кога и како да го добиете финансираниот дел од вашата пензија од Сбербанк? Сбербанк е партнерска банка на државниот пензиски фонд. Врз основа на ова, граѓаните кои се пријавиле за финансирана пензија може да го префрлат финансираниот дел […]
Детски бенефиции во Улјановск и регионот Уљановск во 2018 година Покрај тоа, програмите одобрени со федералното законодавство функционираат во сите региони. Ајде да погледнеме кој може да смета на какви придобивки. Како регионалните власти […]
Детален водичкако да се состави полномошно за застапување интереси индивидуалнана суд Во граѓанско или арбитражно барање, во административен или кривичен случај, интересите и на тужителот и на обвинетиот можат да бидат застапувани од адвокат: […]

Проверете дали има негативни броеви или еден под знакот логаритам. Овој методприменливи за изразите на формата log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Сепак, не е погоден за некои посебни случаи:
- Логаритмот на негативен број е недефиниран во која било основа (на пример, дневник ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))или дневник 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Во овој случај напишете „нема решение“.
- Логаритмот од нула до која било основа е исто така недефиниран. Ако ве фатат ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), запишете „нема решение“.
- Логаритм од една до која било основа ( дневник ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) е секогаш нула, затоа што x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)за сите вредности x. Напишете 1 наместо овој логаритам и не користете го методот подолу.
- Ако логаритмите имаат различни причини, На пример l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), и не се сведуваат на цели броеви, вредноста на изразот не може да се најде рачно.
Претворете го изразот во еден логаритам.Ако изразот не е еден од горенаведените посебни прилики, може да се претстави како еден логаритам. Користете ја следната формула за ова: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Пример 1: Размислете за изразот log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  Прво, да го претставиме изразот како единствен логаритам користејќи ја горната формула: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- Оваа формула за „замена на основата“ на логаритам е изведена од основните својства на логаритмите.
Ако е можно, рачно проценете ја вредноста на изразот.Да најде log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), замислете го изразот " а? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, односно поставете го следново прашање: „До која моќ треба да подигнете а, За да се добие x? За да одговорите на ова прашање можеби е потребен калкулатор, но ако имате среќа, можеби ќе можете да го најдете рачно.
- Пример 1 (продолжение): Препишете како 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Треба да пронајдете кој број треба да стои на местото на знакот "?". Ова може да се направи со обиди и грешки:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  Значи, бројот што го бараме е 4: дневник 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
Оставете го вашиот одговор во логаритамска форма ако не можете да го поедноставите.Многу логаритми е многу тешко да се пресметаат рачно. Во овој случај, за да добиете точен одговор, ќе ви треба калкулатор. Меѓутоа, ако решавате проблем на час, наставникот најверојатно ќе биде задоволен со одговорот во логаритамска форма. Методот дискутиран подолу се користи за решавање на покомплексен пример:
- пример 2: што е еднакво дневник 3 ⁡ (58) дневник 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- Ајде да го претвориме овој израз во еден логаритам: дневник 3 ⁡ (58) дневник 3 ⁡ (7) = дневник 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Забележете дека основата 3 заедничка за двата логаритами исчезнува; ова е точно од која било причина.
- Ајде да го преработиме изразот во форма 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)и да се обидеме да ја најдеме вредноста?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  Бидејќи 58 е помеѓу овие два броја, тој не се изразува како цел број.
- Одговорот го оставаме во логаритамска форма: дневник 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

Во врска со

може да се постави задача да се најде некој од трите броеви од другите два дадени. Ако се дадени a и потоа N, тие се наоѓаат со степенување. Ако N и потоа a се дадени со земање на коренот на степенот x (или подигање на моќта). Сега разгледајте го случајот кога, со оглед на a и N, треба да го најдеме x.

Нека бројот N е позитивен: бројот a е позитивен и не е еднаков на еден: .

Дефиниција. Логаритмот на бројот N до основата a е експонентот до кој мора да се подигне a за да се добие бројот N; логаритам се означува со

Така, во еднаквоста (26.1) експонентот се наоѓа како логаритам од N на основата a. Објави

имаат исто значење. Еднаквоста (26.1) понекогаш се нарекува главен идентитет на теоријата на логаритми; во реалноста ја изразува дефиницијата на поимот логаритам. Од страна на оваа дефиницијаОсновата на логаритмот a е секогаш позитивна и различна од единството; логаритамскиот број N е позитивен. Негативните броеви и нулата немаат логаритми. Може да се докаже дека секој број со дадена основа има добро дефиниран логаритам. Затоа еднаквоста повлекува . Забележете дека условот е суштински овде, во спротивно, заклучокот не би бил оправдан, бидејќи еднаквоста е точна за сите вредности на x и y.

Пример 1. Најдете

Решение. За да добиете број, мора да ја подигнете основата 2 на моќта Затоа.

Можете да правите белешки кога решавате такви примери во следнава форма:

Пример 2. Најдете .

Решение. Ние имаме

Во примерите 1 и 2, лесно го најдовме саканиот логаритам со претставување на логаритамскиот број како моќност на основата со рационален експонент. Во општиот случај, на пример, за итн., тоа не може да се направи, бидејќи логаритамот има ирационална вредност. Да обрнеме внимание на едно прашање поврзано со оваа изјава. Во став 12 го дадовме концептот на можноста за определување на која било реална моќност на даден позитивен број. Ова беше неопходно за воведување на логаритми, кои, општо земено, можат да бидат ирационални броеви.

Ајде да погледнеме некои својства на логаритмите.

Својство 1. Ако бројот и основата се еднакви, тогаш логаритмот е еднаков на еден, и, обратно, ако логаритамот е еднаков на еден, тогаш бројот и основата се еднакви.

Доказ. Нека Со дефиниција за логаритам имаме и од каде

Спротивно на тоа, нека Потоа по дефиниција

Својство 2. Логаритмот од еден на која било основа е еднаков на нула.

Доказ. По дефиниција за логаритам (нултата моќност на која било позитивна основа е еднаква на еден, видете (10.1)). Од тука

Q.E.D.

Исто така е точно и обратното тврдење: ако , тогаш N = 1. Навистина, имаме .

Пред да го формулираме следното својство на логаритмите, да се согласиме да кажеме дека два броја a и b лежат на иста страна од третиот број c ако и двата се поголеми од c или помали од c. Ако еден од овие броеви е поголем од c, а другиот е помал од c, тогаш ќе речеме дека лежат на спротивните страни на c.

Својство 3. Ако бројот и основата лежат на иста страна на еден, тогаш логаритамот е позитивен; Ако бројот и основата лежат на спротивните страни на едната, тогаш логаритамот е негативен.

Доказот за својството 3 се заснова на фактот дека моќта на a е поголема од еден ако основата е поголема од еден, а експонентот е позитивен или основата е помала од еден, а експонентот е негативен. Моќта е помала од една ако основата е поголема од една, а експонентот е негативен или основата е помала од еден, а експонентот е позитивен.

Постојат четири случаи кои треба да се разгледаат:

Ќе се ограничиме на анализирање на првото од нив.

Нека во еднаквост експонентот не може да биде ниту негативен ниту еднаков на нула, затоа, тој е позитивен, т.е., како што се бара да се докаже.

Пример 3. Откријте кои од долунаведените логаритми се позитивни, а кои негативни:

Решение, а) бидејќи бројот 15 и основата 12 се наоѓаат на иста страна на еден;

б) бидејќи 1000 и 2 се наоѓаат на едната страна од единицата; во овој случај, не е важно основата да е поголема од логаритамскиот број;

в) бидејќи 3.1 и 0.8 лежат на спротивните страни на единството;

G) ; Зошто?

г) ; Зошто?

Следниве својства 4-6 често се нарекуваат правила на логаритмација: тие дозволуваат, знаејќи ги логаритмите на некои броеви, да ги најдат логаритмите на нивниот производ, количник и степен на секој од нив.

Својство 4 (правило за логаритам на производот). Логаритмот на производот од неколку позитивни броеви на дадена основа е еднаков на збирот на логаритмите на овие броеви на истата основа.

Доказ. Дадените бројки нека бидат позитивни.

За логаритмот на нивниот производ, ја пишуваме еднаквоста (26.1) што го дефинира логаритамот:

Од тука ќе најдеме

Споредувајќи ги експонентите на првиот и последниот израз, ја добиваме потребната еднаквост:

Забележете дека состојбата е суштинска; логаритам на производот од два негативни броевиима смисла, но во овој случај добиваме

Во принцип, ако производот на неколку фактори е позитивен, тогаш неговиот логаритам е еднаков на збирот на логаритмите на апсолутните вредности на овие фактори.

Својство 5 (правило за земање логаритми на количници). Логаритмот на количник на позитивни броеви е еднаков на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот, земени во иста основа. Доказ. Ние постојано наоѓаме

Q.E.D.

Својство 6 (правило на логаритам на моќност). Логаритмот на моќноста на кој било позитивен број е еднаков на логаритамот на тој број помножен со експонентот.

Доказ. Ајде повторно да го напишеме главниот идентитет (26.1) за бројот:

Q.E.D.

Последица. Логаритмот на коренот на позитивен број е еднаков на логаритамот на радикалот поделен со експонентот на коренот:

Валидноста на оваа последица може да се докаже со замислување како и користење на својството 6.

Пример 4. Земете го логаритам за да засновате a:

а) (се претпоставува дека сите вредности b, c, d, e се позитивни);

б) (се претпоставува дека ).

Решение, а) Погодно е да се оди овој израздо дробни моќи:

Врз основа на еднаквостите (26,5)-(26,7), сега можеме да напишеме:

Забележуваме дека на логаритмите на броевите се вршат поедноставни операции отколку на самите броеви: при множење на броевите се собираат нивните логаритми, при делење се одземаат итн.

Затоа логаритмите се користат во компјутерската практика (види став 29).

Инверзното дејство на логаритамот се нарекува потенцирање, имено: потенцирање е дејство со кое се наоѓа самиот број од даден логаритам на некој број. Во суштина, потенцирањето не е некоја посебна акција: таа се сведува на подигнување на основата до моќ ( еднаков на логаритамброеви). Терминот „потенцијација“ може да се смета за синоним со терминот „експоненцијација“.

Кога го потенцирате, мора да ги користите правилата обратно на правилата за логаритмација: заменете го збирот на логаритми со логаритмот на производот, разликата на логаритмите со логаритмот на количникот итн. Особено, ако има фактор напред на знакот на логаритам, тогаш при потенцирање мора да се пренесе на степените на експонент под знакот на логаритамот.

Пример 5. Најдете N ако се знае дека

Решение. Во врска со штотуку наведеното правило за потенцирање, факторите 2/3 и 1/3 кои стојат пред знаците на логаритмите од десната страна на оваа еднаквост ќе ги пренесеме во експоненти под знаците на овие логаритми; добиваме

Сега ја заменуваме разликата на логаритми со логаритам на количникот:

за да ја добиеме последната дропка во овој синџир на еднаквости, ја ослободивме претходната дропка од ирационалноста во именителот (клаузула 25).

Својство 7. Ако основата е поголема од една, тогаш поголем бројима поголем логаритам (а помал број има помал), ако основата е помала од една, тогаш поголем број има помал логаритам (а помал број има поголем).

Ова својство е исто така формулирано како правило за земање логаритми на неравенки, чии двете страни се позитивни:

При логаритмирање на неравенки до основа поголема од една, знакот на неравенство се зачувува, а при логаритмирање на основа помала од еден, знакот за неравенство се менува во спротивното (види исто така став 80).

Доказот се заснова на својствата 5 и 3. Размислете за случајот кога Ако , тогаш и земајќи логаритми, ќе добиеме

(a и N/M лежат на иста страна на единството). Од тука

Следува случај a, читателот ќе го сфати сам.

Да дадеме примери за примена на разгледуваното својство: log 3 1=0, log1=0 и .

Примери за користење на ова својство на логаритми се равенките log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.

На пример, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .

Логаритам на производот од два позитивни броја x и y е еднаков на производот од логаритмите на овие броеви: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Да го докажеме својството на логаритмот на производот. Поради својствата на степенот a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и бидејќи според главниот логаритамски идентитет лог a x =x и лог a y =y, тогаш лог a x ·a лог a y =x·y. Така, лог a x+log a y =x·y, од кој, според дефиницијата на логаритам, следи еднаквоста што се докажува.

Да покажеме примери за користење на својството на логаритам на производ: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Својството на логаритамот на производот може да се генерализира на производот на конечен број n од позитивни броеви x 1 , x 2 , …, x n како log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Оваа еднаквост може да се докаже без проблеми.

Логаритам на количник на два позитивни броја x и y е еднаква на разликата помеѓу логаритмите на овие броеви. Својството на логаритамот на количник одговара на формула од формата , каде што a>0, a≠1, x и y се некои позитивни броеви. Се докажува валидноста на оваа формула како и формулата за логаритам на производ: бидејќи , тогаш по дефиниција за логаритам.

Еве пример за користење на ова својство на логаритмот: .

Останува да се докаже ова својство за негативно б. Овде забележуваме дека изразот log a b p за негативно b има смисла само за парни експоненти p (бидејќи вредноста на степенот b p мора да биде поголема од нула, во спротивно логаритамот нема да има смисла), а во овој случај b p =|b| стр. Потоа b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, од каде log a b p =p·log a |b| .

На пример, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Тоа произлегува од претходниот имот својство на логаритмот од коренот: логаритмот на n-тиот корен е еднаков на производот од дропот 1/n според логаритамот на радикалниот израз, т.е. , каде што a>0, a≠1, n е природен број поголем од еден, b>0.

Доказот се заснова на еднаквоста (види), која важи за секое позитивно b, и својството на логаритмот на моќноста: .

Еве пример за користење на ова својство: .

Сега да докажеме формула за преминување во нова логаритамска основаљубезен . За да го направите ова, доволно е да се докаже валидноста на логот за еднаквост c b=log a b·log c a. Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа log c b=log c a log a b . Останува да се користи својството на логаритмот на степенот: log c a log a b =log a b log c a. Ова ја докажува еднаквоста log c b=log a b·log c a, што значи дека е докажана и формулата за премин кон нова основа на логаритамот.

Да покажеме неколку примери за користење на ова својство на логаритми: и .

Формулата за преместување во нова база ви овозможува да продолжите да работите со логаритми кои имаат „погодна“ основа. На пример, може да се користи за преминување кон природни или децимални логаритми за да можете да ја пресметате вредноста на логаритам од табела со логаритми. Формулата за преместување во нова логаритамска основа, исто така, овозможува, во некои случаи, да се најде вредноста на даден логаритам кога се познати вредностите на некои логаритми со други основи.

Често се користи посебен случај на формулата за премин кон нова логаритамска основа за c=b од формата . Ова покажува дека log a b и log b a – . На пр. .

Формулата исто така често се користи , што е погодно за наоѓање логаритамски вредности. За да ги потврдиме нашите зборови, ќе покажеме како може да се користи за пресметување на вредноста на логаритам на формата. Ние имаме . За да се докаже формулата Доволно е да се користи формулата за премин кон нова основа на логаритмот a: .

Останува да се докажат својствата на споредување на логаритмите.

Да докажеме дека за кои било позитивни броеви b 1 и b 2, b 1 log a b 2 , а за a>1 – неравенството log a b 1

Конечно, останува да се докаже последното од наведените својства на логаритмите. Да се ограничиме на доказот на неговиот прв дел, односно ќе докажеме дека ако a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е точно log a 1 b>log a 2 b . Останатите искази на ова својство на логаритмите се докажуваат според сличен принцип.

Ајде да го користиме спротивниот метод. Да претпоставиме дека за 1 >1, 2 >1 и 1 1 е точно log a 1 b≤log a 2 b . Врз основа на својствата на логаритмите, овие неравенки може да се препишат како И соодветно, и од нив следува дека log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2, соодветно. Потоа, според својствата на силите со исти основи, мора да важат еднаквостите b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, односно a 1 ≥a 2 . Така, дојдовме до контрадикторност со условот 1

Библиографија.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.

Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).

Категории

Изборот на уредникот

Дополнителни својства на логаритмите. Дефиниција на логаритам, основен логаритамски идентитет

Својства на логаритмите

Својство 1. Логаритам на производот

Својство 2. Логаритам на количникот

Својство 3. Логаритам на моќност

Својство 4. Логаритам на коренот

Формула за претворање од логаритам во една база во логаритам во друга основа

Споредување логаритми (неравенки)

Како да се решаваат проблеми со логаритми: примери

Што е логаритам

Логаритми - својства, формули, како да се реши

Како да се бројат логаритми

Децимален логаритам

Природен логаритам

Логаритам. Својства на логаритмот (моќ на логаритам).

Логаритми. Прво ниво.

Логаритми

Децимални и природни логаритми.

Основни својства на логаритмите

Основни својства на логаритмите

Собирање и одземање логаритми

Извлекување на експонентот од логаритамот

Како да се решат логаритми

Транзиција кон нова основа

Основен логаритамски идентитет

Логаритамска единица и логаритамска нула

Логаритми. Својства на логаритмите

Задачи и тестови на тема „Логаритми. Својства на логаритмите“

Својства на логаритми, формулации и докази.

Основни својства на логаритмите, формули

Формулации и докази за својства

Основни својства на логаритмите

Собирање и одземање логаритми

Извлекување на експонентот од логаритамот

Транзиција кон нова основа

Основен логаритамски идентитет

Логаритамска единица и логаритамска нула

Логаритам. Својства на логаритмот (собирање и одземање).

Собирање и одземање логаритми.

Логаритам. Својства на логаритмите

Пребарување

Претплата

Популарни објави

Последните белешки