дома > Изолација > §2. Квадратни равенки и неравенки со параметар. Учебник „равенки и неравенки со параметри“


§2. Квадратни равенки и неравенки со параметар. Учебник „равенки и неравенки со параметри“




решение за нееднаквоство режим онлајн решениеречиси секоја дадена нееднаквост онлајн. Математички нееднаквости на интернетда решава математика. Најдете брзо решение за нееднаквоство режим онлајн. Веб-страницата www.site ви овозможува да најдете решениеречиси секој даден алгебарски, тригонометрискиили трансцендентална нееднаквост на интернет. Кога студирате речиси секоја математичка гранка во различни фазитреба да одлучи нееднаквости на интернет. За да добиете одговор веднаш, и што е најважно точен одговор, потребен ви е ресурс што ви го овозможува тоа. Благодарение на страницата www.site реши нееднаквоста онлајнќе потрае неколку минути. Главната предност на www.site при решавање на математички нееднаквости на интернет- ова е брзината и точноста на дадениот одговор. Веб-страницата може да реши какви било алгебарски неравенки онлајн, тригонометриски неравенки онлајн, трансцендентални нееднаквости онлајн, и нееднаквостисо непознати параметри во режим онлајн. Нееднаквостислужат како моќен математички апарат решенијапрактични проблеми. Со помош математички неравенкиможно е да се изразат факти и односи кои на прв поглед може да изгледаат збунувачки и сложени. Непознати количини нееднаквостиможе да се најде со формулирање на проблемот во математичкијазик во форма нееднаквостиИ одлучидобиена задача во режим онлајнна веб-страницата www.site. Било кој алгебарска нееднаквост, тригонометриска нееднаквостили нееднаквостикои содржат трансценденталенкарактеристики што можете лесно одлучионлајн и добијте го точниот одговор. Учи природни науки, неизбежно се соочувате со потребата решенија за нееднаквости. Во овој случај, одговорот мора да биде точен и мора да се добие веднаш во режимот онлајн. Затоа за решаваат математички неравенки онлајнја препорачуваме страницата www.site, која ќе стане ваш неопходен калкулатор решавање на алгебарски неравенки онлајн, тригонометриски неравенки онлајн, и трансцендентални нееднаквости онлајнили нееднаквостисо непознати параметри. За практични проблеми за наоѓање онлајн решенија за различни математички неравенкиресурс www.. Решавање нееднаквости на интернетсами, корисно е да го проверите добиениот одговор користејќи онлајн решениенееднаквостина веб-страницата www.site. Треба правилно да ја напишете неравенката и веднаш да ја добиете онлајн решение, по што останува само да го споредите одговорот со вашето решение на нееднаквоста. Проверувањето на одговорот ќе потрае не повеќе од една минута, доволно е реши нееднаквоста онлајни споредете ги одговорите. Ова ќе ви помогне да избегнете грешки во одлукаи навреме поправете го одговорот решавање на нееднаквости онлајнили алгебарски, тригонометриски, трансценденталенили нееднаквостсо непознати параметри.

Државна буџетска образовна институција

Самара областсредно општо образование

Училиште бр.2 по име. Железничка V. Маскина чл. Кљавлино

општинска областКљавлински

Самара област

„Равенки

И

нееднаквости

со параметри"

упатство

Кљавлино

Упатство

„Равенки и неравенки со параметри“за ученици од 10-11 одделение

овој прирачник е додаток на програмата на изборниот предмет „Равенки и неравенки со параметри“, кој положил екстерно испитување (научниот и методолошки стручен совет на Министерството за образование и наука на регионот Самара од 19 декември 2008 г. употреба во образовните институцииСамара област)

Автори

Ромаданова Ирина Владимировна

наставник по математика во средното образование Кљавлинскаја

Училиште бр.2 по име. В. Маскина, област Кљавлински, област Самара

Сербаева Ирина Алексеевна

Вовед……………………………………………………………… 3-4

Линеарни равенки и неравенки со параметри……………..4-7

Квадратни равенки и неравенки со параметри……………7-9

Дробно-рационални равенки со параметри……………..10-11

Ирационални равенки и неравенки со параметри……11-13

Тригонометриски равенкии неравенки со параметри.14-15

Експоненцијални равенкии неравенки со параметри………16-17

Логаритамски равенки и неравенки со параметри......16-18

Цели на унифициран државен испит………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Задачи за самостојна работа……………………………21-28

Вовед.

Равенки и неравенки со параметри.

Ако во равенка или неравенка некои коефициенти не се наведени нумерички вредности, и се означени со букви, тогаш се нарекуваат параметри,и самата равенка или неравенка параметарски.

За да решите равенка или неравенка со параметри, треба:

    Изберете посебно значење- ова е вредноста на параметарот во кој или при минување низ кој се менува решението на равенката или неравенката.

    Дефинирај валидни вредности - ова се вредностите на параметарот на кој равенката или нееднаквоста има смисла.

Решавање на равенка или неравенка со параметри значи:

1) одреди во кои вредности на параметри постојат решенија;

2) за секој прифатлив систем на вредности на параметрите, пронајдете го соодветниот сет на решенија.

Можете да решите равенка со параметар користејќи ги следниве методи: аналитички или графички.

Аналитички метод вклучува задача за проучување на равенката со разгледување на неколку случаи, од кои ниту еден не може да се пропушти.

Решавањето равенки и неравенки со параметри од секој тип со помош на аналитички метод вклучува детална анализаситуации и доследно истражување при што се јавува потреба „внимателно ракување“со параметар.

Графички метод вклучува изградба на график на равенката, од која може да се утврди како промената на параметарот влијае на решението на равенката, соодветно. Графикот понекогаш ви овозможува аналитички да ги формулирате потребните и доволни услови за решавање на проблемот. Методот на графичко решение е особено ефективен кога треба да утврдите колку корени има една равенка во зависност од параметарот и има несомнена предноствиди го јасно.

§ 1. Линеарни равенки и неравенки.

Линеарна равенка А x = б , снимен во општ поглед, може да се смета како равенка со параметри, каде x – непознато , а , б - опции. За оваа равенка, специјалната или контролната вредност на параметарот е онаа при која коефициентот на непознатото станува нула.

При решавање на линеарна равенка со параметар, се разгледуваат случаи кога параметарот е еднаков на неговата посебна вредност и се разликува од него.

Специјална вредност на параметарот а е вредноста А = 0.

б = 0 е посебна вредност на параметарот б .

На б ¹ 0 равенката нема решенија.

На б = 0 равенката ќе има форма: 0x = 0. Решението на оваа равенка е секој реален број.

Неравенки на формата ах > б И секира < б (а ≠ 0)се нарекуваат линеарни неравенки. Збир на решенија за нееднаквост ах >б– интервал

(; +), Ако а > 0 , И (-;) , Ако А< 0 . Слично за нееднаквоста

О< б збир на решенија - интервал(-;), Ако а > 0, И (; +), Ако А< 0.

Пример 1. Решете ја равенката секира = 5

Решение: Ова линеарна равенка.

Ако a = 0, потоа равенката 0 × x = 5нема решение.

Ако А¹ 0, x =- решение на равенката.

Одговори: во А¹ 0, x=

за a = 0 нема решение.

Пример 2. Решете ја равенката секира – 6 = 2а – 3х.

Решение:Ова е линеарна равенка, секира - 6 = 2а - 3x (1)

секира + 3х = 2а +6

Препишување на равенката како (a+3)x = 2(a+3), разгледајте два случаи:

a= -3И А¹ -3.

Ако a= -3, тогаш кој било реален број Xе коренот на равенката (1). Ако А¹ -3 , равенката (1) има еден корен x = 2.

Одговор:На a = -3, x Р ; на А ¹ -3, x = 2.

Пример 3. На кои параметри вредности Амеѓу корените на равенката

2h – 4kh – a 2 + 4а – 4 = 0има повеќе корени 1 ?

Решение: Да ја решиме равенката 2h – 4kh – a 2 + 4а – 4 = 0– линеарна равенка

2(a - 2) x = a 2 – 4a +4

2(а - 2) x = (а – 2) 2

На a = 2решавање на равенката 0x = 0ќе биде кој било број, вклучително и еден поголем од 1.

На А¹ 2 x =
. По услов x > 1, тоа е
>1 и >4.

Одговор:На А (2) U (4;∞).

Пример 4 . За секоја вредност на параметарот Анајдете го бројот на корените на равенката ах=8.

Решение. секира = 8– линеарна равенка.

y = а– семејство на хоризонтални линии;

y = - Графикот е хипербола. Ајде да изградиме графикони на овие функции.

Одговор: Ако a =0, тогаш равенката нема решенија. Ако a ≠ 0, тогаш равенката има едно решение.

Пример 5 . Користејќи графикони, дознајте колку корени има равенката:

|x| = ах – 1.

y =| x | ,

y = ах – 1– графикот е права линија што минува низ точка (0;-1).

Ајде да изградиме графикони на овие функции.

Одговор: Кога |а|>1- еден корен

на | а|≤1 – равенката нема корени.

Пример 6 . Решете ја нееднаквоста секира + 4 > 2x + a 2

Решение : секира + 4 > 2x + a 2
(а – 2) x >А 2 – 4. Да разгледаме три случаи.


Одговори. x > a + 2на a > 2; X<а + 2, на А< 2; на a=2нема решенија.

§ 2. Квадратни равенки и неравенки

Квадратна равенкае равенка на формата О ² + б x + c = 0 , Каде a≠ 0,

А, б , Со - опции.

За да ги решите квадратните равенки со параметар, можете да користите стандардни методи на решение користејќи ги следните формули:

1 ) дискриминатор на квадратна равенка: Д = б ² - 4 ак , (
²- ac)

2) формули за корените на квадратна равенка:X 1 =
, Х 2 =
,

(Х 1,2 =
)

Квадратни неравенки се нарекуваат

а X 2 + б x + c > 0,а X 2 + б x + c< 0, (1), (2)

а X 2 + б x + c ≥ 0,а X 2 + б x + c ≤ 0,(3), (4)

Множеството решенија на неравенката (3) се добива со комбинирање на множествата решенија на неравенката (1) и равенката , а X 2 + б x + c = 0.Множеството решенија на неравенството (4) може да се најде слично.

Ако дискриминантот на квадратен тројном а X 2 + б x + c е помал од нула, тогаш за a > 0 триномот е позитивен за сите x Р.

Ако квадратниот трином има корени (x 1 < х 2 ), тогаш за > 0 е позитивно на сетот(-; x 2 )
(Х 2; +) и негативен на интервалот

(x 1; x 2 ). Ако< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; x 2 ) и негативен за сите x (-; x 1 )
(Х 2; +).

Пример 1. Решете ја равенката секира² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.

Ова квадратна равенка

Решение: Посебно значење a = 0.

    На a = 0добиваме линеарна равенка 2x – 4 = 0. Има еден корен x = 2.

    На a ≠ 0.Да го најдеме дискриминаторот.

Д = (a-1)² + 4a = (a+1)²

Ако a = -1,Тоа Д = 0 - еден корен.

Ајде да го најдеме коренот со замена a = -1.

-x² + 4x – 4= 0,тоа е x² -4x + 4 = 0,го наоѓаме тоа x=2.

Ако a ≠ - 1, Тоа Д >0 . Користејќи ја root формулата добиваме:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

Одговор:На a=0 и a= -1равенката има еден корен x = 2;на a ≠ 0 и

А ≠ - 1 равенка има два корениX 1 =2, x 2 =-.

Пример 2. Најдете го бројот на корените на оваа равенка x²-2x-8-a=0во зависност од вредностите на параметрите А.

Решение. Ајде да препишеме дадена равенкакако x²-2x-8=a

y = x²-2x-8- графикот е парабола;

y =а- семејство на хоризонтални линии.

Ајде да изградиме графикони на функции.

Одговор: Кога А<-9 , равенката нема решенија; кога a=-9, равенката има едно решение; на a>-9, равенката има две решенија.

Пример 3. На што Анееднаквост (а – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0важи за сите вредности на x?

Решение.Квадратниот трином е позитивен за сите вредности на x if

a-3 > 0 и Д<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств






, од каде произлегува декаа > 6 .

Одговори.а > 6

§ 3. Дробни рационални равенки со параметар,

сведена на линеарна

Процес на решение фракциони равенкисе изведува според вообичаената шема: дропката се заменува со цел број со множење на двете страни на равенката со заедничкиот именител на нејзината лева и десна страна. По што се решава целата равенка, со исклучок на надворешните корени, односно броевите што го претвораат именителот на нула.

Во случај на равенки со параметар, овој проблем е покомплициран. Овде, за да се „елиминираат“ надворешните корени, неопходно е да се најде вредноста на параметарот што го претвора заедничкиот именител на нула, односно да ги реши соодветните равенки за параметарот.

Пример 1. Решете ја равенката
= 0

Решение: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

Одговор:На a ≠ - 2, x=a

На a = -2нема корени.

Пример 2 . Решете ја равенката
-
=
(1)

Ова фракционо-рационалноравенката

Решение:Значење a = 0е посебен. На a = 0равенката нема смисла и затоа нема корени. Ако a ≠ 0,тогаш по трансформациите равенката ќе добие форма: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- квадратна равенка.

Да го најдеме дискриминаторот = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, најдете ги корените на равенкатаX 1 = a + 1, x 2 = а - 3.

При движење од равенката (1) во равенката (2), доменот на дефиниција на равенката (1) се проширил, што може да доведе до појава на надворешни корени. Затоа, неопходна е проверка.

Испитување.Да ги исклучиме од пронајдените вредности Xоние во кои

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

Ако X 1 +1=0, тоа е (а+1) + 1= 0, Тоа a= -2.Така,

на a= -2 , X 1 -

Ако X 1 +2=0, тоа е (а+1)+2=0,Тоа a = - 3. Така, кога a = - 3, x 1 - надворешен корен на равенката. (1).

Ако X 2 +1=0, тоа е (а – 3) + 1= 0, Тоа a = 2. Така, кога a = 2 x 2 - надворешен корен на равенката (1).

Ако X 2 +2=0, тоа е ( a – 3) + 2 = 0,Тоа a=1. Така, кога a = 1,

X 2 - надворешен корен на равенката (1).

Во согласност со ова, кога a = - 3добиваме x = - 3 – 3 = -6;

на a = - 2 x = -2 – 3= - 5;

на a = 1 x =1 + 1 = 2;

на a = 2 x = 2+1 = 3.

Можете да го запишете одговорот.

Одговор: 1) ако a= -3,Тоа x= -6; 2) ако a= -2, Тоа x= -5; 3) ако a= 0, тогаш нема корени; 4) ако a= 1, Тоа x=2; 5) ако a=2, Тоа x=3; 6) ако a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, потоа x 1 = a + 1, x 2 = а-3.

§4. Ирационални равенки и неравенки

Се викаат равенките и неравенките во кои променливата е содржана под знакот на коренот ирационален.

Решавањето на ирационални равенки се сведува на преминот од ирационален во рационална равенкасо степенување на двете страни на равенката или менување на променлива. Кога двете страни на равенката се подигнат на рамномерна моќност, може да се појават необични корени. Затоа, кога го користите овој метод, треба да ги проверите сите пронајдени корени со нивна замена во оригиналната равенка, земајќи ги предвид промените во вредностите на параметрите.

Равенка на формата
=g (x) е еквивалентно на системот

Неравенката f (x) ≥ 0 следи од равенката f (x) = g 2 (x).

При одлучувањето ирационални нееднаквостиЌе ги користиме следните еквивалентни трансформации:

≤ g(x)


≥g(x)

Пример 1. Решете ја равенката
= x + 1 (3)

Ова ирационална равенка

Решение: По дефиниција за аритметички корен, равенката (3) е еквивалентна на системот
.

На a = 2првата равенка на системот ја има формата 0 x = 5, односно нема решенија.

На a≠ 2 x=
. Ајде да дознаеме на кои вредностиА пронајдена вредностX ја задоволува нееднаквостаx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

каде a ≤или а > 2.

Одговор:На a≤, a > 2 x=
, на < а ≤ 2 равенката нема решенија.

Пример 2. Решете ја равенката
= а (Прилог 4)

Решение. y =

y = а– семејство на хоризонтални линии.

Ајде да изградиме графикони на функции.

Одговори: во А<0 – нема решенија;

на А≥ 0 - едно решение.

Пример 3 . Да ја решиме нееднаквоста(а+1)
<1.

Решение.О.Д.З. x ≤ 2. Ако a+1 ≤0, тогаш нееднаквоста важи за сите дозволени вредности X. Ако a+1>0, Тоа

(а+1)
<1.

<


каде X (2-
2

Одговори. X (- ;2на а (-;-1, X (2-
2

на А (-1;+).

§ 5. Тригонометриски равенки и неравенки.

Еве ги формулите за решавање на наједноставните тригонометриски равенки:

Синкс = а
x= (-1) n arcsin a+πn, n З, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n З, ≤1. (2)

Ако >1, тогаш равенките (1) и (2) немаат решенија.

tan x = a
x= арктан a + πn, n З,а Р

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n З,а Р

За секоја стандардна нееднаквост го посочуваме множеството решенија:

1. sin x > a
arcsin a + 2 πn З,

на а <-1, x Р ; на а ≥ 1, нема решенија.

2. . грев х< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

за a≤-1, нема решенија; за > 1,x Р

3. cos x > а
- лакови а + 2 πn < x < лакови а + 2 πn , n З ,

на А<-1, x Р ; на а ≥ 1 , нема решенија.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

на a≤-1 , нема решенија; наа > 1, x Р

5. tan x > a, арктан a + πnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

Пример 1. Најдете А, за што оваа равенка има решение:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Решение.Ајде да ја запишеме равенката во форма

Соос 2 x + (2 а -4) cosx +(а – 5)(a+1) =0,решавајќи го како квадрат, добиваме cosx = 5-АИ cosx = -а-1.

Равенката cosx = 5- А има обезбедено решенија -1≤ 5-А ≤1
4≤ А≤ 6, и равенка. cosx = - а-1 обезбедено -1≤ -1-А ≤ 1
-2 ≤ А ≤0.

Одговори. А -2; 0
4; 6

Пример 2. На што бпостои таква што нееднаквоста
+ б> 0 важи за сите x ≠πn , n З .

Решение.Да ставиме А= 0. Неравенството важи за b >0. Сега да покажеме дека ниту еден b ≤0 не ги задоволува условите на проблемот. Навистина, доволно е да се стави x = π /2, Ако А <0, и х = - π /2 на А ≥0.

Одговори.б>0

§ 6. Експоненцијални равенки и неравенки

1. Равенка ч(x) ѓ ( x ) = ч(x) е ( x) на ч(x) > 0 е еквивалентно на збирка од два системи
И

2. Во посебниот случај (h (x)= а ) равенката А f(x) = А g(x) на А> 0, е еквивалентно на збирка од два системи

И

3. Равенка А f(x) = б , Каде А > 0, а ≠1, б>0, еквивалентно на равенката

f (x)= log a b . Се случува А=1 се разгледуваат посебно.

Наједноставно решение експоненцијални неравенкиврз основа на својството на степен. Нееднаквост на форматаѓ(а x ) > 0 користејќи промена на променливатат= а x се сведува на решавање на системот на неравенки
а потоа и за решавање на соодветните едноставни експоненцијални неравенки.

При решавање на нестрога неравенка, потребно е да се додадат корените на соодветната равенка во множеството решенија на строгата неравенка. Како и при решавањето равенки во сите примери што го содржат изразот А f (x), претпоставуваме А> 0. Случај А= 1 се разгледуваат одделно.

Пример 1 . На што Аравенка 8 x =
има само позитивни корени?

Решение. Според својството на експоненцијална функција со основа поголема од една, имаме x>0
8 X >1

>1

>0, од ​​кадеа (1,5;4).

Одговори. а (1,5;4).

Пример 2. Решете ја нееднаквоста а 2 ∙2 x > а

Решение. Да разгледаме три случаи:

1. А< 0 . Бидејќи левата страна на неравенката е позитивна, а десната е негативна, неравенството важи за кој било x Р.

2. а=0. Нема решенија.

3. А > 0 . а 2 ∙2 x > а
2 x >
x > - дневник 2 а

Одговори. X Рна А > 0; нема решенија за а =0; X (- дневник 2 а; +) воа> 0 .

§ 7. Логаритамски равенки и неравенки

Да претставиме неколку еквиваленции што се користат при решавањето логаритамски равенкии нееднаквости.

1. Равенката log f (x) g (x) = log f (x) h (x) е еквивалентна на системот

Конкретно, ако А >0, А≠1, тогаш

дневник а g(x)=лог а h(x)

2. Равенката дневник а g(x)=b
g(x)=а б ( А >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Нееднаквост дневник ѓ ( x ) е (x) ≤ дневник ѓ ( x ) ч(x) е еквивалентно на комбинација од два системи:
И

Ако, b се броеви, a >0, a ≠1, тогаш

дневник а f(x) ≤ б

дневник а f(x)>b

Пример 1. Решете ја равенката

Решение. Да го најдеме ODZ: x > 0, x ≠ А 4 , а > 0, А≠ 1. Трансформирај ја равенката

дневник x – 2 = 4 – дневник а x
дневник x + дневник а x– 6 = 0, од ​​каде дневник а x = - 3

x = А-3 и дневник а x = 2
x = А 2. Услов x = А 4
А – 3 = А 4 или А 2 = А 4 не се врши на ОДЗ.

Одговор: x = А-3, x = А 2 во А (0; 1)
(1; ).

Пример 2 . Најдете највисока вредност А, за што равенката

2 дневник -
+ а = 0 има решенија.

Решение. Ќе направиме замена
= ти ја добиваме квадратната равенка 2т 2 – т + а = 0. Решавање, наоѓамеД = 1-8 а . Ајде да размислиме Д≥0, 1-8 А ≥0
А ≤.

На А = квадратната равенка има корент= >0.

Одговори. А =

Пример 3 . Решете ја нееднаквостадневник(x 2 – 2 x + а ) > - 3

Решение. Да го решиме системот на неравенки

Корени на квадратни триноми x 1,2 = 1 ±
нивните 3,4 = 1 ±
.

Вредности на критичните параметри: А= 1 и А= 9.

Нека X 1 и X 2 се множества решенија на првата и втората неравенка, тогаш

X 1
X 2 = X – решение на првобитната неравенка.

На 0< а <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), воА> 1 x 1 = (-;+).

На 0< а < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), воА≥9 X 2 – нема решенија.

Да разгледаме три случаи:

1. 0< а ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < а < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. а≥ 9 X – нема решенија.

Цели на унифициран државен испит

Високо ниво C1, C2

Пример 1. Најдете ги сите вредности Р, за што равенката

Р ∙ ctg 2x+2sinx+ стр= 3 има барем еден корен.

Решение.Ајде да ја трансформираме равенката

Р ∙ (
- 1) + 2sinx + стр= 3, sinx = t, т
, т 0.

- стр+2t+ стр = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = стр .

Нека ѓ(y) = 3 т 2 – 2 т 3 . Ајде да го најдеме множеството на вредности на функцииѓ(x) на


. на / = 6 т – 6 т 2 , 6 т - 6 т 2 = 0, т 1 =0, т 2 = 1. ѓ(-1) = 5, ѓ(1) = 1.

На т
, Е(ѓ) =
,

На т
, Е(ѓ) =
, односно кога т


, Е(ѓ) =
.

До равенката 3т 2 – 2 т 3 = стр (оттука и даденото) имало барем еден корен неопходен и доволенстр Е(ѓ), тоа е стр
.

Одговори.
.

Пример 2.

На кои параметри вредностиАравенката дневник
(4 x 2 – 4 а + а 2 +7) = 2 има точно еден корен?

Решение.Ајде да ја трансформираме равенката во една еквивалентна на ова:

4x 2 – 4 а + а 2 +7 = (x 2 + 2) 2.

Забележете дека ако одреден број x е коренот на добиената равенка, тогаш бројот – x е исто така коренот на оваа равенка. По услов, ова не е изводливо, така што единствениот корен е бројот 0.

Ќе најдеме А.

4∙ 0 2 - 4а + а 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

а 2 - 4а +7 = 4, а 2 - 4а +3 = 0, а 1 = 1, а 2 = 3.

Испитување.

1) а 1 = 1. Тогаш равенката изгледа вака:дневник
(4 x 2 +4) =2. Ајде да го решиме

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 е единствениот корен.

2) а 2 = 3. Равенката изгледа вака:дневник
(4 x 2 +4) =2
x = 0 е единствениот корен.

Одговори. 1; 3

Високо ниво C4, C5

Пример 3. Најдете ги сите вредности Р,за кои равенката

x 2 - ( Р+ 3)x + 1= 0 има целобројни корени и овие корени се решенија на неравенката: x 3 – 7 Р x 2 + 2x 2 – 14 Р x - 3x +21 Р ≤ 0.

Решение. Нека x 1, X 2 – целобројни корени на равенката x 2 – (Р + 3)x + 1= 0. Потоа, според формулата на Виета, равенствата x 1 + x 2 = Р + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Производ од два цели броја x 1 , Х 2 може да биде еднаква на еден само во два случаи: x 1 = x 2 = 1 или x 1 = x 2 = - 1. Ако x 1 = x 2 = 1, тогашР + 3 = 1+1 = 2
Р = - 1; ако x 1 = x 2 = - 1, тогашР + 3 = - 1 – 1 = - 2
Р = - 5. Да провериме дали корените на равенката x 2 – (Р + 3)x + 1= 0 во опишаните случаи по решенија на оваа неравенка. За таа приликаР = - 1, x 1 = x 2 = 1 имаме

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – точно; за приликата Р= - 5, x 1 = x 2 = - 1 имаме (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – точно. Значи, условите на проблемот се само задоволни Р= - 1 и Р = - 5.

Одговори.Р 1 = - 1 и Р 2 = - 5.

Пример 4. Најдете сè позитивни вредностипараметар А, за кој бројот 1 припаѓа на доменот на дефинирање на функцијата

на = (А
- А
).

Тип на работа: 18

Состојба

За кои вредности на параметарот a се прави нееднаквоста

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1дали е задоволен за сите вредности на x?

Прикажи решение

Решение

Оваа неравенка е еквивалентна на двојната неравенка 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Нека \sin x=t , тогаш ја добиваме неравенката:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , што мора да се изврши за сите вредности од -1 \leq t \leq 1. Ако a=0, тогаш важи неравенката (*) за кој било t\in [-1;1] .

Нека \neq 0 . Функцијата f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t се зголемува на интервалот [-1;1] , бидејќи изводот f"(t)=3t^(2) +4at +5a^(2) > 0 за сите вредности на t \in \mathbb(R) и a \neq 0 (дискриминантна D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Неравенката (*) ќе биде задоволена за t \in [-1;1] под условите

\begin(случаи) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \крај (случаи)\: \Леводесна стрелка \begin(случаи) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \крај (случаи)\: \Леводесна стрелка \почеток(случаи) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .

Значи, условот е задоволен кога -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Одговори

\лево [ -\frac(2)(5); 0 \ десно ]

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2016 г. Ниво на профил" Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 18
Тема: Неравенки со параметар

Состојба

Најдете ги сите вредности на параметарот a, од кои секоја неравенка

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

има уникатно решение.

Прикажи решение

Решение

Нееднаквоста е еквивалентна на збир на системи на неравенки

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(scases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(случаи) \\ \почеток(случаи)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(scases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(случаи) \\ \почеток(случаи)x \left[\!\!\begin(низа)(l) \begin(случаи) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(случаи) \\ \почеток(случаи)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \крај (случаи)\крај (низа)\десно.

Во координатниот систем Oxa, ќе конструираме графикони на функции a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Добиеното множество се задоволува со точките затворени помеѓу графиконите на функциите a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2xна интервалот x\in (засенчена област).

Од графикот одредуваме: првобитната неравенка има единствено решение за a=-4 и a=5, бидејќи во засенчената област ќе има една точка со ордината еднаква на -4 и еднаква на 5.

Проучувањето на многу физички процеси и геометриски обрасци често води до решавање на проблеми со параметрите. Некои универзитети, исто така, вклучуваат равенки, нееднаквости и нивни системи во испитните трудови, кои често се многу сложени и бараат нестандарден пристап кон решението. На училиште, овој еден од најтешките делови од училишниот курс по математика се разгледува само во неколку изборни часови.

При подготовката на ова дело, ја поставив целта за подлабоко проучување на оваа тема, идентификувајќи го најрационалното решение кое брзо води до одговор. Според мене, графичкиот метод е удобен и брз начин за решавање на равенки и неравенки со параметри.

Мојот есеј зборува за често сретнуваните видови равенки, нееднаквости и нивните системи и се надевам дека знаењето што го стекнав во процесот на работа ќе ми помогне при полагањето на училишните испити и при запишувањето на факултет.

§ 1. Основни дефиниции

Размислете за равенката

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

каде што a, b, c, …, k, x се променливи величини.

Секој систем на променливи вредности

a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0, x = x0,

во кој и левата и десната страна на оваа равенка земаат реални вредности се нарекува систем на дозволени вредности на променливите a, b, c, ..., k, x. Нека A е множеството од сите дозволени вредности на a, B е множеството од сите дозволени вредности на b итн., X е множеството од сите дозволени вредности на x, т.е. аОА, bОB, …, xОX. Ако за секое од множествата A, B, C, …, K избереме и поправаме, соодветно, една вредност a, b, c, …, k и ги замениме во равенката (1), тогаш добиваме равенка за x, т.е. равенка со една непозната.

Променливите a, b, c, ..., k, кои се сметаат за константни при решавање на равенката, се нарекуваат параметри, а самата равенка се нарекува равенка која содржи параметри.

Параметрите се означени со првите букви од латинската азбука: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, а непознатите се означени со буквите x, y, z.

Да се ​​реши равенка со параметри значи да се означи на кои вредности на параметрите постојат решенијата и кои се тие.

Две равенки кои содржат исти параметри се нарекуваат еквивалентни ако:

а) имаат смисла за истите вредности на параметрите;

б) секое решение на првата равенка е решение на втората и обратно.

§ 2. Алгоритам за решение.

Најдете го доменот на дефиниција на равенката.

А изразуваме како функција од x.

Во координатниот систем xOa, конструираме график на функцијата a=¦(x) за оние вредности на x кои се вклучени во доменот на дефиниција на оваа равенка.

Ги наоѓаме точките на пресек на правата a=c, каде што cÎ(-¥;+¥) со графикот на функцијата a=¦(x) Ако правата a=c го сече графикот a=¦(x). , потоа ја одредуваме апсцисата на пресечните точки. За да го направите ова, доволно е да се реши равенката a=¦(x) за x.

Го запишуваме одговорот.

I. Решете ја равенката

(1)

Бидејќи x=0 не е корен од равенката, равенката може да се реши за:

или

Графикот на функцијата е две „залепени“ хиперболи. Бројот на решенија на првобитната равенка се определува со бројот на пресечни точки на конструираната права и правата y=a.

Ако О (-¥;-1]П(1;+¥)П

, тогаш правата y=a го сече графикот на равенката (1) во една точка. Апсцисата на оваа точка ќе ја најдеме при решавање на равенката за x.

Така, на овој интервал, равенката (1) има решение

. , тогаш правата y=a го сече графикот на равенката (1) на две точки. Абсцисите на овие точки може да се најдат од равенките и , добиваме и . , тогаш правата y=a не го пресекува графикот на равенката (1), затоа нема решенија.

Ако О (-¥;-1]П(1;+¥)П

, Тоа ; , Тоа , ; , тогаш нема решенија.

II. Најдете ги сите вредности на параметарот a за кој е равенката

има три различни корени.

Препишување на равенката како

и откако испитавте пар функции, можете да забележите дека саканите вредности на параметарот a и само тие ќе одговараат на оние позиции на графикот на функцијата на која има точно три точки на пресек со графикот на функцијата .

Во координатен систем xOy ќе конструираме график на функцијата

). За да го направите ова, можеме да го претставиме во форма и, откако разгледавме четири случаи, ја запишуваме оваа функција во форма

Од графикот на функцијата

- ова е права линија која има агол на наклон кон оската Ox еднаков на , и ја пресекува оската Oy во точка со координати (0, a), заклучуваме дека трите означени пресечни точки може да се добијат само во случај кога оваа линија го допира графикот на функцијата. Затоа, го наоѓаме дериватот.

III. Најдете ги сите вредности на параметарот a, од кои за секоја е системот на равенки

има решенија.

Од првата равенка на системот добиваме

Притоа, оваа равенка дефинира фамилија на „полупараболи“ - десните гранки на параболата „лизгајте“ нивните темиња по оската на апсцисата.

Дозволете ни да ги избереме совршените квадрати на левата страна на втората равенка и да ја размножиме